UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL SUR6A bE E I11)10 PAPA M EMATICAS II (AL6EBPA Y 6EOMET~A)

Elaborada por los profesores: Josu Barrios Agapito Gpe. Xochitl Chvez Prez Jorge Flores Serrano Rubn B. Reyes Torres Ma. de Lourdes Romero MirandaOctubre de 2005

PRESENTACINEsta Gua contiene las cinco unidades del curso de Matemticas II.

Para cada tema se sealan los objetivos, se da una breve explicacin del tema, se exponen ejemplos resueltos y se proponen ejercicios, algunos con sus soluciones correspondientes, al final encontrars la bibliografa sugerida.

Para que puedas tener xito en tu examen, debes estudiar los ejemplos resueltos, resolver los ejercicios propuestos y verificar tus resultados. Si algn ejercicio no lo entiendes o no lo puedes resolver, puedes acudir con los profesores asesores que se encuentran en el edificio R junto a psicopedagoga.

Finalmente, recuerda que: El xito est antes que el trabajo solo en el diccionario.

2

NDICETema1.FUNCIONES CUADRATICAS ................

Pag. 4 4 5 13 19 19 21 27

1.1 Funciones cuadrticas.......................................... 1.2 Grficas de funciones cuadrticas ..................... 1.3 Problemas que involucran funciones cuadrticas2.CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS BASICAS ................

2.1 Construcciones con regla y comps .................................................... 2.2 Construccin de Tringulos ................................................................. 2.3 Circunferencia ..................................................................................3.CONGRUENCIA Y SEMEJANZA ...............

29 29 3.1 Congruencia.................................................................. 29 3.1.1 Rectas paralelas cortadas por una secante ........ 3.1.2 ngulos interiores y exteriores de un tringulo 32 39 3.2 Congruencia de tringulos...................................... 44 3.3 Semejanza y teorema de Pitgoras ....................... 44 3.3.1 Semejanza de tringulos .................................... 50 3.3.2 Teorema de Pitgoras ........................................PERiMETROS, AREAS Y VOLOMENES

4.-

4.1 Clculo de permetros, reas y volmenes5.ELEMENTOS DE TRIGONOMETRiA~~~~~~~

55 55

61 62 5.1 Razones trigonomtricas para ngulos agudos ..... 5.2 Razones trigonomtricas Recprocas .................. 65 5.3 Valores inversos de las razones trigonomtricas 66 5.4 Identidades trigonomtricas fundamentales ...... 76 5.5 Ley de senos y cosenos ......................................... 78

Bibliografa ................................................................................................... 86

3

1.- FUNCIONES cuabRATI~aSObjetivo: Identificar funciones cuadrticas, graficarlas y resolver problemas que involucren una funcin cuadrtica.

1.1 Funciones cuadrdticasDefinicin: Una funcin cuadrtica tiene la formaf ( x ) = Ax 2 + Bx + C con A0

EJEMPLOS bE FUNCIONES cuabRATIcaS1) 2)f ( x ) = 5 x 2 + 3x 4 f(x)=7x 3 +2 2

A = 5, B = 3, A = 7 , B = 1,

1 +x+ 4 x

C = 4 C= 1 4

3) 4) 5) 6)

f (x ) = x2

2

A= 1, B=

3

, 2

C = 0 C C 0

f(x)=x 3 3 2 f(x)= x 4 f ( x ) = x(2 x 3)

A = 1, B = 0 , A= 43 , B = 0 , = A = 2, B = 3, 3 =

Recuerda que para que sea funcin cuadrtica: Slo se requiere que A 0C =0

4

EJERCICIO Indica cules de las siguientes expresiones representan una funcin cuadrtica.1) f ( x ) = 2x + 3 x 1 2)3)

6) f ( x ) = ( x + 8)

f ( x ) = 7x 2 + 3x 32

7) f ( x ) = 2 5 x 2 2 x 8) f ( x ) = x + 1 9) f ( x ) = 2x2 +1 10) f ( x ) = 4 + 3 x

f(x)=(x) 3 4) f ( x ) = x 2 +2 55)

f(x)=7x+x

2

Solucin: Representan funciones cuadrticas: 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 9.

1.2 Graficas de f unciones cuadrdticas

La grfica de una funcin cuadrtica es una parbola. Para graficar una funcin cuadrtica uno de los mtodos es tabular algunos valores de x y obtener los correspondientes valores de y para obtener algunos puntos y graficar; otro mtodo es pasar de la forma: f ( x ) = Ax 2 + Bx + C a la forma: f ( x ) = A( x h ) 2 + k donde el vrtice de la parbola es el punto ( h , k ) . Si A < 0 la parbola abre hacia abajo y si A > 0 la parbola abre hacia arriba; su eje de simetra es x = h . Para obtener dos puntos simtricos de la parbola se puede sustituir x = h 1 en f ( x ) . Es importante recordar que en la funcin 2 f ( x ) = Ax + Bx + C , C representa el punto de interseccin con el eje y (ordenada al origen).5

EJEMPLOS: Graficar las siguientes funciones cuadrticas: 1) f ( x ) = x 2 + 4 x 5 Para graficar esta funcin podemos hacer una tabulacin con algunos valores para la variable x , como sigue:x 2 1 0 1 2 3 f ( x ) = x2 +4x5 f ( 2) = ( 2) 2 + 4(2) 5 = 48 5 2 f ( 1) = ( 1) + 4( 1) 5 = 1 2 5 4 f (0) =0 +4(0) 5 = 5 f (1) =1 2 +4(1) 5 = 1 + 4 5 =0 2 f (2) =2 +4(2) 5 = 4+8 5 =7 2 f (3) =3 +4(3) 5 =9+125=16 = 9 = 8 f(x) 9 8 5 0 7 16

De esta tabulacin obtenemos los siguientes puntos para graficar: A(-2,-9), B(-1,-8), C(0,5), D(1,0), E(2,7) y F(3,16) Los graficamos para obtener la parbola correspondiente.

20 1 5 1 0 5 0 -3 -2 -1 -5 -10 15 0 1 2 3 4

6

La construccin de la grfica sugiere tabular ms valores de x para encontrar la representacin grfica completa de la parbola. O t r o m t o d o p a r a g r a fi c a r l a p a r b o l a , c o n s i s t e e n t ra n s fo r ma r f x ) = A x 2 + B x + aCl a f o r m a f x = A x h 2 + k ( () ( ) completando los cuadrados, como sigue:f ( x ) = x2 + 4x 5 f ( x ) = x2 + 4x +45 4Trinomio cuadrado perfecto se resta para no alterar la funcin2

f ( x ) = ( x+2)El trinomio se puede expresar asi

9Es el resultado de los dos nmeros

f ( x ) = ( x +2) A = 1,

2

9 es la forma deseada y en esta expresin tenemos que: y k= 9

h= 2,

Por lo que el vrtice de la parbola es el punto ( 2, 9) y como A = 1 > 0, la parbola abre hacia arriba, su eje de simetra es x = 2 y dos puntos de la parbola se pueden obtener sustituyendo:x = 21 + x = 1 x = 21 x = 32

en f ( x ) = ( x+2) entonces:2) f ( 1)=( 1 = 1 29 = 1 9 =8 + 92

9

f

y

( 3 )=( 3+ 2 )2 9 2 ( 1) 9 = 19 = 8

7

un punto de la parbola es A(-1,-8) y otro punto es B(-3,-8)

Por lo que su grfica es:

2 0 1 5 1 0 5 0 5 0

-

8

6

4

2

2

4

101 5

Nota: observa que el punto de interseccin con el eje y es -5 2) f ( x ) = 2 x 2 6 x + 3 Para pasar a la forma f x = A x h() ( )2

, primero factorizamos de la siguiente

+ k

manera:f ( x ) = 2( x 2 +3x) +3

Completamos cuadrados en el parntesis y restamos altere la expresin

9 4

( 2) para que no se

8

() 2 f x = x 2x +2

3

9+ 3 + 4 18 4

9 4 2)

+9 + + = x 2 x 3 +3 4 2 15 3 = 22 x 2 + +

de donde A = 2 , h = , y k = 2 23 15 22

3

15

Entonces el vrtice es V , ___ , el eje d e simetr a es x = , como2 A = 2 < 0 la parbola abre hacia abajo y para determinar dos puntos de

3

la parbola sustituimos:x= 3 1 2 + 1 x=

y

3 1 2 5

3 2 15 + () 2 + en f x = 2 2 x 1 = 2 15 + 2 15 = 2(1)2 + 2 15 = 2+ 2 11 = 2 2 1+ 3 2 22

f

f

y

A , 22 1 11

y

3 15 + 2 2 15 = 2( 2 + 1) 2 15 = 2+ 2 11 = 2 B , 22 5 = 2 2 5 2 + 5 11

2

y el punto de interseccin con el eje y es 3.

9

10 5 6 4 2 5 0 0 2 4

-

10 152 0

3) f ( x ) = 7 x 2 + 14x Factoricemos como sigue:f ( x ) = 7( x 2 + 2x)

Completamos cuadrados, para que no se altere la expresin, le restamos la multiplicacin de (7)(1).f ()7( x =2

x

f x ) 7( ( = + x

1) (7)(1) + + 1) 2 7

2 x

C o mo A = > 7 0 , h = 1 y k = 7 entonces V ( 1, 7) , su eje de simetra es x = 1 , abre hacia arriba y A(0,0) y B(0,0), el punto de interseccin con el eje y es 0. Su grfica es:

10

25 20 15 10 5 0 4 -3 -2 -1 -5 10 0 1 2

4)

f ( x ) = 3 x 2 12

Esta funcin se puede expresar como: f ( x ) = 3( x 0)

1 , donde A = 3 > 0, h = 0 y k = 1 , por lo que el vrtice es V (0, 1) , eje de simetra x = 0 ,

abre hacia arriba, dos puntos de la parbola son: interseccin con el eje y est en -1 Por lo que su grfica es:30 25 20 15 10 5 0 -4 -2 5 0 2

A(1,2) y B(-1,2); la

4

11

5)

2

f ( x ) = x

Se puede expresar como f ( x ) = (x 0) 2 + 0 que es de la f o r m a f ( x ) = A ( x h ) 2 + k . Donde A = 1 < 0, h = 0, k = 0 , por lo que su V (0,0) , su eje de simetra es x = 0 , abre hacia abajo y dos puntos son: A(1,-1) y B(-1,-1), su interseccin con el eje y es 0. Su grfica es:0 -3 -2 -1 -0.5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4.5 1 2 3

EJERCICIO Grafica las siguientes parbolas. 1) 3) 5) 7) 9)f ( x ) = 2 x 2 + 8x 5 f ( x ) = x2 + 4 f ( x ) = x2 6x f ( x ) = 3 x2 + 1 f ( x ) = 3 x 2 + 9x + 1

2) 4) 6) 8) 10)

1 8 3 f ( x ) =x 2 + x + 4 f ( x ) = 2 x 2 8x f ( x ) = 5x2 +2 f ( x ) = x 2 2x 3 f (x ) = 12 x 2 6x

12

Solucin:1) f ( x ) = 2( x + 2) 2 9, V ( 2, 9), abre hacia arriba, x = 2 , A(1,7) y B (3, 7) . 2) f ( x ) = 1 x + 2 + V( 1 6,67), abre hacia abajo, x = 1 6, 267 ( 16) 67, A 1 5, 4 4 y B 1 7 , 26 4 7 .( )

f ( x) = ( x 0) 2 + 4, V(0,4), abre hacia arriba, x = 0, A(1,5) y B(1,5) . f ( x ) = 2( x 2) 2 8, V ( 2 , 8 ) , abre hacia arriba, x = 2, A (1, 6) y B (3, 6) . 5) f ( x) = (x + 3) 2 + 9, V(3,9), abre hacia abajo y A ( 2,8), B(4,8) . 6) f ( x) = 5( x 0) 2 + 2, V(0,2), abre hacia abajo y A (1, 3), B(1,3) . 7) f ( x) = 3( x 0) 2 +1, V(0,1), abre hacia arriba, A (1,4), B( 1,4) . 8) f ( x) = ( x 1) 2 4, V (1, 4), abre hacia arriba, A (0, 3), B(2, 3) . 2, 4 2 3 23 3 23 9) , 5 11 f x = , ___________ , abre hacia arriba, A ,V ___________________________________________ ( ) 3 x + 24 24 2 4 1 11 B 3) 4)

10) f ( x )1 = x 6) 2 1 8, V(6,1 8), A 5, 35 B 7 ,35 . ( ____ __ 2 2 2

13

1.3 Prob1e2as q ue invo1 ucran f unciones cuadrdticas

A partir del planteamiento de una funcin cuadrtica como modelo matemtico, se pueden resolver problemas determinando el vrtice de la parbola. A este tipo de problemas se les conoce como: PROBLEMAS DE MXIMOS Y MNIMOS Observa las siguientes parbolasVrtice Mximo0 -4 -2 0 2 4 10 9 8 1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 10 -4 -2 6 5 4 3 2 10

7

Vrtice 0 nmo Mnimo

2

4

14

EJEMPLOS 1 . La ganancia semanal de una empresa se relaciona con el nmero de artculos producidos cada semana y esto se puede representar por la funcin:P ( x ) = 2x 2 + 96x 52 donde P(x) representa la ganancia semanal en pesos y x el nmero de artculos

producidos por semana. a) Representa grficamente esta situacin. b) Si la empresa produce 26 artculos en una semana Cul ser su ganancia? c) Determina cuntos artculos deber producir la empresa a la semana para que obtenga una ganancia mxima. Como hasta ahora slo sabemos graficar una funcin cuadrtica y determinar su vrtice, lo primero haremos en este problema, es la grfica de esta funcin:P ( x ) = 2x2 +96x52

Factorizamos en x

P ( x ) = 2( x 2 48x) 52 x2 () x = Px + P x 2( + (= x ) 2 1100 4 )2

Completando cuadrados2( +48 5 76) 52 1152

De donde: V(24, 1100), eje de simetra x = 24, la parbola se abre hacia abajo, y dos puntos de ella son (25 , 1098), (23, 1098), el punto de interseccin con el eje y es (0, 5 2) Observa que as como sustituimos x = 25 y x = 23 en P(x) , podemos sustituir cualquier valor de x y este nos estara representando el nmero de artculos que se producen a la semana y el P(x) corresponde a la sustitucin las ganancias, por lo que podemos contestar la pregunta del inciso b) sustituyendo x = 26 en P ( x ) = 2( x 24) 2 + 1100P2

x = ( ) 2(26 24) 2 + 1100 + 2 1100 ( ) = = + 8 1100 = 1092

por lo que podemos decir que si la empresa produce 26 artculos, su ganancia ser de $1092.15

Con est informacin graficamos y est grfica representar la situacin del problema, lo que contesta el inciso a) Para contestar el inciso c) en la grfica podemos observar que el valor mximo1110 1100 1090 1080 1070 1060 1050 1040 1030 1020 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

de la parbola es el vrtice V(24, 1100), lo que significa que cuando x toma el valor de 24 artculos, la ganancia mxima es de $1100, cualquier otro valor de x nos dar una ganancia menor a $1100. Entonces la respuesta de c) es 24 artculos. 2 . Una rana describe en un salto una trayectoria parablica, si la longitud de su salto fue de 40 cm y la altura mxima alcanzada de 30 cm. Determina una ecuacin para el salto de la rana. La grfica de su salto puede representarse como sigue35 30 25 20 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50

16

Observa que las coordenadas del vrtice representa la mxima altura del salto, por lo que estas coordenadas son V(20,3 0) entonces en la ecuacin de la parbola de forma: f ( x ) = A( x h ) 2 + k podemos sustituir el valor de h y k por 20 y 30 respectivamente.f ( x ) = A(x 20) 2 + 30 Para encontrar el valor de A podemos sustituir los valores de x y P(x) por el

punto que tiene coordenadas (0,0) esto lo podemos hacer porque es un punto de la parbola, entonces:0 = 0 (0 20) 2

30

A + (400) + 30 =A 30 400 =A 30 A 400 3 f ( x ) = x 2 + 3 ( 20) 30 40 +

A = 40

Entonces la ecuacin requerida es: La cual se puede expresar como: f x( ) = _

2

3 x 3 x 40

3. Se desea cercar un espacio rectangular de jardn con 200 m de alambre. Cules sern las dimensiones del espacio rectangular para cercar el mximo espacio del jardn? Para resolver este problema, lo primero que debemos determinar es la funcin que lo representa. Esta funcin es de la forma: f ( x ) = A( x h )2 + k donde x representar el ancho del rectngulo. Para determinar esta funcin recordemos cmo calcular el permetro y el rea de un rectngulo.largo ancho

17

rea = (largo)(ancho) Permetro = 2(largo)+2(ancho)

18

Como solo tenemos 200 m para cercar este terreno y si llamamos x al ancho, entonces el Permetro de este rectngulo debera medir 200 m y el largo lo podemos determinar como sigue: ?xx = ancho

largo

200 = 2(largo) + 2 x Si despejamos largo tenemos:l arg o= 200 2 x 2

l arg o=100x

Si sustituimos el largo (1 00 x ) y el ancho (x) en la frmula para calcular el rea de un rectngulo tenemos:A= x(1 00 x)

Simplificando:A = 100 xx2

Por lo que la funcin cuadrtica que representa este problema es:f ( x ) = x2 + 100x

la cual se puede expresar como:f ( x ) = (x 5 0)2

+ 2500

La grfica de esta funcin es:

19

3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 20 40 60 80 100 120

Lo que indica que el mximo de esta parbola se alcanza para x = 5 0 , como x representa el ancho del rectngulo, entonces el ancho debe ser 50 m y el largo 50 m, estas dimensiones nos darn el espacio rectangular mximo. EJERCICIO Resuelve los siguientes problemas. 1 . Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, la frmula 2 S = 32 t 8 t nos da la altura en metros de la piedra despus de t segundos. a) Grafica la trayectoria de la piedra. b) Determina en cuantos segundos, la piedra alcanza su mxima altura. c) Qu altura alcanza la piedra a los 3 segundos? 2. Se dispone de 60 m de alambre para cercar un jardn en forma rectangular, pero uno de los lados corresponder a la pared de la casa. Qu dimensiones del jardn nos darn el rea mxima? 3 . Determina la ecuacin que representa la trayectoria del salto parablico, de un atleta que alcanza una altura mxima de 2 m y una longitud de 3.40 m.

20

2.- CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS BASICAS

Objetivo: A travs de construcciones sencillas se pretende que el alumno explore las propiedades de las figuras elementales, que reconozca patrones de comportamiento geomtrico que le permitan plantear conjeturas que pueda justificar y con stas resolver problemas.

2.1 Constr ucciones con reg1a y compass

1 .

Define los siguientes ngulos: a) Co mp lemen tarios. b) Suplementarios. c) Perigonales.

2. Siguiendo el procedimiento de la solucin para el inciso a, encuentra el ngulo que cumpla con la restriccin de cada inciso: a) 20 mayor que el triple de su complemento. b) 16 menor que la mitad de su suplemento. c) 8 mayor que el cudruplo de su conjugado. Solucin del inciso a) Buscamos dos ngulos que: i) sean complementarios ii) uno que sea 20 mayor que el tripe del otro. La condicin i) se puede simbolizar como: (1) la condicin ii) nos indica que uno de ellos, por ejemplo el a es 20 mayor que el triple del otro, o sea el b , esto se simboliza como: a = 20 + 3(b) a + b=900----------

y si este valor del a lo sustituimos en la ecuacin (1) tenemos:20 + 3(b ) + b = 90

que es una ecuacin de primer grado con una incgnita y que al resolverla obtenemos:20 + 4(b ) = 90 4( b ) = 90 20 4( b ) = 70

21

b = 70 4 b = 1 7 . 5 = 1 73 0

Por lo que 1 7 3 0 es uno de los ngulos pedidos, para encontrar el otro basta con sustituir, el valor encontrado, en la ecuacin (1) a +1 73 0 = 90 a = 9 0 1 7 3 0 a = 723 0

3 .

Define: a) segmentos congruentes. b) ngulos congruentes. Indaga el concepto de: a) Bisectriz de un ngulo. b) Mediatriz de un segmento. Traza la mediatriz de los siguientes segmentos. b)P B

4.

5. a)l A

Q

6.

Traza un segmento congruente al segmento PQ del ejercicio anterior.

22

7. 8.

Construye la bisectriz del LABC y del ZPQR. Traza un ngulo congruente al ngulo ABC del ejercicio anterior.A P

R B C Q

9. Usando regla y comps, traza una perpendicular al segmento AB que pase por el punto P, en cada inciso. a)P

b)

A 2.2 Constr ucciOn de triang u1os

B

A

P

B

1 . Los tringulos se pueden clasificar segn la medida de sus lados y de sus ngulos. Segn la medida de sus ngulos se clasifican en:

Segn la medida de sus lados se clasifican en:

23

2. Dibuja un tringulo que sea obtusngulo escaleno.

3. Dibuja un tringulo que sea rectngulo equiltero.

4. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas y justifica tu respuesta. a) Algunos tringulos acutngulos son issceles. b) Todos los tringulos equilteros son issceles. VF VF

24

c) Todos los tringulos acutngulos tienen un ngulo obtuso.

VF

d) Algunos tringulos rectngulos son equilteros. e) Algunos tringulos obtusngulos son equilteros.

VF VF

5. Analiza y reflexiona las siguientes preguntas. A)Existen tringulos que sean al mismo tiempo equilteros y rectngulos?___ Por qu? ___________________________________________ B) Existen tringulos que sean rectngulos e issceles a la vez? Por qu? ___________________________________________ C) Todo tringulo rectngulo es issceles? _____ Por qu? ___________________________________________ D)Algunos tringulos obtusngulos son esclenos? ______ Por qu? ___________________________________________ E) Todos los tringulos equilteros son issceles? ______ Por qu? ___________________________________________ F) Todos los tringulos issceles son acutngulos? ______ Por qu? ___________________________________________

25

6. Los tres principales implementos de trabajo en una cocina son el refrigerador, la estufa y el lavadero que se pueden representar como los puntos de un tringulo. Segn una regla de arquitectura, los tres lados del tringulo de la cocina deben sumar ms de 12 pies y menos de 22 pies. Adems, el lado ms corto del tringulo debe estar entre el lavadero y la estufa. S la distancia entre la estufa y el lavadero es de 10 pies, entre la estufa y el refrigerador 11 pies y entre el refrigerador y el lavadero 11 pies. a) Es posible formar un tringulo? Por qu?

b) El tringulo cumple con la regla establecida?

Por qu?

7. En los siguientes tringulos construye lo que se indica. a) El baricentro.

26

b) El incentro.

c) El circuncentro.

d) El ortocentro.

27

8. En el siguiente tringulo dibuja.- Con color azul las medianas. - Con color anaranjado las mediatrices. - Con color verde las bisectrices. - Con color caf los alturas.

- Une el baricentro, el circuncentro, el incentro y el ortocentro.

Q

u

o

b

s

e

r

v

a

s

?

a esta recta se le llama Recta de Euler.

28

9 .

Define los siguientes conceptos: a) Polgono b) Diagonal de un polgono Construye los siguientes polgonos: a) Cuadriltero b) Pentgono c) Hexgono

10.

1. 1 En los polgonos que trazaste, del ejercicio anterior, nombra los vrtices con A, B, C, ... y traza todas las diagonales que se pueden trazar desde el vrtice A. Cuntos tringulos se forman en cada polgono?2.3 Circ unferenci'

1.

En la siguiente figura indica el nombre de cada una de las rectas y segmentos sealados.

2.

Construye la recta tangente a la circunferencia en el punto sealado.

2 9

3 .

Construye las rectas tangentes a la circunferencia desde el punto sealado.

4.

Trazando las mediatrices de las cuerdas que se sealan, localiza el centro de la circunferencia.

Resultados importantes: La perpendicular en el punto medio de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. La perpendicular en el punto de tangencia pasa por el centro de la circunferencia.1 1

5.

Dibuja los resultados anteriores en las siguientes circunferencias. cuerda Punto de tangencia

3 0

3.- CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Objetivo: Ilustrar el papel de la demostracin en los resultados de la Geometra, e iniciar al alumno en el mtodo deductivo. Trabajar la Congruencia y semejanza de tringulos, as como el teorema de Pitgoras.3.1 Congr uencia 3.1.1 Rectas para1e1as cortadas por una secante

1. Colorea en 2 tonos de caf los ngulos no adyacentes (uno est dentro de las rectas y otro fuera y a uno y otro lado de la transversal) que corresponden a las parejas 1 y 6, 2 y 5, 3 y 8, 4 y 7. L1T2 1 4 3

5 7

6 8

L2

Cmo se llaman estos ngulos? Ahora coloralos en rectas paralelas cortadas por una transversal.

1 2 3 5 7 8 6 4

Qu propiedad tienen estos ngulos?

3 1

2. En las siguientes rectas paralelas cortadas por una transversal se forman 8 ngulos

1 3 5 7 8 6

2 4

Indica qu nombre se les da a las siguientes parejas de ngulos y qu propiedad tienen (congruentes o suplementarios). Nombre Propiedad 1y4 opuestos por el vrtice congruentes ________ 5y3 3y6 5y8 1y8 6y7 3. En el cuadriltero ABCD, qu ngulos tienen que ser congruentes para que AC // BD?B 3 4 D

1 A 2 C

ngulos congruentes:

3 2

4. Resuelve los siguientes problemas suponiendo que las rectas l1 y l2 son paralelas, guate por el ejemplo resuelto. a) Determina el valor de x , y Justificackin b) Determina el valor de x , y . J ustificackinx + 2y l1

92 4y

l2

2 x 3 20 ngulos alternos internos x = son iguales 2 x 3x = 20 2x l1 x = 20 x = 20 3x 20 y +10 l2 2x = y + 10 ngulos correspondientes 1 0 iguales 2(20) = y + son 40 = y + 10 40 10 = y y = 30

33

c) Calcula el valor de x , yJustificacin

l1

l2

1 2y 3y 2 5-

x

d) Determina el valor de todos los ngulos suponiendo que las 3 rectas son paralelas.Justificacin

A _________________________ D 75

B C F

E

3.1.2 Ang u1os interiores y exteriores de un triling u1o

En todo tringulo la suma de sus ngulos interiores es igual a 180. Con este resultado, resuelve los siguientes problemas como en el ejemplo. 1. Si en un tringulo rectngulo uno de los ngulos agudos mide 22 , cunto mide el tercero? 2. Uno de los ngulos de un tringulo rectngulo es de 37 20. Cunto mide el otro ngulo agudo?

3 4

3. Los tres ngulos interiores de un tringulo son A, B y C. Calcula el valor del ngulo C correspondiente a cada uno de los siguientes valores de A y B y clasifcalos segn sus medidas: a)b)

A = 5 0 B = 6 0 C = _ _ _ _ _ _ _ _ _ Tringulo _________A = 42 50' B = 75 .7' C = 6 1 5 3 Triong 1o; ; ac

tona 1o ; ;

j stificaciOn

18 0 = 17 9 6 0 425 0 + 7 5 1 7 11767 11767 1187 f = Re cuerda que1 = 60 1796 0 118 7 6 15 3

c) d)

A = 25 42 A = 20

B = 100 45

C = _______ Tringulo

B = 69

C = ____________________Tringulo

4. En un tringulo, uno de sus ngulos es el doble de otro y el tercero es la mitad de la suma de los otros dos. Cunto mide cada uno de los ngulos?j stificacinA + B + C = 180 La suma de los tres ngulos es 180 A = 2B C Uno de sus ngulos es el doble del otro El tercer ngulo es la mitad de la suma de los otros dos . 2B + C= B 2 2B B 4B 2B 2B + + 180 sustituyendo en la primera ecuacin + B 2= + 2 B + B = 360 multiplicando por 2 toda la + ecuacin 9B = 360 B = 360 B = 9 40 A + 2 B

C

A

B

entonces : A = 2B = 2(40 ) = 80 B = 40 C = A + B 8 0 + 120 60 = 40 = 2 2 2=

3 5

5. En un tringulo rectngulo, uno de los ngulos agudos es el doble del otro. Cunto mide cada uno? En todo tringulo: La suma de los ngulos exteriores es igual a 360. Un ngulo interior y el exterior adyacente a l son suplementarios (suman 180). Un ngulo exterior es igual a la suma de los dos ngulos interiores no adyacentes a l.

Con estos resultados resuelve los siguientes problemas como en el ejemplo. 6 . Con los datos que se proporcionan en la figura calcula el valor de x.J ustificackin6x 2

6x 3

J ustificackin3x 20 x 42 x + 103 x + 42 + x + 10 o 20 x = 360 la suma de los ngulos exteriores es de 360 5x 360 52 = 5 x = 360 + 52 5 412 x= x = 412 5

x = 82 . 4 3 x 3( 82 . 4 ) 2 0 . 2 2 0 = 82. 4= 2 2 7 4 2 x 4 2 82.4 = 4 0 . 4 = x + + = 10 = 10 92 . 4

36

J ustificaciin

2x

3x

4x

7.

Con los datos que se proporcionan calcula el valor de a .J ustificaciin 120

a =2x 5 x + 20

J ustificaciin

35

a = x + 50

J ustificczcin C65 30

x

40

A

B

D

8. Menciona 5 usos de polgonos regulares en objetos del mundo real. Para cada uno de ellos piensa en las consecuencias que habra si no fueran polgonos regulares.

9.

Encuentra usos de polgonos regulares en 2 materias que ests cursando.

10.

Obtn la suma de los ngulos interiores de los siguientes polgonos. a ) H e x g o n o Suma: _

b ) Decgono Suma: ___

c ) Dodecgono Suma: _

38

1. 1 Halla el valor de un ngulo interior y de un ngulo exterior de los polgonos del ejercicio anterior, suponiendo que son polgonos regulares. ngulo interior: _____________ ngulo exterior: ____________ 12. Cuntos lados tiene un polgono regular en el cual cada ngulo interior mide 108? Nmero de lados: ____________ 13. Cuntos lados tiene un polgono regular en el que cada ngulo interior mide 140? Nmero de lados: ____________ 14. La suma de los ngulos interiores de un polgono de n lados es de 3240 . Si el polgono es regular a) cuantos lados tiene? ___________ b) Cul es el valor de cada uno de los ngulos interiores y cul el de los exteriores? Interiores: ___________________ Exteriores: _________________ 15.57 Los ngulos interiores de un hexgono irregular miden x, x x, , 22

2x, 2x,

x. Calcula la medida de cada uno de ellos y sus correspondientes ngulosexteriores. ngulos interiores: ________ ngulos exteriores:

3 9

1. 6

Muestra, como en el ejemplo, que: a) La suma de los ngulos interiores de un tringulo es de 180.

b) La suma de los ngulos interiores de un cuadriltero es de 360. Un cuadriltero se puede dividir en dos tringulos como se muestra en la figura, como en cada tringulo la suma de los ngulos interiores es de 180 entonces en dos tringulos (cuadriltero) es de 360.

c) La suma de los ngulos exteriores de un pentgono es de 360.

d) La suma de los ngulos interiores de un hexgono es de 720.

e) La suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual al ngulo exterior no adyacente.

4 0

3.2 Congruencia de triang u1os

1. Una alfombra tiene un hoyo en forma triangular y para repararla se tendr que cortar un retazo de alfombra triangular igual al tamao del hoyo. Qu medidas sern suficientes tomar del hoyo para cortar el retazo de alfombra?

2. Establece la definicin de congruencia entre dos tringulos.

3. Explica con tus propias palabras lo que significan los criterios de congruencia LAL, ALA y LLL. LAL

ALA

LLL

4 1

4. Construye un tringulo congruente al siguiente, explicando la forma en que lo construiste.

5. Construye por dos mtodos distintos 2 tringulos congruentes al tringulo anterior. Explica tus mtodos de construccin.

6. Con el criterio de congruencia LLL, construye un tringulo congruente al siguiente.

4 2

7. En los siguientes ejercicios analiza la situacin e indica cul de los tres criterios (LLL, ALA y LAL) se puede utilizar para demostrar que los tringulos son congruentes, como en el ejemplo. A a) En la figura AD biseca a BC .AB AC Justifica que A B D A C D

BJustificacin: Con los datos que se proporcionan tenemos que:

D

C

AD divide en 2 partes iguales (biseca) al segmento BC , por lo que BD = DC AB es congruente a AC por lo que AB = AC AD es lado comn de los dos tringulos que se forman, por lo que AD = AD Por lo anterior, el criterio mediante el cual se puede justificar que ABD ACD es el

LLL

b)

En la figura RT biseca al < QRS R

Q T

RT biseca al < QTSJustifica que R T Q R TS

S c) En la figura NP MO P

NP biseca < MPO y, por lo tanto, MPO es isscelesJ ustifica que MNP ONP

M A

N

O

d)En la figura AE y BD se bisecan.