xxu Band 1959 I-I. Wittmeyer: Torsionseigenfrequenzen yon Kreisscheiben ver/inderlicher Dicke 113

T o r s i o n s e i g e n f r e q u e n z e n v o n K r e i s s c h e i b e n ver i inder l i cher D i c k e

Von H. Wittmeyer

1. Einleitung. Die Ermittlung der Torsionseigenfrequenzen yon Kreisseheiben hat Bedeutung bei dem Entwurf yon Dampftarbinenscheiben, wie Grammel 1 ausffihrlich dargestellt hat. Dort werden auch L~sungsmfiglichkeiten ffir die zugeh~rige Differentialgleichung angegeben.

5Tan kann die Differentialgleichung fiir die Torsionsschwingungen einer Kreisscheibe ohne Knotendurchmesser auch als Differentialgleichang fiir die Torsionsschwingungen eines Stabes aufgefaBt werden, wie weiter unten gezeigt wird. Daher liegt es nahe, die einfachen Formeln, die der Verfasser 9' in einer friiheren Arbeit zur Berechnung der Torsionseigenfrequenzea eines Stabes hergeleitet hat, auf die Berechnung der Torsionseigenfrequenzen einer Kreisscheibe zu iibertragen. Die auf diese Weise erhahene spiiter angefiihrte Grundformel ermiiglicht in einfacher Weise die Berechnung der ersten drei Torsionseigenfrequenzen der Scheibe, falls sie an ihrem Innenrande starr eingespannt ist und keine trage Masse am Aul3enrande triigt. Mit einer weiteren Formel kann berechnet werden, wie sich die Grundeigenfrequenz iindert, falls man den Innenrand elastisch einspannt and den AuBenrand mit einer triigen Masse (Beschaufelung) belegt.

2. Herleitung der Niiherungsformel. Im folgenden seien dieselben Bezeichnungen wie yon Grammel benutzt, wobei der Index o und der Index a besagen m6gen, dab die betreffenden Gr6Ben am Innen- bzw. am AuBenrand der Scheibe zu nehmen sind, n~mlich r der radielle Abstand eines Scheibenpunktes yon der Scheibendrehachse; ~v(r) die Amplitude der sinusf6rmig yon der Zeit abhiingigen Torsionsschwingung eines Scheibenpunktes im Abstaad r yon der Scheibendrehachse um diese Achse, gemessen als Winkel im Bogenmal3; y(r) die Scheibendicke; a = a~ die k-te Eigen- frequenz der Scheibentorsionsschwingung; ~ das spezifische Gewicht des Scheibenmaterials; g die Erdbeschleunigung; G der Schubmodul des Scheibenmaterials; ~ die Bettungsziffer, die sich wie folgt berechnet: Ist M 0 ein am Innenrand angreifendes Torsionsmoment, bezogen auf die Dreh- achse and Vqo die Drehung des Innenrandes um die Drehachse infolge des Momentes M0, so ist e = M0/(2~ r~y o vq0), wie man leicht aus der ,,Technischen Dynamik", Seite 36, Gleichung (5)

und (8) folgert. Ferner ist O = ~-~}, r3 das Massentr~gheitsmoment (bezogen auf die Scheibendreh- g

achse) der triigen Randmasse (Beschaufelung) je Flacheneinheit des AuBenrandes. Die meist Heine dimensionslose Zahl/~ wird ,,Gewichtsfaktor der:Beschaufelung" genannt (siehe ebendort, S. 38).

Vernachl~ssigt man den Einflul3 der Zentrifugalkraft, was nach Grammel (ebendort S. 35) bei der Bestimmung der Torsionseigenfrequenzen zulassig ist, so lautet die Differentialgleichung fiir die Torsionsschwingungen ohne Knotendurchmesser [ebendort S. 33, Formel (9)] 3)

v2" + + V ~ + ~ ~o = 0, (1)

wobei Striche Ableitungen nach r bedeuten, mit den Eigenwerten

= )~ = 2 ~ ak ] / ~ " (2) ),

F ~ den I=.enrand (r = r0) gilt [e~endol~ S. 36, Formel (5)] G r ~ ' - - ~ = 0 (3)

und far den Au~enrand (r = to) [ebendort Formel (6)] Gr2~p ' - - 4 ~ 2 0 ~ o = 0 . (4)

Durch Multiplikation mit geeigneten Faktoren lassen sich die Gleichungen (1), (3) and (4) nach Einfiihrung yon # ---- 4 ~z a~ auf die folgende selbstadjungierte Form bringen :

(GY r~ V)' + ~ ~ Y ~ ~ = 0 , (5)

t Siehe C. B. Biezeno u. R. Grammel, Technische Dynamik, Bd. 2, S. 29ff., Berlin/G6ttingen/Heidelberg 1953.

H. Wittmeyer, l%rsch. Ing.-Wes. 24 (1958) S. 37.

114 H. Wittmeyer: Torsionseigenfrequenzen yon Kreisscheiben ver~nderlicher Dicke Ingenieur-Arehiv

- - c y T 8 9 ' + e y T~ ~ = 0 (r = r0), (6)

G y r 3 y / - - # y r O ~ p = 0 (r = r~). (7)

Diese Gleiehungen k fnnen gem~l~ meinen friiheren Gleichungen x (1), (3), (8) und (9) als die Differentialgleichung nebst zugehSrigen Randbedingungen fiir die Torsionsschwingungen eines Stabes yon der L/inge r~ - - r 0 mit der L/ingskoordinate r - - r o aufgefaBt werden, wenn man diesem Stabe die folgenden BaugrSBen gibt : G y r 3 die Torsionssteifigkeit des Stabes, (y/g) y r 3 das Massen- t raghei t smoment des Stabes je L/ingeneinheit, eY0 r02 die Torsionsfederzahl der elastischen Ein- spannung des Stabes bei r = r o (Moment je Winkel im BogenmaB), y~ ra 19 das Massentragheits- moment , bezogen auf die Torsionsachse des Stabes, einer Masse am Stabende (r = r~),/z das Quadra t einer Torsionseigenkreisfrequenz des Stabes.

Bei der Anwendung der Formeln aus meiner Arbeit (Abschnitt 3) auf diesen , ,Ersatzsta5", der die gleichen Eigenfrequenzen wie die Scheibe hat, ergeben sich insofern einfache Verh/iltnisse, als die Verdrehsteifigkeit dem Tr/ igheitsmoment je L/ingeneinheit proport ional ist. Eine Scheibe mi t y ---- konst. �9 r -3 entspricht einem Stabe mi t kons tan tem Tr/ igheitsmoment je L/ingeneinheit und konstanter Steifigkeit, eine sich weniger nach auBen verjiingende Scheibe entspricht einem Stabe mit nach auBen zunehmendem Tr/ ighei tsmoment je L/ingeneinheit und zunehmender Steffigkeit. Um insbesondere die letztgenannten, prakt isch wichtigen Scheiben dutch die Naherungsformeln erfassen zu kfnnen , wurde der Giiltigkeitsbereich der Formel (68) meiner friiheren Arbeit fiir die Kennwer te aT~ = aTI~(LT) und t~ = t2(LT) angegebenen Formeln entsprechend erweitert. Die einfache Anwendung meiner friiheren Formeln auf den hier definierten Ersatztorsionsstab sol1 hier nicht im einzelnen ausgefiihrt werden. Das Resul ta t ist in den beiden n/ichsten Abschnit ten dar- gestellt.

3. Torsionseigenfrequenzen einer Kreisseheibe mit fester Einspannung am Innenrand untl mit freiem AuBenrand. Die Dickenverteilung der Scheibe sei durch y = y(r) mit viermal stetig dif- ferenti ierbarem y(r) gegeben. I s t die Scheibe bei r = r 0 fest eingespannt und bei r = r, frei, so berechnet man l~/iherungswerte fiir ihre drei ersten Torsionseigenfrequenzen al, as und aa auf folgende Weise: Mit

r 1 = r 0 + 0,12 (r~ - - r0) , r2 = r0 -4- 0,88 (r~ - - r0) bilde man

L T = 2 lg r~ y(rl) r~ y(r2)

und welter aT1 = 0,25 q- 0,076743 L T q- 0,0057825 L ~ - - 0,00007882 L ~ ,

ate = 0,75 q- 0,025581 L T -k 0,0091235 L~ - - 0,00010018 L~,, aTa = 1,25 Jr 0,015349 L T q- 0,0056615 L ~ , - - 0,00002878 L ~ .

L T muB in dem Interval l - -5 ~ LT <= 1,7

liegen. Dann wird

1 V ~ (k = 1 , 2 , 3 ) . ak ~ aT k

Falls

(8)

(9)

(10) (11) (12)

(13)

(14)

1 GT = lg r~y(rl) r~y(r2) < 1,11 ~ r m ---- (r 0 q- ra) (14a) [r~ y(rm)] 2 : , ~-

ist, erhalt man einen im allgemeinen besseren Naherungswert fiir ax, wean man in (14) fiir k = 1 die Ersetzung

a~"l --> aT1 = aT1 - - 0,119 G~, (14b)

vorn immt . Andert sich dabei die Frequenz a 1 wesentlich, so wird yon einer Anwendung von (14) fiir k > 1 und yon (18) abgeraten. I s t (14a) nicht erfiillt, so kSnnen die Torsionseigenfrequenzen der betreffenden Scheibe mi t den Formeln dieser Arbeit im allgemeinen nicht mi t brauchbarer Genauigkeit berechnet werdem Dies ist das Ergebnis einer Reihe yon Beispielrechnungen.

4. Anderung tier Grundtorsionseigenfrequenz der Kreisseheibe infolge elastiseher Einspamaung des Innenrandes und Massenbelegung des Auflenrandes. Der Innenrand sei mi t der Bettungs-

1 Siehe FuBnote 2 Seite 113.

XXVII. Band 1959 H, Wittmeyer: Torsionseigenfrequenzen yon Kreisseheiben verinderlicher Dicke 115

ziffer e elastisch eingespanat und der AuBenrand mit eiaer Beschaufelung mit dem Gewichtsfaktor fl versehen. Die Tr/igheitswirkung der Einspannung sei vernachlissigt und die Beschaufelung als start angesehen. Zur Frequenzberechnung ermittle man zunichst unter Benutzung yon L T nach (9) den Wert

t2 = 1 - - 0,330938 L T + 0,0648817 L~, -k 0,00006119 L~,. (15)

Hiermit und mit aT1 nach (10) best imme man

_ r. / ~ G rol (16)

Mit a~l ~-~ aT1 ~- /laT1 (17)

ergibt sich schlieBlich fiir die Grundtorsionseigenfrequenz a~ der am Innenraad elastisch einge- spannten und am AuBearand mit trfiger Masse besetztea Scheibe

~x~ ~ tX~l ~,a--[r ro, ~ - 7 ' (18)

Damit der Fehler voa a~ hSchstens etwa 1% (2%) grSBer ist als der yon al, sollte die aus (16) zu berechnende GrSge ]daTJ/aT1 I den Wert 0,085 q- 0,0056 L T (bzw. 0,127 + 0,0064 LT) nieht iiberschreiten. Dies ist das Ergebnis einer grfl3eren Anzahl yon Beispielrechnungea. Hinsichtlich e ist diese Bedinguag erfiillt, wenn der Wellenhalbmesser nicht wesentlich kleiner als der Innen- halbmesser der Scheibe sowie die grSBte Scheibendicke ist, und wenn der kleinste Abstand eines Schwingungsknotens der Welle yon der Scheibe klein gegen den Scheibeahalbmesser ist. Sollte die Bedingung wegen eines zu grol~ea fl nicht erfiillt sein, so empfiehlt es sieh (insbesondere, falls L T < 0 ist), den Einflug der Zusatzmasse am Aulenrande mit Hilfe des Dunkerleyschen Verfahrens zu er- fassen.

5. Beispiele. Als erstes Beispiel fiir eine Frequenzberechnung w/ihlen wir wie bei Grammel (ebendort Seite 38 unten) eine Stahlscheibe mit der Dickenverteilung y = c r -3, wo c eine positive Konstante ist, mit starter Einspannung am Innenrand mit dem Halbmesser r o ----- 10 cm und einer Beschaufelung mit dem Gewichtsfaktor fl = 1/20 am AuBenrand mit dem Halbmesser r~ = 40 cm

Wie bei Grammel (ebendort Seite 34) sei ~g G/y = 3,26.105 cm/s. Nach (9), (10), (15) und (17) wird L T = 1, aT1 = 0,25, t 2 = 1 uad a~,l = 0,2417, und damit wird die Grundtorsionseigenfrequenz der Scheibe ohne Beschaufelung nach (14) ungef ihr gleich 2717 Hz und mit Beschaufeluag nach (18) ungef/ihr gleich 2630 Hz. Diese Werte unterscheiden sich in den angegebenen Ziffern nicht yon den zugehfirigen exakten Werten.

Als zweites Beispiel sei dieselbe Scheibe mit der Ab/inderung untersucht, dab ihr Dickenverlauf durch y = c r -1- dargestellt wird, wo c eine positive Konstante ist. Ohne Beschaufelung ergeben sich nach (14) folgende Torsionseigenfrequenzen, wobei in Klammern jeweils die relativen Fehler~ gegeniiber der exakten LSsung angegebea sind: a~ ~ 1478 Hz (0,16%), as ~ 7970 Hz (1,3%), % ~ 13480 Hz (0,5%). Eine Beschaufelung mit dem Gewichtsfaktor fi = 1/20 setzt nach (18) die Grundtorsionseigenfrequenz auf a~ ~ 1394 Hz ( - -0 ,2%) herab. Wird diese Scheibe aul]erdem am Innenrand elastisch mit einer Bettungsziffer 8 ---- 3 G gelagert, so ergibt (18)als noch tiefere Grundeigenfrequenz a~ ~ 1110 Hz ( - - 1 , 6 % ) 2.

Als drittes Beispiel seien die drei ersten Torsionseigenfrequenzen der Scheibe mit dem ,,Sonder- profil" nach Grammel (ebendort Seite 39, Abb. 34) berechnet, t i ler ist der Dickenverlauf durch y = 104 e~/15 r -3 gegeben, wo y und r in cm zu rechnen sin& Ferner ist r 0 = 10 cm und r, = 50 cm. Is t die Stahlscheibe am Innenrand start eingespannt und am AuBenrand frei, so ergibt Formel (14) folgende Werte : 0~ ~ 1090 Hz (--0,16%), % ~ 5980 m, (--0,12%) und aa ~ 10 112 Hz (--0,02%). DaB diese letzten N~herungswerte so besonders genau werden, liegt daran, dab Formel (14) da- durch hergeleitet ist, dab das vorhandene Profil dutch eines mit dem Dickenver laufy = c 1 e~ ~ r -3 approximiert wird, wo c I u n d c 2 geeignet gewihhe Konstanten sin& F i r ,,Sonderprofile" nach Grammel wird die Formel (14) also besonders genau.

SchlieBlich seien Niherungswerte fiir die Grundtorsionseigenfrequenzen yon Scheiben mit dem (r), Profil y = Y = a e - T bereehnet, wo c = 2,5 r , , ro/r . = 0,05 (0,05) 0,25 und p = 1 oder 2 ist. Exakte Werte zum Vergleich finden sich in einer kiirzlich erschienenen Arbeit yon Tamero~lu 3.

1 Ein positives Zeichen bei dem Fehler bedeutet, dab der N/iherungswert zu gro$ ist. 20bgleich bei diesem Beispiel ]A~T1/o~T~ ] wesentlich grSBer ist, als dies nach unserer Empfehlung sein

sollte, ist die Genauigkeit yon ~* iiberraschend gut. a S. Tamero~lu, Ing.-Arch. 26 (1958), S. 212.

116 H. Wittmeyer: Torsionseigenfrequenzen yon Kreisscheiben ver~inderlieher Dicke Ingenieur-Archiv

Schliel3t man die Profile mit ro/r a = 0,05 aus, so erfiiUen alle iibrigen die Uagleiehung (14 a). Wen- det man auf diese iibrigen die Formel (14) unter Beachtung yon (14b) an, so erh~ilt man die Grund- torsionseigenfrecluenzen mit einem Fehler yon absolut hSehstens 2,1%. In den beiden wegen (14 a) ausgeschlossenen Beispielen fiir ro/r a = 0,05 h~itte man ffirp = I einen Fehler yon --1,4~o und fiir p = 2 einen Fehler yon - - 1 0 % erhalten. Die Beispiele yon Tamero~ lu zeigen, dab Profile mit klei- nero ro/r a am leiehtesten auBerhalb des zul/issigen Anwendungsbereiehes der Formel (14) [mit oder ohne Beriicksichtigung yon (14 b)] liegen kSnnen. Fiir ro/r a > 0,15 ist der Fehler bei den Grund- torsionseigenfrequenzen fiir Scheiben mit den Profilen y = Y in den angefiihrten Beispielen stets kleiner als 1~o, falls in (14) die Ersetzung (14 b) vorgenommen wird.

Es sei noch angemerkt, da$ die Dickenverteilungen y = y(r) in diesen Beispielen nur deshalb in so einfacher analytischer Form vorgegeben wurden, damit es mSglich war, die zum Vergleich benStigten exakten Werte zu berechnen.

6. SchluBhemerkung. Die in dieser Arbeit hergeleiteten Formeln sind Anwendungsbeispiele fiir ein allgemeines Verfahren zur Aufstellung yon N~iherungsformeln fiir die Eigenwerte technischer Eigenwertprobleme, das der Verfasser dargestelh hat 1. Nach geeigneter Erweiterung kiinnte man mit dieser Methode bei Bedarf auch entsprechende N~herungsformeln fiir die Dehnungsschwin- gungen einer Kreisscheibe aufstellen. In diesem Falle miiflte man die gegebene Differentialgleiehung nicht wie in meiner friiheren Arbeit dutch eine mit konstanten Koeffizienten approximieren, sondern dutch eine etwas kompliziertere Differentialgleiehung, die jedoch in die Besselsche iibergefiihrt wer- den kann.

(Eingegangen am 14. Juni 1958.)

Ansehrift des Verfassers: Dr.-Ing. H. Wittmeyer, Link~iping (Schweden), Valkebogatan 14 A.

1 I1. Wittmeyer, J. Soe. Industrial and Applied Math. 6 (1958) S. 111.