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RESISTENCIA DE MATERIALES I MOMENTO DE INERCIA RESPONSABLES: Lopez Delgado Carlos (110412-B) Matías Cabrera Israel Smith (095563-I) Mayanga Pinedo Angie (102002-C) Pisfil Campos Manuel (102135-C) Quispe Morales Joider (102161-D) Ramirez Julcahuanca Ronald (102167-B) Requejo Chilcon Gonzalo (102173-B) SantaMaria Carlos Mariano (115135-G) DOCENTE: Ing. Jannyna Beatriz Bernilla Gonzales FECHA DE PRESENTACIÓN: 19 de Abril del 2013 CICLO: 2012-II

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Escuela Profesional de Ingeniería Civil - UNPRG Resistencia de Materiales I

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RESISTENCIA DE MATERIALES I

MOMENTO DE INERCIA

RESPONSABLES:

Lopez Delgado Carlos (110412-B)

Matías Cabrera Israel Smith (095563-I)

Mayanga Pinedo Angie (102002-C)

Pisfil Campos Manuel (102135-C)

Quispe Morales Joider (102161-D)

Ramirez Julcahuanca Ronald (102167-B)

Requejo Chilcon Gonzalo (102173-B)

SantaMaria Carlos Mariano (115135-G)

DOCENTE: Ing. Jannyna Beatriz Bernilla Gonzales

FECHA DE PRESENTACIÓN: 19 de Abril del 2013

CICLO: 2012-II

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INDICE

Introducción-------------------------------------------------------------------------------------3

Momento de Inercia----------------------------------------------------------------------------4

Producto de Inercia----------- -----------------------------------------------------------------7

Momentos de Inercia de masa-------------------------------------------------------------8

Conclusiones----------------------------------------------------------------------------------16

Anexos--------------------------------------------------------------------------------------------17

Bibliografía--------------------------------------------------------------------------------------20

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INTRODUCCIÓN

El momento de inercia es muy importante en el área de la Ingeniería

Civil, especialmente el diseño de elementos estructurales (como vigas y

columnas), debido a que, la inercia es con lo que diseñas, y depende de

la geometría del material.

Entre sus aplicaciones en este ámbito de la Ingeniería, se pueden citar:

- En el prediseño de secciones para análisis y obtención una primera

aproximación de las secciones que se utilizarán en un modelo

estructural. Los principales parámetros que definen una sección

estructural son el área y sus momentos de inercia en los ejes principales;

lo cuales se encuentran regidos por una carga axial y los momentos

flexionantes en los ejes principales.

- La Obtención de los momentos en cada columna, permiten proponer

las dimensiones de éstas, que satisfagan los requerimientos de área y

de estas dimensiones dependen ahora de los materiales a emplear.

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Momento de Inercia

Siempre que una carga distribuida actúa en forma perpendicular a un área y

que su intensidad varia linealmente, el cálculo del momento de la distribución

de carga con respecto a un eje implicara una cantidad llamada el momento

de inercia del área.

Por ejemplo, considere la placa de la figura, la cual está sometida a una

presión del fluido.

Esta presión varía en forma lineal con la profundidad, de tal manera

que, donde:

: Peso específico del fluido.

Así la fuerza que actúa sobre el área diferencial de la placa es

( )

Por lo tanto el momento de esta fuerza con respecto al eje es:

Y al integrar sobre toda el área de la placa resulta:

La integral se denomina el momento de inercia del área con

respecto al eje .

Las integrales de esta forma aparecen con frecuencia en las fórmulas que se

utilizan en mecánica de fluidos, mecánica de materiales, mecánica estructural

y diseño mecánico, por lo que los ingenieros necesitan conocer los métodos

empleados para su cálculo.

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Al momento de inercia de un área se le llama en ocasiones el segundo momento del

área, denominación que es probablemente más apropiada. Sin embargo, por

uniformidad, usaremos en este capítulo un término más común, momento de inercia,

llamado así por su semejanza con las integrales de los momentos de las fuerzas de

inercia de los cuerpos en rotación que se estudian en la dinámica. El momento de

inercia de un área es una medida de cuánta área está situada y qué tan lejos de un eje.

Por definición, los momentos de inercia del área diferencial plana con

respecto a los ejes y son y , respectivamente. Los

momentos de inercia son determinados por integración para toda el área; es

decir:

Figura 1

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También podemos formular el segundo momento de con respecto al

“polo” o eje , figura 10-2. A éste se le llama momento de inercia polar,

Aquí, r es la distancia perpendicular desde el polo (eje ) hasta el

elemento Para toda el área, el momento de inercia polar es

La relación entre e es posible puesto que , figura 10-2.

A partir de las formulaciones anteriores se ve que y siempre serán

positivos ya que implican el producto de una distancia al cuadrado y un área.

Además, las unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada

a la cuarta potencia, esto es,

Figura 2

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PRODUCTO DE INERCIA PARA UN AREA

Definición:

El producto de inercia para un elemento

de área localizado en el punto (x, y),

como se indica en la figura a la

izquierda, se define como .

Así, para toda el área A, el producto de

inercia es:

Si se escoge el elemento de área con un tamaño diferencial en dos

sentidos, como se indica en la figura de arriba, debe efectuarse una

integral doble para calcular . Sin embargo, muy a menudo es más

fácil escoger un elemento que tenga un tamaño o espesor diferencial en

un sentido solamente, en cuyo caso el cálculo requiere de sólo una

integral simple.

Como el momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de

longitud elevadas a la cuarta potencia, por ejemplo, •

Sin embargo, como x o y pueden ser cantidades negativas, mientras que

el elemento de área siempre es positivo, el producto de inercia puede

ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la localización y

orientación de los ejes coordenados. Por ejemplo, el producto de inercia

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para un área será cero si cualquiera de los ejes x o y es un eje de

simetría para el área.

MOMENTOS DE INERCIA DE MASA

El momento de inercia de masa de un cuerpo es una propiedad que mide la

resistencia del cuerpo a la aceleración angular. Como este momento se usa en

dinámica para estudiar el movimiento rotatorio, los métodos para efectuar su

cálculo serán analizados a continuación.

En términos generales, el momento de inercia de masa de un cuerpo / respecto a un

eje determinado puede definirse como (figura 1)

Para un cuerpo rígido dado, el momento de inercia de masa es una medida de la

distribución de su masa con relación a un eje determinado.

Definimos el momento de inercia de masa como la integral del "segundo

momento” con respecto a un eje de todos los elementos de masa dm que

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componen el cuerpo. Por ejemplo, considere el cuerpo rígido mostrado en la

figura su momento de inercia con respecto al eje z es:

Aquí, el "brazo de momento" r es la distancia perpendicular desde el eje hasta

el elemento arbitrario dm. Como la formulación implica a r, el valor de I es único

para cada eje z con respecto al cual es calculado. Sin embargo, generalmente,

el eje que es seleccionado para el análisis pasa por el centro de masa G del

cuerpo. El momento de inercia calculado con respecto a este eje será definido

como . Observe que, como r está elevado al cuadrado en la ecuación, el

momento de inercia de masa es siempre una cantidad positiva. Las unidades

comunes usadas para su medida son kg. m2 o slug. pie2.

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Casos:

a) Cuerpo con material de densidad variable

Si el cuerpo consiste .de material con densidad variable, ( ), la

masa elemental dm del cuerpo puede ser expresada en términos de su

densidad y volumen como . Sustituyendo dm en la primera

ecuación, el momento de inercia del cuerpo es calculado entonces usando

elementos de volumen para la integración, es decir:

b) Cuerpo con material de densidad constante

En el caso especial donde es una constante, este término puede ser

factorizado fuera de la integral, y la integración es entonces meramente

una función de la geometría:

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PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

a) Elemento cascarón

Si un elemento cascarón con altura z, radio

y y espesor dy se elige para la integración,

como en la figura mostrada, entonces el

volumen ( )( ) .

Este elemento se puede usar en las ecuaciones de los casos a y b para

determinar el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z ya

que todo el elemento, debido a su "delgadez", se encuentra a la misma

distancia perpendicular del eje z.

b) Elemento de disco

Si un elemento de disco, con radio y y

espesor dz, se elige para la integración, figura

de la izquierda, entonces el volumen

( ) .

En este caso el elemento es finito en la

dirección radial, en consecuencia no todas sus partes se encuentran a la

misma distancia radial r del eje z. Por esto, las ecuaciones anteriores, no

se pueden usar para determinar . En vez de efectuar la integración

usando este elemento, primero es necesario determinar el momento de

inercia del elemento con respecto al eje z y luego integrar este resultado.

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EJERCICIO DE APLICACION

1. Determine el momento de inercia con respecto al eje X del área

circular mostrada en la siguiente figura:

Usando el elemento diferencial mostrado:

Entonces el momento de inercia es:

∫ ( )

∫ ( √ )

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2. Calcular el momento de inercia del área compuesta en la siguiente

figura respecto del eje X representado en dicha figura. Todas las

medidas están expresadas en mm.

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Solución:

El área mostrada está formada por un semicírculo (S) de 50 mm de

radio, un rectángulo (R) de 140 x 240 mm y un triángulo (T) de 75 x 240

mm. Como sabemos:

A cada uno de los momentos de inercia parciales se les va a aplicar el

Teorema de Steiner:

( )

( )

( )

∑ ∑

Llegamos a la conclusión que el momento de inercia total es la suma de los

momentos de inercia de cada parte respecto a su eje centroidal, más la

suma de los términos de traslación de ejes, indicando que:

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Componentes

( )

Area

( )

d

( )

( )

Rectángulo 115.20 24.00 70.00 117.6

Semicirculo 0.69 3.93 71.22 19.9

Triángulo 28.80 9.00 110.00 108.9

Totales 144.69 246.4

Con las sumas obtenidas procedemos a hallar el momento de inercia del área

mostrada:

∑ ∑

( )

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3. IX y KX para la siguiente figura:

1º) Calcular IX con respecto a X de las tablas:

IX1 = 1/12 bh3

IX1 = 1/12 (1)(4)3

IX1 = 5.333 ft4

A = bh = (1)(4) = 4 ft2

2º) Utilizar teorema de los ejes paralelos:

IxI = IX1 + dy2A

IxI = 5.333 ft4 + (2 ft)2 (4 ft2)

IxI = 21.333 ft4

3º) Calcular IX1II:

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IX1II = 1/12 bh3

IX1II = 1/12 (2)(1)3

IX1II = 0.16 ft4

A = bh = (2)(1) = 2 ft2

4º) Aplicar el teorema de los ejes paralelos:

IxII = IX1II + dy2 A

IxII = 0.16 ft4 + (0.5 ft)2 (2 ft2)

IxII = 0.66 ft4

5º) Se suman ambos momentos de Inercia:

Ix = IxI + IxII = 21.333 ft4 + 0.66 ft4 = 22 ft4

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4. Determine el momento de Inercia del área sombreada con respecto al eje X:

FIGURA I:

Ix1 = 1/12 bh3

Ix1 = 1/12 (240)(60)3

Ix1 = 36.56 x 105 mm4

A = bh = (240)(60)

A = 28800 mm2

IxI = Ix1 + dy2

IxI = 138.24 x 105 mm4

FIGURA II:

Ix1II =

Ix1II = 1/8 Π(90)4

Ix1II = 25.76 x 105 mm4

A = 12723.45 mm2

IxII = Ix1 + dy2

IxII = 110.89 x 105 mm4

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dy mm A (mm2) Ix1 (mm4) Ix = Ix1 + dy2 + A

Figura I 60 28800 34.56 x 106 138.24 x 106 mm4

Figura II 81.80 -12723.45 25.76 x 106 -110.89 x 106 mm4

A = 16076.55 mm2

Ix = 27.35 x 105 mm4

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CONCLUSIONES

Momento de Inercia o MOMENTO DE 2DO ORDEN depende de

la sección transversal

Le otorga mayor rigidez a la estructura

Es la capacidad de oponerse a la deformación.

Para diseñar es necesario conocer la inercia de los materiales

El momento de inercia no puede ser negativo.

El momento de inercia pasa por los ejes centroidales.

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ANEXOS

Tabla de momento de Inercia de fig. Principales

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BIBLIOGRAFÍA

RESISTENCIA DE MATERIALES, Singer

MECANICA PARA INGENIERO-ESTATICA Hibbeler

MECANICA PARA INGENIERO-ESTATICA Beer Jhonstom