Math. Ann. 231,205 216 {1978) @ by Springer-Verlag 1978

l]~ber die Kleinsche Ikosaeder-Kurve sechsten Grades

Isao Naruki*

Ma*hematisches Institut der Universit~it, Wegelerstr. 10, D-5300 Bonn, Bundesrepublik Deutschland

Einleitung

Klein hat in [3] die Operation tier Ikosaedergruppe G' auf P2(IF) untersucht. Diese Operation ist bis auf~iuBere Automorphismen der Gruppe eindeutig und kann etwa in folgender Weise beschrieben werden. Wit betrachten zun~ichst die Standardope- ration yon G' auf PI(C), womit G' ebenfalls auf PI(IF) x PI(~) operiert. Wenn man das Produkt PI(C) xPI(IIT) durch die komponentenvertauschende Involution dividiert, dann operiert G' auf den Quotient, der zu P2(IU) isomorph ist. Diese Operation hat einen einzigen minimalen Orbit yon 6 Elementen, die Klein die fundamentalen Punkte genannt hat. Mittels dieses Begriffs hat Klein die Erzeugen- den A, B, C, D des Rings der G'-invarianten Polynome auf folgende Weise gew~ihlt. A ist vom kleinsten Grad 2, und die Kurve A = 0 ist das Bild der Diagonalen yon P I(~) x P1 (IF). Ferner ist B = 0 die einzige invariante Kurve yore Grad 6, die dutch die fundamentalen Punkte hindurchgeht, und C = 0 ist die einzige invariante Kurve yore Grad 10, die in den fundamentalen Punkten Doppelspitzen hat. Die Kurve D = 0 entartet in die 15 Verbindungsgeraden der fundamentalen Punkten. Die geometrische Bedeutung yon A und D ist trivial. Die Kurve C = 0 wurde neuerdings von Hirzebruch [2] als das Bild der Diagonalen der mit der Hauptkongruenzgrup-

pe F(V5) assoziierten Hilbertschen Modulfl~iche charakterisiert. [-Pz(¢lT) wird auch als der Quotient der Modulflgche durch die koordinatenvertauschende Involution gewonnen.] Nur die Kurve B = 0 bleibt iibrig zu erkl~iren, und das Ziel dieser Arbeit ist es, eine ~ihnliche geometrische Deutung, die die Eigenschaften der Kurve B = 0 klar macht, zu gewinnen.

Wir werden zun~ichst das Resultat formulieren: Sei S(5) die elliptische Modulflgche im Sinne yon Shioda [6], die der Hauptkongruenzgruppe F(5) zugeordnet ist. Man fixiere ferner einen globalen Schnitt ~ yon S(5) als Null, so dab die regul~iren Fasern komptexe Tori werden. Die Gruppe der ~ in sich iiberfuhren- den Automorphismen yon S(5) ist kanonisch zur bin~iren Ikosaedergruppe G = SL2(Zs) isomorph. Das Element - 1 ~ Gist diejenige Involution, die auf jeder

* Diese Arbeit wurde untersttitzt yore Mathematischen Institut der Universit~it Bonn, SFB 40 ,,Theoretische Mathematik"

206 I. Naruki

regul~iren Faser x~--~-x induziert. Der Quotient S(5)/{ +_ I} enth~ilt 24 disjunkte exzeptionelle Kurven erster Art, die aus den 12 singul/iren Fasern yon S(5) entstehen. Wenn man diese exzeptionellen Kurven niederbl~ist, dann ist die damit erhaltene Regelfl/iche zu P~(tl?)xPl(Ir) isomorph, worauf ferner die Gruppe G' = G/{ + 1 } operiert. Wir gelangen damit wieder zu der am Anfang angegebenen Situation und erhalten damit die G-~iquivariante Projektion n yon S(5) auf P2(tF).

Satz. Die Kurve B =0 ist das Bild unter nder abgeschlossenen HiJlte der Menge der Punkte yon S(5), die genau die Ordnung 4 haben. Eine allgemeine Tangente des Kegels A = 0 schneider 6 Punkte aus B = 0 aus, die die Ecken eines Oktaeders auf der Tangenten bilden.

Zum Beweis der letzten Behauptung ben6tigt man auch die elliptische Modulfl/iche S(4), die eng mit dem Oktaeder zusammenh~ingt.

Der Verfasser dankt Herrn Professor F. Hirzebruch herzlich fiir die Einftihrung in seine eigene Arbeit und manche Andeutungen, die diese Arbeit verbessert haben. Er m6chte auch Herrn Dr. G.-M. Greuel f'tir die Uberarbeitung des Manuskriptes herzlich danken.

1. Die elliptischen Modulfl/ichen S(b), 3 < b

S(b) bezeJchnet hier die elliptische Modulfl~iche, die zur Hauptkongruenzgruppe F(b) der Stufe b gehtirt. Wir fassen nut einige allgemeine Eigenscha ften der S(b), die for unsere Zwecke wichtig sind, zusammen. (Man siehe dazu Shioda [6].) Wie schon in der Einleitung, fixieren wir einen globalen Schnitt v yon S(b) als Nullschnitt, so dab die regul~iren Fasern komplexe Tori werden, und darnit insbesondere die Gesamtheit ~ der globalen Schnitte eine abelsche Gruppe ist. ~ ist dann als ein freier Modul yon Rang 2 auf dem Ring 7/b =7//b7/zu betrachten. Die Gruppe der Automorphismen, die den Nullschnitt e Jn sich iiberftihren, operiert kanonisch auf 6, die damit zur Gruppe SL(~) = SL2(~E b) isomorph ist. Daher kann man SL(~) als die Automorphismengruppe yon (S(b), ~) betrachten. Das Element - 1 6 SL(~) ist nichts anders als die Involution T von S(b), die auf jeder regul~iren Faser x+--,x-1 induziert. Insbesondere ist • fasertreu. Also operiert die Gruppe PGL(~) = SL(~)/ { + 1 } au fder Basiskurve A(b) yon S(b). Die Fiille, die for uns besonders wichtig sind, sind b=3, b=4, b=5. FGr diese F~ille und nur for diese ist A(b) zu P~=PI(0?) isomorph und die Punkte yon A(b), iJber denen die singut/iren Fasern yon S(b) stehen, bilden die Ecken eines regul/iren Polyeders. PGLz(2~b) ist damit zur Tetraeder-, Oktaeder-, Ikosaeder-gruppe isomorph, je nachdem b=3,4 , 5 ist, w/ihrend SL(Zb) zur entsprechenden bin/iren Gruppe isomorph ist. Alle singularen Fasern yon S(b) sind vom Typ I b.

2. Die Involution • yon S(b)

In diesem Abschnitt untersuchen wir, wie • auf einer singul/iren Faser yon S(b) operiert und wie eine singul/ire Faser yon S(b)/r aussieht. Sei n :S(b)--*A(b) die Projektion und sei S(b)* = S(b)-Sing(n), wobei Sing(n) die Menge der singuliiren Punkte der Abbildung zr ist. Nach Kodaira [4] hat S(b)* die Struktur eines Faserraumes von komplexen Lieschen Gruppen, dessen singul~ire Fasern zu ~* x 7Z. b isomorph sind. Also operiert • auf einer singul~iren Faser yon S(b)wie folgt:

b = 3

~9

Abb. 1

Kleinsche Ikosaeder-Kurve sechsten Grades

b = 4

207

b ~ 5

1

\

Eine singul~ire Faser des Quotienten S'(b)= S(b)/z sieht deswegen wie folgt aus '

b = 3 b = ~ b = S _~@[2 -1

X : ~ f -2

O 49 ¢)

Abb. 2

b/2]-

wobei die bei den Komponenten stehenden Zahlen die entsprechenden Selbst- schnittzahlen bezeichnen. Die exzeptionellen Kurven erster Art in einer singut~iren Faser von S'(b), die von ,~ disjunkt sind, nennt man antidiagonal, w~ihrend man die den Nullschnitt o schneidenden diagonal nennt. Es scheint kein Unterschied zwischen den Fallen b=2a, b = 2 a + 1 zu bestehen, soweit man nur den Typ der singul~iren Fasern von S'(b) betrachtet. Der Unterschied wird abet deutlich, wenn man die Bilder der globalen Schnitte auf S'(b) betrachtet, was das Thema des n/ichsten Abschnittes ist.

3. Die Bilder der globalen Schnitte

Es ist klar, dab die Bilder der globalen Schnitte yon S(b) in S'(b) auch Schnitte der Projektion n' : S'(b)-,A(b) sind. Die Gesamtheit dieser Bilder identifizieren wir mit

208 k N a r u k i

~/z = ~/{ + 1}. Es kann jedoch sonst noch viele Schnitte yon z' geben. Also nennen wir allen derartigen Schnitte yon n', die yon Schnitten yon S(b) kommen, speziell. Es ist zweckm/il3ig, die Punkte von ~ nach der Ordnung zu klassifizieren. Fiir einen Teiler m von b bezeichnen wir mit ~ die Menge der Punkte yon ~, deren Ordnung genau rnist. Wir nennen die zu ~,,/z zugeh6rigen Schnitte yon ~' m-spezieJf. Die b- speziellen Schnitte ~b/z sind bei der folgenden Betrachtung besonders wichtig. Die Involution z operiert frei auf ~b, d a b > 3 angenommen wurde. Also ist die Anzahl

der b-speziellen Schnitte gleich (b2/2) • 1-I ( 1 - 1/pZ). plb

Aus Abb. 1 von Abschnitt 2 folgt unmittelbar (~0 = Eulersche-Funktion):

Lemma 3.1. Es 9ibt b bzw. ~0(b)/2 b-spezielle Schnitte, die eine gegebene antidiagonaIe Kurve schneiden, wenn b ungerade bzw. 9erade ist. Dagegen gibt es immer q~(b)/2 b- spezielle Schnitte, die eine gegebene diagonale Kurve treffen.

4. D i e F i x p u n k t m e n g e von

Fiir sp~itere Untersuchungen wollen wir das Verhalten der Fixpunktmenge F~ yon z, in der N~ihe einer singul~iren Faser yon S(b), bis zu einem gewissen Grade klar machen. F~ ist offensichtlich glatt (z 2 = 1) und nicht zusammenh~ingend, weil der Nullschnitt ~ eine der Komponenten ist. Wenn b gerade ist, dann besteht F~\~ aus den drei globalen Schnitten, die zu ~2 gehiSren. Daher ist dieser Fall nicht so interessant. Wenn aber b ungerade ist, dann schneider F eine singul~re Faser yon S(b) wie folgt :

I *

b = 3 I i

r o

b = B I I

, O

--......

, O O

Abb. 3

N~imlich geht F, durch den o gegentiberstehenden Punkt p der singul~iren Faser hindurch. (Es gibt um p Koordinaten x, y, so dab x = 0, y = 0 die sich in p kreuzenden zwei Komponenten der singul~iren Faser definieren und so dab ~*x = y. Damit ist F~ lokal dutch x = y definiert.) F~\o schneidet auch die ~ schneidende Komponente als ein lokaler Schnitt yon Ordnung 2. Man hat daher die Alternative : Entweder gibt es nur eine Komponente yon F~\,~, oder einen globalen Schnitt s, der in F~\o

Kleinsche Ikosaeder-Kurve sechsten Grades 209

Abb. 4

enthalten ist, so dab s = - s gilt. Der letzte Fall ist aber unmSglich, weil ~ ~b x ~ und b ungerade ist. Fails b ungerade ist, bezeichnen wir die glatte zusammenh~ingen- de Kurve FT\~ kurz mit 0. Das Bitd yon O unter tier Abbildung S(b)-~S'(b)= S(b)/z wird auch mit 0 bezeichnet. Aus der obigen Betrachtung folgt nun

Lemma 4.1. Sei b ungerade. Dann beriihrt die Kurve 0 yon S'(b) jede antidiagonale Kurve mit Muttipfiziti~t 2, wiihrend sie jede diaoonale Kurve nur einmal transversal schneidet.

/ -"-.- . . . v~

/

5. Die Regelffiichen S"(3), S"(4) und S"(5)

Im allgemeinen gibt es viele verschiedene Wege, die exzeptionellen Kurven erster Art von S'(b) niederzublasen, um dadurch eine RegelfKiche zu erreichen. Im folgenden konstruieren wir die in gewissem Sinne kanonischen Regelfl~ichen S"(b) nur fiir die Fiille b = 3, 4, 5, weil dies fiir unsere Zwecke ausreicht. Falls b = 3 blasen wir nut die vier diagonalen Kurve herunter, um S"(3) zu definieren. Falls b = 4 oder 5 blasen wir s~imtliche diagonalen und anti-diagonalen Kurven nieder und definieren auf diese Weise die Regelfl~ichen S"(4), S"(5). Durch die eigentliche Transformation und die Projektion stehen zum Beispiel die globalen Schnitte yon ~z': S'(b)-*A(b) und ~":S"(b)-~A(b) in eineindeutiger Beziehung. Dadurch kann man den Schnitt o, die speziellen Schnitte, die Kurve 0 (nur falls b ungerade ist) usw. yon S'(b) auf S"(b) tibertragen.

Lemma 5.1. Es sei b = 3 oder 4. Dann sind atle b-spezietten Schnitte yon S"(b) untereinander disjunkt. Es gibt nur einen b-spezietlen Schnitt yon S"(b), der den Schnitt o in einer gegebenen Ecke schneider. Umgekehrt schneidetjeder b-spezielle Schnitt den Schnitt ~ nur einmal in einer Ecke.

Beweis. Die ersten zwei Behauptungen sind klar nach Lemma 3.t. Wegen der zweiten Behauptung erNilt man auch die Abbildung, die einer Ecke den durch sie hindurchgehenden b-speziellen Schnitt zuordnet. Diese Abbildung ist o ffensichtlich P G L ( ~ ) = SL(~)/r-hquivariant, und mug daher bijektiv sein.

Bemerkun 9. Ein 5-spezieller Schnitt yon S"(5) schneidet ~ transversal in zwei Ecken, und durch eine Ecke yon ,~ gehen zwei 5-spezielle Schnitte hindurch. Dennoch kann man auf kanonische Weise einen yon den zwei w~ihlen, so dab wir wieder eine eineindeutige Zuordnung zwischen $/z und der Menge der Ecken bekommen. Dies ist nicht nur Ftir b = 5, sondern fiir alle b mSglich. Man siehe dazu den Anhang yon Naruki [5].

210 I. Naruki

6. Die Strukturen yon S"(3), S"(4)

S(3) bzw. S(4) haben 4 bzw. 6 singut~re Fasern yore Typ 13 bzw. t 4. Die Selbstschnittzahl eines globalen Schnittes yon S(3) bzw. S(4) ist daher gleich - t bzw. - 2 nach der Theorie yon Kodaira [4]. Entsprechend sind die Selbstschnitt- zahlen der 3- bzw. 4-speziellen Schnitte yon S'(3) bzw. S'(4) alle gleich - 1 bzw. - 2, w~ihrend die des Nullschnittes v yon S'(3) bzw. S'(4) gleich - 2 bzw. - 4 ist. Well ~ in S'(3) bzw. in S'(4) die 4 bzw. 6 niederzublasenden exzeptionellen Kurven erster Art trifft, ist die Selbstschnittzahl yon v in S"(3) bzw. in S"(4) gleich 2. Andererseits trJfft ein 3- bzw. 4-spezieller Schnitt yon S'(3) bzw. S'(4) die 1 bzw. 2 niederzublasenden exzeptionellen Kurven erster Art (Lemma 5.t). Daher hat ein 3- bzw. 4-spezieller Schnitt yon S"(3) bzw. S"(4) die Selbstschnittzahl 0! Die Projektionen r(':S"(b)--,A(b), b = 3 , 4 sind P1-Faserungen tiber Pt. Also sind sie zu einer der Regelfl~ichen Z k isomorph.

Satz 6.1. S"(3) und S"(4) sind zu S o _~ P t x P ~ isomorph. Siimtliche 3- bzw. 4-spezieifen Schnitte yon S"(3) bzw. S"(4) geh6ren als F asern zu der anderen P i -F aserung, d.h. nicht zu der, die yon n" i~~duziert ist.

Beweis. Es gentigt, nur die erste Behauptung zu beweisen. Wir wissen, dab S"(b) "~ S k, k_>_0 gilt, wobei b = 3 oder 4 ist. Dann gibt es eine rationale Kurve ~ mit Selbstschnittzahl - k : (~)2 = _ k, wobei (~ ) die Homologieklasse yon ~ bezeich- net. Sei (a) bzw. (b) die Homotogieklasse der b-speziellen Schnitte bzw. der Fasern yon re" : S(b)-, A(b), b = 3 oder 4. Dann hat man (a) 2 = (b) 2 = 0, (a)-(b)= 1, wie oben gezeigt wurde. Mittels Poincar6-Dualit~it sieht man dab (a),(b) eine Basis yon H2(S"(b),2L ) bilden. Seien nun m,n so dab (~ )= m(a )+n(b ) . Dann erh/ilt man 2ran = ( o ) z = - k < O. Andererseits sind m = (~ ) . (b), n = ( ~ ) . (a) als Schnittzahlen verschiedener algebraischen Kurven nicht negativ. Daher mui3 eine yon m, n und auch k gleich 0 sein, was zu beweisen war.

Sei b nun gleich 3 oder 4. Wie wir oben gesehen haben, hat der Schnitt o yon S"(b) Selbstschnittzahl 2. Also kann man v als die Diagonale yon S " ( b ) ~ S o ~ P 1 × P~ betrachten, womit S"(b) kanonisch zu v × v isomorph wird. Die Isomorphie ist natiJrlich PGL(~)-PGLz(2~b) ~iquivariant. Wir nennen die Faserung 7~" : S"(b)-~A(b) die ~-Faserung und die andere die/3-Faserung. Die g-Fasern, die auf den Ecken in ~ ~ A(b) stehen, und die b-speziellen Schnitte bilden in S"(b) ~ v × v die folgende Konfiguration :

b~3

yl ,0

/ b=4

. . . . . . . . . . . . . . . . . t ......

..... J ~

/ ,O. Abb. 5

Kleinsche Ikosaeder-Kurve sechsten Grades 211

Nach dieser Abbildung ist es klar, dab die b-speziellen Schnitte 4 bzw. 6 Punkte aus jeder ~-Faser schneiden, die die Ecken eines auf der ~-Faser liegenden Tetra- bzw. Oktaeders bilden, je nachdem b = 3 bzw. 4 ist.

Korollar 6.2. Sei E ein 1-dimensionaler komplexer Torus und z die Involution x+-+x- 1 yon E. Dann bilden die 4 bzw. 6 Bilder auf E/z der 8 bzw. 12 Punkte yon E, deren Ordnungen genau 3 bzw. 4 sind, die Spitzen eines Tetra- bzw. Oktaeders auf E/z'~ P p

Beweis. Die J-Invariante yon S(b) ist nicht trivial, und S(b) hat keine singul~iren Fasern auBer denen von Typ I b. Daher kann E als eine regul~ire Faser yon S(b) aufgefaBt werden, n~mlich E/z ist als eine ~-Faser von S"(b), b = 3, 4 zu betrachten. Die im Korollar erw~ihnten Bilder sind die Punkte, die die b-speziellen Schnitte von S"(b), b = 3, 4 aus dieser c~-Faser schneiden. Die Behauptung des Korollars folgt nun aus der vorangehenden Behauptung.

Bemerkun9. Dieses Korollar kann klassisch wie folgt bewiesen werden. Seien q , e2 , e 3 die Werte, die die dem Torus E zugehiSrige ga-Funktion ga in den drei Punkten der Ordnung 2 annimmt. Mittels der Duplikationsformel Rir go sieht man sofort, dab die in den 12 Punkten der Ordnung 4 angenommenen 6 Werte yon ga sich in die drei Paare

e, + |/(e, - e;) (e, - e-0 (i = 1, 2, 3 ; i,j, k = 1, 2, 3)

spalten, yon denen je zwei miteinander harmonisches Doppelverh~iltnis bilden. Die entsprechende Aussage des Korollars ftir die 3-Teilungspunkte yon E folgt aus der klassischen Darstellung x 3 +y3 + z 3 + 3,~xyz=O yon S(3) und aus der expliziten Form (2, x, y, z)~-,(,t, (y+z)/x)EP, x P1 der Isomorphie S"(3) ==P, x P1. Die Aus- fiihrung sei dem Leser tiberlassen.

7. Die Struktur von S"(5)

Das Ziel dieses Abschnittes ist, zu zeigen, dab S"(5) ebenfalls zu S o isomorph ist. Die Gruppe G=SL(~)~SL2(Es ) operiert auf S(5) als die Gruppe der ~ in iiberf'tihrenden Automorphismen. Daher operiert G'=PGL(~)~PGL2(2~5) auf S'(5) und daher auf S"(5). G' laBt die Kurve ~ invariant, die nichts anders ist als die abgeschlossene Fl~iche der Menge der Punkte von S(5) mit der Ordnung genau 2. [Durch die Projektionen ist 0 als in S'(5) und auch in S"(5) eingebettet zu betrachten.] Als eine P1-Faserung auf P1 ist S(5) ebenfalls isomorph zu einer Regel fl~iche Zk, k > 0. Es sei nun angenommen, dab S(5) ~ Z k, k > 0. Dann gibt es nur eine rationale Kurve o~ mit Eigenschaft (m) 2 = - k. Wegen der Eindeutigkeit wird

durch die Operation von G' in sich iiberf'tihrt, so dab G' auch auf m wirkt. Die Projektion S"(5)~A(5) induziert eine G' ~iquivariante Isomorphie zwischen ~ und o. Da ein Orbit der Operation von G' auf ~ damit mehr als 12 Elemente enth~ilt und da ~ durch G' in sich iiberftihrt wird, gilt entweder ( ~ ) . ( ~ ) = 0 oder

(g).(~)=> @ (~9c~ oo)_>_ 12 (7.1)

wobei (8), (m) die Homologieklassen von O und ov bezeichnen. Um die Schnittzahl (0). (~ ) genau zu berechnen, bezeichnen wit mit (a) die Homologieklasse der Fasern yon r(' : S"(5)~ A(5). Offensichtlich gilt (a)-(0)= 1, (a) 2 = 0. Daher bilden (a) und (a)

212 I. Naruki

eine Basis y o n H 2 ( S " ( 5 ) , 7Z}. ~ hat in S(5) die Selbstschnittzahl - 5 = - ( 1 2 × 5)/12 nach [4], weil S(5) 12 singul/ire Fasern von Typ I s hat. In S'(5) hat ,~ also die Selbstschnittzahl - 1 0 . Weil ~ in S'(5) die 12 exzeptionalen Kurven erster Art, n~imlich die 12 diagonalen Kurven trifft, ist die Selbstschaittzahl (0) 2 yon ~ in S"(5) gleich 2= - 10+ 12. (Dazu siehe man die Bemerkung yon Abschnitt 5.) Nun gilt offensichtlich (0). (a)= 3. Nach Lemma 4.1 gilt auch (61). (o)= t2. Man erhiilt also (61)=3(2(a)+(~)). Sei nun m,n so dag (oe)=m(a)+n(~). Es ist klar, dab n=(ov) • (a) = 1 gilt. Daraus folgt - k = (oe) 2 = 2(m + 1). Andererseits 0 < ( ~ ) . (0) = m + 2 = 1 - k/2. Da k > 0 ist, ist die einzige MOglichkeit k = 2, m = - 2. Insbesondere (6t). (or) = 3(2(a) + (~)). ( - 21a) + (~)) = 6, was aber (7. t) widerspricht. Also mul3 k gleich Null sein.

Satz 7.1. S"(5) ist isomorph zu S o = P 1 x Pt .

Bemerkung. Die 5-speziellen Schnitte von S"(5) haben Selbstschnittzahlen 2. Denn ein 5-spezieller Schnitt yon S'(5) trifft 2 diagonale Kurven und 5 antidiagonale Kurven. Sie gehOren nicht zur anderen Faserung von S"(5)=P 1 x P~. Dies ist der entscheidende Unterschied des Falls b = 5 zu den Fallen b = 3, 4.

Wir nennen die P : F a s e r u n g S"(5)--*A(5) wieder die c~-Faserung und die andere P1-Faserung von S"(5) die fl-Faserung. Weil ~ in S"(5) die Selbstschnittzahl 2 hat, ist

wie friiher als Diagonale von S"(5) = P a x P~ zu betrachten, und damit wird S"(5) kanonisch zu o x ~ isomorph. Die Isomorphie ist G'-gquivariant. Wir bezeichnen mit X die Menge der Ecken des Ikosaeders, das aus der Operation yon G' auf entstanden ist. (Die Ecken sind die Punkte, deren lsotropiegruppen zyklische Gruppen yon Ordnung 5 sind.) Es gibt nut eine Antiinvolution c~ von ,~, die das Ikosaeder in sich fiberftihrt : 7z = 1, ct ist antiholomorph. Also ffihrt man jetzt in S"(5)=~ x ~ die Antidiagonale el = {(x, ~(x))eo x ~ : x ~ } ein.

Lemma 7.2. Die 12 antidiagonalen Kurven yon S'(5) werden auf die 12 Punkte (x, c~(x)),xeY, yon A niedergeblasen.

Beweis. Sei zun~ichst xe22, und man betrachte die Isotropiegruppe I(x) = {ge G' : gx = x}. I(x) hat nur zwei Punkte x, a(x) von ~ als ihre Fixpunkte. Sei nun z der Punkt, auf den die fiber x stehende antidiagonale Kurve yon S'(5) niedergeblasen ist. I(x) wirkt auf die c~-Faser yon S"(5), die fiber x steht, und mug z invariant lassen. Die Isomorphie zwischen dieser e-Faser und o, die die Projektion der/~-Faserung induziert, ist natfirlich I(x)4iquivariant. Daher gibt es nur einen Fixpunkt yon I(x) auf der ~-Faser aul3er (x, x), und mit dem mfissen z und (x, ~(x)) tibereinstimmen. (Nach unserer Schreibweise sind {x} × ~, x~ ~ die ~-Fasern.)

Bemerkung. Dieses Lemma gilt aueh Rir die Fl~iche S'(4), der Beweis bleibt im wesentlichen unver~indert gfiltig.

8. Die doppelthomogenen Invarianten von SL(~)=SL2(Zs)

Wir w~ihlen zun~ichst feste Koordinaten (~l, ~2 ; rh, ~/2) von S"(5)= ~ x o, so dab die Ecken des Ikosaeders in der Diagonalen gegeben sind durch

( 1 / ( 2 ~-~-/~ 1//~ 2 ~--- 0 , 8v(E"['84), 8v@2 -[-- E3),

Kleinsche Ikosaeder-Kurve sechsten Grades 213

wobei e = exp(2rci/5) und v die Menge 0, 1, 2, 3, 4 durchl~iuft. (Das ist die Kleinsche Schreibweise der Ecken [3].) Wir nehmen auch an, dab (Ca, (z) bzw. (t/l, q2) die Koordinatenjeder fl- bzw. a-Faser sind ; das heiBt, dab {x} × ~ bzw. ~ x {x}, x e ~ die ~- bzw. fl-Fasern darstellen. Durch diese Koordinaten ist die bin~ire Ikosaedergrup- pe G eine Untergruppe von SLz(IE ). SL2(~ ) operiert auf kanonische Weise auf den R~iumen Rk(~), Rk(tl), Rk,t(~, rl) = Rk(~)&_~Rt(rl), wobei Rk(O bzw. Rl(q) die Modutn der homogenen Polynome von Grad k bzw. l mit Variablen (~1,~2) bzw. (r/ l ,r /2) bezeichnen. Damit operiert SL2(¢ ) auch auf den gradurierten Ringen R(~) = ~ Rk(~ ), R(r/) = ~ Rt(r/), R((, r/) = ~ R~,t((, ;7)- R(() und R(r/) sind als Unterringe yon R((, t/)zu betrachten. Nach Clebsch [ 1] fiihren wir nun die SLz(C)-invarianten Differentialoperatoren L = r/1 (~/t~(1) + q2((~/~(2), M = (~ (c~/t~r/1) + (2 ((~/~q 2) ein. Das Potynom u = ( ( l r h - (2q~) ist ebenfalls SLz(C)-invariant und es ist Lu = M u =0.

I

Satz ([1]). Falls k>t_ bzw. k<_I,_ gilt Rat(~,r/)= ~ ut-iLiRk+zi_l~,tr~ bzw. i=O

k uk- iMiR , I+ 2i--ktq), wobei die Summe direkt ist.

i=0

Wenn eine kompakte Untergruppe K yon SLe(ff') gegeben ist, dann kann man in der im Satz gegebenen Formel die Moduln Rk, l((,q), Rm((), R,(q) durch ihre K- invarianten Teile K r R,,(~), (durch das Haarsche Integral). Rk,l(~, q), R,~(~/) ersetzen Damit kann man den Invariantenring RK((,r/)= ~ R~,,(~, rl) aus Rr(()= ~R~(~) [oder aus RX(q)] berechnen. Dieses Prinzip wird nun auf G angewandt. Nach Klein [3] wissen wir, dab Ra(() von den drei Polynomen f(O, H(0, T(ff) erzeugt wird, die in den Ecken, bzw. in den Fl~tchenmittelpunkten, bzw. in den Kantenmittelpunkten verschwinden, und zwischen denen die einzige Relation T 2 = 1728f 5 - H 3 besteht. Die Grade von f, H, T sind 12, 20, 30. Aus dem obigen Satz folgt nun

Korollar 8.1. FfirO< i <-5 ist R~l 2 i ~)(~,rl) bzw. R~ 12 0(~,~/) 1-dimensional und wird yon Li f(() bzw. Mi-f(q) erzeugt. )~P6,6)((,r/)ist dagegen 2-dimensional und wird yon ((~q2 - (2rh) 6 und L6f(Q = M6f(rl) erzeugt.

Bemerkung. Wenn k + / < 12 ist, dann gibt es keine G-invarianten Polynome von Bigrad (k, l) auBer ((~r/z-(a~h) ~, i=O, 1, ..., 5.

Bemerkung. Sei ¢p die Involution yon S"(5), die ((~, (~.; r/1,r/2) in (~h, ~/2; (1, (2) iJberftihrt. Die Fixpunktmenge yon q~ ist die Diagonale, die durch die Gleichung ~1/~2 - - ~2/~1 = 0 definiert ist. Man setze nun ± R(~,~((, 11) = { f ~ Ra.k)(~, r/); tp*f = _ f}. Dann gilt R(k,k)((, q)=((~q~-(2rh)R(+k- ~,~- ~)((, r/). Daher gilt auch R a - a + " i (k,k)((, tl)nR(k,k)((, 7) = ((1 q2 -- (2rh) (R(k- ~.~- n((, rl)~R(k- ~,k- ~)((, r/)). D~es bewe st auf Grund der obigen Bemerkung, dab R~6,6)(~, r/) = R~,6)((, r/). Dassetbe ergab auch die letzte Formel des Korollars ohne explizite Berechnung.

9. Einige wichtige G'-invarianten Kurven von S"(5)

Es sei zun~ichst eine G'-invariante Kurve C yon S"(5)=P 1 x P~: ((1,~2; rh,q2) gegeben. Dann gibt es ein doppelthomogenes Polynom PeR(k,~)(~,q), so dab C durch P = 0 definiert ist. Die Homologieklasse (C) von C ist dann gleich k(a)+ l(b),

214 I. Naruki

wobei (a) bzw. (b) die Homologieklassen der e- bzw./~-Fasern bezeichnen. Wegen der Invarianz von C geh&t P zu R~,l)(~, ~/). (Man bemerke dazu, dab es keinen nicht trivialen Charakter G ~ S 1 gibt.) Wir haben schon die Homologieklasse (~) der Kurve 0 berechnet : (9)= 9(a)+ 3(b). Mittels Korollar 8.1 erhalten wir nun

Satz 9.1. Die Kurve 9 ist definiert dutch L3 f ( ( ) = O. Sie ist die einzige G'-invariante Kurve, die 3 bzw. 9 Punkte aus einer allgemeinen ~- bzw. fl-Faser ausschneidet.

Dieser Satz gibt uns eine explizite Konstruktionsweise der etliptischen Fl~iche S(5). Die im obigen Satz charakterisierte Kurve 0 hat 12 Spitzensingularit~iten auf der Antidiagonalen und schneidet die 12 Ecken des Ikosaeders aus der Diagonalen aus, wie unmittelbar aus Lemma 4.1 folgt. Wenn man diese 24 Punkte aufbl~st, dann ist die eigentliche Transformierte von 9, die auch mit 9 bezeichnet wird, singularit~itenfrei. Als Homologieklasse ist die Vereinigung yon 0 und der Diagonalen auf der aufgeblasenen Ft/iche S' durch 2 teilbar. Daher ist die zwei- fache Uberlagerung S yon S', die auf dieser Vereinigung verzweigt ist, bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. S muB mit S(5) tibereinstimmen.

Betrachten wir nun die abgeschlossene HiJlle 0,, der Menge der Punkte yon S(5), deren Ordnungen genau gteich m sind. [Man erinnere sich daran, dab S(5) mit der Wahl ~ als ein Faserraum von Lieschen Gruppen zu betrachten ist.] Mit 9~ bzw. 0" bezeichnen wir die Bilder yon 9,, auf S'(5) bzw. auf S " ( 5 ) = P I × P 1. (0=82=92=~2. ] Die Kurve 8,, l~iBt sich aber als die Nullstellenmenge eines bihomogenen, bis auf einen Zahlenfaktor eindeutig bestimmten, G-invarianten Polynoms P,, definieren. Es gibt nur drei F~ille von m, ffir die P,, vom Totalgrad 12 ist, n~imlich m = 2, 3, 4. Um dies zu zeigen, braucht man einen wichtigen Satz, der erst im Anhang bewiesen wird. Dieser Satz macht das Verhalten der Teilungspunktmen- gen an einer singul~iren Faser von Typ I b klar. Der Satz besagt, dab die Bilder 03, 9~ eine gegebene diagonale Kurve nur einmal transversal schneiden, und dab sie eine gegebene antidiagonale Kurve (nicht notwendig transversal) mehrmals schneiden. Insbesondere schneiden ~ , 0~. die Diagonale z~ zw61fmal transversal, daher sind die totalen Grade von P3, P4 beide gleich 12. Andererseits ist es v6Uig klar, dab 93 bzw. '94 4 bzw. 6 Punkte aus einer allgemeinen ~-Faser ausschneiden. Damit haben wir

(,9~) = S(a) + 4(b) (9~.) = 6(a) + 6(b).

P3 stimmt also bis auf einen Zahlenfaktor mit L~f(O iJberein. L6f(0 verschwindet leider nicht in den 12 antidiagonalen Punkten (x, ~(x)) x~ S, und stimmt daher nicht mit cP 4 f'tir irgendein c i~berein.

Salz 9.2. ~3 wird definiert durch L4 f (O = 0, 9~ ist die einzige G'-invariante Kurve, deren Homologieklasse 8(a)+ 4(b) ist, ~ ist die einzige G'-invariante Kurve, deren H omologiektasse 6( a) + 6( b ) ist, und die dutch die 12 antidiag onaIen Punkt e ( x, ~( x ) ), xE r hindurchgeht.

Wir beweisen nun, dab das G-invariante Polynom P4 (bis auf eJnen Zahlenfak- for) mit dem in der Einleitung erw~ihnten Kleinschen invarianten Polynom B iibereinstimmt. Dazu genfigt es, zu zeigen, dab die 6 fundamentalen Punkte gerade die Bilder der 12 Punkte (~(x), x) mit x~2~ sind. Man bemerke zun~ichst, dab der Keget A =0 das Bild der Diagonalen von S ' (5)=P 1 x P1 ist, und dab damit das

Kleinsche Ikosaeder-Kurve sechsten Grades 215

urspriingliche Ikosaeder in der Kurve A = 0 liegt. Die fundamentalen Punkte sind dann die Polaren beziiglich A = 0 der 6 Geraden, yon denen je eine zwei gegentiberliegende Ecken des Ikosaeders verbindet. Man nehme nun xeZ an und betrachte die durch (x, x) hindurchgehenden ~- und fl-Fasern {x} x z~, ~ x {x}. Diese zwei Fasern werden miteinander durch rp vertauscht und auf die Tangente, die den Kegel A = 0 in der (x, x) entsprechenden Ecke beriihrt, abgebildet. Da (x, a(x)) bzw. (cffx), x) = q~((x, ~(x))) die Schnittpunkte yon {x} x ~ und ~ x {c~(x)} bzw. {~(x)} × und ~ x {x} sind, werden (x,a(x)), (e(x),x) beide auf die Polare der Geraden abgebildet, die die (x, x), (a(x), ~(x)) entsprechenden Ecken verbindet. Damit haben wir die gewi.inschte Behauptung, das heil3t den in der Einleitung erw~ihnten Hauptsatz bewiesen.

Zum Schlul3 geben wir kurz eine geometrische Deutung der 5-speziellen Schnitte yon S"(5). Auf S"(5) liegen insgesamt die zwtSlf 5-speziellen Schnitte, die die Bilder der 24 von Null verschiedenen globalen Schnitte von S(5) sind, und die alle Selbstschnittzahl 2 haben. Sie werden ferner durch die Projektion S"(5)~S"(5)/q~ aufdie 6 Kegel yon S"(5)/~o = P2 abgebildet. Einer dieser Kegel geht dutch nur 5 yon den 6 Fundamentalpunkten hindurch. (Klein nennt die 6 Doppelpunkte von B = 0 die Fundamentalpunkte.) Wenn man diese 6 Fundamentalpunkte aufbl~ist, dann erh~ilt man die bertihmte kubische Diagonalfl~iche yon Clebsch. (Man siehe dazu auch Klein [3].) Also werden die eigentlichen Transformierten der 6 Kegel zu 6 Geraden der Diagonalfl~iche. (Die anderen auf der Diagonalfliiche liegenden Geraden sind bekanntlich die 6 totalen Transformierten und die 15 Verbindungs- geraden der Fundamentalpunkte.)

Anhang

Wir untersuchen in diesem Anhang das Verhalten der Teilungspunktmenge in einer singul~iren Faser yon Typ I b. Well das Problem viSllig lokalen Charakter hat, beginnen wir zun~ichst mit der folgenden Situation : Sei D die Einheitskreisscheibe I~r < 1 und n : S~D eine Faserung elliptischer Kurven mit einer einzigen singul~iren Faser n - 1(0) und zwar vom Typ I b. Es sei ferner ein Schnitt ~ : D~S als Nullschnitt gegeben, so dal3 S ~* = S - S i n g ( n ) als Faserraum yon Lieschen Gruppen zu betrachten ist. Dann ist n-1(0)-Sing(n) nach Kodaira [4] isomorph zu ~* × 2~ b. Man setze nun G=Rln.Tl und betrachte die Einschr~inkung G'=G]D', wobei D' = D - {0} ist. G' ist eine lokal konstante Garbe und die zugeordnete Monodromie

ist ~ihnlich zu M = (~ bl) nach[4].Wirw~ihleneinenPunktp~D'festundeine

Basis des Halms Gp, so dal3 die Monodromie nach dieser Wahl wirklich mit M tibereinstimmt. M operiert aufdem reellen Torus Htz/z 2. Die Fixpunktmenge F von M ist (N/Z) × (~2g/7/) und daher als Gruppe isomorph zur maximalen kompakten Untergruppe yon n-~(0)-Sing(n). Wir zeigen nun, dab es eine kanonische Isomorphie zwischen F u n d der Untergruppe gibt. Die Garbe G'® 1R/G' kann durch die Exponentialabbildung als Menge mit S '=n-~(D ') identifiziert werden. (Die Topologie ist ganz anders.) Unter dieser Identifizierung ist ein lokaler Schnitt von G'®IR/G' ein lokaler analytischer Schnitt yon n' :S'--*D'. Daher definiert ein globaler Schnitt der Garbe G'®N/G' einen globalen Schnitt yon n', der offensicht- lich zu einem globalen Schnitt von g: S--*D erweitert werden kann. Andererseits ist

216 I. Naruki

F(D', G'®HUG') nichts anders als die Fixpunktmenge F von M. Damit wird F als die Gesamtheit der globalen Schnitte betrachtet, die natfirlich zur maximalen kompak- ten Gruppe yon n - ~(0)- Sing(n) i somorph ist. Das ist die gew~inschte Isomorphie. F hat die b Zusamrnenhangskomponenten F i = IP,('• × {i/b} i = 0 , 1 . . . . . b - 1. Die zu F i geh6renden globalen Schnitte bilden eine abgeschlossene reelle Hyperfl~iche H i yon S. Wie F o . . . . . Fb-1 den Torus IRZ/2U in die b disjunkten offenen Bereiche G 1 =lR/Tl × (0, 1/b),..., G b = IR/~E × ((b - 1)/b, 1) unterteilen, unterteilen entsprechend die reellen Hyperfl~iehen H o . . . . . H b_ t die komplexe Fl~iche S in die b disjunkten Bereiche B1 . . . . . B b. (B~ wird begrenzt von H~_ 1 und H i fiir i < b und B b yon H b_ 1 und Ho. ) Jeder Bereich B i enth~ilt genau einen Punkt von Sing(n), den wit rnit pi bezeichnen. Wir haben sogar

(a) pi = Sing(n)c~/]i i = 1 , 2 . . . . . b,

w o b e i / ~ die abgeschlossene Hiille von B i bezeichnet. Nun betrachten wir eine abgeschlossene analytische Kurve T yon S, die,

abgesehen yon den Punkten p~ .. . . . Pb, aus lauter Teilungspunkten der Fasern besteht. Dann ist n:T--,D eine verzweigte Uberlagerung. Wie oben ist der Torus IR2/2~ 2 = Gp® R/Gp als Faser n - l(p) zu betrachten. Daher ist Tc~n- l(p) eine endliche Untermenge yon IR2/Tl z, die aus Elementen endlicher Ordnung besteht. Nattirlich muB Tc~n- l(p) unter der Operat ion von M in sich iiberft'thrt werden ; das heiBt, T ~ n - ~(p) ist die Vereinigung gewisser Orbits der Monodromie . Tist dann und nur dann irreduzibel, wenn Tc~n- t(p) aus nur einem Orbi t besteht. Wenn dies der Fall ist und wenn Tke in gtobaler Schnitt ist, dann ist Tc~n-~(p) in einem der Bereiche G~ . . . . , G b enthalten.

Satz A. Alle Bezeichnungen seien wie oben, und T set irreduzibel und kein gIobaler Schnitt. Sei ferner G i der Bereich yon 1R2/7[ 2, der Tc~n- l(p) umfaflt. Dann schneider T die singu1~re Faser n-l(O) nur im Punkt Pe Die Anzahl #eTc~n-l(p) ist die Schnittmultiplizit~t yon T und n- 1(0).

Beweis. Es ist evident, dab T~S 'C B iund dab T = TnS ' gilt. tnsbesondere hat man T_c/3~, Andererseits ist re- I(0)~ T in Sing(n) enthalten, weil Tke in globaler Schnitt ist. Daher gilt n - t(0)c~ T=C Sing(n)n/3 i = {Pi}, Die letzte Behauptung ist ebenfalls ktar.

Literatur

1. Clebsch, A.: Theorie der bin~iren algebraischen Formen. Leipzig: Teubner 1872 2. Hirzebruch, F. : The ring of Hilbert modular forms for real quadratic fields of small discriminant, in

Modular functions of one variable VI (Bonn), erscheint in Lecture Notes of Mathematics. Berlin, Heidelberg. New York: Springer

3. Ktein, F. : Weitere Untersuchungen tiber das tkosaeder. Gesammelte Math. Abh. II, 321--384 4, Kodaira, K. :On compact analytic surfaces II--Ill. Ann. of Math, 77, 593--626 (1963); 78, 1 ~ t0

(1963) 5. Naruki, L : E s und die bin~ire Ikosaedergruppe. Invent. math. 42, 273--283 (1977) 6. Shioda,T. : On elliptic modular surfaces. J. Math. Soc. Japan 24, 20--59 (1972)

Eingegangen am 2. Mat 1977