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UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

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UNIDAD IV

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES,

EN DIFERENCIA FINITA

UNIDAD IV

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES,

EN DIFERENCIA FINITA

Page 2: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Al finalizar esta unidad el alumno debe lograr

clasificar los distintos métodos para la solución de

las ecuaciones diferenciales, y controles durantes

los procesos.

Al finalizar esta unidad el alumno debe lograr

clasificar los distintos métodos para la solución de

las ecuaciones diferenciales, y controles durantes

los procesos.

OBJETIVO TERMINAL DE UNIDAD

OBJETIVO TERMINAL DE UNIDAD

Page 3: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4.1 Describir el método IMPES, como una de las principales procedimientos en solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.

4.1 Describir el método IMPES, como una de las principales procedimientos en solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.

4.4 Clasificar los controles durantes los procesos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita4.4 Clasificar los controles durantes los procesos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita

OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS

4.3 Enunciar otros métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.4.3 Enunciar otros métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.

4.2 Definir el método de solución de los sistemas no lineales y lineales, para la solución de las ecuaciones.4.2 Definir el método de solución de los sistemas no lineales y lineales, para la solución de las ecuaciones.

Page 4: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4.1 Métodos de solución de las ecuaciones diferenciales.4.1 Métodos de solución de las ecuaciones diferenciales.

4.1.1 Método IMPES: implícito en presión, Explicito en saturación.

Este método implica una solución implícita en presión y explicita en saturación.

Consiste en reducir las ecuaciones:

4.1.1 Método IMPES: implícito en presión, Explicito en saturación.

Este método implica una solución implícita en presión y explicita en saturación.

Consiste en reducir las ecuaciones:

PcW,O = Po – PW = PcW,O (SW)PcW,O = Po – PW = PcW,O (SW)

Estas ecuaciones se expresan como una única ecuación con la presión como

única incógnita y sin términos de tipo ΔtS. Esto se logra eliminando ΔtSo, ΔtSw

ΔtSg. De la ecuación anterior.

Estas ecuaciones se expresan como una única ecuación con la presión como

única incógnita y sin términos de tipo ΔtS. Esto se logra eliminando ΔtSo, ΔtSw

ΔtSg. De la ecuación anterior.

(Tox)i+1/2(Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ][(Po)i+1 - (Po)i ] - - (Tox)i-1/2(Tox)i-1/2[(Po)i - (Po)i-1 ] +[(Po)i - (Po)i-1 ] +

n+1n+1 n+1n+1 n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1

= = ++ (qo)i(qo)i

n+1n+1

nn

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Ec. 4.1Ec. 4.1

Ec. 4.2Ec. 4.2

Page 5: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

1. - Existen varias formulaciones para resolver los problemas multifásicos.

- En general se toman como incógnitas primarias: Po, Sw, Sg (para 3 fases)

o Po, Sw para casos petróleo-agua.

- Un método de solución bastante extendido es el método IMPES (IMplit

Pressure, Explicit Saturation): Se resuelve primero implícitamente la presión y

luego explícitamente la saturación.

2. Vamos a suponer, para simplificar, pero sin perder lo esencial de la no

linealidad del problema, que los fluidos y la roca son incompresibles, es

decir, f, Bo, Bw constantes (para problema de dos fases: petróleo-agua).

1. - Existen varias formulaciones para resolver los problemas multifásicos.

- En general se toman como incógnitas primarias: Po, Sw, Sg (para 3 fases)

o Po, Sw para casos petróleo-agua.

- Un método de solución bastante extendido es el método IMPES (IMplit

Pressure, Explicit Saturation): Se resuelve primero implícitamente la presión y

luego explícitamente la saturación.

2. Vamos a suponer, para simplificar, pero sin perder lo esencial de la no

linealidad del problema, que los fluidos y la roca son incompresibles, es

decir, f, Bo, Bw constantes (para problema de dos fases: petróleo-agua).

CONSIDERACIONESCONSIDERACIONES

Page 6: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

3. En este caso, las ecuaciones para problemas 1D, que eran, en términos genéricos: 3. En este caso, las ecuaciones para problemas 1D, que eran, en términos genéricos:

(Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i] - (Tox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1]

(y similarmente para el agua), quedan ahora:(y similarmente para el agua), quedan ahora:

(Tx)i+1/2 (Mox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ] - (Tx)i-1/2 (Mox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1 ] +n+1 n+1nn+1n+1n

(Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 [(Pw)i+1 - (Pw)i ] - (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 [(Pw)i - (Pw)i-1 ] +n+1 n+1nn+1n+1n

= + (qo)i

n

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Page 7: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4. Multiplicando por Bo la ec. del petróleo y por Bw la del agua y sumando, queda:4. Multiplicando por Bo la ec. del petróleo y por Bw la del agua y sumando, queda:

(Tx)i+1/2 (Mox)i+1/2(Tx)i+1/2 (Mox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ][(Po)i+1 - (Po)i ] - - (Tx)i-1/2 (Mox)i-1/2 (Tx)i-1/2 (Mox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1 ]} +[(Po)i - (Po)i-1 ]} +n+1n+1n+1n+1nnn+1n+1n+1n+1

nnBo{Bo{

(Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2(Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 [(Pw)i+1 - (Pw)i ][(Pw)i+1 - (Pw)i ] - - (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 [(Pw)i - (Pw)i-1 ]} +[(Pw)i - (Pw)i-1 ]} +n+1n+1Bw{Bw{

(Boqo + Bwqw)i = 0(Boqo + Bwqw)i = 0nn

Sustituyendo (Pw)i (Po)i - (Pcow)i y haciendo Bo = Bw = 1, por ser fluidos

incompresibles, la ecuación queda:

Sustituyendo (Pw)i (Po)i - (Pcow)i y haciendo Bo = Bw = 1, por ser fluidos

incompresibles, la ecuación queda:

n+1n+1n+1n+1 nn

(Tx)i+1/2 (Mox+Mwx)i+1/2(Tx)i+1/2 (Mox+Mwx)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ][(Po)i+1 - (Po)i ] - - (Tx)i-1/2 (Mox+Mwx)i-1/2 (Tx)i-1/2 (Mox+Mwx)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1 ] -[(Po)i - (Po)i-1 ] -n+1n+1 n+1n+1nnn+1n+1n+1n+1nn

(Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 (Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 [(Pcow)i - (Pcow)i+1 ] +[(Pcow)i - (Pcow)i+1 ] + (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 [(Pcow)i-1 - (Pcow)i ] +[(Pcow)i-1 - (Pcow)i ] +nn nnnnnnnnnn

(qo + qw)i = 0(qo + qw)i = 0nn

n+1n+1nnn+1n+1n+1n+1

Page 8: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Conseguir la solución a estas ecuaciones es obtener valores de

Po, Pw, So, Sw, tales que:

Conseguir la solución a estas ecuaciones es obtener valores de

Po, Pw, So, Sw, tales que: n+1n+1 n+1n+1n+1n+1 n+1n+1

(Tox)i+1/2(Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ] [(Po)i+1 - (Po)i ] - - (Tox)i-1/2(Tox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1] +[(Po)i - (Po)i-1] +- -

- - (qo)i(qo)i

n+1n+1 n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1 n+1n+1

= 0= 0

(Twx)i+1/2(Twx)i+1/2 [(Pw)i+1 - (Pw)i ] [(Pw)i+1 - (Pw)i ] - - (Twx)i-1/2(Twx)i-1/2 [(Pw)i - (Pw)i-1] +[(Pw)i - (Pw)i-1] +

- -

- - (qw)i(qw)i

n+1n+1 n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1 n+1n+1

= 0= 0

Es decir, consiste en buscar los ceros de estas funciones. Por ser funciones no lineales, suele aplicarse el método de Newton, o Newton-Raphson.Es decir, consiste en buscar los ceros de estas funciones. Por ser funciones no lineales, suele aplicarse el método de Newton, o Newton-Raphson.

nn

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Page 9: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

5. Esta ecuación es lineal y, combinada con las correspondientes a todos los bloques, es un sistema de ecuaciones lineales que puede resolverse por los métodos usuales directos o iterativos.

6. Resuelto el sistema

5. Esta ecuación es lineal y, combinada con las correspondientes a todos los bloques, es un sistema de ecuaciones lineales que puede resolverse por los métodos usuales directos o iterativos.

6. Resuelto el sistema presiones en cada nodopresiones en cada nodo

se sustituyen los valores en la ec.más arriba, donde aparecen So y Sw se sustituyen los valores en la ec.más arriba, donde aparecen So y Sw

se despejan explícitamente las saturac.se despejan explícitamente las saturac.

el problema queda resueltoel problema queda resuelto

7. Puede haber problemas de estabilidad que restringen el tamaño del paso de tiempo (time-step), sobre todo si los cambios en saturación son grandes.

Ventaja del IMPES: menor costo computacional por time-step.

Desventaja del IMPES: limitaciones respecto a la estabilidad

7. Puede haber problemas de estabilidad que restringen el tamaño del paso de tiempo (time-step), sobre todo si los cambios en saturación son grandes.

Ventaja del IMPES: menor costo computacional por time-step.

Desventaja del IMPES: limitaciones respecto a la estabilidad

n+1n+1 n+1n+1

Page 10: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

8. Los valores de:

utilizados en los métodos implícito en presión – explicito en saturación, son

pendientes de cuerdas trazadas entre los valores evaluados a los niveles de

tiempos n y n+1. dado que los valores dependen de las presiones y las

saturaciones a nivel n+1, las cuales son desconocidas, es necesario estimarlos

al comienzo de cada intervalo de tiempo y luego evaluarlos después de cada

iteración durante la solución.

8. Los valores de:

utilizados en los métodos implícito en presión – explicito en saturación, son

pendientes de cuerdas trazadas entre los valores evaluados a los niveles de

tiempos n y n+1. dado que los valores dependen de las presiones y las

saturaciones a nivel n+1, las cuales son desconocidas, es necesario estimarlos

al comienzo de cada intervalo de tiempo y luego evaluarlos después de cada

iteración durante la solución.

ggwwOOwwggOO SS,,SS,,))BB//RsRs((,,))BB//((,,))BB//(( ,,))BB//((

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Page 11: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Formulación totalmente explícita:Formulación totalmente explícita:

1. Recordemos que las ecuaciones discretizadas quedan así: 1. Recordemos que las ecuaciones discretizadas quedan así:

(Tox)i+1/2,j(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j - rog(Di+1,j - Di,j)] -[(Po)i+1,j - (Po)i,j - rog(Di+1,j - Di,j)] -

- - (Tox)i-1/2,j(Tox)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j - rog(Di,j - Di-1,j)] +[(Po)i,j - (Po)i-1,j - rog(Di,j - Di-1,j)] +

+ + (Toy)i,j+1/2(Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j - rog(Di,j+1 - Di,j)] -[(Po)i,j+1 - (Po)i,j - rog(Di,j+1 - Di,j)] -

- - (Toy)i,j-1/2(Toy)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1 - rog(Di,j - Di,j-1)] +[(Po)i,j - (Po)i,j-1 - rog(Di,j - Di,j-1)] +

Y similares para el agua y para el gas, en 2 dimensionesY similares para el agua y para el gas, en 2 dimensiones

= = ++ (qo)i,j(qo)i,j

nn

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Page 12: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

2. Vamos a analizar sólo sistemas bifásicos (agua-petróleo), siempre por encima de la presión de burbujeo.

3. Ya hemos visto cómo calcular los valores en la frontera de los bloques (para K, Kro, m, Bo)

4. En la formulación totalmente explícita la discretización espacial se evalúa en el tiempo n. Por tanto queda:

2. Vamos a analizar sólo sistemas bifásicos (agua-petróleo), siempre por encima de la presión de burbujeo.

3. Ya hemos visto cómo calcular los valores en la frontera de los bloques (para K, Kro, m, Bo)

4. En la formulación totalmente explícita la discretización espacial se evalúa en el tiempo n. Por tanto queda:

(Tox)i+1/2,j(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j][(Po)i+1,j - (Po)i,j] - - (Tox)i-1/2,j(Tox)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j] +[(Po)i,j - (Po)i-1,j] +

+ + (Toy)i,j+1/2(Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j][(Po)i,j+1 - (Po)i,j] - - (Toy)i,j-1/2(Toy)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1] +[(Po)i,j - (Po)i,j-1] +

= = ++ (qo)i,j(qo)i,j

nn

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Page 13: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

(Twx)i+1/2,j(Twx)i+1/2,j [(Pw)i+1,j - (Pw)i,j][(Pw)i+1,j - (Pw)i,j] - - (Twx)i-1/2,j(Twx)i-1/2,j[(Pw)i,j - (Pw)i-1,j] +[(Pw)i,j - (Pw)i-1,j] +

+ + (Twy)i,j+1/2(Twy)i,j+1/2 [(Pw)i,j+1 - (Pw)i,j][(Pw)i,j+1 - (Pw)i,j] - - (Twy)i,j-1/2(Twy)i,j-1/2[(Pw)i,j - (Pw)i,j-1] +[(Pw)i,j - (Pw)i,j-1] +

= = ++ (qw)i,j(qw)i,j

nn

nn

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Todo en el lado izquierdo de la igualdad es conocidoTodo en el lado izquierdo de la igualdad es conocido

b)b)

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Page 14: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4.2.1 Método de solución no lineal (Newton en una variable).4.2.1 Método de solución no lineal (Newton en una variable).

Sea f(x) una función no lineal.Se quiere hallar x, tal que f(x) = 0Sea f(x) una función no lineal.Se quiere hallar x, tal que f(x) = 0

Por Taylor se tiene que:

0 = f(x1) = f(xo) + f´(xo)(x1-xo) + (1/2!)f´´(xo)(x1-xo)2 + ...

Por Taylor se tiene que:

0 = f(x1) = f(xo) + f´(xo)(x1-xo) + (1/2!)f´´(xo)(x1-xo)2 + ...

Cortando la serie después del segundo término y despejando,queda:Cortando la serie después del segundo término y despejando,queda: x1 x1 x0 - f(x0)/f´(x0) x0 - f(x0)/f´(x0)

lo cual, en forma iterativa, queda como:lo cual, en forma iterativa, queda como:xi+1 xi+1 xi - f(xi)/f´(xi) xi - f(xi)/f´(xi)

4.2 Definir el método de solución de los sistemas no lineales y lineales, para la solución de las ecuaciones.4.2 Definir el método de solución de los sistemas no lineales y lineales, para la solución de las ecuaciones.

Page 15: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Método de Newton en dos variables:Método de Newton en dos variables:

Sean f1(x,y) y f2 (x,y) dos funciones no lineales de dos variables.Se quiere hallar (x,y) tal que

f1(x,y) = 0 f2(x,y) = 0

Sean f1(x,y) y f2 (x,y) dos funciones no lineales de dos variables.Se quiere hallar (x,y) tal que

f1(x,y) = 0 f2(x,y) = 0

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Por Taylor:Por Taylor:

Cortando la serie después del segundo término, queda:Cortando la serie después del segundo término, queda:

...

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Page 16: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

y despejando:y despejando:

Así la fórmula recursiva queda:Así la fórmula recursiva queda:

0

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Page 17: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Ejemplo:Resolver el sistema:Ejemplo:Resolver el sistema: {{x2 + y2 = 1y = 2xx2 + y2 = 1y = 2x x0=0.5, y0=0.5x0=0.5, y0=0.5

Solución:Solución:

Primera iteración:Primera iteración:

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x

Page 18: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

En general no se haya (F´)-1, sino que deEn general no se haya (F´)-1, sino que de

(Matriz de coeficientes)(Matriz de coeficientes)

construimos el sistemaconstruimos el sistema

siendo el vector de incógnitas:siendo el vector de incógnitas:

de donde luego se despeja:de donde luego se despeja:

para la siguiente iteración.para la siguiente iteración.

y

x

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Page 19: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Para n funciones con n incógnitas:Para n funciones con n incógnitas:

En este caso tendremos análogamente un sistema así:En este caso tendremos análogamente un sistema así:

es decir,

knkn

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f

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.

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1

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knkn

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Page 20: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Las funciones fi tienen la siguiente forma, como ya vimos:Las funciones fi tienen la siguiente forma, como ya vimos:

fi = -

-

fNX = . . .

.

.

.

para el petróleo (en una dimensión) y otras tantas para el agua y el gas (si hubiera más fases). Si el problema es de más dimensiones hay que añadir términos adicionales a las ecuaciones, para considerar el flujo en todas las direcciones.

para el petróleo (en una dimensión) y otras tantas para el agua y el gas (si hubiera más fases). Si el problema es de más dimensiones hay que añadir términos adicionales a las ecuaciones, para considerar el flujo en todas las direcciones.

n

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Page 21: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Las funciones fi deben tender a 0 (cero) a medida que k se va incrementando:

Las funciones fi deben tender a 0 (cero) a medida que k se va incrementando:

Las incógnitas, en general, son Po, Sw y Sg.Por tanto en la matriz de coeficientes deben ir las derivadas de fi con respecto a estas variables. Es decir, son de alguna de las formas siguientes:

Las incógnitas, en general, son Po, Sw y Sg.Por tanto en la matriz de coeficientes deben ir las derivadas de fi con respecto a estas variables. Es decir, son de alguna de las formas siguientes:

Estas derivadas se aproximannuméricamente, dado que las fi

no pueden derivarse analíticamente

Estas derivadas se aproximannuméricamente, dado que las fi

no pueden derivarse analíticamente

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Page 22: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

El número total de ecuaciones (y de incógnitas) será el producto del número de fases en el sistema por el número de celdasEl número total de ecuaciones (y de incógnitas) será el producto del número de fases en el sistema por el número de celdas

- Para resolver el sistema resultante, que es lineal, se aplican diversas

técnicas que estudiaremos enseguida.

- Además de los esquemas aquí analizados (explícito, IMPES, implícito), hay

toda una gama de esquemas intermedios.

- Existen también los métodos implícitos adaptativos: el simulador

selecciona (de acuerdo con ciertos parámetros dados por el usuario o tomados

por “default”) cuáles celdas toma implícitas y cuáles toma explícitas.

- Para resolver el sistema resultante, que es lineal, se aplican diversas

técnicas que estudiaremos enseguida.

- Además de los esquemas aquí analizados (explícito, IMPES, implícito), hay

toda una gama de esquemas intermedios.

- Existen también los métodos implícitos adaptativos: el simulador

selecciona (de acuerdo con ciertos parámetros dados por el usuario o tomados

por “default”) cuáles celdas toma implícitas y cuáles toma explícitas.

Page 23: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

- Al aplicar los esquemas IMPES e implícito, los sistemas que finalmente resultan para avanzar en una iteración de Newton son lineales, de la forma

Ax = b

donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b es un vector de constantes (valores conocidos que engloban valores de la iteración anterior y valores de frontera).

- Hay dos técnicas o métodos fundamentales para encontrar la solución de tales sistemas:

a. Métodos Directosb. Métodos Iterativos

- Como regla empírica, los métodos directos se usan en problemas sencillos y/o con pocas celdas. En los demás casos se usan los iterativos.

- Al aplicar los esquemas IMPES e implícito, los sistemas que finalmente resultan para avanzar en una iteración de Newton son lineales, de la forma

Ax = b

donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b es un vector de constantes (valores conocidos que engloban valores de la iteración anterior y valores de frontera).

- Hay dos técnicas o métodos fundamentales para encontrar la solución de tales sistemas:

a. Métodos Directosb. Métodos Iterativos

- Como regla empírica, los métodos directos se usan en problemas sencillos y/o con pocas celdas. En los demás casos se usan los iterativos.

4.2.2 Método lineales, para la solución de las ecuaciones.4.2.2 Método lineales, para la solución de las ecuaciones.

Page 24: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Métodos DirectosMétodos Directos

1. El método de eliminación de Gauss, con diferentes variantes, es el método usual disponible en los simuladores. El método consiste en: 1.a- ir haciendo operaciones secuencialmente con las ecuaciones hasta obtener una matriz triangular,

1. El método de eliminación de Gauss, con diferentes variantes, es el método usual disponible en los simuladores. El método consiste en: 1.a- ir haciendo operaciones secuencialmente con las ecuaciones hasta obtener una matriz triangular,

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Page 25: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

1.b- una vez triangularizada la matriz, la solución se consigue fácil y rápidamente despejando las incógnitas comenzando desde abajo (backward substitution)

1.b- una vez triangularizada la matriz, la solución se consigue fácil y rápidamente despejando las incógnitas comenzando desde abajo (backward substitution)

= =

.

.

.

.

.

.

- En un solo paso se obtiene la solución: directamente !- En un solo paso se obtiene la solución: directamente !

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. 1,111 /(...) abx

nnnn abx ,/

Page 26: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

2. El método de descomposición LU, que consiste en:2. El método de descomposición LU, que consiste en:

2.a- ir haciendo operaciones secuencialmente con las ecuaciones hasta obtener dos matrices triangulares, una triangular inferior L y otra triangular superior U, tales que A=LU

2.a- ir haciendo operaciones secuencialmente con las ecuaciones hasta obtener dos matrices triangulares, una triangular inferior L y otra triangular superior U, tales que A=LU

==AALL

UU

2.b- entonces el problema Ax = b se transforma en LUx = b2.c- se define y = Ux y se resuelve L(Ux) = b, o sea, Ly = b fácilmente por “forward substitution”2.d- finalmente se resuelve Ux = y por “backward substitution” para obtener x, la solución buscada.

2.b- entonces el problema Ax = b se transforma en LUx = b2.c- se define y = Ux y se resuelve L(Ux) = b, o sea, Ly = b fácilmente por “forward substitution”2.d- finalmente se resuelve Ux = y por “backward substitution” para obtener x, la solución buscada.

Page 27: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Métodos Iterativos:Métodos Iterativos:

- Rapidez: Son más rápidos que los directos para problemas grandes o

complejos.

- Número de iteraciones: Depende de varios factores:

1. Dificultades del problema

2. Método seleccionado

3. Precisión requerida

4. Magnitud del problema

- Valores iniciales: Se requieren para arrancar el proceso iterativo.

En simulación de yacimientos, los valores iniciales son las soluciones de la

iteración no lineal anterior. Para pasar de la iteración n+1,k a la n+1,k+1 (de

Newton) se toman las soluciones de la iteración n+1,k como valores iniciales.

- Rapidez: Son más rápidos que los directos para problemas grandes o

complejos.

- Número de iteraciones: Depende de varios factores:

1. Dificultades del problema

2. Método seleccionado

3. Precisión requerida

4. Magnitud del problema

- Valores iniciales: Se requieren para arrancar el proceso iterativo.

En simulación de yacimientos, los valores iniciales son las soluciones de la

iteración no lineal anterior. Para pasar de la iteración n+1,k a la n+1,k+1 (de

Newton) se toman las soluciones de la iteración n+1,k como valores iniciales.

Page 28: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Método SOR aplicado a simulación de yacimientos:Método SOR aplicado a simulación de yacimientos:

Sea un caso monofásico bidimensional:Sea un caso monofásico bidimensional:

9 10 11 12

1 2 3 4

5 6 7 8

La ecuación genérica puede escribirse así:La ecuación genérica puede escribirse así:

Recordar:

Ei,jPi,j - Di,jPi-1,j - Fi,jPi+1,j - Bi,jPi,j-1 - Hi,jPi,j+1 = bi,j

Pi,j-1 - Pi-1,j + (4+)Pi,j - n+1 n+1n+1

Pi+1,j - Pi,j+1 = n+1

Pi,j n+1 n-

Page 29: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Una vez que se ha resuelto el sistema lineal, sea por métodos directos o

iterativos, se ha avanzado una iteración en el método de Newton (el sistema

no lineal), la cual se llama “outer iteration”.

Luego se procede a la siguiente iteración hasta que se considera que

Newton ha convergido. Con esto se termina un paso de tiempo (“time-step”):

se ha pasado del tiempo n al tiempo n+1.

La simulación continúa así hasta el final.

Pueden presentarse problemas de convergencia, tanto en el sistema lineal

como en el no lineal

Remedios: aumentar iteraciones, restringir tamaño de paso de

tiempo, revisar tolerancias, revisar mallado, etc.

Una vez que se ha resuelto el sistema lineal, sea por métodos directos o

iterativos, se ha avanzado una iteración en el método de Newton (el sistema

no lineal), la cual se llama “outer iteration”.

Luego se procede a la siguiente iteración hasta que se considera que

Newton ha convergido. Con esto se termina un paso de tiempo (“time-step”):

se ha pasado del tiempo n al tiempo n+1.

La simulación continúa así hasta el final.

Pueden presentarse problemas de convergencia, tanto en el sistema lineal

como en el no lineal

Remedios: aumentar iteraciones, restringir tamaño de paso de

tiempo, revisar tolerancias, revisar mallado, etc.

Completación del proceso Completación del proceso

Page 30: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4.3.1 Métodos de solución simultanea:

Este método consiste en reducir las ecuaciones anteriores a tres ecuaciones simultaneas con presión al petróleo, al agua y al gas como incógnitas y sin términos del tipo ΔtS. Esto es, las tres ecuaciones, con presión como incógnitas, se obtienen de las ecuaciones 4.1 y 4.2, eliminando ΔtSo, ΔtSw, ΔtSg.

4.3.2 Otros Métodos de solución para flujo multifasico:

Los métodos implícito en presión – explicito en saturación y de solución simultanea son perfectamente satisfactorios para la solución de la mayoría de los problemas de flujo mulfasico, sin embargo resultan inadecuados en casos de flujo convergente, donde de los fluidos que fluye a través de un bloque es varias veces el volumen poroso de dicho bloque, como lo son en los caso de conificación de agua y/o gas. Estos métodos son:

4.3.1 Métodos de solución simultanea:

Este método consiste en reducir las ecuaciones anteriores a tres ecuaciones simultaneas con presión al petróleo, al agua y al gas como incógnitas y sin términos del tipo ΔtS. Esto es, las tres ecuaciones, con presión como incógnitas, se obtienen de las ecuaciones 4.1 y 4.2, eliminando ΔtSo, ΔtSw, ΔtSg.

4.3.2 Otros Métodos de solución para flujo multifasico:

Los métodos implícito en presión – explicito en saturación y de solución simultanea son perfectamente satisfactorios para la solución de la mayoría de los problemas de flujo mulfasico, sin embargo resultan inadecuados en casos de flujo convergente, donde de los fluidos que fluye a través de un bloque es varias veces el volumen poroso de dicho bloque, como lo son en los caso de conificación de agua y/o gas. Estos métodos son:

4.3 Enunciar otros métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.4.3 Enunciar otros métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.

Page 31: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Estos métodos son:

4.3.2.1 Método completamente Implícito de Blair y Weinnaug.

Consiste en evaluar la transmisibilidades y términos dwe producción y/o inyección al nivel de tiempo (n+1), implicitamente, resultando asi un sistema de ecuaciones nom lineales, el cual se resuelve por el método iterativo de Newton Raphson, que se presenta a continuación:

Estos métodos son:

4.3.2.1 Método completamente Implícito de Blair y Weinnaug.

Consiste en evaluar la transmisibilidades y términos dwe producción y/o inyección al nivel de tiempo (n+1), implicitamente, resultando asi un sistema de ecuaciones nom lineales, el cual se resuelve por el método iterativo de Newton Raphson, que se presenta a continuación:

Método de Newton en una variable:Método de Newton en una variable:

Sea f(x) una función no lineal. Se quiere hallar x, tal que f(x) = 0Sea f(x) una función no lineal. Se quiere hallar x, tal que f(x) = 0

Por Taylor se tiene que:

0 = f(x1) = f(xo) + f´(xo)(x1-xo) + (1/2!)f´´(xo)(x1-xo)2 + ...

Por Taylor se tiene que:

0 = f(x1) = f(xo) + f´(xo)(x1-xo) + (1/2!)f´´(xo)(x1-xo)2 + ...

Cortando la serie después del segundo término y despejando,queda:Cortando la serie después del segundo término y despejando,queda:

x1 x1 x0 - f(x0)/f´(x0) x0 - f(x0)/f´(x0) forma iterativa:forma iterativa: xi+1 xi+1 xi - f(xi)/f´(xi) xi - f(xi)/f´(xi)

Page 32: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Las funciones fi tienen la siguiente forma:Las funciones fi tienen la siguiente forma:

fi = fi = --

--

para el petróleo (en una dimensión) y otras tantas para el agua y el gas (si

hubiera más fases). Si el problema es de más dimensiones hay que añadir

términos adicionales a las ecuaciones, para considerar el flujo en todas las

direcciones.

para el petróleo (en una dimensión) y otras tantas para el agua y el gas (si

hubiera más fases). Si el problema es de más dimensiones hay que añadir

términos adicionales a las ecuaciones, para considerar el flujo en todas las

direcciones.

nn

iioo

oo

kk,,nn

iioo

oo

BBSS

BBSS

11

kkaann

iioo

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iiookknn

iiookknn

iioxoxkknn

iiookknn

iiookknn

iioxoxqqPPPPTTPPPPTT

,,,,11

11,,11,,11

2211

,,11,,11

11,,11

2211

tt

VV ii

Page 33: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4.2.2.2 Método de solución simultáneas utilizando términos de producción y/o inyección implícitamente.

Este método lo presentó Spivak y Coats, y consiste en tratar los términos de producción y/o inyección de manera tal, que bien podrían denominarse semi-implícita.

4.2.2.3 Método IMPES con términos de producción y/o inyección implícitamente.

Este método es descrito por Mcdonald y Coats, consiste en usar un esquema semi-implícito de producción y/o inyección, como el método anterior, pero aplicado el método implícito en presión-explicito en saturación.

4.2.2.4 Método IMPES con términos de producción y/o inyección y transmisibilidades tratadas implícitas.

Este método es descrito por Mcdonald y Coats, consiste en tratar los términos de producción y/o inyección y las permeabilidades relativas de una manera

4.2.2.2 Método de solución simultáneas utilizando términos de producción y/o inyección implícitamente.

Este método lo presentó Spivak y Coats, y consiste en tratar los términos de producción y/o inyección de manera tal, que bien podrían denominarse semi-implícita.

4.2.2.3 Método IMPES con términos de producción y/o inyección implícitamente.

Este método es descrito por Mcdonald y Coats, consiste en usar un esquema semi-implícito de producción y/o inyección, como el método anterior, pero aplicado el método implícito en presión-explicito en saturación.

4.2.2.4 Método IMPES con términos de producción y/o inyección y transmisibilidades tratadas implícitas.

Este método es descrito por Mcdonald y Coats, consiste en tratar los términos de producción y/o inyección y las permeabilidades relativas de una manera

Page 34: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

Continuación….

Semi- implícita.

4.2.2.5 Método de solución simultanea con términos de producción y/o inyección y transmisibilidades tratadas implícitamente.

Este método es descrito por Letkeman y Ridings, consiste en lo mismo que el método anterior, pero aplicado al método de solución simultanea.

4.2.2.6 Método semi-implícito de Molen y Berra.

Consiste en resolver simultáneamente dos ecuaciones con presión y saturación de una de las fases como incógnitas.

4.2.2.7 Método secuencial.

Consiste en escribir las ecuaciones de flujo de tal manera que resultan tres ecuaciones con tres incógnitas, presión al petróleo y saturaciones de agua y gas.

Continuación….

Semi- implícita.

4.2.2.5 Método de solución simultanea con términos de producción y/o inyección y transmisibilidades tratadas implícitamente.

Este método es descrito por Letkeman y Ridings, consiste en lo mismo que el método anterior, pero aplicado al método de solución simultanea.

4.2.2.6 Método semi-implícito de Molen y Berra.

Consiste en resolver simultáneamente dos ecuaciones con presión y saturación de una de las fases como incógnitas.

4.2.2.7 Método secuencial.

Consiste en escribir las ecuaciones de flujo de tal manera que resultan tres ecuaciones con tres incógnitas, presión al petróleo y saturaciones de agua y gas.

Page 35: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4.4 Clasificar los controles durantes los procesos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.4.4 Clasificar los controles durantes los procesos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.

4.4.1 balance de Materiales.

Las ecuaciones de flujo se derivan sobre la base del principio de

conservación de masa, luego las ecuaciones en diferencia finita deben ser

formuladas de manera tal que sea consistentes con este principio. Es decir

satisfacer la ecuación producción neta acumulada debe ser igual al

contenido inicial de fluidos en sitio menos el contenido presente de

contenidos en sitio.

Donde la producción neta acumulada es la diferencia entre la inyección y la

producción acumulada. Esto se debe cumplir para cualquier tiempo sin

error, sin embargo esto no se satisface debido al error de redondeo

ocasionado por el número finito de ecuaciones.

4.4.1 balance de Materiales.

Las ecuaciones de flujo se derivan sobre la base del principio de

conservación de masa, luego las ecuaciones en diferencia finita deben ser

formuladas de manera tal que sea consistentes con este principio. Es decir

satisfacer la ecuación producción neta acumulada debe ser igual al

contenido inicial de fluidos en sitio menos el contenido presente de

contenidos en sitio.

Donde la producción neta acumulada es la diferencia entre la inyección y la

producción acumulada. Esto se debe cumplir para cualquier tiempo sin

error, sin embargo esto no se satisface debido al error de redondeo

ocasionado por el número finito de ecuaciones.

Page 36: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4.4.2 Errores de truncamiento.

Es el error cometido al reemplazar una ecuación diferencial por una

aproximación ec. diferencia.

La solución exacta ( sin errores de redondeo) de una ecuación en diferencias

difiere de la solución de la ecuación diferencial correspondiente, debido a

este error. Matemáticamente puede expresarse como:

4.4.2 Errores de truncamiento.

Es el error cometido al reemplazar una ecuación diferencial por una

aproximación ec. diferencia.

La solución exacta ( sin errores de redondeo) de una ecuación en diferencias

difiere de la solución de la ecuación diferencial correspondiente, debido a

este error. Matemáticamente puede expresarse como:

e T =e

T =

Solución ecuación en forma finita

Solución ecuación en forma finita

Solución de ecuación en

forma de diferencia finita

Solución de ecuación en

forma de diferencia finita

Page 37: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4.4.3 Convergencias, Estabilidad y Consistencia.

Estos conceptos están relacionados con el proceso de solución de una

ecuación diferencial mediante aproximación numérica en diferencias finitas,

se debe considerar las relaciones existentes entre la solución verdadera de

la ecuación diferencial, la solución exacta de la aproximación numérica y la

solución calculada. Se debe definir en base a esto:

Convergencia: implica que P P cuando Δx y Δt 0

Estabilidad: implica que P P durante el proceso de solución. Esto requiere

que el error introducido ( P – P) en algún punto de la malla a un determinado

nivel de tiempo, disminuya o aumente.

Consistencia: Denominada compatibilidad; se refiere a si la ecuación en

diferencias se reduce o no a la ecuación diferencial cuando Δx y Δt 0.

4.4.3 Convergencias, Estabilidad y Consistencia.

Estos conceptos están relacionados con el proceso de solución de una

ecuación diferencial mediante aproximación numérica en diferencias finitas,

se debe considerar las relaciones existentes entre la solución verdadera de

la ecuación diferencial, la solución exacta de la aproximación numérica y la

solución calculada. Se debe definir en base a esto:

Convergencia: implica que P P cuando Δx y Δt 0

Estabilidad: implica que P P durante el proceso de solución. Esto requiere

que el error introducido ( P – P) en algún punto de la malla a un determinado

nivel de tiempo, disminuya o aumente.

Consistencia: Denominada compatibilidad; se refiere a si la ecuación en

diferencias se reduce o no a la ecuación diferencial cuando Δx y Δt 0.

=

==

Page 38: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4.4.4 Estabilidad de los métodos de solución de las ecuaciones

diferenciales.

Este método solo se aplica a las ecuaciones lineales, aunque tales métodos

pueden ser usados de forma simplificada.

En general, las ecuaciones simultáneas de flujo multifásico contienen dos

fuentes de inestabilidad: inestabilidad condicional (restricción del intervalo de

tiempo), debido al tratamiento explícito del las variables. Inestabilidad

existente es ambos métodos, que es debido a la inestabilidad del esquema

explícito de las transmisibilidades.

4.4.5 Dispersión numérica.

Se trata de estimar la pérdida de exactitud cuando se aproximan las

ecuaciones en derivadas parciales por diferencia finitas. Generalmente

aumenta con el incremento en le tamaño de los bloques (Δx,Δy,Δz).

4.4.4 Estabilidad de los métodos de solución de las ecuaciones

diferenciales.

Este método solo se aplica a las ecuaciones lineales, aunque tales métodos

pueden ser usados de forma simplificada.

En general, las ecuaciones simultáneas de flujo multifásico contienen dos

fuentes de inestabilidad: inestabilidad condicional (restricción del intervalo de

tiempo), debido al tratamiento explícito del las variables. Inestabilidad

existente es ambos métodos, que es debido a la inestabilidad del esquema

explícito de las transmisibilidades.

4.4.5 Dispersión numérica.

Se trata de estimar la pérdida de exactitud cuando se aproximan las

ecuaciones en derivadas parciales por diferencia finitas. Generalmente

aumenta con el incremento en le tamaño de los bloques (Δx,Δy,Δz).

Page 39: UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA UNIDAD IV SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES, EN DIFERENCIA FINITA

4.4.6 Selección correcta de la formulación

Algunos de los problemas requieren de formulaciones más implícitas que

otras. Por ejemplo, si ocurre una conificación simultánea de agua y gas en

un pozo, entonces ocurrirán cambios rápidos de presiones y saturaciones en

un intervalo de tiempo.

4.4.7 Otras técnicas de aproximación numérica.

La mayoría de los modelos de simulación de yacimientos utilizan la técnica

de diferencia finita para aproximar numéricamente las ecuaciones de flujo;

sin embargo existen otras técnica aplicables a tal fin, tales como el método

de Galerkin y los métodos de variaciones.

4.4.6 Selección correcta de la formulación

Algunos de los problemas requieren de formulaciones más implícitas que

otras. Por ejemplo, si ocurre una conificación simultánea de agua y gas en

un pozo, entonces ocurrirán cambios rápidos de presiones y saturaciones en

un intervalo de tiempo.

4.4.7 Otras técnicas de aproximación numérica.

La mayoría de los modelos de simulación de yacimientos utilizan la técnica

de diferencia finita para aproximar numéricamente las ecuaciones de flujo;

sin embargo existen otras técnica aplicables a tal fin, tales como el método

de Galerkin y los métodos de variaciones.