TRIGONOMETRIA.

1. DEFINICIONES: Consideremos en el triángulo ABC, rectángulo en C, lasrazones:

C

A B

BC AC BC ,AB AB AC

que dependen del ángulo α, se llaman razones trigonométricas de dicho ángulo.

La primera se llama seno de α, y se designa por sinBCAB

α=

La segunda, se llama coseno de α, y se designa por cosACAB

α=

La tercera se llama tangente de α y se designa por tanBCAC

α=

De igual modo, se definen las cofunciones trigonométricas de las precedentes,siendo funciones tales que multiplicadas por las anteriores dan 1.

La primera se llama cosecante de α, y se designa por cscABBC

α=

La segunda, se llama secante de α, y se designa por secABAC

α=

La tercera se llama cotangente de α, y se designa por cotACBC

α=

Sí representamos los catetos del triángulo por a y b y la hipotenusa por c, se tiene:b asin cos = tan =c bc ccot sec = csc =b a

acba

α α α

α α α

=

=

Observación: Las razones trigonométricas de un ángulo α, no dependen de lalongitud del lado AB = c. En efecto, si consideramos otro triángulo A'B'C'semejante a ABC, se tiene que

2

C

AB

A'B'

' ' sin' '' ' cos' '' ' tan' '

B C BCA B ABA C ACA B ABB C BCA C AC

α

α

α

= =

= =

= =

Por lo tanto, las funciones trigonométricas de un ángulo, sólo dependen de dichoángulo.

LINEAS TRIGONOMETRICAS.

Sabemos que a cada ángulo le corresponde un arco de círculo, descrito con unradio arbitrario, haciendo centro en su vértice y recíprocamente. Basta entonces,estudiar las propiedades de los arcos para conocer la de los ángulos.

CIRCULO ORIENTADO: Un móvil puede desplazarse sobre una circunferencia endos sentidos opuestos: uno de ellos se llama sentido positivo y el otro sentidonegativo.Se dice que un círculo es orientado cuando se ha elegido el sentido positivo sobresu circunferencia.En trigonometría el sentido positivo se considera como el descrito por el sentidocontrario a los punteros del reloj. El sentido negativo es entonces el descrito por lospunteros del reloj.

ARCO: Se llama arco al camino que recorre un móvil sobre la circunferencia en unsentido determinado.El punto de partida del móvil se llama origen del arco y el punto de llegada sellama extremo del arco.

SENTIDO DEL ARCO: Un arco se llama positivo o negativo según sea recorrido enel sentido positivo o en el sentido negativo.

LONGITUD DEL ARCO: es el número que expresa su razón a otro arco de lamisma circunferencia escogido como unidad.

En la práctica, se toma la 360 ava parte de la circunferencia o grado.En trigonometría es a menudo útil tomar como unidad ya no una parte de lacircunferencia sino el arco cuya longitud es igual al radio del círculo considerado.

3

Es fácil expresar este arco en grados, minutos y segundos: la circunferencia deradio R tiene por longitud 2πR y equivale a 360°, luego el arco de longitud R,equivale a :360 360 57 17'44,8''2 2

RRπ π° °

= = °

CIRCULO TRIGONOMETRICO: En Trigonometría siempre se toma como unidadde longitud el radio del círculo que se considera. Este círculo, cuyo radio es igual a1, se llama círculo trigonométrico.La circunferencia del círculo trigonométrico, es decir, el arco de 360°, tiene porlongitud 2π; la semicircunferencia o arco de 180°, tiene por longitud π; el arco de 90°, tiene por longitud π/2.

VARIACION DE LOS ARCOS: Se ha definido la longitud, el sentido y la medidade un arco. Se puede suponer que el punto móvil que describe el arco, no solorecorre una parte de la circunferencia, sino que da una vuelta completa y siguegirando, y aún puede dar en cualquier sentido un número indefinido de vueltas.Luego el arco es una variable que puede tomar todos los valores desde -∞, a +∞.Se tomará sobre el círculo trigonométrico un punto fijo arbitrario A, a partir delcual se contarán todos los arcos y que se llama Origen de los arcos; en seguida setrazan los diámetros rectangulares AA', BB' como se indica en la figura.

B

A

B'

A' A'

M

Se supone que si partimos del punto A y nos movemos sobre lacircunferencia en el sentido positivo ABA'; el arco que describe varía de unamanera continua. Este arco es nulo cuando estamos ubicados en A; después crece ytoma los valores particulares: π/2, π, 3π/2, 2π cuando nos encontramos en lospuntos B, A', B' y vuelve al punto A. Podemos imaginarnos entonces que podemosdar no solo una sino que un número indefinido de vueltas. De igual modopodemos hacer el análisis moviéndonos en el sentido negativo, en este caso setoman los valores: -π/2, -π, -3π/2, -2π.

Cuando volvemos al punto A después de haber recorrido un número enterode circunferencias, es decir una arco que tiene por longitud 2kπ, donde krepresenta un número entero cualquiera positivo o negativo.

VARIACION DE LOS ANGULOS.

Mientras nos movemos indefinidamente sobre la circunferencia, el radio móvil OMgira alrededor del centro O y genera un ángulo variable AOM que tiene la mismamedida y signo que el arco AM.En Trigonometría, un ángulo, no será necesariamente menor que dos rectos: podrátomar, como el arco, todos los valores desde -∞ hasta ∞.

4

ARCOS COMPLEMENTARIOS.Se llaman arcos complementarios, dos arcos cuya suma algebraica es igual a 90° o π/2.Sí un arco tiene por medida α, su complemento tiene por medida 90°-α

ARCOS SUPLEMENTARIOS.

Se llaman arcos suplementarios dos arcos cuya suma es igual a π.Sí un arco tiene por medida α, su suplemento tiene por medida π-α

ARCOS QUE TIENEN LOS MISMOS EXTREMOS.

Dado el origen A de los arcos, a un valor dado de un arco, corresponde un extremodeterminado M; pero si recíprocamente nos damos el origen A y el extremo M, nocorresponde a estos dos puntos un extremo determinado. En efecto hemos podidopartir de A y llegar a M recorriendo un arco positivo menor que unacircunferencia, pero también hemos podido dar un número cualquiera de vueltas yrecorrer el mismo arco. Siendo α, la medida de uno de los arcos cuyo extremo esM, los arcos: α+2π, α+4π, α+6π, o en general α=2kπ + α, con k∈ Z

FUNCIONES CIRCULARES O RAZONES TRIGONOMETRICAS.

Razones trigonométricas: Dado un ángulo AOM, se describe desde su vértice comocentro una circunferencia sobre la cual dicho ángulo, intercepte un arco AM.

A'B'

T'

B'

A

Q

S

T

M

PA

Sea A el origen del arco AM y M su extremo; por último tracemos los diámetrosrectangulares AA' y BB'.

Se llama seno de una arco la relación de la perpendicular bajada del extremo delarco sobre el diámetro que pasa por el origen con el radio del mismo arco.

Así el seno del arco AM ó el ángulo AOM es la relación MPOA

Se llama tangente de un arco la relación de la perpendicular levantada en elextremo del radio trazado por el origen y comprendida entre este origen y la

5

prolongación del radio que pasa por el extremo de este arco, con el radio de estearco.

Así, la tangente del arco AM ó del ángulo AOM es la relación ATOA

Se llama secante de un arco la relación de la parte de la recta OA, comprendidaentre el centro O y la tangente trazada en la extremidad del arco, con el radio deeste arco.

Así la secante del arco AM ó del ángulo AOM es la razón 'OT

OA.

Se puede observar que OT=OT'.Se llama coseno, cotangente, cosecante de un arco, el seno, la tangente y la secantede su complemento.

Así el coseno del arco AM es la relación MQOB

, siendo MQ la perpendicular bajada

desde el extremo del arco sobre el diámetro que pasa por el origen de loscomplementos.

La cotangente del arco AM, es la relación BSOB

, siendo BS la perpendicular

levantada en el extremo del radio trazado por el origen de los complementos ycomprendida entre este origen y la prolongación del radio que pasa por el extremodel arco.

La cosecante del arco AM es la razón 'OS

OB, siendo MS' la tangente trazada en M.

Observación: Fácilmente, podemos notar que, las nuevas definiciones del seno,coseno y tangente son idénticas a las dadas anteriormente.

LINEAS TRIGONOMETRICAS

Se conviene finalmente en tomar como longitud el radio OA del círculoconsiderado. Desde luego, las seis relaciones trigonométricas del arco AM, o delángulo AOM se reducen a sus numeradores. Estos numeradores, son las medidasde segmentos de rectas que toman el nombre de líneas trigonométricas.Las definiciones que anteceden pueden entonces reemplazarse por las siguientes:1) El seno de un arco, es el segmento de la perpendicular bajada del extremo delarco sobre el diámetro que pasa pro el origen.2) la Tangente de un arco es el segmento de la tangente, trazada al arco en suorigen, comprendido entre este origen y la prolongación del radio que pasa por elextremo del arco.3) Secante de un arco, es el segmento del diámetro del origen comprendido entre elcentro del arco y el extremo de la tangente trazada en el extremo del arco.4) Coseno de un arco es la distancia del centro al pié del seno.5) Cotangente es el segmento de la tangente trazada al círculo en el origen de loscomplementos, comprendido entre este origen y la prolongación del radio quepasa por el extremo del arco.6) Cosecante es el segmento del diámetro de los complementos comprendido entreel centro O y la tangente trazada en el extremo del arco.

Observación: Es conveniente tener presente que, el seno, el coseno, etc., sonnúmeros abstractos y no segmentos.

TEOREMA 1: Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes delradio del círculo considerado.

6

O P P'A A'

M

M'

Dem: Sea un ángulo AOM medido por el arco AM=α, descrito desde el vértice Ocomo centro, con el radio OA=1, y por todo otro arco A'M' descrito desde el mismocentro con un radio cualquiera OA'=R.Bajamos sobre OA las perpendiculares MP, M'P'; tenemos que: ∆OPM∼∆OP'M', porlo tanto

' ' ' ' ' 'MP OP OM

M P O P O M= =

es decirsin cos 1

' ' 'M P OP Rα α

= =

de donde' 'sin ,M PR

α = y 'cos OP

Rα =

Luego, cualquiera que sea el radio R, sinα es igual a la razón ' 'M PR

y cos α es

igual a 'OP

RPara el resto de las razones se procede de igual modo.

SIGNOS DE LAS LINEAS TRIGONOMÉTRICAS

Siendo toda línea trigonométrica un segmento de recta perpendicular a uno de losejes rectangulares OA, OB y teniendo su origen sobre este eje, se le atribuye elsigno + o el signo -, conforme a lo siguiente:Todo segmento perpendicular al diámetro BB' es positivo a la derecha de estediámetro y negativo a la izquierda.Todo segmento perpendicular al diámetro AA' es positivo arriba de este diámetroy negativo abajo.Así, el seno de un arco es positivo cuando este arco termina en el 1º o en el 2ºcuadrante y negativo cuando termina en el tercer o cuarto cuadrante.La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo ycuarto.El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante y negativo en el segundo ytercero.La secante de un arco es siempre del mismo signo que su coseno; la cotangente esdel mismo signo que su tangente; y la cosecante del mismo signo que su seno.

7

RELACIONES ENTRE LAS LINEAS TRIGONOMETRICAS DE CIERTOSARCOS.

Inscribamos el círculo trigonométrico en un rectángulo M,M',M'',M''' cuyos ladossean paralelos a los diámetros rectangulares AA',BB'. Este rectángulo se llamarectángulo trigonométrico. Al construir las líneas trigonométricas de los arcos queterminan en cada uno de los cuatro vértices M,M',M'',M'' se concluye que las líneasdel mismo nombre son iguales en valor absoluto. Entre las numerosasconsecuencias que se desprenden de esta observación, las siguientes sonparticularmente útiles.

ARCOS QUE DIFIEREN DE UN NUMERO ENTERO DE CIRCUNFERENCIAS.

Dos arcos del mismo origen, que difieren de un número entero de circunferencias,acaban en el mismo punto, luego tienen las mismas líneas trigonométricas.Cualquiera que sea el arco α y el número entero k, se puede escribir:

sin(2kπ+α) = sin αcos(2kπ+α) = cosαtan(2kπ+α) = tanαcot(2kπ+α) = cotαsec(2kπ+α) = secαcsc(2kπ+α) = cscα

ARCOS SUPLEMENTARIOS

Dos arcos suplementarios AM y AM', tienen sus extremos simétricos con respectoal diámetro BB'; luego, sus líneas trigonométricas son iguales y de signos contrariosa excepción del seno Mp = M'P' y de las cosecantes OS=OS' que son iguales y delmismo signo, por lo que se tiene:

sin(π-α) = sinα csc(π-α) = cscαcos(π-α) = -cosα sec(π-α) = -secαtan(π-α) = -tanα cot(π-α) = -cotα

Por lo tanto, si se reemplaza un arco por su suplemento las líneas trigonométricasconservan su valor absoluto y cambian de signo, a excepción del seno y lacosecante que conservan su signo

ARCOS QUE DIFIEREN EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA.

Dos arcos AM y AM' que difieren en una semicircunferencia tienen sus extremosdiametralmente opuestas; por lo tanto sus líneas trigonométricas son iguales y designos contrarios a excepción de la tangente AT y la cotangente BS que son igualesy del mismo signo, luego, se tiene:

sin(π+α) = -sinα csc(π+α) = -cscαcos(π+α) = -cosα sec(π+α) = -secαtan(π+α) = tanα cot(π+α) = cotα.

Luego, si se agrega a un arco, o si resta de un arco una semicircunferencia, laslíneas trigonométricas conservan su valor absoluto y cambian de signo, aexcepción de la tangente y la cotangente.

ARCOS IGUALES Y DE SIGNOS CONTRARIOS.

Dos arcos iguales y de signos contrarios AM y AM', tienen sus extremos M y M'simétricos con respecto al diámetro AA'; sus líneas trigonométricas, serán iguales

8

en valor absoluto y de signo contrarios, a excepción del coseno OP y de la secanteOT=OT' que son iguales y del mismo signo. Así podemos escribir:

sin(-α) = -sinα csc(-α) = -cscαcos(-α) = +cosα sec(-α) = +secαtan(-α) = -tanα cot(-α) = -cotα.

Luego, si se cambia el signo de un arco, las líneas trigonométricas conservan suvalor absoluto y cambian de signo, a excepción del coseno y la secante.

REDUCCION DE UN ARCO AL PRIMER CUADRANTE

Reducir un arco al primer cuadrante, es encontrar un arco comprendido entre 0° y90° cuyas líneas trigonométricas sean iguales en valor absoluto a las del arco dado.Para reducir al primer cuadrante un arco dado α, sí este arco es mayor que 360°, sedivide primeramente por 360 lo que da un cuociente entero y un resto R menor que360°. El cuociente entero, indica cuantas circunferencias enteras contiene el arcodado, el resto informa en que cuadrante termina este arco, y por lo tanto cuales sonlos signos que tienen estas líenas trigonométricas.Sí el resto es menor que 90°, este es el arco buscado cuyas líneas trigonométricasson iguales en valor absoluto a las de α.Sí α es un arco del segundo cuadrante se resta 180°, la diferencia π-α, es el arcopedido.Sí α es un arco del tercer cuadrante se le resta 180°, el exceso α-π, es el arco pedido.Sí α es un arco del cuarto cuadrante se le resta 360°, la diferencia 2π-α, es el arcopedido.

Ejemplos: Reducir al primer cuadrante:a) 1860°1860:360=5 60Luego la línea trigonométrica de 1860° reducida al primer cuadrante es igual a 60°.b) 1575°1575:360=4 135y 180°-135°=45°.Luego la línea trigonométrica de 1875° reducida al primer cuadrante es igual a 45°.c) 930°930:360=2210y 210° - 360° = 30°Luego la línea trigonométrica de 930° reducida al primer cuadrante es igual a 30°.d) 705°705:360=1345y 360°-345°=15°Luego la línea trigonométrica de 705° reducida al primer cuadrante es igual a 15°.

9

FORMULAS TRIGONOMÉTRICAS

I. RELACIONES ENTRE LAS LINEAS TRIGONOMETRICAS DE UN MISMOARCO.

T

AA'

B S

P

MQ

O

M'M''

Fórmulas fundamentales:

Entre las seis líneas trigonométricas de un mismo arco, existen 5 relacionesdistintas que son las fórmulas fundamentales de la trigonometría.Sea un arco AM=α.Construyamos sus seis líneas trigonométricas. El triángulo rectángulo OMP, da:

MP² + OP² = OM²ó sin²α + cos²α = 1Los triángulos semejantes OAT y OPM, dan:AT OA OTPM OP OM

= =

ótan 1 secsin cos 1

α αα α= =

de donde obtenemos: sintancos

ααα

=

Los triángulos semejantes OBS y OPM nos permiten escribir:BS OB OSOP PM OM

= =

ócot 1 csccos sin 1

α αα α= =

De les relaciones precedentes podemos deducir que:a) secαcosα = 1b) cscαsinα = 1

de donde,

10

1sec , y cos1csc =

sin

αα

αα

=

FORMULAS QUE DE AQUI SE DEDUCEN

Combinando entre sí las fórmulas elementales se puede establecer un gran númerode otras relaciones entre las seis líneas trigonométricas de un mismo arco.Así obtenemos:a) tanαcotα = 1

ó 1cot

tanα

α=

o también 1tan

cotα

α=

b) Dividiendo los dos miembros de la identidad de Pitágoras pori) cos²α, obtenemos:

1 + tan²α = sec²α

ii) sin²α, obtenemos:1 + cot²α = csc²α

Explicación de las líneas trigonométricas de un arco en función de una de ellas.

Por medio de las cinco fórmulas fundamentales, se puede calcular todas las líneastrigonométricas de un arco en función de una de ellas.1) Calcular cosα y tanα en función de sinαLa identidad de Pitágoras nos da inmediatamente:

2cos 1 sinα α= ± −

y ya que sintancos

ααα

= , tenemos:

2

sintan1 sin

ααα

=± −

Fácilmente podemos explicar el signo ±. El seno, dado determina dos arcos queterminan en dos puntos M y M' simétricos con respecto al diámetro BB'. Ademáslos arcos terminados en M y en M' tienen cosenos iguales y de signos contrarios,tangentes iguales y de signos contrarios. Luego, dado el sinα, el arco α puedeterminar en M o en M'; de manera que el valor de cosα y el de tanα estándeterminados en valor absoluto, pero no en signo.

Ejercicios:1) Calcular sinα y tanα en función de cosα2) Calcular sinα y cosα en función de tanα.

Ejercicios:Demostrar las siguientes identidades.

1) tan sin cos secα α α α+ =

11

solución

2

2 2

sin sin coscossin coscossin cos

cos1

cossec

α α ααα ααα α

α

αα

+ =

+ =

+=

=

=

( )( )3 32)sin cos sin cos 1 sin cosα α α α α α+ = + −demostración: ejercicio

( ) ( ) ( )22 2 23) tan sin 1 cos sec 1α α α α− + − = −2 2

2 2

1 tan 1 tan4)1 cot 1 cot

α αα α

⎛ ⎞+ −= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

4 2 45)csc 1 2cot cotα α α− = +

PROYECCION DE UN CONTORNO POLIGONAL EXPRESADA POR MEDIODE LAS FUNCIONES CIRCULARES.

Teorema: La medida de la proyección de un segmento es igual a la longitud delsegmento, multiplicada por el coseno del ángulo que forman las direccionespositivas del eje y del segmento.

XA'B'B'A'

AC

B

ZD

AC

B

D Z

Dem:Sea A'B' la proyección de AB sobre X'X, por el origen del segmento, tracemos lasemirrecta AZ // X'X. Sea C la intersección de AZ con la proyectante BB'.Desde el origen A como centro, tracemos la circunferencia que tiene a AB comoradio. Esta circunferencia corta a la semirrecta AZ en un punto D que se tomacomo origen de los arcos.Cuatro casos pueden presentarse según la posición ocupada por el punto B, en el1º, 2º, 3º ó 4º cuadrante; pero en todos los casos el ángulo ZAB tiene la mismamedida que el arco DB y según la definición del coseno se tiene siempre enmagnitud y en signo:

12

( ) cos ZAB , de donde ACAB

∠ =

AC = ABcos(<ZAB).

SUMA DE ARCOS

A' A

B'

B DF

EC

P

I

El problema de la suma de los arcos tiene por objeto, calcular el seno, el coseno o latangente de la suma de dos arcos conociendo el seno, el coseno o la tangente deestos arcos.

a) sin(α+β) y cos(α+β) en función de seno y coseno de cada uno de los arcos α y β.Partiendo del origen de los arcos, llevamos uno a continuación del otro y cada unoen su propio sentido, los arcos AC=α, CD = β. Unamos OC y OD; bajamos DI ⊥OAy finalmente, trazamos las semirrectas IE, IF respectivamente paralelas a lasdirecciones positivas de los diámetros A'A y B'B. Teniendo los dos contornos OPDy OID igual resultante, sus proyecciones sobre un eje cualquiera, son iguales entresí. Podemos entonces escribir:pr.OP + pr.OD = pr.OI + pr.ID. (*)Tomando como eje de proyección el diámetro BB', tenemos:pr.OP = 0, pr PD = sin(α+β)pr.OI = OIcos(<BOI) = OIcos(π/2 - α) = cosβsinαpr.ID = IDcos(<FID) = IDcosα= sinβsinαTeniendo en cuenta estos valores y la relación (*), tenemossin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα.

b) Sí elegimos el diámetro AA' por eje de proyección, se tienepr.OP = cos(α+β), pr.PD = 0 (**)pr.OI = OIcos(<AOI) = OIcosα = cosαcosβpr.ID = IDcos(<EID) = ID co(π/2-α) = -sinαsinβNuestra relación (**), se convierte entonces en:cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ.c) sin(α-β) y cos(α-β), en función de los cosenos y senos de los arcos α y β.Aplicamos las fórmulas generales ya demostradas a los arcos α y -β.Teniendo en cuenta que:cos(-β) = cos β, y sin(-β) = - sinβ, obtenemos:sin(α-β) = sinαcosβ - sinβcosαcos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

d) Cálculo de tan(α±β) en función de tanα y tanβ.

13

La fórmula fundamental aplicada al arco (α+β) da:

( ) ( )( )

sintan

cosα β

α βα β+

+ =+

desarrollando los términos, se tiene

( ) sin cos cos sintancos cos sin sin

α β α βα βα β α β

++ =

−Para obtener tangentes, dividamos el numerador y el denominador por el productocosαcosβ, resulta:

( )

sin sincos costan sin sin1

cos cos

α βα βα β α β

α β

++ =

−

es decir ( ) tan tantan1 tan tan

α βα βα β+

+ =−

por otro aplicando la fórmula a los arcos α y -β, se obtiene:

tan (α - β) = tanα - tanβ 1 + tanαtanβObservación: Ya sabemos que tan45º = 1, luego para este caso nuestras fórmulasprecedentes se transforman en:tan(45º+β) = 1 + tanβ 1 - tanβ

tan(45º - β) = 1 - tanβ 1 + tanβ

Ejemplos:Expresar sin(α+β+γ) y cos(α+β+γ) en función de los senos y cosenos de los arcos α, β, γ.Solución:

( ) ( )( ) ( )

( )

sin sin

= sin + cos sin cos

= (sin cos +cos sin )cos sin cos cos sin sin = sin cos cos cos sin cos sin cos cos sin sin sin

α β γ α β γ

α β γ γ α β

α β α β γ γ α β α βα β γ α β γ γ α β γ α β

+ + = + +⎡ ⎤⎣ ⎦+ +

+ −

+ + −

FORMULAS DE MULTIPLICACION.

1) Calcular sin2α, cos2α, tan2α, conociendo el valor de sinα, cosα y tanα.En las fórmulas de adición, hagamos β=α, entonces:a) sin2α = sin(α+α) = sinαcosα+cosαsinα = 2sinαcosα

b) cos2α = cos(α+α) = cosαcosα - sinαsinα = cos²α - sin²α

c) tan2α = tan(α+α) = tanα + tanα 1-tanαtanα = 2tanα

14

1 - tan²αEjemplos:a) Expresar cada línea trigonométrica del arco 2α, en función de la línea del mismonombre.b) calcular sin3α, cos3α y tan3α, en función de sinα, cos α y tanα.

Observación:Las fórmulas anteriores, lo mismo que las relaciones fundamentales, sonidentidades, es decir que se cumplen para cualquier valor del arco considerado.Por ejemplo, haciendo α = α/2 en las fórmulas, tenemos:

sinα = 2sinα/2cosα/2

cosα = cos²α/2 - sin²α/2

tanα = 2 tanα/2 1 - tan²α/2

FORMULAS DE DIVISIÓN

El objeto de éstas fórmulas es dar el valor de sinα/2, cosα/2, tanα/2, conociendo elvalor de sinα, cosα y tanα

a) sin y cos2 2α α

en función de cosα.

Conociendo el valor de cosα, calcularemos sin2α

y cos2α

. Reemplazando α por

2α

en la fórmula respectiva y en la identidad de Pitágoras, obtenemos el siguiente

sistema de dos ecuaciones:

2 2

2 2

sin cos 12 2

cos sin cos2 2

α α

α α α

+ =

− =

Sumando y restando miembro a miembro, obtenemos:2

2

2cos 1 cos2

2sin 1 cos2

α α

α α

= +

= −

de donde obtenemos:1 coscos

2 21 cossin

2 2

α α

α α

+= ±

−= ±

b) tan2α

, en función de cosα. Dividiendo miembro a miembro las fórmulas

obtenidas anteriormente, obtiene:

15

1 costan2 1 cosα α

α−

= ±+

c) sin y cos2 2α α

en función de sinα.

dado seno α se quiere calcular sin y cos2 2α α

. Reemplazando α por 2α

en:

sin 2 2sin cosα α α= y en la primera fórmula fundamental, obtenemos elsiguiente sistema de ecuaciones:

2 2sin cos 12 2

2sin cos sin2 2

α α

α α α

+ =

=

Sumando y luego restando miembro a miembro estas dos ecuaciones se obtiene elsistema equivalente:

2

2

sin cos 1 cos2 2

sin cos 1 sin2 2

α α α

α α α

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

que podemos escribir:

( )( )

1sin 1 cos 1 sin2 2

1cos 1 cos 1 sin2 2

α α α

α α α

= ± + ± −

= ± + − −

d) tan2α

en función de tanα.

Reemplazando α por 2α

en la fórmula, se obtiene la ecuación:

2

2 tan2tan

1 tan2

α

α α=−

Despejando tan2α

, obtenemos:

21 1 tantan2 tanα α

α− ± +

=

tanαSiendo el producto de las raíces de la ecuación igual a -1 cualquiera que sea tanα,se tiene siempre dos raíces reales, inversas una de la otra y de signos contrarios.

FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN EN PRODUCTOS.

El objeto de estas fórmulas, es transformar en un producto una suma de senos, decosenos o de tangentes.

1) Transformar en producto sinα ± sinβHaciendo α = A + B, y β = A -B, de donde

16

=2 2

A B A Bα β+ −=

entonces( ) ( )sin sin sin sinα β α β α β± = + ± − .

Las igualdades anteriores se convierten respectivamente en:sin sin 2sin cosA Bα β+ = *es decir

sin sin 2sin cos2 2

A B A Bα β + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ysinα - sinβ = 2cos A sin B **es decir

sin sin 2cos sin2 2

A B A Bα β + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Observación: Las fórmulas anteriores permiten subsistir permiten subsistir a lasuma algebraica de dos senos el doble producto de un seno por un coseno.Las relaciones * y ** pueden escribirse:2sin a cos b = sin(A + B) + sin(A - B)2cos a sen b = sin(A + B) - sin(A - B)

las cuales sirven para sustituir el producto de un seno y de un coseno por la sumaalgebraica de dos senos.

Ejemplo:1) Transformar la expresión:sin α + sinβsinα - sinβ.

2) Transformar la expresión sinα ± cosβsinα ± sinβ = sinα ± sin(π/2 -β)aplicando las fórmulas:

sin sin 2sin cos2 4 2 4

sin cos 2cos sin2 4 2 4

α β π α β πα β

α β π α β πα β

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞± = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Transformar en producto: cosα ± cosβ

Hacemos α = A + B y β = A - B

de donde 2 2

A y Bα β α β+ −= =

Luego cosα ± cosβ = cos(A + B) ± cos(A - B)Como se tienecos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A - B) = cosAcosB +sinAsinBlas igualdades anterior se convierten respectivamente en:cosα+cosβ = 2cosAcosBes decir:

cos cos 2cos cos2 2

A B A Bα β + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y cosα-cosβ = -2sinAsinB

17

es decir

cos cos 2sin sin2 2

A B A Bα β + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Transformar tanα ± tanβReemplazando cada tangente, en función de seno y coseno y sumando lasfracciones obtenidas, se tiene:

sin sin sin cos cos sintan tancos cos cos cos

α β α β α βα βα β α β

±± = ± =

es decir:

( )sintan tan

cos cosα β

α βα β

±± =

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Hemos visto que a todo punto del círculo trigonométrico, le asociamos un únicoángulo.

Definición: Se define la función :

x sinxseno →

→ y cos : R → R x cosxy también tan : R → R x tanxde igual modo se pudren definir las otras funciones, cot, sec y cosec

Por otro lado dado que las funciones trigonométricas no son inyectivas y por lotanto no son biyectivas, es conveniente restringirlas para que lo sean. Es habitualelegir:sin : [-π/2,π/2] → [-1,1] x sinx

cos: [0,π] → [-1,1] x cosx

ellas son biyectivas y por lo tanto son invertibles. Llamamos a sus inversasArcoseno y Arcocoseno y se definen como:Arsin : [-1,1] → [-π/2,π/2] x ArcsinxArccos : [-1,1] → [0, π] x Arccosx

De igual modo se definen las funciones inversas de la tangente( Arcotangente), dela secante, Arcosecante y de la cosecante (Arcocosecante).

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Def: Una ecuación trigonométrica, es una igualdad que contiene una o varias líneastrigonométricas de arcos desconocidos y que se verifica solo para los valoresparticulares de dichos arcos.

Resolver una ecuación trigonométrica, es determinar los valores del arcodesconocido.

18

ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA.Método general: El método más general para resolver una ecuación con unaincógnita consiste en reducirla a una ecuación algebraica, tomando una líneatrigonométrica por incógnita auxiliar.1) Se elige por incógnita, ya sea una línea trigonométrica del arco desconocido, ouna línea trigonométrica de un múltiplo o de un submúltiplo de este arco, o decualquier arco cuyo conocimiento traería consigo el arco pedido.2) se reemplazan en función de la incógnita adoptada todas las otras líneastrigonométricas que figuran en la ecuación.3) Por medio de los procedimientos ordinarios del álgebra se resuelve la ecuaciónfinal con respecto a la incógnita auxiliar y se discuten las raíces tomando en cuentalas condiciones de magnitud a las cuales está sujeta esta línea trigonométrica.4) Cada una de las raíces aceptables, produce una ecuación trigonométrica simplede una de las formas:sinx = a cosx = b tanx = cSe determina por medio de la table de valores ( o de una calculadora), un ánguloque verifique cada una de estas ecuaciones, después de lo cual las fórmulas de losarcos que tienen una línea trigonométrica dada, permiten escribir todas lassoluciones.

Ejemplo:Resolver la ecuación:3tan²x + 5 = 7 cosx

Método 1.Tomamos como incógnita cosx y reemplazamos tanx, en función de cosx, por lotanto la ecuación se transforma en:3(1-cos²x) + 5 = 7 cos²x cosx2cos²x - 7cosx + 3 = 0 cos²x

2cos²x - 7cosx + 3 = 0Esta ecuación tiene como raíces 3 y 1/2La primera se descarta ya que es mayor que la unidad.La ecuación entonces equivale a:cosx = 1/2

Esta ecuación se verifica para x=60º, y en consecuencia para todos los arcoscomprendidos en la fórmula:x= 2kπ ± π/3

Método 2.Reemplazamos cosx en función de tanx, la ecuación, entonces se convierte en:3tan²x + 5 = ±√(1+tan²xpero esta ecuación no es equivalente a la propuesta, ya que con las soluciones deésta, admite todavía las soluciones de la ecuación:3tan²x+5 = - 7 cosxElevando al cuadrado los dos miembros, llegamos a la ecuación:9tan4x -19tan²x - 24 = 0de donde sacamos:tanx = ± √19±√1225 18desechando las raíces imaginarias,tanx = ±√3

19

de donde finalmentex= kπ ± π/3Siendo esencialmente positivos los primeros miembros de las ecuaciones y siendosus segundos miembros de signos contrarios, una solución comprendida en lasfórmulas finalmente encontradas convierten a las ecuaciones (1) o (3) según queella haga positivo a cosx o -cosx, es decir, según que el coseno del arcoconsiderado, sea positivo o negativo.Ahora bien, los arcos comprendidos en las fórmulas (4) terminan en cuatro puntosdel círculo trigonométrico, respectivamente situados en cada uno de los cuatrocuadrantes. Los arcos:(2k+1)π ± π/3cuyos extremos caen en el segundo y tercer cuadrante tienen sus cosenos negativosy deben ser desechados. Los arcos:2kπ ± π/3 terminados en el primer y tercer cuadrante, son los únicos que lasatisfacen.Ejercicios:Resolver las ecuaciones trigonométricas:1) 2cosx + 3 = 4 cosx 2S={4kπ ± 2π/3}

2) 3(1-cosx) = sin²xS={2kπ}

3) sin3x = sinxS={kπ, (2kπ1)π/4}

Aplicaciones:

Resolver la ecuación

1) asinx + bcosx = c

2) atanx + bcotx = c

3) acos x + bcos(α-x) = m

SISTEMAS DE ECUACIONES

1) Resolver el sistema:x+y = a (1)sinx + siny = m / (2)

La ecuación (1) puede escribirse2 sin(x+y)cos(x-y) = m 2 2

de donde se saca teniendo en cuenta (1)cos(x-y) = m (3) 2sina/2

Esta última ecuación, exige que:-1 ≤ m ≤ 1 2sina/2

m² ≤ 1

20

4sin²a/2es decir:

m² ≤ 4sin²a/2Sí se satisface esta condición, la ecuación (3) determina un ángulo α = x-y 2que se obtiene con la calculadora, en seguida se transforma en la ecuaciónalgebraica

x-y = 2kπ ± α (4) 2Además la ecuación (1) puede escribirse:x+y = a (5) 2 2Sumando y luego restando (4) y (5) miembro a miembro, se obtiene:x = a/2 +2kπ ±αy = a/2 - 2kπ ± α

2) Resolver el sistema 6) x + y = ax+y = a tanxtany = msinxsiny = m /

3) x+y = a 7) x +y = acosx + cosy = m / tanx = p tany q

4) x+y = acosx = pcosy q________/

5) x + y = atanx + tany = m

ECUACIONES DONDE INTERVIENEN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS

1) Resolver la ecuación

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= xarcxarc

23cossin

Esta ecuación expresa que un cierto arco tiene por seno el número x y por coseno

el número x23 . Por la identidad de Pitágoras, esto quiere decir que la suma de los

cuadrados de estos dos números es igual a 1.Tenemos por lo tanto:

1232 =+ xx

con raíces x=-2 y por x= 21

Pero para que se acepte como raíz, debe tenerse

123y 12 ≤≤ xx , es decir

321 ≤≤− x

2) 41

1arctanarctan π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

xx

21

Hagamos α = arctanx, de donde tanα = x,y β = arctan 1 , de donde tanβ = 1 . x+1 x+1

La ecuación puede entonces escribirse como:α + β = π/4tomando tangentes a los dos ladostan(α + β ) = tanπ/4tanα + tanβ = 11 - tanαtanβes decir

( )

1

111

111

=

+−

++

xx

xx

que se reduce ax² - x - 2 = 0, que tiene como raíces a x = 2 y x = -1

VARIACIONES Y GRAFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Siendo P un punto que se mueve en el sentido positivo en el círculo trigonométricopartiendo desde A, varía continuamente de 0º a 360º

TABLA DE VARIACIONES

Cuando α aumenta desde

0º a 90º 90º a 180º 180º a 270º 270º a 360º

sinα crece decrece decrececrece

de 0 a 1 de 1 a 0 0 a -1 -1 a 0 ♦

cosα decrece decrece crececrece

de 1 a 0 0 a -1 -1 a 0 0 a 1 ♦

tanα crece crece crece crece de o a ∞ de -∞ a 0 de 0 a ∞ de -∞ a 0 ♦

cot decrece decrece decrecedecrece

de +∞ a 0 de 0 a -∞ de +∞ a o de 0 a -∞ ♦sec crece crece decrece decrece de 1 a +∞ de -∞ a -1 de -1 a -∞ de +∞ a 1 ♦

cosecα decrece crece crece decrece

22

de +∞ a 1 de 1 a +∞ de -∞ a -1 de -1 a -∞ ♦

GRAFICO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

En la siguiente tabla, los valores del ángulo x están dados en radianes.

x sinx cosx tanx cotx secx cosecx ♦

0 0 1,00 0 ±∞ 1,00 ±∞π/6 0,50 0,87 0,58 1,73 1,15

2,00π/4 0,71 0,71 1,00 1,00 1,41

1,41π/3 0,87 0,50 1,73 0,58 2,00

1,15π/2 1,00 0 ±∞ 0 ±∞

1,0022π/3 0,87 -0,50 1,73 -0,58 -2,00

1,153π/4 0,71 -0,71 -1,00 -1,00 -1,41

1,415π/6 0,50 -0,87 -0,58 -1,73 -1,15

2,00 π 0 -1 0 ±∞ -1,00 ±∞7π/6 -0,5 -0,87 0,58 1,73 -1,15 -2,005π/4 -0,71 -0,71 1,00 1,00 -1,41 -1,414π/3 -0,87 -0,50 1,73 0,58 -2,00 -1,153π/2 -1,00 0 ±∞ 0 ±∞ -1,005π/3 -0,87 0,50 -1,73 -0,58 2,00 -1,157π/4 -0,71 0,71 -1,00 -1,00 1,41 -1,4111π/6 -0,50 0,87 -0,58 -1,73 1,15 -2,002π 0 1,00 0 ±∞ 1,00 ±∞

CURVA GENERAL DEL SENO

La amplitud (máxima ordenada) y el período (longitud de onda) de la función y =sinx son respectivamente 1 y 2π. Para un valor dado el valor de y = asinx, con a >0,es a veces el valor de y=sinx. Así, la amplitud de y = asinx es ay el período es 2π.

23

dado que, cuando bx = 2π, x=2π/b, la amplitud de y =sinbx, con b>0 es 1 y elperíodo es 2π/b.Luego para la curva y = asin(bx+c), se tiene que la amplitud es a y el período es (2π-c)/b.

Para la curva y acos(bx+c), la amplitud es a y el período es (2π-c)/b

COMPOSICION DE CURVAS SINUSOIDALES

Formas más complicadas de movimientos de ondas son obtenidas combinando doso más curvas sinusoidales. El método de suma se hace sumando las ordenadascorrespondientes.Ejemplo: Graficar y = sin3x + cos2x.

RESOLUCION DE TRIANGULOS EN LOS CASOS ELEMENTALES.

Resolver un triángulo, es calcular sus elementos desconocidos por medio de loselementos dados. Tal es el objeto principal de la Trigonometría.Todo triángulo, contiene seis elementos principales: tres lados (a,b,c) y tres ángulos(α, β,γ). Un triángulo, está determinado cuando se conocen tres de sus elementos,entre ellos un lado a lo menos.

TRIANGULOS RECTANGULOS

Relaciones entre los elementos principales de un triángulo rectángulo.

Teorema: En todo triángulo rectángulo, cada cateto es igual a la hipotenusamultiplicada por el seno del ángulo opuesto al lado que se busca, o por el cosenodel ángulo adyacente a este mismo lado. Demostración:

AC

B

c

b

a

Sea el triángulo rectángulo ACB. Con A como centro y con AB radio describimosun arco de circunferencia, se tiene de acuerdo a la definición que:sinα = BC = a AB cde donde a = csinαPor ser α y β complementarios, se tiene que:sinα = cosβ, luego a =ccosβde igual modob=csinα y b=csinα

Teorema: En un triángulo rectángulo, cada cateto es igual al otro multiplicado porla tangente del ángulo opuesto al cateto buscado o por la cotangente del ánguloadyacente este mismo lado.Demostración:

24

Sí del punto A como centro y AC como radio se describe un arco de circunferencia,se tiene de acuerdo a la definición que:tanα = BC = a AC bde dondea=btanαpor ser α y β complementarios se tiene:tanα = cotβ, luego a=bcotβdel mismo modo Estos dos teoremas, bastan para resolver un triángulob=atanβ y b=acotαo rectángulo agregando la relación c²=a²+b².

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOSLa resolución de triángulos rectángulos puede presentar cuatro casos, según seconozca:a) la hipotenusa y un ángulo agudob) un cateto y un ángulo agudoc) la hipotenusa y un catetod) los dos catetos.

a) Sí se conoce la hipotenusa c y el ángulo agudo β.El ángulo α se calcula como el complemento de β, es decir α = 90º -βEl primer teorema da para los catetos:a=ccosβ, y b=csinβ

La superficie es S = ab/2, o bien sustituyendo los valores de a y bS= c²sinβcosβ = c²sin2β 2 4

b) Sí se conoce uno de los catetos (b) y uno de los ángulos agudos (β)El ángulo α es el complemento de β, luego α = 90º - βEl primer teorema dá b=csinβ, luegoc = b sinβEl segundo teorema da a=bcotβ.La superficie es S=ab/2, sustituyendoS=b²cotβ 2

c) Sí se conoce la hipotenusa c y un cateto bSe sabe que:sinβ = cosα = b/cEl cateto a se determina por a=√c²-b²La superficie es S=ab/2, sustituyendoS=b√(c+b)(c-b) 2d) Se conocen los dos catetos a y bLos ángulos agudos se determinan por:tanβ = cotα = b/ac, puede calcularse por c=√a²+b², o bién c=b/sinαLa superficie es S=ab/2

TRIANGULOS OBLICUOS

25

Teorema: (de los senos): En todo triángulo los lados son entre sí como los senos delos ángulos opuestos.Dem:

AB

C

b

c

a

D A B

C

b

a

c

hchc

Sea el triángulo ABC. Bajemos por el vértice C una perpendicular hc, al ladoopuesto; esta perpendicular cae sobre c (o su prolongación).En el primer caso los triángulos ACD y DCB, dan:hc=bsinα, y hc=asinβ, de dondebsinα = asinβ ó a = b sinα sinβEn el segundo caso, los ángulos en A tienen el mismo seno por ser suplementarios,luego:hc=bsinα = asinβ, de donde a = b sinα sinβDe igual modo, obtenemos: a = csinα sinγPor lo tanto: a = b = c sinα sinβ sinγ

Teorema: (del coseno) : En todo triángulo, el cuadrado de un lado, es igual a lasuma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por elcoseno del ángulo que forman.

Dem:

A D B

C

AD

C

B

ba

cc

a

bhc

hc

a) Sí α es agudo, se tiene que:a² = b² + c² -2cADComo AD=bcosα, resulta que a² = b² + c² -2bccosα.

26

b) Sí α es obtuso, se tiene que:a² = b² + c² + 2cADAD=bcosCAD ó -bcosα, luegoa² = b² + c² - 2bccosα.

Este teorema da las tres relaciones siguientes entre los seis elementos de untriángulo:a² = b² + c² - 2bccosαb² = c² + a² - 2accosβ (1)c² = a² + b² - 2abcos γ

Teorema (de las proyecciones): Cada lado de un triángulo es igual a la sumaalgebraica de las proyecciones de los otros dos lados sobre la dirección delprimero.Dem:Se sabe que:pr. BC = pr.BA + pr. ACTomando la recta BC como eje de proyección resulta que:a = bcosγ + ccosβ, de igual modob = acosγ + ccosα (2)c = acosβ + bcosα

Observación: Sí añadimos a la relación de los senos la relación que existe entre losángulos de un triángulo, se obtiene: a = b = c sinα sinβ sinγα + β + γ = 180º (3)

Teorema: Existe un triángulo que tiene por lados a,b,c.En efecto, siendo cosα superior a -1, se tiene que:b² + c² -2bc cosα < b² + c² + 2bc, es decira² <(b+c)²ó a² - (b+c)² < 0ó (a+b+c)(a-b-c) < 0, pero como a+b+c > 0, tenemos que:a-b-c < 0, de dondea < b + cDel mismo modo, se puede probar que:b < a + cc < a + b

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALQUIERA.

La resolución de un triángulo cualquiera, presenta cuatro casos elementales segúnse dé:a) Un lado y dos ángulosb) Dos lados y el ángulo comprendido.c) Los tres ladosd) Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

a) Resolver un triángulo conociendo un lado "a" y los ángulos α y β.Las tres incógnitas, determinan tres ecuaciones:α + β + γ = 180º a = b = c sinα sinβ sinγde acá sacamos:α = 180º - (β + γ)

27

b = asinβ, c = asinγ sinα sinαLa primera fórmula exige β+γ < 180º, y en este caso el problema tiene soluciónúnica.Area:el área del triángulo, es igual al semiproducto de la base a por la altura ha.Tenemos:S= aha 2Del triángulo rectángulo BAD sacamos que ha = csinβ; reemplazando, c por suvalor:ha = asinγsinβ sinαluego:S= a²sinγsinβ 2sinαo reemplazando sinα por su igual sin(β+γ)S= a²sinγsinβ 2sin(β+γ)

b) Resolver un triángulo, conociendo dos lados a y b y el ángulo comprendido γ.Las incógnitas se determinan por las tres ecuaciones:α + β + γ = 180º a = b = c sinα sinβ sinγSe calcula primero los ángulos α y β por medio de:su suma α + β = 180º - γ, yla razón de sus senos: sinα = a sinβ bBuscamos la diferencia (α-β); la segunda ecuación puede escribirse:sinα - sinβ = a-bsinα + sinβ a+bó tan(α - β) 2 = a-b tan(α + β) a+b 2de donde tomando en cuenta la primera ecuación y notando que:tan(α+β) = tan(90º - γ/2) = cotγ/2, resulta 2

tan(α-β) = a-bcotγ/2 * 2 a+b

Conociendo (α+β)/2 y (α-β)/2 se deduce α y β por adición y sustracción.Y, si los ángulos son conocidos, se tiene el lado c por el teorema de los senos:c=asinγ ** sinαSiempre podemos suponer que "a" designan el lado mayor, entonces la fórmula *da para (α-β)/2 un sólo valor menor que 90º. La fórmula ** da para c un valorpositivo. Por lo tanto el problema admite un única solución.

Cálculo directo del lado c:Se puede calcular usando el teorema del coseno.

28

Teorema (del área): El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de doslados por el seno del ángulo que comprenden.dem:

B C

A

b

a

c

hc

S= aha , en el triángulo DAC, se tiene que ha=bsinγ, luego 2S = absinγ 2

c) Resolver un triángulo, conociendo los tres lados a,b,c.Cada uno de los ángulos se determina por una de las ecuaciones del teorema delcoseno:cosα = b² + c² - a² 2bccosβ = a² + c² - b² 2accosγ = a² + b² - c² 2ab

Vamos a transformar estas fórmulas por medio de las relaciones: Por ejemplo,tomemos la primera:2cos²α/2 = 1+cosα, y 2sin²α/2 = 1-cosαReemplazamos en ellas el valor encontrado para el coseno. De la primera, seobtiene:2cos²α/2 = 1 + b² + c² - a² = b² + 2bc + c² - a², 2bc 2bcó2cos²α/2 = (b+c)² - a² = (b+c+a)(b+c-a) 2bc 2bcde donde cosα/2 = √(b+c+a)(b+c-a) 4bcDesignando por 2s el perímetro del triángulo, se tiene que:a+b+c = 2sb+c-a= 2(s-a)a+c-b= 2(s-b)a+b-c= 2(s-c)Por lo tanto:cosα/2 = √s(s-a), y cosβ/2 = √s(s-b), y cosγ/2 = √s(s-c) bc ac abLa segunda relación dá análogamente:2sin²α/2 = 1 _ b² + c² - a² = a² - b² - c² + 2bc 2bc 2bcó2sin²α/2 = a² - (b+c)² = (a+b-c)(a+c-b)

29

2bc 2bcde donde:sinα/2 = √(a+b-c)(a+c-b) 4bcósinα/2 = √(s-b)(s-c) bcigualmente, se obtienesinβ/2 = √(s-a)(s-c) ac

sinγ/2 = √(s-a)(s-b) ab

Area:El área la podemos calcular usando la fórmula de Herón:S=√s(s-a)(s-b)(s-c)o también expresando la superficie por:S=bcsinα, reemplazando sinα por 2sinα/2cosα/2 , se tiene que 2S=bcsinα/2cosα/2Por otra parte hemos visto que:sinα/2 = √(s-b)(s- c) y cosα/2 = √s(s-a) bc bcluego S=bc√s(s-a)(s-b)(s-c) = √s(s-a)(s-b)(s-c) (bc)²

Discusión:Buscamos las condiciones de posibilidad, es decir las relaciones que deben existirentre los lados a,b,c para que de ahí se puedan determinar los ángulos α, β y γ.

Para que exista un ángulo α/2comprendido entre 0º y 90º que satisfaga la fórmulacosα/2 = √s(s-a) bces preciso que se tenga0 < s(s-a) < 1 bcLa desigualdad puede escribirse sucesivamente comos(s-a) > 0 ó s-a > 0es decirb+c-a > 0y finalmente a < b+cLa segunda desigualdad puede escribirse sucesivamente(b+c+a)(b+c-a) < 1 4bc(b+c)² - a² < 4bc(b+c)² - a² < 0es decir(b-c+a)(b-c-a) < 0El primer miembro es una función de segundo grado en b, para que sea negativa,es decir de signo contrario al coeficiente de b², es preciso y basta que b sea interiora las raícesc-a < b < c+alo que a la vez exige que:c < a+b y b < a+c.En resumen, basta que cada lado sea menor que la suma de los otros dos(condiciónde existencia de un triángulo)

30

De igual modo se procede con el sinα/2 = √(s-b)(s-b) bcFinalmente es preciso que se tenga que:s-a > 0 de donde a < b+cs-b > 0 de donde b < a+cs-c > 0 de donde c< a+b.

d) Resolver un triángulo, dados los lados a y b y el ángulo α, opuesto a uno deellos.Las ecuaciones: a = b = c sinα sinβ sinγα + β + γ = 180º dan sucesivamente:sinβ = bsinα (1) aγ = 180º - (α+ β) (2)y finalmentec = asinγ (3) sinαy la superficie se calcula porS = absinγ 2

Discusión:La fórmula (1), cuyo segundo miembro es positivo, exige quebsinα ≤ 1 aó a ≥ bsinαSí a < bsinα, el problema no tiene solución.Sí a=bsinα, las fórmulas (1), (2) y (3) , dan sucesivamenteβ = 90º, γ = 90º - α y c=bcosαesta solución solo es aceptable cuando el ángulo α es agudo.En esta hipótesis existe un solo triángulo que satisface el problema. Este triánguloes rectángulo en β.Sí α > bsinα, la fórmula (1) dá para el ángulo β dos valores suplementarioscomprendidos entre 0º y 180º: un ángulo β' agudo y un ángulo β'' obtuso.Pero estos ángulos solo son aceptables cuando los valores correspondientes delángulo γ y del lado c son ambos positivos.Por otra parte, reemplazando β por el valor β' después por el valor β'', las fórmulas(2) y (3) dan sucesivamente.γ'=180º-(α+β') y c' = asinγ' sinαdespuésγ'' = 180º - (α+β'') y c'' = asinγ'' sinαPara que sirva la primera solución, debe tenerse que α+β' < 180º, ya que estacondición trae consigo:sinγ' > 0 y c' > 0del mismo modo la segunda relación conviene si se tieneα+ β'' <180º.suponiendo esto, distinguiremos dos casos:a) α < 90ºEntonces el ángulo β' conviene siempre porque evidentemente, se tiene que:α+β' < 180ºel ángulo obtuso β'' no conviene sino cuando se tiene que:α+β'' < 180º ó α<180º-β'',

31

es decir siendo agudos los ángulos α y 180º-β''sinα < sin(180º-β'')sinα < sinβ''o todavía sinα < bsinα alo que nos da finalmentea < bPor lo tanto cuando el ángulo α es agudo, el problema tiene dos soluciones o unasolución , según que el lado opuesto a α sea menor o mayor que el lado adyacente.

b) α > 90º. Entonces el ángulo obtuso β'' no conviene nunca puesto que la suma α+β'' pasa de 180º.El ángulo agudo β' no conviene sino cuando se tieneα+β' < 180º ó α < 180º -β'es decir, siendo obtusos los ángulos α y 180º -β'sinα > sin(180º - β'') ó sin α > sinβ'ó todavíasinα > bsinα ao finalmentea > b.Por lo tanto, cuando el ángulo α es obtuso, el problema no puede tener más queuna solución, y esta solución no existe sino cuando el lado opuesto a α es mayorque el lado adyacente dado.El siguiente cuadro resume esta discusión, cuyos resultados todos están conformesa los encontrados en la Geometría.

a < bsinα 0 solución⎧ α < 90º 1 solución

a=bsinα ⎨ ⎩ α ≥ 90º 0 solución

⎧ a < b 2 soluciones α < 90º ⎨⎧ ⎩ a ≥ b 1 solución

a > bsinα ⎨⎩ α > 90º ⎧ a≤ b 0 solución

⎨⎩ a > b 1 solución

Este caso de resolución se llama caso dudoso porque puede tener 0,1 ó 2 soluciones

APLICACIONES A PROBLEMAS DE LEVANTAMIENTO DE PLANOS.

PROBLEMA Nº 1: Determinar la distancia de un punto accesible A a otro puntoinaccesible C.

Solución:Se elige arbitrariamente y se mide sobre el terreno una base de operación AB.Consideremos el triángulo ABC. Sean α =<CAB y β = < CBASe puede entonces calcular AC conociendo el lado AB y los dos ángulosadyacentes.Por ser el ángulo en C igual a 180º - (α+β), la relación de los senos AC = AB sinβ sinγluego,

32

AC = AB sinβsin(α+β)

Observación : sí existe un obstáculo tal que el punto C sea invisible para elobservador se puede reducir al siguiente problema:

PROBLEMA Nº 2 : Determinar la distancia de dos puntos inaccesibles C y D.

Solución:El método consiste en determinar las distancias de un punto accesible A a los dospuntos C y D, en medir el ángulo A del triángulo ACD y resolver en seguida eltriángulo ACD conociendo dos lados y el ángulo que forman.Se mide en la región accesible, una base AB y los ángulos formados con esta basepor los rayos visuales dirigidos de los puntos A y B hasta los puntos C y D.Se calculan las distancias AC y AD en los triángulos ABC y ABD, en los que seconocen los ángulos y el lado común AB.Sí los cuatro puntos A,B,C,D, están en el mismo plano, el ángulo CAD es ladiferencia de dos ángulos conocidos DAB y CAB. En caso contrario que es lo másgeneral se mide directamente este ángulo CAD.Entonces se puede calcular la distancia desconocida CD en el triángulo ACD, en elque se conocen dos lados y el ángulo que forman.

CALCULO DE LOS ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UNTRIÁNGULO.

1) Radio del círculo inscrito:

Sean D,E,F los puntos de contacto del círculo inscrito con los lados AB, BC,CA. Lostriángulos OAD, OBE, OCF, dan:ρ = ADtanα/2 = BEtanβ/2 = CFtanγ/2.Pero AD=(AD+BE+CE)-BC = s-a;BE=s-bCF=s-cluego:ρ=(s-a)tanα/2 = (s-b)tanβ/2 = (s-c)tanγ/2.

2. Radio del círculo circunscrito

Teorema: en todo triángulo, la razón de cada lado al seno del ángulo opuesto esigual al diámetro del círculo circunscrito.Dem:

33

B C

AA'

Trazando el diámetro BA' del círculo circunscrito y uniendo CA'. El triángulorectángulo BA'C dá:BC = 2rsinA'Pero el ángulo A' es igual al ángulo α, así:a = 2rsinαLuego:2r = a = b = c sinα sinβ sinγ

3. ALTURAS.

Igualando entre sí dos expresiones del área del triángulo, y reemplazando b y c enfunción de a y de los ángulos, se tiene:a) 2S = aha = bcsinα = asinβ asinγ sinα sinα sinαde donde:ha = asinβsinγ sinαde igual modo:hb = bsinαsinγ sinβhc = csinαsinβ sinγ

b) 2S = aha = bhb = chc = 2√s(s-a)(s-b)(s-c)Estas ecuaciones dan inmediatamente cada altura en función de los tres lados.

c) Los triángulos rectángulos determinados por las alturas dan:ha = bsinγ = csinβ,hb=asinγ = etc.4. TRANSVERSALES DE GRAVEDAD

34

B

A'

A

C

M

b'

c

b

H

Sí prolongamos la transversal AM=ta de una longitud MA'igual a sí misma, elángulo ABA' es igual a 180º -α, y el triángulo ABA' permite escribir:AA'² = 4ta² = b² + c² +2bccosαLos triángulos AMC y AMB dan todavíata² = b² + a² - abcosγ = c² + a² - accosβ 4 4Finalmente se demuestra en geometría la fórmula:b² + c² = 2(ta² + a²/4)de donde se puede obtener el valor de ta en función de los lados.

5. BISECTRICES INTERIORES DEL TRIÁNGULO.

Sean bα, bβ y bγ estas bisectrices. La bisectriz bα determina dos triángulosparciales cuya suma de áreas es igual a la del triángulo ABC. Se tiene:2S = bαcsinα/2 + bβbsinα/2 = bcsinαde donde:bαsinα(c+b) = bcsinα 2suprimiendo el factor sinα/2 tenemos:bα = 2bc cosα/2 b + co reemplazando cosα/2 en función de los tres lados:bα = 2bc √s(s-a) = 2 √s(s-a)bc b + c b + c

del mismo modo:bβ = 2ac cosβ/2 = 2 √s(s-b)ac a + c a + c

bγ = 2ab cosγ/2 = 2 √s(s-c)ab a + b a + b

EXPRESION DE LOS ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓNDE LOS ANGULOS Y DEL RADIO DEL CIRCULO CIRCUNSCRITO.

1) LADOS:Las relaciones: a = b = c , dan inmediatamente:

35

sinα sinβ sinγ

a = 2rsinαb = 2rsinβc = 2rsinγ

2) ALTURASTeniendo en cuenta estas últimas, las fórmulas:ha = bsinγhb = asinγhc = bsinαse convierten en :ha = 2rsinβsinγhb = 2rsinαsinγhc = 2rsinβsinα

3) SUPERFICIELas relaciones precedentes, permiten escribir:S = aha = 2r²sinαsinβsinγ 2

4) BISECTRICESReemplazando cada lado por su valor, se tiene:bα = 2bc cosα/2 = 8r²sinβsinγcosα/2 b + c 2r(sinβ + sinγ)Pero:sinβ + sinγ = 2sin(β+ γ) cos(β - γ) = 2cosα/2 cos(β - γ) 2 2 2Luego:bα = 2rsinβsinγ cos(β-γ) 2

bβ = 2rsinγsinα cos(γ-α) 2

bγ = 2rsinαsinβ cos(α-β) 2

5) SEMIPERIMETRO Y DIFERENCIAS.( s-a, s-b, s-c)

Considerando las fórmulas:a = 2rsinαb = 2rsinβc = 2rsinγse tiene2s = a+b+c = 2r(sinα + sinβ + sinγ)de donde reemplazando la suma de los seno por un producto:s = 4rcosα/2cosβ/2cosγ/2.del mismo modo2(s-a) = b+c-a = 2r(sinβ + sinγ - sinα ), luegos-a = 4rcosα/2sinβ/2sinγ/2s-b = 4rsinα/2 cosβ/2sinγ/2

36

s-c = 4rsinα/2sinβ/2cosγ/2

6) RADIO DEL CIRCULO INSCRITOConsiderando las fórmulas ya obtenidas, la expresión del radio del círculo inscritoes:ρ = (s-a)tanα/2 = 4rcosα/2sinβ/2sinγ/2tanα/2óρ = 4rsinα/2 sinβ/2sinγ/2.