Unidad i Logica Simbolica (Para Blog)

ALGEBRA I

UNIDAD I INTRODUCCION A LA LOGICA SIMBOLICA

ALGEBRA I “La matemática honra el espíritu humano” Leibnitz UNIDAD N° 1

INDICE:

Prologo 2Introducción 4Proposición 4Valor de verdad de una proposición 5Términos de enlace o conectivos lógicos 6Clases de proposiciones 6Operaciones proposicionales 7Formulas proposicionales 13Formulas lógicamente equivalentes 13Propiedades de las operaciones proposicionales 14Aplicación a la teoría de circuitos eléctricos 16Inferencia lógica 18Tablas de inferencia 19Métodos para deducir la validez de razonamientos 21Esquemas proposicionales 25Cuantificadores 26Razonamiento deductivo con el uso de cuantificadores 30Bibliografía 32

Autor: Elio Romero Cuéllar Página 2


UNIDAD N° 1

INTRODUCCIÓN A LA LOGICA SIMBÓLICA

PROLOGO.-La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemática, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En la matemática para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para elaborar y revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente, así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Luego; abordamos los métodos de demostración: directo, indirecta, de la demostración condicional y el abreviado, en donde incluye reglas de inferencia. En la ultima parte abordamos los



esquemas proposicionales, en una y dos variables y los cuantificadores.

Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver un problema determinado.

Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado



INTRODUCCION.-

Todo desarrollo matemático exige razonar en forma válida acerca de cosas trascendentes y particularmente abstractas.

Hay que comenzar por eliminar, las ambigüedades del lenguaje ordinario, introduciendo símbolos y conectivos cuyo uso adecuado descarte las contingencias, aporte claridad y economía de pensamiento.

En esta unidad introducimos el concepto de proposición, las operaciones proposicionales y sus propiedades, reglas de inferencia y la cuantificación de esquemas proposicionales cuyo uso estará presente en todas las unidades posteriores.

PROPOSICION.-

La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

DEFINICIÓN.-

Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos decir que es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

También una proposición es toda expresión verbal o escrita de la cual tenga sentido afirmar es verdadera o falsa.

Una proposición es una colección de palabra, números o símbolos, de las cuáles tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa.

Las oraciones interrogativas e imperativas no son proposiciones.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones.

Ejemplo.-

Indicar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y luego explique el porque de su respuesta.

1.- “La tierra es cuadrada”

2.- “17 + 4. log (10) = 21”Autor: Elio Romero Cuéllar Página 5


3.- “x > y - 9”

4.- “Oriente Petrolero es el campeón del apertura”

5.- “¿Como estas?”

6.- “¡Llévame en coche por favor!”

7.- “¡Pásame el marcador!”

Solución.-

Las expresiones de los incisos 1.- y 2.- sabemos que pueden tomar un valor de verdad, falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones. La expresión del inciso 3.- puede ser falsa o verdadera depende del valor asignado a las variables “x” y “y” en determinado momento, por ello esta clase de expresiones se denominan proposiciones abiertas. La expresión del inciso 4.- también es una proposición ya que puede ser falsa o verdadera. Sin embargo las expresiones 5.-, 6.- y 7.- no son proposiciones, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y los otros son ordenes.

NOTACIÓN.-

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas, así como: p, q, r, s, t, …..etc

Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha entre comillas, como se ilustra a continuación:

p: “La tierra es cuadrada”

q: “17 + 4. log (10) = 21”

s: “Oriente Petrolero es el campeón del campeonato apertura”

VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICION.-

Toda proposición al ser tal, trae asociado un valor de verdad. Una proposición puede tener un valor de verdad verdadero o falso.El valor de verdad de una proposición “p” se simboliza de la siguiente manera:

(p) = V, se lee valor de verdad de p verdadero, también se suele representar así: (p) = 1 (p) = F, se lee valor de verdad de p falso, también se suele representar así: (p) = .



TERMINOS DE ENLACE O CONECTIVOS LOGICOS.- Los términos de enlace o conectivos lógicos son:“y”, “o”, “no”, “si ….., entonces ……”, “….. si y solo si …..”

CLASES DE PROPOSICIONES.- Las proposiciones se clasifican en simples o atómicas y compuestas o moleculares.

PROPOSICIONES SIMPLES O ATOMICAS.- Son proposiciones que no se pueden descomponer en otras más sencillas. Son proposiciones completas sin términos de enlace o conectivos lógicos.

PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES.- Las combinaciones de las proposiciones simples mediante los términos de enlace o conectivos lógicos, conforman las proposiciones compuestas

Ejemplo.- Identificar cuáles de las siguientes proposiciones son simples y cuáles son compuestas. Justificar su respuesta.

1.- “Juan es estudioso”2.- “Todo alumno estudia”3.- “Algunos números son primos”4.- “Hoy no es jueves”5.- “ = 5 si y solo si 52 = 5”6.- “La Luna es redonda y de queso”7.- “Mañana estudiamos o trabajamos”

Respuesta.-La proposición 1.- es una proposición simple, pues no tiene término de enlace.La proposición 2.- es una proposición simple, pues tampoco tiene el término de enlace. (Es una proposición universal)La proposición 3.- es una proposición simple ya que no tiene término de enlace. (Es una proposición existencial).La proposición 4.- es una proposición compuesta, ya que tiene el conectivo “no”.La proposición 5.- es una proposición compuesta, pues tiene el termino de enlace si y solo si.La proposición 6,- es una proposición compuesta, ya que tiene el termino de enlace “y”.La proposición 7.- es una proposición compuesta, pues tiene el término de enlace “o”.

OPERACIONES PROPOSICIONALES.-



LA NEGACION.- Se llama negación de la proposición “p” a la proposición obtenida enunciando “p” a continuación de la palabra “no”.

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica esta operación se obtendrá su complemento o negación (falso).

NOTACION.- La negación de la proposición “p”, se simboliza de la siguiente manera: “p”, y se lee “no p”

VALOR DE VERDAD DE LA NEGACION.- Si el valor de verdad de “p” es verdadero, el valor de verdad de “p” es falso.

Si el valor de verdad de “p” es falso, el valor de verdad de “p” es verdadero.

O sea que simbólicamente tenemos:

(p) = V si (p) = F

(p) = F si (p) = V

TABLA DE VERDAD.- La tabla de verdad de una proposición compuesta nos presenta el valor de verdad de esta, considerando todas las combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples componentes.

Si la proposición compuesta esta formada por “n” proposiciones simples, el número de combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples componentes es 2n. (Esta expresión será demostrada posteriormente en la unidad III).

Para determinar cada una de las combinaciones de valor de verdad se puede seguir del siguiente modo.

Supongamos que la proposición compuesta esta integrada por tres proposiciones simples, entonces n=3 y el número de combinaciones de valores de verdad será 23, es decir ocho.



Del número de combinaciones se asignan la mitad verdaderas y la otra mitad falsas en la primer columna, en la segunda columna de la mitad la mitad verdadero y la mitad falso y en la tercer columna la mitad de la mitad verdaderos y la mitad de la mitad falsos y así sucesivamente, siempre la última columna queda intercalando uno verdadero y otro falso. Esta es una forma práctica de obtener todas las combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.

TABLA DE VERDAD DE LA NEGACION.- n=1.

2n= 21= 2 combinaciones de valores de verdad de las proposiciones componentes.

Ejemplo.- Negar las proposiciones siguientes simbólica y verbalmente y luego determinar su valor de verdad.

t: “Hoy hace frío”u: “La aceleración de la gravedad es de 9.81 m/seg2”r: “15 no es multiplo de 2”

Solución.- Para la proposición t:t : “Hoy no hace frío” (t) = V

Autor: Elio Romero Cuéllar Página

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

p p

V F

F V

9


Para la proposición u:u : “La aceleración de la gravedad no es 9.81 m/seg2” (u) =

F

Para la proposición r:r : “no, 15 no es múltiplo de 2” (r) = F

Ejemplo.- Hacer la tabla de verdad de (p), es decir de la doble negación.

LA CONJUNCION O PRODUCTO LOGICO.- La conjunción de las proposiciones “p”, “q” es la proposición obtenida enunciando “q” a continuación de “p”, unidas ambas por la letra “y”.

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero.

NOTACION.- La conjunción de la proposición “p”, “q”; se simboliza de la siguiente manera: “pq”, y se lee “p y q”

VALOR DE VERDAD DE LA CONJUNCION.- (pq) = V, cuando ambas proposiciones son verdaderas. (pq) = F, cuando al menos una de las proposiciones es falsa.

TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCION.-

p q p qV V VV F FF V FF F F

Ejemplo.- Dada la proposición “Pedro es estudioso y María es no es casada”, expresarla simbólicamente.Solución.-p: “Pedro es estudioso”q: “María es no es casada”Expresión simbólica: p (q)

Ejemplo.-Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas.a) “ log 100=2 y 102=100”b) “-3-7=-10 y 3/2 es número irracional”c) “todo número divido por cero es cero y cinco es cuadrado perfecto”



LA DISYUNCION O SUMA LOGICA.-

Para la disyunción se presentan dos clases: la inclusiva y la exclusiva

LA DISYUNCION INCLUSIVA.-La disyunción inclusiva de las proposiciones “p”, “q” es la proposición obtenida enunciando “q” a continuación de “p”, unidas ambas por la letra “o”, en el sentido inclusivo (la una, la otra o ambas). Con esta operación se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera.

NOTACION.- La disyunción inclusiva de la proposición “p”, “q”; se simboliza de la siguiente manera: “pq”, y se lee “p o q, en el sentido inclusivo”, es decir p o q o ambas.

VALOR DE VERDAD DE LA DISYUNCION INCLUSIVA.-

(pq) = F , cuando ambas proposiciones son falsas.

(pq) = V, cuando al menos una de ellas es verdadera.

TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCION INCLUSIVA.-

p q pqV V VV F VF V VF F F

DISYUNCION EXCLUSIVA.-La disyunción exclusiva de las proposiciones “p”, “q” es la proposición obtenida enunciando “q” a continuación de “p”, unidas ambas por la letra “o”, en el sentido exclusivo (la una, la otra pero no ambas).

Con esta operación se obtiene un resultado verdadero cuando ambas tienen valores de verdad diferentes.

NOTACION.- La disyunción exclusiva de la proposición “p”, “q”; se simboliza de la siguiente manera: “p ⊻q”, y se lee “p o q, en el sentido exclusivo”, es decir p o q, pero no ambas

VALOR DE VERDAD DE DISYUNCION EXCLUSIVA.-

(p ⊻q) = F, cuando ambas proposiciones simples son falsas.

(pq) = V, cuando al menos una de ellas es verdadera.

TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCION EXCLUSIVA.-Autor: Elio Romero Cuéllar Página 11


p q p ⊻qV V FV F VF V VF F F

Ejemplo.-Expresar simbólicamente las siguientes proposiciones y determinar luego su valor de verdad.a) “Hoy es jueves o viernesb) “5+9 es una suma o 14”c) “El bebé es hombre o mujer”d) “Te regalo rosas o claveles”

LA CONDICIONAL.-La condicional de dos proposiciones p, q dadas en ese orden, es la proposición condicional de la forma:“Si p, entonces q”“p es condición suficiente para q”“q es condición necesaria para p”“Si p también q”“q cuando p”“ q cada vez que p”“A fin de que q basta que p”

NOTACION.-La condicional de las proposiciones p, q se simboliza de la siguiente manera: “pq”La proposición “p”, se denomina antecedente o hipótesisLa proposición “q”, se denomina tesis o consecuente.

VALOR DE VERDAD DE LA CONDICIONAL.-

(pq) = F, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, en todas las demás opciones es verdadero.

TABLA DE VERDAD DE LA CONDICIONAL.-

p q p qV V VV F FF V VF F V



Ejemplo.- Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta: [(pq)r], si (p) = V

IMPLICACIONES ASOCIADAS.- Las condicionales asociadas son:La Reciproca: La Reciproca de (p q) es (q p)La Contraria: La Contraria de (p q) es (p q)La Contra-reciproca: La contra-reciproca de (p q) es (q p)

PROPOSICIONES EQUIVALENTES.- Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad. Es decir si tienen el mismo valor de verdad para las mismas opciones de valor de verdad de las proposiciones simples que la componen.

Ejemplo.- Establecer cuales de las condicionales asociadas son lógicamente equivalentes.

LA BICONDICIONAL.-La bicondicional de dos proposiciones p, q es la proposición de la forma “p si y solo si q”

NOTACION.-La bicondicional de las proposiciones p, q se simboliza de la siguiente manera: ‘“pq” y se lee:“p si y solo si q”“p es condición suficiente y necesaria par q”“q es condición necesaria y suficiente para p”

VALOR DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL.- La bicondicional tiene un valor de verdad falso, cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso y el valor de verdad de la bicondicional es verdadero, cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. (pq) = F, cuando (p) ≠ (q) (pq) = V, cuando (p) = (q)

TABLA DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL.-

p q p qV V VV F FF V FF F V

La bicondicional se define también como la conjunción de la condicional y la reciproca, es decir: pq (pq) (qp)



FORMULAS PROPOSICIONALES.-DEFINICIÓN.- Una formula proposicional es la combinación de letras y conectivos lógicos de manera tal que al sustituir las letras por proposiciones se obtiene una proposición.

Ejemplo.- (pq) (qp)

(pq) (qp)

CLASIFICACION DE LAS FORMULAS PROPOSICIONALES.- Se clasifican en Tautológicas, antitautologicas y contingencias.

TAUTOLOGICAS.- Son formulas proposicionales que siempre son verdaderas cualquiera sea la combinación de valores de verdad de las proposiciones componentes, es decir tienen su tabla de verdad llena de verdades y solo de verdades.

ANTITAUTOLOGICAS.- Son formulas proposicionales que siempre son falsas cualquiera sea la combinación de valores de verdad de las proposiciones componentes, es decir tienen su tabla de verdad llena de falsedades y solo de falsedades.

CONTINGENCIAS.- Son formulas proposicionales que no son tautológicas ni antitautologicas.

Ejemplo.- Determinar la tabla de verdad de las formulas proposicionales siguientes y luego clasificarlas.

1.- ((pq)p)

2.- [(pq) (qp)]((qr)

3.- [q(pq](p)

FORMULAS LOGICAMENTE EQUIVALENTES.-

Dos formulas son lógicamente equivalentes si toman los mismos valores de verdad cualquiera sea la combinación de los valores de verdad de las proposiciones simples componentes.

Dos formulas son lógicamente equivalentes si y solamente si la bicondicional entre ellas es una verdad lógica (Tautológica).

Ejemplo.- Demostrar la equivalencia lógica de las siguientes formulas proposicionales (pq) y (pq)



PROPIEDADES DE OPERACIONES PROPOSICIONALES.-

PROPIEDAD 1.- IDEMPOTENCIApp p pp p

PROPIEDAD 2.- CONMUTATIVApq qppq qppq qp

PROPIEDAD 3.- ASOCIATIVA[(pq)r] [p(qr)][(pq)r] [p(qr)]

PROPIEDAD 4.- DISTRIBUTIVAp(qr) (pq)(pr)p(qr) (pq)(pr)p(qr) (pq)(pr)p(qr) (pq)(pr)

PROPIEDAD 5.- DOBLE NEGACION (Involución)(p) p

PROPIEDAD 6.- NEGACION DE LAS OPERACIONES BASICAS(pq) p q(pq) p q(pq) p q(pq) p q(pq) p q(pq) p ⊻q

PROPIEDAD 7.- IMPLICACION MATERIALpq p q

PROPIEDAD 8.- CONTRARECIPROCApq q p

PROPIEDAD 9.- LEY DE BICONDICIONALpq (p q) (qp)

PROPIEDAD 10.- IDENTIDADpT ppT TpF FpF p

PROPIEDAD 11.- COMPLEMENTACIONAutor: Elio Romero Cuéllar Página 15

Donde:T es una TautológicaF es una Antitautológica


pp Fpp TT F

Ejemplo.- Usando las propiedades de las proposiciones demostrar que las siguientes formulas son lógicamente equivalentes.

a) [(p q) q] (p q) qb) {[p (p q) ] } F

Solución.- Para demostrar la equivalencia lógica de las formulas dadas, vamos ha partir del miembro de la izquierda para llegar al de la derecha usando en forma sucesiva propiedades de las operaciones proposicionales que sean pertinentes.a)[(p q) q] ( p q) (q) Ley de Morgan

( p q) q Doble negación ( p q ) q Implicación material [( p ) (q )] q Ley de Morgan (p q ) q (lqqd) Doble negación dos veces

a){[p (p q) ] } p (p q) Doble negación

p [ p(q)] Neg. de condicional p (pq) Doble negación (p p) q Asociativa de la F q Complementación F (lqqd) Identidad

Ejemplo.- Usando las propiedades de las proposiciones demostrar la ley de absorción.

(p q) p p

Solución.-(p q) p (p q) (pT)] Identidad

p (q T) Distributiva en sentido inverso p T Identidad p (lqqd) Identidad

APLICACIÓN A LA TEORIA DE CIRCUITOS ELECTRICOS.-

Cada formula proposicional se puede representar por un circuito eléctrico. Para ello primero estableceremos las componentes del circuito.Los interruptores: (o llaves)



Representan las proposiciones de las formulas proposicionales. La proposición es verdadera cuando el interruptor esta cerrado y es una proposición falsa cuando el interruptor esta abierto. Se representa gráficamente de la siguiente forma:

La bombilla eléctrica.- Representa el valor de verdad de la formula proposicional asociada al circuito, es verdadera cuando la bombilla se enciende y es falsa cuando la bombilla se apaga. Se representa de la siguiente manera:

Los cables eléctricos.- Permiten las conexiones entre los interruptores, se representan por líneas.

La fuente de energía.-Da vida al circuito, y se representa por:

Los circuitos se pueden conectar en serie o en paralelo y combinaciones de ambos.

CIRCUITO EN SERIE.- (Conjunción)

Los interruptores conectados en serie representan la conjunción de las proposiciones p, q

CIRCUITO EN PARALELO.- (Disyunción inclusiva)

Autor: Elio Romero Cuéllar Página

p q pqV V VV F FF V FF F F

p q pqV V VV F VF V VF F F

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Si (p) = F

Si (q) = V

qp

(pq)


Los interruptores conectados en paralelo representan la disyunción inclusiva de las proposiciones p, q

Ejemplo.- Construir el circuito lógico de la disyunción exclusiva.(p ⊻q)

Ejemplo.- Construir el circuito lógico mas simple asociado a la siguiente formula proposicional. q [(pq) q]

Solución.-

q [(pq) q] q [(pq) (q)] q [(pq)q] q [(pq)q] q

INFERENCIA LOGICA.-

El proceso de inferir una proposición t de las proposiciones dadas S1, S2, S3,……, Sn, se llama razonamiento y se representa mediante el esquema siguiente:


q

p

(pq)

q


Con esto queremos significar que como las proposiciones s1, s2, s3, ….., sn son verdaderas, por lo tanto t es verdadera. A las proposiciones s1, s2, s3, ….., sn se las denomina premisas del razonamiento y a “t” conclusión.

Se dice que tal razonamiento es valido si y solamente si:(s1 s2 s3 ….. sn) t es una formula tautológica.

Ejemplo.- Sean las proposicionesp: “José es responsable”q: “José formó en la Gabriel”

Este razonamiento es valido si la conjunción de las premisas condicional la conclusión es una formula tautológica.

p q pq (pq)p [(pq)p]qV V V V VV F F F VF V V F VF F V F V

Como podemos observar la formula [(pq)p]q es una tautología.Por lo tanto el razonamiento es valido.

TABLAS DE INFERENCIA.-

REGLA 1.- Modus ponendo ponens.- PPMétodo que afirma el consecuente afirmando el antecedente



REGLA 2.- Modus Tollendo Tollens.- TTMétodo que niega el antecedente negando el consecuente

REGLA 3.- Modus Tollendo Ponens.- TP

REGLA 4.- Regla de simplificación.- S

REGLA 5.- Regla de Adjunción.- A

REGLA 6.- Ley del silogismo hipotético.- SH

REGLA 7.- Ley de adición.- LA

REGLA 8.- Ley del silogismo disyuntivo.- SD

REGLA 9.- Ley de simplificación disyuntiva.- LSD



REGLA 10.- Ley de doble negación.- DN

REGLA 11.- Leyes de Morgan.- LDM

REGLA 12.- Leyes conmutativas.- LC

REGLA 13.- Leyes de las proposiciones bicondicionales.- LPB

REGLA 14.- Regla de las premisas.- P

Una premisa se puede introducir en cualquier punto de la deducción.

Ejercicio.- Demostrar la ley del silogismo disyuntivo.

METODOS PARA DEDUCIR LA VALIDEZ DE RAZONAMIENTOS.- Vamos ha estudiar cuatro métodos o formas para deducir la validez de un razonamiento. El método Directo, el método indirecto, el método de la demostración condicional y el abreviado.

METODO DIRECTO.- Este método consiste en llegar a la conclusión usando reglas de inferencia en forma sucesiva con las premisas iniciales y las intermedias que se van determinando en el proceso deductivo.

Ejemplo.- Esquematizar el razonamiento y deducir su validez usando el método directo.

“Si Javier gano la carrera, entonces José fue el segundo o Abel fue el tercero”



“Si José fue el segundo, entonces Javier no gano la carrera”“Si Marcos fue el segundo, entonces Abel no fue el tercero”“Javier ganó la carrera”Por tanto: “Marcos no fue el segundo”

Solución.-

Primero damos nombre a cada una de las proposiciones simples que constituyen el razonamiento.p: “Javier gano la carrera”q: “José fue el segundo”r: “Abel fue el tercero”t: “Marcos fue el segundo”

Luego simbolizamos cada una de las premisas y tambien la conclusión del razonamiento. Lo que llamamos esquema del razonamiento.

s1: p (qr)s2: q ps3: t rs4: p t

Partimos de las premisas para llegar a la conclusión usando en forma sucesiva las reglas de inferencia.

s1: p (qr)s2: q ps3: t r r ts4: p

s5: q r PP(s1,s4)s6: p t SD(s5,s2,s3)s7: t TP(s6,s4)

El razonamiento es valido.

Ejemplo.- Esquematizar el razonamiento y demostrar su validez usando el método directo.“Si dos es mayor que uno, entonces tres es mayor que uno”“Si tres es mayor que uno, entonces tres es mayor que cero”“Dos es mayor que uno”Por lo tanto: “Tres es mayor que cero”

Solución.-

Primero damos nombre a cada una de las proposiciones simples que constituyen el razonamiento.



t: “Dos es mayor que uno”s: “Tres es mayor que uno”r: “Tres es mayor que cero”

Luego simbolizamos cada una de las premisas y también la conclusión del razonamiento. Lo que llamamos esquema del razonamiento.

s1: t ss2: s rs3: t r

Partimos de las premisas para llegar a la conclusión usando en forma sucesiva las reglas de inferencia.

s1: t ss2: s rs3: t

s4: t r SH(s1,s2)s5: r PP(s4,s3)

El razonamiento es valido.

Ejemplo.- Deducir la validez del siguiente razonamiento, usando el método directo.

s1: h js2: hs3: j g g

METODO INDIRECTO.- Según este método para probar que:(s1 s2 s3 ….. sn) t es una formula tautológica se incluye la negación de la conclusión (t) como premisa y la formula proposicional (s1 s2 s3 ….. sn t) debe ser una falsedad para que el razonamiento sea válido.

Ejemplo.- Deducir la validez del siguiente razonamiento, usando el método indirecto.

s1: p (s j)s2: ss3: p s j

Solución.-s1: p (s j)s2: ss3: ps4: (s j) (Negación de la conclusión)



s5: s j LM(s4)s6: j S(s6)s7: s j PP(s1,s3)s8: s TP(s7,s6)s9: s s A(s2,s2)s10: F El razonamiento es válido.

METODO DE LA DEMOSTRACION CONDICIONAL.-

Para utilizar este método la conclusión del razonamiento debe ser una condicional, y consiste en introducir el antecedente de la conclusión como premisa (verdadera) y con ello se debe establecer la verdad del consecuente de la conclusión, para que el razonamiento sea válido.

Ejemplo.- Deducir la validez del siguiente razonamiento, usando el método de la demostración condicional.

s1: p (q r)s2: q ps3: s r p s

Solución.-s1: p (q r) s2: q ps3: s rs4: p (antecedente de la conclusión)

s5: q r PP(s1,s2)s6: q TT(s2,s4)s7: r TP(s5,s6)s8: s TT(s3,s7)

El razonamiento es válido.

METODO ABREVIADO.-Para deducir la validez de un razonamiento por su definición es necesario construir la tabla de verdad de la formula proposicional (s1 s2 s3 ….. sn) t , este método nos libera de esta tarea.El método consiste en lo siguiente:

Se asigna valor de verdad verdadero a cada una de las premisas y valor de verdad falso a la conclusión.

Con estas condiciones, se determina el valor de verdad de las proposiciones simples que componen el razonamiento. Comenzando por aquella condición que asigna un valor de verdad único a las proposiciones que la componen, y con estos valores y las demás condiciones vamos determinando



los valores únicos de las proposiciones componentes del razonamiento.

Si alguna proposición toma dos valores de verdad diferentes para que se cumplan las condiciones impuestas, entonces el razonamiento es válido.

Si todas las proposiciones toman un único valor de verdad para el cumplimiento de las condiciones impuestas, entonces el razonamiento no es válido.

Ejemplo.- Deducir la validez del siguiente razonamiento, usando el método abreviado.

s1: p qs2: p⊻rs3: r q p r

Solución.- (p q)=V (1) (p⊻r)=V (2) (r q)=V (3) (p r)=F (4)

De la 4 tenemos como únicos valores de verdad de (p)=V y (r)=F De la 3 tenemos que (q)=FLa 2 se cumple con los valores de p y r ya asignados.En la 1 con los valores asignados a p y q no se cumple, es necesario que (p)=F, es decir para que se cumplan las condiciones, es necesario que p tome valores de verdad diferentes. Por lo tanto el razonamiento es válido.

ESQUEMAS PROPOSICIONALES.- (E. P.)

ESQUEMAS PROPOSICIONALES EN UNA VARIABLE.-

DEFINICION.- Un E. P. en una variable es una expresión en la que aparece una letra generalmente designada con x con la siguiente propiedad “Hay por lo menos un nombre o constante que al reemplazar la variable x la expresión se convierte en una proposición”.

Ejemplo.-1.- “x es el libertador de América”2.- “x+3 = 9”3.- “¿Que estudia x?”4.- ”¡ Viva x! “



NOTACION.- Los E. P. en una variable se simbolizan de la siguiente manera: F(x), G(x), H(x),… y se leen “F de x”, “G de x”, “H de x”, …

Ejemplo.-1.- F(x): “x es el libertador de América”2.- G(x): “x+3 = 9”3.- H(x): “x estudia”4.- P(y): “y-2 > 5”

VALOR DE UN E. P. EN UNA VARIABLE.-DEFINICION.- El valor de un E. P. en la variable x, para x=a es la expresión obtenida al reemplazar la variable x por la constante “a”.

El valor del E. P. F(x) para x=a se simboliza por F(a).

Ejemplo.- Dado el E. P. G(x): “x+3 = 15”. Determine 3 valores para G(x) de manera que el primer valor resulte una proposición verdadera, el segundo valor una proposición falsa y el tercer una expresión carente de sentido.

RAIZ O SOLUCION DE UN E. P. EN UNA VARIABLE.-DEFINICION.- Se dice que “a” es una raíz o solución del E. P. en una variable, si el valor que toma el E. P. para x=a es una proposición verdadera.

Simbólicamente:“a” es raíz de F(x) si y solo si [F(a)]= V

Ejemplo.- Determine la raíz de cada uno de los E. P. siguientes:

F(y): “ ”

H(z): “z tiene 15 provincias”G(x): “x es un numero par”

CUANTIFICADORES.-Existen dos tipos de cuantificadores, el universal y el existencial.

CUANTIFICADOR UNIVERSAL.- Un cuantificador universal en la variable x es la expresión “para todo x”, cuya notación simbólica es: “x,”.La expresión x, F(x) se llama proposición universal y se lee:“para todo x, F(x)”“para cada x, F(x)”“para cualquier x, F(x)”



Ejemplo.- Dado el E. P. F(x): “x2- 4 = 0”. Determine simbólica y verbalmente una proposición universal y halle su valor de verdad.

Solución.-

Simbólicamente: “x, F(x)”“x, x2-4 = 0”

Verbalmente: “Para todo x, x2-4 = 0”“Para cualquier x, x2- 4 = 0”“Para cada x, x2- 4 = 0”“El cuadrado de todo número disminuido en 4 es igual a cero”

Su valor de verdad: [x, F(x)]= F

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL.-

El cuantificador existencial en la variable x es la expresión “existe x, tal que”, (Con el significado que existe por lo menos un x dado que). Su notación simbólica es: “x:”.La expresión “x: F(x)”, se llama proposición existencial y se lee de la siguiente forma:

“Existe x talque F(x)”“Existe algún x talque F(x)”“Hay un x talque F(x)”

Ejemplo.- Dado el E. P. G(x) determinar una proposición existencial y su valor de verdad. Si G(x): “x es número primo”.

Solución.-

Simbólicamente: “x: G(x) ”“x: x es número primo”

Verbalmente: “Existe x talque, x es número primo”“Hay un x talque, x es número primo”“Existe algún x talque, x es número primo”“Hay números que son primos”

Su valor de verdad: [“x: G(x)”] = V

NEGACION DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS.-

Negación de una proposición universal:Autor: Elio Romero Cuéllar Página 27


x, F(x) = x: F(x)

Negación de una proposición existencial:x: F(x) = x, F(x)

Ejemplo.- Dada la proposición “Existen números enteros cuyo cubo aumentado en uno es igual cubo del siguiente”.

a) Simbolizarlab) Negarla simbólica y verbalmente.

Solución.- a) Simbolizarla

El esquema proposicional es: F(x): “x3 + 1 = (x + 1)3, x Z”Expresión simbólica de la proposición: x: F(x)

b) Negación simbólica: x: F(x) = x, F(x) “Para todo x Z, x3 + 1 ≠ (x + 1)3”Negación verbal: “Todo número entero elevado al cubo incrementado en uno no es igual al cubo del siguiente”

Ejemplo.- Dada la proposición “Todo número entero elevado al cuadrado aumentado en uno es igual cubo del siguiente”.

a) Simbolizarlab) Negarla simbólica y verbalmente.

Ejercicio.- Negar simbólica y verbalmente cada una de las siguientes proposiciones:1.- “Ningún número natural es divisible por 3”2.- “Nadie es político”3.- “Nada es absolutamente malo”

ESQUEMAS PROPOSICIONALES EN DOS VARIABLES.-

Definición.- Un E. P. en dos variables es una expresión en la que aparecen dos letras generalmente x, y de manera que haya por lo menos un par de nombres o constantes que la reemplazar las variables x, y convierta la expresión en una proposición.

Ejemplo.- 1.- “x es provincia de y”2.- “y es hermano de z”3.- “xy 10”

Notación.- Los esquemas proposicionales en dos variables se simbolizan del modo siguiente F(x,y); G(x,y); H(x,y); ……….Se leen “F de x,y”; “G de x,y”; “H de x, y”; ………

Ejemplo.-1.- F(x,y) = “x es libertador de y”



2.- G(y,z)= “y alumbra a z”3.- H(x,y)= “xy 10”

VALOR DE UN E. P. EN DOS VARIABLES.-

El valor de un E. P. en dos variables F(x,y), para x=a es la expresión obtenida al reemplazar la variable x, por la constante a cuyo resultado no es una proposición si no un E. P. en la variable y.

Ejemplo.- Si P(x,y): “x+y = 7”, entonces el valor de P(x,y) para x=5 es P(5,y): “5+y = 7”

El valor de un E.P. en dos variables F(x,y) para x=a, y=b es la expresión que se obtiene al sustituir la variable x por a y la variable y por b.

El valor de F(x,y) para x=a, y=b se designa con F(a,b) y es una proposicion.

Ejemplo.- Determinar dos valores de los esquemas proposicionales siguientes de manera que el primer valor sea proposicion verdadera y el segundo una proposicion falsa.

F(x,y): “x destruye y”G(y,z): “y + 8 = z”

RAIZ DE UN ESQUEMA PROPOSICIONAL EN DOS VARIABLES.-

Definición.- El par (a,b) es una raiz del E.P. F(x,y) si y solo si [F(a,b)] = V

Ejemplos.- Determine la raiz de los siguientes E.P.F(x,y): “x2+y=4”G(y,z): “ ”H(x,y): “x es una ciudad de y”

CUANTIFICACION SIMPLE.- Si se coloca delante de un E. P. en dos variables uno de los cuantificadores en una de las dos variables no se obtiene una proposicion si no un esquema proposicional en la variable no cuantificada.Ejemplo.- Si al E. P. F(x,y): “x+y = 6”x: F(x,y) = x: “x+y = 6” (Es un E. P. en la variable y) y, F(x,y) = y, “x+y = 6” (Es un E. P. en la variable x) CUANTIFICACION DOBLE.- Si se coloca delante de un



E. P. en dos variables, dos cuantificadores iguales o distintos, se obtiene una proposicion.

Ejemplo.- Sea el E.P. F(x,y), entonces cuantificando doblemente podemos tener las siguientes proposiciones.

x, y: F(x,y) x, y: F(x,y)x, y: F(x,y)x, y: F(x,y)

NEGACION DE ENUNCIADOS DOBLEMENTE CUANTIFICADOS.-

~[x, y, F(x,y)] = x: y: ~F(x,y)~[x, y: F(x,y)] = x: y, ~F(x,y)~[x: y, F(x,y)] = x, y: ~F(x,y)~[x: y: F(x,y)] = x, y, ~F(x,y)

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO CON EL USO DE CUANTIFICADORES.-

Para deducir la validez de este tipo de razonamientos se siguen los siguientes pasos:1.- Simbolizar las premisas (Esquematizar el razonamientos)2.- Especificar los objetivos para eliminar cuantificadores.3.- Aplicar las reglas de inferencia lógica.

Ejemplo.- Demostrar la validez del siguiente razonamiento:

“Cada número entero es un número real”“El dos es número entero”Por lo tanto, “El dos es número real”

Solución.-P(x): “x es numero entero”F(x): “x es numero real”

s1: x, P(x) F(x)Autor: Elio Romero Cuéllar Página 30


s2: P(2) F(2)

Deducción:s1: x, P(x) F(x)s2: P(2)s3: P(2) F(2) s1 x/2s4: F(2) P.P. (s1, s2)

Por lo tanto el razonamiento es valido.

Ejemplo.- Demostrar que: “Juan es mortal”“Todo hombre es mortal”“Juan es hombre”

Ejemplo.-Demostrar que: 2 > 0, siendo que: F(x,y): “x>y” G(x,y):”x+1>y”

s1: “x, y, F(x, y) G(x, y)s2: F(1,0)s3: 2= 1+1

Ejemplo.-Deducir la validez del siguiente razonamiento:“Para todo x, si x es un numero par, entonces x+2 es numero par”“Para cada x, si x es un numero par, entonces x no es un numero impar”“2 es numero par”Por lo tanto: “ 2+2 no es un numero impar”

Ejemplo.-Dar una demostración formal de cada uno de los siguientes razonamientos:

a) “Todos los números positivos son mayores que cero”“Cuatro es un numero positivo”“Cuatro es igual a tres mas uno”Por lo tanto: “Tres mas uno es mayor que cero”

b) ”Hay personas traicioneras” “Hay felinos traicioneros”Luego, “Algunas personas son felinos”



BIBLIOGRAFIA:1.- Armando Rojo : Algebra I : Editorial Ateneo2.- Lipschutz Seymour : Matemáticas finitas : Editorial Mc. Graw Hill3.- Lipschutz Seymour : Teoría de Conjuntos y temas afines : Editorial Mc. Graw Hill4.- Suppes Patrik : Introducción a la lógica simbólica : Editorial 5.- Braulio Cáceres Ch. : Lógica y conjuntos : Editorial El País6.- Bosch : Introducción al simbolismo lógico : Editorial Eudeba


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