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pp. 199-221 199 Georges BONNET Professeur ~ la FaeultO des Sciences * Transmission des signaux en milieux discontinus it6ratifs Premidre partie : Milieux discontinus (multiplets) Analyse Etude de la propagation monodimensionnelle de signaux transitoires dans des << multiplets >~, form,s par juxtaposition de plusieurs segments homogbnes, d'imp2dances et de dimensions arbitraires : milieux stratifids ~lectromagndtiques ou acoustiques, aussi bien que lignes de transmission discontinues. L'accent est mis sur une approximation adaptke aux signaux de spectre ktroit : ce qui rdduit la description exhaustive des multiplets ~t trois constantes seulement, dont la dbtermination est btablie dans le cas le plus gbnkral. Le comportement dominant est alors un retard de transmission, ddnotant un ~ effet de freinage >>par rapport au temps de parcours attendu, auquel se sur- aj)ute un effet de filtrage passe-bande, p~riodique en fr~quence. L'itdration d'un multiplet a pour seule c)nsdquence de faire ressortir les deux effets prkcddents, le systbme se comportant alors en parfaite analogie avec les rdseaux dlectriques en ~chelle. Les opdrateurs de transmission et de rkflexion d'un tel milieu itdratif, placd entre deux milieux homogbnes indkfinis, sont caractbrisbs par leurs rkponses percussionnelles dont l'expression littdrale est ~tablie dans le cas non dissi- patif Par comparaison avec le comportement d'un milieu homogbne qui serait substitud au milieu itdratif, on constate un phdnombne de rdverbdration de chrono- logie identique, mais lissO par l'effet de filtrage. Mots cl6s : Th6orie signal, Propagation onde, Onde 61ectro- magn6tique, Onde acoustique, Milieu discontinu, Milieu stratifi6, Ligne transmission, Freinage, Filtrage fr6quence. SIGNAL TRANSMISSION IN DISCONTINUOUS OR LAYERED ITERATIVE MEDIA PART ONE Abstract Study of unidimensional propagation of transient signals through so called ~< multiplets >~, formed by juxtaposing several homogeneous sections of arbitrary impedances and sizes : electromagnetic or acoustic layered media as well as discontinuous transmission lines. The emphasis is put on an approximation, fitted to narrow-band signals : which, in so doing, reduces the exhaustive description of any multiplet to three constants only, whose expressions have been fully determined in the most general case. The main beha- viour is then a transmission delay, that suggests a ~< slowing down effect >> in regard to the expected transit time, to which is aided a band-pass filtering, periodic in frequency. The sole result of the periodic iteration of a mUhiplet is to emphasize the two previous processes : the whole system thus behaves in a very analogous manner with electrical ladder networks. The trans- mission and reflection operators of such iterative media, when put between two boundless yet homo- geneous external media, are characterized by their impulse responses, whose literal expressions are deter- mined in the zero-loss case. Comparing the behaviour of some homogeneous medium that could take the place of the genuine periodic medium, a reverberation process is noticed, with the same chronology but smoo- thed by filtering effect. Key words : Signal theory, Wave propagation, Electro- magnetic wave, Acoustic wave, Discontinuous medium, Multi- layered medium, Transmission line, Slowing down effect, Frequency filtering, Multiple band-pass filter. Sommaire 1. Introduction. 2. Propagation en milieux discontinus (multiplets). Conclusion de la premibre partie. Bibliographic (24 rdf ). * Laboratoire GESSY. Univ. de Toulon et du Var, Chfiteau Saint-Michel, 83130 La Garde, France. 1/23 ANN. TI~Lt~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980

Transmission des signaux en milieux discontinus itératifsPremière partie: Milieux discontinus (multiplets)

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pp. 199-221 199

Georges BONNET Professeur ~ la FaeultO des Sciences *

Transmission des signaux en milieux discontinus it6ratifs

Premidre par t ie :

Milieux discontinus (multiplets)

Analyse

Etude de la propagation monodimensionnelle de signaux transitoires dans des << multiplets >~, form,s par juxtaposition de plusieurs segments homogbnes, d'imp2dances et de dimensions arbitraires : milieux stratifids ~lectromagndtiques ou acoustiques, aussi bien que lignes de transmission discontinues. L'accent est mis sur une approximation adaptke aux signaux de spectre ktroit : ce qui rdduit la description exhaustive des multiplets ~t trois constantes seulement, dont la dbtermination est btablie dans le cas le plus gbnkral. Le comportement dominant est alors un retard de transmission, ddnotant un ~ effet de freinage >> par rapport au temps de parcours attendu, auquel se sur- aj)ute un effet de filtrage passe-bande, p~riodique en fr~quence. L'itdration d'un multiplet a pour seule c)nsdquence de faire ressortir les deux effets prkcddents, le systbme se comportant alors en parfaite analogie avec les rdseaux dlectriques en ~chelle. Les opdrateurs de transmission et de rkflexion d'un tel milieu itdratif, placd entre deux milieux homogbnes indkfinis, sont caractbrisbs par leurs rkponses percussionnelles dont l'expression littdrale est ~tablie dans le cas non dissi- pat i f Par comparaison avec le comportement d'un milieu homogbne qui serait substitud au milieu itdratif, on constate un phdnombne de rdverbdration de chrono- logie identique, mais lissO par l'effet de filtrage.

Mots cl6s : Th6orie signal, Propagation onde, Onde 61ectro- magn6tique, Onde acoustique, Milieu discontinu, Milieu stratifi6, Ligne transmission, Freinage, Filtrage fr6quence.

SIGNAL TRANSMISSION IN DISCONTINUOUS OR LAYERED ITERATIVE MEDIA PART ONE

Abstract

Study of unidimensional propagation of transient signals through so called ~< multiplets >~, formed by

juxtaposing several homogeneous sections of arbitrary impedances and sizes : electromagnetic or acoustic layered media as well as discontinuous transmission lines. The emphasis is put on an approximation, fitted to narrow-band signals : which, in so doing, reduces the exhaustive description of any multiplet to three constants only, whose expressions have been fully determined in the most general case. The main beha- viour is then a transmission delay, that suggests a ~< slowing down effect >> in regard to the expected transit time, to which is aided a band-pass filtering, periodic in frequency. The sole result of the periodic iteration o f a mUhiplet is to emphasize the two previous processes : the whole system thus behaves in a very analogous manner with electrical ladder networks. The trans- mission and reflection operators of such iterative media, when put between two boundless yet homo- geneous external media, are characterized by their impulse responses, whose literal expressions are deter- mined in the zero-loss case. Comparing the behaviour of some homogeneous medium that could take the place of the genuine periodic medium, a reverberation process is noticed, with the same chronology but smoo- thed by filtering effect.

Key words : Signal theory, Wave propagation, Electro- magnetic wave, Acoustic wave, Discontinuous medium, Multi- layered medium, Transmission line, Slowing down effect, Frequency filtering, Multiple band-pass filter.

Sommaire

1. Introduction.

2. Propagation en milieux discontinus (multiplets).

Conclusion de la premibre partie.

Bibliographic ( 2 4 rdf ).

* Laboratoire GESSY. Univ. de Toulon et du Var, Chfiteau Saint-Michel, 83130 La Garde, France.

1/23 ANN. TI~Lt~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980

200 G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS

Liste des symboles et notations

ESI/~

# det T

Ent [x]

resp.

t.q. tr T

BF

C

C

I c > Cm

d~ D

E(z, t)

~(z, p)

G(t)

g(v) ~ G(t)

H(z, t)

Je(z, p)

JN(x)

L

M

N

P Q

rE R R(t) 5~(p) I" R(t)

r(v) ~ R(t)

sgn(x)

t

tv

T

t t j

T(t)

V(p) t:: "r(t)

transform6e de Fourier

transform6e de Laplace de E

de l'ordre de

tr6s peu diff6rent de

d6terminant de la matrice T

partie enti6re de x

respectivement

tel que trace de la matrice T

basse fr6quence

corps des complexes

capacit6 lin6ique

vecteur d'6tat champ c616rit6 du segment homog~ne m

6paisseur du segment homog6ne m

matrice diagonale hybride

champ 61ectrique

image de Laplace du champ 61ec- trique repr6sentation en temps d'une gran- deur physique G

repr6sentation en fr6quence de G

champ magn6tique

image de Laplace du champ magn6tique

fonction de Bessel de prerni6re esp6ce, d'ordre N indicateur de parit6 d'un multiplet ou inductance lin6ique facteur de multiplication attach6 au segment m nombre de segments d'un multiplet

nombre de multiplets it6r6s fr6quence complexe de Laplace

matrice des modes coefficient de Fresnel en r6flexion

ensemble des r6els r6ponse percussionnelle de r6flexion r6ponse percussionnelle op6ration- nelle de r6flexion

gain complexe de r6flexion

fonction << signe >> de x

variable temps

coefficient de Fresnel en transmission

matrice de transfert

616ment de matrice de transfert r6ponse percussionnelle de trans- mission r6ponse percussionnelle op6ration- nelle de transmission

t(v) ~ T(t) TF

I u > x

Z

Zc

ZE , Zs

Z m

5c(p)

5•

I

kkl o

3(t - - to) 3~-1)(t) 0

O

O,j

X /x

'0

'V c

P ~(p) = logeX+

~m

q~(~) =--i~(2r:i'0

gain complexe de transmission transform6e de Fourier

vecteur d'6tat hybride

variable de position axiale

ensemble des entiers

terme fondamental d'une imp6dance caract6ristique imp6dances caract6ristiques des mi- lieux d'entr6e (E) et de sortie (S) imp6dance du segment homog6ne m imp6dance caract6ristique op6ration- nelle

imp6dances caract6ristiques op6ra- tionnelles en transmission droite (--) ou gauche (+)

matrice unit6

peigne de Dirac, de pas 0

coefficient de freinage distribution de Dirac de support to fonction unit6 de Heaviside

p.p.c.m, des temps de transit %n

matrice de transfert d'une 6chelle de N multiplets 616ments de matrice de transfert d'une 6chelle

valeur propre

terme de dissym6trie d'une imp6- dance caract6ristique

fr6quence temporelle

fr6quence de coupure

densit6 facteur logarithmique temps de transit du segment homo- g6ne m argument d'une valeur propre. temps de transit global d'un multiplet

1. INTRODUCTION

Nous sommes redevables ~t I. d Erceville et G. Kunetz [1] d'avoir connaissance d'une anomalie dans la propagation des signaux, d6couverte par eux dans leur th6orie des milieux acoustiques stra- tifi6s, mais perceptible en v6rit6 dans des milieux de route nature dot6s d'une structure discontinue.

Cependant, c'est J. Morlet (*) qui, ult6rieurement, apr6s avoir ~labor6 une syst~matique des ph6nom6nes de propagation des signaux en milieux stratifi6s

(*) MORLET (J.). Communicat ion priv6e b. paraitre ult6rieu- rement.

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G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS 201

p6riodiques, a soulign6 toute l 'importance que peut prendre cette anomalie. Son 6tude repr6sente une longue sdrie de simulations sur calculateur num& rique, autour d 'un algorithme imagin6 par V. Baranov et G. Kunetz [7].

Auparavant, divers auteurs dont M. L. Levin [2] et S. M. Rytov [3, 4] avaient 6tudi6 des milieux finement stratifi6s ; mais ils n'avaient consid&6 que des mod61es simples ~t deux constituants, r6p6t6s pdriodiquement 5- l'infini. Toutes ces rechercbes, rassembl6es et 6tudi6es dans [5], avaient en outre pour but de ddcrire les param6tres tensoriels d 'un milieu 6quivalent, homog6ne et anisotrope, plut6t que de traiter syst6matiquement la propagation des signaux dans les milieux discontinus.

R6cemment, ces travaux ont 6t6 compl6t6s, d 'un point de vue th6orique par E. Sanchez-Palancia [6]. Du point de vue exp6rimental, celui de la m6trologie des milieux stratifi6s, citons les travaux d'avant- garde de K. Stephanakis [8] et C. Gazanhes [9].

a) Dans un tel contexte, notre propos est d'6tudier th6oriquement les ph6nomenes de transmission et de r6ftexion des signaux, au sein et ~t la fronti6re de milieux discontinus ; cela en g6ndralisant le plus possible et en recherchant un domaine de validit6 aussi vaste que possible. C'est pourquoi notre premier soin, en esquissant un bref rappel d'une axiomatique fort connue, sera d'6tablir un formalisme unique : celui-ci englobera les ondes 61ectromagn6tiques et acoustiques aussi bien que les lignes 61ectriques ou encore les guides sonores.

De son c6t6, le milieu 6tudi6 sera pris le plus g6n6ral possible : nous le construirons en it6rant un nombre arbitraire (mais fini) de fois un certain motif 616- mentaire, le rnultiplet. Cet 616ment est lui-meme form6 par la juxtaposition d 'un nombre arbitraire de segments homog6nes, 5- parametres r6partis et de constitution quelconque. Quelle que soit la complexit6 d 'un tel milieu, nous parviendrons cependant 5- dtablir un r6sum6 exhaustif de son comportement 5- l'dgard des processus de propagation : un pararnbtre de transfert e t deux irnpddances caractdristiques y suffiront.

b) Nous attacherons une importance particuliere 5- l'effet de freinage signal6 par I. d'Erceville et G. Kunetz [1]; d 'abord en corrigeant l'6tiologie quelque peu erronde invoqu6e par ses auteurs ; ce qui conduira 5. recouvrir un domaine d'occurrence tout /t fait g6n6ral, celui du contraste d'imp6dance. Ensuite pour montrer que, contrairement 5- une opi- nion unanimement r6pandue, un tel ph6nomene n'est pas n6gligeable (*). Nous verrons qu'il devient susceptible de modifier d 'un ordre de grandeur le param6tre vitesse, quand il s'agit de transmettre des signaux de spectre 6troit, centr~s sur des fr6quences

(*) MORLET (J.). Communication privbe /i para~tre ultdrieu- rement.

judicieusement choisies. Le fait fondamental sera que, pour de tels signaux, le milieu envisag6 se corn- porte comme l'association : ligne g~ retard prononcd + filtre de bande.

c) Concernant enfin la rn~thodologie, nous utili- serous notre approche coutumi6re, celle des signaux et des syst6mes.

Introduisons pour ce faire deux conditions a priori : - - l e s milieux de transmission sont lindaires, - - i l s sont fixes dans le temps.

(Cette double hypoth6se est en pratique extramement peu restrictive.)

Ainsi, les pMnom6nes de transmission, consid6r& globalement entre deux points fixes, l'entr& et la sortie, entrent dans le cadre d'un filtre lin6aire [10]. Pour pouvoir enti6rement caract6riser ce filtre, il suffit alors de d6terminer l 'une ou l 'autre de ses repr6sentations : sa rdponse percussionnelle ou son gain cornplexe.

Si le gain compIexe r6sulte d'une 6tude en r6gime monochromatique (fonction propre e2~l~t), la r6ponse percussionnelle est par contre l'essence m~me du r6gime transitoire. Ces deux grandeurs sont, en th6orie rigoureusement 6quivalentes ; en pratique, cependant, l 'une peut apparaitre plus avantageuse que l'autre dans tel ou tel cas d6fini. I1 en est ainsi des ph6no- m~nes de diffraction et de coh6rence, pour l '&ude desquels la r6ponse percussionnelie s'est av&& la mieux adapt6e [11]. Par extension, on peut raison- nablement envisager une aptitude similaire de la repr6sentation d'espace-temps 5- l'6gard des ph6no- m6nes de propagation : nous prendrons donc la vole ~< r6ponse percussionnelle ~>.

Dans ce but, nous ferons appel 5- la transformation de Laplace (fonction propre e p~) : on connaR en effet l'efficacit6 dont ce proc6d6 a fait preuve dans l'6tude apparent6e des lignes de transmission ou celle des filtres en 6chelle [12].

Etant donn6, enfin, l'universalit6 voulue dans la finalit6 et la nature unidimensionnelle de la pr6sente 6tude, il ne saurait ~tre question de faire appel 5- l '6quation de Pekeris ni, de faqon g6n6rale, 5- la th6orie des modes. Nous nous bornerons donc 5. faire usage de l'outil largement 6prouv6, en optique et en t616- communications, des vecteurs d'6tat et de leurs matrices de transfert.

2. PROPAGATION EN MILIEUX DISCONTINUS (MULTIPLETS)

L'6tude abordde ici est destin6e 5- recouvrir deux families de syst6mes 5- ondes progressives :

a) les milieux tridirnensionnels, structur6s en strates ou feuillets successifs, tous homog6nes et isotropes (Fig. I a). Ces milieux seront de nature 61ectro-

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202 G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS

a b

FIG. 1. - - Milieux de transmission. a) milieux stratifi6s. b) lignes segrnent6es.

Transmitting media. a) layered medium, b) segmental line.

magn6tique ou acoustique et, par hypoth6se, non dissipatifs. La propagation &udi6e concerne des ondes planes parall61es aux strates : TEM OU P, selon leur nature ;

b) les lignes de transmission, structur6es en segments homog6nes plac6s bout ~t bout (Fig. 1 b). Ces lignes,

param6tres r6partis, seront de nature 61ectrique ou acoustique et, par hypoth6se, sans pertes.

Notre premier soin est donc d'utiliser une 6criture universelle recouvrant les deux types de milieux aussi bien que les natures diverses d'ondes progressives.

2 .1 . M i l i e u x h o m o g 6 n e s .

2.1.1. Equation de propagation.

2.1.1.1. Milieux tridimensionnels Olectromagndtiques (isotropes).

Les 6quations de Maxwell r6gissent ces milieux. Elles font ressortir la dualit6 du champ progressif, qu'il est bon de traiter sous la forme d 'un vecteur d'6tat ; avec, dans le cas d'une onde plane :

- - composante 61ectrique E(x, t)_"1 8(x, p),

- - composante magn6tique H(x, t) "1 3E(x, p),

oh x est l'abscisse sur l'axe de propagation, orient6 de la gauche vers la droite, t le temps et "1 le symbole d 'une transformation de Laplace, partielle sur le temps : t ~ p. Ecrivons ce vecteur d'6tat sous forme de ket :

et d6nommons-le vecteur champ. Les 6quations de Maxwell d6crivent alors :

la relation entre composantes de [C>

b (1 a) - - 3C + r162 ~- 0,

bx

- - l '6quation de propagation du vecteur d'6tat :

[2, p;] o > oh l0 > est le vecteur nul ; c la c616rit6 : r c z = I.

La solution g6n6rale est :

(2) 8(x, p ) = ~ t (p ) e - . ~ l ~ + ~ ( p ) e"~l ~, 3E(x, p) = [A(p) e -vxlc - - ~B(p) e2pXlc]l Z,

avec Z : ~/~-~Zo[eeo, l'imp6dance 61ectromagn6tique. L'inversion du signe relatif au terme exp(px/c)jouera un grand r61e : elle traduit le changement de tri6dre direct (xEH) associ6 it une inversion du sens de propagation.

2.1.1.2. Milieux tridimensionnels acoustiques (iso- tropes).

De tels milieux ob6issent it l '6quation de Helmoltz- Laplace. Le vecteur d'6tat I C > comprend maintenant une composante pression et une composante vitesse. On obtient alors une relation entre composantes ainsi qu'une 6quation de propagation du vecteur d'6tat qui, en tous points, s'av~rent semblables aux pr6c6dentes. La solution g6n6rale est donc du type (2).

La cause physique de l'inversion des signes des termes exp(+ px/c) r6side maintenant dans le chan- gemen t de signe des vitesses, li6 au changement du sens de propagation. Ce dernier, par contre, ne con- cerne pas les pressions.

2.1.1 3. Lignes dlectriques.

C'est l '6quation des t616graphistes (darts sa version sans pertes) qui r6git un vecteur d'6tat ]C > form6 d'une composante tension et d 'une composante courant. Relation entre composantes et 6quation de propagation du vecteur d'6tat sont identiques h celles (1) de Maxwell : nous obtenons encore une fois une solution g6n6rale de type (2).

L'inversion de signe a ici pour cause physique le fait que l'axe (inversible) de propagation, l 'axe verti- cal des tensions (invariant) et le vecteur rotation associ6 au courant de boucle forment un tri6dre direct.

2.1.1.4. Lignes acoustiques.

On montrerait de m~me que, sous r6serve de res- pecter la dualit6 de la grandeur progressive, le vecteur d'6tat repr6sentant cette derni~re s'inscrit dans la solution g6n6rale (2). Le cadre unique que nous avons constitu6 est ainsi parfaitement susceptible d'accueillir les guides sonores, les lignes h retard h ultrasons, etc.

2.1.2. Segments homog~nes.

Ces segments - - feuillets plans ou tron~ons de lignes - - sont caract6ris6s (Fig. 2) par :

- - leur imp6dance Z,

- - leur longueur (ou 6paisseur) d ; mesur6e entre points de r6f6rence E (entr6e) et S (sortie),

- - leur c616rit6 c.

Une grandeur associ6e, tr6s utile, est leur temps de transit,

(3) �9 = die.

Elle pr6sente l 'avantage de r6sumer l'influence des deux pr6c6dentes.

ANN. T~L~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980 4/23

G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS 203

d _A

b

FIG. 2. - - Segments homog6nes. a) trongon de ligne, b) feuillet plan.

Homogeneous segments. a) line section, b) plane sheet.

2.1.2.1. Vecteur hybride.

Le choix de la nature physique du segment 6tant indiff6rent pour l'6tude analytique, convenons de traiter - - par exemple - - un feuillet 61ectromagn6tique. La solution g6n6rale pour la propagation du vecteur champ [C > est alors d6crite par le groupe (2).

a) S'agissant d'exprimer la travers6e du feuillet, de x ~ x + d, il est bien connu que la formulation est fortement simplifi6e par l'emploi d 'un nouveau vecteur I U > compos6 ainsi �9

(4) I u > + - - Z 3 s "

D6nommons [U > le vecteur hybride. On tire alors de (2) la relation de transfert entr6e-sortie :

[U>(x+.) = D tU >(x), (5 a)

avec

U~ (5 b) D : . ep-r

Cette matrice hybride, diagonale, est d6termin6e par le seul temps de transit v -- d[c.

b) L'interpr6tation est ainsi tr6s simple : 6tant donn6 que,

exp{• p-r} I" 8(t • ~:) (distribution de Dirac),

on voit que :

- - la composante (g + Z3E) se propage vers la droite, traversant le feuillet darts un temps -r ;

- - la composante (g - - Z JE) se propage ind6pen- damment vers la gauche avec un m~me temps de transit z.

c) I1 est important de noter que

(6) det O = 1,

ce qui traduit l'invariance 6nerg6tique : il ne peut y avoir, ni perte, ni amplification h la travers6e du feuillet qui, par hypoth6se, est passif et non dissipatif.

2.1.2.2. Matriee de transfert.

a) Le passage du vecteur champ [C > au vecteur hybride I U > se traduit par la relation matricielle,

(7a) ] C > : Q I U > ou [ u > = Q-1 If>, avec, d'apr6s ce qui pr6c~de, (4) :

b) I1 est alors ais6 d'exprimer la travms6e du feuillet par le vecteur champ lui-m~me, sous la forme :

(8 ) ]C >,~+,,, = T I C > , , , , ,

off la matrice T vaut, cf. (5 a), (7 a) :

(9a) T : QDQ -1,

soit, explicitement :

_[-c~ p-r Z p-r - - Z p-r sinh p v ]

(9 b) T : l - - sinh cosh

Cette matrice carr6e T sera d6nomm6e matrice de transfert du feuillet. Elle d6pend des deux grandeurs caract6ristiques de ce dernier : son imp6dance Z et son temps de transit z.

2.1.2.3. Remarques utiles.

a) I1 est 6vident, cf. (9 a) que exp(• pz) sont les deux valeurs propres de la matrice de transfert T, et sont inverses l'une de l'autre. I1 en r6sulte imm6dia- tement que :

(10) det T : 1.

b) Les vecteurs propres ]C >~ correspondant aux valeurs propres pr6c6dentes sont proportionnels ~t :

(11)

e - ' " - - > I f > _ = , e + " - - - > ] C > + = .

c) I1 est h noter que

(12) lim T : I (matrice unitS). p ~ o

Ceci correspond physiquement ~. une transparence totale ; aussi bien que pour -r --> 0.

d) Les termes diagonaux de T (et donc sa trace) sont pairs en p ; de plus, ils sont identiques. Les termes transverses sont impairs.

e) Un changement de signe de la fr6quence complexe p a ainsi pour cons6quences :

,; T _ + T - I ,

p - + - - p ~ ) D-+ D -1,

e - p ~ ~ enL

II correspond donc au changement de sens de propagation.

2 . 2 . M u l t i p l e t s .

2.2 .1 . Structure.

2.2.1.1. Nous d6nommerons multiplet un motif 616mentaire constitu6 de M segments homog6nes

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4

204 6 . BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS

juxtapos6s. Chacun de ces segments est d6crit par trois des grandeurs suivantes :

- - son imp6dance Zm (m = 1 ~t M),

- - s a dimension longitudinale dz ,

- - sa c616rit6 Cm,

- - son temps de transit "rm = d ~ / c ~ .

Un tel multiplet est destin6 h ~tre r6pdt6 N fois pa r juxtaposi t ion pour const i tuer le milieu it6ratif 6tudi6, lequel p rendra le n o m de : ~chelle de N (Fig. 3).

V ~ / / . A % - t ~ . . . . . . . . . . . . . J. . . . . . . . . . . . . . . : 11 m M '. , :

multiplet 1 multiplet 2 multiplet 3

FIG. 3. - - Sch6matisation des multiplets et des milieux it6ratifs.

(Chaque multiplet est constitu6 de M segments homog~nes juxtapos6s.)

Schematic o f multiplets and iterative media. (Each multiplet consists o f M adjacent homogeneous segments).

2.2.1.2. A la t ransi t ion entre les segments m et rn q- 1 d ' un multiplet , on note :

- - l a continuit6 des composan tes tangentielles et 3E du champ (*).

- - la discontinuit6 de l ' imp6dance : Zm # Z z + ~ ,

- - le vecteur c h a m p ]C > = [g, 3E > est cont inu dans la transit ion m --> m q- 1,

- - par contre, le vecteur hybride [8 -4- Z J E > est discontinu et ne peut ~tre utilis6.

La cons6quence en est l ' emploi oblig6 des matrices de transfert T~ de chaque segment m pour expr imer la relation de p ropaga t ion entre l 'entr6e E et la sortie S d ' un mult iplet ; ce qui donne

(13) I C > s = T I C > E ,

avec

(14) T = TMTM-~ ... T z ... TzT~ ,

qui est la matr ice de t ransfert du multiplet.

2 . 2 , 2 . M a t r i e e d e t r a n s f e r t .

Soit t u l'616ment de matrice, d6termin6 par le calcul (14) pr6c6dent :

T = [t11 t 1 2 ] .

[t21 t22J

(*) Cette continuit6 concerne aussi : en acoustique, les pressions scalaires et les vecteurs vitesse ; pour les lignes 61ec- triques la tension et le courant de boucle ; donc les vecteurs d'6tat envisag6s pr6c6demment.

Pour faciliter le ra isonnement , nous altons chercher r6crire cette matr ice de t ransfert sous une forme

classique, ind6pendante de la structure du multiplet.

2.2.2.1. Valeurs propres .

a) On a vu, cf. (10), que det T m = 1 ; il en r6sulte pour le multiplet, cf. (14), que :

(15) det T = 1.

b) Par cons6quent, le produi t des valeurs propres est k+k_ = det T =- 1.

Alors, en nous appuyan t sur le pr6c6dent cr66 par les segments homog~nes, constitutifs du multiplet (cf. w 2.1.2.3.) nous sommes conduits /t dcrire ces valeurs propres :

(16) Z_ = e -~ et Z+ = e +~,

oh e(p) est une certaine fonct ion de p ~t valeurs com- plexes, qui g6n6ralise l 'expression pZm propre aux segments homog~nes.

Nous d6nommerons ~(p) le f a c t e u r logarithmique.

c) La s o m m e des valeurs propres est 6gale /t la trace d 'une matrice. Ce qui, vu l 'expression pr6c6- dente, d6termine l '6quat ion de d6finition du facteur logari thmique cr :

(17) c o s h e = ~ t r T e = arcosh tr T

2.2.2.2. Vecteurs propres .

a) Cherchons les vec teurs -champ invariants 5. la travers6e du mult iplet ; il faut pour ceux-ci que,

TIc> = e ~

I1 en r&ulte que la pente de ces vecteurs propres,

3 = ~/~,

est 6galement un invar iant du multiplet. Cette quantit6 a les dimensions d 'une imp6dance ; nous la d6nom- merons impedance caractdrist ique du multiplet.

b) II y a deux valeurs propres e -+ ~, donc deux vecteurs propres associ6s, I C > ~ . En p ro longean t ~ dessein l '6criture (11) des vecteurs propres d 'un segment homog6ne, nous prendrons pour le mult iplet des vecteurs propres propor t ionnels h :

(18)

avec deux imp6dances caract6ristiques diff~rentes, donn6es par,

(19) 5 - @ ) = (~ /Je )_ = [e - ~ - r 5+(P) = ( - - ~/;~)+ = [62 - - e~]/t2~ �9

2.2.2.3. Vecteur hybride.

a) L 'express ion (18) des vecteurs propres permet de passer dans la base ofa la matr ice de t ransfert devient une matr ice diagonale D. La matr ice des

ANN. TEL~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980 6/23

G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS 2 0 5

modes ayant pour inverse, 6tant donn6 (18) :

l=[l on obtient, dans la nouvelle base, le vecteur hybride.

(21) I U > = Q-~Ic> soit Iv> = [8 8 + 3+ 1 - - 5_Jel

b) La matrice diagonale qui intervient dans la travers6e du champ hybride,

[ U > s = D I U > E ,

est 6videmment,

2.2.2.4. Interprdtations physiques. a) Par comparaison avec le comportement d 'un

segment homog~ne (w 2.1.2.1. b), on volt que :

- - e -~ traduit la propagation vers la droite (entr6e --> sortie) de la composante (~; + 5+3~) du vecteur hybride ;

- - e +~ traduit la propagation vers la gauche (sortie -+ entr6e) de (g - - 5_/E) superpos6e/t la pr6- c6dente et ind6pendante de celle-ci.

b) Comparons l'6criture (18) adopt6e pour les vecteurs propres associ6s aux deux directions de propagation avec celle (11) relative aux vecteurs propres d 'un segment homog6ne. On en d6duit que,

- - 5 - est l'imp6dance caract6ristique associ6e la propagation vers la droite ;

- - 3+ est celle attach6e /t la propagation vers la gauche.

2.2.2.5. Matrice de transfert.

Revenons 5. la matrice de transfert par la relation de diagonalisation,

T = Q D Q -~.

Q-1 et D 6tant exprim6es respectivement par (20) et (22); nous obtenons ainsi la forme canonique recherch6e de la matrice de transfert d 'un multiplet ; soit :

(23)

1 T ( p ) - - •

5 + + 3 -

[3+ - - 3-] sinh (r

- - 2 sinh ~ [3+ 4- 3-] c o s h . - - [3+ - - 3-] sinh (r

Cette forme canonique est ind6pendante de la structure du multiplet. Elle est enti6rement d6termin6e d6s lors que sont calcul6es les quantit6s :

- - f a c t e u r logarithmique ~, par l '6quation (17);

- - imp6dances caract6ristiques 3- et 3+ , par les relations (19).

2.2.3. Analogie 61ectrique.

I1 est frappant de le constater : la forme canonique est d 'une morphologie identique/t celle de la matrice de transfert d 'un filtre en 6chelle constitu6 de cellules en T ou en F1 it6r6es [13].

a) Effectivement, il est facile d'introduire une analogie formelle entre un multiplet et, par exemple, la cellule en T de la figure 4, en posant :

(24 a)

i cosh~ = 1 + (Z1 + Z3)/2 Z 2 ,

;5- = h/(Z1 + Z3) (Z~ + 4 Z2 + Z3) + (Zt- -Z3)] /2 , 1 I 5+ = k / ( Z ~ + Z 3 ) ( Z ~ + 4 Z 2 + Z 3 ) - - ( Z ~ - - Z 3 ) ] / 2 .

IE Is Zl Z3 .-.-t,.-

I UE Us

0 0

FIG. 4. - - Cellule en T associ6e ~. la matrice de transfert. T = [ Z2 + ( a --(Z1Z2 + Z2Z3 + Z3ZO] .

- - z~ + z~

T-Section associated with transfer matrix.

b) R6ciproquement, la cellule en T 6quivalente /t un multiplet donn6 a pour 616ments constitutifs :

Z1 = [(5+ + 5 - ) tanh (r/2 -~ (5+ - - 5_)]/2,

(24 b) Z2 = (5+ + 5_)/2 sinh a,

Z3 = [(3+ + 5 - ) tanh ~/2 + (5+ - - 5-)]/2.

c) On notera qu'une telle analogie impose des imp6dances 61ectriques Z1 , Zz et Z3 qui soient des fonctions donn6es de p. Ces 616ments ne sont done pas, en g6n6ral, physiquement r6alisables ; sauf d'une mani6re approch6e.

En particulier, une analogie entre des circuits ~. param~tres localis6s (cellule en T) et des 616ments ~t param~tres r6partis ne saurait ~tre totale : nous verrons plus loin que les milieux r6partis poss~dent un comportement p6riodique en fr6quence : l'assimi- lation ne peut donc ~tre assur6e qu'h l'int6rieur d 'une bande de fr6quences limit6e.

2.2.4. Multiplets sym6triques.

La sym6trie apporte une grande simplification dans la description d'un multiplet. L'hypoth6se est que ce motif contienne un nombre impair M = 2 J - - 1 de segments et que les caract6ristiques de ceux-ci se retrouvent sym6triquement autour de l'616ment cen- tral m : J. Done "rs+ k = ":s-k ; Zj+k = Z j - k , etc. Darts ces conditions, les deux imp6dances caract6- ristiques, relatives aux deux sens de parcours, sont n6cessairement les m~mes.

Soit 5c leur expression commune :

(25a) 3r - - 3 + ~ 3 - �9

7/23 ANN. TI~LI~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980

206 G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS

I I e n r6sulte que :

a) La forme canonique (23) de la matrice de transfert devient :

[cosh ~r - - 5r sinh a] (26) T(p) = [ - - ( s inh ~r)15~ cosh a] "

Notablement plus simple que dans le cas gdn6ral, cette matrice est ddcrite par deux quantitds seule- ment : ~ e t S r

b) Les deux 61dments diagonaux sont dgaux et les transversaux ddterminent directement 5r :

(25 b) 5r = ~/t~2-2/tz, �9

c) La cellule en T 6quivalente de la figure 4 est symdtrique, d'dldments, cf. (24 b) :

I ZI ~ Z3 = 5~ tanh ~[2, (27)

Z2 = 5dsinh ~r.

2 . 2 . 5 . A p p r o x i m a t i o n s e n b a s s e f r 6 q u e n c e .

Nous ferons appel / t u n e propri6t6 connue de la transformation de Laplace, ~t savoir : sous cer- taines conditions, tr6s gdn6rales, le comportement d 'une fonction pour t ---> oo est ddcrit par le compor- tement de son image de Laplace pour p ---> 0.

Nous disposons ainsi d 'un moyen tr6s simple pour acc6der au transfert des signaux lentement variables (/t l'6chelle des temps de transit -r, de chaque segment) : il suffit de faire tendre vers zdro la fr6- quence complexe p dans les 616ments descriptifs a(p) et 5• de la matrice de transfert T. Ce sera l'approximation BF (basses fr6quences).

2.2.5.1. Facteur logarithmique a(p).

a) On a vu, w 2.1.2.3., qu'un changement de signe de la frdquence complexe p correspond au changement du sens de propagation. I1 se traduit par l'inversion T m - + TT, ~ des matrices de transfert de chaque segment et par une permutation de leurs valeurs propres.

b) Concernant un multiplet, le respect de la corres- pondance entre changements du signe de p et du sens de propagation exige l'inversion simultan6e de la matrice de transfert d'ensemble :

(28 a) p -->-- p ~ T---> T -x.

La cons6quence en est une inversion des valeurs propres ; ou encore, puisque det T ---- 1, une permu- tation de ces grandeurs :

(28 b) p - + - - p => e -~ -+ e ~.

b) I1 en r6sulte que le facteur logarithmique a(p) est ndcessairement une fonction impaire de p. Nous pouvons donc prendre comme approximation BF, limitde au second ordre :

(29) ~(p) = ~p § 0[p3],

off :

- - ~ est une certaine constante r6elle, de la dimen-

sion d'un temps. Pour cette raison et afin &assurer la continuitd avec un segment homog6ne (a = p%,), on prendra ~ positif,

- - 0 [ p 3] est un reste, de l 'ordre de p3 qui sera n6glig6.

d) II en r6sulte que la matrice hybride (22) a pour approximation BY :

/3(p) = e" r § 0[p 3]I.

Nous constatons ainsi, par comparaison avec un segment homogene, cf. (5 b) :

Rbgle 1 : Le comportement dominant d'un multiplet l'dgard des signaux lentement variables est un

retard de transmission ~.

Pour cette raison, ~ sera d6nomm6 << temps de trnasit BF >> du multiplet.

2.2.5.2. Impddances caractHistiques.

a) La matrice de transfert T r6sulte, cf. (14), du produit de M matrices dont nous savons (w 2.1.2.3. d) que :

- - les termes diagonaux sont pairs,

- - les termes transverses sont impairs.

La matrice-produit T conserve donc cette propridt6.

b) Sachant que ~(p) est impaire, la consid6ration de l'616ment impair t21 dans la forme canonique (23) de T montre que (5+ § 5 - ) est une fonction paire.

c) Cela dit, la considdration de l'616ment pair tl~ d6montre que (5+ - - 5 - ) est par contre une fonction impaire.

d) Pour concilier ces deux exigences, il est donc n6cessaire qu'il existe entre les deux imp6dances la relation :

(30) 5 - ( - - P ) = 5+(P).

Ce qui am6ne h prendre comme approximation nF, au second ordre :

(31) 5• = Zc • A p + 0[p2],

off Zr et A sont deux constantes ; 5~ symbolise les deux imp6dances caract6ristiques 5+ et 5 - �9

e) Nous aurions abouti ~t la meme conclusion (30) en consid6rant directement l'expression analytique (19) des deux imp6dances caract6ristiques. Dans cette meme expression, on rappelle que c'est - - par exemple - - l'imp6dance 3- = [g/JE]_ qui est associ6e ~t la propagation vers la droite du vecteur propre I C > _ . Faisons alors tendre p vers z6ro dans (31). Compte tenu de l 'orientation du tri6dre dlectromagndtique, nous voyons que la limite Zc est un nombre r6el et positif. De fait, Z, a la dimension d'une r6sistance alors que A a celle d'une inductance.

2.2.5.3. Multiplets sym~triques en BF.

a) Rien n'est chang6 pour le facteur logarithmique a(p), qui conserve l 'approximation (29).

ANN. TI~LI~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980 8/23

G. BONNE1Z - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS 207

b) On a vu que la sym6trie a pour effet d'6galer les imp6dances caract4ristiques, lesquelles ont alors pour va!eur commune (25 b) :

5o(p) = , , ' ~ ,

Etant donn6 la parit6 des deux 616ments de matrice transverses, 5alP) est maintenant une fonction paire. Son d4veloppement de second ordre devient ainsi :

5c(P) = Z~ + 0[p2].

Ce qui 6quivaut fi prendre A = 0 dans (31).

2.2.6. La matrice de transfert dans l'approximation aF.

2.2.6.1. Nous reprenons la forme canonique (23). D4veloppons maintenant les 416ments de T(p) jusqu 'au second ordre, en utilisant les d6veloppements du m4me ordre de ~ et ,3• ; soit, respectivement (29) et (31). Nous obtenons :

(32) "F(p)

= [l+(~z-}-ZA~/Z~)pZ]2 - - Zr ]

- - ~p/Z~ 1 + (~2--2/~ ~/Z~)p2/2] "

Cette matrice T constitue l'approximation BE de la matrice de transfert T d 'un multiplet (si le multiplet e3t sym6trique, alors A = 0). On v6rifie que det ~ -- 1 + 0[p4], ce qui 6tait une n6cessit6.

b) Inversement, si l 'on connait les d6veloppements de second ordre, t u , des 616merits d 'une matrice de transfert, on peut en tirer imm4diatement les valeur~ des 616ments ~v du multiplet concern& Soit :

1 - - temps de transit �9 ~ P (t~zt2~,

- - imp6dance caract6ristique : ~ -

�9 terme fondamental : Zo ~/t~Z[~R~, �9 terme de dissym6trie :

A = (tll - - t22) Zc/2~P 2.

c) D6veloppons jusqu'au second ordre les 616ments de la matrice de transfert d 'un segment homog6ne, explicit6e par (9 b). Nous obtenons une matrice d'approximation BF identique ~ celle repr6sent6e par (32), sous r6serve d'y poser :

- - ~ = v, temps de transit stricto sensu du segment homog6ne,

- - Zr = Z, imp6dance du milieu constituant,

- - A = 0, ce qui est une n6cessit6 logique, puis- qu 'un segment homog6r, e ne pr6sente aucune dis- sym4trie.

2 .3 . A n a l o g i e 61ectrique en BF : l i g n e s h re tard .

Nous nous proposons de rechercher la cellule 61ectrique de la figure 4, qu'on peut associer / t u n multiplet quelconque. Mais cette 6quivalence sera limit6e iei au seul domaine des basses fr6quence3 (signaux lentement variables).

2.3.1. Cellule L C 4quivalente.

Les formules (24 b) donnent les trois imp6dances d'une cellule 61ectrique 6quivalente ~t un multiplet en utilisant les grandeurs ~(p) et 5• Les approxi- mations BF de ces quantit4s - - respectivement (29) et (31) - - nous conduisent alors fi un 616ment r6actif LC dont les constituants sont :

I Z, = L , p �9 L~ = ~ Z r A,

(33) Z2 = l[Cp �9 C = ~[Zr

Z3 = L2p �9 L: = ~Zd2 + A.

Cette cellule en T, 6quivalence BE d'un multiplet, est repr6sent4e figure 5. Notons qu'elle devient sym6- trique lorsque le multiplet l'est 6galement (A = 0).

L~ L~

0

FXG. 5. Equivalence basse fr6quence d'un multiplet. Low frequency equivalence of a multiplet.

2.3.2. Lignes h retard.

2.3.2.1. Gr~tce ~t cette analogie, nous pouvons entrevoir, d6s ce stade, la possibilit6 de former des lignes A retard en it6rant des multiplets bout h bout. I1 est en effet bien connu qu'on r6alise de~ lignes retard 61ectriques au moyen de filtres en 6chelle dont l'616ment de base est justement la cellule LC de la figure 5.

2.3.2.2. La th6orie des filtres 61ectriques [13] attribue A de telles 6chelles un retard 6gal, par cellule, h :

,~/(Zll + L2) C.

Cela nous conduit, si nous transposons ~ l'aide des relations (33), h affecter un retard 6gal /t ~ par multiplet. Ce qui est en parfait accord avec la r6gle l, 6tablie pr6c6demment, w 2.2.5.1.

2.3.3. Filtre passe-bas.

2.3.3.1. La th6orie des filtres indique 6galement que le quadripo!e LC se comporte comme un filtre passe-bas, caract~ris6 par une fr6quence de coupure,

vc = 11~ ~/(L, + L2)C.

2.3.3.2. Transposons cette propri6t6 par l'ana- logie ~F : les formules (33) indiquent alors qu'un multiplet se comporte comme un filtre passe-bas, dot~ d'une fr6quence de coupure BF :

(34) Vc : 1[7: ~.

2.3.3.3. II est indispensable de noter que l'analogie qui vient d'etre 6tablie n'est valable que pour les signaux lentement variables; doric occupant une bande de frgquences tr~s en degh de la fr6quence de coupure vc assign6e ~t un multiplet. Cette aria-

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208 G. BONNET. -- TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS

logie ne rend aucunement compte du compor t emen t des multiplets en haute frSquence : nous verrons plus loin qu ' i l s 'agi t en vSrit6 de filtres passe-bande p6rio- diques.

2.4. Effet de freinage.

Nous commencerons par traiter les deux exemples de multiplets les plus simples ; suffisants cependant pour mettre en 6vidence un phSnom6ne fondamenta l : l'effet de freinage. Ce phSnom6ne sera ensuite recher- chS dans le cas g6n6ral d ' u n multiplet quelconque.

2.4.1. Exemple I : le doublet ~l~mentaire.

Le doublet consti tue le mult iplet le plus simple qui soit (M = 2) : il est fo rms de 2 segments homog~nes d ' imp6dances respectives Z~ et Z2 et de temps de transit individuels %-1 et %-2 (Fig. 6).

' r , , Z, "ft. Z=

X

I ~ 2 W

Fro. 6. - - Doublets 616mentaires. -q, -r~ : temps de transit, Z1, Z z : imp6dances.

Elementary doublets. ~1, "r2 : transit times ; Z~ , Z~ : impedances.

2.4.1.1. Matrice de transfert.

On l 'obt ient en mult ipl iant les matrices relatives chaque segment, cf. (9 b) : T = T2 T1 �9 Les 61Sments

sont :

Z2 t t t ---- coshp%-2 cosh P%-2 + ~ sinhp%-~ sinhp%-2,

tt2 - - - - Z ~ sinhpz~ coshp%-2- Z2 coshp%-i sinhp%-2,

1 1 t21 - - ~ c o s h p % sinhp%-2 - - ~ sinhp%-i coshp%-2,

Z1 t22 = coshp%-~ coshp%-2 q- Z~2 sinhp%-i sinhp%-2 .

a) Utilisons le coefficient de r6flexion de Fresnel,

Z2 - - Z1 (35) rF -- Z2 + Z t ~ [ - 1, + 11.

Nous expr imons avec lui les const i tuants de la forme canonique ; ainsi :

(36) c o s h ~ = t r T =

coshp(%-~ + %-2) - - r 2 coshp(%-i - - %-2) 1 - - r z

b) Les imp6dances caract6ristiques 5 - et ;5+ sont

d6duites des relations (19). Elles ont une fo rme analyt ique t rop lourde pour Etre donn6e ici.

2.4.1.2. Approximation BF (2 e ordre).

a) Facteur logari thmique.

I1 a la forme (23) : (r(p) = ~p + 0[pS].

D 'of i : cosh cr = 1 + ~2p2/2 -[- 0[p4].

C o m p a r a n t alors avec le d6veloppement du m~me ordre de (36), nous obtenons le temps de transit :

: I / (%-1 -~ %'2) 2 - r2(% --%-2) 2 (37)

V 1 - - r 2

r (%-1z, + 2z2) (%-1z2 + %-2z1) Z1 Z2

b) ImpSdances caractSristiques.

On a selon (19), 5 - ---- (e -~ - - t22)Jt21,

avec e -~ = 1 - - ~p + (~212)p2 + 0[pS].

Un d6veloppement l imits du second ordre donne la forme (31) :

3• = Zo • Ap + 0[p2],

avec ici :

Z1%- -~ Z2%- 2 ( 3 8 a ) Z c ~- Z A / ~ I Z ~ V Z 1 % - 2 -}- Z2%-1,

- - z 2 ) (38 b) A =

2 (~IZ2 + %-2ZI)"

c) Segments isochrones (z2 = %-1).

Dans ce cas, les r6sultats pr6cSdents se simplifient consid6rablement pour donner :

2 %-1 (39) ~ - 41 - - r ~ - % [ 4 z ~ / ~ + ~ ] '

(40a) zo =

(40 b) A = %-1(Z2 - - Z1) /2 .

2.4.1.3. Effet de freinage.

La rbgle I du w 2.25.1. fait l '&at d ' un retard de transmission darts tout multiplet, h l '6gard des signaux lents. Pour le doublet (%-1, %-2), l 'expression de ce retard ~ est donn6e par (37). T rans fo rmons cette formule sous l 'aspect sans dimension d ' un coeffi- cient de freinage ~ :

. / 1 - - r2(%-1 --"i72)21(%- 1 -~- %-2) 2 (41) ~ - - - - - -

T1 "~ %-2 V 1 - r 2

Nous voyons que, dans t o u s l e s cas envisageables (/l l 'exclusion du cas trivial rF = 0) on a :

(42) 0~> 1 soit ~ > ' q + %-2-

C 'es t la premiSre manifesta t ion d ' u n effet de frei- nage, que nous g6n6raliserons ul t6rieurement auprSs d ' u n mult iplet quelconque.

2.4.2. Exemple II : le triplet sym6trique.

C'es t le cas ie plus simple de multiplet sym&rique ( J ---- 2, M ---- 3) avec �9 segment central d ' imp~dance

ANN. TI~Lt~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980 10/23

G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS 209

Z2 et temps de transit z2 ; segments marginaux identiques, d'imp6dance Z~ et temps de transit v d 2 (Fig. 7).

Z~ Z~ Z,

Z t Z a Z~ ~, ' "t'~ "r ~- T

FIG. 7. - - Triplets sym6triques, vJ2, v~ : temps de transit. Z z , Z l : imp6dances.

Symmetrical triplets. "q/2, x~ : transit times ; Z~, Z~ : impedances.

Si l 'on envisage une it&ation ult6rieure, ce triplet sym6trique sera doric l'6quivalent d 'un doublet (Z~ , Z2) affect6 des temps de transit -q et v2 (mis & part des effets d'extr6mit6 vite n6gligeables). Un tel triplet est done un mod61e pr6cieux pour une 6tude dyna- mique des syst6mes it6ratifs : il pr6sente en effet l'immense avantage d'assurer la continuit6 entre 616ments voisins lors de l'it6ration. Par suite, il n 'y aura aucune r6flexion /t la liaison entre triplets voisins.

2.4.2.1. Matrice de transfert.

C'est une matrice du type multiplet sym6trique, T = T t T 2 T ~ , dont la forme canonique est donn6e par (26). On trouve facilement l'expression des deux grandeurs descriptives a et 5~. Soit :

a) Facteur logarithmique. D&ermin6 par :

1 cosh p(za + z2)--r 2 coshp(v~ --v2) cosh cr = ~ tr T = 1 - - r 2

On a la m~me relation (36) que pour le doublet (Z , , -q ; Z~, Zz) pr6c6dent ; ce qui confirme l'analogie entre les deux 616ments.

b) Imp6dance caract6ristique. C'est la d6termination (25 b) :

5o(p) = ~ = z , x

/ s inhp(vt + v2) + 2rv sinhp'rz--rF 2 sinhp(v~ --v2) ~/ ~ + z 2 ~ 2 ~ 2 r v ~ s i n h p ( ' q - - ' r 2 ) "

2.4.2.2. Approximation BF de second ordre.

a) Facteur logarithmique :

= ~p 4- 0[pal, avec la m~me valeur du temps de retard ~ que celui (37) attach6 au doublet. Le facteur de freinage 0c a aussi la m~me valeur (41) que pour ce doublet 6quivalent.

b) Imp6dance caract6ristique :

C'est maintenant une fonction paire :

3o(p) = Zo + 0[p2].

On trouve, en d6veloppant l'expression de 5r

la m~me expression pour la constante Zr que celle (38 a) attach6e au doublet ; par contre, A = 0.

2.4.3. Cas g6n6ral : assoc iat ion de deux mult iplets .

Nous consid6rons deux multiplets quelconques :

- - le premier, A, d'ordre MA, est d6crit par sa matrice de transfert 7". ; elle-m~me caract6ris6e, cf. (23), par son facteur logarithmique ~.(p) et ses deux imp6dances caract6ristiques 5A+(p), 55(p),

- - le second, B, d'ordre MB : matrice de transfert TB.

a) Le probl~me pos6 est de d6terminer le multiplet AB, d'ordre (MA + MB) obtenu par association des pr6c6dents, B & droite de A. Ce qui revient /l d6crire la matrice de transfert TAn = TBTA �9 L'usage des formes canoniques (23) rend certes la solution analytique facilement accessible. Mais celle-ci s'av6re d'une lourdeur telle que toute interpr6tation simple en est impossible.

b) Nous sommes done amends & nous contenter, du moins dans cette premi6re &ape, d'une 6tude plus sommaire, limit6e h l'approximation BF de second ordre. I1 suffit, pour ce faire, d'utiliser les matrices approch6es du w 2.2.6., dans leur forme (32). Ce qui revient & faire intervenir une description limit6e ~ trois constantes fondamentales par multiplet :

- - temps de transit �9 ~a et ~B pour les multiplets ; tab pour leur r6w Ils sont tels que (29), l 'on ait (par exemple pour A) :

CrA = ~A P + 0[Pa].

impgdance caract&istique, d6crite par

�9 le terme fondamental : respectivement ZA, ZB et ZAB ,

�9 le terme de dissym6trie �9 AA, A B e t AAB et telle que, cf. (31) :

5~: = z . + A AP + 0[p2].

e) La matrice approch6e TAa = Talra obtenue par le produit de deux matrices de type (32) a pour 616ments :

5, = 1 + [~, + ~ + 2G,~,,z, dz,, + 2(A A~AIZA + /~,ZdZB)] P212,

t,~ = - (GZA + ~BZB)p,

t21 = - - ( ~ A / Z A -~- ~.lZ~)p, ~22 = 1 + [~2 + ~ + 2 ~A~BZB/ZA-

2(AA~A/ZA + AB~,/ZB)] pZl2.

Nous allons en d6duire tr6s simplement, par le proc6d6 6voqu6 au w 2.2.6., les trois constantes fonda- mentales du multiplet r6sultant AB.

2,4.3.1. Temps de transit ~ga �9

a) Nous avons ~AB = ~/~q2iza/P 2 , cf. w 2.2. b ; soit :

(43 a) ~.a = t/(~*Z* + ~BZB) (~.Za + ~BZ.) V ZAZ,

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210 G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS

Ce r6sultat g6n6ralise 5- une combinaison de deux multiplets quelconques la relation (37) de m~me forme relative 5- un simple doublet.

b) Si les deux multiplets constituants A et B sont isochrones i.e. tels que leurs temps de transit soient i den t iques (~A : ~B) on a, plus simplement :

(43 b) ~AB = ~A h/Z~A/ZB -k ~/ZBIZA].

e) Le temps de transit (43 a) peut s'exprimer sous la forme 6quivalente,

(43 e) ~AU = ~/(~A + ~a) 2 § ~A~.(ZA-- z.) lZ ZE. Ainsi, 6tant donn6 que ~A, ~ . , ZA et Za sont

des nombres positifs, le terme en ~A~S est positi f pour toute valeur de Z A I Z , (saul lorsque ZA = Zs : il pr6sente alors un minimum absolu, 6gal 5- z6ro). Nous en d6duisons la minoration,

(44) ~A, > ~g + ~," .

Ce r6sultat fondamental exprime l'effet de freinage, que nous 6tudierons en d6tail dans le prochain para- graphe. Nous notons d& 5- pr6sent que l'6galit6 pr6vue ne peut se produire que lorsque les multiplets consti- tuants sont adapt~s dans leurs imp6dances caract6- ristiques fondamentales : ZA = Z ,

2.4.3.2. Impkdanee earaet~ristique : terme fonda- mental ZAB.

a) Nous avons, cf. w 2.2.6., ZAB : 4t~-2//21 �9 D'ofi r6sulte, pour le multiplet AB,

/ Z . ~ . + Z.~. (45 a) ZAB = '~/ZAZT~ V Z ~ T ZB~A"

Ce r&ultat se conforme entiSrement 5. l'expression (38 a) concernant un doublet, qu'il g6n6ralise.

b) Si les multiplets constituants A et B sont iso- chrones (~A = ~B) cette formule se r6duit 5-

(45 b) Zna : x /ZAZ, .

e) Si les deux multiplets sont adapt& (ZA = Z~) on obtient

Z A . = Z A = Z . , V~A,V~..

2.4.3.3. Impkdanee earaetOristique : terme de dis- symdtrie A A. �9

a) Celui-ci est donn6 par (w 2.2. b) :

AAB : ZAB(tll - - tzz)l 2 ~A. p2.

Ce qui conduit 5-

~A~.(Z. ~ Z~)+2 (ZA~.A.+Z.~AAA) (46 a) A AB = 2 (ZA~a + Za~A)

b) Pour des multiptets A et B isochrones (~a = ~a) le terme de dissym6trie se r6duit 5- :

~A(ZB - - ZA) ( Z A A B -}- ZB A A) (46b) A A . : 2 + Z A + Z .

c) Pour des multip!ets adapt& (ZA : Z.) , on aurait :

~AAA -~- ~BAB (46 C) /X AB : ~A JU ~B

d) Enfin, si les multiplets constituants sont sym6- triques : AA : As : 0. On obtient alors,

~ A ~ B ( Z B - ZA) (46 d) A A, = 2 (~aZ, + ~BZA)"

Cette expression est identique ~ celle (38 b) qui concerne un simple doublet ; g6n6ralisation coh6rente, car chaque segment homog6ne du doublet est sym6- trique en sol.

2.4.4. Th6or~me fondamental sur i'effet de freinage.

2.4.4.1. G~ndration d'un multiplet.

a) Partons d 'un multiplet d 'ordre M, form6 par les segments homog6nes $1 , $2 ... S ~ , dont les temps de transit respectifs sont v l , Zz ..... vM_~, "~M- NOUS sommes en droit de consid6rer que ce multiplet r&ulte de l 'adjonction du segment homog+ne SM (temps de transit "~M) 5- droite du multiplet d 'ordre ( M - - 1) form6 par les autres segments Sa, S 2 ... S M_ 1 ; multiplet dont le temps de transit serait Tu_ ~ . Or, d 'apr& ce qui a 6t6 6tabli au w 2.2.6., un segment homogSne est l'6quivalent d 'un multiplet et les r6sul- tats du w 2.4.3. pr6c6dent s'appliquent 5- l'association envisag6e multiplet-segment, sans autre modification que les notations (~A = ~M-1 , ~B = 'TM)" Ainsi demeure enti~rement valable la minoration (44), laquelte s'applique ici au temps de transit ~M du multiplet 6tudi6 :

b) Cette minoration peut ~tre r6p6t6e de proche en proche et aboutit ainsi au r6sultat fondamental :

(47) ~M ~ "71 --~- "72 -~ "'" Jr- "~'M

e) D'aprSs ce qui a 6t6 vu, il existe un cas d'6galit6 : mais celui-ci exigerait que tousles segments du multi- plet poss6dent la m~me imp6dance. Nous excluons donc ce cas trivial off le multiplet 6quivaudrait en v6rit6 5- un segment unique et nous exprimons ce qui suit :

2.4.4.2. ThOorbme fondamental.

Lorsqu ' un nombre queleonque de segments homogbnes, dont les impkdances ne sont pas toutes identiques, sont aeeolOs pour former un multiplet :

a) les temps de transit des segments sont des grandeurs non-additives,

b) le temps de transit du multiplet rOsultant est toujours sup6rieur tl la somme des temps de transit individuels.

2.4.4.3. Corollaire.

Lorsqu'un nombre quelconque de multiplets (ou segments) sont assoei~s :

a) Si ees multiplets ne sont pas tous adaptOs dans

ANN. TI~L~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980 12/23

G. BONNET. -- TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS 21 1

leurs impOdances caractOristiques, leurs temps de transit sont des grandeurs non-additives et le temps de transit du multiplet rOsultant est sup6rieur tl la somme des temps de transit individuels.

b) Si ces multiplets sont tous adaptOs, le temps de transit global est la somme des temps de transit individuels.

N.B. - - Ce corollaire r6sulte imm6diatement de la relation (44), qu'il g6n6ralise.

2.4.4.4. Remarque importante.

L'effet de freinage, traduit par la minoration (47) constitue un phdnombne intrinsbque : son 6tiologie r&ide, on l 'a vu, dans la seule discontinuitd du milieu de transmission. C'est la raison pour laquelle on le rencontre d6j~t aupr6s d 'un simple doublet isol6 (w 2.4.1.3.). L'it6ration d'un doublet ou d 'un multi- plet, que nous consid6rerons ult6rieurement, aura pour seule cons6quence de faciliter la perception du ph6nom6ne, sans y jouer pour autant un quelconque r61e causal.

2.4.5. Faeteur de freinage.

2.4.5.1. Expression analytique.

a) Nous d6nommons facteur de freinage le rapport, toujours sup6rieur ~ l'unit6, entre le temps de transit d 'un multiplet et la somme des temps de transit de ses constituants, segments homog6nes ou multiplets,

(48) ~ = zl + z 2 + . . . + z ~ "

b) S'agissant de deux constituants, la formule (43 e) donne :

~ A ~ B ( Z A - Z B ) 2

(49) ~ = 1 + ( ~ . + ~.)2 Z a Z .

Cette expression est sym6trique en ~.[~. resp. ~a /~ . , rapport des temps de transit, aussi bien qu'en Z a [ Z . resp. ZB]Z . , rapport des imp6dances caract6- ristiques fondamentales des multiplets (ou des imp6- dances des milieux homog6nes, s'il s'agit de segments). Le facteur de freinage est represent6 par le r6seau de la figure 8. On constate que le ph6nom6ne est

Z t / Z f = 600

! , , , . . . . . . , , , , , , . . . . , , , J . . . . . " t ~ TI

1 10 100 1000

FIG. 8. - - Facteur de freinage ~ : influence des temps de transit. Slowing down factor o: : effect of transit times.

ressenti lorsque les temps de transit des constituants sont du m~me ordre de grandeur, avec cependant une latitude assez grande pour leur rapport.

2.4.5.2. Optimum de l'effet.

La recherche de l 'extremum dans l'effet de freinage est un probl6me de calcul des variations. On l 'obtient en annulant la variation

[ ~ - - ~ (~A + ~.)~], vis4t-vis des param6tres ~A et ~B �9 Ici, 0~ 2 joue le r61e de multiplicateur de Lagrange et ~AB est donnd par (43 c).

a) Le r&ultat du calcul est conforme h ce que sugg6re d6j~t la figure 8, soit :

Rbgle II. L'effet de freinage dans un doublet ou une association de deux multiplets est maximal lorsque les constituants sont isochrones : ~A = ~a.

b) La valeur maximale du facteur de freinage est :

1 (50 a) sup (~) ---- ~ [x/Z~fZBa -k ~/Za~A].

Une expression particuli6rement simple peut lui &re substitu6e en g6n6ralisant le concept de coeffi- cient de r6flexion, appliqu6 aux imp6dances caract6- ristiques fondamentales de deux multiplets ; doric en posant

rE = (ZB - - Z . ) I ( Z . + Z A .

On trouve alors,

(50 b) sup(s) = 1/~/1 - - r 2 .

L'6volution de sup (00 est trac6e figure 9 en mSme temps que le coefficient de r6flexion rE �9 On constate

0,5

r

Z a l Z I

; . . . . . . . . ,b ....... 16o ....... ,~oo

sup(~)

FIG. 9. - - Facteur de freinage maximal : influence des imp6dances.

Maximum slowing down factor : effect of impedances.

l ' importance que peut avoir l'effet de freinage lorsque le contraste d'imp6dance ZB[ZA est 61ev6 (rF # 1).

c) Pour un triplet ABA dont les 616ments extremes sont identiques, le calcul des variations montre que

13/23 A N N . Tt~L~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980

212 G . B O N N E T . - T R A N S M I S S I O N DES S I G N A U X . M I L I E U X D I S C O N T I N U S

seul intervient le rapport entre le temps de transit de l'616ment central et la somme des temps de transit des 616ments extremes. L'optimum est atteint lorsque ce rapport est 6gal /t 1 ; il poss6de alors la m~me valeur (50). Le triplet sym6trique, d6jh 6tudi6 w 2.4.2., constitue un cas particulier notoire.

d) Si le contraste d'imp6dance r6sulte du seul m6ca- nisme de contraste des c616rit6s, la formule (50 b) s'identifie /t celle donn6e dans [1] pour un tel cas particulier.

2.4.5.3. Remarque.

On peut s'&onner de ce que l'effet de freinage, ph~nom~ne fondamental et ~16mentaire des processus de propagation, soit pass6 presque inaperqu jusqu'~ ce jour : h peine 6voqu6 dans de rares 6tudes th6o- riques [I, 5, 6] et cela incompl6tement, il ne semble pas avoir 6t6 signal6 consciemment dans aucun des innombrables travaux exp6rimentaux consacr6s aux milieux discontinus : par exemple g6ophysique, biologie, etc.

En v6rit6, il faut bien consid6rer que l'effet de freinage demeure imperceptible si deux conditions ne sont pas r6unies simultan6ment, qui sont �9

a) un contraste d'imp6dance anormalement 61ev6. Si le rapport Za[Zn demeure proche de l'unit6 (Za[ZA = 1 + O, la formule (50 a) montre que le ph6nom6ne de freinage est un effet de second ordre (0~ = 1 + &/8). D'apr6s cette m~me formule, ou encore la figure 9, il faut atteindre Za]ZA > 2, &Off sup (00 > 1,06 pour que l'effet de freinage sorte nettement de l'inter- valle de confiance des c616rit6s exp6rimentales ; il faut ZalZA > 10 pour que cet effet devienne specta- culaire (sup (00 > 1,74).

b) le recours ~ des signaux tr6s lentement variables, ~. l'6chelle des temps de transit des constituants. Nous savons en effet que l'effet de freinage s'explique partir de l 'approximation basse fr6quence. D6s lors que l 'on sort de cette approximation, le comportement principal d'une matrice de transfert devient tout autre que celui d'une matrice de retard et l'effet de freinage fait place h d'autres ph6nom6nes, en particulier d'affaiblissement et de distorsion des signaux.

e) L'6tude qui sera entreprise au w 2.5. va cependant montrer que cette derni6re restriction (signaux len- tement variables) peut-&re fortement adoucie. Notons d'ores et d~j/t qu'il peut lui ~tre substitu6e la condition suivante : recours /~ des signaux de spectres 6troits (/t l'6chelle de l'inverse 1]~ des temps de transit) centr6s sur une famille de fr6quences porteuses privil6gi6es, y compris la fr6quence nulle de la condi- tion pr~c6dente.

2.4.6. Les trois param~tres fondamentaux d'un multiplet.

2.4.6.1. Matrice de transfert approchOe.

a) Consid6rons un multiplet constitu6 de M seg- ments homog6nes de param~tres (Vm, Zm). La matrice de transfert Tm de chaque segment est d6crite par

(9 b) ; elle devient, dans l'approximation BE de second ordre,

- - ~mlZm 1 + p 2 Z~I2 "

b) Si l 'on calcule, dans l 'approximation du m~me ordre, la matrice de transfert ~ du multiplet, soit :

on obtient sans peine les 616ments de matrice suivants �9

Zk ~(-1) __ ( 5 2 a ) i , , = 1 + p 2 Z ZkZm (k m),

k , m = l Z -m

M

(52 b) ?,z = - - P Y~ "TmZm , /71=1

M

(52 c) [21 = - - p ~ ~ m / Z m , m = l

M Z~ (52d) t2z = 1 + p 2 ~ ~ZkZm 3(-1) (m - k) ,

k , m = 1

off 3(-1)(x) est la fonetion unit~ de Heaviside d6finie par �9

i 1, x > 0 ,

3(-~)(x) = 1/2, x = 0,

O, x < 0 .

c) I1 est n6cessaire que la matrice obtenue corres- ponde h l'approximation de second ordre d'une matrice canonique, telle qu'elle est d6crite par (32). L'identification entre ces deux repr6sentations va ainsi nous permettre de d6terminer les trois param6tres fondamentaux d 'un multiplet : son temps de transit ~, d'une part, le terme fondamental Zr et le terme de dissym&rie A de son imp6dance caract6ristique, d'autre part.

2.4.6.2. Temps de transit ~.

a) On a, cf. (32),

p2~2 = ~lz~zl �9

Ce qui fournit l ' important r6sultat :

(53)

M M M

~2 = :E ZkzmZdZm ~- ( Z ZmZm) ( Z ~mlZm) k , m = 1 m= 1 m= 1

L'expression (37) du temps de transit d 'un doublet constitue un cas particulier de cette formule.

b) R6crivons ceci sous la focme,

M

k i n = 1

soit M '* ( Z k - Zm) 2

~2 = ( Z ~,,Y + Z "~m. m=l k,m=l 2 ZkZm

I1 en r6sulte que ~ > (vl + "% + ... + zM). Ce r6sultat est une nouvelle d6monstration de l'effet de

ANN. TELECOMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980 14/23

G. BONNEI'. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONrlNUS 213

freinage et fournit en outre l'expression du facteur de freinage d 'un multiplet, cf. (48) �9

(54) / M M M

oc = ~]Z Zm = V (m:' y ' zmZ~) (~=,5', ,rm/Zm)l(m=,Z T i n ) 2 �9

Cela g6ndralise l'expression (49) relative /t deux constituants.

2.4.6.3. Impddance caractdristique mental Z~.

a) On a, cf. (32),

Z 2 --- t 1 2 / [ 2 1 :~

ce qui donne ici :

" terme fonda-

(55) , , , , , , , , I

Zc2 = ( m = t ' ~ TmZm)l(m=lZ "~,.IZ,.) ]. L'expression (38 a) relative / t u n doublet est un cas particulim de cette formule.

b) Notons les deux propri6t6s simples :

M

(56 a) ~ Z ~ - Z "~mZm, m = l

M

(56 b) ~lZc = Z "~mlZm . m=l

2.4.6.4. Impddance caractdristique : terme de dis- symdtrie.

a) On tire de (32),

A P 2 = [ t l l - - t 2 2 ] z d 2 ~.

D'oh, compte-tenu de (56 b),

(57)

M M

A = [ E sgn ( k - - m ) %'rm ZJZ,,]][2 E %lZm] k,m= l m = l

off sgn(x) est la fonction signe d6finie par :

1, x > 0 ,

sgn(x) = 2 8 ( - 1 ~ ( x ) - - 1 =~. 0, x = 0 ,

i - - 1 , x < 0 .

b) L'expression (38 b), 6tablie/~ propos d 'un doublet, est un cas particulier de la formule g6n&ale (57).

2.4.6.5. Rbgle de permutation.

Des expressions (53) et (55) de ~2 et Z ~ , nous d6duisons immddiatement une propri&6 remarquable :

Rbgle I I L L e temps de transit ~ et le terme fonda- mental Zr de l'impddance caractkristique d'un multiplet quelconque ont une valeur inddpendante de l'ordre dans lequel sont juxtaposds les segments homogbnes constitu- tifs.

a) Deux multiplets qui diff&ent uniquement par une permutation de leurs segments sont donc 6quiva- lents, dans l'approximation des signaux de bande

&roite, pour ce qui concerne les param&res de tran- sit ~ et d'imp6dance Zc . Par contre, le terme de dissymdtrie A de l'imp6dance caract6ristique d6pend directement de l'ordonnance des segments, cf. (57).

b) C'est ainsi que le triplet et le doublet du w 2.4. d6notent bien les m~mes valeurs de ~ et de Zc ; mais ils diff6rent par A (nul dans le premier exemple).

c) Une partie de la rOgle III poss~de une caution exp6rimentale, pour ce qui concerne le temps de transit ~ de multiplets ~ deux constituants.

En effet, J. Morlet et M. Guery [16] ont observ6, dans des sdries argilo-sableuses, que le temps de transit conservait la m~me valeur ~ si, dans le calcul d 'un film synthdtique, l'ordre des segments 6tait modifi6 jusqu'~t former un doublet.

Par contre, aucun effet de ce genre ne semble avoir 6t6 signal6 concernant l'invariance de l'imp6- dance caract6ristique Zc.

2.5. R6gime stationnaire monochromatique.

On s'int6resse maintenant/~ un r6gime stationnaire pour lequel le vecteur d'6tat est monochromatique,/t la frdquence v ; par exemple, en 61ectromagn&isme,

Ic > = [e(x, e 2r:lvt [h(x, v)

La transformation de Fourier se substitue alors ~t la transformation de Laplace pour ddcrire les 6quations d'6tat (1) et la solution g6n6rale (2). La seule diffd- rence - - en dehors de l'6criture e(x, v), h(x, v) - -

consiste fi y op6rer la substitution,

p = 2rriv.

Une telle r6gle de substitution s'applique donc ~t toute grandeur issue de la solution g6ndrale, pour passer fi son expression en rdgime monochromatique. Ceci concerne en particulier les matrices de transfert.

2.5.1. P6riodicit&

2.5.1.1. Matrices de transfert.

a) La matrice Tm du segment homog6ne m (temps de transit Zm, imp6dance Zm) s'obtient fi partir de son expression opdrationnelle (9 b). La substitution p = 2 r: i v y transforme les fonctions hyperboliques en trigonom&riques, ce qui donne :

cos 2n VVm - - i Zmsin 2 r: V'rm[ (58) T m = - - i

Z~m sin 2n v'r m cos 2 r~ VZm

Les valeurs propres deviennent ainsi exp [ • 2 rci VZm].

Elles traduisent le d6phasage subi par l'onde mono- chromatique droite (--) ou gauche (§ dans la tra- vers6e du segment.

b) La matrice de transfert 7",, d 'un multiplet poss~de (w 2.2:2.2.) les valeurs propres exp[• ~(p)] qui tra-

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214 G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS

duisent la pond6ration complexe subie par les vecteurs propres op6rationnels it la travers6e du multiplet.

S'agissant maintenant d 'un r6gime stationnaire dans des milieux non dissipatifs, la recherche d 'un transfert non 6vanescent impose une pond6ration unitaire sur les vecteurs propres monochromatiques. I1 faut donc :

[exp {a(2ni4)} l = 1.

D'o/l r6sulte que le facteur logarithmique a est ima- ginaire pur en r6gime monochromatique ; ce qui nous incite it poser :

(59) ~r(2 vr i u) = i qff4).

Les valeurs propres de T sont doric maintenant exp ( ~ i q~}. Ainsi, la grandeur sans dimension 9(4) repr6sente-t-elle l'angle de d6phasage provoqu6 par la travers6e du multiplet ; g6n6ralisant ainsi le d6pha- sage 2=v'rm d'un segment homo#ne.

c) La forme canonique de la matrice de transfert en r6gime stationnaire s'obtient h partir de l'expression op6rationnelle (23), compte-tenu de la nouvelle structure de a.

Ce qui donne,

1

(60) T ~ - - 3 + + 3 - •

[ (3+ +3_) cos q~+i (3+--3_) sin q~ --2i3+3_sin q~]

- - 2 i sin~ (3++3- ) cos ~-- i (3+--3_) s ina i '

oO T~ est une 6criture condens6e pour T(2r:iv). Par ailleurs, 3• traduit les deux imp6dances caract6- ristiques du multiplet dans la repr6sentation-fr6quence : ce sont, cf. (18), les pentes des vecteurs propres mono- chromatiques ]C >• associ6s it la fr6quence 4.

d) Puisque ~ = i q~ est imaginaire pur et que la forme canonique prend la structure pr6c6dente, on d6terminera la quantit6 q~(4) par l'6quation :

1 I [ ( 1 ) I (61) c o s q ~ = ~ t r T ~ o/1 q~=arccos ~trT~

laquelle se substitue ~ l'6quation (17) relative /~ ~. L'6quation (61) concernant un cosinus trigono- m6trique, ne peut avoir de solutions que si,

(62) - - 2 ~ < t r T ~ ~<2.

I1 existe ainsi deux conditions n6ce~saires it l'6tablis- sement d'un transfert stationnaire ; conditions dont nous d6gagerons l'existence d'une famille de bandes passantes. I1 faut auparavant 6tudier la p6riodicit6 du transfert dans un multiplet.

2.5.1.2. P~riodicitO stricte.

a) La matrice de transfert d 'un multiplet quelconque,

(14) Tv = TM ... Tm ... 7"1,

est le produit de matrices qui, en r6gime mono- chromatique, sont toutes p6riodiques en fr6quence.

On voit sur la forme (58) de la matrice Tm d'un segment que sa p6riode est 6gale h 1/'r,,.

b) Le temps de transit "r~ de chaque segment est une grandeur physique (observable) associ6e ft. la c616rit6 et ~ l'6paisseur du segment. On ne peut donc le d6terminer qu'avec une pr6cision finie; ce qui conduit ~ quantifier la valeur num6rique qui le repr6sente.

Cette remarque banale nous sugg~re d'adopter un module dans lequel les temps de transit {vl , "r2 .... "rm} du multiplet seront consid6r6s par hypoth~se comme commensurables (nous reviendrons plus loin sur la validit6 de cette approximation). Avec un tel module :

- - la matrice T~ du multiplet est elle-m~me p6rio- dique en fr6quence,

T ( v + k / 0 ) =T(4) , V k ~ Z ,

- - sa p6riode 1/0 est le plus petit commun multiple des p6riodes des segments (1/~1, l['r2 ..... l['rm} ; ou encore l'inverse 0 de cette p6riode est le plus grand commun diviseur des temps de transit du multiplet. Ecrivons cela sous la forme irr6ductible,

(63) 0 = "rx]l, = "r2112 . . . . ~M/tM, z. ~ z + .

c) Accessoirement, cette quantit6 0 permettra d'exprimer la somme des temps de transit des multi- plets sous la forme simple,

M

(64 a) ~ Vm = LO, m = l

o~ l'entier L e s t lui-m~me la somme des diviseurs de la forme irr6ductible,

M

(64b) L---- ~ lm. n l = l

2.5.1.3. Semi-pOriodicit~.

a) Si l 'on reprend la forme (58) de la matrice Tm d'un segment homog6ne, on en d6duit, compte-tenu de ce que 1 ]2 0 = lm[2"rm, la relation d'alternance :

T ~ ( 4 + k ] 2 0 ) = ( - - 1 ) u-T=(v), V k ~ Z .

D'o~ r6sulte, pour la matrice de transfert du multi- plet, la propri6t6 de semi-p6riodicit6 en fr6quence,

(65) T ( v + k / 2 0 ) = ( - - 1 ) *LT(4), V k ~ Z .

b) Si L (d6fini par 64 b) est un nombre pair, T~ est strictement p6riodique, avec une p6riode r6duite

1120, au lieu de 1]0.

c) Si L est impair, T~ est antip6riodique, de semi- p6riode 1/20.

2.5.1.4. Transparence totale.

a) Chaque segment homog6ne pr6sente une trans- parence totale it la fr6quence z6ro, cf. (12). I1 en r6sulte, h cette m~me fr6quence z6ro, la transparence totale du multiplet dans son ensemble,

lim T~ = L

ANN. T~L~COMMUNIC., 35, rl ~ 5-6, 1980 16/23

( 3 . B O N N E T . - T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X . M I L I E U X D I S C O N T I N U S 215

b) La propriet6 (65) de semi-periodicite fait alors que, (66) T(k[20) = ( - - 1 ) kLL V k c Z .

Rkgle IV. Un muBiplet pr&ente une transparence totale pour chaque frdquence Vk = k/2 0 multiple de sa semi-pdriode.

c) L'interpretation physique est tres simple : h la frequence k[20, l'epaisseur d,, du segment m de cel~rit6 Cm correspond ~,

d., = C m ' 7 m = ~m'Ck~Cm = link (Z,,12),

puisque, cf. (63), % = lmO.

A cette meme frequence, tous les autres segments j 4: m du multiplet correspondent egalement fi un nombre entier/Jk de demi-longueurs d'onde ; ils sont donc tous transparents et, par suite :

- - le multiplet dans son ensemble est transparent,

- - s a parit6 decoule du nombre total de demi- longueurs d'onde ; soit de,

M

g klm = k L . m = l

d) La transparence totale, telle que l'exprime (66),

T(k[2 0) = (-- 1) kL I,

a pour consequence immediate que

trT(k[20) = ( - - 1 ) ~L2, k E Z ,

alors, l 'equation (61) indique un dephasage de valeur,

9(k/2 O) = k L n.

Le comportement global du multiplet est ainsi, pour la famille de fr6quences k]2 0, celui d 'un segment unique (multi) demi-onde.

2 . 5 . 2 . B a n d e s p a s s a n t e s .

2.5.2.1. Frdquences de coupure.

Les conditions (62) /t savoir,

- - 2 ~<trT~ ~<2,

sont apparues necessaires h I'existence d 'un transfert non evanescent, par le fait de valeurs propres exp[_k i q~(u)] de module unitS.

a) Etant donne la semi-periodicit6 de la matrice de transfert, deux solutions au moins ~ ces deux conditions sont ~, attendre dans la semi-periode centrale (-- 1[4 0, 1/4 0) : ce seront les frdquences de coupure BF.

b) Etant donne la parite de la trace (paire en p, cf. w 2.2.5.2. ; donc paire en v), les solutions attendues sont symetriques. Reduite /~ la premiere bande BF (celle encadrant la frequence zero), la condition posee equivaut ainsi ~t Iv] ~< vr ; avec, (67)

vc ~ [0, 1]40] tel que ]tr T(vo)] = 2 ou [9(vr = n.

(vr : frequence de coupure).

c) La semi-periodicit6 de la matrice de transfert permet alors de repartir les frequences de coupure sur toute la droite reelle. La condition de transfert non-evanescent est donc :

(68) v E [ - - v ~ § v~-kk[20], V k ~ Z .

d) Nous avons neglige dans ce schema d'autres bandes BF eventuelles, 6galement susceptibles d'&re rendues periodiques. Mais une etude minutieuse montre que ces bandes residuelles, inexistantes chez un doublet, sont d'une largeur extremement faible chez un multiplet des lors que le contraste d'impe- dance y est 61eve ; cf. w 2.5.2.3.

2.5.2.2. Structure de fibre de bande.

La relation (68) exprimant le regime principal d 'un multiplet montre t'existence de deux familles de bandes passantes, correspondant ~. deux comporte- ments d 'un multiplet (Fig. 10) :

a) comportement en fibre passe-bas, de largeur de bande 2 vc. Cette bande passante est incluse dans la bande fondamentale [-- 1/40, 1[40] (re est solution de (67), 0 solution de (63)) ;

. . . . i . . l . . ! . . . . v i ! ! | ! | v

-1/29 -1/49 -v, 0 v= 1//.9 1/20 I I

Fro. 10. - - Structure de bandes d'un multiplet (support). Ve : frequence de coupure.

Band structure of a multiplet (intervals). ve : cut-off frequency.

b) comportement en fibre passe-bande : infinite denombrable de bandes passantes,

- - largeur 2 vc,

- - frequences centrales k]2 O, pour k ~ Z ;

c) 6tant donne que Vc < 1[4 0, toutes ces bandes passantes sont disjointes, laissant entre elles des bandes interdites ;

r e [ k / 2 0 + v ~ , ( k q- I ) /20- -v~] , v k ~ Z ,

d) les bandes passantes residuelles evoqudes prece- demment n 'ont pas 4t4 prises en compte dans ce schdma. Cependant, comme leur largeur est vite negligeable des que le contraste &impedance devient important, il sera plus simple de les negliger, donc de les inclure dans les bandes interdites ;

e) les frequences qui delimitent chacune des bandes passantes correspondent aux bornes • 2 de la condition (62), donc h :

tr T = :~ 2.

I1 resulte alors de (61) que

cosq~ = • 1 =>sinq~ = 0 .

Par suite, la forme canonique (60) indique que, pour ces frdquences frontieres, la matrice de transfert

17/23 ANN. TI~LF, COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980

216 G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS

devient unit6 :

T = i L

f ) cette derni~re affirmation pourrait toutefois se trouver en d6faut si les imp6dances caract6ristiques devenaient singuli6res ~ ces fr6quences, de telle s o r t e que s in? 5+5-/ (5+ + 5- ) n 'y soit pas nul ; d'ofi t12 =/= 0 (cas du doublet isochrone).

Rkgle V. Pour chaque frdquence critique, sOparant une bande interdite d'une bande passante, un multiplet introduit un ddphasage multiple de 7~ et, en g(ndral, prdsente une transparence totale : son comportement est alors celui d'un segment homogbne (multi) demi- onde.

2.5.2.3. Genbse de la structure de bandes.

a) L'6tude directe, par produit de matrices 616- mentaires du type (58) montre que la trace d'une matrice de multiplet comporte une partie principale, tr~s simple, tant que le contraste d'imp6dances entre segments demeure faible. Ce qui s'6crit,

M

tr T~ = 2 cos (2r:v ~ %) + e(~),

oia e(v) est un reste, nul lorsque Zt = Z2 . . . . ZM, avec en outre e(0) = 0, dans t ous l e s cas.

b) Consid6rons le cas de d6g6n6rescence corres- pondant / t u n contraste nul (imp6dances identiques, mais c616rit6s diff6rentes). On a donc e(~) --~ 0 ; d'o~a, en reprenant l'6criture (64 a) :

tr T~ = 2 cos (2 r~ ~ L 0).

Les limites admissibles pour la trace, + 2 et - - 2 selon (62), sont atteintes lorsque ,~ = k[2LO, V k ~ Z. Leur nombre, dans la bande semi-ferm6e ]0, 1]4 0] s'61~ve donc/~ :

(69) s = Ent [L]2].

(Nous avons exclu la fr6quence z6ro, en raison du r61e particulier qu'elle joue). Nous pouvons alors dire qu'il existe g points fronti~res, F~ ... F~ ... F s s6parant autant de bandes passantes juxtapos6es : ce sont ces points Fk = k]2LO qui vont devenir l 'amorce des fr6quences de coupure.

c) Si le contraste d'imp6dance est tr~s faible :

- - ~(0) = 0 en tout 6tat de cause et la fr6quence z6ro demeure au milieu d'une bande passante ;

- - ~(~) conserve une valeur faible pour ~ =~ 0 ; suffisante cependant pour invalider la condition (62) autour des f. points F~ og la partie principale est de module 2. Ce processus donne naissance/~ s bandes interdites.

d) A mesure que le contraste s'accroit, I z(v)l prend de l ' importance jusqu'g d6passer largement l'unit6 (sauf e(0) qui demeure nul). Les bandes interdites s'6tendent corr61ativement, jusqu'5, ne plus laisser (Fig. 10), en ce qui concerne l'intervalle fondamental [ - - 1[40, 11401, que :

- - la bande passante BF ( - - ~ , + ~r encadrant la fr6quence z6ro,

- - 2 ( s - - 1) zones de passage, r6duites au seul voisinage des z6ros de la fonction ~(~) et qui ne pr6sentent donc aucun int6rat pratique.

2 . 5 . 3 . A p p r o x i m a t i o n b a s s e f r 6 q u e n c e d e s e c o n d o r d r e .

2.5.3.1. Frdquence de eoupure.

a) Partant de l'expression de second ordre (29)

~(p) = ~Mp + 0[p3],

nous obtenons par substitution monochromatique, compte tenu de l'6criture (59)

(70) q0(v) = 2 rc u ~M + 0[v3],

b) on a alors :

t r T = 2cos q0 = 2 - - 47T2V2~ 2 -]- 0[V4].

Dans une telle approximation de second ordre, une estimation de la fr6quence de coupure basse vc s'obtient en 6crivant que la quantit6 tr T atteint, lorsque [~1 = vc, sa limite inf6rieure admissible - - 2, telle que l'impose (62). Ce qui donne :

(71) v~ = 1/(rr~t),

expression dans laquelle, rappelons-le, ~u est le temps de transit du multiplet d 'ordre M.

c) Constatons que cette valeur approch6e de vr e s t identique /~ celle (34) indiqu6e par la cellule 61ec- trique LC 6quivalente. Cependant, il ne s'agit dans ce r6sultat (71) que d 'une approximation et non d 'un calcul pr6cis. Son int6r~t r6side ailleurs, avant tout dans l'interpr6tation qualitative que nous allons en d6duire.

Ecrivons-le, compte tenu de la d6finition (48) du facteur de freinage 0~,

(72) v~ = Vo/~ avec Vo = l/r~ ~ %, . m

Nous constatons que, pour une r6partition donnde des % , la fr6quence de coupure basse d6cro~t lorsque le facteur de freinage augmente. Ceci corrobore enti~rement ce qui a 6t6 6tabli pr6c6demment quant

la gen~se des bandes ; on remarque que l 'appro- ximation BE vr concerne la fronti~re de la bande passante principale, celle qui encadre la fr6quence z6ro. D'o/a, pour conclure :

Rkgle VI. L'existence de bandes interdites dans la transmission des multiplets est spdcifique de la disconti- nuitd de l'impddance. La sdlectivitd en frdquence d'un multiplet construit sur des temps de transit ddterminds est d'autant plus grande que son facteur de freinage est plus klevd (en d'autres termes, que les contrastes d'impddances de ses segments sont plus forts).

2.5.3.2. Exemple I : doublet isochrone.

Pour prdciser la validit6 de l 'approximation (71) de la fr6quence de coupure basse, nous allons la comparer avec l'expression exacte, facile /l atteindre pour un doublet isochrone ('rl = "r2 = "0-

ANN. TELECOMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980 18/23

G. BONNET. -- TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCON$INUS 217

a) Tout d ' abord , on a ici 0 = z et L = 2. Par suite, = 1, cf. (69) : il n ' y a donc qu 'une seule frdquence

de coupure, situde init ialement en 1/4 v pour un contraste nul.

b) Pour un doublet isochrone, l 'angle de d6phasage rdsulte de la version monochromat ique de l 'expres- sion (36), qui donne,

cos 4 = w r - - r 2 1 = - t r T . cos ~ = 1 - - r~ 2

Cette quantitd est manifes tement inf6rieure h + 1. La condit ion conduisant ~t la fr6quence de coupure vr est donc cos q~ ) - - 1, soit

c o s 4 = v c z = 2 r 2 - 1, ou encore,

(73 a) 2 =-: v~ = arc sin ~/1 - - r F z .

C) Le facteur de freinage d 'un double t isochrone est 0~ = ( 1 - r~) -~12. La formule (72) donne alors l ' approx imat ion

(73 b) 2=-r v~ ~ 1/c~ ----- ~/1 - - rgv-.

d) La valeur exacte de la fr6quence de coupure, ainsi que sa valeur approch6e, sont tracdes conjoin- tement sur la figure 11. On constate tout d ' a b o r d

2 n r q

1 , 5

- �9 v o l e u r e x a c t e

1 , 0

~ p p r o x i m o t i o n

r - -

0 , 5

Z z / Z I

0 1 . . . . . . . . 10 . . . . ' . . . . . . . . . . . . 100 1; ;0

FIG. 11. - - Fr6quence de coupure BF (doublet isochroi~.e).

Low frequency cut-off (isochronal doublet).

que l ' influence du contraste d ' impddance sur la largeur de bande 2 vr (r6gle VI) est trds importante . On remarque ensuite que la valeur approchde (72) correspond en fait 5. une r~gle VI qui serait id6alis6e sous la forme 2 vr = constante. L ' app rox ima t ion s 'av6re m6diocre pour les faibles contrastes et devient par contre excellente pour les contrastes 61evds (Z2/Z~ > 5). Un tel compor t emen t est conforme

ce qu ' i l fallait at tendre d 'une approx imat ion BE, dont la validit6 exige une faible valeur du produi t vv ; celle-1/~ m~me que procure un contraste dlevd.

2.5.3.3. Exemple H : doublet h~t~rochrone 4 : 3. Cet exemple fournit une excellente v6rification pour

la thdorie de la gendse des bandes passantes (w 2.5.2.3.).

a) On construi t un doublet tel que z2lz, = 4/3, donc peu 61oign6 de l ' i sochronisme du cas pr&6dent , Les donn6e3 sont alors,

0 ~ ~ ' 1 / 3 ~ "r2/4 ~" ll ---- 3 ; 12 ~ 4 ; L = 7.

I1 faut donc s 'a t tendre, cf. (69), ~ t rouver ~ = 3 bandes interdites dans le demi-intervalle fondamenta l (0, 1/4 0).

b) Les 616merits de la matrice de transfert du doublet sont donn6s au w 2.4.1.I. Apr6s t ransposi t ion p = 2 = i v au cas monochromat ique , nous expr imons la condit ion (62) sur la trace (t~l + tzz) par :

- - 2 ~< 2 cos ( 2 r : v L 0 ) - -

[ (Z~ Z2Z~-- Z~)2 s in (2= v / ~ 0 ) s i n ( 2 = v120)] -~,< 2.

On reconnait : la partie principale en faible contraste et, entre crochets, la fonction e(v), dvoqu6es au w 2.5.2.3.

c) Les trois points critiques Fk correspondent ici 2 r :v0 = =[7, 2 r : /7 et 37~/7. Alors, la figure 12

0,s ~ < 2,.

. 0 ' ' ' ' ' ' 10 ' ' ' ' ' ' ' " ' ' ' ' ' ' ' " 1 0 0 1 0 0 0

Z I I Z I

F1G. 12. - - Bandes passantes et baudes interdites (doublet 4 : 3) : fr6quence ; Z , , Z 2 : imp6dances.

Allowed and forbidden frequency bands (4 : 3 doublet) v : frequency ; Z , , Zz : impedances,

montre , c o m m e pr6vu, que lorsque Z 2 I Z , croit par t i r de l 'unit6, les fronti6res des bandes interdites vont en s ' & a r t a n t h par t i r de ces trois points. Cette figure est obtenue par rdsolution numdrique des conditions prdcddentes ; la verticale passant par Z2IZ1 = l0 visualise, en traits dpais, les bandes passantes correspondant 5_ un tel contraste, pris comme exemp!e.

d) Lorsque le contraste devient impor tant , la bande passante encadrant la frdquence z&o demeure la seule perceptible. On peut alors vdrifier que sa fronti6re vr est prdvue avec une tr6s bonne pr&is ion par l ' approx imat ion BF (71), le facteur de contraste 0c 6tant d6termind par (49). D ' au t r e part , les autres bandes passantes se rdduisent pra t iquement aux voisinages des points 2 re v0 = =/4, re/3 ainsi que

19/23 ANN. TI~L~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980

218 G . B O N N E T . -- T R A N S M I S S I O N D E S S I G N A U X . M I L I E U X D I S C O N T I N U S

n]2, la limite de l'intervalle. Comme pr6vu, ce sont bien l~t les z6ros de la fonction e(v).

e) Afin de comparer valablement le doublet actuel avec l'isochrone pr6c6dent, il convient de bien tenir compte des 6chelles de fr6quence de chaque figure : la quantit6 sans dimension 2 n v v : n(zl + "%) v du cas isochrone de la figure 11 correspondrait ~t 7 n 0 v pour le cas h&6rochrone de la figure 12. Dans ces condi- tions, on constate que la 16g~re modification, de Zz[Vl : 1 fi v2['q : 4/3, ne modifie pas sensiblement la largeur absolue de la bande passante utile [ I v~, § ,~]. Son influence sur la possibilit6 de rendre p6riodique cette bande passante est par contre consi- d6rable : p6riode 1/(vl + "rE) dans le cas isochrone, p6riode 3,5/(-q + z2) dans le cas h6r6tochrone 4 : 3 (plus g6n6ralement, p6riode (p + q)/2('rl + "r

pour un h6t6rochronisme p : q).

2.5.3.4. Impedance caract~ristique.

Son approximation BF de second ordre d6coule directement de l'expression op6rationnelle (31) ; elle est maintenant,

5• : Z r 1 7 7 A 2 n v §

Les constantes TM, Zr et A sont 6videmment les mSmes que dans la repr6sentation de Laplace. On en d6duirait, pour le r6gime monochromatique, une matrice de transfert basse fr6quence T, obtenue par la substitution p : 2 ~ i v dans (32).

2.5.3.5. Critique de l'hypothbse de commensurabilitk : consequences pratiques.

a) L'exemple II comparant le doublet h&6rochrone 4 : 3 (w 2.5.3.3.) avec le doublet isochrone 1 : I a d6j~t montr6 I'influence consid6rable de l'h6t6rochronisme sur la p6riodicit6.

Consid6rons un doublet z~ : % , "r2 = (1 q- 1 [Ni Vo, d 'autant plus proche de l'isochronisme que l'entier N e s t plus grand. On obtient les semi-p6riodes :

- - 1 1 2 % pour l'isochronisme strict (donc N infini),

- - N]2 Vo pour l'isochronisme approch6.

Nous sommes ainsi conduits ~t la conclusion que l'isochronisme constitue une singularit6, avec une p6riodicit6 minimale ; alors mSme que la p6riode s'avSre d 'autant plus grande qu'on s'approche davan- rage de cet 6tat singulier. En d'autres termes, une tr~s petite variation (ou erreur) sur -r semble avoir des cons6quences 6normes sur la p6riode.

b) Un tel r6sultat, obtenu sur le cas le plus simple d 'un doublet, se transposerait imm6diatement au cas g6n6ral d 'un multiplet quelconque. Le paradoxe inacceptable auquel il conduit semble alors de nature fi rejeter le modSle de la commensurabilit6 des segments

I1 n 'en est heureusement rien et nous allons voir que la cause de cette apparente difficult6 r6side dans le caractSre mSme, par trop manich6en, de la notion de p6riodicit6.

Nous observons en effet que le doublet h6t6ro- chrone de l'exemple pr6c6dent ne diffSre de l'iso- chrone que par l 'adjonction d 'un segment homogSne de paramStre voJN et que l'hypothSse faite sur N rend ce segment extrSmement mince.

Donc, si N est suffisamment grand, le compor- tement du doublet ainsi modifi6 ne s'6cartera que d'une fa~on imperceptible de celui du doublet iso- chrone. En pratique, il en manifestera donc le carac- tSre de p6riodicit6 (du moins dans les premiers ordres) alors mSme que la th6orie le rejette.

c) Ainsi, il semble 16gitime de conserver le mod61e de commensurabilit6. On pourrait mSme ramener ce modSle le cas - - formel - - d 'un ensemble incom- mensurable de segments, en situant celui-ci dans le cadre d'une approximation discrSte. A l'oppos6, il faut aussi remarquer que la validit6 des r6sultats implique le respect de certaines rSgles pratiques, issues de l'analyse pr6c6dente.

Par exemple, si l 'on veut utiliser les propri6t6s de p6riodicit6 d 'un multiplet pour construire un filtre de bande, on voit qu'il est n6cessaire : de choisir par construction un ordre de commensurabilit6 faible (11, 12 ... tous petits), de se limiter & un ordre de p6riodicit6 faible (de pr6f6rence, les tous premiers ordres : k ---- 1 ou 2), de respecter enfin des tol6rances 61ev6es sur l'homog6n6it6 et les dimensions des seg- ments constituants.

2 . 5 . 4 . S t r u c t u r e d e s g r a n d e u r s a s s o c i ~ e s /t l a p r o p a g a t i o n .

La consequence directe de la p6riodicit~ de la matrice de transfert T~ d 'un multiplet, 6tablie au w 2.5.1., est que :

- - les valeurs propres exp [ • i qg(v)],

- - les impedances caract6ristiques 3• sont elles aussi, n6cessairement de (semi) p6riode 112 O,

- - par extension, toute grandeur ~- associ6e fi la matrice de transfert est, de m~me, repr~sent6e en fr~quence par une fonction f(v) dot6e de la semi- p6riode 1[2 0 et telle que,

- - si L e s t pair, f(v) est p6riodique au sens strict,

- - si L e s t impair, f(v) est antip~riodique.

L a ~t~ d~finie par (64 b). Cette propri~t~ s'exprime par :

(74a) f ( v + k / 2 0 ) - : ( - - 1 ) kt'f(v), v k ~ Z .

Nous allons maintenant 6tudier ce que sont les cons6quences indirectes de la p6riodicit6 sur la struc- ture des grandeurs v~hicul6es par un multiplet.

2.5.4.1. Structure fr~quentielle : raise en p~riodicitd.

a) La propri6t6 (74 a) peut s'exprimer sous la forme 6quivalente

+oo

(74b) f(v) ~ ~ ( - - 1 ) k L f o ( v - k ] 2 0 ) k = --o0

+oo

= Z e -l~kL fo(V - - / ~ / 2 0), k = - - o o

ANN. TI~LI~COMMUNIC., 35, n ~ 5-6, 1980 20/23

G . B O N N E T . -- T R A N S M I S S I O N DES S I G N A U X . M I L I E U X D I S C O N T I N U S 219

et s'interpr6te alors en consid6rant f(v) comme le r6sultat de la (( p6riodisation ~) (ou <( antip6riodisation ))) d 'un certain motif fo(v).

b) Compte tenu de la propri6t6 de convolution d'une distribution de Dirac, nous pouvons 6crire :

e -'~kL fo(v - - k/2 0) = e -'~k~ fro[V] * 8[v--k /20])(~)

= fro[V] * e -2~lz~ 8[v - - k/20])(~) ,

c) Introduisons alors la distribution peigne, de pas ~ :

(75) Z k= - co

Nous exprimons finalement la structure p6riodique de f(v) sous la forme

(76) f(v) ---- 2 0 ( f o * e -2~lL~ m~/2o)(~) .

2.5.4.2. M o t i f r~p~t~ p~rioc~quement.

Deux faits sont 6. n o t e r :

a) La partie basse fr6quence de f(v) est d61imit6e, on l 'a vu, par une fr6quence de coupure v~ : elle est done ~t support born6 [-- v~, § v~].

b) La fr6quence de coupure est elle-m6me int6rieure ~. la semi-p6riode centrale [ - - 1/40, 1/40], cf. w 2.5.2.1.

Or, il va de soi que la composante basse fr6quence de la fonction fly), situ6e dans ]a bande [-- 1/4 0, 1/4 0] peut ~tre utilis6e comme motif fo(v) dans la synth~se (74 b) de cette fonction �9

If(v), pour Iv I ~< 1140 , (77) fo (v )=H~/ ,0 (v ) f (v ) - = 0, si non.

Dans ces conditions, d6s Mrs que vr ~< 1/40, la fonction f(v) est constitu6e d 'un ensemble p6riodique d'616ments disjoints, les translat6es de la composante BF, fo(u) (Fig. 13).

| t

-1/0 -1120 1-s c 0 Vc I 1/20 1/0

-1/20 -1/40 , ~ 1/40 I F//////~//A I 1/20 I / , \, ';

-1,o k ~ / I-~ o ~ ' ~ , / 1/o |

FIG. 13. - - Structure fr6quentielle des grandeurs v6hicul6es flu).

a) L pair, b) L impaw.

Frequency structure of any transmitted quantity flu). a) L even, b) L odd.

Cette simple remarque justifie l 'effort fait pour l'6tude basse fr6quence des grandeurs v6hicul6es ; &ude suffisante pour atteindre, par simple transla- tion, l'ensemble de leur comportement en fr6quence. L'exemple le plus cons6quent de telles fonctions

f(v) est repr6sent6 par le gain complexe, en r6flexion ou en transmission.

2.5.4.3. Structure temporelle : ~chantillonnage.

a) D6crivons par F(t) la repr6sentation temporelle de la grandeur ~- pr~c~dente, v6hicul~e par le multi- plet ; il s'agit done [10] de la transform6e de Fourier 0F) de la repr6sentation fr6quentielle :

~- : F(t) ~ f(v).

Le probl6me est alors de d6terminer la TE de l'expres- sion (76) de f(v).

b) Pour y parvenir, nous utilisons d 'abord la TF du motif basse fr6quence (77) :

Fo(t)

c) EnsuRe, la TF de la distribution peigne qui apparaR dans (76) est bien connue et vaut

(78) uJo(v) ~ p uJll~(t ).

D'ofi r6sulte, en vertu de la rbgle de translation d'une TF,

1 e-2~lL~ UJI/2~ 20 UJ2~ (t - - L 0 ) .

d) Finalement, la repr6sentation temporelle de la grandeur ~- 6tudi6e, r6sultant de la TF de (76), s'exprime - - en vertu de la r6gle de Plancherel - - sous la forme simple :

(79 a) F(t) : Fo(t) UJ2o(t - - L0),

soit encore, en l'explicitant : +co

(79 b) F ( t ) : 2 0 ~ Fo{(2k§ 8 { t - - ( 2 k + L ) O } . k=- -c~

Rbgle VII. La reprdsentation temporelle F(t) de toute grandeur associde au transfert dans un multiplet appa- rait comme ~chantillonn~e propre, pour un pas 20, de la transform~e de Fourier Fo(t) du mot i f basse fMquence fo(v) de cette grandeur.

- - S i L = ~ lm est un nombre pair, l 'horloge ra

d'dchantillonnage est centr~e sur t = 0 : il y a une raie d l'origine dans F(t).

- - Si L e s t impair, l 'horloge est translat~e de 0 et il n 'y a pas de raie gt l'origine.

e) La figure 14 sch6matise la structure de la gran- deur F. On notera que c'est l'6tude basse fr6quence /t elle seule qui, moyennant une transformation de Fourier ult6rieure, fournit la fonction Fo(t) ~ 6chantil-

o q 20

FIG. 14. - - Structure temporelle sch6matique (L impair). Schematized time structure (L odd).

21/23 ANN. TI~LI~COMMUNIC., 35, n o 5-6, 1980

220 G. BONNET. -- TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS

lonner. L'exemple le plus important de telles fonc- tions F(t) serait la r6ponse percussionnelle du multi- plet, en r6flexion ou en transmission.

2.5.5. Comportement g6n6ral en transmission.

Ce paragraphe est consacr6 /~ l'~tude du compor- tement g6n6ral d 'un multiplet dans la transmission des signaux de spectre 6troit. Pour ce faire, nous revenons/t la matrice hybride (22) qui r6git le transfert des vecteurs propres. En r6gime monochromatique, compte tenu de l'6criture (22), cette matrice devient

Nous distinguerons deux comportements principaux de cette matrice, associds aux voisinages de deux families de fr6quences critiques.

2.5.5.1. Ligne g~ retard avec effet de freinage. L'approximation basse fr~quence de la phase ~

s'obtient en combinant (29) et (59) ; ce qui donne,

?(v) =2 rove -+- 0[vz], v ~ 0.

Si, en outre, on tient compte de la semi-p6riodicit6 (65), applicable 5. D~, cette approximation peut &re g6n6ralisde sous la forme,

(81) ~[(k[2 0) + v] : r~ sin (kL 2 ) + (81) ~[(k[2 0) + v] : r~ sin (kL 2 ) + ! u ~ 0 ,

2 r: v ~ + 0[v 3] i k E Z .

Nous constatons ainsi que, lorsque la bande de fr6- quences occup6e par le signal est dans un voisinage,

- - s o i t de la fr6quence z6ro,

- - soit d 'un multiple entier quelconque de 1[20 donc du centre d'une bande passante principale, la matrice hybride (80) traduit un comportement du multiplet (g6n6ralisant la r~gle I du w 2.2.5.1.) identique /t celui d'une ligne ~t retard constant,

(82) ~ = (1/2 7z) dq~/dv = constante, b6n6ficiant de l'effet de freinage.

~ > ~ z,,. m

2.5.5.2. Ligne dt retard dispersive.

a) Supposons maintenant que la bande de fr6- quences du signal avoisine la fr6quence de coupure basse vc du w 2.5.2. Dans cette zone, l'att6nuation (module de la fonction de transfert) va varier tr~s rapidement avec la fr6quence, puisqu'on passe d 'un r6gime de bande passante (9 r6el) it celui d'une bande interdite (q~ complexe).

b) Alors, en vertu des relations de Kramers- Kr6nig (ou de dispersion) applicables h toute grandeur physique causale, la variation de la phase ?(~) (argument de la fonction de transfert) va ~tre corr61a-

tivement tr6s rapide dans cette m~me zone ; s'6car- rant alors notablement de l'approximation lin6aire (81). Le temps de retard (112 r 0 dqo/dv cessera donc d'&re constant, comme il l'est au centre de la bande passante, pour devenir fonction de la fr6quence aux bords de cette derni6re.

c) En cons6quence, compte tenu de la p6riodicit6, si la bande 6troite occup6e par le signal se trouve /t l'int6rieur d'une bande passante et dans le voisinage d'une fr6quence de coupure :

~ ~ • (vc + k[20), k ~ Z ,

alors le multiplet se comporte comme une ligne it retard dispersive.

C O N C L U S I O N D E L A P R E M I E R E P A R T I E

a) Cette premi6re partie nous a permis d'acc6der aux propri6t6s g6n6rales des multiplets ; particuli6- rement ~ celles qui int6ressent les signaux progressifs traversant ce type particulier de filtres lin6aires /~ param6tres r6partis.

Essentiellement, la description exhaustive d'un multiplet est donn6e par sa matrice de transfert. C'est pourquoi l'accent a 6t6 mis sur la structure de cette grandeur, sur sa r6duction dans une forme canonique et, principalement, sur son approximation dans le cadre des signaux de spectre 6troit. L'analogie 61ectrique qui a ~t~ ~tablie sugg6rant d'utiliser des multiplets pour l'6dification de lignes /t retard, nous nous sommes pench6s sur le ph6nom6ne caract6ristique d6nomm6 effet de freinage, ainsi que sur l'6tude des bandes passantes et interdites du filtre multiplet.

b) L'6tape suivante va consister/~ it6rer un multiplet en se guidant sur l'analogie des filtres 61ectriques en 6chelle pour en obtenir, suivant le cas, des lignes /l retard, des filtres de bande, etc.

Le probl6me pos6 est alors de rechercher l'influence 6ventuelle de cette it6ration sur le facteur de freinage, la structure des bandes, les r6gimes de transparence totale et, plus g6n6ralement, sur les 616ments constitu- tifs de la matrice de transfert r6sultante.

Se pr6sente en outre la question de d6finir un type de multiplet optimal qui rende maximaux les crit~res fondamentaux de facteur de freinage et de bande passante.

Tous ces th6mes font l'objet de la seconde partie de cette 6tude qui paraRra sous le m~me titre dans un prochain num6ro des Annales des TOldcommunications.

Manuscrit re(u le 3 mai 1979,

accept~ le 24 ianvier 1980.

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G. BONNET. - TRANSMISSION DES SIGNAUX. MILIEUX DISCONTINUS 221

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