Acta Math. Hung. 49 (3--4) (1987), 335--337.

U N E CONTRIBUTION A LA STABILITt~ DES ]~QUATIONS D!FFERENTIELLES ORDINAIRES DANS LES ESPACES

L O C A L E M E N T C O N V E X E S

T. KIVENTIDIS (Thessaloniki)

1. Introduction et d6finitions

Soit E un espace vectoriel topologique compl~t localement convexe du type de Hausdorff. On d6note chaque voisinage convexe, balanc6 et absorbant U de l'origine de E, par I1" Ilv la fonctionelle de Minkowski qui correspond fi U, c'est- /t-dire que []Xl]v=inf {2: 2>0 , x~2U}.

I1 est 6vident que {x: Ilx[Iv<l}c S c {x: Ilxllv<= l}. Soit #gun syst6me fondamental de voisinages de l'origine 0, alors {N" I]v: UEq/}

est une famille des semi-normes de E qui engendre la topologie localement convexe de E.

B 6tant un ensemble born6 de E, soit ME(B) la famille de tousles voisinages U~J// telle que B c K + U pour un certain sous-ensemble totalement born6 K de E.

DI~FINITION [1]. Consid6rons la fonction f : JX f2~E , Y=[0, ~), g2cE. On dit que la fonction f est une b-condensation si pour chaque ensemble compact I c J et un ensemble born6 B c f 2 (B n'6tant-pas totalement born6), ME(B) est un sous-ensemble propre de ME(f( IXB)) .

On doit ~t Reich [4] le lemme suivant.

LEMM~ 1. Soit K un sous-ensemble non-vide semi-complet convexe d'un espace vectoriel topologique convexe E. Si une b-condensation continue f : K ~ K aune image bornge, alors elle a un point fixe.

On consid6re l'~quation diff&entielle

(1) 2 = f( t , x), x(to) = xo

Oil fCC(JXE, E) et dans chaque ensemble born~ AEJ• f (A) est born& En utilisant le lemme 1 nous obtenons le lemme suivant dfi/t S. B. Agase [1] et/ t V. M. Millionscikov [3] concernant l'existence de la solution de (1).

LEMME 2. Soit la fonction continue f : J X E ~ E telle que clans chaque ensemble bornd A c J X E , f (A ) est bornd. On dgfinit l'opdrateur T: C(J, E) ~C(J, E) par

t

r(x)(t) = Xo+ f f(~, x(a)ds, t0~J, Xo~E. t

Alors, (i) T e s t continu e ta une image bornde, et

(ii) si la fonction f est une b-condensation, alors T e s t une b-condensation de C(I, E), o~t I=[to, to+a], 0<a<=l .

L' intdgral qui figure dans le Lemme 2 est d6fine comme dans [3].

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2. Th6or6mes de la stabilit6

T I ~ O ~ 1. Soit f E C ( J • E) o~ f ( A ) est bornd et une b-condensation dans chaque A E J • bornd et soit de plus pour (t, x )EJ•

(2) [if(t, x)llv <= g(t, lixiIv), VUE~,

o~ gEC(YXR +, R+). Soit r( t)=r(t , to, U o) la solution maximale (voir [2]) de l' ~quation di ffdrentielle scalaire

(3) ti = g(t, u), U(to) = Uo >= O,

qui est d3finie pour t>=to . Si x ( t )=x( t , to, Xo) est une solution de (1) ddfinie pour t >= t o telle que

Ilx(t0)llv ~ u0, VU~qZ, alors

Ilx(t)lhs <-- r(t), t >- to, VUE~.

Dt~MONSTRATION. Soit x(t) une solution de (1) (Lemme 2) d6finie pour t>=to et telle que IIx(to)llv<=Uo, VUE~. - - O n volt que si m ( t ) = l l x ( t ) l l v , alors m(to)<=Uo . Pour h > 0 suffisamment petit on a

m(t + h ) - m(t) = Ilx(t + h)llt:- llx(t)llo = I[x(t) + h f ( t , x(t)) + e(h) I[tr- IIx(t)llu

o5 e(h)/h+O quand h+0. Comme llxllu est une fonetion loealement Lipsehitzienne par rapport A x (voir [2])

D+llx(t)ll<, ll: (t)ll<, = Ill(t, x(t))ll<, on obtient, par l'hypoth~se (2), l'in~galit6

D+m(t) <= g(t ,m(t)) , tEJ.

En utilisant le th6or6me de comparaison ([2], Th6or6me 1.4.1), on revolt le r6sultat desir& []

T I ~ o ~ 2. Si on suppose que g(t, 0)=0, f ( t , 0)=0 dans le Th~orOme 1 et que la solution nulle u = 0 de t i=g(t , u) est stable (asymptotiquement stable) et l'in~galitd (2) est valable pour ( t ,x)EJ• o~ UoEq/ et pour tous UEql, alors la solution nulle de Yc=f (t, x) est aussi stable (asymptotiquement stable).

D~MONSTRATION. La stabilit6 de la solution nulle, u = 0 entralne clue nous pouvons choisir un e > 0 tel que r(t0)=e et r ( t ) < l , Vt>=to.

On ehoisit r(t) comme la solution maximale de ~=g(t , u), u(t0)=8. On peut conelure du Th6or6me 1 que

Ilx(t)lvo <- r( t) < 1 , Vt >- to,

done x(t)EUo, Vt>=to . Pour ehaque voisinage UEq/, on consid6re le voisinage U ' = U0N U, alors on a

Ux(t)lv, ~ r(t) < 1,

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done x ( t ) E U ' c U . Par eonsrquent, la solution x = 0 est stable. - - Si, en outre, r ( t )~O quand t~oo, il s'ensuit que IIx(t)llv-+0, t - * ~ pour tous le s voisinages UCq/. Ainsi la solution x = 0 est asymptotiquement stable. []

REMARQUES. a) Le Thror rme 2 reste valable quand si l 'on suppose au lieu de la stabilit6 (stabilit6 asymptotique) de u--0, qu'il y a un voisinage B(~) tel que pour chaque solution de (3) qui parte de ce voisinage, reste dans la boule B (1)--{u: lul < 1} et en outre tend vers zero quand t ~ co.

b) Les stabilitrs peuvent-Stre considerres uniformes.

R6ferenees

[1] S. B. Agase, Existence and stability of ordinary differential equations in locally convex spaces, Nonlinear Analysis TMA, 5 (1981), 713--719.

[2] V. Lakshmikantham--S. Leela, Differential and Integral Inequalities, Vol. I, Academic Press (New York, 1969).

[3] V. M. Millionscikov, A contribution to the theory of differential equations 3c=f(t, x) in locally convex spaces, Soviet Math. Dokl., 1 (1960), 288.

[4] S. Reich, Fixed point theorems in locally convex spaces, Math. Z., 125 (1972), 17.

(Recu le 5. ]uin 1984.)

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