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Umdruck zur Vorlesung: Grundlagen der Wärmeübertragung apl. Prof. Dr.-Ing. K. Spindler Dipl.-Ing. A. Frank Institut für Thermodynamik und Wärmetechnik Universität Stuttgart, Pfaffenwaldring 6, 70550 Stuttgart Version: 18.02.2014

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Umdruck zur Vorlesung: Grundlagen der Wärmeübertragung

apl. Prof. Dr.-Ing. K. Spindler

Dipl.-Ing. A. Frank

Institut für Thermodynamik und Wärmetechnik

Universität Stuttgart, Pfaffenwaldring 6, 70550 Stuttgart

Version: 18.02.2014

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Inhaltsverzeichnis

dimensionslose Kennzahlen .................................................................................................. 1

1. Wärmeleitung .................................................................................................................... 2

1.1 Herleitung der Gleichungen für Temperaturfelder (reine Wärmeleitung) ...................... 2

1.2 Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Stoffe ......... 4

1.3 Kontaktkoeffizienten für verschiedene Materialpaarungen als Funktion des

Anpressdrucks ................................................................................................................... 5

1.4 Formkoeffizienten der stationären mehrdimensionalen Wärmeleitung ......................... 6

1.5 Wärmeleitung durch Rippen ......................................................................................... 8

1.6 instationäre, eindimensionale Wärmeleitung: Spezialfälle ............................................ 9

1.6.1 unendliche Platte ..................................................................................................10

1.6.2 unendlicher Zylinder .............................................................................................12

1.6.3 Bi unendlich .....................................................................................................13

1.6.4 halbunendlicher Körper, Kurzzeitlösung: Abkühlung einer Platte ..........................14

2. konvektiver Wärmeübergang ............................................................................................17

2.1 Erhaltungssätze für strömende Fluide .........................................................................17

2.1.1 Kontinuitätsgleichung ...........................................................................................17

2.1.2 Energiegleichung ..................................................................................................19

2.1.3 Impulsgleichung (Bewegungsgleichungen), Navier-Stokes-Gleichungen ..............21

2.2 Prandtl’sche Grenzschichttheorie ................................................................................22

2.3 hydraulische Durchmesser für verschiedene Geometrien ...........................................23

2.4 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion .............24

2.5 Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion .............................................................25

2.6 freie Konvektion an einer senkrechten Wand ..............................................................34

2.7 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für freie Konvektion .........................36

2.8 Nu-Korrelationen für freie Konvektion .........................................................................37

3. Kondensation ...................................................................................................................40

3.1 Filmkondensation an einer senkrechten Wand: Nusselt’sche Wasserhauttheorie .......40

3.2 Nu-Korrelationen für Kondensation .............................................................................43

4. Sieden ..............................................................................................................................46

4.1 Nukiyama-Diagramm und Nu-Korrelationen für Behältersieden ..................................46

4.2 Strömungsformen und Nusselt-Korrelationen für Strömungssieden ............................50

5. typische -Werte ..............................................................................................................52

6. Wärmestrahlung ...............................................................................................................53

6.1 Herleitung des Strahlungsaustauschs zwischen zwei parallelen Platten .....................53

6.2 Strahlungsaustausch für verschiedene Geometrien ....................................................54

6.3 Emissionsverhältnisse verschiedener Stoffe ...............................................................55

7. Herleitung der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz für Gleichstrom .................56

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Literatur zur Vorlesung

[1] Baehr, H.D./Stephan, K. (Springerlink) Wärme- und Stoffübertragung Springer Verlag 2010 [2] Baehr, H.D./Stephan, K. Heat and Mass Transfer (englische Version von [1]) Springer Verlag 2011 [3] Böckh, P.v./ Wetzel, T. (Springerlink) Wärmeübertragung Springer Verlag, 2011 [4] Herwig H./ Moschallski, A. (Springerlink) Wärmeübertragung Springer Verlag, 2006 [5] Incropera, F.P./ DeWitt, D.P. Introduction to Heat Transfer 5

th Edition, John Wiley & Sons, New York, 2007

[6] Marek, R./ Nitsche, K. Praxis der Wärmeübertragung Carl Hanser Verlag München, 2007 [7] Merker, G.P./ Eiglmeier, C. Fluid- und Wärmetransport Wärmeübertragung

B.G. Teubner, Stuttgart, Leipzig, 1999

[8] Polifke, W./ Kopitz, J. Wärmeübertragung Pearson Studium, 2005 [9] Wagner, W. Wärmeübertragung Vogel Verlag 5. Auflage, Würzburg 1998 Konvektion [10] Merker, G.P. Konvektive Wärmeübertragung Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1987 Konvektion mit Phasenübergang [11] Stephan, K. Wärmeübergang beim Kondensieren und Sieden Springer Verlag, Berlin, 1988 Strahlung [12] Siegel, R./ Howell, J.R./ Lorengel, J. Wärmeübertragung durch Strahlung Teil 1: Grundlagen und Materialeigenschaften Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 1987 Wärmeleitung [13] Tautz, H. Wärmeleitung und Temperaturausgleich Verlag Chemie GmbH, Weinheim/Bergstr., 1971

Nachschlagewerke

[14] Rohsenow, W.M./ Hartnett, J.P./ Handbook of Heat Transfer Young I.C 3

rd Edition, McGraw – Hill Book Co., New York, 1998

[15] VDI-Wärmeatlas (Springerlink) Berechnungsbeiblätter für den Wärmeübergang VDI-Verlag, 10. Auflage 2006

[16] VDI Heat Atlas (Springerlink) Berechnungsbeiblätter für den Wärmeübergang 2

nd Edition, VDI-Verlag, 2010

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Formelzeichen

a c m2/s Temperaturleitfähigkeit

A, f m2 Fläche

( c) 2 Ws1/2

/m2K Wärmeeindringkoeffizient

B m Breite, Tiefe

c J/kgK spezifische Wärmekapazität

C1,2 W/m2K

4 Strahlungsaustauschkonstante

ci kg/m3, kmol/m

3 Konzentration

C Konstante

Cs W/m2K

4 Strahlungskonstante des schwarzen

Körpers

d, D m Durchmesser

dh m hydraulischer Durchmesser

Dw m Durchmesser der Rohrwendel

D m2/s Diffusionskoeffizient

E J Energie

W Energiestrom

F N Kraft

Fp N Druckkraft

F* m Formkoeffizient

- Formfaktor

g m/s2 Erdbeschleunigung

H m Höhe

h J/kg spezifische Enthalpie

i W/m2

Intensität

i W/m2m monochromatische Intensität

k W/m2K Wärmedurchgangskoeffizient

l, L m Länge

M kg Masse

kg/s Massenstrom

kg/m2s Massenstromdichte

p Pa, bar, N/m2 Druck

P W Leistung

Q J Wärmemenge

W Wärmestrom

W/m2 Wärmestromdichte

W/m

2 Wärmestromdichte an der

Wandoberfläche

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W/m

3 Quellendichte

r, R m Radius

s m Spaltbreite

t s Zeit

t s Zeitdifferenz

T K thermodynamische Temperatur

Ts K Sättigungstemperatur bei geg. Druck

Tw K Wandtemperatur

u J/kg spezifische innere Energie

U m Umfang

V m3 Volumen

v m3/kg spezifisches Volumen

w m/s Geschwindigkeit

wp J/kg spezifische Druckänderungsarbeit

m/s Geschwindigkeit der ungestörten

Strömung

x m Koordinate ab Beginn Wandströmung

m Koordinate ab Beginn Wandheizung

y m Ortskoordinate

Z Zustandsgröße

W/m2K Wärmeübergangskoeffizient

W/m2K mittlerer Wärmeübergangskoeffizient

W/m2K örtlicher Wärmeübergangskoeffizient

* - Absorptionsgrad

(

) 1/K isobarer thermischer Ausdehnungskoeffizient

m/s Stoffübergangskoeffizient

° Neigungswinkel

m Grenzschichtdicke

- Emissionsgrad

Pas, Ns/m2, kg/ms dynamische Viskosität

Pas, Ns/m

2, kg/ms dynamische Viskosität bei

Fluidtemperatur

Pas, Ns/m

2, kg/ms dynamische Viskosität bei

Wandtemperatur

- Sichtfaktor, Einstrahlzahl

1/s2 Dissipationsfunktion

°C Temperatur

°C Bezugstemperatur für Stoffwerte

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°C Anfangstemperatur

°C Rippentemperatur

°C Temperatur der ungestörten Strömung

°C Temperatur der Wandoberfläche

°C mittlere Eintrittstemperatur

2 °C mittlere Austrittstemperatur

- 2 K Temperaturänderung eines Fluids

- 2 K Temperaturdifferenz, Übertemperatur

W/mK Wärmeleitfähigkeit

m2/s kinematische Viskosität

- Druckverlustbeiwert

kg/m3 Dichte

kg/m

3 Fluiddichte bei Wandtemperatur

- Reflexionsgrad

N/m Oberflächenspanung

W/m2K

4 Stefan-Boltzmann-Konstante

( 2 ) - W 2

- Isentropenexponent

N/m2 Schubspannung

- Transmissionsgrad

weitere Indizes

D Stoffdaten des Dampfes

F Stoffdaten der Flüssigkeit

G Stoffdaten des Gases

R Rippe

x,y,z Vektorkomponente in x-/y-/z-Richtung

Superscripts

gesättigte Flüssigkeit (x=0)

gesättigter Dampf (x=1)

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mathematische Hilfsmittel und Operatoren

Divergenz eines Vektorfeldes (Skalar) ( )

Gradient eines Skalars (Vektor) ( ) [

]

Laplace-Operator eines Skalars (Skalar)

( ( ))

Nabla-Operator eines Skalars ( )

Nabla-Operator eines Vektors ( )

partielle Ableitung

Rotation eines Vektorfeldes (Vektor) ( ) [

]

Satz von Taylor ( ) ( )

substantielle Ableitung (vgl. totale Ableitung) ( )

( )

totale Ableitung einer Zustandsgröße nach der Zeit ( )

( )

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1

dimensionslose Kennzahlen

Archimedes-Zahl

Biot-Zahl

( des Feststoffs)

Euler-Zahl

Fourier-Zahl

Froude-Zahl

Galilei-Zahl

Grashof-Zahl

Graetz-Zahl

Jakob-Zahl

Kondensations-Zahl

Lewis-Zahl

Nußelt-Zahl

( des Fluids)

Peclet-Zahl

Prandtl-Zahl

Rayleigh-Zahl

Reynolds-Zahl

Schmidt-Zahl

Sherwood-Zahl

Stanton-Zahl

Weber-Zahl

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2

1. Wärmeleitung

1.1 Herleitung der Gleichungen für Temperaturfelder (reine Wärmeleitung)

Energiebilanz

( ) ( ) ( ) (1)

volumenbezogene Wärmequelle

volumenbezogene Wärmesenke

ourier’sches Gesetz

(2)

(3)

(4)

Satz von Taylor (nach erstem Glied abgebrochen)

(

) (5)

(

) (6)

𝑥

𝑦

𝑧

��𝑦 𝑑𝑦

��𝑥 ��𝑥 𝑑𝑥

��𝑧

��𝑧 𝑑𝑧

��𝑦

infinitesimaler Würfel

mit den Kantenlängen

dx, dy, dz

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3

(

) (7)

innere Energie für Feststoffe und Flüssigkeiten

( )

( )

(8)

setzt man die Gleichungen (2)-(8) in (1) ein, so folgt für konstante Stoffwerte mit

[

]

volumenbezogene Wärmequelle

volumenbezogene Wärmesenke

Zusammenstellung der Gleichungen für den allgemeinen Fall eines Temperaturfeldes mit konstanten

Stoffwerten

kartesische Koordinaten

[

]

Zylinder-Koordinaten

[

]

Kugel-Koordinaten

[

( )

( )

( )

]

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4

1.2 Wärmeleitfähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur für verschiedene Stoffe

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5

1.3 Kontaktkoeffizienten für verschiedene Materialpaarungen als Funktion des

Anpressdrucks

aus: [14]

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6

1.4 Formkoeffizienten der stationären mehrdimensionalen Wärmeleitung

( )

ebene Wand

koaxiale Rohre

( )

exzentrische Rohre

(

)

Rohr im Dreickskanal

( )

Rohr im quadratischen Kanal

( )

Quadratischer Kanal in einem Rohr

( )

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7

konzentrische Quadrate

(

)

für

(

) für

Rohr in einem Rechteck-Kanal

(

)

b/a 1 1,5 2 3 5

K 0,0829 0,01781 0,0037 0,00016 3,01*10-7

0

Rohr im ausgedehnten Medium

(

)

Rohr im Erdboden

( )

Hohlkugel

Einzelkugel im ausgedehnten Medium

Zwei Kugeln im unendlich –ausgedehnten Medium

(

)

Literatur: International Journal of Heat and Mass Transfer Vol. 18 (1975) pp 751-767

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8

1.5 Wärmeleitung durch Rippen

Energiebilanz für ein infinitesimales Rippenelement (Annahme: Temperatur über Querschnittsfläche A

konstant)

(1)

mit

( )

(2)

(

) ( )

(

( ( ) )

) (3)

( ) ( ) (4)

(2), (3), (4) in (1) eingesetzt folgt für konstante Querschnittsfläche , konstanten Umfang mit der

Übertemperatur und

Mit den Randbedingungen ( ) (Rippengrundfläche und Rippenfuß haben dieselbe

Temperatur) und (

)

(adiabate Rippenspitze) lautet die Lösung für die DGL

( )

[ ( )]

( )

Rippenwirkungsgrad

∫ ( )

( )

( )

Wegen des Wärmeleitwiderstands ist die Temperatur der Rippe kleiner als die Temperatur an der

Rippengrundfläche

Wärmestrom durch berippte Geometrie (vgl. Skizze)

( ) ( ) ( ) ( )

𝑑𝑥

��

��𝐺

��𝑅 ��𝑥 ��𝑥 𝑑𝑥

𝑑��𝑘𝑜𝑛𝑣

𝐿

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9

1.6 instationäre, eindimensionale Wärmeleitung: Spezialfälle

Normierung:

( )

( )

𝜗 𝜗(𝑥 𝑡)

für einfache Geometrie

(unendliche Platte, Zylinder,

Kugel):

Reihenentwicklung

Θ 𝑒𝑥𝑝 ( 𝛼𝐴

𝑚𝑐𝑝𝑡)

Bi<<1

(Wärmeleitwiderstand bzw.

Temperaturgefälle im Körper

vernachlässigbar)

𝜗 𝜗(𝑡): 𝜗 𝜗(𝑥 𝑡)

Bi>>1

(Wärmeleitwiderstand

dominant)

für 𝑡 → oder 𝑡 →

Error-Funktion

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10

1.6.1 unendliche Platte

Normierung:

Anfangsbedingung: ( )

Randbedingungen: (

)

(

)

Lösung: ∑ ( ) (

)

Eigenwerte für verschiedene -Zahlen

0,000 0,000

0,001 0,032 3,142 6,283 9,425

0,002 0,044 3,142 6,284 9,425

0,005 0,071 3,143 6,284 9,425

0,01 0,100 3,145 6,285 9,426

0,02 0,141 3,148 6,286 9,427

0,05 0,222 3,157 6,291 9,430

0,1 0,311 3,173 6,299 9,435

0,2 0,433 3,204 6,315 9,446

0,5 0,653 3,292 6,362 9,447

1,0 0,861 3,426 6,437 9,529

2,0 1,079 3,644 6,578 9,630

5,0 1,314 4,034 6,910 9,893

10 1,428 4,305 7,229 10,200

20 1,498 4,491 7,495 10,513

50 1,536 4,619 7,703 10,783

�� ��

𝑋

𝑥

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11

�� ��

𝑋

𝜃𝑤

𝜃0

𝜗𝑤 𝜗∞

𝜗0 𝜗∞

normierte Temperatur der Plattenoberfläche

normierte Temperatur der Plattenmitte

normierte kalorische Mitteltemperatur der Platte

𝜃𝑚

𝜃0

𝜗𝑚 𝜗∞

𝜗0 𝜗∞

𝜃

𝜃0

𝜗 𝜗∞

𝜗0 𝜗∞

𝐵𝑖 𝛼 𝑋 𝜆

𝜃

𝜃0

𝑉 ∫

𝜃

𝜃0 𝑑𝑉

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12

1.6.2 unendlicher Zylinder

𝑅

𝜃𝑤

𝜃0

𝜗𝑤 𝜗∞

𝜗0 𝜗∞

normierte Temperatur der Zylinderoberfläche

normierte Temperatur der Zylinderachse

normierte kalorische Mitteltemperatur des Zylinders

𝜃𝑚

𝜃0

𝜗𝑚 𝜗∞

𝜗0 𝜗∞

𝜃

𝜃0

𝜗 𝜗∞

𝜗0 𝜗∞

𝐵𝑖 𝛼 𝑅 𝜆

𝜃

𝜃0

𝑉 ∫

𝜃

𝜃0 𝑑𝑉

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13

1.6.3 Bi unendlich

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14

1.6.4 halbunendlicher Körper, Kurzzeitlösung: Abkühlung einer Platte

DGL der eindimensionalen Wärmeleitung für eine ebene, halbunendliche Platte mit der Normierung

( ) ( ) ( )

Mit den Anfangs- und Randbedingungen

einheitliche Anfangstemperatur ( )

sprunghafte Änderung der Wandtemperatur auf , die für t>0 konstant bleiben soll

( )

halbunendlicher Körper bzw. Kurzzeitlösung: Temperatur ändert sich nur im Randbereich; für → gilt

( → )

Mit Hilfe der Laplace-Transformation ( ) ( ( )) ∫ ( )

lässt sich diese partielle DGL in eine gewöhnliche DGL im Frequenzbereich umformen.

Zu diesem Zweck kann eine Korrespondenztabelle verwendet werden (z.B. [1]).

Die allgemeine Lösung für die DGL im Frequenzbereich lautet

( ) √

Die Randbedingungen müssen ebenfalls transformiert werden.

Die resultierenden Integrationskonstanten sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

𝜗𝑊

𝜗(𝑥 𝑡 )

𝜗(𝑥 𝑡 )

𝜗

𝜗

𝑥

𝑡 𝑡

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15

Zeitbereich Frequenzbereich

( ) ( )

( → ) ( → )

Lösung im Frequenzbereich ( )

Diese Lösung kann mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation in den Zeitbereich

zurücktransformiert werden. Hierfür können ebenfalls Korrespondenztabellen verwendet werden (vgl.

[1]).

Lösung

( ) mit

( )

√ ∫

: Gauß’sches ehlerintegral rror unction

Für die Erwärmung einer halbunendlichen Platte und sonst identischen Anfangs- und

Randbedingungen ergibt sich dieselbe Lösung. (hier: umgeformt)

Lösung

( ) mit

Für den übertragenen Wärmestrom gilt

(

)

Nach Auflösen der Lösung nach und Einsetzen der Definition der Error-Funktion erhält man

( ( )) ( )

√ ∫

Mit Hilfe der Kettenregel lässt sich

folgendermaßen berechnen

( )

Für den Wärmestrom gilt schließlich

�� 𝜆𝐴 (𝜕𝜗

𝜕𝑥)𝑥

𝜆𝐴(𝜗 𝜗𝑤)

√𝜋𝑎𝑡

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16

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17

2. konvektiver Wärmeübergang

2.1 Erhaltungssätze für strömende Fluide

2.1.1 Kontinuitätsgleichung

Bilanz

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Satz von Taylor (nach erstem Glied abgebrochen)

( ) (6)

( ) (7)

( ) (8)

Durch Einsetzen von (2)-(8) in (1) und anschließende Division durch folgt

[

( )

( )

( )] (9)

��𝑧 𝑑𝑧 ��𝑦 𝑑𝑦

��𝑦

��𝑥 𝑑𝑥 ��𝑥

infinitesimaler Würfel mit

den Kantenlängen dx,

dy, dz

𝑥

𝑦

𝑧

��𝑧

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18

Sonderfälle Vereinfachungen resultierende Gleichung

stationäre Strömung

( )

( )

( )

inkompressible Strömung

( )

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19

2.1.2 Energiegleichung

Unter Vernachlässigung von kinetischer und potentieller Energie gilt:

Bilanz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(1)

mit

Wärmeleitung volumenbezogene Wärmequelle (+) /Wärmesenke (-)

Enthalpiestrom volumenbezogene zeitl. Arbeit der Reibungskräfte

zeitliche Druckänderungsarbeit

( )

(2)

Die Terme in der x-Richtung können durch folgende Gleichungen ersetzt werden.

(analog für y- und z-Richtung)

(3)

(4)

(5)

(

) (

(

) )

(6)

( )

(7)

��𝑧 𝑑𝑧 ��𝑧 𝑑𝑧 ��𝑦 𝑑𝑦 ��𝑦 𝑑𝑦

��𝑦 ��𝑦

��𝑥 𝑑𝑥 ��𝑥 𝑑𝑥 ��𝑥 ��𝑥

infinitesimaler Würfel mit

den Kantenlängen dx,

dy, dz

𝑥

𝑦

𝑧

��𝑧 ��𝑧

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20

setzt man die Gleichungen (2)-(8) für alle Koordinatenrichtungen in die Bilanzgleichung (1) ein, folgt

( )

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

(8)

Durch teilweises Ausdifferenzieren und Einsetzen der Kontinuitätsgleichung kann Gleichung (8)

folgendermaßen geschrieben werden

(

)

(

)

(

)

(9)

wobei für ein Newton‘sches Fluid mit Hilfe des Stokes‘schen Reibungsgesetzes ausgedrückt

werden kann

[ ((

)

(

)

(

)

) (

)

(

)

(

)

(

)

]

(10)

Sonderfälle resultierende Gleichung

ideales Gas, ohne Reibungsterme

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

inkompressible Flüssigkeit mit konstanten Stoffwerten und ohne Reibungsterme

(

( ))

(

( ))

(

( ))

eingesetzt in (9)

(

)

((

)

(

)

(

)

)

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21

2.1.3 Impulsgleichung (Bewegungsgleichungen), Navier-Stokes-Gleichungen

für ein inkompressibles ( ) Ne ton’sches luid it

gilt für die x-,y- und z-Richtung

(

)

(1)

(

) (2)

(

) (3)

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22

2.2 Prandtl’sche Grenzschichttheorie

Für eine ebene, stationäre Plattenströmung eines inkompressiblen Fluids lauten die Gleichungen für

Masse, Energie und Impuls wie folgt

(

)

(

)

(

)

[ (

)

(

)

(

)

]

Nach Einführung dimensionsloser Größen, abschätzen der Größenordnungen und Rücktransformation

auf dimensionsbehaftete Größen folgt schließlich (siehe z.B. [1])

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23

2.3 hydraulische Durchmesser für verschiedene Geometrien

allgemeine Gleichung:

Kreisrohr

Rechteckkanal

Ringrohr

Spalt

Rohrbündel

offener Rechteckkanal

Halbkreis

Dreieckkanal

( )

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24

2.4 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion

- Die charakteristische Länge zur Berechnung der dimensionslosen Kennzahlen ist der Skizze auf

der linken Seite und dem Index der Kennzahlen zu entnehmen. Der Index steht für die lokale Nu-

Zahl.

- Sind für einen Anwendungsfall mehrere Nu-Korrelationen angegeben, so wird die erste, die im

Gültigkeitsbereich liegt, empfohlen (fetter Rahmen). Befindet sich nach der jeweils ersten Korrelation

eine Leerzeile, so wurde die erste Korrelation dem VDI-Wärmeatlas entnommen.

- Als Bezugstemperatur für die Stoffwerte ist bei der erzwungenen Konvektion der arithmetische

Mittelwert zwischen Ein- und Austritt zu verwenden

Die Nusseltkorrelationen, die dem VDI-Wärmeatlas entnommen wurden, können zur Erhöhung der

Genauigkeit um einen zusätzlichen Term ergänzt werden, der die Temperaturabhängigkeit der

Stoffwerte berücksichtigt:

Geometrie Fluid Kühlen (

) Heizen (

)

durchströmte Rohre,

Ringspalt

Flüssigkeit (

)

für

Gas

(

)

für

(

)

für CO2:

(

)

für überhitzten H2O-Dampf :

längsangeströmte

Platte Flüssigkeit (

)

querangeströmte

Rohre, Drähte und

Profilzylinder

Flüssigkeit (

)

Gas (

)

querangeströmte Rohrbündel Flüssigkeit (

)

(

)

Gas für Luft

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25

2.5 Nu-Korrelationen für erzwungene Konvektion

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr längsangeströmte

ebene Platte

√ √

Pohlhausen

√ √

laminar

Petukhov/Popov

(

⁄ )

turbulent

Gnielinski

√ √

laminar

Eckert/Drake

√ √

√ √

Leveque →

turbulent

Reynolds-Analogie

Colburn

Kays/Crawford laminar

Kays/Crawford turbulent

teilweise beheizt

Chapman/Rubesin

√ √

[ (

)

]

laminar

[ (

)

]

turbulent

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26

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr durchströmte Rohre

Martin

[ ( )

]

mit

(

)

im Einlaufbereich (

)

(

)

sonst

laminar

Gnielinksi

√ ( )

[ (

)

]

mit ( ( ) )

turbulent

Gnielinski

( )

mit

Übergangsbereich

Hausen

[ (

)

( ) ] (

)

laminar

Schlünder

laminar

(

)

Kraussold

laminar

genau für L/d=200

(

)

Elser laminar

Sieder /Tate

(

)

(

)

laminar

(

)

Stephan

(

)

( ) (

)

laminar

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27

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr durchströmte Rohre

Gnielinski

( ) [ (

)

]

turbulent

Gnielinski

( ) [ (

)

]

turbulent

(

)

Hausen turbulent

Hausen

( )( )

[ (

)

] (

)

turbulent

(

)

Kraussold

Elser

(

)

Michejew

Prandtl-Taylor-Analogie

( )

durchströmte Rohre [

( )

]

mit

(

)

im Einlaufbereich (

)

sonst

laminar

Gnielinski

√ ( )

[ (

)

]

mit ( ( ) )

turbulent

Gnielinski

( )

mit

Übergangsbereich

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28

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr Rohrwendel

Schmidt

( ( (

)

)

) (

)

mit (

)

( (

)

)

laminar

( (

)

)

Gnielinski

√ ( )

(

)

mit

0 (

)

turbulent

Gnielinski

( )

mit

( (

)

)

Übergangsbereich

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29

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr Ringspalt

3 Fälle der Wärmeübertragung

I. am Innenrohr (Außenrohr ) II. am Außenrohr (Innenrohr ) III. an beiden Rohren

Martin

(

(

) (

)

)

im Einlaufbereich (

)

(

)

sonst

laminar

I. (

) ( (

)

)

(

)

II. (

) ( (

)

)

(

)

III. (

) ( (

)

)

[

] (

)

im Einlaufbereich (

)

(

)

sonst

I. Petukhov/Roizen

(

)

turbulent

II. Petukhov/Roizen

(

)

III. Stephan

(

)

[ (

)

]

Gnielinski

( )

mit

Übergangsbereich

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30

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr querangeströmte

Rohre, Drähte und Profilzylinder

:

Gnielinski

mit √ √

(

⁄ )

(

) Hilpert

(

) Reiher

(

) Hilpert

(

) Reiher

(

) Hilpert

(

) Hilpert

(

) Hilpert

(

) Reiher

(

) Reiher

(

) Reiher

querangeströmter Zylinder

Ulsamer

Ulsamer

Hilpert/Ulsamer

Ulsamer

King

Reiher

Hilpert/Ulsamer

( ) Eckert

( ) Eckert

( ) Eckert

Whitaker

(

) (

)

𝐷 𝑤

𝜗

𝑤

𝜗

𝑤

𝜗

𝑤

𝜗

𝑤

𝜗

𝑤

𝜗

𝑤

𝜗

𝑤

𝜗

𝑤

𝜗

𝐷

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Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr Kugel

Gnielinski

mit

√ √

(

⁄ )

Brunn/Isewin

( )

( )

( → )

( )

Kutjaktschev laminare Grenzschicht

Whitaker

(

) (

)

Brauer/Sucker

( ( )

)

( )

( )

Mc Adams

turbulente Grenzschicht

Brunn/Isewin

(

)

( → )

𝑤

𝜗

𝐷

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Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr querangeströmte

Rohrbündel

fluchtend

versetzt

Hohlaumanteil

für

für

Einfluss der Anzahl an Rohrreihen

( )

für

für

fluchtend

( )

versetzt

fluchtend (Michejew)

(

)

versetzt (Michejew)

(

)

√( )

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Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr querangeströmte

Rohrbündel

fluchtend

fluchtend (Zhukauskas)

(

)

Stoffwerte außer bei

Einfluss der Anzahl an Rohrreihen

(

)

für

für

versetzt

versetzt (Zhukauskas)

(

)

( ) für

( )

für

Einfluss der Anzahl an Rohrreihen

(

)

für

für

(

)

bei

bei

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34

2.6 freie Konvektion an einer senkrechten Wand

Für freie Konvektion gelten ebenso wie für erzwungene Konvektion die Grenzschichtgleichungen aus

Kapitel 2.2. Zusätzlich werden folgende Annahmen getroffen:

1) alle Stoffwerte außer ( ) in den Impulsgleichungen sind konstant

2) Energiedissipation vernachlässigt

3) mit ( ) und dynamische Druckänderungen

gering ( ( ) )

aus 1) folgt, dass die Dichte in einer Taylorreihe um den Referenzpunkt entwickelt werden kann

(Abbruch nach dem ersten Glied). Des Weiteren wird der thermische Ausdehnungskoeffizient und

( ) eingeführt.

( ) ( ) (

) ( ) ( ) (1)

Durch Einsetzen der Annahmen 1)-3) und Gleichung (1) in die Grenzschichtgleichungen aus 2.2 erhält

man die folgenden Gleichungen

Bewegungsgleichung

( )

Kontinuitätsgleichung

Energiegleichung

(

)

Des Weiteren gelten folgende Randbedingungen

:

→ :

𝛿

𝛿𝑡

𝑤𝑥

𝜃

𝑦

𝑥

𝜃 𝜗 𝜗

𝛿𝑡: thermische Grenzschichtdicke

𝛿 : hydraulische Grenzschichtdicke

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35

Diese Gleichungen können durch Einführen einer Stromfunktion ( ) unter Analogiebetrachtungen

auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen reduziert werden.

Le Fevre ermittelte aus der numerischen Lösung von Ostrach folgende Interpolationsgleichung.

Für detaillierte Informationen sei auf [7] und [10] verwiesen.

𝑁𝑢𝐿

𝑅𝑎𝐿

(

𝑃𝑟

√𝑃𝑟 𝑃𝑟)

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2.7 Hinweise zur Verwendung der Nu-Korrelationen für freie Konvektion

- Die charakteristische Länge zur Berechnung der dimensionslosen Kennzahlen ist der Skizze auf

der linken Seite und dem Index der Kennzahlen zu entnehmen. Der Index steht für die lokale Nu-

Zahl

- Sind für einen Anwendungsfall mehrere Nu-Korrelationen angegeben, so wird die erste, die im

Gültigkeitsbereich liegt, empfohlen (fetter Rahmen). Befindet sich nach der jeweils ersten Korrelation

eine Leerzeile, so wurde die erste Korrelation dem VDI-Wärmeatlas entnommen.

- Bezugstemperatur für Stoffwerte

alle Stoffwerte außer

- Es besteht die Möglichkeit, mit Hilfe der Grashofzahl eine äquivalente Reynoldszahl zu

berechnen und Gleichungen für erzwungene Konvektion zu verwenden.

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2.8 Nu-Korrelationen für freie Konvektion

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Ra Pr senkrechte Wand

( [ ( )]

)

Churchill/Chu

mit ( ) ( (

)

)

turbulent/laminar

( )

( )

laminar

turbulent

horizontale und schwach geneigte Platte

Wärmeabgabe

Oberseite/ Kühlung Unterseite

allgemein:

Reckteckplatte:

( )

Kreisplatte:

( ( ))

mit

( ) ( (

)

0)

laminar ( )

( ( ))

turbulent ( )

Stewartson

Wärmeabgabe

Unterseite/ Kühlung auf Oberseite

allgemein:

Reckteckplatte:

( )

Kreisplatte:

( ( ))

mit ( ) ( (

)

)

laminar

( )

quadratische Platte

Kreisplatte

unendlich langer Streifen

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Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Ra Pr steil geneigte Platte

Fuji/Imura

( ( )) (

)

mit der Näherungsfunktion

( )

turbulent

senkrechter Zylinder

horizontaler Zylinder

Churchill/Chu

( ( ( )) )

mit ( ) ( (

)

)

Hermann/ Jodlbauer

( )

laminar

speziell: dünne Drähte

(

)

Kugel

Raithby/Hollands

(

)

( [ ( )] )

mit ( ) ( (

)

)

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39

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Ra Pr Würfel

Sparrow/Stretton

(

( ))

mit ( ) ( (

)

)

: Projektionsfläche des Würfels auf

eine Fläche senkr. zur Erdbeschleunigung

: gesamte Oberfläche

Bovy/Woelk

(

( ))

mit ( ) ( (

)

)

( )

horizontales Rippenrohr

„glattes Rohr it reisri en“

(

)

lichter Abstand zwischen den Rippen

Durchmesser des Kernrohres

Rippenhöhe

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3. Kondensation

3.1 Filmkondensation an einer senkrechten Wand: Nusselt’sche Wasserhauttheorie

(W. Nusselt: Die Oberflächenkondensation des Wasserdampfes; Zeitschrift VDI 60 (1916), S.541 ff.)

Annahmen: - Stoffwerte sind konstant; stationäre, eindimensionale Strömung; Tiefe B

- Grenzfläche Flüssigkeit-Dampf hat Sättigungstemperatur

- Temperaturverteilung im Film ist laminar

- Kondensatfilm strömt laminar

- Enthalpieunterschiede im Film infolge Unterkühlung sind vernachlässigbar

Aus der Bilanz der wirkenden Kräfte (1) im Kondensatfilm (vgl. Skizze) folgt Gleichung (2)

Bilanz ( (

)) ((

) ) (1)

(2)

Für ein Ne ton’sches luid gilt

. Eingesetzt in (2) folgt

Benetzbarkeit der Wand

𝑑𝑥 𝑑�� 𝑑��

𝜗𝑠

𝛿𝑥

𝑤𝑥

𝑦

𝑥 𝑤𝑥 𝜗

Kondensatfilm

𝜗𝑤

𝜏𝑦 𝜏𝑦 𝑑𝑦

𝑝𝑥

𝑝𝑥 𝑑𝑥

𝐹𝑔

Kräftebilanz für die

Flüssigkeit Energiebilanz für die

Flüssigkeit

𝑤 𝑚

𝑠

𝑤 𝑚

𝑠

Kondensation

ruhende Dämpfe strömende Dämpfe

Filmkondensation Tropfenkondensation

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41

(3)

Der Dampf befindet sich in Ruhe. Somit entfallen bei der Impulsbilanz des Dampfraums die

Schubspannungen. Man erhält somit

(4)

Mit Hilfe von Gleichung (4) kann der Druckterm in Gleichung (3) eliminiert werden. Dadurch erhält man

folgende gewöhnliche Differentialgleichung

(5)

Durch zweimalige Integration von Gleichung (5) mit den Randbedingungen erhält man eine Gleichung

für die Geschwindigkeit des Kondensatfilms (6).

:

:

( )

[

(

)

] (6)

Die mittlere Geschwindigkeit erhält man durch Integration über die Filmdicke

∫ ( )

Aus der Geschwindigkeit lässt sich mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung der Kondensatmassenstrom

berechnen, der eine Funktion von ist.

( ) ( )

(7)

Bei der Kondensation wird die Verdampfungsenthapie frei. Dabei wird angenommen, dass dieser

Enthalpiestrom mittels reiner Wärmeleitung durch den Kondensatfilm an die Wand abgegeben wir, da

der thermische Widerstand des Kondensatfilm am größten ist.

( ) (8)

In Gleichung (8) ist sowohl der Massenstrom als auch die Kondensatfilmdicke unbekannt.

Dementsprechend wird eine weitere Gleichung benötigt. Zu diesem Zweck wird das totale Differential

des Kondensatmassenstroms mit Hilfe von Gleichung (7) herangezogen.

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(9)

Mit Hilfe von Gleichung (9) und der Randbedingung ( ) kann Gleichung (8) integriert

werden. Man erhält

( ) [ ( )

( )

]

(10)

Der örtliche Wärmeübergangskoeffizient berechnet sich zu

( ) [

( )

( )

]

(11)

Daraus lässt sich schließlich der mittlere Wärmeübergangskoeffizient über der Höhe berechnen

[ ( )

( )

]

(12)

Unter der Voraussetzung, dass folgt

𝛼𝑚 [𝜌𝐹 𝑔 Δ 𝑣 𝜆𝐹

𝜂𝐹 (𝜗𝑠 𝜗𝑤)

𝐻]

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43

3.2 Nu-Korrelationen für Kondensation

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr Filmkondensation an senkrechter Platte,

Innen- und Außenseite senkrechter Rohre

Rohr:

Platte:

B: Filmbreite

H: Höhe der Platte

: Filmdicke

: Kondensatmassen- strom

: mittlere Geschwindigkeit des Kondensats

[

( )

]

laminar

Isashenko

(

)

Reynoldszahl des Kondensats an der Stelle x

[ (

)

( )]

( )

(

)

turbulent

√( )

Übergangsbereich

Filmkondensation am waagerechten Rohr

(außen) [

( )

]

(

)

laminar

Filmkondensation am Rohrbündel mit z

übereinander liegenden waagerechten Rohren

Chen

[ ( )

( )]

Bezugstemperatur für Stoffwerte

laminar

𝛿

𝑥 𝐿 𝐻

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Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr Tropfenkondensation

an senkrechten Flächen

für reinen H2O-Dampf

- für Kupferflächen

mit in [kW/(m2K)]

in [kW/m2]

- für Flächen, die nicht aus Kupfer sind

( )

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45

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeits- bereich

Re Pr Filmkondensation

strömender Dämpfe im senkrechten Rohr

Carpenter & Colburn

mit Massenstrom des Dampfes

Strömungsquerschnitt

( ) Widerstandsbeiwert, z.B. nach

Blasius

mittlere Massenstromdichte

(

)

und sind Massenstromdichten am Ein- bzw Austritt des Rohres.

Die Reynoldszahl ist zu berechnen, als ob kein Kondensat im Rohr sei.

Filmkondensation strömender Dämpfe

im waagerechten Rohr

Chato

[ ( )

( ) ]

mit ( )

Schichtenströmung tritt auf, wenn am Rohreintritt gilt:

Bezugstemperaturen: für den Dampf

für das Kondensat

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46

4. Sieden

4.1 Nukiyama-Diagramm und Nu-Korrelationen für Behältersieden

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Ra Pr (1): konvektives Sieden

( )

laminare Grenzschicht

( )

turbulente Grenzschicht

(2): Blasensieden

Gorenflo

(

)

(

) (

)

arithmetischer Mittenrauwert

Bezugswert

Für die Druckabhängigkeit des Exponenten n gilt:

für Fluide außer Wasser und Helium: (

)

für Wasser: (

)

��

( )

( )

( )

( )

(𝑇𝑤 𝑇𝑠)

(𝛼)

𝑤 𝑚

𝑠 𝑤

𝑚

𝑠

Sieden

Behältersieden Strömungssieden

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47

Die Druckfunktion (

) ist für

:

für Fluide außer Wasser: (

) (

)

(

)

für Wasser: (

) (

)

(

(

) ) (

)

Der Bezugswert kann der folgenden Tabelle entnommen werden

aus [15]

𝑏𝑎𝑟

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48

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeits-bereich

Ra Pr (2): Blasensieden

Rohsenow

( )

(

)

wobei √

( ) Laplace-Koeffizient

Stoffwerte bei Sättigungszustand

Konstante (Material/Fluid-Paarung)

Wandmaterial Flüssigkeit p [bar] C1

Platindraht Ø 6mm Wasser 1 bis 170 0,013

Chromplatte

waagerecht Benzol 1 bis 44 0,010

Chromplatte

waagerecht Ethanol 1 bis 52 0,003

Chromplatte

waagerecht n-Pentan 1,5 bis 29 0,015

Messingrohr

waagerecht

Ø 38mm

Wasser 0,1 bis 15 0,006

Blasenabreißdurchmesser

( )

mit Randwinkel im Gradmaß

für Wasser

für andere Flüssigkeiten

für Tiefsieder

Blasenablösefrequenz

( )

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49

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeits-bereich

Ra Pr (3): kritische Wärmestromdichte

[ ( )]

Kutateladze/Zuber

typisch:

(4): Filmsieden

Bromley

[

(

)

]

mit

( ( )) [

( ) ( )

]

horizontale Rohre 0,62 Durchmesser

vertikale Rohre 0,80 Länge

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4.2 Strömungsformen und Nusselt-Korrelationen für Strömungssieden

waagerechtes Rohr

senkrechtes Rohr

aus [15]

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51

Strömung Nusselt-Zahl Gültigkeitsbereich

Re Pr Strömungssieden

Vaihinger

mit

( )

,

,

,

,

,

( ) ,

Blasenabreißdurchmesser

Blasenablösefrequenz

Sieden bei Ringströmung

Dengler und Addoms

(

)

mit

(

)

(

)

(

)

(

)

Rohrdurchmesser

Massenstromdichte

Martinelli-Parameter

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5. typische -Werte

Transportmechanismus Medium Bereich von

[

]

Mittelwert von

[

]

freie Konvektion

Gas 1-60 10

Wasser 300-600 500

erzwungene Konvektion

Gas 10-250 50

Öl 50-1000 200

Wasser 500-2500 1000

Blasensieden Wasser 2500-50000 10000

Filmkondensation

organische Dämpfe 1000-2000 1000

Wasser 5000-15000 10000

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53

6. Wärmestrahlung

6.1 Herleitung des Strahlungsaustauschs zwischen zwei parallelen Platten

Annahme: Strahlung von Platte 1 trifft vollständig auf Platte 2 und umgekehrt

( )

eingesetzt

( )

( )

aufgelöst nach bzw.

( )

( )(

)

( )

( )(

)

übertragener Nettowärmestrom

��𝑎𝑏

��𝑎𝑏

2 1

�� 휀 휀

𝐴 𝐶𝑠 (𝑇 𝑇

)

휀 휀

휀 휀

𝐶𝑠

𝐴 (𝑇 𝑇

)

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54

6.2 Strahlungsaustausch für verschiedene Geometrien

Für konzentrische Kugeln, konzentrische Zylinder:

A1: umschlossene Fläche

A2: umschließende Fläche

(

)

( )

Für parallele Platten:

A1=A2=A

(

)

Für A2>>A1 (

)

Diffuse Strahler mit :

Sichtfaktor für die geometrische Anordnung, siehe folgende Tabelle

( )

( )

( )

[ (

) (

) √ (

√ ) ]

[

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ]

�� 휀 휀

𝐴 𝜑 𝐶𝑠 (𝑇 𝑇

)

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6.3 Emissionsverhältnisse verschiedener Stoffe

Emissionsverhältnis der Strahlung in Richtung der Flächennormalen und über den halben

Raumwinkel für verschiedene Oberflächen bei Temperaturen

Oberfläche [ ]

Gold 130 0,018

400 0,022

Kupfer, poliert 20 0,030

Kupfer, leicht angelaufen 20 0,037

Kupfer, oxidiert 130 0,76 0,725

Aluminium, walzblank 170 0,039 0,049

500 0,050

Aluminiumbronzeanstrich 100 0,20-0,40

Eisen, blank geschmirgelt 20 0,24

Eisen, angerostet 20 0,61

Eisen, stark verrostet 20 0,85

Heizkörperlack 100 0,925

schwarzer Lack, matt 80 0,970

Ziegelstein, Mörtel, Putz 20 0,93

Glas 90 0,94 0,876

Eis (glatt), Wasser 0 0,966 0,918

Eis, rauher Reifbelag 0 0,985

Holz (Buche) 70 0,935 0,91

Dachpappe 20 0,93

(nach E. Eckert und E. Schmidt)

Näherung: - für blanke Metalloberflächen

- für andere Oberflächen (glatt)

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7. Herleitung der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz für Gleichstrom

Energiebilanzen für beide Stoffströme

Abkühlung des warmen Mediums 1 (1)

Erwärmung des kalten Mediums 2 (2)

wobei und ( )

Umfang

eingesetzt und umgeformt

( ) (3)

( ) (4)

Subtraktion (3)-(4) ( ) (

) ( ) (5)

nach Einführen der Übertemperatur kann Gleichung (5) integriert werden, wobei

angenommen wird, dass und unabhängig von x sind

(

) ∫

(6)

mit (

) (

) (7)

𝜃𝑎𝑢𝑠 𝜗 𝑎𝑢𝑠 𝜗 𝑎𝑢𝑠

𝜃𝑒𝑖𝑛 𝜗 𝑒𝑖𝑛 𝜗 𝑒𝑖𝑛

𝜗

𝜗

𝜗

𝑥

𝑑𝑥 𝑥

𝜗 𝑒𝑖𝑛 𝜗 𝑎𝑢𝑠 �� 𝑐𝑝

�� 𝑐𝑝 𝜗 𝑎𝑢𝑠 𝜗 𝑒𝑖𝑛 �� 𝑥 �� 𝑥 𝑑𝑥

�� 𝑥 �� 𝑥 𝑑𝑥

𝑑��

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Um aus Beziehung (7) eine Gleichung für den übertragenen Wärmestrom zu gewinnen, müssen die

Wärmekapazitätsströme und mit den Energiebilanzen für die beiden Stoffströme

eliminiert werden

( ) ( )

( ) (8)

( ) (9)

nach Einsetzen von (8) und (9) in (7) und Auflösen

(

)

mit

mittlere treibende Temperaturdifferenz

Neben der mittleren treibenden Temperaturdifferenz soll im Folgenden der Temperaturverlauf der

beiden Fluidströme bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird Gleichung (5) unbestimmt integriert. Mit

der Randbedingung ( ) folgt

( ) ( ) ( )

(

)

(10)

Durch Einsetzen von (10) in (3) bzw. (4) und der Randbedingung ( ) kann eine Gleichung für

( ) bestimmt werden

( )

[

(

)

]

( )

[ (

)

]