1 DIN ISTORIA MATEMATICII FUNCIILE ARMONICE SINUS I COSINUS Funciearmonicesteuntermenfolositnmatematic(maialesn teoriaprobabilitilor)ifizic(nstudiuloscilaiiloriundelor);sereferla funciile de dou ori derivabile pe un interval deschis I_R, care satisfac ecuaia lui LAPLACE (pe ntreg intervalul I):0 f A =. Trigonometria Definiie Trigonometria este un capitol al matematicii care studiaz unghiuri, triunghiuri i funcii trigonometrice, precum sinusul i cosinusul. Unii matematicieni consider trigonometria o subdiviziune a geometriei, iar alii o tiin matematic distinct. Istoric [7] OrigineatrigonometrieiseconsiderafinculturaanticdinEgipt,BabiloniValea Indului, acum mai mult de trei milenii.Matematicieniiindieniaufostpioneriicalcululuialgebric,cuaplicaiin astronomie i n trigonometrie. LAGADHAeuniculmatematicianindiancunoscutcareautilizat geometriaitrigonometriapentruastronomiencarteasaVedangaJyotisham (dar multe dintre lucrrile sale au fost distruse de ctre invadatorii Indiei). Greciianticiiarabiiauaduscontribuiiremarcabilenmatematic(n general) i n trigonometrie (n particular): MatematicianulgrecHIPPARCHUS(vezifoto)acompilatuntabel trigonometric pentru triunghiuri (circa 150 .Hr.) Unaltmatematiciangrec,PTOLEMEU(circa100.Hr.)acontinuats dezvolte calculul trigonometric. SavantulSHIAMUSULMANNASIRAL-DINTUSI(vezifoto)afost probabilprimulcareaconsiderattrigonometriacaodisciplinmatematic distinct i a fost primul care a descrisase cazuri ale unui triunghi dreptunghic n trigonometria sferic.MatematicianulBARTHOLEMAEUSPITISCUS(nscutla24august 1561,nlocalitateaGrnbergdinSilezia;vezifoto)aintrodustermenulde Trigonometrie n limbile francez i englez. n prezent, exista un numr enorm de aplicaii pentru trigonometrie. 2 O importanspecialdeinetehnicadetriangulaiecareesteutilizatnastronomie pentru a msura distana pn la stelele apropiate, n geografie pentru a msura distanele ntre repere terestre i n sistemele de satelit pentru navigaie (maritim, aviatic, extraatmosferic). Altedomeniicareutilizeaztrigonometriasunt:muzica,acustica,optica,statistica, biologia, farmaceutica, chimia, oceanografia, ingineria etc.Funcii trigonometriceDefiniiafunciilortrigonometricesebazeazperapoartentrelaturialeunuitriunghi dreptunghicnplan.ntr-unastfeldetriunghi,laturaceamailung,opusunghiuluidrept,se numeteipotenuza,iarlaturilecareformeazunghiuldreptsenumesccatete.ntriunghiul dreptunghic, sinusul unui unghi ascuit este definit ca raportul dintre lungimea catetei opuse i lungimea ipotenuzei. Similar, cosinusul unui unghi ascuit este raportul dintre lungimea catetei alturate i lungimea ipotenuzei. Acestea sunt cele mai importante funcii trigonometrice; alte funcii pot fi definite fie ca rapoartediferitealelaturilorunuitriunghidreptunghic,darpotfiexprimateintermenide sinus i cosinus.De exemplu: tangenta, cotangenta, secanta, i cosecanta i altele, care nu se mai folosesc n vremea din urm. Definiiile anterioare se aplic doar la unghiuri ntre 0 i 90 (0 i 2t radiani). Utilizndcercultrigonometric(uncerccurazadelungimeegalcuunitatea)elepotfi extinse la toate argumentele reale. Cteva proprieti fundamentale ale funciilor sinus i cosinus: 1. 2 2sin cos 1 x x + =(formula fundamentala a trigonometriei). 2.1 sin 1 x s s ,1 cos 1 x s s . 3. Funciile sinus i cosinus sunt funcii periodice, cu perioada2t radiani. 4. Sinusul este o funcie impar, iar cosinusul este o funcie par. Numrul PI cu 100 de zecimale [2-4]: x cateta alturat ipotenuza cateta opus 3 Graficele funciilor sinus i cosinus [9] 4 Valorile funciilor trigonometrice pentru primul cadran, citite pe o diagram [1]: sinus 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 0,100,20 0,30 0,40 0,500,600,700,80 0,901,00 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 cosinus 5 Formula lui Euler [7] FormulaluiEulernumitastfeldupLEONHARDEULER,esteo formulmatematicdinanalizacomplexcarearatorelaiestrnsntre funciile trigonometrice i funcia exponenial complex. Identitatea lui Euler este un caz particular al formulei lui EULER.Formula lui Euler spune c, pentru orice numr real x, unde este baza logaritmilor naturali iar este unitatea imaginar; formula este valid doar dac argumentele sinusul i cosinusul sunt exprimate n radiani, nu n grade. Formula lui Euler a fost demonstrat pentru prima dat de ROGER COTES n 1714 sub forma: (unde "ln" nseamn logaritm natural, adic logaritm n baza e). EULERapublicatecuaianformaeicurentn1748,bazndu-idemonstraiape egalitatea seriilor infinite din ambele pri ale egalitii.Niciunuldintreceidoinuaintuitinterpretareageometricaformulei:interpretarea numerelor complexe ca puncte din planul complex a aprut abia dup 50 de ani.EULERaconsideratfirescsprezintestudenilornumerelecomplexemultmaidevreme dect se practic astzi. n manualul su de algebr elementar, Elemente de Algebr, el introduce aceste numere aproape de la nceput i le folosete n mod natural de-a lungul ntregii lucrri. RICHARD FEYNMAN a numit formula lui EULER "bijuteria noastr" i "cea mai remarcabil formul din matematic" [5-6]. Pentru cazul particular x = obinem identitatea lui EULER: care combin ntr-o formul simpl cele trei numere fundamentale i, i e. Aplicaii n teoria numerelor complexe [7] Ilustrarea formulei lui EULER.6 DemonstraiaoriginalsebazeazpedezvoltrilenserieTayloralefunciilor exponenial ez (cu z complex), sin x i cos x pentru numere reale x.Defapt,aceeaidemonstraiearatcformulaluiEulerestevalabilipentrutoate numerele complexe z. Formula lui Euler poate fi folosit pentru a reprezenta numerele complexe n coordonate polare. Orice numr complex z = x + iy poate fi scris sub forma: unde: partea real a numrului z, partea imaginar a numrului z, modulul numrului z, | este argumentul numrului z, adic unghiul ntre axa Ox i vectorul z msurat n sens trigonometric i exprimat n radiani, definit pn la 2. Acum,lundderivndaceastformul,sepoatefolosiformulaluiEULERpentrua defini logaritmul unui numr complex.Pentru a face asta, se folosete i faptul c iambele valabile pentru numerele complexe a i b. De aceea se poate scrie: pentru orice . Logaritmnd n ambii membrii, rezult: i aceasta se poate folosi ca definiie pentru logaritmul n complex. n fine, legea exponenial valabilpentruoricentregk;mpreuncuformulaluiEulerimplicanumite identiti trigonometrice, precum i formula lui ABRAHAM DE MOIVRE. (cos sin ) cos( ) sin( )kx i x kx i kx + = +. 7 Legturile cu trigonometria [7] FormulaluiEulerfurnizeazolegturputernicntreanalizamatematici trigonometrie, aducnd o interpretare a funciilor sinus i cosinus ca sume ponderate ale funciei exponeniale: , Cele dou ecuaii de mai sus pot fi derivate adunnd i scznd formulele lui Euler: i rezolvnd pentru cosinus sau sinus. Acesteformulepotservichiarcadefiniiialefunciilortrigonometricedeargument imaginar x. De exemplu, dac x = iy, avem: , Exponenialelecomplexepotsimplificatrigonometria,deoarecesuntmaiuorde manipulat dect componentele lor sinusoidale. Una din tehnici este de a converti pur i simplu sinusoidelenexpresiiechivalententermenideexponeniale.Dupmanipulri,rezultatul simplificat are valori reale.De exemplu: Oalttehnicestereprezentareasinusoidelorntermenideparterealauneiexpresii complexe i de a face manipulrile pe acea expresie. De exemplu: 8 Alte aplicaii [7] nteoriaecuaiilordifereniale,funciaeixsefoloseteadeseapentruasimplifica derivrile,chiardacrezultatulfinalesteofuncierealcareimplicsinusicosinus. Identitatea lui Euler este o consecin imediat a formulei lui Euler. n ingineria electric, dar i n alte domenii, semnalele ce pot varia periodic n timp sunt adeseadescrisecaocombinaiedesinusicosinus;acesteaseexprimmaiconvenabilca partearealafunciilorexponenialecuexponentimaginar,folosindformulaluiEuler.De asemenea,analizafazorialacircuitelorpoateincludeformulaluiEulerpentrureprezentarea impedanei unui condensator sau a unui solenoid. Demonstraia formulei lui Euler utiliznd dezvoltarea n serie Taylor ncodemonstraieaformuleiluiEuler,folosinddezvoltareanserieTaylori proprietile puterilor lui i: i aa mai departe. Funciile ex, cos(x) i sin(x) (presupunnd c x este numr real) pot fi exprimate folosind dezvoltrile lor n serie Taylor n jurul lui zero: Pentruzcomplexsedefinetefiecarefuncieprinseriiledemaisus,nlocuindxcuz. Aceasta este posibil, deoarece raza de convergen a fiecrei serii este infinit.Atunci rezult c: Rearanjarea termenilor se justific deoarece fiecare serie este absolut convergent.Lund z = x numr real, rezult identitatea original, aa cum a descoperit-o EULER. 9 Demonstraia formulei lui Euler utiliznd calculul diferenial [7] Se definete o funcie f prin relaia: Aceast definiie este permis, deoarece ecuaia: implic faptul c eix nu este niciodat zero. Derivata lui f, conform regulii ctului, este: Deci trebuie s fie o funcie constant.Astfel, Rearanjnd, rezult c: Demonstraia formulei lui Euler utiliznd ecuaiile difereniale ordinare [7] Se definete funcia g(x) prin Considernd c i este constant, primele dou derivate ale lui g(x) sunt deoarece i2 = 1 prin definiie. Porninddeaiciseconstruieteurmtoareaecuaiediferenialordinarliniarde ordinul al doilea: 10 sau Pentruoriceecuaiediferenialdeordinulaldoilea,existdousoluiiliniar independente care o satisfac: Attcos(x)ctisin(x)suntfunciirealeacrorderivatsecundesteegalcufuncia luat cu semnul minus. Orice combinaie liniar de soluii ale unei ecuaii difereniale omogene este de asemenea o soluie.Atunci, n general, soluia ecuaiei difereniale este: ( ) g x

pentru orice constante A i B.Dar nu toate valorile acestor dou constante satisfac condiiile iniiale pentru g(x): . Totui aceste condiii iniiale (aplicate soluiei generale) sunt deci rezult: i n cele din urm, 11 Funciile trigonometrice pe internet [8] 12 BIBLIOGRAFIE [1]AdrianaPetrescu,AndreiPetrescu,CaietdefizicpentruclasaaVII-a,EdituraALL, 2009. [2]Florica T. Cmpan, Povestiri cu proporii i simetrii, Editura Albatros, Bucureti, 1985. [3]Florica T. Cmpan, Poveti despre numere miestre, Editura Albatros, Bucureti, 1981. [4]Florica T. Cmpan, Povestea numrului H, Editura Albatros, Bucureti, 1977. [5]H. Steinhaus, Caleidoscop matematic, Editura Tehnic, Bucureti, 1961. [6]George Gamow, Unu, doi, trei ... infinit, Editura Tineretului, Bucureti, 1958. [7]http://ro.wikipedia.org [8]http://www.mateonline.net/trig.htm# [9]http://www.geogebra.org