47
I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario SISTEMA RADIAL Ó CIRCULAR (R) La unidad de medida en este sistema es el radián (1 rad.), el cual se define como el ángulo central que subtiende en toda circunferencia un arco de igual longitud que la de su radio. < 1vta = 2 rad OBSERVACIONES 1 rad < > 57° 17’ 44” 1 rad < 1° > g Aproximaciones de “ = 3,1416 = = RELACIÓN ENTRE SISTEMAS EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES m 1vta < > 360° < > 400 g < > 2 rad 2 rad < > 360° rad < > 180° Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

TRIGONOMETRÍA - 5TO

Embed Size (px)

DESCRIPTION

matematica

Citation preview

Page 1: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

SISTEMA RADIAL Ó CIRCULAR (R)

La unidad de medida en este sistema es el radián (1 rad.), el cual se define como el ángulo central que subtiende en toda circunferencia un arco de igual longitud que la de su radio.

< 1vta = 2 rad

OBSERVACIONES 1 rad < > 57° 17’ 44”1 rad < 1° > g

Aproximaciones de “”

= 3,1416

=

=

RELACIÓN ENTRE SISTEMAS

EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES

m 1vta < > 360° < > 400g < > 2 rad

2 rad < > 360° rad < > 180°

2 rad < > 400g rad < > 200g

360° < > 400g 9° < > 10g

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 2: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

FACTORES DE CONVERSIÓN

Son fracciones equivalentes a la unidad y se obtienen dividiendo dos cantidades equivalentes, colocando en el numerador una medida en la unidad deseada y en el denominador se coloca su equivalente en la unidad a eliminar.

Ejemplo: Convertir 36° a radianes, como: rad < > 180°

Entonces:

Luego:

36° < >

FÓRMULA DE CONVERSIÓN Se utiliza sólo cuando las medidas del ángulo estén expresadas en las unidades principales de medida, es decir grados y radianes.

m< =S°S: # de grados sexagesimales del <

m< =C°C: # de grados centesimales del <

m< =RradR: # de grados radianes del <

Estos tres valores numéricos verifican la siguiente relación:

Simplificando:

de donde se realizan los siguientes despejes:

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Cuando se elige el buen

camino, nunca es tarde para empezar de

nuevo.

Page 3: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

NOTA: Para todo ángulo trigonométrico se tiene que:

m < = S° S° < > Cg < > Rrad medidas equivalentes

m < = Cg

m < = Rrad S C R

además: si : m es positiva C > S > R si: m es negativa C < S < R

PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL m = S’ # de grados = S

m = 60 S’ # de minutos = 60Sm = 3600 S” # de segundos = 3600 S

PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMA CENTESIMAL m = Cg S # de grados = C

m = 100 Cm # de minutos = 100Cm = 10 000 CR # de segundos = 10000C

COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO m = S° Valores S

m = Cg numéricos Cm = R rad de “” R

m = (90 – S)° Valores 90 - S Comp. m = (100 – C)g numéricos 100-C

de m = rad

m = (180 – S)° 180-S m = (200 – C)g Valores 200-C

m = ( - R) rad numéricos -R

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Nadie llegó a la cumbre,

acompañado del miedo.

Page 4: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

1. Dada la siguiente equivalencia:11g < > a° b’

calcular “b – a”

a) 45 b) 46 c) 47d) 48 e) 49

2. Halle el valor de “a” para que se verifique la igualdad:

a) 11/8 b) 55/4 c) 10/9d) 9/4 e) 1/5

3. Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo que cumple con: S = 3x2 – 2x – 2C = 2x2 + 4xCalcular dicho ángulo en radianes, si x es un número entero y positivo.

a) 17/20 b) 13/20 c) 11/20d) 9/20 e) 7/20

4. Si se tiene que: (a – b)2 = 4ab, calcule el valor de:

a) 120 b) 122 c) 124

d) 126 e) 128

5. Calcular:

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) 0,5

6. Si:

Calcular (a+b)° en radianes

a) /10 b) /12 c) /15d) /18 e) /20

7. Determine el valor de “n” en la igualdad:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

8. Siendo S y C los números convencionales, para los cuales se tiene que:

calcule el valor de:

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 5: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

1. Calcular el valor de

a) 19/13 b) 21/13 c) 29/13d) 22/13 e) 25/13

2. Si se verifica : rad < > x° y’ z”

calcular el Suplemento de (x + y + z)°

a) 80° b) 81° c) 82°d) 62° e) 85°

3. Si se cumple que: (a + b)2 = 4ab

calcular el valor de: M =

a) 11 b) 21 c) 31d) 41 e) 51

4. Calcular la medida radial de ángulo de modo que sus medidas sexagesimal (S) y centesimal (C), verifiquen:

S = x2 + x + 4C = x2 + x + 6

5. Los ángulos de un triángulo son: x4 = a° b’ c” ; (x + 1)g; (x – 1)g . Hallar

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

6. La suma de los números que representan el suplemento de un ángulo en grados centesimales y el complemento del ángulo en grados sexagesimales es igual a 5. Halle la medida radial del ángulo.

a) 3/5rad b) 3/5rad c) 3/radd) 3/10rad e) 3/8rad

7. Se ha ideado un nuevo sistema para medir ángulos en el cual el número de unidades de un ángulo en este sistema es igual a la quinta parte de la suma del número en grados centesimales y el doble del número en grados sexagesimales de dicho ángulo. ¿A cuántos radianes equivales 80 unidades de este nuevo sistema?

a) 3/7rad b) 2/7rad c) 4/7radd) /7rad e) 5/7rad

8. Se tiene 2 ángulos, tales que el número de grados centesimales de uno de ellos es igual al número de grasos sexagesimales del otro, y la diferencia del número de grados centesimales de este último y el número de grados sexagesimales del primero es 19. Determinar la suma de los números de radianes de estos ángulos.

a) 19/20 b) 17/20 c) 13/20d) 11/20 e) 9/20

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

7yg

4x°

Page 6: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Longitud de la circunferencia: L = 2r

Área del círculo: A = r2

SECTOR CIRCULAR

para que el sector este definido se tendrá que:

0 < m central < m 1 vuelta

0rad rad 2rad

LONGITUD DEL ARCO (L) – ÁREA DEL SECTOR (A )

Longitud de arco: L = r

Área del sector:

A =

PROPIEDAD

(Radio constante)

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 7: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

TRAPECIO CIRCULAR

- Bases del trapecio: LAB y LCD

- Separación de bases: AD = BC = R – r

- Para que el trapecio exista, se debe cumplir:

0 < m central < m 1 vuelta

0rad rad 2rad

0 < < 2

ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR (A )–ÁNGULO CENTRAL

Área del trapecio circular A =

Valor numérico del ángulo central =

(0 < < 2 )

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 8: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario1. De la figura calcular el perímetro del sector

circular AOB.

a) 16 b) 18 c) 20d) 22 e) 24

2. Del esquema mostrado calcule el valor de “L”

a) 33m b) 7m c) 9md) 5m e) 10m

3. Determine el valor de “L” en el esquema mostrado:

a) 5 b) 7 c) 9d) 10 e) 12

4. Determine la longitud de arco de un sector cuyo ángulo central mide (x/3) rad y su radio mide (6x) m; sabiendo además que el perímetro de este sector es de 110m.

a) 110 m b) 30 m c) 40 md) 50 m e) 60 m

5. Si a un sector circular se le duplica el ángulo central y a su radio se le disminuye en 3m, se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual a la mitad de la longitud del arco inicial. Determine el radio del nuevo sector.

a) 5 m b) 4 m c) 3 md) 2 m e) 1 m

6. Si a un sector circular se le triplica el radio y a su ángulo central se le disminuye en 36°; se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual al doble de la longitud del arco inicial. Determine la medida del nuevo ángulo central.

a) (/10)rad b) (/5)rad c) (2/5)radd) (3/5)rad e) (3/10)rad

7. Si el área del sector circular POQ es 20m2, hallar

a) 8/5 b) 4/3 c) 5/3d) 3/5 e) 2/3

8. Del esquema mostrado determine el valor de “”, si se tiene que la suma de las áreas de los sectores sombreados es /2 m2

a) (/3) rad b) (/4)rad c) (/6)radd) (/8)rad e) (/12)rad

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 9: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario1. En la figura mostrada determine el valor de “L”

sabiendo que el trapecio circular ABCD tiene 72 m2 de área.

a) 1mb) 2mc) 3 md) 4me) 5 m

2. En el esquema mostrado determine el área de la región sombreada.

a) 222

b) 34 2

c) 542

d) 442

e) 642

3. Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5m a su radio, se obtendrá que el sector resultante tiene un área que es 49 veces el área del sector inicial. Determine el radio del sector resultante.

a) 1 m b) 3 m c) 5 md) 7 m e) 9 m

4. Si: S1 + S2 = 7 u2, calcular “x”

a) /3b) /4c) /5d) /6e) /8

5. Determine el área del sector sombreado, si el trapecio circular ABCD tiene un área de 48m2

a) 2m2

b) 4m2

c) 6m2

d) 8m2

e) 10m2

6. De la figura calcular el área del trapecio circular ABCD, si BD = h y DOC = radianes.

a) b) c)

d) e)

7. En la figura mostrada, siendo L1, L2 y L3, números enteros y consecutivos, determine el valor de:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

8. De la figura calcular: ,OE=EC=CA

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 2.5

(*) Cuando una rueda (aro, disco, .........) va rodando sobre una superficie plana. n : Número de vueltas al ir desde A hasta B.

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 10: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitariog : Número de radiantes del ángulo de giro (A hasta B). L : Longitud que recorre la rueda.

(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre una superficie curva.

(*) Ruedas unidas por una faja tangencial o en contacto.

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 11: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

Se cumple:

1r1 = 2r2

n1r1 = n2r2

L1 = L2

(*) Ruedas unidades por su centros.

Se cumple:

1 = 2 n1 = n2

1. Calcular el número de vueltas que da la rueda de radio “R”, al trasladarse desde “P” hasta chocar con la pared.

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 12: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

a) D/2R b) D/R c) D-R/2Rd) D-R/R e) D-2R/2R

2. ¿Cuántas vueltas da la rueda, si el bloque desciende hasta llegar al piso?, siendo h= 120cm

a) 5b) 10c) 12d) 18e) 24

3. De la figura mostrada determinar cuántas vueltas da la rueda de radio “r” sobre la pista circular de centro “O”, al recorrer el tramo AB (R = 9r).

a) 1b) 1,5c) 2d) 2,5e) 3

4. Una rueda de radio “r” gira sin resbalar por un camino circular de radio “R”, como se muestra en la figura. Calcular cuántas dará hasta que llegue a su posición inicial. (R=5r)

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

5. Calcular el número de vueltas que da la rueda de radio “r” al recorrer el circuito desde A hasta B.

a) 2r/R b) r/2R c) R/2rd) 2R/r e) R/r

6. ¿Cuántas vueltas da la rueda en ir desde “A” hasta “C”?, sabiendo que AB= 13m.

a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5d) 4,5 e) 5,5

7. Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios se encuentran en la relación de 5 a 2. Determine cuántas vueltas dará la rueda menor, cuando la mayor de 4/5 dé vuelta.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. En el sistema adjunto cuando el engranaje de menor radio gira 1.25 vueltas, ¿cuál será la distancia entre los puntos “A” y “B”, si inicialmente están diametralmente opuestos.

a) 4 b) 6 c) 2d) 2 e) 2

1. En la figura, se muestran dos ruedas fijas A y B; cuando A gira (2n – 4), B gira (3n + 4) vueltas.

Calcular “n”.

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 13: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

a) 5 b) 7 c) 10d) 12 e) 17

2. Se tiene dos ruedas en contacto cuyos radios están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas.

a) 4 b) 5 c) 10d) 20 e) 40

3. Del sistema determinar cuántas vueltas gira la rueda C, cuando la rueda A da 12 vueltas.

a) 15 b) 25 c) 30d) 42 e) 45

4. Los radios de la rueda de una bicicleta son (x +1) m y (x-1). Si la rueda mayor da (x-2) vueltas y la menor (x-1) vueltas, ¿cuántas vueltas en total darán las dos ruedas?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Una bicicleta recorre 40 cm. Si los radios de sus ruedas miden 2cm y 5cm respectivamente. Calcular la suma del número de vueltas que dan dichas ruedas.

a) 14 b) 15 c) 16d) 18 e) 20

6. Calcular la longitud de arco recorrido por “A”, si la longitud de arco recorrido por “C” es 12. (RA = 1; RB = 4; RC = 3)

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

7. Del esquema mostrado si el bloque “A” desciende hasta el suelo y el bloque “B” sube el triple de lo que recorre “A”, calcule:

a) 5b) 4c) 3d) 2e) 1

8. En el sistema de poleas calcular el ángulo que gira la rueda D, si la rueda A le damos una vuelta completa.(RB = 8RA; y RD = 5RC)

a) 9° b) 10° c) 18°d) 20° e) 90°

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 14: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

TRIÁNGULOS RECTÁNGULO Se denomina así a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto; los lados que determinan el ángulo recto son los catetos del triángulo, el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo recto.

Catetos: CA = b CB = a

Hipotenusa : AB = c

Ángulos agudos : CAB y CBA

mC B = mC A =

TEOREMA DE PITÁGORAS

AB2 = CA2 + CB2 c2 = a2 + b2

ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS mC B = + mC A = 90° + = 90°

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS El valor de las razones trigonométricas de ángulos agudos, se determinan en un triángulo rectángulo, estableciendo la división entre las longitudes de sus lados tomados de dos en dos y con respecto a uno de sus ángulos agudos.

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 15: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

ObservaciónPara todo ángulo agudo “” se cumplirá:

0 < Sen < 1 Tg > 0 Sec > 1

0 < Cos < 1 Ctg > 0 Csc > 1

RAZONES TRIGONOMETRICAS RECÍPROCAS Se denomina así a las siguientes razones trigonométricas:

Seno – Cosecante Coseno – Secante Tangente – Cotangente

PROPIEDADES DE LAS RECÍPROCASEl producto de dos razones recíprocas referidas al mismo ángulo, es igual a la unidad.

Sen. Csc = 1 Csc =

Cos. Sec = 1 Sec =

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 16: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

Tg. Ctg = 1 Ctg =

Nota Sen . Csc = 1

Si: Cos. Sec = 1 = Tg . Ctg = 1

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSLlamadas también Co-Razones Trigonométricas, son las siguientes:

Seno – Coseno Tangente – Cotangente Secante – Cosecante

PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONESLas razones trigonométricas de todo ángulo agudo, son respectivamente iguales a las co-razones trigonométricas de su complemento.

Sen = Cos(90°-) RT() = Co-RT(90°-) Tg = Ctg(90°-)

Sec = Csc(90°-)

Nota Si:

RT() = Co-RT() + = 90°

Complemento

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 17: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES30° 60°

Sen 1/2 /2

Cos /2 1/2

Tg /3

Ctg /3

Sec 2 /3 2

Csc 2 2 /3

45°Sen /2

Cos /2

Tg 1Ctg 1Sec

Csc

37° 53°Sen 3/5 4/5Cos 4/5 3/5Tg 3/4 4/3Ctg 4/3 3/4Sec 5/4 5/3Csc 5/3 5/4

1. Sean a, b y c los lados de un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), simplificar:

E = a2Ctg2A + c2Ctg2C

a) 2a2 b) 2b2 c) 2c2

d) b2 – a2 e) a2 + b2

2. Del gráfico obtener Cos

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 18: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

a) 2/3 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/8 e) 1/2

3. Sabiendo que es un ángulo agudo y que Ctg = 20/21. Calcular:

E = 4Cos + Sen

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Si: Tg = y Cos = ( + agudos),

Calcular:

N = 2 Cos + 7 Sen

a) 14 b) 18 c) 20d) 24 e) 26

5. En un triángulo ABC(AB = BC) se sabe que SenB = 0.6. Calcular TgA.

a) 1/3 b) 1/2 c) 2d) 3 e) 4

6. Calcular el área de un trapecio rectángulo, sabiendo que su altura mide 6 m, su perímetro

es 34 m y el coseno de su ángulo agudo es 0.8

a) 24 m2 b) 36 m2 c) 40 m2

d) 54 m2 e) 602

7. De la figura calcular Tg2

a) /3 b) 2/3 c) /2d) 3/2 e)

8. Calcular el perímetro de un triángulo ABC, sabiendo que:

35TgB = 5TgA = 12 y AB = 80 m

a) 180 m b) 160 m c) 140 m d) 200 m e) 240 m

1. En la figura ABCD es un cuadrado. Calcular Tg, sabiendo que Sec = 2.6

a) 4/3 b) 6 c) 8d) 3/4 e) 5/13

2. De la figura calcular: M = 10Csc + 13 Cos

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 19: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

a) 29 b) 31 c) 26d) 36 e) 38

3. Si + son ángulos agudos y complementarios, calcular:

P = Sen + Sen2 + TgTg

a) 0 b) 1 c) 2d) 1.5 e) 2.5

4. ABCD es un cuadrado y 2DE = 3AD. Calcular Tg

a) 1/4 b) 1/2 c) 2/3d) 3/4 e) 3/2

5. Simplificar:

a) 0 b) –1 c) 1d) 1/2 e) –1/2

6. Si AB = BC, Calcular : P = Ctg - Csc

a) - b) - c) /2d) e) 2

7. Si se cumple Sen(2a + b) = Cos(a + 2b), Calcular:

a) 1 b) 2 c) 1.5d) 2.5 e) 3

8. Calcular: x + y, sabiendo que: Cos (3x + 10°) Csc(y –40!) = 1

Ctg(2y - 65°) = Tg(55°-x)

a) 60° b) 66° c) 74°d) 80° e) 86°

RELACIÓN DE ELEMENTOS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULOSi en un triángulo rectángulo, se conoce un lado y uno de los ángulos agudos, se podrá calcular los lados restantes del modo siguiente:

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 20: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema PreuniversitarioSe divide el lado que se quiere calcular (incógnita) entre el lado que se conoce (dato), determinando así una razón trigonométrica del ángulo dado, despejando de esta igualdad el lado que se quiere calcular.

1er Caso: (Conocido un ángulo agudo y la hipotenusa)

2do Caso: (Conocido un ángulo agudo y su cateto adyacente)

3er CASO: (Conocido un ángulo agudo y su cateto opuesto)

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

PARA TODO TRIÁNGULO

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 21: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

Nota

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ADICIONALES (Aproximados)

ÁNGULO VERTICAL

Se llama así a aquellos ángulos que están contenidos en planos verticales. Los ángulos verticales determinados en el instante en el cual se realiza una observación será materia de nuestro estudio, estos ángulos se determinan en el punto desde el cual se realiza la observación y sus lados son dos líneas imaginarias trazadas desde dicho punto, las cuales permitirán la observación.Según su ubicación estos ángulos serán ángulos de elevación, ángulos de depresión o ángulos de observación.

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

Page 22: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

CONSIDERACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS La estatura de las personas se deberá considerar hasta sus ojos. Toda persona u objeto que posea una altura, será considerada perpendicular al nivel del suelo,

a no ser que se indique otra situación. De no indicarse desde qué altura se realiza la observación y no siendo esta altura la incógnita

del problema, se deberá considerar que se está observando desde un punto del suelo.

1. Del gráfico mostrado calcule Tg

a) -1 b) -1 b) d) +1 e) +1

2. Del gráfico calcular el valor de: S = Ctg - 2 Ctg

a) 1 b) 2 c) 1/2d) e) 0

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 23: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario3. Hallar CD en término de m y

a) mSen b) mCos c) mTgd) mCtg e) mSecCsc

4. De la figura calcular:

a) 1b) 2c) 1/2d) 2/5e) 3/2

5. Si ABCD es un trapecio isósceles, hallar “R” en términos de “b” y “”

a) b/(1+Sen) b) bCos/(1+Sen)c) bSen/(1+Sec) d) bSen/(1+Cos)

e) bCos/(1+Cos)

6. De la figura calcular Sen

a) 1.2b) 1.4c) 1.6d) 1.8e) 2

7. En la figura: AB = BD. Calcular M = Tg + Tg en términos de

a) Sen b) Cos c) Tgd) Sec e) Csc

8. Expresar Tgx en función de “”

a) 2Tg+Ctg b) 2Ctg-Tgc) Tg+Ctg d) 2Tg-Ctge) Tg-Ctg

1. Del gráfico calcular: P = Ctg - Tg

a) b) 2 c) 2d) 4 e) 5

2. De la figura Calcular Cos

a) 1/ 2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6

3. Calcular el lado de un cuadrado inscrito en un triángulo isósceles de lado desigual “a” y uno de los ángulos iguales mide

a) a(2Ctg + 1) b)

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 24: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

c) d)

e) a(3Ctg - 1)

4. De la figura calcular la superficie del cuadrilátero.

a) 20 Sen b) 24 Sen c) 25 Send) 30 Sen e) 28 Sen

5. De la figura, calcular:

a) CosSec2b) Cos2Secc) CosSec3d) Cos3Sec3e) Cos3Sec

6. Calcule el valor de Sen, si ABCD es un cuadrado.

a) 8 /65

b) 8 /75c) 8 /85d) 8 /55e) 8 /95

7. En un paralelogramo las distancias del punto de inserción de las diagonales a los lados no paralelos son a y b. Sabiendo que uno de los ángulos del paralelogramo es “”, determine el perímetro del paralelogramo.

a) 4(a+b)Csc b) 4(a+b)Secc) 4(a+b)Tg d) 4(a+b)Sene) 4(a+b)Cos

8. De la figura mostrada determine el valor de “d”, en términos de a y b

a) (a-b)(Sen+Cos)b) (a-b)(Sen+Ctg)c) (a-b)(Csc+Tg)d) (a-b)(Sec-Tg)e) (a-b)(Csc-Ctg)

f)

1. De la figura Calcular el valor de:E = csc - cot

a) 1b) 3c) 5d) 7e) 9

2. De la figura calcular el valor de:

P = (sen - cos )

a) –5 b) –3c) –2 d) 1e) 2

3. De la figura, Hallar: E = (sen + cos) csc

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 25: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

a) 17/24b) 24/17c) 7/24d) –17/24e) –7/24

4. Si cot = 2.4 siendo “” un ángulo estándar del tercer cuadrante, calcular el valor de:

E = 2sen + cos

a) –2 b) –1 c) 1/2 d) 1 e) 2

5. Siendo “” un ángulo en posición estándar del

II cuadrante, donde tan = , calcular:

P = 3 + (sen + cos)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Si el punto (-1; -3) pertenece al lado final de un ángulo en posición estándar “”.Calcular:

R = sen . cot

a) –1/ b) –2/ c) –3/d) –4/ e) /10

7. Calcular:

a) –2 b) c) 1/2

d) 2 e)

8. Del gráfico, hallar : Q =

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

1. Siendo y ángulos del II y III cuadrante respectivamente, hallar el signo de:

a) + b) - c) (+)d) Cero e) Faltan datos

2. Indicar el signo de:

a) + b) - c) + y - d) Cero e) F.D.

3. A qué cuadrante pertenece el ángulo “”, si se cumple:

cos < cos (/2)tan > tan

a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) Ninguno

4. Del gráfico, hallar “tan”; si OABC es un cuadrado:

a) –2b) –1/2c) –1/3

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 26: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitariod) –3e) 1/2

5. Hallar “a” si tan = 3

a) –1b) –2c) –3d) –4e) –5

6. Si < x < 2 y sen x = tan 2, calcular el valor de:

P = sen

a) 5 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

7. a y b son complementarios, además se cumple:

(tan)2tan+3 = (cot)tan+1; IVC

Calcular : M = sen + cos

a) /5 b) - /5 c) /10d) - /10 e) /15

1. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?

a) sen 40° b) sen 100° c) sen 160°d) sen 220° e) sen 280°

2. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor?

a) cos20° b) cos100° c) cos160°d) cos260° e) cos320°

3. En la CT hallar el área de la región sombreada:

a) sen

b) cosc) 1/2send) 1/2sene) 1

4. En la circunferencia trigonométrica mostrada:

cos = y OM = MB. Calcular el área de la

región triangular OMP.

a) 1/6b) 1/3c) 1/4 d) 1/2 e) 2/3

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

(a – 1; 4a – 1)

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 27: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

5. Si: < y < , entonces:

I. sen x > sen yII. cos x < cos y III. sen x < cos y

4Son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I y III

6. Hallar los valores de “k” si:

cos =

a) [-1; 2] b) [-2; 1] c) [-3; 2]d) [-1; 3] e) [-1; 1]

7. Si: senx = ; hallar la suma de todos los

valores enteros que puede tomar “a”.

a) 6 b) 7 c 8d) 9 e) 10

8. Calcular A.B donde “A” y “B” representan los valores mínimo y máximo de la expresión:

P = A + B cos x

a) –15 b) –6 c) 8d) 15 e) 16

1. Si: IIIC y cos = ; entonces el

intervalo de “k” es:

a) ]-5; 3[ b) ]0; 2/3[ c) ]-3; 2/3[d) ]-2/3; 0[ e) ]3; 2/3[

2. Si: “ y ” son arcos diferentes, calcular la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la expresión:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 28: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

3. Afirmar si es (V) o (F):

I. sen 2 < sen 3II. cos 5 < cos 6III. sec 4 tan 6 > 0

a) VVV b) FFV c) FVFd) VFF e) FFF

4. Del gráfico calcular el área de la región sombreada, si BP = PQ = QB´

a) 1/3 sen b) 1/3 cos c) –1/3 sen d) –1/3 cos e) – 1/6 sen

5. De la figura calcular “d”

a)

b)

c)

d)

e)

6. Calcular el valor de:

a) 1/2 b) 1/3 c)1/4d) 1/5 e) 1/6

7. Si: < x < indicar la variación de:

2sen x + 3

a) [4; 5] b) ]4; 5[ c) [4; 5[d) ]4; 5] e) ]4; 5]

8. En la CT hallar el área de la región

sombreada:

a) senb) cosc) 1/2send) 1/2cose) 1

1. Reducir:A= (1–cos2x) (1+cot2x) + (1 – sen2x)(1+tan2x)

a) 0 b) –2 c) 2d) –1 e) 1

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 29: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

2. Reducir la siguiente expresión trigonométrica:

0° < x < 90°

a) secx b) tanx c) 1d) 0 e) N.A.

3. Simplificar:

H = 16(sen6 x + cos6 x) – 24(sen4 x + cos4x) + 10 (sen2 x + cos2x)

a) 0 b) 1 c) –1d) 1 e) -2

4. Simplificar:

E = tan2x + cot2 x + 2 – sec2x . csc2x

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

5. Reducir la siguiente expresión trigonométrica:

K = (1+sen2x)+2(1+sen2x)(1+cos2x) +(1+cos2x)

a) 0 b) 1 c) 3d) 9 e) 27

6. Simplificar:

a) 4 b) 2 c) 1d) 1/4 e) 1/2

7. Simplificar:

a) 1 b) tanx c) tan3xd) cotx e) cot3x

8. Reducir:

a) secx b) senx c) cosh d) cscx e) 1

1. Encontrar “n” de tal manera que se cumpla: (senx + cosx) . (tanx + cotx) = n + cscx

a) sen x b) sec x c) cos x d) cscx e) tan x

2. Calcular: z = (tan 50° + csc40°) . (cot 40°. sec50°)

a) 1 b) –1 c) 0d) 2 e) –2

3. Si: tanx + cotx = 3

Calcular:

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 30: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

a) 6 b) 9 c) 12d) 18 e) 36

4. Si: senx – cosx = ; hallar: T = 5. sen x . cos x - 1

a) 0 b) 1 c) 3d) 5 e) 1/5

5. Si: cosx + cos3x = 1; hallar: W = sen2x + sen4x

a) 2 b) –2 c) 0d) –1 e) 1

6. Si: cscx + cotx = 10; encontrar:U = cscx + cotx

a) 100 b) 10 c) 1d) 0.1 e) 0.01

7. Si: sen3x + csc2x = 7; 270° < x < 360°encontrar : R = 2. senx + cosx . cotx

a) 3 b) 1/3 c) –3d) –1/3 e) 1

8. Simplificar la expresión:

a) 1 b) tanx c) cotxd) secx e) cscx

1. Reducir:

M =

a) tan b) cot c) tand) cot e) 1

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 31: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

2. Hallar el valor de: A = sen(5/12) . cos(5/12)

a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/16

3. Si “X” e “Y” son las medidas de dos ángulos agudos tales que cosX = 12/13, tan Y = 15/8; calcular el equivalente de: “sen (X+Y)”

a) 221/220 b) 220/221 c) 22/221d) 21/220 e) 220/21

4. Indicar el equivalente de: E = . Sen (45° - x)

a) cosx. senx b) cosx + senx c) senx - cosx d) cosx – senx e) 2(cosx – senx)

5. La expresión:

P = , será igual a:

a) tanx – coty b) cotx + tany c) tanx + coty d) 1-tany. Tanx e) cotx – tany

6. Calcular:

a) 1 b) –1 c) d) /2 e) -

7. Simplificar: W = sen(60°-x).cos (30° + x)

+ cos (60° - x) sen (30° + x)

a) 0 b) –1 c) sen(30°- 2x) d) 1 e) sen (2x – 30°)

8. Si: tan ( + ) = 33 y tan = 3Hallar el valor de: “tan ”.

a) 30 b) 0.03 c) 100/3d) 0.3 e) 10/3

1. Hallar el valor de “tan” del gráfico adjunto, si: CM = 1, DM = 2 y BC = 3

a) 1b) 1/5c) 5d) 1/6e) 6

2. Hallar el valor equivalente aproximado de: K = tan 8° / cot16°

a) 1/24 b) 24 c) 7/24d) 24/7 e) 1/7

3. Hallar: J = (tan15° - tan75°)/(1+tan15°. Tan75°)

a) 1 b) c) - /3d) /3 e) -

4. Calcular el valor de “tan” del gráfico.

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 32: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitarioa) 1b) 1/2c) 2d) 1/3e) 3

5. Encontrar el valor de.

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 0 e) Necesito tablas

6. Hallar: A = tan 35° + cot 80° + cot 55° . tan 10°

a) 3 b) 2 c) 1d) 9 e) Necesito tablas

7. Siendo “A” y “B” y “C” las medidas de los ángulos internos de un triángulo ABC, simplificar:

L = (tanA + tanB + tanC). CotA. CotB. CotC

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 6

8. Reducir:

a) 1 b) –1 c) 0d) 3 e) 5

1. Reducir:

a) 1 b) 0 c) –1d) 2 e) -1/2

2. Calcular: E = 3csc150° + tg225° - sec300°

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Simplificar: A = sen170°.csc190°+6sen150°-2cos180°

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 33: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Si: x + y = 180°, calcular:

a) 2 b) 3 c) –1d) –2 e) 0

5. Calcular:

a) –14 b) 14 c) –12d) 12 e) –10

6. Reducir la expresión:

a) 0 b) 1 c) –1d) 2 e) –2

7. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) -1d) –2 e) 0

8. Reducir:

a) –1 b) –2 c) 0d) 1 e) 2

1. Calcular:

A = 4cos(-120°) –3cot(-315°) + 4sec(-300°)

a) 1 b) 2 c) 3d) –3 e) –2

2. Dado un triángulo ABC, calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) –1 e) –2

3. Si: x + y = 2, calcular:

A = senx + tan + seny+tan

a) senx b) 2senx c) -tan

d) – 2tan e) 0

4. Calcular:

A=2tan +sen sec(-x)+3sen

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 34: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitarioa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Calcular:

A = 2tan43 - 2cos147 + 6sen61

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. + son suplementarios, reducir:

a) 1 b) –1 c) -tand) -tan e) -cos

8. Afirmar si es (V) o (F):

( ) sec (90° + x) = cscx( ) cot (270° - x) = tanx( ) csc (270° + x) = secx

a) FFF b) FFV c) VVFd) FVF e) FVV

1. Simplificar:

a) senx b) cscx c) cosxd) secx e) tanx

2. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 1/2 e) 1/3

3. Si: x = , Calcular:

E = 4senx. Cos3x – 4sen3x . cosx

a) -1 b) 1 c) 1/2 d) e) /2

4. Reducir:

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 35: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

a) 0 b) 1 c) 2d) 2cot2x e) cot4x

5. Reducir la expresión:

; 0° < < 90°

a) tan b) tan 2 c) tan2d) tan2 e) cot

6. Reducir:

E =

a) cot b) 2cot c) tand) 2tan e) 1

7. Calcular: M = (2+cos35°) . (1 – cos35°) + sen20°

a) 0 b) 1 c) –1d) 2 e) –2

8. Si: 2a + b = 90°, calcular:

a) 0 b) 1 c) 2d) –1 e) –2

1. Siendo: tanx = 0.5, Hallar: R = tan2x.cotx

a) 1 b) 2 c) 4/3d) 8/3 e) 2/3

2. Hallar:

a) 1 b) /2 c) –1d) - /2 e)

3. Hallar “a”:

a) 18b) 12c) 9d) 6

e) 3

4. Conociendo que:

tan = m. Hallar: “cosx”

a) b)

c) d)

e)

5. Indicar el equivalente:

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 36: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

a) cot b) tan c) cotx

d) 2cot e) –tanx

6. Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 1/3

7. Simplificar:

A = cot

a) tan + 4 b) 2tan c) –tan4d) –2tan e) 2cot2

8. Reducir:

a) 1 b) senx c) 2d) cosx e) 1/2

1. Si: cos = ; 0° < < 90°

Hallar: sen

a) b) c)

d) e)

2. Si:

cos = < < 2

calcular: “sen ”

a) b) - c)

d) - e) -

3. Si:25cos2x – 4= 0; 180° < x < 270°

calcular: tan

a) b) c) -

d) - e) -

4. Calcular:

a) b) 1 c) –1

d) - e)

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D E N A U L A

Page 37: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitario

5. Reducir:

a) 2sen b) 2cos c) 2tan

d) 2sen2 e) 2cos2

6. Si la siguiente igualdad es una identidad:

hallar: “m + n”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Si: csc80° + tan10° = aCalcular : “cot50”

a) a b) 2a c) a-1

d) 2a-1 e)

8. Reducir:

a) 1 b) sen40° c)sen 50°d) cos80° e) sen80°

1. De la siguiente igualdad: cot14° - n sec34° = tan 14° - 2tan 28°

hallar: “n”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Reducir: M = 4sen350° - 3sen50°

a) 1/2 b) –1/2 c) 1

d) –1 e)

3. Reducir:

a) cos2x b) 2cos2x c) cosxd) 2cosx e) 1

4. Siendo:

sen ; calcular: “senx”

a) 1 b) - c)

d) e) -

5. Si: senx – cosx = , calcular: sen6x

a) b) c)

d) e)

6. Si: tan

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A

Page 38: TRIGONOMETRÍA - 5TO

I.E.P. “Leonardo de Vinci” – Sistema Preuniversitariohallar: “cot3x”

a) b) c)

d) e)

7. Si:

sec = 3sen

hallar: cos 2x

a) b) c)

d) e)

8. Si: cosx = -1/5; 180° < x < 270°

Hallar: “sen ”

a) b) c) d) e)

Sub – Área: Trigonometría 5º Secundaria