Trigonometria Completo Anual Aduni 2014 (1)

Preguntas Propuestas

ANUAL

TRIGONOMETRÍA

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Trigonometría

. . .

2

Razones trigonométricas de un ángulo agudo I

1. Se coloca un telescopio topográfico sobre un tripode que esta 5 pies por arriba del nivel del suelo, mide una elevación de qº sobre la hori-zontal a lo alto de un árbol que está alejado 12 pies. ¿Cuál es la altura del árbol?

(x+8) pies(x+8) pies

12 pies

x pies

5 pies

θ

A) 57 pies B) 15 pies C) 10 piesD) 13 pies E) 85 pies

2. En el gráfico, si sen senA B= 13

,

calcule cosB · secA+5tanA

3 CA

B

A) 1 B) 2 C) 1/2D) 3 E) 1/3

3. En un triángulo ABC recto en B, calcule cot2C – sec2A.

c

ba

AB

C

A) – 1 B) 1 C) 2D) – 2 E) 0

4. En el gráfico, calcule tanq+cot2q+cot(2q+a).

θ

θα

13 10 2

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

5. Un peso de cables atados a ambos extremos

de una viga horizontal, se aprecia en la figura.

Si tanα = 12

y cotb=3, ¿cuál es la longitud a la

que está el peso con respecto a la viga?

90 cm

2 cm

peso

α β

A) 12 cmB) 3 cmC) 11 cmD) 14 cmE) 20 cm

6. Si cosθ =2129

, q es un ángulo agudo.

calcule 292

22

sen ·cotθ θ

+

A) 5 B) 3 29 C) 2D) 7 E) 10

Trigonometría

3

Razones trigonométricas de un ángulo agudo II

7. En el gráfico se ilustra una grúa con un contra-peso, calcule la distancia entre los puntos A y B.

127°127° 10 u

BA

10 u

A) 20 u

B) 8 5 u

C) 32 u

D) 10 2

E) 6 10 u

8. Del gráfico, calcule cota, siendo ABP un trián-gulo isósceles y P es punto medio de AC.

A

CBα

120ºP

A) 2 3

B) 32

C) 3

3

D) 3 3

E) 3

9. El área de una región triangular ABC, recto en

B es 8 3 2u . Si tanC = 3, calcule la longitud de

la hipotenusa.

A) 16 B) 12 C) 8

D) 10 E) 8 3

10. En el gráfico senC=0,8 y AM=24.

Calcule BM – MC.

B

C

M

A

A) 7 B) 14 C) 12D) 6 E) 21

11. En el gráfico EFGH es un cuadrado, calcule el valor de la expresión

cscx+senx

E H

F G105°

x

A) 2,5 B) 3,5 C) 4,5D) 5,5 E) 6,5

Trigonometría

. . .

4

12. Si sec ºcsc º

cos4530

= θ y BC=CM,

calcule 2 1+( )tanα.

θ θ αC MA

B

A) 2

B) 3

C) 2 1−

D) 2

E) 1

Razones trigonométricas de un ángulo agudo III

13. Si sen(2xº+12º) · csc52º=1 y

sen(3yº+10º)=cos(2yº+35º)

calcule x – y.

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

14. Calcule A y B, a partir de las siguientes igual-

dades

tan(3A – 35º)=cot(90º – B) (I)

2B – A=15º (II)

A) 5º; 10º

B) 1; 8

C) 14; 13

D) 15º; 15º

E) 17º; 16º

15. Se sabe que q y a son complementarios, ade-más se cumple 16senq=seca.

Calcule

15 ·tan cscθ θ+

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

16. Siendo x un ángulo agudo, calcule cos(x – 5º),

si sen º cos ºtan º·tan º

sen35 55

2 40 50+ = x

A) 2

2 B) 1

2 C) cos50º

D) 32

E) cos40º

17. Calcule el valor de la expresión

sen º·sen º·sec ºcos º·cos º·sen º

1 10 8980 60 30

A) 1 B) 3

3 C) 4 3

D) 4 33

E) 4

18. Al multiplicar las 5 razones trigonométricas de un ángulo agudo se obtiene el valor de 3. Calcule la mayor tangente que se puede con-seguir.

A) 2 2

B) 3

C) 13

D) 24

E) 3 2

Trigonometría

5

Resolución de triángulos rectángulos I

19. Calcule CM en función de q, si 4(BC)=5(CD).

A D

C

M

B

9

θ

A) 4sen2q

B) 5sen2q

C) 4sen3q

D) 4cos2q

E) 5 · cos2q

20. Del gráfico, calcule AM en término de q y d.

A) dsen2qB) d · cos2qC) d · senq

d

A C

B

M

θ

θ

D) d · cosqE) d · senq · cosq

21. En el gráfico, calcule QR+PM.

B

M

CPRA

Qa

θ

A) 2asenqB) 2acosqC) a(senq+cosq)D) a(senq+secq)E) a(cosq+cscq)

22. En el gráfico, calcule OMOA

.

A) cos10q

θθθ

θ

1

2

3

10

A

B

C

D

M

O

B) sen10qC) sen5q· cos5qD) cos9qE) sen9q

23. En el gráfico, calcule EHMD

, si AM=a.

D CA

MH

BE

θ

b

A) a bb

− cosθ

B) a ba

senθ −

C) b a

a+ cosθ

D) b a

a− ·cosθ

E) b aa− sencos

θθ

Trigonometría

. . .

6

24. Si AD=MN, calcule cotq · cosq – senq.

D C

A

M

N

B

θ

A) 1/2 B) 1/3 C) 2D) 3 E) 1

Resolución de triángulos rectángulos II

25. Del gráfico, calcule x.

B

F

M

A x Cθ

30°

2

A) 8cotqB) 8cscqC) 4cotqD) 4cscqE) 8senq

26. En el gráfico, calcule CD.

A D

B

1

C

α

α

A) cota

B) csca · cota

C) cosa · cota

D) csca· cota· cosa

E) seca · tana · sena

27. En el triángulo ABC, recto en B, calcule BD.

A D C

B

b

α θ

A) bcosa · cscq

B) bsena · cscq

C) b · sena·senq

D) b · cosa· secq

E) b · sena· senq

28. En el gráfico AC=CD, calcule x.

B

M P

DCA

x

θ

2n

A) ncscq

B) ncotq

C) n

D) ntanq

E) 2n

Trigonometría

7

Claves

01 - C

02 - B

03 - A

04 - C

05 - E

06 - D

07 - B

08 - D

09 - C

10 - B

11 - A

12 - E

13 - B

14 - E

15 - C

16 - D

17 - E

18 - A

19 - B

20 - E

21 - C

22 - A

23 - D

24 - E

25 - B

26 - D

27 - A

28 - C

29 - C

30 - E

29. En el triángulo ABC recto en B, calcule AB.

A P C

B

1

50°

60°

A) csc10º · sec50º

B) csc10º ·zcsc50º

C) csc50º · sen80º

D) sen80º · sec50º

E) sen50º · sen10º

30. En el gráfico, calcule AC en términos de a y q

B

CA

M

2

180° – 2θ

αα

ββ

A) 2cosq · cotaB) 2senq · cotaC) 2csca · tanqD) 2 · tana · cosqE) 2senq · csca

Trigonometría

. . .

8

Resolución de triángulos rectángulos III

1. Calcule el perímetro de la región sombreada.

α6

α

A) 6(seca+1)B) 2(seca+3)C) 3(seca+2)D) 6(tana+1)E) 6(csca+1)

2. Calcule el área de la región sombreada en tér-minos de q.

3

1θ

A) 3tan2qB) 3sec2qC) 3cotqcscqD) 3cot2qE) 3tanqsecq

3. Si AB=2, calcule MN en términos de q.

M CN

A Bθ

A) 2cot2q B) 2csc2q C) 2tan2qD) 2sec2q E) 2tanq

4. Calcule x en términos de q.

5

2

θ

x

A) 5 – 2cotq B) 5+2tanq C) 5+2cotqD) 5 – 2tanq E) 5 – tan2q

5. De acuerdo al gráfico la luz se proyecta por medio de un espejo a la parte más elevada de un árbol. Calcule la tanq.

A) 7

B) 32

C) 17

θθ 21

0 u

50 u 40 u

D) 23

E) 73

6. En el gráfico. Si AB=AE, calcule tanb en térmi-nos del ángulo q.

D CE

A B

θ β

A) secq+tanq B) secq – tanq C) tanq – secqD) secq –1 E) tanq –1

. . .

Trigonometría

9

Introducción a la geometría analítica I

7. En un triángulo equilátero ABC, halle la suma de las coordenadas de B.

A) 2 3 1−( )B) 3 3 1−( )C) 2 3 1+( )

B

AO– 4 X

Y

D) 3 3 1+( )E) 3 1−

UNMSM 2006 - II

8. En el gráfico, las coordenadas del punto P son 3 3;( ) y las del punto Q son (3; 3). ¿Cuántos

grados mide el ángulo POQ?

Q

P

O X

Y

A) 10º B) 30º C) 22,5ºD) 12º E) 15º

UNMSM 1997

9. Del gráfico, calcule tana+tanb.

B(8; 3)

C(28; – 7)

(4; 0)Aαβ X

Y

A) 718

B) 43

C) 2524

D) 724

E) 916

10. Del gráfico, calcule a+b+c si ABCD es un cua-drado.

B (0; 7)

C (a; b)

A (– 4; 4)

D (c; 0) X

Y

A) 5 B) 6 C) 7D) 4 E) 8

11. Encuentre los puntos (x; 5) cuya distancia al punto (– 2; 3) es 20.

A) (– 6; 5), (1; 5)B) (– 6; 5), (2; 5)C) (– 3; 5), (2; 5)D) (– 3; 5), (1; 5)E) (– 2; 5), (4; 5)

12. Calcule el perímetro de la región triangular ABC.

B(4; – 5)

C

A(– 2; 3)

X

Y

37º

A) 20 uB) 21 uC) 22 uD) 23 uE) 24 u

Trigonometría

. . .

10

Introducción a la geometría analítica II

13. Del gráfico, calcule b – a.

C(4; 6)

B(4; – 4)A(– 4; 2)

P(a; b)

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 1

14. Calcule la suma de coordenadas del punto Msi AB=MN.

N(2; – 6)θθ

M

A

B(– 4; 0)X

Y

A) – 2 B) – 3 C) – 5D) – 4 E) – 6

15. Si AM=MC y 2(PM)=BP, calcule el ángulo q.

C(7; 1)A(– 3; – 2)

θ

M

P

B(2; 7)

X

Y

A) 15º B) 30º C) 37ºD) 45º E) 60º

16. Si OM=MB, ON=NC y G(a; b) el baricentro del

triángulo OBC. Calcule ab

.

M(3; 6)

B

O

C

N(4; – 5)

X

Y

A) 17

B) 5 C) 7

D) 6 E) 13

17. Calcule las coordenadas del baricentro del ABC si OC=AO=OB.

B

O

C

A(3; – 6)

X

Y

A) (1; 2) B) (2; 1) C) (6; 5)D) (2; 3) E) (3; 2)

18. El baricentro de un triángulo es el punto (1; 4) y

el punto medio de uno de sus lados es 12

32

; .

Determine las coordenadas del vértice opues-

to a dicho lado.

A) (2; 9) B) (1; 3) C) (2; 8)

D) 32

112

;

E) (–1; – 2)

. . .

Trigonometría

11

Ángulos en posición normal I

19. Del gráfico, calcule tan2q+2.

45ºθ

6

M(4; 0)X

Y

A) 10 B) 12 C) 7D) 9 E) 11

20. Sea q un ángulo en posición estándar, pertene-ciente al tercer cuadrante, cuyo lado final pasa por los puntos A(– 4; x –1) y B(x+1; – 3), calcule el valor de x.

A) – 4B) 0C) – 2D) − 13E) 13

21. Del gráfico, calcule secq.

θ

3

(n; 2)

X

Y

A) − 53

B) − 32

C) − 32

5

D) − 35

5 E) − 2

22. Calcule tana+cotb.

A(– 4; 1)

X

Y

β

α

A) 12

B) 0 C) − 12

D) 154

E) −154

23. Del gráfico, calcule 7tanq si AB = 5 2.

X

B

A45º

37º

Y

θ

A) – 2 B) –1 C) – 3D) – 4 E) –1/2

24. En el gráfico, calcule cosφsenφ si OA=OB.

X

B

A

O30º

Y

φ

A) − 27

B) − 2 27

C) − 27

D) − 2 37

E) − 3 37

Trigonometría

. . .

12

Ángulos en posición normal II

25. Si sen tanα α < 0, determine el signo resultan-te de las expresiones.I. cosa · tanaII. cota – cscaIII. cosa+cota

A) –; –; +B) +; –; –C) +; –; +D) –; +; –E) –; –; –

26. Si q ∈IIIC, además cos .θ = − 13

Calcule 22

tancsc

.θ θ+

A) 133

B) 5 C) 1

D) 134

E) –1

27. Si tan ,2 19

β β= ∈IIIC, calcule 10 sen cot .β β−

A) 1 B) − 13

C) − 14

D) 3 E) – 4

28. De la siguiente igualdad9(senq)2+3(senq) – 2=0, q∈IIC.Calcule cscq.

A) 32

B) 3 C) 52

D) 35

E) 2

29. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.I. Todo ángulo del IC es positivo.II. Si cosb=2/3 → b∈ IC ∨ IVC.III. Si a es negativo → sena es negativo.

A) FFV B) VVV C) FVFD) VVF E) FFF

30. Del gráfico, determine los cuadrantes a los que pertenecen a y b, respectivamente.

X

Y

α

β

A) III, III B) II, IV C) II, IIID) IV, III E) IV, IV

Claves

01 - A

02 - E

03 - C

04 - D

05 - B

06 - B

07 - A

08 - E

09 - C

10 - A

11 - B

12 - E

13 - C

14 - D

15 - D

16 - C

17 - B

18 - A

19 - E

20 - D

21 - D

22 - B

23 - C

24 - D

25 - B

26 - D

27 - B

28 - B

29 - C

30 - A

Trigonometría

. . .

13

Ángulos en posición normal III

1. Determine cuántos ángulos cuadrantales

existen entre – 541º y 181º.

A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11

2. Calcule el valor de la siguiente expresión:

2 1 2 270 180

1 2 22

2

2

2

( sen º sec º)

(cos ) csc sec

− +

+ +

π π π

A) 32

B) 2 C) 1

D) 85

E) 43

3. Si Kn=n,

calcule sen( º ) cos( º )csc( º ) tan( º )

90 9090 90

1 2

3 4

K KK K

−+

A) – 2 B) – 1 C) 0

D) 1 E) 2

4. Si cos ; º º,34

34

0 901 2x

x

=

< </

calcule sen(2x+10º)+cos(4x+20º)+cot(6x+30º)

A) – 1 B) 0 C) 1

D) 2 E) – 2

5. Si q y α son ángulos cuadrantales positivos

y menores que una vuelta, que cumplen

tanq=senα+1. Calcule q+α.

A) 360º

B) 270º

C) 360º

D) 720º

E) 450º

6. Del gráfico

P(– 2; 3)Y

Xα

β

calcule

cos( ) (sen cos )sen

α β α βα β

− + +−

13 4

A) – 1 B) 0 C) 1D) 2 E) – 2

Identidades trigonométricas fundamentales I

7. Simplifique la siguiente expresión:

11

− ++ −

cos sensec tan

θ θθ θ

A) cscq B) cosq C) secqD) senq E) cos2q

8. De la siguiente identidad,

cot coscsc

sec ,θ θθ

θ++

=1

n

calcule el valor de n.

A) – 1 B) 1 C) – 2D) 2 E) 1/2

9. Si sen2q – 1=2senq,calcule sen2q+csc2q

A) 8 B) 4 C) 2D) 10 E) 6

10. Reduzca la siguiente expresión:

(sen ) (sec )

(cos ) (csc )(cot )

x x

x xx

− −

− −−⋅

⋅

⋅

1 1

1 12

A) tan2x B) cot2x C) 1D) secx · cscx E) cotx

Trigonometría

14

11. Si sec tansec

,θ θ

θ− + =1 n

calcule senq – cosq

A) 1 – n B) n+1 C) n – 1D) n – 2 E) 2 – n

12. Si tan2x+cot2x=2 y x pertenece al segundo

cuadrante, halle el valor de la expresión

tan cot

cot tan cot

81 81

21 7 64x x

x x x

+ ++ +

A) – 4 B) 4 C) 2

D) – 2 E) – 6

UNMSM 2004 - II

Identidades trigonométricas fundamentales II


sec coscsc sen

x xx x

−−

3

A) cotx B) tanx C) secxD) cscx E) 1

14. Exprese A = + ⋅+

1 2cos cscsen cos

α αα α

en función de tanα.

A) 1+tan2α

B) 11−

tanα

C) 1 – tan2α

D) (1+tanα)2

E) 112+

tan α

UNMSM 2004 - I

15. Si sectan

,2 2

1θθ−+

= n

Calcule 1

sec tansec

θ θθ

−−

A) n+1 B) – n C) n – 1

D) 2n E) 1 – n

16. Sabiendo que α es un ángulo agudo, el cual

satisface la ecuación cotα +cscα=5, determine

el valor de la expresión 24tanα+26senα.

A) 10 B) 20 C) 15

D) 5/12 E) 5/13

17. Simplifique la expresión

1 2 1 1 1 2+ − − ⋅{ }− − − −(sec (tan ) tan (sec ) ) sen (cos )x x x x x x

A) 2 B) – 1 C) 1

D) – 2 E) 2– 1

UNMSM 2007 - II

18. Si cosq·cotq+2senq=3, entonces el valor de

sen2q+csc2q es

A) 11 B) 8 C) 5

D) 9 E) 7

UNMSM 2008 - II

Identidades trigonométricas fundamentales III

19. Si sec2q+csc2q=4,

calcule sen6q+cos6q

A) 14

B) 12

C) 18

D) 116

E) 74

Trigonometría

. . .

15

20. Calcule el equivalente de la siguiente expresión:

sec csc tansec csc cot

α α αα α α⋅ −⋅ −

+1

A) sec2αB) csc2αC) sen2α+1D) 2E) cos2α+1

21. Si 3+4cotq=5cscq,calcule tanq.

A) 4/3 B) 2 C) 3/4D) 3/8 E) 1/2


sen8q – (sen4q – cos4q)(1 – 2sen2qcos2q)

A) sen8qB) – cos8qC) sen4qD) cos8qE) – sen8q


sec csc (sec csc )

sec csc

4 4 2 2 2

2 2θ θ θ θ

θ θ− −

+

A) 12

B) sen2q C) 4

D) cos2q E) 2

24. Elimine la variable q en

secq+cscq=a y tanq+cotq=b,

A) (b – 1)2=a2 – 1

B) (b+1)2=a2+1

C) (b+1)2=1 – a2

D) (b2+1)2=a2

E) (b – 1)2=a2+1

Identidades trigonométricas de

ángulos compuestos I


sen( ) sen( )cos( ) cos( )

A B A BA B A B+ − −− − +

A) tanA

B) tanB

C) cotB

D) cotA

E) tanA+tanB


cos( ) tan cos sencos sen

x y y y xx y

+ +

A) coty

B) – tanx

C) tany

D) cotx

E) – coty

27. Si A+B=30º y A – B=16º,

calcule el valor aproximado de la expresión

sen2Acos2B – sen2Bcos2A

A) 725

B) 750

C) 524

D) 1650

E) 350

28. Si

a b a b

x y

⊗ = + −+ =

( )º

2 160

calcule (cos sen ) (sen cos )x y x y⊗ ⊗ ⊗

A) 0 B) – 1 C) 1D) 3 E) 2

Trigonometría

16

29. Del gráfico, calcule senq.

θ

12

16 5

A) 365

B) 6265

C) 563

D) 6365

E) 760

30. Calcule el valor aproximado de la expresión

sen ºsen º

291

1625

⋅+

A) 2

B) 2 2 C) 2

2

D) 17 250

E) 31 2

2

Claves

01 - C

02 - D

03 - A

04 - B

05 - E

06 - D

07 - B

08 - A

09 - E

10 - C

11 - A

12 - D

13 - B

14 - E

15 - A

16 - B

17 - C

18 - E

19 - A

20 - B

21 - C

22 - D

23 - C

24 - B

25 - D

26 - A

27 - B

28 - E

29 - D

30 - C

Trigonometría

. . .

17

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos II

1. Si tan(45º+q), calcule sec2q.

A) 152

B) 43

C) 137

D) 3 E) 139

2. Calcule el valor de la expresión.

34

134

53+

−

−( )tan

tan·tan º

θ

θθ

A) 1/2 B) – 1 C) 2D) 1 E) – 1/2

3. Si tanθ = −+

nn

11

, calcule tan(45º – q).

A) n B) 2n C) 1/nD) 1– 2n E) 1/2n

4. Si cota – cotq=5 y tan tanθ α = 12

,

calcule tan(q – a).

A) 53

B) 14

C) 23

D) 32

E) 52

5. Si tan θ α+( ) = 15

y tan θ α−( ) = 14

,

calcule tan2a.

A) 121

B) 919

C) −121

D) −110

E) −914

6. Del gráfico, calcule el valor de x.

2

37º

5

x

A) 87/14 B) 83/14 C) 87/5D) 83/4 E) 77/14

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos III

7. De la siguiente identidadtan tantan tan

sensen

,5 35 3x xx x

AxBx

+−

=( )( )

donde A > B > 0. Calcule A+B.

A) 12 B) 8 C) 9D) 6 E) 10

8. Si sen(A+B)=3cosAcosB,

calcule sec tantan tan

2 21A BA B− −−

.

A) 2 B) 3 C) 1/3D) – 3 E) – 1/3

9. Calcule el valor de la siguiente expresiónsen º

cos ºcos ºsen º

cos ºcos ºtan º

210 8

212 10

12+ −

A) 17

B) 13

C) − 17

D) − 34

E) −13

10. Calcule el equivalente de la siguiente expresiónsen sen sen

senx y x y x

y+( ) −( ) − 2

A) – cosy B) cosy C) – senyD) – coty E) seny

Trigonometría

18

11. Simplifique la siguiente expresión

sen sen sensen cos

2 2 2

2α θ α θ

α θ− + +( )

A) sen(a – q)B) senacosqC) senqcosaD) sen(a+q)E) senasenq

12. Si tan(2q+a)=4, calculetanq+tan(q+a)+4tanqtan(q+a)

A) 5 B) 3 C) 2D) 4 E) 1

Identidades trigonométricas de ángulos compuestos IV

13. Calcule el valor de la siguiente expresión3 10 4 10

27cos º sen º

sen º−

A) 5 B) 10 C) – 5D) 1/5 E) –10

14. Calcule el valor de la siguiente expresión(sen20º+cos20º)sec25º

A) 2

2B) 2 C) 2 2

D) 2 E) 12

15. Calcule el máximo valor de la expresión

26

sen cosx x+

+

π

A) 5 B) 7 C) 1D) 2 E) 3

16. En un triángulo ABC, se cumple quetan tan tan

,A B C

6 3 2= =

calcule tan2A.

A) 12 B) 11/9 C) 11D) 11/4 E) 10

17. Reduzca la siguiente expresióncot º cot º cot º

cot º tan º30 37 23

30 53+ +

A) cot13º B) cot21º C) cot33ºD) cot23º E) cot18º

18. Si A+B+C=60º, calculetan tan tan

tan tan3 3 3

3 3A B C

A B+ +

A) – tan3C B) tan23A C) tan3CD) tan3B E) – tan3A

Reducción al primer cuadrante I

19. Calcule el valor de la expresiónsen120º+cos240º+tan150º+sen150º

A) 36

B) 5 36

C) 32

D) 0 E) 1

20. Si x+2y+3z=180º

calcule sen

sentantan

2 3 23

y zx

x yz

+( ) − +( ).

A) 2 B) 0 C) – 2D) –1 E) 1

21. Simplifique la siguiente expresiónsen sen

tanπ π

π+( ) −( )

−( )x x

x2

A) – sen2xB) senxcosxC) – cos2xD) – senxcosxE) senx

22. Reduzca la siguiente expresióncos20º+cos40º+cos60º+...+cos140º+cos160º

+cos180º

A) 2 B) –1 C) 0D) 1 E) 1/2

Trigonometría

. . .

19

23. Se cumple que a+b=300º, el valor de

sen sen sen ºsen2 2 12014

α β α β− + −( ) − es

A) 14

B) 12

C) −14

D) −12

E) 0

24. Del gráfico, calcule tanq.

37º

θ

X

Y

A) −34

B) 43

C) − 43

D) −23

E) 34

Reducción al primer cuadrante II

25. Simplifique la expresióncos º csc º

sen º tan º180 270

150 225−( ) +( )θ θ

A) 12

B) 32

C) 3

D) 2 E) 1

26. Si cos50º=n, calculecos º

sec ºcsc º130

310 220

A) – n3 B) n– 3 C) n3

D) – n– 3 E) n–1

27. Si tan ºcsc ºcos º

90240210

+( ) =θ ,

calcule tanq.

A) 34

B) −12

C) −43

D) 43

E) −34

28. Calcule el equivalente de la siguiente expresión

cot cot

tan tan

2 3232

π α π α

π α π α

+( ) −

+( ) −

A) – tan2a B) cota C) tanaD) cot3a E) – cota

29. Si a+q=90º, calcule sen(2a+q)csc(2q+a)cotq.

A) 1/2 B) –1/2 C) 1D) 2 E) –1

30. Si

cos

cot,

32

2

π θ

π θ

−

+

= n

calcule sen2q.

A) 1– n2

B) n2

C) n2 –1D) 2 – n2

E) – n2

Claves

01 - E

02 - D

03 - C

04 - A

05 - C

06 - A

07 - E

08 - B

09 - C

10 - C

11 - D

12 - D

13 - A

14 - B

15 - B

16 - C

17 - D

18 - C

19 - A

20 - A

21 - D

22 - B

23 - C

24 - D

25 - D

26 - C

27 - E

28 - B

29 - C

30 - A

Trigonometría

. . .

20

Reducción al primer cuadrante III


sen( º ) sen( º )

sen

720 1802

+ − +θ θθ

A) 2cscq B) 2senq C) 2secqD) 2cosq E) 2sec2q

2. Reduzca la siguiente expresión

sen( )sensen5 3

6π θ π θ

π θ+ −( )

+( )

A) – cosq B) cosq C) – senqD) – tanq E) senq


tan cot293

313

π π

+

A) − 33

B) 23

3 C) 2 3

D) 43

3 E) − 23

3

4. Calcule el valor de la siguiente expresióncos ºsec º

tan º4080780

37− −( )

A) −12

B) 2 C) 1

D) - 2 E) 12

5. Si 3sen(3600º+q) – sen(360º – q)=1,

calcule cos 152π θ+

A) −14

B) 12

C) −12

D) 14

E) 1

6. Si 2a+4q=p, calcule

sen sen coscos

θ α α θ α θθ

−( ) + −( ) + − −( )2 3

A) – 1 B) 1/2 C) 1D) – 2 E) 0

Identidades trigonométricas del ángulo doble I

7. Reduzcasensec

coscsc

cossec

sencsc

xx

xx

xx

xx

+

−

A) sen4x

B) 12

4sen x

C) cos2x

D) 12

2sen x

E) 12

4cos x

8. El valor de x al simplificar la expresión

x = +−

−+

11

1 21 2

2tantan

sensen

αα

αα

A) 1+senaB) 1 – sen2aC) 1D) – 1E) sen2a

UNMSM 2004 - I

9. Del gráfico, calcule ABBD

en términos de q.

θ

D1

θA

B

A) cotq B) tanq C) cotq·cosqD) tanq·senq E) 2tanq

Trigonometría

21

10. Si sencosθ α=

2,

calcule cos

sen

cos

sen

2 2 12 2θα

αθ

+ +

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

11. Determine el equivalente de la expresión

tan cos cot cosθ θ θ θ2

12

1⋅ +( ) + ⋅ −( )

A) 2cosq

B) 22

senq

C) 2senq

D) 22

cosq

E) 22

tanq

12. Si cos4a+2sen2a=0 y cos2a≠0, calcule cos2a.

A) 34

B) 112

C) 13

D) 29

E) 18

UNMSM 2011 - I

Identidades trigonométricas del ángulo doble II

13. Si sec

cot tan

2 tan3

x

x x

BxB−

=( )

,

calcule B.

A) 1 B) 2 C) 3D) 1/2 E) 4

14. Si tan a b+( ) = 2 y tan2b=1,

calcule tan(2a).

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

15. Si tan2q-8tanq+1=0,

calcule csc2q

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

16. Si tanθ = −2 1,

calcule sen costan cot4 42 2θ θθ θ( ) + ( )

A) 0 B) - 1 C) 1D) – 2 E) 2

17. Si tantan

21 2

xx

− = , x ∈ 04;π .

calcule x

A) ≠4rad B)

≠8rad C)

≠3rad

D) ≠6rad E)

≠12

rad

18. Determine el equivalente de la expresión

2

1 10

2

1 20

2

1 402 2 2−

−

−

tan º tan º tan º

A) tan280ºB) cot280ºC) cot240ºD) tan220ºE) tan240º

Identidades trigonométricas del ángulo doble III

19. Reduzca la expresióncotx – tanx – 2tan2x– 4tan4x

A) 8cot4xB) 8tan4xC) 4tan8xD) 8cot8x E) 4cot8x

Trigonometría

. . .

22

20. Calcule el valor aproximado de la expresión

cot º tan º cos sen2 2 2 24 48 8

−( ) −

π π

A) 70 B) 140 C) 70 2D) 140 2 E) 28 2

21. Si cos sen

cos sen

4 4

6 6 2x x

x x

++

= ,

calcule cos4x

A) 1 B) 2 C) – 2D) 0 E) – 1

22. Reduzca la expresión

23 6

6

23 6

csc tan

cot

cot cotx x

x

x x

−

+

−

tanx6

A) 2 B) 1 C) 0

D) 23

cscx

E) 23

cotx

23. Si la igualdad es una identidad

6 2 48

10 6 1216

+ + + = ( ) +

( ) + ( ) + ( )

cos cossen

sen cos cos

x xBx

Cx Bx Cx

A

D A D ...

calcule B+D – A – C, B > C > 0.

A) – 2 B) – 1 C) 0D) 1 E) 2

24. Si se sabe que aa

+ ≥1 2 , a > 0,

determine el mínimo valor que toma 4csc(2x)+3, 0º< x < 90º

A) 1B) 4C) 5D) 6E) 7

TrigonomeTría

01 - A

02 - C

03 - E

04 - E

05 - D

06 - A

07 - B

08 - C

09 - A

10 - E

11 - C

12 - A

13 - B

14 - E

15 - D

16 - C

17 - B

18 - A

19 - D

20 - B

21 - E

22 - C

23 - C

24 - E

Trigonometría

. . .

23

Identidades trigonométricas del ángulo triple


sen sen

cos

3 3

2θ θ

θ+

A) 3senq B) 3tanq C) 3cscqD) 3cotq E) 3sen2q

2. Reduzca la expresióncos cos

sen

3 3

3θ θ

θ−

A) 3tanq B) – 3cosq C) 3senqD) – tan2q E) – 3cotq

3. De la siguiente identidad1+4cos32q – 3cos2q=AcosN(Mq),calcule A+N+M.

A) 6 B) 5 C) 8D) 4 E) 7

4. Calcule el equivalente de la siguiente expresión

cos sen

cos costan

2 2

323 3

4 2 3 2

θ θθ θ

θ−−

+

A) 2tan2q B) sec2q C) 2csc2qD) csc2q E) 0

5. Determine el valor que asume q, para que se cumpla la igualdad

32

32 1

80 90

−

+

= ∈

sen sen

csc; º; º

θ θ

θθ

A) 10º B) 20º C) 8º

D) 532º E)

372º

6. Si sen10º+cos20º=4a,calcule sen310º+cos320º.

A) 2a B) 3a C) 4aD) 5a E) 6a

Transformaciones trigonométricas I

7. Calcule el equivalente de la siguiente expresión.

sen sencos

sen sencos

5 32

72 3

θ θθ

θ θθ

+ + +

A) 2sen4q B) 2cos2q C) 2sen2qD) 2cos3q E) 2senq

8. Calcule el equivalente de la siguiente expresión.

sen sencos cos

tan

tan tan

2 22 2

1

x yx y

y

x y y

++

−

+ +( )

A) tany B) – tanx C) – tanyD) tanx E) 0

9. Calcule el valor de la siguiente expresión.

sen º sen º cos º48 12 36

3

−( )

A) 1/2 B) 1 C) 1/3D) 1/4 E) 2

10. De la siguiente identidad

sen sencos

sen ,cos5 3

1 2θ θ θ

θθ

+( )+

= ( )M

calcule el valor de M.

A) 2 B) 3 C) 1D) 4 E) 5


1 2 2020 40+

⋅cos º

cos º cos º

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5


cos cos

cos cos sen sen

y y x

x y x y

+ −( )⋅ + ⋅

212

22

A) cosx B) 1 C) cos(y – x)D) 2 E) – cosx

UNMSM 2007 - II

. . .

Trigonometría

24

Transformaciones trigonométricas II

13. Calcule el valor de la expresión2sen70ºsen10º+2cos240º

A) 2 B) – 3/2 C) – 2D) 3/2 E) 1/2

14. De la siguiente igualdad2sen3qsenq+2cos22q=McosN(q)calcule M+N.

A) 3 B) 2 C) 5D) 4 E) 6

15. Calcule cotx+tanx, sitanx=sen10º · cos20º+sen5º · cos5º

A) 52

B) 103

C) 2

D) 174

E) 25

16. Calcule el valor de la siguiente expresión.3 20 10

40sen º sen º

cos º+

A) 32

B) 12

C) 2

2

D) 2 E) 1

17. Simplifique la expresióncos cos cos cos

sen7 2 6 3

4x x x x

x⋅ − ⋅

A) senx B) – sen2x C) – senxD) cos2x E) – cosx

18. Elimine la variable angular x de las siguientes condiciones

2sen2xsenx+cos3x=n (I)

cos cossen32 2x

xx−

m= (II)

A) m2+n2=1 B) n2 – m2=1 C) n+m=1

D) n · m=1 E) n2=m2

Circunferencia trigonométrica I

19. Del gráfico, calcule x1 · y1.

X

Y

C.T.

12

336

–x1;

; y1P

Q

A) − 12

B) − 13

C) − 14

D) − 15

E) − 18

20. Calcule la longitud del segmento PO.

A) 3 1−

X

Y

C.T

π6

5

O

PB) 6 28+

C) 6 22−

D) 14

E) 2 3−

21. Calcule la abscisa de P.

A) − −( )6 24

X

Y

C.T

P

15º15ºB) − 3

2

C) − 12

D) 3 14−

E) –1

Trigonometría

. . .

25

22. Calcule el área de la región triangular ABC.

A) 3 14+

u

2

X

Y

C.TC

B

A

π3

– 2

B) 3 24+

u

2

C) 3 32

u2

D) 3 34

u2

E) 2 3 u2

23. Si CM=3(AM), calcule la ordenada de R.

A) − 12

X

Y

C.T

C

R

AM

B) − 32

C) − 22

D) − 53

E) − 14

24. Determine todos los arcos dirigidos que puede asumir q.

X

Y

C.T

θ

20º20º

A) π918 10 0k k+( ) ∈ +; Z

B) π92 1 0k k+( ) ∈ +; Z

C) π92 10 0k k+( ) ∈ +; Z

D) π918 10 0k k−( ) ∈ +; Z

E) 29

9 15 0π

k k+( ) ∈ +; Z

Claves

01 - A

02 - E

03 - E

04 - B

05 - A

06 - B

07 - A

08 - D

09 - D

10 - D

11 - D

12 - D

13 - D

14 - D

15 - D

16 - E

17 - C

18 - A

19 - C

20 - E

21 - C

22 - D

23 - B

24 - A

Trigonometría

. . .

26

Circunferencia trigonométrica II

1. Determine el área de la región sombreada en función de q.

θ

X

Y

C.T.

A) 1

2+ senθ

B) senθ −1

2

C) − +1( )senθ

2

D) senθ + 2

2

E) 1

2− senθ

2. Determine el área de la región sombreada.

θ

Y

X

C.T.

A) senθ4

B) −senθ2

C) −senθ4

D) senθ2

E) 1

2+ senθ

3. En la circunferencia trigonométrica, calcule la ordenada del punto A.

θ

Y

XA

A) senθ2

B) − senθ2

C) – senq

D) senq

E) −senθ3

4. De la circunferencia trigonométrica, calcule la abscisa de P.

θ

Y

X

P

A) senq cosqB) cosqC) senqD) – cosqE) – senq

. . .

Trigonometría

27

5. Del gráfico, determine el valor de x en térmi-nos de b y q.

θY

X

x

b

C.T.

A) – cosq B) senθ + b

b C)

senθ − bb

D) cosθ

b E)

senθb

6. Determine qué proposiciones son correctasI. sen20º > sen170º II. sen(– 40º) > sen(– 20º)III. sen250º=sen290º

A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y II E) I y III

Circunferencia trigonométrica III

7. Calcule el área de la región sombreada.

Y

X

C.T.

θ

A) 22

sencosθ θ−1( )

B) 22

cossenθ θ−1( )

C) 22

sencosθ θ+1( )

D) 22

cossenθ θ+1( )

E) cos senθ θ−

2

8. De la circunferencia trigonométrica, calculetanb+cotb.

θ

β

Y

X

A) − 12

senq – 2cscq

B) 12

senq+2cscq

C) tanq+cotq

D) − 12

cosq – 2secq

E) 12

cosq+2secq

9. Calcule la longitud del segmento PQ.

Y

X

C.T.

QP

θ

A) 21cossen

θθ−

B) 21cossen

θθ+

C) −−2

1cossen

θθ

D) −+2

1cossen

θθ

E) – cosq

Trigonometría

. . .

28

10. Calcule el área de la región sombreada en tér-minos de q.

Y

X

C.T.

θ

A) senqcosq B) cos2q C) −tanθ2

D) sen2q E) – senqcosq

11. Si OM = 32

, calcule el área de la región som-

breada.

θ

Y

XMO

C.T.

A) 3 2

4+( )sen cosθ θ

B) 3 2

4+( )cos senθ θ

C) 2 3

4+( )sen cosθ θ

D) 2 3

4+( )cos senθ θ

E) 1 3

4+( )cos senθ θ

12. Del gráfico, calcule senq+cosq.

θ Y

X

x2+y2=1

1 – x2

y=

A) 13

B) 35

C) 15

D) 23

E) 12

Circunferencia trigonométrica IV

13. Si n = −senθ 113

, determine el número de valo-

res enteros que toma n.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14. Determine la variación de la expresiónsen2q – 2senq, q ∈IIC

A) ⟨– 1; 1⟩ B) 012; C) − 1

212;

D) ⟨0; 1⟩ E) ⟨– 1; 0⟩

k 315. Si senθ = +5

y q ∈[37º; 143º],

calcule la suma del máximo y mínimo valor que asume k.

A) 3 B) 2 C) 1D) – 1 E) – 2

16. Si θπ π∈

8

38

; ; calcule la variación de 2sen2q

A) 0 2; B) 1 2; C) 1 2;

D) 1 2; E) 1 2;

. . .

Trigonometría

29

17. Si θπ π∈6

56

; , calcule, la variación de la expre-

sión csc3q+1.

A) ⟨1; 8⟩ B) ⟨1; 9⟩ C) [2; 9⟩D) ⟨2; 8⟩ E) ⟨3; 7⟩

18. Calcule el máximo valor de 4sena – 3senq+2, si a y q son independientes entre sí.

A) 4 B) 9 C) 6D) 7 E) 3

Circunferencia trigonométrica V

19. ¿Cuántos valores enteros adopta la expresión3+8cos2q?

A) 5 B) 4 C) 6D) 7 E) 9

20. Determine la variación de la expresióncos2q+2cosq

A) [– 1; 3] B) [0; 2] C) [– 1; 2]D) [1; 5] E) [0; 4]

21. De la siguiente igualdad2cosq=4n – 3, q ∈ ⟨– 10º; 190º⟩.Calcule la variación de n

A) 14

34;

B) 121;

C) 14

54;

D) 34

54;

E) 141;

22. Si q ∈ IVC, calcule la variación de la expresión

coscos

θθ++12

A) 3252;

B) 1223;

C) 012;

D) 012;

E) 1223;

23. Calcule la suma del máximo y mínimo valor de la expresión

cos , ;2

254

32

θ θ π π+ 1 ∈

A) 52

B) 32

C) 34

D) 2 E) 0

24. Determine la variación de la expresión

24

2 02

cos , ;θ π θ π+

+ ∈

A) [– 1; 0]B) [0; 3]

C) − + 2 2 2;D) [1; 3]E) [– 1; 1]

Claves

01 - E

02 - C

03 - A

04 - E

05 - C

06 - E

07 - B

08 - E

09 - D

10 - E

11 - B

12 - C

13 - A

14 - E

15 - B

16 - D

17 - C

18 - B

19 - E

20 - A

21 - C

22 - B

23 - B

24 - D

Trigonometría

. . .

30

Ecuaciones trigonométricas I

1. Calcule la menor solución positiva de la ecuación

sen7x+sen5x=cosx

A) p/36

B) p/2

C) p/18

D) p/6

E) p/12

2. Resuelva la ecuación

2cos2x+cos2x=0, x ∈⟨0; p⟩

A) π π3 2;{ } B) π π

656

;{ } C) π π3

23

;{ }D) π π

6 2;{ } E) π π

623

;{ }3. Calcule el número de soluciones de la ecuación

3sen2x+2senx – 1=0, x ∈⟨0; 2p⟩

A) 2 B) 1 C) 4

D) 5 E) 3

4. Calcule la menor solución positiva de la ecuación

sen3x+cos3x=1

A) p/6

B) p/8

C) p/12

D) p/3

E) p/18

5. Calcule el número de soluciones de la ecuación

( 2senx – 1)(9cos2x – 1)=0, x ∈⟨0; 2p⟩

A) 5 B) 3 C) 4

D) 2 E) 6

6. Calcule la suma de las soluciones de la ecuación

tan2x cosx=senx, x ∈⟨0; 2p]

π C) 3pA) 4p B) 72

π E) 2pD) 52

Ecuaciones trigonométricas II

7. Calcule la suma de las soluciones de la ecuación

(senx – cosx)2=1, x ∈⟨– 2p; 0⟩.

πA) – 2p B) – 4p C) − 32

πD) – 3p E) − 52

8. Calcule el número de soluciones de la ecuación

sen3x=– 1, x ∈ 0196

;π

.

A) 2 B) 5 C) 4

D) 3 E) 1

9. Calcule la solución general de la ecuación

sen6x+sen4x+4cosx=0, n ∈Z

A) 2 12

n+( ){ }π

B) nπ4{ }

C) 2 14

n+( ){ }πD) nπ

2{ }E) 4 1

2n+( ){ }π

. . .

Trigonometría

31

10. Resuelva la ecuación

sen2x – 2cosx=0, x ∈⟨0; 4p⟩

A) π π π π2

32

2; ;;{ }B) π π π π

2 432

74

; ; ;{ }C) π π π π

232

52

72

; ; ;{ }D) π π π π

234

52

74

; ; ;{ }E) π π π π

43

54

52

; ; ;{ }11. Calcule el número de soluciones de la ecuación

cos2x+cos2x=12

, x ∈ 134

254

π π;

A) 6 B) 2 C) 5

D) 3 E) 4

12. Calcule la solución general de la ecuación

sen sen2 232 2

0x x

−

=

A) 4 14

n+( ){ }π

B) nπ2{ }

C) 2 12

n+( ){ }πD) nπ{ }

E) nπ4{ }

Resolución de triángulos oblicuángulos I

13. Si 5sena=3senq, calcule x

x

5

θ

α

A) 3

B) 1/2

C) 1/3

D) 2

E) 10

14. Del gráfico, calcule el valor de x

x

32º

25

16º

A) 24 B) 20 C) 48

D) 28 E) 36

15. En un triángulo ABC de lados a, b y c, respecti-

vamente, se cumple que senAsenBsenC=1/4.

Calcule abc

R3, donde R es el circunradio del

triángulo ABC.

A) 1

B) 4

C) 2

D) 1/2

E) 1/4

Trigonometría

. . .

32

16. Del gráfico, calcule el valor de x en términos

de q

x30º

3

42

θ

A) 47cscθ

B) 47senθ

C) 37cscθ

D) 37senθ

E) 74cscθ

17. Si AB=2(BC), calcule sensen

θ −( )xx

.

B

A C

θ – x x

θθ

A) 1/2 B) 1 C) 1/4

D) 4 E) 2

18. Según el gráfico, calcule sen

senθ

θ α+( )2.

α

2

3

α

θ

A) 1/2 B) 3/2 C) 3

D) 2/3 E) 1/3

Resolución de triángulos oblicuángulos II

19. Si senθ = 18

, calcule el valor de x.

3

90º+θ

2

x

A) 5/2 B) 1/2 C) 2

D) 2/5 E) 4

20. Del gráfico, calcule x+y

2

3

8

xy

60º

A) 14 B) 18 C) 15

D) 12 E) 10

21. En un triángulo ABC de lados a, b y c respecti-

vamente, se cumple que

(a+b)2 – c2=3ab.

calcule mC.

A) 30º

B) 120º

C) 60º

D) 150º

E) 15º

. . .

Trigonometría

33

22. Calcule el perímetro de la región sombreada

60º

1

x x2

A) 7 B) 10 C) 6

D) 13 E) 3

23. Si cosθ =57

, calcule el valor de n.

n+1

n – 1n

θ

A) 2 B) 5 C) 3

D) 6 E) 4

24. Calcule el área del triángulo ABC.

B

CA

52

6

A) 392

B) 394

C) 382

D) 384

E) 414

Miscelánea de problemas

25. De la figura, calcule tanq, siendo G baricentro

del triángulo ABC.

30º

G

θ

B

CA

A) 35

B) 12

C) 2

D) 3 E) 4

26. Reduzca la siguiente expresión

cos cos cos sen4 2 2 21θ θ θ θ− + +( ) , q ∈ III C

A) senq B) – cosq     C) – senq

D) cosq            E) – cscq

27. Si tanθ = 34

, calcule n.

2

3

θ

n

A) 133

B) 72

C) 132

D) 73

E) 112

Trigonometría

. . .

34


sen(x+30º) – cosx – cos(120º – x)

A) – 2 B) – 1 C) 1

D) 2 E) 0

29. Simplifique la siguiente expresión.

sen º sen ºcos º cos º40 20

1 40 20+

+ +

A) cot20º B) tan10º C) tan20º

D) cot10º E) tan40º

30. Del gráfico mostrado, halle cotx+ 3 en térmi-

nos de m y n.

m n

xx+30º

A) 2mn

B) mn

C) 2nm

D) nm

E) mn2

Claves

01 - A

02 - C

03 - E

04 - A

05 - E

06 - C

07 - D

08 - C

09 - A

10 - C

11 - C

12 - B

13 - A

14 - C

15 - C

16 - A

17 - E

18 - B

19 - C

20 - A

21 - C

22 - E

23 - D

24 - B

25 - A

26 - C

27 - C

28 - E

29 - C

30 - C

Documents

Trigonometria Completo Anual Aduni 2014 (1)