124 ] )eu tsehe 1-[ydrographiseI~o Ze i t schr i f t . 13and 1, lieft 4. 1948

of l~esults See. Par t . Append ix , S. 1 - 3 8 . London I895. (Die en t sche idenden Stel len s ind v o m Verfasser dieses Aufsa tzes ge- sperr t . )

(!2) B r e n n e e k e , W . : Ozeanograph i sche Ar- be i ten der Deutschen A n t a r k t i s c h e n Expe - di t ion. I I I . Ber ieht . Ann. I-Iydrogr. u. mar i t . 5ieteorol . 1911, S. 644.

(13) Derse lbe: Deutsche An ta rk t i s che Expe - di t ion. Die ozeanog raph i s chenArbe i t en im }Veddell-Sieer. Z. Ges. E r d k d e Ber l in 1914., No. 2, S. 5.

(14) Derse lbe: Die ozeanograph isehen Arbe i t en der Deu t sehen A n t a r k t i s e h e n E x p e d i t i o n 1911--1912. Arch. Dtseh. Seewar te 39. J ah rg . 1921, Nr. 1. t t a m b u r g 1921.

(15) D i s e o ~ e r y l r Voh 1V. S ta t ion List 1929 -193I. Cambr idge 1932.

(16) W / i s t , G. u. a . : Das ozeanographisehe B e o b a e h t u n g s m a t e r i a l (Ser ienmessungen) . Wiss. Ergebn . Dtsch. At l an t . ~;xped. ,,Sic- r e e f " 1925--27. Bd. IV, 2. Tell, Ber l in 19:{2.

(l 7) D e f a n t , A. : Die a b s o l u t e T o p o g r a p h i e des phys ika l i sehen Meeresn iveaus und (t~u' Druekfl~chen, sowie die Wasserbewegm)- t e n im At l an t i s ehen Ozean. Wise. ]grgel)n. Diseh. At l an t . Exped . , ,Meteor" 1925-- 27, Bd. VI , 2. Tell , 5. Lief. , Ber l in ] 941.

(! 8) Derse lbe : Die Gezei ten und innet-en Gezei- ter~wellen des A t l an t i s chcn Ozeans. Wise'.. Ergebn . Dtseh. At l an t . Exped . , ,Meteor" 1925--27. Bd. V I I , 1. Tell, Ber l in 1932.

Ober die D a r s t e l l u n ~ der G e z e i t e n a l s F u n k t i o n der Ze i t

Von Walter Horn

Zusammcn[assung. Nur die a l lgemeinen Pr inzip ien werden be t raehte t . - Die ]s des Mondes und der Senne sind periodische F u n k t i o n e n yon f i inf ~,Vinkeln, (lie nahezu gleichm/iBig m i t der Zeit zunehmen (I). Das gezei tenerzeugende Po ten t i a l ist per iodisch in den gleiehen Ver- f inderliehen und in der Sternzei t und kann daher din'oh eine sechsfaehe Four ie r -Re ihe dargest ellt werden, in der tats/ iehlich alle m6gl iehen Argumen te auf t re ten (II). Die Laplacesehen hydro- dynamischen Different ia lgleiehungen der Gezei ten un te r Einschlu/5 der nieht l inearen Seichtwasser- und l /e ibungsgl ieder lassen sieh befriedigen, wenn m a n die L6sungen ebenfalls in derar t ige ]~eit~en eutwickel t , aber das dram folgende unendliche Sys tem nicht l inearer Gleiehungen f(ir die Koeff i - z ienten der l~eihen kann noch ni(;ht in tegr ier t werden ( I l l ) . J)iese Koeff iz ienten miissen daher aus Geze i tenbeobach tungen an dem fragl iehen Ort abgelei te t werden. U m diese Aufgabe hinre ichend bes t immt zu machen, kann zur Ann~herung der Beobach tungen nu t eine endl iehe Auswahl der bedeutends ten harmonischen , ,T iden" zugelassen werden, (tie a u f Grund wei terer Vorausse tzungen vorweg zu treffen ist. Die so t . as t ronomischen, Seichtwasser- uad me*~eoroIogisehen Ti(len werden bet raehte t . Schwier igkei teu bet tier Geze i tenvorausbereehnung ents tehen hmlptsfi.thlich wegen (let g r o f e n Zahl (t er S e iehtwasser t iden (IV). Lubbocks Verfah rest zur Berech hung der Hoch- und Niedr ig- wasser halbtfigiger Gezeiten kann dutch ]~inftihrung zweckmfiBigerer Veritnderl ieher verbesser t werden; aus der obigen Dars te l lung d er (~ ezeiten du t ch eine seehsfaehe Four ie r -Re ihe folgt, da~ d ie In te rvMle und H6hen der Hoch- und Niedrigwasser dureh fttnfTache Re ihen dars te l lbar sind. Dies enth~]t e inen s t rengen Naehweis fiir die Gii l t igkei t yon Doodsons , ,Verfahren der ha rmonisehen Se ieh twasserkor rek t ionen" (V).

On tile representation of the tides as a funct ion of the time ( S u m m a r y ) , The general pr inciples only are considered. - - The coordinates of the m o o n and the sun are periodic funct ions of f ive angles which increase a lmost propor t ional ly to the t ime (I). The t ide-genera t ing potent ia l is periodic in the same var iables and in the sideral t ime, and thus can be represented by a s ix-dimensional Four ie r series. Actua l ly all possible a rguments do occur in this ha rmonic ( leveiopment (II) . Laplaee ' s different ial equat ions for the t ides, including the non-l inear shal low-water and friet~ionM terms, can be sat isf ied by expanding the solutions in similar series bu t t he resul t ing inf ini te system of non- l inear equa t ions for t he coefficients in those series cannot ye t be in tegrated ( I I I ) . The coeffieienls, therefore, mus t be der ived f rom t idal observat ions a t the place in quest ion. To render the problem suff icient ly de te rmina te a f in i te n u m b e r only of p redominan t ha rmonic const i tuents , which mus t be an t ic ipa ted f rom fur ther supposi t ions, can be a d m i t t e d to a p p r o x i m a t e t he observat ions . The so- called as t ronomical , shal low-water , and meteorological cons t i tuents a re considered. J) i ff icnl t ies of t.idal predict ions main ly arise f rom the large number of shal low-water cons t i tuen ts (IV). Lubbock ' s me thod to calcula te the high and low waters of scmidiurnal t ides can be i m p r o v e d by in t roduc ing more sui table var iables ; f rom the above represen ta t ion of the t ides by a s ix-d imens ional Four i e r series it follows t h a t the in tervals and heights of the high and low waters can he represer . ted by f ive-dimensional series. This implies an exac t proof of t he va l i d i t y of Doodson ' s " m e t h o d of ha rmonic shal low-water correc t ions" (V).

H o r n , l)ber die Darstelhmg der Cezeiten als Funktion der Zeit 125

- [u : folgenden soilen im wesentlichen nur die allgemeinen Prinzipien ffir die Darstellung der l Meeresgezeiten Ms Funktion der Zeit, weniger die Einzelheiten der numerisehen Verfahren oder meehanischen Hilfsmittel zur Analyse und Vorausbereehnung der Gezeiten behandelt werden. I m Hinbliek auf die Gezeiten seiehter Gew/isser soll dabei yon der sonst fibliehen Voraussetzung, dab die Wasserstandsi~nderungen im Vergleieh zur Wassertiefe vernaehlgssigt werden k5nnen, zun/iehst kein Gebraueh gemaeht werden. - - Die Nummern der Formeln sind in runde Klammern gesetzt; Zahlen in eekigen Klammern verweisen auf das Sehriften- verzeichnis am Sehlu3.

1. Himmelsmeehanische Grundlagen. Die Stellung eines Gestirns zur Erde werde im folgenden besehrieben dureh seine Entfernung r vom Erdmit telpunkt sowie dutch zwei Winkel: seine senkreeht zur Ekliptik gemessene, mit einem Vorzeichen versehene Breite und seine in der Ekliptik vom sog. Frfihlingspunkt aus positiv in g ichtung des j/~hrliehen Sonnenumlaufs gemessene Ls X. Die Ebene der Ekliptik bewegt sieh sowohl in Bezug auf das System der Fixsterne Ms aueh in Bezug auf das erdfeste Koordinatensystem des Aquators. Man zerlegt die Bewegung beziiglieh des erdfesten Systems in einen ,,mittleren" Anteil (Priizession) und einen kurzperiodisehen Anteil (Nutation). Orts~ngaben ffir eine Zeit T sind im folgenden stets bezogen auf die gleiellzeitige mittlere Lage der Ekliptik.

Die Mondbahn ist durehsehnittlieh mn etwa 5 0 gegen die Ekliptik geneigt. Die Knoten- linie, in weleher die beideu Ebenen einander sehneiden, liegt nieht lest, sondern die L/tnge des mffsteigenden Knotens, den der Mond beim Dbergang yon siidlieher zu nSrdlicher Breite durehsehreitet, n immt inl Mittel ab. Die Neigung der Mondbahn gegen den Aquator schw~nkt infolgedessen zwischen Grenzwerten, die gleieh der Schiefe der Ekliptik gegen den Aquator, vermehrt oder vermindert um die Neigung der Mondbahn gegen die Ekliptik, sind. Die Lgnge des erdn/iehsten Punktes der Mondbahn, des sog. Mondbahnperig/iums, nimmt wie die des S(mnenbMmperig~ums im Mittel zu. Die L~ngen des Mondes und (ler Sonne waehsen be- st~ndig, nieht mlr im Mittel, an.

Die L/ingen, Breiten und Entfernungen des Mondes und der Sonne zu einer Zeit T kSnnen ausgedrfiekt werden (lurch die gleiehzeitigen mittleren L/~ngen: des Mondes (s), der Sonne (h), des Mondbahnperig~ums (p), des aufsteigenden Knotens der Mondbahn (N) und des Sonnen- bahnperig'~mns (q). Diese mittleren L/ingen/indern sieh nahezu gleiehf6rmig mit der Zeit T, sind Mso fiir nieht zu grolle T (lurch je eine naeh wenigen Gliedern abbreehbare geihe

(l) x - a -1 T (b -I eT + (tq ̀2 ~- . . . )

mit vergleiehsweise sehr kleinen Vv~erLcn ~, d darstellbar, l)ie h6heren GIieder in (1) bilden den Anfang der Potenzreihenentwieklung sehr langperiodiseher Ausdrfieke.

Wir beze, iehnen (tie feste ,,mittlere" Entfernung des Mondes mit e und setzen zur Ab- kiirzmlg

G = i ( s - - p) -i j ( h - - q) d 2 k ( s - - X) + 1 (s.-- h), (2) U - i ( s - - - p) + j ( h - - q) + (2k + 1) (s - - - N) + I (.~-- h),

i , j , k , 1 - 0 , § • . . .

Naeh D d l a u n a y [1] und B r o w n [2, 3] werden dann die Koordinaten des Mondes folgender- magen dutch trigonometrisehe Reihen dargestellt :

G i. G

[~= ~ C U sinU. u

Hierin ist fiber alle G bezw. U der Form (2) zu summieren; Ca, C~ und Cu bezeiehnen feste Koeffizienten. B r o w n hat fiir jede Koordinate einige hundert Glieder der Entwieklung be- reehnet; sic sind paarweise so zusammengefagt, dab nut Argumente G mit niehtnegativem Beiwert i und nur Argumente U mit niehtnegativem Beiwert k verzeiehnet werden. Die hohe Zahl der Glieder, die zur Erzielung einer befriedigenden Genauigkeit beriieksiehtigt werden miissen, erkliirg sich aus den starken StSrungen der Mondbewegung dutch die Sonne.

10

126 :Deutsche I-Iydrographische Zei tsehrif t . Ba~ld 1, Hef~ 4. ] 948

FOr cine ell iptische Beweguug der 8onne in Bezug auf den -Erdmi l te lpunkt wiirde nach 13 e s s e l [4] gelten, wenu e nunmehr die mi t t l e re En t fc rnmlg der Sonne bezeichnet :

C e ~4C'- (4) X:-~h+ ~ j s i n j ( h - - q ) , r :'~ a, .I c o s j ( h q), [~ =0 . =0 j =0

Von diesen Reihen ha t N e w c o m b [5] die ers ten f(inf Glieder berechnet . D~ jedoch der Erd- m i t t e l p u n k t n icht mi t dem gemeinsamen Massemni t t e lpunk t der Erde und des Mondes zu- sammenf/s werden die Fo rme ln (4) noch urn die sog. Mondgleichung erweiter t . Die Argu- men te der h inzukommenden Glieder lassen sich aus den in den Formeln (2) mff t re tenden Differenzen l inear kombinieren .

Vernachl/ issigt sind im vors tehenden die StSrungen dureh die P laneten , soweit sic nicht in den ss Besctfleunigungen der mi t t l e ren L~ngen (I) mit zum Ausdruek kommen. Dies is t bei Gezei tenuntersuchungen er laubt . Un te r dieser Voraussetzung bleiben naeh (3) und (4) die ( ) r ter des Mondes und der Sonne unver~nder t , wenn sich die Wer t e der f i inf mi t t l e ren L/~ngen s, h, p, N, q um 2~/~ndern. Die mi t t l e ren L/~ngen var i ieren jedoch nicht frei, sondern h/ingen naeh (1) gemeinsam yon dem P a r a m e t e r T a b . Ob ein Zei t in terval l , b innen dessen die gleiche Zusammens te l lung der Wer t e s, h, p, N, q ~4ederkehrt , im s t rengen Sinne exist ier t , lggt sieh bei der beschr~nkten Genauigkei t , mi t der alle K o n s t a n t e n nu t be ka nn t sind, n ieht entscheiden. I n der Theorie s ind die f i inf Orundper ioden als inkommensurabe l vorausgesetz t .

Der Ansehaul iehkei t ha lber s ind in der beigegebenen Tabel le die W e r t e der K o n s t a n t e n a, b . . . . welehe zur Bereehnung der mi t t l e ren L/~ngen naeh der Fo rme l (1) dienen, aus den Tafeln yon B r o w n [3] und N e w e o m b [5] mitgete i l t . Die Zeit T is t dabei in Ju l ian isehen Jah r - hunde r t en zu je 36525 mi t t l e ren Sonnentagen vom 31. Dezember 1899 mi t t ags M.G.Z. ab ge- zghlt . I n der le tz ten Spal te der Tabel le sind noeh die gengherten, bei Vernachl/ issigung der n icht l inearen Glieder in (1) sieh ergebenden Per ioden P angegeben, b innen deren die mi t t l e ren Ls sieh um 2~ ~ndern. Die Per iode yon s is t die mi t t l e re Dauer des t ropisehen Monats , die yon h das t ropisehe Jahr . Die Per ioden der , ,mi t t leren Anomal i eu" s - - p und h - - q sind der mi t t l e re anomal is t i sche Monat (27.555 Tage) und das anomal is t i sehe J a h r (365.260 Tage). Die mi t t l e re Dauer des synodischen Monats , des Mondumlaufs yon N e umond zu Neumond, is t gleich der Per iode yon s - h (29.531) Tage. - - Die Tabel le enth~l t ferner die K o n s t a n t e n zur Bereehnung der Rektaszens ion ~ der f ik t iven , ,mi t t leren Sonne" , welche zur Def in i t ion der mi t t l e ren Sonnenzei t als im Aqua to r sich bewegend gedaeht wi rd ; g un te rsehe ide t sich yon der mi t t l e ren L/~nge h der Sonne nur geringfiigig, n~mlieh um die Aber ra t ionskons t an te und um die Differenz der Prs in Li~nge und Rektaszension. - - SehlieBlieh k a n n aueh (tie Sehiefe der Ek l ip t ik ~ fiir beschrgnkte Zeitr/~ume in der F o r m (1) darges te l l t werden.

x I a b c (1 P

S

h p N q

270~ 279 41 48.04 334 1946.40 259 10 59.79 281 13 15.0 279 41 27.54

23 27 8.26

+481 267053'26'/06 i 36 000 46 8 .13

-+- 4069 2 2 .52 - - 1 934 8 31.23 ? 1 43 9 .03

@ 36 000 46 8. 13 - - 46. 845

7'.'14 ! 1.089

- -37 .17 + 7.48 + 1.63 + 1. 393 - - O. 0059

+0"0068

-- 0. 045 +0 .008 " 0. 012

+0.00181

27.322 Tage 365.242 ,,

8.847 J ~d~re 18.613 ,,

20940 365.242 Tage

I 1 . Harmonische En twiekhmg des gezei tenerzeugenden Potent ials . Mit tels tier Reihen- dars te l lungen fiir die K o o r d i n a t e n des Mondes und der Sonne sind nunmehr die gezeiten- erzeugenden Kr/ i f te zu berechnen, welche yon diesen Gest i rnen auf der Erde hervorgerufen werden. S t a t t der Kr/ffte b e t r a c h t e t man bequemer ihr Po ten t ia l , aus dem sic erforderl iehen- falls le icht abge le i te t werden kOnnen.

Es bezeichne E den E r d m i t t e l p u n k t , Q einen yon E versehiedcnen P u n k t der Erde, S den Ort des gezei tenerzeugenden Gestirns, M dessen Masse, ~ die G ra v i t a t i onskons t a n t e ; ferner den Vektor E Q mi t dem Bet rage p, r den Vektor E S mi t dem Bet rage r und g den yon den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel . Der Vek tor QS is t d a n n gleich r - - ~. Die S t6rung

H o r n , i~lber die Darstellung der G ezeiten als Funktion der Zeit 127

der Schwerebeschleunigung in Q ergibt sich als Differenz der Beschleunigungen, welche das Gestirn in Q und E hervorruft , und dami t das gezeitenerzeugende Potent ial bis auf eine yon unabh~ngige Gr61~e zu

Q

1 [ :1 j [ I r - ~ . ] : ; ]~-]:i d ~ = - - . , ) M ir---~l ~-

hl

Wird hier die Wurzel nach Potenzen yon p : r entwickelt und verf/igt man nunmehr fiber die bisher noch unbes t immt gebliebene Gr6f3e so, daf3 das yon p freie Glied verschwindet, so erhi~lt nlan

(5) tie Pk (cos ~9),

k=2

wo Pk(cos0') die Legendresche Kugelfunkt ion m

(2k- - 2n)! Pk (cos ~) = ~ ( - - l ) n 2k n! ( k - - n)! ( k - - 2n)! (cos b)k-2n,

n=0

~- k, wenn k gerade,

m = 1 (k--- 1), wenn k ungerade, )-

bedeutet. Dureh Umordnen der Reihe (5) naeh Potenzen yon cos ~ und Einffihrung der mit t- leren Entfernung e des Gestirns ergibt sieh sehlieBlieh

~]M ~ - l / p\k+2n/e\k+2n+l k (6)

k~n=o s0, 0 : Sl, 0 = 0,

Die Koeffizienten s sind rationale Zahlen. Der Winkel 4}, die sog. geozentrische Zenitdistanz des Cestirns am Ort Q, ist zu eincr ge-

gebenen Zeit T eindeutig best immt durch die gleichzeitige Lange k und Breite ~ des Gestirns sowie durch den Winkelabs tand O des Ortsmeridians vom Frfihlingspunkt der Ekliptik, die sog. Orts-Sternzeit. Vernachl~issigt sind hierbei nur, wie bisher stets bei Gezeitenuntersuchun- gen, die geringen sakularen Xnderungen in der Schiefe der Ekliptik. Man finder, wenn q0' die geozentrische Breite des Ortes Q bezeichnet,

c o s ~ = s i n ~ ' [ s i n ~ c o s ~ s ink ~- eos~s in~] (7) -4- cos r [COS (D cos ~ cos X -4- sin ~) (cos r cos ~ sin ), --- sin e sin ~)].

Tr~tgt man den Ausdruck (7) ffir cos ~} und danach die Entwicklungen (3) bezw. (4) ffir die Koordinaten des Mondes und der Sonne in die Formel (6) ein, so zeigt sich, wie auch ohne weiteres anschaulich ist : Das im Punk te Q yore Monde und yon der Sonne gemeinsam hervor- gerufene gezeitenerzeugende Potent ia l tF zur Zeit T hi~ngt bei den angegebenen Vernachli~ssi- gungen stetig nur yon den gleichzeitigen Wer ten der sechs Winkel O, s, h, p, N, q ab und weist bezfiglich eines jeden yon ihnen die Periode 27: auf. Nach bekannten Si~tzen [6, 7] kann daher tF durch eine gleichmi~ig konvergente sechsfache Fourier-Reihe dargestellt werden, die sich am iibersichtlichsten in der komplexen Form

(8) ~" = ~ "FL e ~T' L

sehreibt. Hierin ist fiber alle Linearkombinat ionen

(9) L = A | d- B s -t- Ch +Dp -4- EN +Fq

10"

128 Deutsche I-tydrographische Zeitsehrift. Band 1, Heft 4. 1948

mit A, B, C, D, E, F = 0, ~ 1, ~ 2, . . . zu summieren. Die Koeffizienten •L sind sog. zu- geordnete KugeKunktionen der geozentrisehen Breite q)', noeh multipliziert mit Zahlenfak. torch, und gentigen den Gleiehungen

2~ 2ow

(]0) ~['1 :=: ~ 4 t * . . . , j~W' e-iL dO ds dh dp aN dq.

0 0 q~-z und ~Fz sind naeh (10) zueinander konjugiert komplex, so dab sieh die Glieder der Reihe (8) paarweise zu reellen Summanden zusammenfassen lassen:

(11) t[~' z eiL ]- ~'t" L e iL ,: ]~2L cos (]~ I- ZL)-

Fiir die Ampli tude KL )" 0 und die Phase • gilt

i( t z-} K_L)" Die Formel (8) stellt die sog. harmonisehe Entwieklung des gezeitenerzeugenden Poten-

tials dar. h n geophysikalischen Sehrif t tum besehr/tnkt man sieh allerdings tiblieherweise darauf, nu t die wichtigsten Glieder dieser Entwieklung unmittelbt~r dureh Umformen des Ausdrueks (5) zu bereehnen; in der Tat l~13t sieh so, da p :e ein kleiner Brueh ist, die GrStlen- ordnung der Glieder leieht abschS~tzen, withrend die Formel (10) keine bequeme Ermi t t lung der Koeffizienten gestattet . Aueh kam in der /tlteren Entwieklung des gezeitenerzeugenden Potentials yon D a r w i n [8, 9] die allgemeine Form (8) und (9) noeh nieht vSllig zum Ausdruek, weil l )a r~ in sieh noeh auf' die Theorie des Mondes yon P. A. H a n s e n [10, 11, 12] stiitzte, in der die Bewegung nieht auf die Ekliptik, sondern auf die Mondbahn selbst bezogen ist. In- folgedessen war ])arwins Entwieklung nieht streng harmonisch, sondern die Ampli tuden und Phasen d er Glieder (11) hingen noeh v o n d e r Neigung d er Mondbahn ~e.en~ ~ den Aquator und yon der Lttnge des aui~teigenden Knotens ab, w~hrend jedoeh die Knotenl/tnge in den eigent- lichen Argumenten nicht auftrat . Unter Zugrundelegung der Mondtheorie yon Brown hat erstmalig D o o d s o n [13] rund 400 streng periodische G lieder mit Argumenten der Fo rm (9) aus dem Ausdruek (5) fiir W' hergeleitet und damit die bisher vollst~indigste numerische Dar- st elhmg des gezeitenerzeugenden Potentials gegeben.

Die Weiterentwiekhmg des Ausdrueks (6) besteht im wesentliehen in der wiederholten Anwendung der Additionstheoreme trod der Potenzreihenent~ieklungen f/Jr (lie Silms- und Kosimlsfunktion. Quadriert man z. B. (lie l{eihe (3) for e :r, so sind die entstehenden Produktc naeh der Fornlel

1 cos ~ ' - c o s (~" =-if[cos (G' t G") i - e o s ( G ' - (~")3

aufzuspalten. Smnme und Differenz zweier Argmnente der Gestalt G (2) haben aber wiederum diese Form, so dab also das Quadrat und Mlgemein die k-re Potenz yon e : r in eine Reihe

(12) :: ~ rk,G cos G

entwiekelt werden k6nnell, in der alle G der Gestalt (2) vorkommen. Entspreehend finder man aus (3) fiir (tie geraden und ungeraden Potenzen yon ~, da Smnme und Differenz zweier At'gu- mente U' m~d IT" die Gestalt G, Summe und Differenz zweier Argumente G und U die Form U haben:

~2k-- ~b2k ,G COSG, ~2k+l = ~ b 2 k + l , U s i n U .

Hieraus folgt, da (lie Reihenentwieklung yon cos ~ nur dig geraden Potenzen und die Reihenentwieklung yon sin (5 nu t die ungeraden Potenzen yon ~ enth/~lt:

(13) cos } ~ c/Lcl cos (3, sin [~ - ~.~ sill) sin U.

Ebenso ergibt sieh aus (3)

eosX eoss .eos ( ~ C s i n G ) - s i n s . s i n (Y, Csin G) = ~ea,(~ eos(s + G), (14)

sin X = sin s . e o s ( ~ C s i l t ( 1 ) + c o s s . s i n ( ~ C s i n G) = ~s)o,G sin(s ~ (.4).

H o r n, Uber die Darstellung (ter Gozeiten als Funktion tier Zeit 129

Aus (7), (13) und (14:) folgt, dab cos ~9. in die Gestalt

cos ~9' -- sin 9 '[sin s" ~ a G sin (s 4. G) -i- cos s" Y~ bu sin U (15)

4. cos 9'[Y~ ca cos (e) 4.s l-G) 4. Y, dc. cos ((9 - s +(3) 4. ~eLs cOS (O 4.U)]

cntwickelbar ist. Durch Einsetzen von (12) und (15) in (6) und weiteres Aufspalten aller Pro- dukte erhglt man schlief~lich die harmonisehe Entwicklung (8) des Potentials ~I e. :Die darin auf- tretenden Argnmente haben die Form mO -}- ns + G oder mO -~- ns -+- U mit beliebigen ganz- zahligen m und n und beliebigen G uml U. Es kommen also in der Entwicklung (8) des Mend- Potentials wirklic, h a l l e Argmnente der Gestalt (9) vor, und darunter befinden sich auch be- reits alle Argumente, welche bei der entspreehenden Entwicklung des Sonnen-PotentiMs ans den Formeln (4) zuziiglieh der Mondgleichung folgen.

{)brigens kann in die Argumente L anstelle der Sternzeit 0 leieht die mittlere Orts- Sonnenzeit t, der Winkelabs tand der , ,mittleren Sonne" vom unteren Meridian des Ortes, ein- geffihrt werden. Es gilt, zungehst fiir Orte auf dem Meridian yon Greenu4ch,

O = t - ~ 4 . a ,

we z. die Rektaszension der mitt leren Sonne bezeiehnet. Damit ist aueh 0 dutch den Para- meter T ausgedriickt, da dies fiir t ohne weiteres klar ist. Naeh Absehnit t I kann ferner bei Gezei tenuntersuchungen unbedenldich

( 1 6 ) (~) .... t - =c -[ 1~

gesetzt werden, was besagt, dal] in der Reihe (8) die Vorzeiehen aller Glieder mit ungeradem Beiwert A in (9) umzukehren sind und star t (9)

L AL t- Bs I- C'h [- Dp ~ -EN ~ Fq

mit (J' ~ C -4- A zu schreiben ist. - - Ganz entspreehend kann man aueh eine ,,mittlere Mond- zeit" z dutch (lie Beziehung (17) (9 :: : r=. -{ einfiihren.

Liegt der Oft Q nicht auf dem Meridian von Greenwich, so sind die Gr5Ben t und T, &unit aber aneh alle naeh (1), (16) und (17) von ihnen abhgngigen Gr613en, wegen des Unter- schiedes der geographischen Lgngen zu korrigieren.

I l l . Hydrodynamisehe Differentialgleielmngen der Gezeiten. Um zur Darstellung der 3[eeresgezeiten zu gelangen, hat man die Entwicklung (8) des gezeitenerzeugenden Potentials iu (tie hydrodynamischen Differentialgleichungen der Gezeiten einzutragen. Es genfigt hier, nur den ebenen Fall zu betrachten, also yon der Kr i immung der Erdoberf lgche abzusehen; naeh Einfiihrung von Polarkoordinaten lggt sieh Mles folgende ohne weiteres aueh auf die Kugel iibertragen. Es mSgen demgemgg bedeuten: x ,y eartesisehe Koordinaten in der Ebene des mitt leren Wasserstandes; u , v die entsprechenden waagerechten Gesehwindigkeits- komponenten; z die Abweichung der Wasseroberf l iehe vom mitt leren Wassers tand; X(u,v) und Y(u,v) die Komponenten der l~eibung, deren spezieller Ansatz hier auBeracht bleiben kann; W0 die Winkelgeschwindigkeit der Erdro ta t ion (0.759" 10-4), welehe nahezu, ngmlieh bis ~uf die Prgzession in Rektaszension, gleieh der Ableitung von 0 naeh t ist; q~ die geographisehe Breite und W das Produkt W 0 sin q~; schlie[~lich g die Erdbeschleunigung. Dann lauten die hydrodynamisehen Bewegungsgleichtmgen in der vereinfaehten Form yon L a p l a c e [14], je- doeh unter Hinzufiigung der Reibung und der konvekt iven Glieder, die bei geringeren Tiefen H nicht mehr vernaehlgssigt werden diirfen [15] :

(18) ut .... 2Wv +UUx i- vuy -~ X(u,v) 4. gz x - ~Fx = 0, vt ~- 2~Vu + UVx + vvy 4, Y(u,v) 4, g z y - - ~F'y = 0.

(Ableitungen nach t und den Koordinaten x ,y sind dureh entspreehende Indizes bezeichnet). Zu den Bewegungsgleiehungen tr i t t noah die Kontinuitgtsgleiehung

(19) [(H 4, z)u]x 4. [(H + z)v]y 4. z t = 0.

]30 Deutsche I:[ydrograpbisehe Zeitsehrifb. Band 1, Heft 4. 1948

Gegen die Gfil~igkeit der Laplacesehen Gleiehungen, in denen insbesondere die vertik~len (]eseh~dndigkeiten und BGsehleunigungen vernaehl~ssigt sind, hat S o l b e r g [16, 1711 starke Bedenken ge'~ul]erg, deren Bereehtigung jedoch yon P r o u d m a n [18] unter Voraussetzung der natiirlieh vorkommenden Verh/~ltnisse auf Sonderfs eingesehr~nkt wurde, welehe hier ~tus- gesehlossen sein sollen.

Ffihrt man nun in die Gleiehungen (18) und (19) anstelle yon t die Ver'~nderliehen 0 , s, i% p, N, q aus den Absehnitten I u n d I I ein, so is~ z. 13.

ut = ~ U t + N s t + ~ h t -k ~ P t -~ ~ N t c ~ ( l t

zu setzen. Die Ableitungen der seehs neuen Ver~nderliehen dfirfen dabei Ms konstant ange- sehen werden. Die Gleiehungen (18) und (19) lassen sieh dann befriedigen, wenn man ent- spreehend der Entwieklung (8) des gezeitenerzeugenden PotentiMs aueh die gesuchten ICunk- tionen als seehsfaehe Fourier-lReihen

(20) u = ?E U5 eiL, v .-: ~ V;. eiL z Y~ ZL eiL L L L

ansel;zt und demgem/~B fiir die l~eibungskompol~enten ebenfM]s eine l)arstelhmg

X (u,v) ~ X . L eiL, Y ( u , v ) ~ Y L o i l L 15

annimmt.. ] n d e r Tat folgt dureh lt',insetzen in (18) und (19):

~[iLtU~. 2WVL ~- ~ (U jUKx "I- ~?JUKy) + XL @ g Z L x - - ~Fj,x] e i]~ ,= 0, L (J ,K)

~[ i l ,~VL :, 2~:1.: 5 -- ~ ( U j \ ' K x ~- \ : ' jVKy) @ YL @ gZLy - - ~FLy] e TM == 0, (21) L ( J , K )

[iLtZL @ ~ (Z;fxUK --i ZjUKx ~- ZjyVI/: q ZJVKy) A ll(ULx -;- VLy) i, (J,K) @ H x U L -}- Hy~,~L] o iL 0.

Die l)oppelsumnlen in den eekigen Klammern sind dabei iiber alle Produkte mit J t- K = L zu erstrecken. Da die Oleiehungen (21) ftir Mle Werte 0 , s, h, p, N, q gelten, mfissen die Aus- driieke, mit denen die e iL multip]iziert sind, einzeln versehwinden. 1)as lieferL da die Ab- hqtungen L t Ms kons~ant angeseh.en werden diirfen, Gin unendliehes System nichtlinearer r~mmlieher l)ifferentiMgleiehungen, aus denen (tie Entwieklungskoeffizienien der u, v, z Ms Funktionen der Ortskoordinaten x, y unter Beriieksiehtigung der Randbedingungen zu er- mit te ln sind.

Ein Veriahren zur Integration eines solehen Systems yon Differentia.lgleiehmlgen ist je- doch bisher meht bekannt.. I m Falle, dM.~ (tie niGhtlinearen Glieder in den Gleiehungen (1S) und {19) vernaehlS~ssigt, werden diirfen, erhS~lt man ffir jedes L gesondert drei lineare Differen- tialglek:hungen zur Ermit thmg der zugehSrigen Koeffizienten Us, VL, ZL. Wie W. H a n sen gezeigt ha.t. [1~,1, 20], .~ind diese Funktionen dann bei gegebener Gestalt und Tie%nverteitung des Meeresgebiets und bei niehtversehwindender Reihung eindeutig best immt durch die Rtmd- bedingungen, dab das Wasser an den Kfisten parallel zu diesen fliegt und dM3 auf den B, ?- grenzungslinien gegen die fibrigen Meeresgebiete entweder ZL oder Us, V5 (genauer: die NormMkomponente) w)rgesehriebene Werte annehmen. Bei einem gesehlossenen Gebiet brauehen [iberhaupt keine I{rmdwerte bekannt zu sein. Hansen hat ferner ein numerisehes Verfa.hreu angegeben, naeh dem die Funktionswerte ZL, UL, VL in hinreiehend diehg wghl- bnren Punkten des Gebiets aus den gandwer ten bezw. unter ]3enutzung der erstgenannten tl.andbedingung (lurch wiederholte Ngherm,gen bereehnet werden kSnnen. Vermutlieh sind aneh Jm Mlgemeinen niehtlinearen. Fall bei sonst glelehen Voraussetzungen (tie L6su~gen eindeutig bestimmt, sofern auf den Begrenzungslinien gegen die iibrigen Gebiete nunmehr die vollen Entwiektungen (20) ffir z oder u, v vorgegeben werden, doeh. bedarf diese Vermutung noeh des Beweises. Aueh tiber die Anwendbarkeit und Tragweite numeriseher Verfahren im niehtlinearen FMle ist bisher Hinreichendes night bekannt.

I-I orn, ~lber die Darstellung der Gezeiten als Funktion der Zeit 131

Anders als in der Himmelsmechanik, wo sich nach Entwicklung der sog. St5rungs- funktion die im Absehnitt I angegebenen Reihendarstellungen der Gestirnskoordinaten dureh vollstandige Integration der Bewegungsgleichungen ermitteln lassen, frihrt also im Falle der Gezeiten der deduktive Weg wegen mathematiseher Sehwierigkeiten bisher nieht welter als bis zu dem Ergebnis, da~ sich die Gezeiten und die GezeitenstrSme iiberall in Reihen der Ge- stalt (20) mit zun~chst noch unbekannten Koeffizienten ZL bezw. UL, VL entwiekeln lassen. Das besagt nicht mehr, als daft aueh die Gezeitenerscheinungen Vorggnge sind, welche ebenso wie das gezeitenerzeugende Potential ~F zu ieder Zeit T nur yon den gleichzeitigen Werten der sechs Winkel O, s, h, p, N, q abh~ngen und beztiglieh einer ]eden dieser Ver~nderlichen die Periode 2x aufweisen.

Definiert man umgekehrt Ms Gezeitenerseheinung einen Vorgang, der nut yon den Stellungen des Mondes und der Sonne zum Beobaehtungsort abhgngt, der also in der eben be- zeiehneten Weise periodiseh ist und daher, Stetigkeit vorausgesetzt, dutch seehsfaehe Fourier- lgeihen dargestellt werden kann, so umfagt diese Begriffsbestimmung nicht nut die bisher be- traehteten Bewegungen, welehe dutch die DifferentiMgleiehungen (18) and (19) besehrieben werden, sondern aueh allgemeinere Gezeitenwellen im Sinne yon S o l b e r g [16, 17], ferner: etwMge Auswirkungen tier Gezeiten tier fesgen Erde auf die Wasserbewegnngen; Auswirkungen des t~gliehen Ganges der Sonnenstrahlung; Auswirkungen jahreszeitlieh gebundener Vor- g~nge, die also mit der mittleren L~nge der Sonne korreliert sind, wie jahreszeitliehe Wind- and Luftdruek'~nderungen, Sehwankungen der Vereisung, Diehte-, Temperatur- und Sehieh- tungsgnderungen im Meere some Sehwankungen der Oberwassermenge in Flrissen.

IV. Harn|onisehe Analyse der Gezeiten. Da sich die Koeffizienten ZL, UL, Vr. in den Reihenentwieklungen (20) der Gezeiten und GezeitenstrSme deduktiv nicht mit der frir Voraus- bereehnungen erforderlichen Genauigkeit und Vollst~ndigkeit ermitteln lassen, pflegt man sie nach dem Vorschlag yon W. T h o m s o n (Lord Kelvin) [21] empiriseh dutch ,,harmonisehe Analyse" von Gezeiten- und Gezeitenstrombeobachtungen an den betreffenden Often zu be- stimmen. Wegen der Kostspieligkeit yon Strombeobachtungen handelt es sieh bisher noch fast ausschlieBlieh um Analysen yon Gezeitenbeobaehtungen, vorzugsweise solehen fiber ein Jahr oder genauer 369 Tage. Die Verfahren der Analyse sind haupts~chlich yon D a r w i n [8], B S r g e n [22], S e h u r e m a n [9], R a u s e h e l b a e h [23] und D o o d s o n [24] weiterentwiekelt worden [20].

Bei der harmonischen Analyse sind die Gezeiten im Mlgemeinen Sinne als ein stetiger Vorgang aufzufassen, der in jeder der Ver~nderlichen O, s, h, p, N, q die Periode 2r: aufweist und dementspreehend dureh eine sechsfaehe Fourier-tleihe (20) dargestellt werden soil. Die so allgemein gestellte Aufgabe ist jedoch noch nicht hinreiehend bestimmt, da es unendlich viele verschiedene l~eihen der Form (20) gibt, welehe jede ein- oder aueh lnehrj/~hrige Beobachtungs- reihe exakt darstellen. Bei der L/~nge der Perioden, binnen deren die Ver~nderliehen p, N, q sich mn 2~ /~ndern, kommt n~mlieh gem/~g den Parameterdarstellungen (1) innerhalb des Be- obachtungszeitraumes (T1, T2) nur ein Tell aller mSgliehen Zusammenstellungen der Werte O, s, h, p, N, q vor, wobei diese jetzt mod. 27z betraehtet werden mSgen. Die vorkommenden Zusammenstellungen O, ~, h, p, N, q bezeichnen in dem seehsdimensionMen Periodenwrirfel 0 _~ O, s, h, p, N, q % 2~ die Punkte einer Kurve, welehe aus endlieh vielen Stricken besteht und sich nieht selbst schneider. Man kann nun den Punkten, die nieht auf der Kurve liegen, auf unendlieh viele versehiedene Weisen Werte z zuordnen, welehe zusammen mit den be- obaehteten Werten yon z eine stetige, botriglieh ]eder der seehs Vers die Periode 2~ besitzende Funktion bilden, and erh~tlt dann jedesmal dureh die Vorsehrift

2~ 2~ 1

(22) : (2 )oJ _ . . . . f e- L aO ah dp aN / a

0 0

eine Reihe (20), welehe gleichm/~13ig gegen die beobaehteten Werte yon z konvergiert. Eine solehe exakte Darstellung der Beobachtungen ist aber wegen der mangelnden Eindeutigkeit zur Extrapolation nicht geeignet und ist physikMisch aueh dadurch sinnlos, dM~ die Beob- aehtungen stets bis zu einem gewissen Grade dutch nichtperiodisehe Einflrisse gestSrt sind.

132 l)cmschc H wlrojva.phisc]~c Zcitschrift. ~;-~t,d~l l, Ucft: ~. I!}d8

Ma~hcmgtiseh bestimmt und physikaliseh sinnvoll wird die Auf~4M)e der h~nmM.~chen knMyse erst dadureh, dab man zur Anuitherung der Beobaehtungen nut ei'.~e <nd!iche A~s- wahl von reellen ,,ha~rmonisehen Tiden"

Zt , o TM I Z r, e i l . I,'l~ c . ,~ (1., ~ . ) ( ! : l , : ~}

bcnutzt., ~lereu Summe nfit, z' bczeiehnet v,'erde, und dab mau dc~ Koefl'i~i<,nl,,~u Z !~cl.v,'. d~-~/ , hgrmonisehen Gez,;it, enkons t an t e , " l,':l, und ~:L noch einc bestimmi~ l~<'di~,,/mlg auf'erleg~, etw~ nach der Methode tier kleinst~en Quadrate :Ibrdcrt, dab alas inte~,;r~,i

T ::

t .M = . (z z'):: dT T L

so klebl v'ic miiglich uerdc. Ilic g(mstan~tT.en }fiiil~!~c~ dam~ Idcht talc v~t~ ~ic~ i~.~ ,~-I~tctcll Werten z, sondern his zu einem gewisseu (~radc auci~ r e , d('r ~.,;ctmflk, lic~i A~s,~s~!~! ~hq" ;i'id(,t~ ab. MaJ). wird versuche~, eh~e , ~ ' x~{,rten periodiseheu [{este mehr liiA.~t, mii m6glichst, wenigen Tid('~, '..:.t~ ,~r~'cit ~<'u. {;ic A~{:iw;~,h[ dcr Tidc~t isL e~dgiilt.ig a,ls richgig,~ tm,.l gel~iigeud vollstii.ndi~ a.nzlls,'!!ei~. ~,1~,~ :,.~l<'l~ :qpitt~ r(. B~'obaehgungct~ dutch sio befk'iedigetM dargest.,.llt, v, cvdon m~d v,t,~m ~tb, F;~,~..-d~tci~ i{i. m~d :.L bet ff~rt.laufbnderNeubeslAnmmn~ ausspgtove, lgcoba.chi.un~;s~d,~schMlic!i !<oin,.' p','ri,di;~cheu SehwaI~kungeH aut\veiscn, (lie als Schwebmlgen mit noch n~lb~,rih:!asiehi)igt,~, Tidet~ zu dcutel! sind. [m iibrigen ist naeh den Regeln der Wahrscheinlichkeil~sreeh:mu~ zn bmr hmd(,- xvcit~ die gcflmdenen Tiden als reell anzuscheu sind. - - Aus rech(,utechnische~ (Irimdeu ptle~C man bei der Ana.lyse nieht yon kont~inuierlich.cn Beobaehttmgen, sondern yon J~eobaehtm~.gei~ in gleichmM~igen Zeitabstgnden At tmszugehen. I)am~ k6nnen Tidep, mit Argt~,mel~{en L trod L', f/it die (L; ~ Lt.)At gleieh einem gauzen Vielf~.chen yon 27: isf, nicht mehr "<oneinander untersehicden werden. Dieser Fall t r i t t z. B. wegen des Beziehung (1(~) z,:,isch('~ t~ !?) und h ein, wenn A~ eine ganze Zahl Sonnenstunden bett~ES,;~. (}blicherv, else > erde.~: hol.,t(, st iirxdlichc t~e- obaehtungen verwendet ; sic ]iegen so eng, dab jcdenfalls die gew6hnli(d~ zm' Aun{iherung der Beobachtungen ausgewghlten Tiden voneimmder unterseheidbar sind.

Die engstc Auswahl yon Tiden, die eine hinreiehende Cenauigkeit tier ~)austelhmg g(,- wiihrleistct, ~vird im allgemeinen ~ on e r r zu Ort x.ers('hieden seh~. ~ie S t r ! X ' q l ~ empiriseb naoh den Verf'~hren tier Period.enforsehung [25] zu best.imnteu, wiirde nieht, nm' eitxen ~t~tgehourctt tgechenauf\van(t erfordern, sondern aueh (tie Perioden nichg so genau ]iet)r:~, dM.~ diese be- stim,nten q?iden v611ig eindeutig zugeordnef ~verden k6nnten, i~s isg daher n6t~g, d~rch An- nahmen, (lie tiber den Ansgtz (20) hinausgehen, you vor, d~erein jel~e 'Fid-n zu cvmittc! , , welehe als dig voraussiehtlich wiehtigsten fiir (tie ei)gere Auswahl in Betr~('ldt kommen. !)ies ist n>6g- Itch, weil der Mend so welt yon der Erde ent icrnt ist, (tal.~ in dev l~ntwicklung (6) des gezeiten- erzeugenden Potentials (llieder, die mit einer h6heren als der dri t ten Potenz yon p : e behaftet sin(I, w~m~achlitssigt werden k6nnen; zweitens weil die eigentlichen Weltmeere so r i d sind, da.i3 bet ihne:tx die niehtlinearen Olieder i~ den Differentialgleichungen (1S) uud (t 9) verrmch!iissigt

�9 " " ~ " r �9 werdeu k6nnen ; dmttens weft dm Se~eht.wassergebletc eine so ~,;eringe Ausdehn ung be~dtzen, dal.~ in ihnen (tie gezeitenerzeugenden Krgfte vernacdflSssigg und die Cezeilen ~'iso als Mitsehwh~- gungsvorgang a.ngesehen werden diirfen, l)ementsprechend zieht ma~ in Betraeh~ :

1. , , A s t r o n o m i s e h e T i d e n " . Die Tiden ( l l ) aus der Entwiekltmg (8) des g(zciten- erzeu~;ettden Potentials, welehe (tit gr61~ten Ampli tuden K5 auf\veisen, [:,esiCzctt Argumente (9) tnit. ziemlieh niedrigen Begrggen der Beiwerte A, B usw. I)a der Winkel (~} sieh weita.us a~.m schn(,llsten itndert, habcn Tiden mit gleic}~em I A t @ 0 wenig versehiedcne Perioden. i~n i ,~oodsons Verzeiehnis [13] kommen trotz grolger Ausfiihrlichkeit keine 'l~ideh mit !A i -'> 3, also mig kiirzere~ Ms etwta dt'ittelt~igigen Perioden vet. Vernachl/~ssigt man (fie ifichtlinearen (~lieder in den Gleiehungen (21), so erhi~lt man ffir jedes L gesondert drei (~h.qclmuge~t, tins denen sieh die Amplitude I/. z der erzwm~genen Tide (23) als proport ional der Ampli tude K~; in ( i l ) ergibt 115]. Ftir ve.selnedene IMen mit. gleichem ] A I @-~rf man danu aus Stetigkeits- gr[inden, schliegen, dab sieh (lit Ampli tuden tl:~ ungefghr zueinander verhalten wie di,.~ Ampli- tuden K x, sofern die zugeh6rigen Perioden nicht gerade eine Eigenl0eriode des begreffenden

t t orn , Uber die Darstellung der Gezeiten als Funktion der Zeig 133

Mceresgebiets einschlieBen und die Amlalituden KL sgmtlich in der gMchen Weise yon der geozentrisehen Breite abhgngen. Fiir A = 0 gilt Entsprechendes, da Tiden mit sehr langen Perioden nahezu statischen Charakter haben. Bei hinreichender Wassertiefe lassen sieh also klassenweise die wichtigsten Tiden (23), die in den Gezeiten auftreten, nach der Entwicklung (S) des gezeitenerzeugenden Potentials ermitteln. Wegen dieser Entsprechung fiihren sie die Bezeichnung ,,astronomische Tiden". {}ber die relative Bedeutung yon Tiden mit wesentlich verschiedenen Perioden (oder aueh verschiedener Abhgngigkeit v o n d e r geozentrischen Breite) lgi]t sich so nichts aussagen, und es zeigt sich auch, dal,~ sie in ganz anderen Verhgltnissen zu- einander stehen kSnnen als die entsprechenden Tiden des Potentials. Die Tiden mit sehr kurzen Perioden sind jedoch erfahrungsgemg8 in den Gezeiten der Weltmeere ghnlich gering- fiigig wie im gezeitenerzeugenden Potential.

2. , , S e i e h t w a s s e r t i d e n " . Man betrachtet ein flaches Meeresgebiet, an dessen Be- grcnzm~gen gegen tiefere Gebiete die Gezeiten als 8u,nme endlich vieler astronomischcr Tidcn (23) vorgegeben sind und in dem die gezeitenerzeugcnden Krgfte vernachl~,ssigt wcrden. Wegcn mathematischcr Sehwicrigkeiten hat bisher nur der FM1 eines schmMen geradlinigen Kanals wm konstanter Tiefe und unendlicher Lgnge (was an sich mit der Vernachlgssigung der ge- zeitenerzeugenden Krgfte nicht ga.nz vertrgglich ist) behandelt werden k6nnen. Fiir nicht zu grote D]ntfernungen yon der Einmiindnng in das tiefere Oebiet lg|.~t sieh (tie Darstellung der gezeiten dureh wiederholte Ngherungen ermitteln [15]. gs treten neben den astronomisehen Tiden zusgtzliehe ,,Seiehtwassertiden terrestrisehen Ursprungs" aug ngmlieh die ,,Obertiden" mit Argumenten L, welehe ganzzahlige Vielfaehe der Argumente der astronomischen Tiden sind, und Mlgemeiner die ,,Verbundtiden", deren Argumente mit ganzzahligen Koeffizienten aus denen der astronomisehen Tiden kombiniert sind. Die Amplitude einer solehen Seieht- wassertide ist proportional dem lProdukt der Amplituden jener astronomisehen Tiden, aus deren Argumenten das der Seichtwassertide gebildet ist, und hgngt ferner ab yon der ,,Winkel- gesehwindigkeit" Lt der Tide sowie yon der Entfernung yon der Miindung des KanMs. Unter- suehungen dieser Art fiber das Bildungsgesetz der Seiehtwassertiden haben bereits F e r r e l [26, 27], H a r r i s [28] und D a r w i n [8] angestellt; die ausfiihrliehste Bereehnung, ohne Berfiek- siehtigung der geibung, s tammt yon R a u s e h e l b a e h [28]. Die fiir den betraehteten Sonder- fall abgeleiteten Formeln k6nnen natiirlieh keine allgemeine Geltung fiir beliebig gestMtete (~ebiete beanspruehen; man nimmt jedoeh an, dab wenigstens die Amplitudenverhgltnisse yon Seiehtwassertiden der gleiehen ,,Ordnung", d. h. yon Tiden, die sich aus dem gleiehen Ngherungssehritt ergeben, nach j enen Formeln einigermafJen richtig abgesehgtzt werden kgnnen, so dab sieh die vermutlieh bedeutendsten Seichtwassertiden jeder Ordnung nach den Amplituden der astronomisehen Tiden auswghlen lassen. Jedenfalls bei Tiden mit annghernd gleiehen Perioden daf t man so sehlieBen. D o o d s o n hat versehiedentlieh auf die sehleehte Konvergenz der harmonisehen Darstellung der Seiehtwassergezeiten hingewiesen [29, 80]. Die gahl der Seiehtwassertiden, welehe Berfieksiehtigung verdienen, wgehst mit der Ordnung der Anngherung sehr stark an, naeh einer Absehgtzung yon Doodson ungefghr mit der dritten Potenz der Ordnung. Dabei tregen Tiden mit immer ktirzeren Perioden auf; Doodson halt in vielen Fallen zehnteltggige oder gar noah kfirzerperiodisehe Seiehtwassertiden ftir unentbehr- lieh, were1 eine befriedigende Darstellung erzielt werden soll.

3. , , M e t e o r o l o g i s e h e T i d e n " . Sie sind auf jene Einfliisse zuriic!~zufiihren, die am gnde des Absehnitts I I I genannt wurden. In Betraeht kommen Tiden mit der Periode eines ganzen oder halben Sonnentages, ferner Tiden mit den Perioden eines ganzen, halben usw. gahres, also mit den Argumenten h, 2h, . . . , nnd sehliel31ieh Tiden, deren Argumenge sieh yon denen der astronomisehen und Seiehtwassertiden um h, 2h . . . . unterseheiden, so dab sie zu ein- und halbjghrigen Sehwebungen mit diesen ftihren. Einzelne Tiden dieser Art sind berdts yon D a r w i n [8] und sp/iter yon C o r k a n [31] untersueht worden.

Endlieh vide astronomisehe Tiden und die aus ihnen abgeleiteten Seiehtwassertiden his zu beliebig hoher Ordnung sowie die meteorologisehen Tiden bilden zusammen zwar nieht notwendig wieder das vollstgndige ]o~unktionensystem der e IL, das in (20) zur Darstellung der Gezeiten verwendet wurde, und die Abhgngigkeit der Darstellungsgenauigkeit yon der Aus- wahl der astronomisehen Tiden an der Miindung des Seichtwassergebiets diirfte sieh nur sehr

134 Deutsche Hydrographisehe Zeitschrift. Band 1, Heft 4. 1948

sehwer allgemein untersnehen lassen, doch besteht bish6r kein Grund anzunehmen, daG die wie oben ausgesuchten Tiden nieht tiberM1 zu einer befriedigenden Darstellung der Gezeiten aus- reiehten.

l~'brigens bilden die aufgefiihrten drei Arten yon Tiden keineswegs getrennte Klassen. Verschiedentlich besitzen astronomisehe Tiden and Seiehtwassertiden das gleiehe Argument, so daG sie nieht voneinander getrennt werden k6nnen, die bisher untersuehten meteorologischen Tiden kommen auch als astronomisehe oder als Seiehtwassertiden vor, und die gleiehe Seicht. wassertide kann sieh in versehiedener Weise aus Ngherungen versehiedener Ordnung ergeben. Naeh (21) entsteht ja i iberhaupt jede harmonisehe Tide (23) sowohl aus der analogen Tide (11) des gezeitenerzeugenden Potentials wie aueh auf unendlieh viele versehiedene Weisen als Seiehtwassertide; aueh bei der Besehr/~nkung auf eine endliche Auswahl an Tiden k6nnen infolgedessen astronomisehe Tiden und Seiehtwassertiden nieht streng voneinander unter- sehieden werden. Am besten sieht man daher yon quMitativen Unterseheidungen der aus- gesuchten Tiden ganz ab und betraehtet sie s/tmtlieh nut wie in (8) and (20) als Mittel der formalen Darstellung. Leider l~Bt sieh dies bei der harmonisehen Analyse yon nut einj/~hrigen Beobaehtungen nieht konsequent durehfiihren.

Die Argumente der astronomisehen Tiden sind ngmlieh hgufig nur um kleine Vielfache von N (und q) versehieden, so dab die Tiden einer solehen Gruppe Sehwebungen mit sehr langer, z. B. rund 19-j~ihriger Periode ausfiihren und daher aus ehlj~hrigen Beobaehtungen nieht voneinander getremat werden kSnnen. Bei der Analyse kann man zun~ehst nut die , ,Stammtide" mit der grSBten Amplitude zu ermitteln suehen und mug dann erwarten, dab diese yon Jahr zu Jahr eine etwas vergnderte Amplitude und Phase aufweist. Entspreehendes gilt fiir die yon ihr abh/ingigen Seiehtwassertiden. Da diese Sehwankungen bei Voraus- bereehnungen unbedingt beriieksiehtigt werden miissen, behilft man sieh mit der Annahme, dab die astronomisehe Stammtide und ihre astronomisehen , ,benachbarten" Tiden die gleichen Amplitudenverhgltnisse und Phasenuntersehiede besitzen wie die entspreehenden Tiden in der EntMeklung des gezeitenerzeugenden Potentials. Bei den geringen Untersehieden der Perioden ist dieser Sehlug durehaus erlaubt, sofern die Amplituden der fragliehen Tiden aus der Ent- wieklung des Potentials s~mtlieh in der gleiehen Weise v o n d e r geozentrisehen Breite ab- h~ngen. Dann kann die beobachtete ,,gest6rte" Stammtide in lauter streng harmonisehe Tiden zerlegt und entspreehend aueh wieder fiir sp/ttere Zeitr/~ume zusammengesetzt werden, und danaeh lassen sieh auch die Sehwankungen der abhs Seiehtwassertiden bereehnen [20, 23, 24]. Astronomisehe Tiden und Seichtwassertiden werden also tbrmal nicht gleieh be- handelt.

i)as geschilderte Verfahren gestattet zweifellos, einen wesentliehen Teil der auttretendeu Sehwankungen richtig zu ermitteln, ist jedoeh im Prinzip unzuls So miissen im all- gemeinen einige beuaehbarte astronomisehe Tiden unberfieksiehtigt bleiben, weil sie in anderer Weise yon der geozentrisehen Breite abh/~ngen als die Stammtide; dadureh wird die Bereeh- hung der Sehwankungen mlvollst/tndig [32]. Aueh k6nnen sogar Seiehtwassertiden als be- naehbarte Tiden vorkommen. Bei Tiden, die sowohl als astronomische Tide wie als Seichtwasser- tide auftre~en, liefert das Verfahren keine eindeutige Vorsehrift, ebenso bei Seiehtwasser- tiden, die aus Anteilen vcrsehiedener Ordnung zusammengesetzt sind. Eine streng tbrmMe Analyse, bei der auch dig Seiehtwassertiden in Stammtiden und benaehbarte Tiden aut;zu- spMten w/~ren, liege sieh j edoeh nur auf Grund yon Beobaehtungen tiber (tie Umlaut;dauer des Mondbahnknotens, also tiber etwa ] 9 Jahre, ausfiihren. Ein Beispiel hierfiir liegt bislang nieht vor; die heute verfiigbaren Mittel erlauben eine so eingehende Analyse aueh nur in Ausnahme- fallen. (Tiden, deren Argumente sieh nur in der seehsten Ver~nderliehen q unterseheiden, kSnnen aueh dann noeh nieht, brauehen aber aueh praktiseh nieht getremlt zu werden, da q nahezu konstant ist).

Ubrigens sind die Sehwierigkeiten, welehe die genaue Vorausbereehnung der Seiehtwasser- und FluGgezeiten bereitet, weniger dureh die gesehilderten Probleme einer verfeinerten harmo- nisehen Analyse als dureh die sehr groBe Zahl der harmonisehen Seiehtwassertiden bedingt. Die erste yon W. T h o m son erdaehte Gezeitenreehenmasehine umfaGte zehn astronomisehe Tiden, die neue deutsche, im Jahre 1938 naeh den Angaben yon I~ au s e h e 1 b a e h fertiggestellte

H o r n , Ober die Darstellung der Gezeiten als Funktion der Zeit 135

Maschine enth~lt 62 Tiden, von denen (in der gegenw~rtigen, an sieh noch austauschbaren Zusammenste]lung) etwa die HNfte Seichtwassertiden sind. D o o d s o n [29, 30] ver t r i t t die Ansieht, dab auch diese Zahl nieht fiberM1 ausreiehe und eine direkte harmonische Bereehnung der Gezeiten die heutigen Mittel iiberstelge, sobMd z. B. die achtelt~gigen Seichtwassertiden eine wesentliche Rolle spielen; die Masehine des Tidal Inst i tute in Liverpool ist daher vor- s~tzlieh nicht fiber 40 Tiden erweitert worden. Wfinscht man jedoch die vollst~ndige Gezeiten- kurve vorauszuberechnen, so gibt es bisher kein besseres Mlgemeingfiltiges Verfahren als die harmonische Darstelhmg, and jede Vermehrung der Tiden wird die Genauigkeit erhShen.

In den Gezeitentafeln werden allerdings gewShnlich nur die Eintrittszeiten und HShen der Extrema, der sog. Hoeh- und Niedrigwasser, angegeben, undes mag unrationell erscheinen, um dieser wenigen Werte Milch eine genaue Approximation der ganzen Gezeitenkurve ~nzu- streben, zumM in der Bestimmnngsgleichung fiir die Extrema,

dz d Z L e iz = i ~ LtZ L eiL = 0, (24) dt dt

L L die cinzelnen Glieder der Entwicklung (20) multipliziert mit ihren Winkelgeschwindigkeiten Lt auftreten, wodurch kurzperlodische Glieder auch mit kleinen Koeffizienten ZL Bedeutung er- langen. Es entsteht so die Frage nach einer direkten Darstellung der Extrema.

V. Darstellung der IIoch- un~l Niedrigwasser. Die ~ltesten erhaltenen Unterlagen zur Vorausberechnung der Gezeiten, wie das Ts in dem britischen C o d e x C o t t o n i a n u s aus dem Beginn des 13. Jahrhunderts [29, 30], beziehen sieh nur auf Gezeiten yon halbt~giger Form und geben die Hochwasserzeiten ffir einen Ort in Abh~ngigkeit vom Alter des Mondes an. Faustregeln dieser Art verwenden die Fischer und Kfistenanwohner noch heute fiberM1, wo die Gezeiten halbt~gige Form besitzen. Bereits vor Newton wurden jedoeh die Ungleichheiten der Hochwasser in Zeit und HShe, d. h. die Abweichungen der einzelnen Hochwasserzeit- untersehiede gegen den vorhergehenden unteren oder oberen Meridiandurchgang des Mondes yon dem mittleren Intervall und die Abweichungen der einzelnen HoehwasserhShen yon der raittleren HShe, namentlich in England genauer untersucht und empirisch in Beziehung zu den Stellungen des Mondes und der Sonne gebracht [33]. Nach Newton hat dann erstmalig D. B e r n o u l l i [34] auf Grund seiner Gleichgewichtstbeorie der Gezeiten Formeln abgeleitet, welche die Eintrittszeiten und HShen der Hoch- und Niedrigwasser Ms abh~ngig yon dem Rektaszensionsunterschied zwischen Mond und Sonne, yon den Deklinationen der beiden Ge- stirue vom Himmelss und yon ihren Enttbrnungen v o n d e r Erde erwiescn. Wegen der Unzul~nglichkeit seiner Theorie im Falle der natfirliehen Gezeiten hielt aueh Bernoulli es be- reits fiir nStig, wenigstens einen Tell der ffir einen bestimmten Ort eharakteristisehen Kon- stanten aus 5rtlichen Beobaehtungen zu bestimmen. L u b b o ck [35] dehnte dies auf die ge- samte Form der Ungleiehheiten aus, wenn er auch die yon Bernoulli gews astronomischen Ver~nderlichen beibehielt und sich bemfihte, die Ergebnisse seiner eingehenden Bearbeitungen yon 19-]~hrigen Hochwasserbeobachtungen nachtr/~glich mSgliehst mit den Formeln yon Ber- nouilli in Einklang zu bringen.

Dieses ,,nonharmonische Verfahren" hat sich bis heute neben dem harmonischen Ver- fahren im Gebrauch erhalten, weil die Vorausberechnungen einfach und mit geringem Auf- wand ausf/ihrbar sind und well sic gerade in Seichtwassergebieten die harmonischen Voraus- bereehnungen noch h/~ufig an Genauigkeit fibertreffen. Dennoch haften dem VerfM~ren, abge- sehen yon seiner Besehrgnkung auf Gezeiten von halbt~giger Form, gewisse Mgngel an, derent- wegcn es gelegentlich als verMtet bezeichnet wird. So ist es methodisch unbefriedigend, dag die Abhs der Intervalle und H6hen yon den astronomischen Vergnder]iehen nicht (lurch einen allgemeinen anMytisehen Ansatz beschrieben wird, dessen Konstanten yon Ort zu Ort durch eine Ausgleichung der Beobachtungen nach der Methode der kleinsten Quadrate zu er- mitteln w/~ren; man best immt nur die mittlere Abh/~ngigkeit yon jeder einzelnen Ver~nder- lichen (oder yon ]e zweien) und setzt bei Vorausberechnungen die gesamte Ungleichhcit ein- fach gleich der Summe dieser partiellen Ungleichheiten. Die Unzul~ngliehkeit dieses Vor- gehens zeigt sich gewShnlich am deutlichsten bei der Berechnung der sog. tgglichen Ungleich- heir, d. h. der Verschiedenheit der Intervalle und H6hen beim oberen und unteren Meridian-

136 Deutsche Hydrogmphisehe Zeitsehrift. Band 1, Heft 4. 1948

durehgang des Mondes; eben deshalb ist das Verfahren auf Gezeiten mit kleiner tgglicher (h> gleichhcit beschr~nkt. Schlie3lich wird die Anwendung strengerer Darstellungsmethoden aueh dadurch zumindest ersehwert, daft yon den astronomischen Vergnderliehen allein der Rekt- aszensionsunterschied zwischen Mend und Sonne eine monoton wachsende WinkclgrTge ist, wghrend z. B. die Entfernung und die Deklination des ~ondes nut innerhalb gewisser Grcnzen variieren, die ihrerseits n0ch ver/inderlich sind - - im Falle der Entfernung yon Monat zu Monat wegen der kurzperiodischen SonnenstTrungen, insbesondere der sog. Evektion ; im Falle der Deklination wegen der 19-j ghrigen Schwankungen der Mondbahnneigung gegen denAquator. I)eklination und Entfernung (let" Sonne werden gemeinsam nur in Gestalt des D~tums be- riieksiehtigt. (Eiue Abart des nonhozmonischen Verfahrens bildet die yon W a r b u r g [36] ent- wiekeite" equation method", nach der die versehiedenen partielten Ungleiehheiten der Hoeh- und Niedrigwasser aus nnr einjghrigen Beobachtungen voneinander getrennt werden. Das gelingt miter Voraussetzung versehiedener Symmetrie- und sonstiger Eigensehaften, welch(', den Un- gleichheiten naeh der Gleiehgewiehtstheorie zukommen sollen. [In seiner glteren Form ist dan nonharmonisehe Verfahren jedoch von solehen Voraussetzungen frei und daher vorzuziehen, wenn die erforderliehen lgngeren Beobaehtungsreihen verfiigbar sind).

Es liegt nahe, (lie gesehilderten Unzulgngliehkeiten der bisherigen direkten Hoeh- un(t Niedrigwa.sserbereehnung dureh eine zweekmgBigere Wahl der astronomisehen Vergnderliehen zu beseitigen, ngmlieh indem man (lie Stellungen dee beiden gezeitenerzeugenden Gestirne zu den Zeiten des unteren odor obm'en Meridiandurehgangs des IVlondes gemgB Absehnitt I mittel- bar dureh (lie gleiehzeitigen Werte der fiinf mittleren Lgngen s, h, p, N, q besehreibt. Die Inter- valle und HShen der Hoeh- und Niedrigwasser werden dann offenbar periodisehe Funktionen dieser neuen Vergnderliehen. l)er Beweis ergibt sieh leieht aus der Entwieklung (20) yon z, indem man zungehst analog der ,,mittleren Sonne" aueh einen fiktiven ,,mittleren Mend" ein- fiihrt, der sieh in der Ebene des ~,quators bewegt und dessen Rektaszension gleieh der mittleren Lgnge des 5'Iondes s ist. Die unteren und oberen Meridiandurehggnge des mittleren Mondes linden dann naeh der Definition (17) der mittleren Mondzeit x zu den Zeiten �9 = 0 und z -- = (mod. 27) statt. ~Iittels der Oleiehung (17) werde ferner die mittlere Mondzeit ~ anstelle der Sternzeit O in die Argumente (9) eingefiihrt, so d~B diese in der Entwieklung (20) yon z die Gestalt (25) l , A z ~ B's -i (% ~ Dp } E N ~ Fq

mit B' = B q- A annehmen (bei ungeradem A unter Vorzeiehenweehsel des Koeffizienten ZL). Entsprechend der Voraussetzung halbtggiger Gezeiten mSge in der Reihendarstellung (20)

von z (lie ,,halbtggige Hauptmondtide" (23) mit dem Argument 2z so stark iiberwiegen, dal3 (lie Funktion z gleich viele Extrema aufweist wie (tie halbtggige Hauptmondtide allein. Dann ]assen sieh jeder (unteren oder oberen) Kulmination des mittleren Mondes genau ein Hoeh- wasser und ein Niedrigwasser von z zuordnen. Wir bezeichnen die Werte yon z, s, h, p, N, q zur Zeit der Kulmination durch den Index k und ein im gewShnliehen Zeitmal~ ausgedriiektes Zeitintervall gegen die letzte vorhergehende untere oder obere Kulmination mit t* . 51it diesen Bezeiehnungen kann statt (25) aueh

(26) L : - \ ( ~ k - i : t t*) ! B" (s k t s t t*) @ . . . ~ F ((tk @ (it t*)

gesehrieben werden. 8etzt man dies zur Bestimmung der Hoeh- und Niedrigwasserintervalle t* in (lie Gleiehung (24)

dz i ~ Lt* ZI, eiL 0 (It* b

ein, so zeigt sieh, (ta die Ableitungen L t --- )bt. und % . . . . . , qt als konstant betraehtet wet(ten d/irfen: Die Intervalle der Hoeh- und Niedrigwasser gegen den vorhergehenden (unteren ode," oberen) Meridiandurchgang des mittleren Mondes hgngen an einem gegebenen Ort nur yon den Werten der sechs astronomisehen Vergnderlichen zur Zeit dieses Meridiandurchgangs ab; sie b]eiben unvergndert, wenn man die Werte vk, . . - ' , qk um 2~ gndert. Stetigkeit voraus- gesetzt, kSnnen also die Hoch- und Niedrigwasserintervalle t* durch je eine seehsfaehe Fonrier- Reihe in den Vergnderlichen zk, Sk . . . . . qk dargestellt werden. Da jedoch Zk mod. 2= nut die

H o r n , ~ b e r die Darstellung der Gezeiten als Funkt ion der Zeit 1 3 7

W e r t t 0 oder = ann immt , erhglt m a n je fiir die un te ren und oberen Ku lmina t i onen des mi t t - }trtn Mondes ge t rennte Dars te l lungen der zugehSrigen Hoeh- und Niedr igwasser in terval le in nut f i inf Ver~nder l ichen:

(27) t* = ~ T~" eil 1

mit (28) 1 = as k -~ bh k + cpk -~- dNk + eqk (~,b , . . , e = 0, :t:1, ~2, . . . ) .

Tri~gt man den Ausdruek (27) ffir t* nfi t tels (26) in (20) ein, so folgt in der gleiehen Weise, dal] auch die Hoch- und Niedr igwasserh6hen z* durch Fourier-I~eihen mi t den Argumen ten (28) dars te l lbar sind :

(29) z* = E Z ~ eil. 1

Insges~mt ergeben sich also aeht verschiedene Relhen fiir die nuch unte ren und oberen Kulmi - nat ionen untersehiedenen In t e rva l l e und HShen der Hoch- und Niedrigwasser . Wi i rde man nur untere (oder nur obere) Ku lmina t i onen verwenden und diesen je zwei Hoeh- und Niedrig- wasser zuordnen, so wiirde m a n auch eine Dars te l lung der In te rva l l e und H6hen durch nur vier derar t ige l~eihen erreichen kSnnen. Dies b raueh t jedoch keineswegs zweckm~l~iger zu stin, da m6glieherweise sehr viel mehr Glieder ber i ieks icht ig t werden mfissen. - - Bezieht man die Hoch- und Niedr igwasser in terva l le au f die Meridiandurehg~nge des wahren (s ta r t (i ts mit t leren) Mondes, so kSnnen sie ebenfal ls dureh Reihen der Ges ta l t (27) darges te l l t werden, denn d t r Zei tuntersehied zwisehen den Durchg~ngen des wahren und des mi t t l e ren Mondes is t in dieser Weise dars te l lbar . Die Zuordnung zu den g l e i c h m ~ i g aufe inanderfolgenden Dureh- g~tngen des mi t t l e ren Mondes di i r f te jedoeh vorzuziehen sein.

Wie bei der gewShnlichen harmonischen Ana lyse der Gezeiten (Absehni t t IV) erhebt sich (lie Fr+~ge, welche harmonisehen Summanden

( 3 0 ) T l ell t T*I e+il = r l c o s (1 + Y1) (r ~ 0)

in den Reihen (27) und (29) als die wicht igs ten anzusehen und daher bei der Ausgleichung der Beob~chtungen zu berf icksichtigen sind. Ein Hinweis l~l~t sich den folgenden Forme ln ent- u thmen, welche ffir die Summe einer Anzahl harmonischer Tiden (23) aus der Re ihendars te l lung (20) der Gezei ten gelten. Die Tiden m6gen, beginnend mi t der ha lb tggigen H a u p t m o n d t i d e , dutch die N u m m e r n 0, 1, . . . , M gekennzeichnet sein. Dann gilt, wenn fiber alle vo rkommenden Indizes yon 0 bis M summier t wird :

(31)

mi t

(32)

und

(33)

R (n) cos (L (n) + ~(n)) := ~ 14(n) (cos ~(n) COS L (n) - - sin ~(n) sin L (n)) I I n

= [ ~ R (n) cos (L (n) - - L(~ + m(n))] cos L(~ n

- - [~-], R (n) sin (L (n) - - L(~ -~ ~(n))] sin L(~ n

= R cos (L(~ + m)

R 2 = ~ l~ (m) R (n) c o s ( L (m) - - L (n) + m (m) - - cr (n>) l]l~ 11

~] R Ira) sin (L (m) - - L(~ + aim}) m

cr = arc tg ~ R (m} cos (L (m~ - - L(~ + ~(m)) m

Die , ,Storun~en , welche die halbts H a u p t m o n d t i d e in Ampl i t ude und Phase dureh die iibrigetl Tiden erfs ~ndern sich hiernach in Abh~ngigkei t yon den Argumentd i f fe renzen L ( m ) _ L(n), und zwar haupts~chl ich in Abh~ngigkei t yon den Differenzen L (m) - - L (~ da

138 Deutsche tIydrographische Zei~schrift. Band 1, Heft 4. 1948

in (32) die Summanden, welehe IU e) enthMten, die aussehlaggebenden sind. Diese StSrungen stehen offenbar in einem engen, wenn aueh nieht bequem ausdriiekbaren Zusammenhang mit den Ungleiehheiten der vorher betraehteten Intervalle t* und H6hen z* der Hoeh- und Niedrig. wasser (fiir kleine Betrgge der Ungleiehheiten hat H a r r i s [37] die Abhgngigkeit yon den harmonisehen Tiden der l~eihe (31) dureh Ngherungsformeln besehrieben). Man darf hiernaeh vermuten, dab sieh die Argumente 1 in den gntwieklungen (27) und (29) yon t* und z* aus den Differenzen der Argumente L (n) dureh Streiehen der ersten Vergnderliehen v ergeben. Ferner diirfte der EinfluB, den eine harmonisehe Tide l~lm cos (L (n~ q- ecn)) auf die Ungleiehheiten in fIShe austibt, naeh ihrer Amplitude l~(nl abzusehgtzen sein, der EinfluB auf die Ungleiehheiten in Zeit dagegen gemgg (24) naeh dem Produkt L(~) 1~ ~n~. Auf grund eines Verzeiehnisses der im Absehnitt IV betraehteten wiehtigsten astronomisehen Tiden, Seiehtwassertiden und meteorologisehen Tiden lassen sieh hiernaeh aueh die voraussiehtlieh wiehtigsten harmonisehen Summanden (30) in den Entwieklungen yon t* und z* ermitteln.

Unter den eben erwghnten Tiden kommen nun vielfaeh solehe vor, deren Argumen~e die Gestalt L (n) : A In~ 'r ~ X mit beliebigem ganzzahligen A und stets der gleiehen ganzzahligen Linearkombination X -- as ~ bh q- ep q- dN -b eq besitzen. Bildet man die Differenzen L {n) - - L (~ = (A In) - - 2)v :t: ~, so entspreehen ihnen allen in den Entwieklungen (27) und (29) yon t* und z* stets nur die Argumente d: 1 (28) ; es ergibt sieh also nur ein einziger zugeh6riger Summand (30). Insbesondere entsprieht der halbt/~gigen Hauptmondt ide und ihren s/~mtHehen Obertiden (wegen X = 0) jeweils das konstante Glied (1 = 0) der t~eihen (27) und (29). Wahr- seheinlich ist daher eine befriedigende Darstellung der Hoeh- und Niedrigwasser dureh die Reihen (27) und (29) mit merklich weniger Gliedern zu erreiehen, als bei der gewShnliehen harmonisehen Berechnung naeh den Formeln (20) und (24) beriieksiehtigt werden miigten. Da die konstanten Glieder in den l~eihen bereits annehmbare Ngherungen liefern, sind eben nur noeh verhs kleine Reste dutch periodisehe Glieder darzustellen. An der deut- sehen Nordseekiiste z. B. betragen die astronomiseh bedingten Abweiehungen der Hoeh- und NiedrigwasserintervMle yon ihren Mittelwerten weniger als eine Stunde; bei den H6hen handelt es sieh um weniger als ein halbes Meter. Es ist daher durehaus denkbar, dab die Ent~%klungen (27) und (29) sieh gut zur Anfertigung yon Gezeitenvorausbereehnungen eignen.

Die Amplituden rl und Phasen y1 der harmonisehen Summanden (30) in den aeht Reihen, die zur Darstellung der Intervalle und H6hen dienen, sollten mSgliehst aus 19-j/~hrigen Be- obachtungen der Hoeh- und Niedrigwasser abgeleitet werden. Das sind etwas weniger Einzel- werte, als bei aeht gew6hnlichen harmonisehen AnMysen einj/~hriger Beobaehtungen benutzt werden. Die Arbeit der Analyse diirfte jedoeh merklieh geringer sein, da wesentlieh weniger Glieder zu bestimmen sind. - - Die Vorausbereehnungen kSnnen sowohl mit den gew6hnliehen Gezeitem'echenmasehinen als aueh - - wegen der Verwendung gleiehabst/~ndiger Argument- werte - - verhgltnismggig einfach mittels Loehkartenmaschinen ausgefiihrt werden.

Die Entwieklungen (27) und (29) bleiben streng g/iltig aueh bei noch wesentlieh gr61~eren Betrhgen der t/~gliehen Ungleiehheiten, Ms bei dem Lubboeksehen Verfahren zul/~ssig sind. Die direkte Darstellung der Hoeh- und Niedrigwasser versagt dagegen wie das Lubboeksehe Verfahren, fulls etwa als sehr ausgepr/~gte Seiehtwassererseheinung zeitweilig doppelte Hoeh- oder Niedrigwasser auftreten, ferner an allen Orten mit sog. gemisehter Gezeitenform, we sieh nieht mehr jedem Meridiandurehgang des Mondes genau ein Hoeh- und ein Niedrigwasser zu- ordnen lggt. Bei rein eintggiger Gezeitenform kann das Verfahren unter bestimmten Voraus- setzungen in etwas ver/~nderter Form wieder anwendbar werden. Uneingesehrgnkt giiltig ist jedoeh nur die harmonisehe Darstellung (20) der Gezeiten.

Nach den Formeln (27) und (29) sind die Differenzen zwisehen den Intervallen oder H6hen zusammengeh6riger Hoeh- oder Niedrigwasser yon zwei versehiedenen Often mit halbtggiger Gezeitenform wiederum dureh derartige I~eihen darstellbar. Wenn die Ungleiehheiten der Ge- zeiten an den beiden Orten nieht Mlzu versehieden shad, werden diese l~eihendarstellungen der ,,Gezeitenunterschiede" nur verh/~ltnism/~gig wenige Summanden (30) von Bedeutung ent- halten. In den Argumenten (28) dieser Glieder wird die Knotenlgnge Nk nur ausnahmsweise auftreten, derm die Abhgngigkeit der Gezeiten yon ihr ist an sieh sehon verhgltnismggig ge- ring; da qk nahezu konstant ist, handelt es sieh bei den Argumenten 1 also im wesentliehen

H o r n , Uber die Darstelhmg der Gezeiten als Funktion der Zeit 139

um Kombinationen der Vergnderlichen sk,hk und Pk. Liegen nun fiir einen Ort, den sog. Bezugsort, ausffihrlieh angefertigte Gezeitenvorausbereehnungen vor, so kann man also die Vorausberechnungen fiir weitere ,,Ansehlul~orte" bequem durch Anbringen yon Gezeiten- unterschieden erhalten, die aus verh/iltnism/~l~ig wenigen Summanden (30) bestehen. Diese lassen sieh aus wesentlieh kiirzeren als 19-jghrigen Beobachtungen der Gezeitenuntersehiede ermitteln, solange nicht etwa eine Abhgngigkeit yon der Knotenlgnge in Betraeht gezogen werden sell.

Aus den Formeln (27) und (29) ergibt sieh aueh in einfacher Weise eine strenge Begrfin- (tung flit das Verfahren der sog. "harmonic shallow-water corrections", alas seit einiger Zeit veto Tidal Institute in Liverpool bei der Vorausbereehnung der Hoch- und Niech'igwasser yon Seiehtwassersorten mit grol3em Erfolg angewandt wird. Der Gang dieses Verfahrens ist fol- ge~der: Nach einer gewShnlichen harmonischen Analyse yon Gezeitenbeobachtungen an dem betreffenden Ort werden unter yeller Ausnutzung der vorhandenen Gezeitenrechenmaschine die Hoch- und Niedrigwasser ffir den Beobachtungszeitraum bereehnet. Da hierbei nieht alle Seichtwassertiden einbezogen werden kSnnen, weichen die Bereehnungen in Zeit und HShe systematisch yon den beobachteten Hoch- und Niedrigwassern ab. Diese Abweiehungen sind wie die soeben betrachteten Gezeitenuntersehiede durch Reihen yon harmonischen Summanden (30) approximierbar, denn Entwicklungen (27) und (29) gelten sowohl ffir die bereehneten Ms aueh flit die tats/ichlichen Gezeiten. Die Vorausberechnung der Hoch- und Niedrigwasser wird dementsprechend zerlegt in eine gewShnliche harmonische Berechnung und in die Bereehnung von acht Reihen harmoniseher Seichtwasser-Korrektionen, welche nachtrgglich an den Er- gebnissen der ersten Bereehnung ("primary prediction") anzubringen sind. Stellt die erste Be- rechnung die tggliehen Ungleichheiten in Zeit und HShe bereits genau genug dar, so kommt man mit vier Reihen yon Korrcktionen aus.

In Deutschland sind genauere Angaben fiber dieses Verfahren, welche jedoch den Ver- mutungen entspraehen, erstmalig naeh dem Kriege dutch zwei VerSffentlichungen yon D o o d s o n [29, 30] bekannt geworden. Danaeh werden die Korrektionen, oder auch die Gezeiten- unterschiede, arts etwa 15--20 harmonischen Summanden (30) gebildet, in deren Argumenten die Knotenlgnge INk nicht vorkommt. Die Amplituden und Phasen dieser Summanden seheinen gewShnlich aus Beobachtungen eines Jahres, also nut aus etwa 700 einzelnen Hoch- oder Niedrigwasserbeobachtungen, abgeleitet zu werden. Die Abh~ngigkeit der Korrektionen yon der Knotenls zu beriicksichtigen, wird nur in Ausnahmefi~llen ffir erwiinscht gehalten, doch lassen sich theoretisch Absch~tzungen, wie sic im Abschnitt IV ffir die Amplituden- und Phasenschwankungen der gewShnlichen Seichtwassertiden angegeben wurden,,nicht auf die Seichtwasser-Korrektionen fibertragen. Abhilfe w~re hier wohl nur durch wesentlich l~ngere Beobachtungen und das Einbeziehen weiterer Summanden mit der Knotenl~nge im Argument zu schaffen. Eine strenge Theorie seines Verfahrens hat Doodson in den genannten knappen VerSffentlichungen nicht mitgeteilt; er veranschaulicht es durch Betrachtung der StSrungen, weiche die halbt~gige Hauptmondtide durch die einzeinen fibrigen Tiden erf~hrt. Den deutlich- sten Einblick dfirften aber wohl die hier benutzten umfassenderen Formein (27) und (29) ge- ws Sic stellen eine Verbindung zwischen dem Lubbockschen und dem harmonischen Ver- fahren her, zeigen also auch, in welcher Weise etwa nonharmonische und harmonische Berech- nungen miteinander kombiniert werden k5nnten.

(~brigens sind nicht nur die Wasserst~nde zu den ttoch- und Niedrigwasserzeiten durch Reihen yon der Form (29) darstellbar, sondern auch alle Wassersti~nde z, die in einem be- ]iebigen festen Zeitabstand t* nach den Meridiandurchg~ngen des mittleren Mondes eintreten. Dies folgt unmittelbar nach Einsetzen yon (26), oder yon (25) mit festem v*, in (20). Ebenso kann man natfirlich ffir feste t* oder ~* l~eihen harmonischer Korrektionen bilden, um eine nach dem gewShnlichen harmonischen Verfahren berechnete Gezeitenkurve wenigstens punkt- weise zu verbessern; D o o d s o n deutet diese MSglichkeit in seiner letzten VerSffcntlichung ebenfalls an [30]. Da jedoch aUe diese Reihen wenigstens ffir jede volle Mondstunde abgeleitet werden mfil~ten, so dal] also insgesamt wenigstens 24 verschiedene t~eihen erfordertich w/iren, wenn die Gezeitenkurve fiir einen Ort punktweise berechnet werden sell, dtirfte dieses Ver- fahren einstweilen keine grol]e Bedeutung erlangen.

140 D e u t s c h e H y d r o g c a p h i s c h e Ze i t s eh r i f t . B a n d 1, H e f t 4. 1948

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