Ztschr. f. anp;ew. I 6 0 Slut s k y , Zuf%11ige zyklische Anordnung paarweise gleicher Elemente Math. rind Me&.

Vorzeichen an anderer Slelle, wo sie die Konvergenz tatsPchlich bewirken, wiederum nicht beriicksichtigen kann. Um zum Ziel zu gelangen, hPtte man statt der Betrtige die einzelnen Glieder in (46) algebraisch zu betrachten und ktime 80 vermutlioh zu einen Ausdruck fur ux (00), der anflnglich zwar in Uebereinstimmung mit unseren obigen Fest- stellungen tatsiichlioh waohsen kinnte, der fur unbegrenet groDes v aber doch wohl schliei3lich verschwhden mute. Jedenfalls kommt man mit ganz rohen, allgemeinen Annahmen iiber die uo llhnlich denen wie bei der Qleichnng zweiter Ordnung hier nicht durch. Vielmehr mii6te man wegen des durch die v von vornherein bedingten engen Zusammenhangs der Nltherungswerle UA anch rnit entfernt liegenden u0 gleichzeitig die Verhlltnisse im ganzen Bereich in der Rechnung beriicksichtigen, urn das Verschwinden der UA fesstellen zu kSnnen. Dadurch bieten sich der Durcbftihrung des Konvergenz- beweises einerseits erhebliche rechnerische Schwierigkeiten. Dann aber - und dies ist das Schlimmere - verliert jede der bisher angewandten Methoden durch irgend welche bestimmten Festsetsn~gen uber die UO, wie sie hier unumgtinglioh niitig sind, sofort ihre Allgemeinheit nnd damit den Charaktar eines Beweises iiberhaupt. Statt dessen gerlt man dnrch jede bestimmte Annahme sofort auf die Verfolgang irgend eines Spezialfalles, und anch dieser 1&Bt sich bei bestimmt gegebenen Daten wegen des komplizierten Auf- banes der NIlherungswerte (45) nioht allgemein behandeln, sondern man kann nur Schritt fur Schritt das Verfahren nach (45) durohrechnen nnd eusehen, ob die uv (00) sich tat- siiohlich dabei mehr und mehr der Null ntihern, wie dies fiir die Konvergenz niitig ist. Ein strenger Beweis fur unser in praktischen Fallen dnrohaus bequem zu handhabendes Verfahren scheint demnach - wenigstens nach ublichen Methoden - suntiohst kaum miiglich, obwohl selbst in niohtquadratischen Bereichen an der Konvergene gar nicht zu zweifeln ist. Wir mussen uns vielmehr einstweilen nur rnit der Feststellung begnugen, daB von den vielen Beispielen, die gereohnet wurden, in der Tat jedes gegen die Lirsung der Anfgabe konvergierte. 504

Ober die zufallige zyklische Anordnung paarweise gleicher Elemente.

Von EUGEN SLUTSKY in Kfew.

n der Biologie tritt - im Rahmen der Mendelschen Vererbungstheorie - das folgende wahrscbeinlichkeitstheoretische Problem ’) auf : 2 s paarweise gleiche Elemente sind I uber die Pnnkte einer geschlossenen Linie verstrent. Jede Reihenfolge oder An-

ordnung sei gleich wahrscheinlich. Gefragt wird, wie grod die Wahrscheinlichkeit Pmls dafur ist, dad von.den s Paaren m vereinigt und s--m nicht-vereinigt liegen. Im ersten Abschnitt der vorliegenden Arbeit wird die Liisnng dieses Problems gegeben ; im zweiten behandeln wir den Fall, daQ zwei von den Paaren ununterseheidbar sind. Schliei3lich berichtet der dritte Teil uber eine umfangreiche Versuchsreihe, durch die Ergebnisse nnd Voranssetznngen der Rechnung uberpriift werden.

Bezeichnet man die Zahl aller moglichen zyklischen Anordnungen von 2s Elementen mit N, and die Zahl der Anordnungsn mit rn vereinigten Paaren mtt &is, so hat man fiir die gesuchte Wahrscheinlichkeit

1. Ableiiung der L6sung.

. . * . . . . . . . . (I). PmJa = - Nm/a

Ns

I) Diese Studie wnrde durch den Wnnsch eines Freundes von mir, Hrn. M. W. T s o h e r n o j a r o w , veranlafit, der ein Kriterium haben wollte, urn prtiten zu kUnnen, ob das Ziisammentreffen der gletch- artigen Chromosomen zafhllfg oder nicht znflilllg vorkomme. Diese Aufgabe wnrde, so vie1 ich wei0, zuerst von Prof. S. N a w a s c h i n gestellt. (SUeber Kerndimorphismus in somatischen Zellen bei Galtonia Oandicans. - [rnssisch] Bull. de 1’Acad. Imperfal des sciences de St. Petereburg, 1912, VI. Serie, Nr. 4, S. 373) . Sein L6sungsversuch kann aber m. E. in keiner Weise als definitiv gelten. Erstens bat Prof. S. N a w a s a h i n kefne theoretische Losung seiner Anfgabe gefanden nnd mu0te daher die nBtigen Wahrsoheinlichkeitswerte aus etner Versnchsreihe bestimmen, die aber wegen nngentigender Zahl der Versnche keinen gentigenden Grad der Oenanlgkeit haben konnte; zweitens war auch die Zahl der untersuchten PrUparate zu klein usw. Hier sollen lediglich die (wahrscheinlichkeitstheoretischeo) Gmnd- lagen der Aufgabe, die viellelcht nicht nur f8r Biologen von einigem Interesse sein k h n e n , zur Dar- stellung gebracht werden.

161

Die Zahl der Permutationen von 2s Elementen ist bekanntlich (2s)! und es ist

Band 6, Heft 2 April 19% Sluts k y , Zuf9lige zykliache Anordnung paarweise gleicher Elemente

daher leicht einznsehen, dab *die Zahl der zyklischen Anordnungen

ist. Denn am jeder der N , zyklisohen Anordnungen gehen genau 2 s lineare Anf- stellungen hervor, indem man bei irgend einem der Elemente die ZLhlung beginnt. Die Zahl Nmla ergibt sich aus den folgenden Betrachtungen. Man bezeichne rnit Nm/s ' die Zahl der Anordnungen mit m vereinigten Paaren unter der Bedingung, dab unter ihnen ein bestimmtes, z B. a1 (das von a1 zu unterscheiden ist) sich vorfindet. Macht man ein Verzeichnis aller Anordnungen mit m vereinigten Paaren, unter denen sioh al as, befindet, dann ein solches der Anordnungen mit dem Paar a2 ul, d a m weiter ein Ver zeichnis rnit bl ba usw., so wird .die Zahl aller Anordnungen in allen 2s Verzeiohnissen 2sNmfd sein. Es ist aber nicht sohwer einzusehen, da9 jede Reihenfolge sioh hier m-ma1 wiederholt, da sie einmal in jedem der m Verzeiohnisse, die m entsprechenden Paaren zngeordnet sind, sioh vorfindet.

N, = (2s- l ) ! . . . . . . . . . . . (2)

Daher hat man die Beziehung

(3). . . . . . Da weiter eine Anordnung von 2 s Elementen mit nz vereinigten Paaren (bei s > 2)

entweder aus einer Anordnung vou 2.9-2 Elementen mit m-1 Paaren durch Einfugung des letzten Paares, es sei aiaj (d. i. entweder al a3 oder al), zwischen beliebige v e r - s c h i e d e n e Elemente - nnd zwar anf (2s- 2)-(m- 1) = 2s-n2 + 1 verschiedene Weisen - oder aus einer Anordnnng von 2s- 2 Elementen mit m Paaren dnrch Ein- fugung von aiaj zwischen g l e i c h e Elemente - und zwar anf m verschiedene Weisen - entstehen kann, so findet man, daO

Nm+' = (2 s - m I- 1) N m - l / s - l + m ,v+ -1 . . . . - . (4).

Substituiert man diesen Ansdruck in (3) und berueksichtigt man, daO den Formelo (1) und (2) zufolge Nm/, = (2s-l)! Pmis, Nm-lis-i = (2s-3)! Pm-iis-i und flm/s-i = (2 s-3)l pntis-l, so findet man schlie6lich

- eine Bekursionsformel, die fur alle m, aber nnr fiir s > 2 gilt. Da bei s = 2 unmittelbares AbzBhlen

p 2 / 2 = ' i s , Plp = 0, POI2 = '/a ergibt, so kann man durch sukzessive Anwendung der Formel (5) unter Beriicksichtigung der Beziehung Pols = 1 - (P8jS + P,-+ + . . . + PIIS) die Fllle s = 3, s = 4 usw. erledigen.

Dieselbe Aufgabe kann auch auf eine andere Weise gelost werden. Man stelle fiich vor, dai3 die Elemente in einer vorgegebenen Ordnung zam Zusammensetzen des Zyklus kommen, und dai3 das Los entscheidet, zwischen welche Elemente das neu zu- kommende eingeordnet werden soll. Dann bleiben alle Reihenfolgen gleichwahrscheinlich in demselben Sinne wie friiher.

Es sei aiaa das letzte Paar, das in dieser Weiee in den Ring kommt. Um alle dsbei maglichen Fllle maglichst kurz zur Darstellnng bringen zu konnen, bezeichne man mit @Is-1) die Reihenfolge aus 2 (s- 1) Elementen mit k vereinigten Paaren. Da a1 entweder zwischen gleiche oder zwischen verschiedene Elemente kommen kann, so bezeichne man den ersten Fall mit (=al z) und den zweiten mit (xul y). Kommt weiter

neben a], SO bezeichne man das mit ( za l a,e) oder mit z u l say); tritt aber a2 nicht neben a ] , so seien die entsprechenden Bezeichnungen: ( C t a z ) und (aaau). Die Ent- stehungsarten der Reihenfolge an6 2 s Elementen mit m vereinigten Paaren kdnnen nun in folgender Weise dargestellt werden:

I (m- 1/s- 1) (sa1y) kCa1aay) II' (?n/s- 1) (a:aly) (zaau);

IV (m+ 21s - I) (eaa ,x) (zaaz).

11'' (m/s - 1) ( Z U ~ Z ) ( Z U ~ Q ~ Z )

III' ( m - t 11s- 1) ( 8 ~ 1 ~ ) (zaau); III" (m+ I/S- 1 ) ( E C U ~ ~ ) ( ~ ~ 2 2 )

Beriicksichtigt man, da5 es fiir al 2s - 2 und fur 2s- 1 gleichmijgliche Stellen im Ringe gibt, und zlihlt man die Stellen die jedem der oben angegebenen Fllle ent- sprechen, so kommt man zu der Reknrsionsformel

1 o*

Ztschr. f. an ew. Slutsky , Zuf&Uige zyklische Anordnung paarweise gleicher El0m6?3te Math. and deck 152

0 311105 1 4 0 / 1 0 5 2 241105 3 91105 4 21105

Sie gilt bei s > 2 und bei beliebigem m p 0, wenn die Bezeichnungen Pi/k and

(A) so zu verstehen sind, dab

Pqk = 0 bei i > k,

+ + + (A) = A bei A 2 0, (A) = 0 bei A 5 0 . . (7).

Ans dem Yergleich zweier Ausdrucke fur Pm18 (5) und ( 6 ) entgtebt nun eine Be- ziehnng zwischen Pm-lls-1, Pm/a-1, Pm+l/s-1 und Pnc+l/s--l; und setzt man rn + 1 an die Stelle von m und s + 1 an die Stelle von s, so erhklt man:

0,29524 0,38095 0,22857 0,07619 0,01905

+ ~. + 2(m + 2) (2s - m + 2) Pm+?ls + (n2 + 2) (rn i- 3) ~ m + 3 , s \ (s), - die Rekursionsformel, die unter den Bedingungen (7) fur m p 0 und s 2 2 gilt.

Diem Formel hiitte den Vorzug vor (5) und (6), dab sie die unmittelbare sukzessive Ermittlnng der Wahrscheinlichkeiten P8-21s . . . PIIS, Pols erm6glichtel wenn nnr die Wahrscheinliohkeit Pals unmittelbar gefundeo werden konnte. Das ist auoh wirklich der Fall, da aus der Formel (6) folgt, daB

1 Ps-lls-, . . . . . . . . . . (9) Ps:, = - 2 8 - 1

2 ist, und da Pais = 2/a ist, so hat man Pa/, = - , P ~ I C = - usw. oder allgemein 3.5 3.5.7

. . . . 1 = 3.5.7. . . (2s-1)

fiir alie Werte von s 2 2. Zahlentafel I enthalt die Werte von P7,,jS fur s = 1 bis 6.

Zah len ta fe l I.

S 1 . 1 . 1 Pmls

1

2 1 1 1 I

1 I3 0,33333 1 I 0,00000 2 I 213 I 0,66667 0 I 4 / 1 5 1 0,26667

6

. . . . (10)

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 6 6

2 9 3 / 9 4 5 360 /945 2051945

701945 1 5 / 9 4 5

2/94:,

I 3326110395 3 9 4 8 / 1 0 3 9 5 2190110395

740110395 165110595

24110395 2110595

0,31005 0,38095 0,21693 0,07407 0,01587 0,00212

0,31996 0,37980 0,21067

0,0158 7 0,0023 1 0,00019

0,0711 9

Mit dem Wachsen von s nHhern sich die Werte von Pmls den Grenzwerten. die daroh die Poissonsche Formel gcgeben werden, wenn man in dieser fur die Wahr- soheinliohkeit des Einzelereignisses p = l/s und fur die Zahl der Versuche s setzt. In der Tat, die Formel (6) zeigt UDB, dab

lim Pm/s 1 ,==: Pml8-1 . . . . . . . . (11).

und die Formel ( 5 ) unter Beriicksichtigung der Formel (11) gibt

. * . * . . ( 1 2 ) . 1 = - lim Pnt-l/s S E D D m d = w

l im Pml8 1

Band 6, Heft 2 April 1926 Sluts ky , ZufBlillige zyklische Anordnung paarweise gleicher Elemente 153

1 1 Beaeichnet man lim P m l s mit Pm, so hat man: PI =PO, Pg =I PO, A = -Po . . . . I s = m 2 . 3 ! woraus unter Beriicksichtigung der Beziehung Po +Pi i . . . + P, = 1

. . . . . . . . . . . Po = e-l (13) und e-'

m ! Pnz = - . . . . . . . . . . . (14)

hervorgehen. Bum Vergleioh mit den Zahlen der vorigen Zahlentafel wollen wir d ie ersten sieben dieser &enawahrscheinlichkeitswerte angeben (siehe Zahlentafel 11).

Zahlentafe l 11.

m = 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 I . . . . . I 0,36766 1 0,3678s 1 0,16394 1 0,06131 1 0,01533 1 0,00307 1 0,00051 1 . . . . . P n t =

Man sieht daraus, daO schon bei s = 6 die Werte von Pn,/, sich merklich den Grenzwerten nSbern. Es wiirde sich lohnen, NPherungsformeln fur Pols, P1l8 . . . anf- zusuchen, da die Formel (5), (6) und (8) bei einigermaBen groden s eine fast unausfiihr- bare Arbeitsleistung erfordern wurden. Zn diesem Zweeke kann man von der Formel (8) ausgehen. Dann hat man zunPchst Man bestimme daraus Pm+I/i und setze m- 1 fur n.

1 m - 1 2 m - 2 P"+ = [ 1 - --) 2 8 P*,--l/S

ma + 1 Pin+z /s 1 ,

1 2 8

was nach den PoteDaen von - entwickelt, in eine NLherungsformel

(m + 1) (7lL + 2) (2 8)s

- Pt,L+a/s (15)

ubergeht. Setzt man hier snkzessive ni + 1, m + 2 , m 4- 3 fur m, so erhtilt man analoge Formeln iur Pm+, lS , PnL+a/s, PnL+qS . . . Diese Ausdriicke setze man in ( l b ) ein, dann in das Resultat dieser Substitution usw., bis alle Hoeffizienten bei P n c t l / s , PnL+pIS . . . . . nicht unter die zweite Ordnung in - sinken werden. 1

2 s Dann bat man:

- + . . . P t n - l / s + . . . . (16). .> 1 nL-3 m a - 3 m - I m 2 s (2 S P

P,,,/s = - (1 - - -

Setzt man hier fiir m die Werte 1, 2, 3 . . . 13 ein und addiert man die daraus entstehenden Aasdriicke, so findet man

. . . . . . ( 17) . - 1

e+--++--- + . . . Po =

4 ,07742 6,49463 2 8 ( a & ) *

Bei's = 6 erhlilt' man daraus Pole = 0,32082 una die Formel (16) gibt uns d a m die Werte:

Zahleutafel III.

m = 1 ° i 1 i 2 1 3 1 4 i 5 ~ 6 Pmf6 angen. = 0,321 0,38 1 0,210 0,071 0,002 0,0003

P m / 6 gentlu= 1 0,320 1 0,360 I 0,211 1 0,071 1 ' i1"o: I 0,002 I 0,0002

Berucksichtigt man, daO 2s = 1% nooh keine sehr groCe Zahl ist, so darf man diese AnnLherung als eine ziemlich gute ansehen.

(2813.

Nun wollen wir noch einen Bomplizierteren Fall untersuchen, der &us dem vorigen hervorgeht, wenn die Elemelite zweier bestimmter Paare unnntersoheidbar werden Daan hat man also 2 8-4 Elemente

1 Die Fehler sind von der Ordnung - 2. Fall zweier nichf unferscheidbarer Paare.

Ztschr. f. angew. Slutsk y , Zuftllige zyklische Anordnung paarweise gleicher Elemente Math. m d Me&. 154

der ersten Gruppe, die paarweise, nnd 4 Elemente der zweiten Crnppe, die alle nnter- einander gleich sind und die man mit a ] , az, aa, a4 oder mit a, a, a, a bezeichnen kann. Die Zahl der vereinjgten Paare in der ersten Qruppe sei k, was aber die zweile Qruppe betrifft, so ergeben sich folgende Aiten ibrer Zusammensetznng: (1) a . . , a . . . a . . . a, (2) a a . . . a . , . a, (3) a a . . . aa, (4) a a a . . . a, (5) aaaa, was - mit k 'vereinigten Paaren der ersten Qrnppe kombiniert - in folgender Weise bezeichnet werden Bann:

Ziihlt man eine Vereinignng von drei oder vier Elementen der zweiten Qrnppe als Iquivalent en zwei bzw. drei vereinrgten P a a r e n , so moge dis Zahl sgmtlicher in diesem Sinne Svereinigten Paare((, die k + 0, oder k: + 1, oder k + 2, oder k + 3 betrggt, mit 1 bezeichnet werden.

Ehe wir m r Ermittelung der Wahrscheinlichkeiten von dem Typus * iibergehen,

wollen wir rnit PkIs" und Pk/S1' die Wahrscheinlichkeiten bezeichnen dafiir, dafi in dem Zyklns von 2 s paarweise gleicher Elemente k-Paare vereinigt bind, unter denen ein be- stimmtes Paar sioh befindet bzw. sich nicht befindet.

8 (2)

Es ist leicht einzusehen, dad

und

(19). a - k

Pkls" = P k / a - Pk.1; = - P k / a , . . . . . . . 8

Nun stelle man sich vor, da% man einen Zyklns, der aus s - 1 Paaren gebildet ist, vor sich habe, und das letzte Paar, das darin noch eingefiigt werden mnf3, a3 a4 sei. Man bezeichne mit die Anordnnng dieser Art, die ans 2 (s- 1) Elementen besteht,

unter denen k versinigte Paare &us den Elementen der ersten Qrnppe und i (= 0 oder 1) vereinigte Paare aus den Elementen der zweiten Gruppe sich befinden. Nun wollen wir die miiglichen F811e der Einfiigung der Elemente a3 a4 in eine Anordnnng in analoger Weise, wie friiher, symbolisch darstellen. Dabei miigen die Bezeichnungen (x a3 z), (z a3 y), ( z a4 z), ( z a4 u), (s a3 a4 z), (z aa a4 y) die FLlle darstellen, wo a3 und a4 nicht neben a1 und a2 kommen; mit (au3) miigen die Ftille: (al aa z). (a2 a3 s), (z as a,) und (z a3 ua) symbolisiert werden; mit (aaaa) bezeiohne man die FBlle: (a8 aa), (aaJ a) und (aaa3); usw.

Jetzt gehen wir znr Darstellung der miiglichen Fiille iiber. kaun ledigl'ch aus k . 0 k + 1 , 0 k + 2 . 0 - _ _ _ ~ cntslehen, und zwar in folgender Weise: (a) (9) (zaay) ( z a4 u ) ; a - i ' a - 1 ' s - 1 s- 1 (a) (-- k + 1 0 ' ) (z u3 z) (z a4 u) oder (L) k + l O (z u3 y) ( z a, 2) ; (1') (3') (z a3 z) (z a4 z).

Fijhrt man noch die ohne weiteres verstfindlichen Bezeichnuogen: P k , o , P x a a y, Px ,,ax

usw. ein, so hat man:

8 - 1

8 (2)

a - 1 8 - 1 a - 1

~

a- 3

Pk, 0 = p k, 0 * p x 08 !I ' P z a 4 u + P k + 1.0 [ p x o , S P B O ~ U + P X O ~ y pz a, 23 +pk + 2,0 * p x o , x * p a a 4 z (20). - L CL) s - 1 s - 1 a - 1

In ganz Lhnlicher Weise findet man weiter:

I \

PQ= P ~ , o - [ P a a P P Z a 4 u + ~ x a s y P a a , l + ~ k , ~ __ p x a a y P z a 4 u S Q ) s-1 8 - 1

+ P ~ o [ P o a s P z o d ? : + P z a a x P a o , ] + P k + 1 , 1 [ p z a a x Pzo4u + P x o 3 y p z o 4 2 ]

t p k + 2,l pz a3 x ps a4 I

a - 1 8 - 1

s-1

P k , 2 = p k , O - P a o 3 P a a 4 + P k , 1 ~ P x a 3 y P X 0 3 a , y f - P k + 1 . 1 P x o 8 z P z a , 0 4 x - . . . . . ( 2 2 ) .

p k , - 01 = p s P a a a P a o , a 4 + p k, 1 [ p a a a( P z o , u -/- P x o a y Paaa, ] . s ( 2 ) s - 1 s - 1 s - 1

s (2) s - 1 s-1 . . . . . . . (23). 4- p k s [pa a as pz 04z -I- Px a8 z p a a o,]

6-1

Band 6, Heft 2 April 1926 S l u t s ky , ZuflLllige zyklische Anordnung paarweise gleicher Elemente -155

Pk,OOl - = P k . 1 Paao , Paaoaa, * . - . . - . . (24). 8 W ) b--1

Berucksicbtigt man, da8 PI;, 0 = P I; ' I , Pk + 1.0 = Pk+ I", P k s = Pk+2'', PQ s - I s - 1

PI; +1.1 = Pk +2', P k + 2.1 = PA%', 80 ermittelt man diese Wahrscheinlichkeiren

nach den Formeln ( 1 8 ) und ( 1 9 ) . Was die Wahrscheinliohkeiten von dem Typus P s o 8 ~ > Psay, Pa, , , Paaa,a, usw. betrifft, so ist es leicht, sie dnrcth Abztihlen der giinstigen nnd der mogllchen Fiille uomittelbar zu bestimmen. Setzt man entsprechende Ansdriicke i n (20) bis ( 2 1 ) ein, 60 hat man:

-~ - - s - 1 s - 1 s - 1 s - 1 8 - 1

- ~- = P k + I!, - a - 1 8-1 a-1 a-1 8 - 1

+ - + - + 1 ) ( s - - k + l ) ( 2 s - k + 6 ) ( 2 s - - k t ) P I;

8 - 1 = ( 8 - 1 1 ) ( 2 8 - 1 ) ( 2 8 - 2 ) so - 1 1 \ .5J1'

+ - + - t - + 2 ( s - k + 2 ) ( 2 s - k + 7 ) ( k + l ) P k + l + ( S - k k $ - ) (k+fz) p h z

8 - 1 8 - 1

__ I i (26)'

+ - + - + - + P1,l = 1 1 10 ( s - - k + l ) ( 2 ~ - k + 6 ) P k +[(2s--k+5)( fzs--k+G)

s - 1 ( s - 1 ) ( 2 5 - 1 1 ) ( 2 s - 2 ) c - + .-

;Izj

- + 1 0 ( . ? - k k + 2 ) ] ( k + 1 ) P k + l + Z ( a s - - + s ) ( k + l ) ( k + 2 ) P ~ 6- 1 s -1

+ - 1 + (k + 1) (k + 2 ) (k + 3) 3 ' ~ 3 s - 1

1 I 8 &-=) P 2 + 2 ( 2 s - k + 5 ) ( k + 1 ) P c 8 - 1

p k * = (s- 1) (2 s- 1) ( 2 8- 2) b ( 2 ) + 2 ( k + 1) ( k + 2 ) p k + 2

s -1 -I D ~- 1 2 (s-k+l) P k + ( 2 s - k + 5 ) ( k + 1 ) P k + 1

- - P k , O l = - s - 1 ' I8 - 1) t2 s- 1) (2s-2)

s - (2) + (k + 1) ( k+ 2) p k + 2

12 ( k + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (29) . p= = (a - - 1112 8 - l ( ( 2 8 - 2 ,

s-(2)

Mit diesen Reknrsionsformeh baben wir die folgenden Zahlentafeln I V und V fur den Fall von zehn Elementen, von deoen 6 paarweise und 4 alle nntereinander gleich

sind, berezhnet. Hier bedeutet P-h, die Summe 2 PI;.,, hi und Phi- die Summe 2 P k i , h i .

k h

- so 8 (2)

Z a b l e n t a f e l 'IV.

0 0 48

6 3 0

24 6 3 0

- pBc2)=-=l l ,0Tfj19

1.0 - P5(0)=-=0,03S10

2.0 - P5@) = - = 0,00476

630

0.1 - 151

630 P5@)=-= 0,24444

1.1 114 630

-- P5") E - = 0,18095

3,l 2

630

- P5(')=-= 0,00317

0,Ol 6 2 6 3 0

6 0

6 3 0

2 4 6 3 0

4 6 3 0

- P5@ =-= 0,09S41

1,Ol P m = - = 0,119524

2,OI - =-= 0,03S10

3,Ol - p s ( 2 ) = - - - 0,00635

ztschr. I. angew. Sluts k y , Zufsllige zyklische Anordnung paarweise gleicher Elemente Math. und Meoh. 156

7 5 6 3 0

-2 -~ P 5 @ ) = -= 0,11905

Noch: Z a h l e n t a f e l IV.

0.001 - 1 0

p 5@) = - = 0 , 0 1 5 8 7 6 3 0

1,001 - 12 P 5 @ J = - = 0 , 0 1 9 0 5

6 3 0 2: 01

- 6 P 5(2) =- = 0 ,00952

6 3 0

P s@) = - = 0 0 0 3 1 7 8,001

- 2 6 3 0 '

--,001 p ~ 5(2) = - ' O - 0 , 0 4 7 6 2 -

6 3 0

Z a h l e n t s f e l V.

0 4 8

6 3 0

1 7 8 6 3 0

2 1 0 6 3 0

1 3 0 6 3 0

50 6 3 0

1 2 6 3 0

2 6 3 0

- p5C2) = A = 0 ,0761905

1 P 5 ( 2 ) = - = 0 , 2 8 2 5 3 9 7

2 - 0 ,3333333

3 - P 5 ( 2 ) = -= 0 ,2063492

4

P5(2) = - = 0 , 0 7 9 3 6 5 1

5 - P 5 ( 2 ) = - = 0 ,0190476

6 - P 5 ( 2 ) = - = 0 ,0031746

Die Wahrscheinlichkeit P z ist eine Summe der Wahrscheinlichkeiten Pli, hj , die bei

der von uns eingefuhrten Znsammenlegung von ki und hj die Summe 1 ergeben; K O z. B.

- - 8 CaT s (2)

P 2 = p 2,O -I- p1.1 -l- P 0 , o l 4- p 0.2 U6W. S(2) m 5(2) mj

3. Versuchsergebnisse. Die theoretischcn Bereehnungen kiinnen nun mit Re- sultaten einer Reihe von Versuchen verglichen werden, die vor allem zu dem Zwecke angestellt waren, urn festzustellen, ob etwaige Verschiedenheiten in Form und QrSde der sich zyklisch zusammenlegenden Kiirpern auf die Gleichmijglichkeit einzelner Anord- nungen einen bemerkbaren Einflud ausuben. Die Anordnung der Experimente war die folgende.

Eine rnnde Schachtel mit gewijlbtem Boden, zehn Stuck Bohnen (Phaseolus Vulgaris) enlhaltend, wnrde wlhrend rd. 12-15 Sekunden nach einer und derselben fur alle Ver- suche festgesetxten Repel krilftig geriittelt Dann wurde sie mit einem leisen Schiitteln in eine horizontale Stellung gebraoht, so dad die Bohnen sich von selbst kreisfSrmig auf den Boden legten. Es wurden 3000 Versnche ausgefiihrt, die in drei Serien von gleichem Umfang eingeteilt waren. Wghrend der ersten Smie wurde die Schachtel gleich nach Beendigung des BrIltigen Rfittelns geijfhet und in fast horizontaler Stellung so lange leise geschuttelt, bis eine zykliwhe Anordnung sich einstellte. WIhrend der ewei letzten Serien aber wurde die Schachtel nnr nach Beendigung der ganzen Prozednr geijffnet und, war die Anordnnng der Bohnen noch keine zykliscbe, so wnrde die Prozedur von neuem nach derselben Regel wiederholt nsf. bis zu dem schliedlichen Erfolge. So wurden, wie wir glauben, alle persijnlicben Einflusse gtinzlich ansgeschlossen.

Alle Versuohe wurden mit zwei schwamen, zwei griinen, zwei roten und vier weiden Bohnen ausgefuhrt: die ersten beiden Serien mit einem nod demselben und die dritte mit einem anderen Salze. Die Bohnen des ersten Satzes waren dabei mehr von einander verschieden a l s diejenigen der zweiten, wie die Tafel VI zeigt.

Die Bohnen

Schwarze 1 2

2 Rothe . . 1

Wei5e. . ‘1 2

2 ?i 4

Grtlne. . 1

zn prcfen’). man folgende Ansdriicke z,

Fur die mathematische Erwartung und den mittleren Fehler von x a hat

E ( x z ) = m - l . . . . . . . . . .

D i m e n s i o n e n d e r B o h n e n i n mm - -

111. S e r i e I I. u n d 11. S e r i e

L h g e Breite 1 D i k e I Ltlnge 1 Breite 1 Dicke - 829 ~ 5 ,7 I 4,2 14,4 i 9,0 891 990 630 4.6 14,O 898 7 . 9

8 , 3 775 15.8 679

696

18,9 578 3,1 13,5 1 5,9 3,s 15,O i 7,s 670 18,9 15,O 1 7 3 5,s 1792 , 7 39 670 11,o 1 5,9 850 18,2 ‘ 839 6,9

7,s 17 ,7 I 816 s,9 I 6,9

% I g,o S,O 1 1 , o 6 , 5 8 30

1 6 1 0 1 ;;; I

639 890 16,2 I 8,s 7 ,o

wo N und m die oben angegebene Bedeutung haben und mit pi die Wahrscheinlichkeit des i-en Ereignisses bei einem einzelnen Versuche (also unsere P I ; , & oder unsere P-, h

usw.) bezeichnet wird. Setzt man

~ S) s ( a )

e . 2 - - xa - E ( z 2 ) . . . . . . . . . . (331, so wird durch das Verhaltnis ) E ~ Z / I ? ~ ~ I das Iiriterium angegeben, an dem das Verhaltnis von Theorie und Beobachtung gepruft werden kann. 1st diese QrG5e kleiner oder nur ein wenig grBfler als 1, 80 kiinnen die Abweichungen der empiriscben Verteilung von der theoretischen als znfLllige gelten, was bei nnserer Serie ILL der Fall ist. 1st diem QrGDe betrLchtiich groDer als 1 (G,G4 und 6,54 in den Serien I und It), so wird die Hypothese vom Znfall hinfiillig und fur die Divergenz zwischen der Theorie und Er- fahrung muf3 eine andere Erklarung ge6uCbt werden. Durch die Ermittelung der Wahr- scheinlichkeit eines Systems zufllliger Abweichungen, die einem gegebenen Falle ent- sprechen, kann diesem Urteil eine prKzisere Fassung gegeben werden 3), in nnserem Falle aber sind die Rerultate so uuzweideutig, dai3 zur Anwendong dieser Methode eigentlich keine dringende Verrtnlassung besteht.

’1 K. P e a r s o n , On the Criterion etc., Philos. Magazine, Vol; 50, 1900, p. 157 ff.

‘1 L. 8. B o r t k i e w i c z , 1. cit. S. 62, 64. 3, E. P e a r s o n , 1. tit. Derselbe, Tables for Statisticians and Biometricians. 1 9 1 4. L. v. B o r t k i e w i c z , Das Helmertsche Verte lungsgesetz fUr dle Quadratsumme zuftilliger

L. v. B o r t - l c i e w i c z , Die Iterationen 1917 , S. 62 ff.

Beobacbtungsfehler, Zeitschr. f . angew. Matbematik nnd Mechanik, 1922, Bd. 2, Heft 5, 6 . 358 ff.

Ztschr. f. angew. 158 Slutsky, Zuffillige zyklische Anordnung paarweise gleicher Elemente Math. U I I ~ Mech.

0 1 2 3

0,457 0,105 484513 468 499 477 - 1R,13 + 14,87 - 7,13 0,557 360,95 393 384 386 + 12,05 + 3,05 + 5,05 0,381 0,024 0,067 1 1 9 , ~ 126 97 1 1 7 + 6,95 -22 ,05 - 2,05 0.406 4,084 0,035

i 5 , 8 7 13 20 20 - 2.67 + 4 , i 3 + 4,13 0,519 1.075 1,075

~1000,00 I 1000 1 1000 I 1 0 0 0 I I

f l h

7,040 3,002 5,174 2,164 5,124

I Xk2=1,843 I Xh2=5,640 1 XkS=1,282

0,039 1 6 6 9 1,346 0,531 0,003

0 1

0 1 2

001

119,05 1 6 0 146 1 2 1 + 40,95 + 28,95 + 1,95 14,086 476.19 489 514 448 + 12,81 + 37,81 - 28,19 0.344 238,lO 217 203 256 - 21.10 - 35,lO ’+ 17,911 1,870 119,05 94 1 0 3 1 2 7 - 25,05 - 16,05 + 7.95 5,271

47,62 40 32 48 - 7.62 - 15.62 + 0.38 1.219

0 1 2 3 4 5 6

1,831 ~ 0,000 262,54 290 339 273 + 7,46 i 56,46 - 9,51 0,197 11,262 0,322 333,33 325 307 324 - 6,33 - 26,33 - 9.33 0,206 2,080 0.261 206,35 1 9 3 160 222 - 13,35 - 26,35 + 15,65 0,664 3,365 1.167

79,37 73 67 7 7 - 6,37 - 12,37 - 2,37 0,511 1,926 0 , 0 7 1 19 ,05 16 1 6 25 - 3,05 - 3,05 + 5,95 0,486 0,488 1 ,658

76,19 99 86 76 + 22 8 1 + 11,Sl - 0,19 6,829

3,17 4 3 3 + 0.63 - 0,17 - 0.17 0,217 0,009 0,009

l , 2 8 III

- 1,72 0,70 - 0,42 - 2,29

Band 6, Heft 2 April 19% Sel len t in , Drehspannungen in geraden zylindrischen StlLben 1.59

Nun sehen wir, daJ3, wlhrend die Zahlen der Serie In aus den Grenzen der lediglich zufllligen Schwankungen nicht heraustreten, die erste und die zweite Serie Ab- weichungen zeigen, die ihren mittleren Fehler 6,64- und 6,54-Mal ubertreffen, und deren Wahrscheinlichkeiten nach E l d e r t o n s Tabellen demnach P=O,OOO14 und P=O,OOO16 sind.

Betrachtet man die Zahlen unserer Tafeln VII-IX genaner, so sieht man, daO die Verteilung der farbigen Bohnen lediglich den zuftilligen Sohwanknngen unterworfen er- scheint und dad die ganze Diskrepanz zwischen der Theorie nnd E r f a h m g lediglich auf Rechnung der weisen Bohnen gesetzt werden muD. Diese Sachlage bedarf einer Erkllrung m. E. aus den Cesetzen der theoretischen .Mechanik, die aus dem Rahmen dieser Arbeit heraustritt. Mit einem gewissen Vorbehalte will ich aber es versuchen, eine Hgpothese aufzustellen, die vie11 eicht auf die richtige Spur zu fuhren vermag.

Nebmen wir an, da6 jedes KZirperchen gleiche Chancen besitzt, auf irgendeine Stelle des Ringes zu Bommen, dab aber fur zwei solche RBrper, die zuftilligerweise im Prozesse des Aufriittelns zusammengetroffen sind, die Wahrscheinlichkeit, sioh nach knrzem Schutteln nebeneinander zu legen, grtider ist als fur zwei geschiedene. Wenn diese Wahrscheinlichkeit fur alle Paare gleich wtire, dann wurden auch alle Anordnungen in der definitiven Verteilung nach einem hinreichend langen Schutteln praktisoh gleiche Wahrscheinliohkeiten haben, denn der Zusammenhang zwischen den Kiirpern, der durch anfllngliches Nebeneinanderliegen statuiert ist, strebt mit jedem Aufschiitteln rasch der Null zu. Wean man aber annimmt, daf3 die Wahrscheinlichkeit, daO zwei Korperchen, die zusammenliegen, nach einem Aufschiitteln von einander nicht geschieden werden, fur ein Paar griider (oder kleiner) als fur die ubrigen Paare is4 so wird fur e h solches stabileres (bzw. minder stabiles) Paar eine Tendenz bestehen, ijfters (bzw.. seltener) zum Vorschein zu kommen, als es dem Falle gleicher Wahrscheinliohkeiten aller Anordnungen entspricht. W&en nun unsere weii3en Bohnen der ersten und zweiten Serie 80 be- schaffen, dail sie, e. B. wegen ihrer relativen .Kugelformigkeita, vielleicht auch ihrer QroOe, bei ihrem Zusammentreffen minder stabile Paare ausmachten, so kiinnten darin die Ergebnisse unserer Versuche eine Erkllrung finden. 414

ZUS AMMENFASSENDE BERICHTE Die Ermifflung

der Drehspannungen in geraden zylindrischen Sfaben. Von H. SELLENTIN .t.

Aus einem nur anf Drebung beanfiprucbten geraden zylindrischen Stabe werde durch zwei senkrecht zur Achse gefiihrte Schnitte eine Scheibe von der Hohe 1 herausgesahnitten, die wiederum durch zwei parallel zur Stabachse ge- legte Schnitte AA1 und BBI in Teilstiicke zerlegt werde. Letztere massen fur sich nnter dem EinfluO der , in den Schnittfllchen vorhandenen Spannungen im Qleichgewicht sein. Da zug- und Druckbeanspruchungen des Stabes ausgeschlossen sind, so kiinnen in den Stabquerschnitten nur Schubspannungen auftreten, deren Abhllngigkeit von dem wirkenden Drehmoment zu bestimmen ist.

Die im Punkte P der Qaerschnittsfltiche wirkende Schubspannung 7 (Abb. 1) werde senkrecht und parallel zu 881 in die Spannungskomponenten und z, zerlegt; d a m tritt Z, auch in der Schnittfl&che AA' und 7, in der Schnittfllche BBI im Pnnkte P senk- recht zum Stabquerschnitt, also parallel zur Stabachse auf. I n gleicher Weise werden fur alle anderen Punkte der Schnittlinien AA1 nnd BBl parallel zur Stabachse wirkende SchubFpannungen gefunden, deren C r 6 h durch die Ordineten der eingezeichneten Korven 7, nnd 2, dargestellt seien. Sie sind die einzigen auf die Teilsiucke wirkenden axialen Spannuugen, weswegen die algebraische Summe der von ihnen herruhrenden Krltte fur jedes Teilstuok gleich Null sein mu&

Auf den Abschnitt P A des SchnitteP AA, wirkt unter dem Einflu% der Schubspannungen eine Schubkraft s, deren GI 6%e durch das schraffjerte Stiick der Schub~pannungskurve dargestellt ist. Dieselbe Kraft s muD in dem Teilstuck P B des Schnittes BBl in entgegen- geset~ter Richtnng wirken. Somit ist der Flloheninhalt des schraffierten Teils der Schub-

1. Die Schubkrafifllche.