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Universidad De La Salle Bajío
Escuela de Ingenierías
Opción de titulación Tesis
“Evaluación óptica de los campos dinámicos de desplazamiento del latón sometido a tensión continua”
Presenta Juan Carlos Madrid Garay
Ingeniería Mecánica Eléctrica
No. De acuerdo de validez oficial 2002194
Agosto 2009 León, Gto. México
I
RESUMEN
Se presenta resultados de un ensayo de tracción de un espécimen (probeta
metálica) que es sometido a una fuerza de tracción uni-axial la cual se incrementa
continuamente, mientras se realiza observación simultánea de la elongación de la
probeta. La evaluación de los campos de desplazamiento se realiza mediante una
técnica óptica conocida como interferometría de moteado (en inglés Electronic
Speckle Pattern Interferometry de donde se obtiene su acrónimo ESPI) en
combinación con la técnica de desplazamiento de fase (Phase Stepping). Los
resultados obtenidos corresponderán a un seguimiento en el tiempo dado que la
fuerza será aplicada de manera continua en la muestra. El arreglo óptico utilizado
corresponde a un sistema de iluminación dual con sensibilidad en la dirección “y”.
Se toma mediante una cámara CCD, una serie de imágenes sucesivas durante la
deformación y posteriormente se correlaciona por pares de imágenes
consecutivas mediante una diferencia de intensidades, para la obtención de los
campos de desplazamiento. También se presenta resultados para los campos de
deformación, esfuerzo y módulo de Young. El material bajo estudio corresponde al
latón.
II
DEDICATORIA
Esta tesis se la dedico principalmente a Dios, ya que sin él nada podemos hacer.
Dios es quien nos concede el privilegio de la vida y nos ofrece lo necesario para
lograr nuestras metas.
También le dedico esta tesis a mis padres, porque ellos siempre están aquí en las
buenas y en las malas: me educan, me aconsejan, me imparten valores para
conducirme correctamente y me ofrecen el sabio consejo en el momento
oportuno.
A mis hermanos por siempre darme su apoyo y su confianza en los momentos
malos y buenos de mi vida.
III
AGRADECIMIENTOS
Quiero expresar mi agradecimiento:
A la Universidad de la Salle Bajío por darme la oportunidad de realizarme
profesionalmente.
A mis padres por darme la vida, una maravillosa formación, por su ternura y todo
su amor, y por contagiarme de sus mayores fortalezas. Mamá, tú me pusiste como
ejemplo el ser “luchona” y decidida, y el pelear contra la adversidad que es una
condición dolorosa pero pasajera, me enseñaste a levantarme después de cada
tropiezo y a tener siempre un colchón para los tiempos difíciles. Papá, me
enseñaste a ser perseverante y paciente, a ponerme pasos fijos para alcanzar mis
metas y a guiarme por la premisa de que “toda disciplina tiene su recompensa”.
A mis hermanos por darme su apoyo y confianza en las buenas y en las malas, al
igual el apoyo y la hermandad que siempre hemos tenido gracias a mis padres.
A mi Directora de Tesis, Dra. Amalia Martínez García por su generosidad al
brindarme la oportunidad de recurrir a su capacidad y experiencia científica en un
marco de confianza, afecto y amistad, fundamentales para la concreción de este
trabajo.
Al Ing. Juan Antonio Rayas por sus valiosas sugerencias y acertados aportes
durante el desarrollo de este trabajo.
A mis profesores que me dieron instrumentos para lograr un mundo nuevo.
Al Centro de Investigaciones en Óptica (CIO) por haberme dado la oportunidad de
ocupar sus instalaciones y equipos para realizar mi tesis.
A CONACYT por apoyos recibidos a través de la Convocatoria 2008 para
investigadores nacionales vías el fortalecimiento de actividades de tutoría y del
IV
Proyecto 48286-F Interferometría de moteado para contorneo y análisis de
deformaciones en 3D.
V
ÍNDICE PROPUESTO
Introducción general…………………………………...……………………….………...1
Justificación………………………………………………………………………………..3
Capítulo 1 Conceptos de mecánica experimental……………………...………….….6
1.1 Importancia de los métodos experimentales………………….…………………..6
1.2 Resistencia de los materiales…………………………..…………………………..6
1.3 Fundamentos de mecánica experimental…………………………………………7
1.4 Esfuerzo y deformación……………………………………………………………..8
1.5 Materiales elásticos y ley de Hooke…………………………………………...… 10
1.6 Módulo de elasticidad o módulo de Young…………………………………...….11
1.7 Tensión……………………………………………………………………………….13
1.8 Compresión………………………………….………………………………….......13
1.9 Flexión………………………………………………………………………………..13
1.10 Galgas extensiométricas……………………………………………………........15
Capítulo 2 Revisión de algunos conceptos básicos en óptica……….……….…….17
2.1 ¿Qué es la óptica? ¿Qué es la luz?…………………………..…………….…….17
2.2 Definición de una onda……………………………………………………………..19
2.3 Tipos de ondas: ondas transversales y ondas longitudinales………………….20
2.4 Movimiento ondulatorio……………………………………………………………..21
2.5 Ondas unidimensionales…………………………………………………………...22
2.6 Ondas armónicas……………………………………………………………….......27
2.7 Fase y velocidad de fase…………………………………………………………...33
2.8 Descripción de algunos tipos de onda……………...……………..……………...34
2.8.1 Ondas planas……………………………………………………………………...34
2.8.2 Ondas esféricas………………………………………………………………......39
2.9 Conceptos básicos de elementos ópticos………..………………………….......43
2.10 Fenómeno de interferencia…………………………………………………….....48
2.11 Interferómetro de Young……………………………………………………….....49
VI
2.12 Doble rendija de Young.………………………………...………………………..49
2.13 Interferómetro de Michelson……………………………………………………...51
Capítulo 3 Interferometría de moteado…………...……………………………..……54
3.1 Fenómeno de moteado…………………………………………………….……….54
3.2 Interferometría electrónica de patrones de moteado (ESPI)...………...……....58
3.3 Interferómetro sensible a desplazamientos en el plano……………..………….60
3.4 Técnica de desplazamiento de fase...………………………………….…...……63
3.5 Método de phase stepping o corrimiento de fase de tres pasos……...............63
Capítulo 4 Generación de datos experimentales………………………...…………..66
4.1 Obtención de la curva carga-desplazamiento mediante el uso de la máquina
universal de ensayos mecánicos……………………………….……………………...66
4.2 Obtención de los campos de desplazamiento por métodos óptico……………69
4.3 Evaluación de los campos de esfuerzos, deformaciones y módulo de Young
por medios ópticos…………………………………………………………………...….77
Capítulo 5 Conclusiones………………………………………………………………..83
Apéndice A: Desenvolvimiento de fase……………………………………………….85
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………..89
VII
LISTA DE FIGURAS
Fig. 1 Patrones de moteado a) Antes de la deformación, b) Después de la
deformación y c) Patrón de franjas correspondiente a la correlación de los
patrones de moteado mostrados en a) y b)…………………………………………….3
Fig. 2 Cubo de esfuerzos…………………………………………………………………9
Fig. 3 Diagrama esfuerzo deformación de material dúctil a pruebas de tensión…12
Fig. 4 Probeta sometida a tensión……………...……………………………………...13
Fig. 5 Probeta sometida a compresión………………………………………..………13
Fig. 6 Probeta sometida a flexión……………………………………………..……….15
Fig. 7 Tipos de galgas: a) Para un eje, b) Para dos ejes, c) Para tres ejes……….15
Fig. 8 a) Espectro electromagnético; b) Parte del espectro electromagnético
correspondiente a la parte del visible………………………………………………….18
Fig. 9 Ondas longitudinales....................................................................................20
Fig. 10 Ondas transversales...................................................................................20
Fig. 11 Una onda en una cuerda………………………………..……………………..21
Fig. 12 Sistema de referencia móvil………………………………………………..….23
Fig.13 Variación de ψ con x y t………………………………………………………..26
Fig.14 Una onda progresiva en tres tiempos diferentes…………………………….29
Fig.15 Una onda armónica.....................................................................................31
Fig. 16 Ondas periódicas anarmónicas..................................................................32
Fig. 17 Ondas planas son aquellas que tienen frentes de onda planos y sus rayos
son paralelos…………………………………………………………………………..…35
Fig. 18 a) Los vectores unitarios de la base cartesiana, b) Una onda plana
moviéndose en la dirección de kr……………………………………………………...37
Fig. 19 Frentes de onda para una onda plana armónica.......................................39
Fig. 20 Ondas bidimensionales..............................................................................40
Fig. 21 Ondas esféricas..........................................................................................40
Fig. 22 Geometría de coordenadas esféricas.........................................................41
Fig. 23 Exposición cuádruple de un pulso esférico………………………………....42
Fig. 24 Láser...........................................................................................................43
VIII
Fig. 25 Divisor de haz…………………………………………………………………...44
Fig. 26 Tipos de lentes………………………………………………………………....45
Fig. 27 Diferentes tamaños de espejos………………..….…………………………..45
Fig. 28 Ley de Snell…….………………………......................................................46
Fig. 29 Ejemplos de filtros……………………………………………………………...47
Fig. 30 Filtro espacial…………………………………………………………………....48
Fig. 31 (a) Interferómetro de Young, que funciona por división de frente de
onda……………………………………………………………………………………….50
Fig. 32 Interferómetro de Michelson, que funciona por división de amplitud..…...51
Fig. 33 Franjas obtenido de un interferómetro de Michelson…..…………………...53
Fig. 34 Patrón de moteado…………..…………………………………………………55
Fig. 35 Formación del moteado……………..…………………………………………55
Fig. 36 Formación de un patrón de moteado objetivo……………………………….56
Fig. 37 Formación de un patrón de moteado subjetivo….…..……………………..56
Fig. 38 Transición de reflexión especular a dispersión difusa. Las superficies son:
(a) lisa, (b) ligeramente rugosa, (c) moderadamente rugosa y (d)
rugosa……………………………………………………………………………...…......57
Fig. 39 Interferómetro sensible a desplazamientos en el plano…..………………..59
Fig. 40 Franjas de correlación obtenida como resultado de la sustracción de los
patrones de speckle correspondientes a dos estados diferentes del
objeto…………………………………………………………………………………......62
Fig. 41 Patrón de franjas con un corrimiento de fases de tres pasos: a) 0 , b) 3
2π
y c) 3
4π ……….………………………………………………………………………...64
Fig. 42 Dimensiones de la probeta en milímetros……..……………………………..67
Fig. 43 Resultados de los ensayos a tensión para la fila y=0………………..…….68
Fig. 44 Diagrama esfuerzo - deformación para el latón considerando la fila y=0...68
Fig. 45 Sistema de interferometría de moteado de doble iluminación. Sus
componentes corresponden a: 1) Láser, 2) Cámara CCD y lente zoom, 3) Divisor
de haz, 4) Espejos, 5) Objetivo de microscopio, 6) Probeta latón, 7) Máquina
universal, 8) Mordazas…………………………………………………………….……70
IX
Fig. 46 a), b), c) Imágenes correspondientes a un corrimiento de fase para tres
pasos, d) Fase envuelta, e) Fase desenvuelta, f) Campo de desplazamiento (, )vxy ……………………………………………………………………………………...71
Fig. 47 a) Campo de deformación (, )xyε , b) Campo de esfuerzos (, )xyσ , c)
Campo de módulo de Young (, )E xy …………………………..…………………….79
Fig. 48 Gráfica de esfuerzo deformación……………………………...……………...82
Fig. 49 Ejemplo de una distribución de fase mostrando las discontinuidades debido
al cálculo del valor principal, ésta se conoce como fase envuelta; (B) Valores de
fase que tienen que ser sumados en los puntos de discontinuidad y (C) Fase
desenvuelta…………………...……………………………………………………...…..86
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Fase y rango de valores de acuerdo a los signos en el numerador ( φsen )
y denominador ( φcos ) en la expresión para la φtan , para el rango final de las
fases es entre π− a π+ ……………………………………..…………………….…..87
Tabla 2. Fase y rango de valores de acuerdo a los signos en el numerador ( φsen )
y denominador ( φcos ) en la expresión para la φtan , para el rango final de las
fases es entre 00 a π2+ …………………………………………..…………….……..88
1
INTRODUCCIÓN GENERAL
Los métodos experimentales tienen un papel importante en la ciencia, ingeniería
y pruebas de biomecánica ya que éstos pueden ser usados para validar o
corregir los modelos analíticos, empíricos y numéricos.
En los diversos campos de la ingeniería es necesario realizar mediciones de
parámetros que conduzcan al conocimiento de las características del
desempeño de los objetos. Por ejemplo, en ocasiones es necesario cuantificar
dimensiones, fuerzas, presiones, etc. que permitan conocer si la estructura o
elementos de un puente, de un vehículo o de un equipo, pueden resistir bajo
condiciones específicas de trabajo. Sin embargo, no siempre es posible medir
directamente la variable física de interés, por lo que es necesario recurrir a
mediciones indirectas que permitan inferir sobre la magnitud de la variable
requerida. Para ello, se recurre a los principios físicos y al comportamiento de
los materiales de acuerdo a sus propiedades, ya sean mecánicas, eléctricas,
térmicas, químicas u ópticas.
Entre las diferentes técnicas experimentales utilizadas para la medición de
esfuerzos y deformaciones, podemos mencionar algunas técnicas ópticas como
son la fotoelasticidad1, shearografía2, interferometría holográfica3, interferometría
de moteado4-10, etc. Por parte de la mecánica experimental podemos mencionar
la extensometría eléctrica11.
Las técnicas mencionadas forman parte del grupo de pruebas no destructivas,
es decir, de aquéllas que no requieren que el elemento sujeto a prueba deba ser
afectado estructuralmente.
En esta tesis se aplicará la técnica conocida como interferometría de moteado
para obtener los campos de desplazamiento en una probeta la cual es sujeta a
una carga mecánica. El objeto bajo estudio corresponde a una probeta de latón
de forma rectangular cuyas dimensiones son: 30 mm por 210 mm y un espesor
2
de 3 mm. Ésta fue colocada en la máquina universal a prueba de tensión. La
carga mecánica fue aplicada de manera continua y controlada desde una PC.
El registro de los datos de salida del ensayo, tanto de las cargas aplicadas como
de las deformaciones obtenidas, se fue almacenando en una base de datos para
posteriormente obtener las gráficas tanto de desplazamiento, esfuerzo-
deformación y el módulo de Young.
También describiremos brevemente la técnica correspondiente a
extensiometría eléctrica. La extensometría eléctrica es utilizada para determinar
la deformación que experimenta un elemento, mecánico o estructural, cuando es
sometido a una carga. A partir de la deformación, se puede estimar el estado de
esfuerzos e, indirectamente, la magnitud de la carga que actúa en el punto de
medición si se conocen las características geométricas.
Las ventajas que ofrecen las técnicas ópticas incluyen alta sensibilidad y
mediciones de campo completo, además de ser una técnica donde no hay
contacto con la superficie de prueba.
3
JUSTIFICACIÓN
Las razones del estudio del latón son las siguientes:
Es un material fácilmente moldeable con una temperatura de fusión inferior
comparada con otros materiales como el hierro, aceros, bronce y el cobre puro.
Tiene una facilidad para ser fundido y colado con moldes de arena, metálicos o
coquillas, por gravedad o con máquinas inyectores a presión. También se
puede obtener piezas de geometrías complejas generalmente en bisutería.
Excelente comportamiento y plasticidad en la estampación. En caliente admite
bien la deformación en frío, cuando la aleación es rica en cobre (60%) tiene
buena maleabilidad y ductilidad. Buen conductor de la electricidad, buenas
propiedades de soldadura. Tiene una excelente maquinabilidad, es un material
fácilmente reciclable y cuyos residuos se pueden seleccionar con facilidad y
volver a fundir cuantas veces sea necesario es decir que es un material 100%
reciclable, no se altera con las temperaturas comprendidas entre 100 0c y
200 0c ni se degrada con la luz, tiene buena resistencia al desgaste. El latón es
muy utilizado, es resistente y se puede utilizar en muchas partes tanto en el
área automotriz, cerrajerías entre otros.
Una técnica útil en la caracterización de las propiedades mecánicas de los
materiales es la técnica de interferometría de moteado. En ésta, al correlacionar
dos imágenes de moteado (antes y después de la deformación que sufre el
objeto bajo prueba) aparece un patrón de franjas correspondientes a la
deformación (Fig.1).
a)
Fig. 1 Patrones de moteado a) Antes de la deformación, b) Después de la deformación y c) Patrón de franjas correspondiente a la correlación de los patrones de moteado mostrados en a) y b).
b)
c)
4
El desarrollo de la interferometría de moteado es útil en el análisis de vibración
para usos industriales y medición de los campos de deformación4-10 lo cual
conlleva a análisis de esfuerzos. Los elementos mecánicos sometidos a tensión
sufren deformaciones no lineales, estas deformaciones pueden causar
concentraciones de esfuerzo que localmente pueden sobrepasar los límites
admisibles y provocar micro-fracturas. Los métodos interferométricos
proporcionan una herramienta de gran sensibilidad y precisión mediante la
interferencia constructiva y destructiva de las ondas tanto para la obtención de
los campos de deformación4-10 como para la obtención de la topografía de
objetos12. En esta tesis de licenciatura presenta un estudio del comportamiento
mecánico del latón.
La investigación servirá para apoyar parcialmente al desarrollo del proyecto de
CONACYT: Interferometría de moteado para contorneo y análisis de
deformaciones 3D, con vigencia febrero de 2007 a febrero de 2010, CONACYT,
Ref: 48286-F.
5
OBJETIVO GENERAL:
• Obtener mediante una técnica óptica los campos de desplazamiento de
un material metálico el cual es sujeto a una carga mecánica que varía
con el tiempo.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Revisión de conceptos básicos de mecánica experimental.
• Revisión de algunos conceptos básicos en óptica.
• Revisión de los interferómetros de Young y Michelson.
• Obtención de los campos de desplazamiento mediante interferometría de
moteado y la técnica de desplazamiento de fase de tres pasos.
• Obtención de la curva de esfuerzo-deformación mediante la máquina de
esfuerzos.
6
CAPÍTULO 1 CONCEPTOS DE MECÁNICA EXPERIMENTAL
1.1 IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS EXPERIMENTALES
Los materiales se seleccionan para diversas aplicaciones y componentes
adecuando las propiedades del material a las condiciones funcionales
requeridas por la componente. El primer paso en el proceso de selección
requiere que se analice la aplicación para determinar las características más
importantes que debe poseer el material. ¿Debe ser el material resistente, rígido
o dúctil? ¿Estará sometido a la aplicación de una gran fuerza, o a una fuerza
súbita intensa, a un gran esfuerzo, a elevada temperatura o a condiciones de
abrasión? Una vez determinadas las propiedades requeridas se selecciona el
material apropiado usando datos que se encuentran en los manuales. Sin
embargo, se debe saber cómo se obtienen las propiedades listadas en los
manuales, saber qué significan y darse cuenta que resultan de pruebas ideales
que pueden no aplicarse a casos reales de la ingeniería.
En este capítulo se definirán algunos conceptos básicos de la mecánica
experimental útiles para la obtención de los campos de esfuerzos mecánicos.
1.2 RESISTENCIA DE LOS MATERIALES
Resistencia de materiales es una ciencia sobre los métodos de ingeniería de
cálculo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los elementos de máquinas
y construcciones13.
La resistencia es la capacidad de una estructura, de sus partes y elementos de
contrarrestar una carga determinada sin descomponerse.
La propiedad del elemento de la construcción de oponerse a las deformaciones
se denomina rígidez.
7
El problema de resistencia de los materiales está relacionado con el estudio de
la estabilidad de las formas de equilibrio de los cuerpos reales (deformables). Se
entiende por estabilidad, la capacidad de un elemento de oponerse a grandes
perturbaciones del equilibrio inalterado, como resultado de acciones de
perturbación pequeñas.
Una acción de perturbación puede ser considerada, como resultado, una
variación pequeña de la carga exterior.
El equilibrio de un elemento es estable, si a una variación pequeña de la carga
corresponde una variación pequeña de las deformaciones. El equilibrio es
inestable, si un crecimiento limitado de la carga va acompañado de un
crecimiento ilimitado de las deformaciones.
1.3 FUNDAMENTOS DE MECÁNICA EXPERIMENTAL
Las cargas que actúan sobre las estructuras y sus elementos están constituidas
por fuerzas y pares (momentos). Estas cargas pueden ser concentradas o
distribuidas.
Las fuerzas concentradas se miden en kilogramos o toneladas o en newtons
según el sistema internacional.
Las cargas distribuidas pueden ser de superficie (presión del viento o del agua
sobre una pared) o de volumen (peso propio de un cuerpo). Las cargas
distribuidas se miden en unidades de fuerza referidas a la unidad de longitud, de
área o de volumen. Tanto las cargas concentradas como en las distribuidas
pueden ser estáticas o dinámicas.
Las cargas cuyas magnitudes o puntos de aplicación varían muy lentamente, de
tal manera que se pueda prescindir de las aceleraciones que surgen, se llaman
cargas estáticas.
Cuando actúan cargas de este tipo, las vibraciones de las estructuras y sus
elementos son insignificantes.
Las cargas que varían con el tiempo a una velocidad considerable se llaman
cargas dinámicas.
8
1.4 ESFUERZO Y DEFORMACIONES
El esfuerzo es una consecuencia de las fuerzas internas que se producen en un
cuerpo por la aplicación de cargas exteriores. El esfuerzo σ debido a la fuerza
resultante P que actúa sobre una sección de área A es definida como14-18.
PA
σ = (1)
Donde σ es el esfuerzo unitario dado en N/m², P es la carga aplicada cuyas
unidades corresponden a Newton N y A es el área sobre la cual actúa la carga
dada en m².
La intensidad de las fuerzas internas usualmente varía de punto a punto sobre la
sección y para definir el esfuerzo sobre un punto consideramos cualquier área
Aδ , siendo Pδ la fuerza transmitida a través de ella.
La Ec. 1 nos da el esfuerzo normal en un elemento bajo carga axial.
Se considerará un cubo con aristas infinitesimales de valor: dx, dy y dz. Este
cubo tiene seis caras y en cada una de ellas se considerará que actúan tres
esfuerzos internos: uno normal y dos de corte. La notación utilizada es: σx para
el esfuerzo normal aplicado en la cara normal al eje x, de igual forma se define
σy, σz. Para los esfuerzos cortantes, la notación es τab que denota el esfuerzo de
corte que actúa en la cara normal al eje “a” y que apunta en la dirección del eje
“b” de esta forma se define τxy, τxz, τyx, τyz, τzx, τzy.
Consideremos entonces, un elemento cúbico muy pequeño de un objeto con
lados paralelos al sistema coordenado cartesiano, Fig. 2.
9
Fig. 2 Cubo de esfuerzos.
Componentes normales del esfuerzo
I. Tienen un sufijo único y actúan en la dirección normal de la superficie.
II. Son positivos cuando actúan en tensión y negativos a compresión.
Esfuerzo cortantes
I. Tienen dos sufijos, el primero muestra la dirección de la normal a la
superficie sobre la cual está actuando. El segundo muestra la dirección de la
componente del esfuerzo.
II. Son tomados como positivos de acuerdo a los ejes.
El cambio de longitud que sufre un objeto bajo esfuerzo, se conoce como
deformación. La deformación unitaria se define como el cambio en la longitud
por unidad de longitud:
ddL
δε = (2)
10
Donde ε es la deformación unitaria (m/m), d δ es la deformación total (m) y dL es
la longitud original (m).
Si se cumplen las siguientes condiciones:
• El elemento sometido a tensión debe tener una sección transversal recta
constante;
• El material debe de ser homogéneo; y
• La fuerza o carga debe ser axial, es decir, producir un esfuerzo uniforme.
De esta manera la deformación unitaria se puede expresar como
Lδ
ε = (3)
1.5 MATERIALES ELÁSTICOS Y LEY DE HOOKE
Un material es elástico cuando recupera sus dimensiones originales al eliminarle
una carga. Una forma particular de elasticidad que se aplica a muchos
materiales de ingeniería, al menos en parte de su rango, produce
deformaciones. En vista de que las cargas son proporcionales a los esfuerzos
que producen y las deformaciones son proporcionales a la deformación unitaria,
esto implica que, mientras los materiales sean elásticos, el esfuerzo será
proporcional a la deformación unitaria. Si el material es elástico, la deformación
producida por cualquier carga se eliminara por completo cuando ésta cese; así
pues, no existe deformación permanente.
11
1.6 MÓDULO DE ELASTICIDAD O MÓDULO DE YOUNG
Dentro de los límites elásticos de los materiales, es decir, dentro de los límites
que se aplica la ley de Hooke, se ha demostrado que el esfuerzo se relaciona
con la deformación a través de una constante.
Esta constante se representa mediante la letra E y se llama módulo de
elasticidad o módulo de Young, y está definida por la siguiente ecuación15:
E σ
ε= (4)
Donde σ representa el esfuerzo y ε la deformación unitaria.
Normalmente el valor real de módulo de Young para cualquier material se
determina al realizar una prueba estándar de tensión en una muestra del
material.
En la primera parte de esta prueba se observa la ley de Hooke (Fig. 3), ya que el
material se comporta elásticamente y el esfuerzo es proporcional a la
deformación unitaria obteniendo la gráfica de línea recta, se llega a alcanzar un
punto A en el que la naturaleza lineal de la gráfica se pierde. Ese punto se le
conoce como límite de proporcionalidad.
Durante un corto intervalo después de este punto el material aún se comporta
elásticamente ya que las deformaciones se recuperan completamente cuando se
suprime la carga, pero no se cumple la ley de Hooke. El punto límite B para esta
condición se denomina límite elástico. Para la mayoría de los objetos prácticos,
pueden suponerse que los puntos A y B coinciden.
12
Después del límite elástico se presenta la deformación plástica y las
deformaciones ya no se recuperan totalmente. De este modo, habrá ciertas
deformaciones permanentes cuando se suprima la carga. Después del punto C,
denominado límite superior de fluencia y D, denominado límite inferior de
fluencia se presentan incrementos relativamente rápidos en la deformación sin
los incrementos elevados correspondientes de la carga o del esfuerzo. De este
modo, la gráfica resulta mucho más extendida y abarca una porción mucho
mayor del eje de deformación que el de rango elástico del material. La
capacidad de un material para permitir estas deformaciones plásticas constituye
una medida de lo que se le llama ductilidad del material.
Entre los puntos D y E el material está en un estado elástico plástico donde
partes de su sección permanecen elásticas, por último en el punto E ocurrirá la
fractura.
Fig. 3 Diagrama esfuerzo deformación de material dúctil a pruebas de tensión.
13
1.7 TENSIÓN
La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres
parámetros: intensidad, dirección y sentido (Fig. 4). Por otro lado, la dimensión
que tiene es la de una fuerza por unidad de área.
El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal
al plano de la sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos
componentes de tensión denominadas tensión normal (σ) y tensión tangencial
(τ).
Fig. 4 Probeta sometida a tensión.
1.8 COMPRESIÓN
Fuerzas aplicadas en direcciones encontradas, fuerza que tiende a prensar,
esto tiene a causar una reducción de volumen, Fig.5.
Fig. 5 Probeta sometida a compresión.
1.9 FLEXIÓN
Consiste en la desviación del eje de una barra recta o en el cambio de la
curvatura de una barra curva. El desplazamiento de algún punto del eje de la
barra que sucede durante la flexión se expresa por un vector, cuyo origen
coincide con la posición inicial del punto, y el final, con la posición del mismo
punto en la barra deformada Fig. 6.
Carga Carga
Carga Carga
14
En ingeniería estructural el fenómeno aparece principalmente en pilares y
columnas, y se traduce en la aparición de una flexión adicional en el pilar cuando
se halla sometido a la acción de esfuerzos axiales de cierta importancia. La
aparición de flexión de pandeo limita severamente la resistencia en compresión
de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto
valor de la carga axial de compresión, denominada carga crítica de pandeo,
puede producirse una situación de inestabilidad elástica y entonces fácilmente la
deformación aumentará produciendo tensiones adicionales que superarán la
tensión de rotura, provocando la ruina del elemento estructural. Además del
pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elástica
provocada por un momento torsor excesivo.
Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. Para un elemento
estructural frecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las
cargas están lejos de las cargas críticas asociadas a cada modo o manera de
pandear. Los modos típicos son15:
• Pandeo flexional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión
se flecta lateralmente sin giro ni cambios en su sección transversal.
• Pandeo torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión
gira alrededor de su centro de corte.
• Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en
compresión se flecta y gira simultáneamente sin cambios en su sección
transversal.
• Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo de un elemento a flexión que
involucra deflexión normal al plano de flexión y, de manera simultánea, giro
alrededor del centro de corte.
15
Fig. 6 Probeta sometida a flexión. 1.10 GALGAS EXTENSIOMÉTRICAS
Uno de los problemas encontrados en la medición de deformaciones mecánicas
es determinar las distancia en dos puntos separados una corta distancia l0. Uno
de los métodos más aceptados para la medición de deformaciones, es usando
las galgas extensiométricas11. Las galgas extensiométricas son resistencias
eléctricas hechas a base de películas conductoras pegadas al material por
analizar con un adhesivo especial, las resistencias eléctricas cambian, dando
información local efectiva del área donde se pego la galga y no la superficie total
del objeto. Fig. 7 mostramos algunas representaciones de las galgas
extensiométricas y otras que se encuentran en el mercado.
Fig. 7 Tipos de galgas: a) Para un eje, b) Para dos ejes, c) Para tres ejes.
Carga
a) b) c)
16
Una selección adecuada para un uso específico confía principalmente en el
parámetro de longitud, resistencia y configuración. Las longitudes de galgas
estándar en hojas de metal son (20 mm) por (102 mm), y resistencias de 120 a
350 ohm son comercialmente disponibles; sin embargo, para el uso de un
transductor, es posible encontrar algunas resistencias de (500, 1000 y 3000 Ω )
según el tamaño deseado. Para poder observar ambos campos de tensión se
utiliza la roseta, esta permite conocer la magnitud principal de tensión.
Áun cuando el empleo de este método haya sido un instrumento importante en
pruebas de deformaciones mecánicas, es importante también considerar
algunas de las principales limitaciones.
La limitación para medidas de deformación exactas es significativa para tomar
en la cuenta los aspectos siguientes:
• Es importante tener cuidado al preparar la superficie donde la galga será
montada.
• Para la complejidad de la estructura no es una tarea trivial la posición de
las galgas.
• Esta técnica no es apropiada en el caso de estructuras de ligero peso.
• La operación ideal de esta técnica es bajo ambientes controlados.
Existen otros métodos para poder obtener el esfuerzo de los materiales como
son: Fotoelasticidad1, Shearografía2, Interferometría holográfica3, Interferometría
electrónica de moteado4 (ESPI), etc.
17
CAPÍTULO 2 REVISIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS EN ÓPTICA
2.1 ¿QUÉ ES LA ÓPTICA? ¿QUÉ ES LA LUZ?
Empecemos por definir la óptica. La óptica es la rama de la física que estudia el
comportamiento de la luz, sus características y sus manifestaciones. Abarca el
estudio de la reflexión, la refracción, la interferencia, la difracción y la formación
de imágenes y la interacción de la luz con la materia19.
La óptica estudia y manipula un tipo de energía llamada radiación
electromagnética. Los científicos e ingenieros ópticos trabajan en la parte del
espectro que va de los rays-x al infrarrojo lejano (radiación 1 nm = 10-9 m a
1 mm = 10-3 m].
¿Qué es la luz?
Sabemos que durante el día la fuente primaria de luz es el sol. Otras fuentes
comunes son las flamas, luz de bulbos, etc. La luz se origina del movimiento
acelerado de los electrones. Es un fenómeno electromagnético y solamente una
parte pequeña de un rango amplio de ondas electromagnéticas llamado espectro
electromagnético, Fig.8.
La luz, que llega a nuestros ojos y nos permite ver, es un pequeño conjunto de
radiaciones electromagnéticas de longitudes de onda comprendidas entre los
380 nm y los 770 nm.
18
Fig. 8 a) Espectro electromagnético; b) Parte del espectro electromagnético correspondiente a la parte del
visible.
a)
b)
19
2.2 DEFINICIÓN DE UNA ONDA
Para definir una onda, podemos recurrir a ejemplos cotidianos. Una onda es la
forma que adquiere una cuerda al sacudir su extremo, el sonido producido en la
laringe de los hombres y de los animales que permite la comunicación entre los
individuos de la misma especie, las ondas producidas cuando se lanza una
piedra a un estanque, la forma de propagarse la corriente eléctrica, las ondas
electromagnéticas producidas por emisoras de radio, televisión, una
perturbación que se propaga desde el punto en que se produjo hacia el medio
que rodea ese punto, etc.
Para producir una onda necesitamos energía, lo que se propaga es únicamente
energía y cantidad de movimiento.
Denominamos onda o movimiento ondulatorio al fenómeno de transmisión de
una perturbación de un punto a otro del espacio sin que exista un transporte de
materia entre ambos puntos.
Gran parte de las ondas se describen mediante ecuaciones armónicas
(funciones seno o coseno) y las magnitudes de amplitud, frecuencia, longitud de
onda y velocidad de propagación.
El movimiento de cualquier objeto material en un medio (aire, agua, etc.) puede
ser considerado como una fuente de ondas. Al moverse perturba el medio que lo
rodea y esta perturbación, al propagarse, puede originar un pulso o un tren de
ondas.
Un impulso único, una vibración única en el extremo de una cuerda, al
propagarse por ella origina un tipo de onda llamada pulso. Las partículas oscilan
una sola vez al paso del pulso, transmiten la energía y se quedan como estaban
inicialmente. El pulso sólo está un tiempo en cada lugar del espacio. El sonido
de un disparo es un pulso de onda sonora.
Si las vibraciones que aplicamos al extremo de la cuerda se suceden de forma
continua se forma un tren de ondas que se desplazará a lo largo de la cuerda.
20
2.3 TIPOS DE ONDAS: ONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS
LONGITUDINALES
En función del tipo de soporte que requieren para su propagación las ondas se
clasifican en mecánicas y electromagnéticas. Las mecánicas requieren un medio
elástico para propagarse y las electromagnéticas no, se pueden propagar en el
vacío.
Si las clasificamos en función de como vibran respecto a la dirección de
propagación tenemos las ondas longitudinales19 (Fig. 9) y las transversales19.
(Fig.10).
Fig. 9 Ondas longitudinales.
Fig. 10 Ondas transversales.
Si las partículas del medio en el que se propaga la perturbación vibran
perpendicularmente a la dirección de propagación las ondas se llaman
transversales. Si vibran en la misma dirección se llaman longitudinales.
Las ondas transversales tienen crestas y valles y las longitudinales tienen
compresiones y dilataciones. En los dos tipos de ondas una partícula siempre se
separa armónicamente de la posición de equilibrio.
Las ondas longitudinales (como las del sonido) se propagan en medios con
resistencia a la compresión (gases, líquidos y sólidos) y las transversales
necesitan medios con resistencia a la flexión, como la superficie de un líquido, y
21
en general medios rígidos. Los gases y los líquidos no transmiten las ondas
transversales.
2.4 MOVIMIENTO ONDULATORIO
Hay muchos procesos físicos, aparentemente no relacionados entre sí, que se
pueden describir en función de las matemáticas del movimiento ondulatorio. Al
respecto hay similitudes fundamentales entre un pulso que viaja a lo largo de
una cuerda tensa Fig. 11, una pequeña onda de superficie en una taza de té y la
luz que nos llega del algún punto remoto del universo. Se desarrollará algunas
de las técnicas matemáticas necesarias para tratar problemas ondulatorios en
general. Comenzaremos con algunas ideas muy simples concernientes a la
propagación de perturbaciones y de ellas llegaremos a la ecuación diferencial de
onda en una dimensión. A lo largo de todo el estudio de la óptica se utilizan
ondas planas, esféricas y cilíndricas. De acuerdo con ello, desarrollaremos sus
representaciones matemáticas, demostrando que son soluciones de la ecuación
diferencial de onda.
Fig. 11 Una onda en una cuerda.
ν
22
2.5 ONDAS UNIDIMENSIONALES
Las ondas electromagnéticas que se propagan en el vacío, es decir que no
requieren medio que se perturbe para propagarse, lo hacen a velocidad muy alta
de 300,000 Km / seg. Lo cual es la velocidad de la luz que se le denomina c.
Imaginemos una perturbación ψ que viaja en la dirección positiva de x con una
velocidad constante v.
Como la perturbación está en movimiento, debe ser una función tanto de la
posición como del tiempo y se puede escribir entonces como
( )txf ,=ψ (5)
La forma de la perturbación en cualquier instante, por ejemplo 0=t , se puede
encontrar manteniendo el tiempo constante en ese valor. En este caso
( ) ( ) )(0,,0
xfxftxt
===
ψ (6)
Representa la forma o perfil de la onda en ese momento. El proceso es análogo
a tomar una “fotografía” del pulso que va viajando. Por el momento nos
limitaremos a una onda que no cambia su forma mientras avanza a través del
espacio19.
La Fig. 12 es una “exposición doble” de tal perturbación tomada al comienzo y al
final del intervalo de tiempo t. El pulso se ha movido a lo largo del eje x una
distancia vt , pero en todos los otros aspectos permanece inalterado.
Ahora introducimos un sistema coordenado S ′ que viaja con el pulso a la
velocidad v . En este sistema, ψ ya no es una función del tiempo y puesto que
23
nos movemos junto con S ′ vemos un perfil constante estacionario con la misma
forma funcional de la ec. 6.
Aquí, el eje coordenado es x′ en lugar de x , de tal forma que
( )xf ′=ψ (7)
Fig. 12 Sistema de referencia móvil.
La perturbación se ve igual para cualquier valor de t en S ′ como lo era en S
para 0=t cuando S y S ′ tenían un origen común. De la Fig. 12:
vtxx −=′ (8)
De tal forma que ψ se puede escribir en términos de las variables asociadas con
el sistema S:
( ) ( )vtxftxf −== ,ψ (9)
Esto representa la forma más general de la función de onda unidimensional. De
un modo específico, solamente tenemos que escoger la Ec (6) y entonces
S S ′
vt 1x′
1x
x
x′
ψ
24
sustituir ( )vtx − por x en )(xf . La expresión resultante describe una onda móvil
que tiene el perfil deseado. Si verificamos la forma de la Ec. 9 examinando ψ
después de un aumento t∆ de tiempo y un aumento correspondiente en x de
tv ∆ encontramos.
( ) ( )[ ] ( )vtxfttvtvxf −=∆+−∆+ (10)
y el perfil está inalterado.
Similarmente, si la onda estuviera viajando en la dirección negativa de x, es
decir, hacia la izquierda, la Ec. 9, quedaría
( )vtxf +=ψ , con 0⟩v . (11)
Por consiguiente, podemos concluir que, independientemente de la forma de la
perturbación, las variables x y t deben aparecer en la función como una unidad;
es decir, como una variable simple de la forma )( vtx m .
La Ec. 9, se expresa a menudo equivalentemente como una función de )( vxt −
ya que
−=
−−=−
v
x
tF
v
vtx
Fvtxf )( (12)
De la información deducida hasta aquí se puede desarrollar la forma general de
la ecuación diferencial de una onda unidimensional.
Tomemos la derivada parcial de ( )tx,ψ con respecto a x manteniendo t
constante. Usando vtxx m=′ tenemos.
x
f
x
x
x
f
x ′∂
∂=
∂
′∂
′∂
∂=
∂
∂ψ ya que 1=
∂
′∂
x
x
(13)
25
Si mantenemos x constante, la derivada parcial con respecto al tiempo es
x
f
v
t
x
x
f
t ′∂
∂=
∂
′∂
′∂
∂=
∂
∂m
ψ (14)
Combinando las ecs. (13) y (14) obtenemos:
x
v
t ∂
∂=
∂
∂ ψψm (15)
Esto dice que la rapidez de cambio de ψ con respecto a t y a x es igual, excepto
por una constante multiplicativa como se muestra en la Fig. 13.
Conociendo de antemano que necesitaremos dos constantes para especificar
una onda podemos anticipar una ecuación de segundo orden.
Tomando las segundas derivadas parciales de la ecs. (13) y (14):
2
2
2
2
x
f
x ′∂
∂=
∂
∂ ψ (16)
y
∂
∂
′∂
∂=
′∂
∂
∂
∂=
∂
∂
t
f
x
v
x
f
v
tt
mm2
2ψ (17)
Ya que
t
f
t ∂
∂=
∂
∂ψ (18)
Se obtiene usando la ec. (14) que
26
2
22
2
2
x
f
v
t ′∂
∂=
∂
∂ ψ (19)
Fig.13 Variación de ψ con x y t.
Combinando estas ecuaciones se obtiene
2
2
22
2 1
tvx ∂
∂=
∂
∂ ψψ (20)
( )0,txψ
( )00 , tvxψ
0x
0tt = tiempo mantenido
constante
x
( )tx ,0ψ
( )00 , tvxψ
0vt vt
0xx = posición mantenida
constante
27
Que es la ecuación diferencial de onda en una dimensión.
Es claro de la forma de la Ec. 20 que si dos funciones de ondas diferentes 1ψ y
2ψ son cada una soluciones diferentes entonces ( )21 ψψ + es también una
solución.
De acuerdo con esto, la ecuación de onda se satisface de manera más general
por una función de onda que tiene la forma
( ) ( )vtxgCvtxfC ++−= 21ψ (21)
Donde 1C y 2C son constantes y las funciones son diferenciables dos veces.
Esto es claramente la suma de dos ondas que viajan en direcciones opuestas a
lo largo del eje x con la misma velocidad pero no necesariamente el mismo
perfil.
2.6 ONDAS ARMÓNICAS
No se ha dado una dependencia funcional explícita a la función de onda ( )tx,ψ ,
es decir, no hemos especificado su forma. Examinemos la forma de onda más
simple donde el perfil es una curva seno o coseno, éstas se conocen como
ondas senoidales, ondas armónicas simples u ondas armónicas.
Escojamos para el perfil la función simple:
( ) ( ) )(,0
xfkxsenAxtxt
====
ψψ (22)
28
Donde k es una constante positiva conocida como el número de propagación y
kx está en radianes.
El seno varía de +1 a -1 de manera que el máximo valor de ( )xψ es A. Este
máximo de la perturbación se conoce como la amplitud de la onda Fig. 14.
A fin de transformar la Ec. 22 en una onda progresiva que viaja con velocidad v
en la dirección positiva de x, necesitamos simplemente reemplazar x por ( )vtx − ,
en cuyo caso:
( ) ( ) ( )vtxfvtxksenAtx −=−=,ψ (23)
Esta es una solución de la ecuación diferencial de onda (20).
Manteniendo fijas, bien sea x o t, resulta una perturbación senoidal de tal forma
que la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo.
El periodo espacial se conoce como longitud de onda y se denota por λ . Un
aumento o disminución en x en la cantidad λ debe dejar ψ inalterada, es decir:
( ) ( )txtx ,, λψψ ±= (24)
En el caso de una onda armónica, esto es equivalente a alterar el argumento de
la función seno en π2± . Por consiguiente
( ) ( )[ ]vtxksenvtxksen −±=− λ
( )[ ]λkvtxksen ±−= (25)
Y así πλ 2=k
( )2senkx vt π= − ±
29
Fig.14 Una onda progresiva en tres tiempos diferentes.
+A
-A
(, )xψ τ
4λ
2λ 3
4λ λ 5
4λ 32
λ 74
λ x
t = τ +A
-A
(,2 )xψ τ
t = 2τ
x
+A
-A
(,0 )xψ
λ
t = 0
x
30
o, ya que k y λ son números positivos
λπ2=k (26)
De manera análoga, se puede examinar el periodo temporal τ . Ésta es la
cantidad de tiempo que le toma a una onda completa pasar un observador
estacionario. En este caso, es el comportamiento repetitivo de la onda en el
tiempo el que es de interés, de manera que
( ) ( )τψψ ±= txtx ,, (27)
Y
( ) ( )[ ]τ±−=− tvxksenvtxksen (28)
( )[ ]π2±−= vtxksen
Por consiguiente
πτ 2=kv (29)
Pero todas éstas son cantidades positivas y así
πτ 2=kv (30)
O
πτλ
π2
2=v (31)
31
De lo cual se sigue que
v
λτ = (32)
El periodo es el número de unidades de tiempo por onda Fig. 15, el inverso del
cual es la frecuencia ν o el número de ondas por unidad de tiempo.
Entonces
τν
1≡ (ciclos/s o Herts) (33)
y la Ec. 32 queda
λν=v (m/s) (34)
Fig.15 Una onda armónica.
Hay otras dos cantidades que se usan a menudo con respecto al movimiento
ondulatorio que son la frecuencia angular
τ
πω
2= (radianes/s) (35)
0(, )xtψ
+A
-A
x = x0
t
τ
32
Y el número de onda
λ
χ1
≡ (36)
La longitud de onda, período, frecuencia, frecuencia angular, número de onda y
número de propagación describen aspectos de la naturaleza repetitiva de una
onda en el espacio y en el tiempo.
Estos conceptos se aplican igualmente a ondas que no son armónicas siempre
que cada perfil de onda esté formado por un patrón regularmente repetitivo.
Algunos ejemplos de funciones no armónicas se muestran en la Fig. 16.
Fig. 16 Ondas periódicas anarmónicas.
ψ
0
Período espacial
x
ψ
0 x
Período espacial
Período espacial
0
ψ
x
33
Formulaciones de una onda armónica progresiva19
( )vtxksenA m=ψ (37)
=
τλπψ
tx
senA m2 (38)
( )txsenA νχπψ m2= (39)
( )tkxsenA ωψ m= (40)
= t
v
x
senA mπνψ 2 (41)
Debe notarse que todas estas ondas son de extensión infinita, es decir para
cualquier valor fijo de t, x varía de ∞− a ∞+ . Cada onda tiene sólo una
frecuencia constante y por consiguiente se dice que es monocromática.
2.7 FASE Y VELOCIDAD DE FASE
Examinemos cualquiera de las funciones de onda armónica, tales como
( ) ( )tkxsenAtx ωψ −=, (42)
El argumento completo de la función seno se conoce como la fase ϕ de la onda,
de manera que
( )tkx ωϕ −= (43)
Para 0== xt
34
( ) ( ) 00,0,00 ==
== ψψ
t
xtx (44)
El cual es ciertamente un caso especial.
Más generalmente, podemos escribir
( ) ( )εωψ +−= tkxsenAtx, (45)
Donde ε es la fase inicial o edad del ángulo.
El ángulo de fase ϕ, si bien es más complicado decir que es, es sencillo
entender su significado. Cada punto de una onda posee una fase definida que
indica cuanto ha progresado o avanzado dicho punto a través del ciclo básico de
la onda. Escuchamos la idea de fases de la luna, que indica justamente donde
está la luna respecto a su ciclo el cual se repite siempre (por eso es ciclo). Las
fases de las ondas son las que gobiernan lo que ocurre cuando dos o más
ondas se encuentran. Si dos ondas en el agua se cruzan, puede ocurrir que
cuando una esté en la cresta máxima, el otro esté en la mínima, y como
consecuencia de esto se aplaca el movimiento en el lugar de cruce de ambas,
es decir el máximo cancela al mínimo. Esta superposición de ondas se da así
porque ambas ondas que se encontraron estaban fuera de fase, es decir tenían
diferentes ángulos de fase, estaban desfasadas. Es la diferencia de fase entre
ondas que se superponen lo que produce el fenómeno de interferencia.
2.8 DESCRIPCIÓN DE ALGUNOS TIPOS DE ONDA
2.8.1 ONDAS PLANAS
En la física de propagación de ondas (especialmente ondas electromagnéticas),
una onda plana o también llamada onda unidimensional, es una onda de
35
frecuencia constante cuyos frentes de onda (superficies con fase constante) son
planos paralelos de amplitud constante normales al vector velocidad de fase
Fig. 17. Es decir, son aquellas ondas que se propagan en una sola dirección a lo
largo del espacio, como por ejemplo las ondas en los muelles o en las cuerdas.
Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de ondas son planos y
paralelos.
Por extensión, el término es también utilizado para describir ondas que son
aproximadamente planas en una región localizada del espacio. Por ejemplo, una
fuente de ondas electromagnéticas como una antena produce un campo que es
aproximadamente plano en una región de campo lejano. Es decir que, a una
distancia muy alejada de la fuente, las ondas emitidas son aproximadamente
planas y pueden considerarse como tal.
Fig. 17 Ondas planas son aquellas que tienen frentes de onda planos y sus rayos son paralelos.
Hay razones prácticas para estudiar este tipo de perturbación, una de las cuales
es que usando sistemas ópticos podemos producir fácilmente luz semejante a
ondas planas.
Frentes de onda
Rayos
36
La expresión matemática para un plano perpendicular a un vector dado k
r y que
pasa a través de un algún punto (x0, y0, z0) es bastante fácil de deducir (Fig. 18).
Primero escribimos el vector de posición en coordenadas cartesianas, en
términos de los vectores unitarios de la base (Fig. 18 a).
ˆ ˆ ˆr xi yj zk= + +r
(46)
Comienza en algún origen arbitrario O y termina en el punto (x, y, z) que, por el
momento, puede ser cualquier lugar en el espacio.
De un modo parecido,
0 0 0 0ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r r x x i y y j z z k− = − + − + −
r r (47)
Estableciendo
0( ) 0r r k− ⋅ =rr r
(48)
Obligamos al vector 0( )r r−r r a barrer un plano perpendicular a k
r, al ir
adquiriendo su punto extremo (x, y, z) todos los valores permitidos.
Con
ˆ ˆ ˆx y zk ki kj kk= + +
r (49)
La Ec. 48 puede expresarse de la siguiente forma
0 0 0( ) ( ) ( )0x y zk x x k y y k z z− + − + − = (50)
O como
x y zkx ky kz a+ + = (51)
37
Fig. 18 a) Los vectores unitarios de la base cartesiana. b) Una onda plana moviéndose en la dirección de kr
x
y
z
O i
j
k
a)
x
y
z
O
b)
k
r
0rrrr
−
),,( 000 zyx
),,( zyx
38
Donde
x y za kx ky kz= + + = constante (52)
La forma más concisa de la ecuación de un plano perpendicular a kres entonces
kr⋅ =r r
constante = a (53)
El plano es el lugar de todos los puntos cuyos vectores de posición cada uno la
misma proyección en la dirección de kr.
Ahora podemos construir un conjunto de planos sobre los cuales ( )rψ r varía de
manera sinusoidal en el espacio, es decir
( ) ( )r Asenkrψ = ⋅rr r
(54)
( )cos ( )r A krψ = ⋅rr r
(55)
( )
ikrr Aeψ ⋅=r rr
(56)
Para todas estas expresiones ( )rψ r se mantiene constante sobre cada plano
definido por =⋅ rkrr
constante19. Como estamos analizando las funciones
armónicas, deberían repetirse en el espacio después de un desplazamiento de
λ en la dirección de k
r. En la Fig. 19 se representa de manera muy sencilla esta
clase de expresión. Del número infinito de planos, se han dibujado unos pocos,
cada uno con una ( )rr
ψ diferente. La perturbación ocuparía todo el espacio.
39
Fig. 19 Frentes de onda para una onda plana armónica.
2.8.2 ONDAS ESFERICAS
Arrojemos una piedra a un depósito de agua. Las ondas superficiales que
proceden del punto de impacto, se esparcen hacia afuera en ondas circulares
bidimensionales Fig. 20. Extendiendo esta imagen a tres dimensiones,
imagínese una pequeña esfera que late, rodeada de un fluido. La contracción y
expansión de la fuente generan variaciones de presión que se propagan hacia
afuera como ondas esféricas Fig. 21.
Desplazamiento
en la dirección de k
r
+A
-A
)(rψ
λ
40
Fig. 20 Ondas bidimensionales.
Fig. 21 Ondas esféricas.
41
Considérese ahora una fuente puntual ideal de la luz. La radiación que procede
de ella fluyen radialmente hacia afuera, uniformemente en todas las direcciones.
Se dice que la fuente es isótropa y los frentes de onda resultantes son de nuevo
esferas concéntricas con diámetro creciente cuando se expanden en el espacio
que los rodea. La simetría obvia de los frentes de onda sugiere que podría ser
más conveniente describirlos matemáticamente en términos de coordenadas
esféricas polares19 (Fig.22).
Fig. 22 Geometría de coordenadas esféricas.
La ecuación de onda esférica armónica está dada por:
(, ) cos ( )
Art kr tr
ψ υ
= ±
(57)
x
y
z
θsenr
θcosr
φθ cossenr φθ sensenr
r
θ
φ
( )φθ ,,rP
42
Donde la constante A se denomina intensidad de la fuente. Para cualquier valor
fijo del tiempo, esto representa una agrupación de esferas concéntricas que
llenan todo el espacio.
Cada frente de onda, o superficie de fase constante, está dado por
kr = constante (58)
Obsérvese que la amplitud de cualquier onda esférica es una función de r,
donde el término 1−r sirve como factor de atenuación. Contrariamente a la onda
plana, una onda esférica disminuye en amplitud, cambiando por lo tanto un
perfil, al expandirse y alejarse del origen. La Fig. 23. ilustra este hecho
gráficamente, mostrando una “exposición múltiple” de un pulso esférico en
cuatro tiempos diferentes.
Fig. 23 “Exposición cuádruple” de un pulso esférico.
(, )rtψ
1t
2t
3t 4t
ψ
0 1
V
43
2.9 CONCEPTOS BÁSICOS DE ELEMENTOS ÓPTICOS
El láser
Las siglas en inglés de la palabra LÁSER significa Light Amplification by
Stimulated Emission of Radiation, Amplificación de Luz por Emisión Estimulada
de Radiación19.
El láser es un rayo de luz proveniente de un "cañón" que lo genera a partir de un
proceso opto-físico. Ese rayo se diferencia de la luz común por poseer una
altísima densidad de potencia que le provee un brillo muy superior al de
cualquier artefacto lumínico convencional. Tiene además una apertura de haz
muy pequeña que hace que se lo pueda utilizar como un "pincel" a la distancia.
Fig. 24.
Fig. 24 Láser.
Divisor de haz
Un divisor de haz es un elemento óptico que funciona como un semi-espejo tal
que divide un haz de luz en dos haces independientes, Fig. 25 (parte de la luz
pasa y otra parte es reflejada).
En los proyectores estereoscópicos, un prisma de 90 º divide el haz en dos que
son a su vez desviados hacia la pantalla, en la que aparecen el registro, por
otros dos prismas.
44
Un accesorio óptico de disposición similar permite registrar con una cámara
normal imágenes estereoscópicas. Se usan divisores de haz en cine y TV y en
holografía, para dividir el rayo láser.
Fig. 25 Divisor de haz.
Lentes
Las lentes son dispositivos ópticos que tiene la función de hacer converger o
diverger los rayos de luz que lo atraviesan Fig. 26. En el primer caso se dice que
la lente es positiva; en el segundo, negativa.
La lente positiva es una lente de aumento empleada en las gafas para miopes.
En los telescopios astronómicos llamados refractores el objetivo está formado
por una lente (o un sistema de lentes) de tipo positivo, ya que forma una imagen
de los objetos invertida y más pequeña. Es función entonces del ocular
ampliarla.
Las características fundamentales de una lente son la distancia focal, es decir, la
que va del centro óptico de la lente al punto en el que se forma la imagen de un
objeto situado en el infinito, y el diámetro o apertura de la lente. Cuanto mayor
es la distancia focal, mayores son las dimensiones del objeto que se forma en el
láser
Semi-espejo
45
plano focal. La apertura, en cambio, no influye en la dimensiones del objeto,
aunque sí sobre la cantidad de luz que recoge la lente.
Fig. 26 Tipos de lentes.
Espejos
Un espejo es una superficie pulida en la que al incidir la luz, se refleja siguiendo
las leyes de la reflexión19 Fig. 27.
La reflexión es el cambio de dirección o en el sentido de propagación de una
onda.
Fig. 27 Diferentes tamaños de espejos.
convergente
divergente
46
Leyes de la reflexión especular
Cuando la superficie reflectante es muy lisa ocurre una reflexión de luz llamada
especular. Para este caso las leyes de la reflexión son las siguientes:
1. El rayo que incide, el rayo reflejado y la normal con relación a la
superficie de reflexión en el punto de incidencia, deben estar en el mismo plano
(mismo medio).
2. El ángulo formado entre el rayo que incide y la normal es igual al ángulo
que existe entre el rayo reflejado y la misma normal.
Ley de Snell
La ley de Snell es una fórmula simple utilizada para calcular el ángulo de
refracción de la luz al atravesar la superficie de separación entre dos medios de
índice de refracción distinto, la ley de Snell fue formulada para explicar los
fenómenos de refracción de la luz se puede aplicar a todo tipo de ondas
atravesando una superficie de separación entre dos medios en los que la
velocidad de propagación la onda varíe. Una parte de la luz incidente se refleja
en la frontera y la otra parte se transmite al otro medio, Fig. 28. La ley de Snell
queda expresada mediante la ecuación19:
1 1 2 2nsen nsenθ θ= (59)
donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios, 1θ y 2θ son los
ángulos del rayo incidente y del rayo transmitido, respectivamente.
47
Fig. 28 Ley de Snell.
Filtrado Espacial
El filtrado espacial es la operación que se aplica a una imagen para resaltar o
atenuar detalles espaciales con el fin de mejorar la interpretación visual o facilitar
un procesamiento posterior, y constituye una de las técnicas comprendidas
dentro del realce de imágenes. Fig. 29.
Fig. 29 Ejemplos de filtros: a) Pasa bajas, b) Pasa altas y c) Pasa banda.
a)
b)
c)
48
Ejemplos comunes incluyen aplicar filtros para mejorar los detalles de bordes en
imágenes, o para reducir o eliminar patrones de ruido. El filtrado espacial es una
operación "local" en procesamiento de imagen, en el sentido de que modifica el
valor de cada píxel de acuerdo con los valores de los píxeles que lo rodean; se
trata de transformar los niveles de gris originales de tal forma que se parezcan o
diferencien más de los correspondientes a los píxeles cercanos.
Mediante un filtro espacial (Fig. 30) el cual está compuesto de un objetivo para
abrir un haz y de un orificio (cuyo diámetro es del orden de micras) se puede
obtener un haz limpio dado que se ha filtrado la luz espuria.
Fig. 30 Filtro espacial.
Frecuencia Espacial
La frecuencia espacial define la magnitud de cambios en el nivel de gris por
unidad de distancia en una determinada zona de la imagen. Las áreas de la
imagen con pequeños cambios o con transiciones graduales en los valores de
los datos se denominan áreas de bajas frecuencias. Las áreas de grandes
cambios o rápidas transiciones se conocen como áreas de altas frecuencias.
2.10 FENÓMENO DE INTERFERENCIA
La interferometría se basa en el fenómeno de la interferencia, que podemos
producir cuando dos ondas luminosas de exactamente la misma frecuencia se
49
superponen sobre una pantalla. Además de tener la misma frecuencia, estas
ondas deben ser sincrónicas, es decir que sus diferencias de fase, y por lo tanto
las distancias entre las crestas de ambas ondas, deben permanecer constantes
con el tiempo. Esto es prácticamente posible sólo si la luz de ambas ondas que
interfieren proviene de la misma fuente luminosa. Pero si es solamente una
fuente luminosa la que produce la luz, los dos haces luminosos que se
interfieren deben generarse de alguna manera del mismo haz. Existen dos
procedimientos para lograr esto: denominamos al primero división de amplitud y
al segundo división de frente de onda. Usando estos dos métodos básicos se
han diseñado una gran cantidad de interferómetros, con los que se pueden
efectuar medidas sumamente precisas.
2.11 INTERFERÓMETRO DE YOUNG
Los dos haces luminosos que interfieren se pueden obtener a partir de un frente
de onda, con cualquier de los dos procedimientos siguientes:
Dividiendo lateralmente el frente de onda en dos, sin cambiar su irradiancia.
Separando el frente de onda en dos y dividiendo su irradiancia en dos, pero
preservando su extensión lateral.
La división de frente de onda se puede lograr por medio de difracción, reflexión o
refracción. En cualquier caso, la luz que ilumine el interferómetro debe ser
espacialmente coherente.
La irradiancia es la magnitud utilizada para describir la potencia incidente por
unidad de superficie de todo tipo de radiación electromagnética. En unidades del
sistema internacional se mide en W/m² (Watts / metro cuadrado).
50
2.12 DOBLE RENDIJA DE YOUNG
La división del frente de onda de que se ha hablado se puede efectuar de
manera muy simple mediante una doble rendija, como se muestra en la Fig.31.
Al llegar el frente de onda a las rendijas, esta se expande en forma angular en
cada uno de los agujeros debido a un fenómeno llamado difracción.
Consideremos una onda plana monocromática hipotética que ilumina una rendija
larga y estrecha. De esa rendija primaria, la luz se difractará con todos los
ángulos hacia delante y emergerá una onda cilíndrica. Supongamos que esta
onda, a su vez, indica en dos rendijas S1 y S2 muy juntas, estrechas y paralelas
tal y como se muestra en Fig. 31. cuando existe simetría, los segmentos de
frente de onda primario que llegan a las dos rendijas estarán exactamente en
fase y las rendijas constituirán dos fuentes secundarias coherentes. Es de
suponer que donde quiera que las dos ondas procedentes de S1 y S2 se
superpongan, se producirá interferencia (siempre que la diferencia de camino
óptico sea menor que la longitud de coherencia).
Fig.31 (a) Interferómetro de Young, que funciona por división de frente de onda.
Pantalla con doble rendija
Frente de onda
Interferencia destructiva
Patrón de interferencia sobre la pantalla
Curva de la distribución de intensidad
Onda de luz
Fuente de luz
Interfererencia constructiva
Interferencia destructiva
Interfererencia constructiva
a)
51
Laser
Espejo
Espejo
Divisor haz
Pantalla
2.13 INTERFERÓMETRO DE MICHELSON
El interferómetro de Michelson, inventado por Albert Abraham Michelson es un
interferómetro que permite medir distancias con una precisión muy alta. Su
funcionamiento se basa en la división de un haz coherente de luz en dos haces
para que recorran caminos diferentes y luego converjan nuevamente en un
punto. De esta forma se obtiene lo que se denomina un patrón de interferencia
que permitirá medir pequeñas variaciones en cada uno de los caminos seguidos
por los haces.
En un principio, la luz es dividida por una superficie semiespejada (o divisor de
haz) en dos haces. El primero es reflejado y se proyecta hasta el espejo (arriba),
del cual vuelve, atraviesa la superficie semiespejada y llega al detector. El
segundo rayo atraviesa el divisor de haz, se refleja en el espejo (derecha) luego
es reflejado en el semiespejo hacia abajo y llega al detector Fig. 32.
Fig. 32 Interferómetro de Michelson, que funciona por división de amplitud.
Láser
Espejo
Espejo
Divisor de haz
Pantalla
52
El espacio entre el semiespejo y cada uno de los espejos se denomina brazo del
interferómetro. Usualmente uno de estos brazos permanecerá inalterado durante
un experimento, mientras que en el otro se colocarán las muestras a estudiar.
Hasta el observador llegan dos haces, que poseen una diferencia de fase
dependiendo fundamentalmente de la diferencia de camino óptico entre ambos
rayos. Esta diferencia de camino óptico puede depender de la posición de los
espejos o de la colocación de diferentes materiales en cada uno de los brazos
del interferómetro. Esta diferencia de camino hará que ambas ondas puedan
sumarse constructivamente o destructivamente, dependiendo de si la diferencia
es un número entero de longitudes de onda (0, 1, 2,...) o un número entero más
un medio (0,5; 1,5; 2,5; etc.) respectivamente.
En general se emplean lentes para ensanchar el haz y que sea fácilmente
detectable por un fotodiodo o proyectando la imagen en una pantalla. De esta
forma el observador ve una serie de anillos, y al desplazar uno de los espejos
notará que estos anillos comienzan a moverse Fig. 33. En esta forma se puede
explicar la conservación de la energía, ya que la intensidad se distribuirá en
regiones oscuras y regiones luminosas, sin alterar la cantidad total de energía.
Generalmente cuando se monta un Michelson Fig. 32, de la que no se puede
determinar cuál es la diferencia de camino, porque si se observa una suma
constructiva sólo se puede inferir que la diferencia es múltiplo de la longitud de
onda. Por esto el interferómetro se usa para medir pequeños desplazamientos;
una vez que se tiene una figura de interferencia inicial, al cambiar la posición de
uno de los espejos se verá que las franjas de interferencia se mueven. Si
tomamos un punto de referencia, por cada franja que lo atraviese habremos
movido el espejo una distancia d equivalente a una longitud de onda (menor al
micrómetro19):
2d N λ
=
(60)
53
Donde N es el número de franjas que pasan por el punto de referencia y λ es la
longitud de onda de iluminación.
Fig. 33 Patrón de franjas obtenido de un interferómetro de Michelson.
54
CAPÍTULO 3 INTERFEROMETRÍA DE MOTEADO
3.1 FENÓMENO DE MOTEADO
El fenómeno de moteado aunque fue descubierto por Newton en el año de 1730,
no fue hasta la aparición del láser cuando comenzó su gran auge en el ámbito
científico. La operación del primer láser de He-Ne en 1960 revela un fenómeno
no esperado: los objetos vistos con luz altamente coherente adquieren una
apariencia granular. Goodman presenta un estudio estadístico del moteado y
sus propiedades principales20.
Las superficies de la mayoría de los materiales son extremadamente rugosos
con respecto a la escala de la longitud de onda ( 7105 −×≅λ meters).
El estudio está basado en las propiedades estadísticas de primero y segundo
orden para la irradiancia y la fase de los patrones de moteado. Algunas hipótesis
presentadas son las siguientes:
1) El objeto es rugoso. Esto significa, que la raíz cuadrada del valor
cuadrático medio de la altura de la rugosidad, es mucho mayor que la longitud
de onda de la fuente de irradiancia utilizada.
2) Cada elemento de resolución en el plano objeto contiene muchos
dispersores. Por ello, la pupila de salida del sistema óptico se llena completa y
uniformemente con la luz dispersada por el objeto.
3) La luz está linealmente polarizada y al incidir sobre el objeto no cambia su
estado de polarización.
Como consecuencia de estas hipótesis, se formula una estadística de primer
orden para la amplitud y la fase de los campos de moteado, que plantea:
Tanto la amplitud A(x,y) como la fase ),( yxϕ del frente de onda resultante son
estadísticamente independientes.
La fase se encuentra uniformemente distribuida en el intervalo (-π, π).
55
Cuando utilizamos un haz de luz coherente para iluminar un objeto rugoso, es
posible apreciar en su superficie un patrón aleatorio de manchas Fig. 34.
Fig. 34 Patrón de moteado.
La aparición de este fenómeno se debe a la coherencia de la fuente de
iluminación ya que la variación de rugosidad de la superficie es mayor que la
longitud de onda (λ) de la luz láser con que es iluminada. Esta iluminación es
reflejada desde la superficie rugosa hacia todas las direcciones haciendo
interferencia aleatoria y formando el patrón de moteado Fig. 35.
Fig. 35 Formación de moteado.
Superficie
Motita obscura (fuera de fase)
Motita brillante (en fase)
Fuente coherente
Plano de la película o detector
56
Existen dos maneras para poder obtener patrones de moteado; en el moteado
objetivo existe una propagación libre de las ondas reflejadas desde la muestra
rugosa hasta el plano de registro del patrón de moteado. El moteado subjetivo
usa un sistema óptico para hacer el registro del patrón.
La Fig. 36 muestra la formación de un patrón de moteado objetivo y la Fig. 37
muestra un moteado subjetivo.
Fig. 36 Formación de un patrón de moteado objetivo.
Fig. 37 Formación de un patrón de moteado subjetivo.
Obs
erva
tion
plan
e
Z
P
L
Illumination beam iluminación
Illum
inat
ed r
egio
n
Illum
inat
ed r
egio
n
Z
P
Obs
erva
tion
plan
e Illumination beam
d
Z0
P0
d0
M
57
Cada mota presenta un perfil casi gaussiano en el plano imagen y tiene una
diámetro que esta dado por.
#1.22 ( 1 )s F Mλ= + (61)
Donde F# es la apertura numérica del sistema óptico y M es la amplificación del
sistema óptico. A su vez, la apertura numérica de la lente de video está dada
por
#FD
δ= (62)
Donde δ es la distancia focal del lente y D el diámetro de su pupila de entrada.
La Fig. 38 presenta la forma de la reflexión de la luz para superficies cuya
rugosidad está cambiando de manera gradual.
(c)
(a) (b)
(d)
Fig. 38 Transición de reflexión especular a dispersión difusa. Las superficies son: (a) lisa, (b) ligeramente rugosa, (c) moderadamente rugosa y (d) rugosa.
58
En muchos casos el moteado se considera como ruido que afecta la calidad de
una imagen. Razón por la cual, los primeros estudios acerca del moteado se
dirigieron a la búsqueda de medios para combatir su presencia. Posteriormente
se demostró que el moteado podía ser empleado en la ciencia de las
mediciones, surgiendo de este modo la rama de la interferometría de moteado.
3.2 INTERFEROMETRÍA ELECTRÓNICA DE PATRONES DE MOTEADO
(ESPI)
Los métodos de interferometría de moteado se basan en la adición de un
segundo frente de onda (de referencia), que puede ser especular o moteado, al
patrón de moteado del objeto. Como la finalidad es hacerlos interferir, el haz
objeto y el de referencia deben proceder de la misma fuente láser. Como
resultado, el patrón de moteado estará formando por la interferencia de dos
haces coherentes entre sí.
Cuando el objeto sufre deformaciones, la adición de un haz de referencia tiene
como consecuencia un cambio en el comportamiento del patrón de moteado.
La intensidad en el patrón resultante depende de la distribución relativa de la
fase de la adición de los haces. Si el objeto es deformado, la fase relativa de los
dos campos cambia, causando una variación de intensidad del patrón resultante.
Considerando el interferómetro mostrado en la Fig. 39, la intensidad de algún
punto P (x, y) del objeto en el plano imagen (superficie del detector) esta dada
por.
) ) ) ( )(((, , , cosi A B A BIxy I xy I XY I I ψ= + + ⋅ (63)
Después de un cambio en la fase entre los dos frentes de ondas, esta
distribución estará dada por
) ) ) ( )(((, , , cosf A B A BI xy I xy I XY I I ψ φ= + + ⋅ + ∆ (64)
59
∆φ
Donde IA e IB son las intensidades de los haces y ψ es la diferencia de la fase
aleatoria entre los haces. La diferencia de fase adicional puede ser
introducida por deformación o desplazamiento del objeto bajo prueba.
Fig. 39. Interferómetro sensible a desplazamientos en el plano.
El patrón de moteado deformado es comparado con el patrón inicial
(correlación), mediante la suma o sustracción de intensidades. La correlación de
estos patrones da como resultado la aparición de un conjunto de franjas claras y
obscuras que corresponden a los sitios de diferencia de la fase igual entre los
frentes de onda. Esta diferencia de fase ( ∆φ ) se relaciona con la diferencia de
camino óptico introducido por el movimiento de la superficie, haciendo posible su
cuantificación.
Una mejor visibilidad del patrón de franjas se puede observar usando la
correlación por sustracción. Esta consiste en calcular el valor absoluto de la
X
Y
Z
Fuerza aplicada
EspejoX
Laser
Divisor de haz
CCD
Espejo
Objeto
S1
S2
Objeto
60
sustracción entre el patrón inicial y el patrón deformado. Esto da como resultado
la siguiente relación:
22 2f i A BI I I I sen senψ φ φ+ ∆ ∆
− = ⋅ ⋅ ⋅
(65)
Esta ecuación tiene dos términos que son funciones moduladas entre sí: la
primera, con una frecuencia espacial alta (el ruido del moteado); y la segunda,
con una frecuencia espacial más baja (las franjas de correlación). Un mínimo de
las franjas aparecen siempre que;
2Nφ π∆ = (66)
Donde N=1, 2,3…., es decir, donde quiera que la intensidad del patrón de
moteado ha regresado a su valor original.
Como se menciono anteriormente, esta técnica permite hacer mediciones de
campo completo y en tantos puntos como lo determine el sistema de video
haciendo posible la medición de los desplazamientos entre cada uno de los
puntos.
Pudiendo así determinar concentración de esfuerzos antes de sobrepasar el
límite de elasticidad de los materiales.
3.3 INTERFERÓMETRO SENSIBLE A DESPLAZAMIENTOS EN EL PLANO
Existen arreglos interferómetricos para la medición de deformaciones fuera de
plano21, deformaciones en plano8 y la derivada del desplazamiento2, entre otros,
cuya sensibilidad depende de las geometrías de iluminación y observación.
La Fig. 39 muestra un interferómetro de iluminación dual. El haz del láser es
dividido en dos haces mediante un divisor de haz. Los haces son re-dirigidos
61
mediante un par de espejos tal que los haces coincidan sobre la muestra que se
va a analizar. Posteriormente los haces son abiertos mediante filtros espaciales
con la finalidad de tener una mayor área iluminada. Una cámara CCD captura un
patrón de speckle, consecuencia de la interferencia de los frentes de onda
provenientes de ambos haces. Se toma una imagen de referencia,
posteriormente se toma una serie de imágenes consecutivas. Las cuales son
correspondientes a deformaciones consecutivas
La dirección de sensibilidad puede ser definida por un vector Sr
llamado vector
de sensibilidad. Si establecemos un sistema de coordenadas sobre el objeto, la
sensibilidad en el plano se refiere a la capacidad del interferómetro para detectar
los desplazamientos medidos en las direcciones de los ejes “x” e “y”
respectivamente, la sensibilidad fuera de plano a la capacidad para detectar los
desplazamientos en la dirección del eje “z”.
Dado que es el interés la medición del desplazamiento de la probeta de latón, se
utilizara un interferómetro sensible en el plano con sensibilidad en dirección “y”
para poder realizar dichas medidas. En la Fig.39 se muestra el diagrama de un
interferómetro sensible a desplazamientos en el plano. La diferencia de fase φ∆ ,
debida a un desplazamiento d del punto P, se determina por:
( )1 22 ˆ ˆK K dπ
φλ
∆ = − ⋅r
(67)
Donde 1k y 2k son los vectores unitarios de iluminación correspondientes a las
fuentes de iluminación S1 y S2. Se define como Sr
al vector de sensibilidad del
arreglo, el cual queda determinado por la diferencia de los vectores unitarios de
iluminación. Su dirección es paralela al plano del objeto. Según esta geometría y
para iluminación colimada, el cambio de fase puede calcularse como.
62
2
(2 )v senπφ θ
λ∆ = (68)
Donde v es la componente del desplazamiento en la dirección “y”, θ es el
ángulo de incidencia de la iluminación y λ la longitud de onda de la luz de
iluminación.
Despejando en la Ec. 68 el campo de desplazamiento ν se obtiene:
2 2v
senϕ λ
π θ
∆ =
(69)
Que es la expresión que utilizaremos para determinar, a partir de un patrón de
franjas, el desplazamiento de cada punto del objeto en el plano.
Como ya ha sido mencionado, la resta de los patrones de speckle registrados
antes y después de la deformación genera franjas de correlación, lo cual es
ilustrado en la Fig. 40. La sustracción se realiza en una computadora y por este
motivo, la técnica se conoce como interferometría electrónica de patrones
speckle (Electronic Speckle Pattern Interferometry, ESPI).
Imagen de referencia objeto deformado imagen de franjas
Fig.40 Franjas de correlación obtenida como resultado de la sustracción de los patrones de speckle
correspondientes a dos estados diferentes del objeto.
63
3.4 TÉCNICA DE DESPLAZAMIENTO DE FASE
Fase es una medida de la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales.
Aunque la fase es una diferencia verdadera de tiempo, siempre se mide en
términos de ángulo, en grados o radianes. Eso es una normalización del tiempo
que requiere un ciclo de la onda sin considerar su verdadero periodo de tiempo.
La diferencia en fase entre dos formas de onda se llama a veces el
desplazamiento de fase. Un desplazamiento de fase de 360 grados es un
retrazo de un ciclo o de un periodo de la onda, lo que realmente no es ningún
desplazamiento. Un desplazamiento de 90 grados es un desplazamiento de 1/4
del periodo de la onda etc. El desplazamiento de fase puede ser considerado
positivo o negativo; eso quiere decir que una forma de onda puede ser retrazada
relativa a otra o una forma de onda puede ser avanzada relativa a otra. Esos
fenómenos se llaman atraso de fase y avance de fase respectivamente.
3.5 MÉTODO DE PHASE STEPPING O CORRIMIENTO DE FASE DE TRES
PASOS
El método requiere que tres interferogramas sean grabados y digitalizados. Un
cambio de fase óptico de 1200 es introducido de manera secuencial en uno de
los haces del sistema de iluminación dual utilizado. La función φ∆ toma tres
valores discretos: 0 , 3
2π , 3
4π Fig. 41.
Sustituyendo cada uno de estos tres valores en la ecuación 64, se obtiene:
φ= + + ⋅ ⋅1 cos ( )A B A BI I I I I (70)
64
a( )
c( )
πφ= + + ⋅ ⋅ +22cos ( )3A B A BI I I I I (71)
πφ= + + ⋅ ⋅ +34cos ( )3A B A BI I I I I (72)
La Fig. 41 muestra los patrones de franjas obtenidos mediante las ecuaciones
70-72.
Fig.41 Patrón de franjas con un corrimiento de fases de tres pasos: a) 0 , b) 3
2π y c) 3
4π .
Para poder despejar y encontrar la fase se utilizaron las siguientes identidades
trigonometricas.
( ) βαβαβα sensenmcoscoscos =± (73)
( ) βαβαβα sensensen coscos ±=± (74)
Las cuales son aplicadas al término cos de las Ecs. 70-72:
( ) ( )2 2 2 1 3cos cos cos sin sin cos3 3 3 2 2
senπ π πφ φ φ φ φ
+ = ⋅ − ⋅ = − −
(75)
(b)
65
( ) ( )4 4 4 1 3cos cos cos sin sin cos3 3 3 2 2
senπ π πφ φ φ φ φ
+ = ⋅ − ⋅ = − +
(76)
Re- escribiendo las ecuaciones 70-72 se obtiene:
φcos21 BABAIIIII ++= (77)
φφπ
φ senIIIIIBABA
2
3cos
2
1
3
2cos22 −−=
+++= (78)
φφπ
φ senIIIIIBABA
2
3cos
2
1
3
4cos23 +−=
+++= (79)
Haciendo:
(80)
φcos32 321 =−− III (81)
Dividiendo las Ecs. 80-81 se obtiene:
( )
321
23
2
3tan
III
II
−−
−=φ (82)
De donde es posible la obtención de la tan para el algoritmo de tres pasos:
( )3 21
1 2 3
3tan
2I I
I I Iφ −
−= ⋅ − −
(83)
La ecuación 83 da como resultado lo que se conoce como fase envuelta. Para la
obtención de la fase desenvuelta se hace uso de algunos algoritmos
presentados por Malacara y colaboradores22, (ver apéndice A).
( )3 23 3I I sen φ− =
66
CAPÍTULO 4 GENERACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES
4.1 OBTENCIÓN DE LA CURVA CARGA-DESPLAZAMIENTO Y ESFUERZO-
DEFORMACIÓN MEDIANTE EL USO DE LA MÁQUINA UNIVERSAL DE
ENSAYOS MECÁNICOS
La máquina universal de ensayos mecánicos tiene como función comprobar la
resistencia de diversos tipos de materiales. Para esto posee un sistema que
aplica cargas controladas sobre una probeta (modelo de dimensiones
preestablecidas) y mide en forma de gráfica el desplazamiento y la carga al
momento de la ruptura.
La palabra ensayo significa que son pruebas, en el ámbito de laboratorio, para
llegar a unas conclusiones. Se usan probetas a escala, que conservan las
propiedades completas del material que deseamos probar.
La connotación de universales significa que se puede probar casi cualquier tipo
de material, y además, en diversos tipos de ensayo, como tensión, compresión,
flexión, etc.
La máquina posee un sistema hidráulico, para empujar el cilindro que aplica la
carga sobre probetas.
Posee una bomba cuya misión es darle presión al aceite, para que pueda aplicar
carga.
Como no en todo momento se está aplicando la carga, la posición normal, es de
recirculación del aceite. Únicamente cuando se abre la válvula de carga o
descarga, dicho aceite circula hacia o desde el cilindro que transmite la fuerza.
Se maquino una probeta de latón, Fig. 42 (forma rectangular 30 mm por 210 mm
y un espesor de 3 mm), la cual fue colocada en la máquina universal de ensayos
mecánicos a prueba de tensión y sometida a una carga continua controlada
desde una PC. Antes de iniciar el ensayo se aplico una pequeña precarga a la
probeta para estabilizar el inicio del ensayo (5N).
67
Fig. 42 Dimensiones de la probeta en milímetros.
Los datos de salida de la máquina de ensayo, tanto de las cargas aplicadas
como de desplazamientos obtenidos, fue almacenando en una base de datos
para posteriormente obtener la gráfica carga-desplazamiento Fig.43.
Teniendo las cargas aplicadas y el área transversal de la probeta en la fila y=0,
calculada de los datos originales de la probeta antes de ser deformada, pudimos
obtener el esfuerzo unitario en esas filas pero con todas las cargas aplicadas
durante el ensayo al utilizar la Ec. (1).
68
CARGA DESPLAZAMIENTO
-5
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4
DESPLAZAMIENTO (mm)
CA
RG
A (K
N)
Fig.43 Resultados de los ensayos a tensión para la fila y=0.
La deformación unitaria de la probeta de latón fue calculada tomando en cuenta
que la longitud original de la probeta es de 210 mm, pero debido a la sujeción de
las mordazas y la precarga, la longitud que tomamos en cuenta es de 139.7 mm,
que es la distancia entre las mordazas y con los desplazamientos obtenidos en
la gráfica carga-desplazamiento se pudo obtener la deformación del latón en una
sección transversal y=0 Fig. 44.
ESFUERZO DEFORMACIÓN
-5.0E+06
0.0E+00
5.0E+06
1.0E+07
1.5E+07
2.0E+07
2.5E+07
3.0E+07
3.5E+07
0 0.000005 0.00001 0.000015 0.00002 0.000025 0.00003
DEFORMACIÓN UNITARIA (m/m)
ES
FUE
RZO
(N/m
²)
Fig. 44 Diagrama esfuerzo - deformación para el latón considerando la fila y=0.
Punto de ruptura Parte plástica
Parte elástica
69
Representando el esfuerzo en función de la deformación unitaria para un metal
obtenemos una curva característica semejante a la que se muestra en la Fig. 44.
Durante la primera parte de la curva, el esfuerzo es proporcional a la
deformación unitaria, estamos en la región elástica. Cuando se disminuye el
esfuerzo, el material vuelve a su longitud inicial. La línea recta termina en un
punto denominado límite elástico.
Si se sigue aumentando el esfuerzo la deformación unitaria aumenta
rápidamente, pero al reducir el esfuerzo, el material no recobra su longitud
inicial. La longitud que corresponde a un esfuerzo nulo es ahora mayor que la
inicial, y se dice que el material ha adquirido una deformación permanente.
El material se deforma hasta un máximo, denominado punto de ruptura. Entre el
límite de la deformación elástica y el punto de ruptura tiene lugar la deformación
plástica.
Si entre el límite de la región elástica y el punto de ruptura tiene lugar una gran
deformación plástica el material se denomina dúctil. Sin embargo, si la ruptura
ocurre poco después del límite elástico el material se denomina frágil.
4.2 OBTENCIÓN DE LOS CAMPOS DE DESPLAZAMIENTO POR MÉTODOS
ÓPTICOS
Para obtener la deformación de la probeta de latón se utilizo un interferómetro
sensible a desplazamientos en plano. La Fig.45 muestra el arreglo óptico
implementado con sensibilidad en la dirección “y”
El ángulo de incidencia de los haces de iluminación divergente es de θ = 28.740.
La fuente de iluminación corresponde a un láser cuya longitud de onda es de
532 nm y de una potencia de 2 Watts. El sistema de video para la captura de los
patrones de moteado esta constituido por una cámara CCD con 640 x 480
70
píxeles y un software que permite guardar los datos en forma de arreglo de bits
(8 bits por elemento) en 256 niveles de gris.
El objeto bajo prueba fue sometido a una fuerza de 5N con la finalidad de
tensarla. En esta posición se coloco en cero y se grabo el patrón de moteado
correspondiente al que se identifica como patrón de referencia.
La máquina universal a tensión fue programada para obtener 1683 datos de
fuerza (N) consecutivas aplicadas, mientras que mediante el arreglo
interferómetrico se tomaron 168 imágenes. Para cada uno de ellas se aplico un
desplazamiento de fase de tres pasos, Fig. 40 a), b), c) (fase 0, fase 3
π , fase
π23 ).
Fig. 45 Sistema de interferometría de moteado de doble iluminación. Sus componentes corresponden a:
1) Láser, 2) Cámara CCD y lente zoom, 3) Divisor de haz, 4) Espejos, 5) Objetivo de microscopio,
6) Probeta latón, 7) Máquina universal, 8) Mordazas.
8)
8)
1)
2)
3)
7)
4)
5)
4)
6)
5)
4)
71
-3.5
-10.5
.297
0
.1485
.099
3.5
0
-7
7
X (cm)
-10.5 µ( )v m
Para la evaluación de los campos de desplazamientos se realizaron los
siguientes pasos:
1. Se toma una imagen de referencia y correlaciona por medio de una
sustracción con la siguiente imagen obtenida después de aplicar la carga
mecánica, obteniéndose un patrón de franjas.
2. Se aplica un corrimiento de fase a la imagen de referencia, obteniendose
tres patrones de franjas correspondientes al corrimiento de tres pasos Fig. 46 a),
b) y c).
3. Se obtiene mediante la Ec. 83 la fase conocida como fase envuelta
Fig. 46 d).
4. La fase envuelta pasa a ser una fase desenvuelta al aplicar el algoritmo
basado en el método de regularización22 Fig. 46 e).
5. Utilizando los datos de la fase desenvuelta y del vector de sensibilidad se
obtiene el campo de desplazamiento a través de la Ec. 69 Fig. 46 f).
Carga aplicada: 1 KN
Fig. 46 a), b), c) Imágenes correspondiente a un corrimiento de fase para tres pasos, d) Fase envuelta, e) Fase desenvuelta, f) Campo de desplazamiento (, )vxy .
a) b) c) d) e) -1.25 0 1.25 f)
72
-10.5
.546
0
.273
.182
10.5
3.5
0
-3.5
-7
7
X (cm)
µ( )v m
.819
0
.4095
.273
10.5
3.5
0
-3.5
-7
-10.5
7
X (cm)
µ( )v m
Carga aplicada: 2 KN. Carga aplicada: 4 KN. Continuación de Fig. 46.
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
f)
f)
-1.25 0 1.25
-1.25 0 1.25
73
1.907
0
.9535
.6357
10.5
3.5
0
-3.5
-7
-10.5
7
X (cm)
µ( )v m
0
.905
.604
-10.5
3.5
0
-3.5
-7
7
10.5
X (cm)
µ( )v m
1.81
Carga aplicada: 6 KN.
Carga aplicada: 8 KN.
Continuación de Fig. 46.
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
f)
-1.25 0 1.25
-1.25 0 1.25
f)
74
2.476
0
1.238
.8254
10.5
3.5
0 MMMM
-3.5
-7
-10.5
7
X (cm)
µ( )v m
2.982
0
1.491
.994
10.5
3.5
0 MMM
-3.5
-7
-10.5
7
X (cm)
µ( )v m
Carga aplicada: 10 KN. Carga aplicada: 12 KN. Continuación de Fig. 46.
a) b) c) d) e) f)
a) b) c) d) e) f)
-1.25 0 1.25
-1.25 0 1.25
75
1.682
0
.841
.5607
10.5
3.5
0 cmMM
-3.5
-7
-10.5
7
X (cm)
µ( )v m
1.403
0
.7015
.4677
10.5
3.5
0 MMMM
-3.5
-7
-10.5
7
µ( )v m
X (cm)
Carga aplicada: 14 KN. Carga aplicada: 16 KN. Continuación de Fig. 46.
a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
f)
f)
-1.25 0 1.25
-1.25 0 1.25
76
1.484
0
.742
.4947
3.5
0 cMMM
-3.5
-7
-10.5
7
10.5
X (cm)
µ( )v m
1.321
.6605
.4404
10.5
3.5
0 MMMM
-3.5
-7
-10.5
7
X (cm)
µ( )v m
Carga aplicada: 18 KN. Carga aplicada: 20 KN. Continuación de Fig. 46.
a) b) c) d) e) f)
a) b) c)
d) e) -1.25 0 1.25
-1.25 0 1.25
f)
77
1.171
0
.3355
.2237
10.5
3.5
0
-3.5
-7
-10.5
7
X (cm)
µ( )v m
Aplicando una carga de 22 KN.
Continuación de Fig. 46.
4.3 EVALUACIÓN DE LOS CAMPOS DE ESFUERZO, DEFORMACIONES Y
MÓDULO DE YOUNG POR MEDIOS ÓPTICOS
De acuerdo a la Ec. 2, la próxima etapa de evaluación es la determinación de las
derivadas de los desplazamientos. Derivando (, )xyν en la dirección “y” se
obtiene directamente la deformación yε . En la Fig. 47 a) se muestra la
distribución de la deformación.
Los campos de deformación son obtenidas por diferenciación numéricas, donde
la longitud del intervalo de la derivada y∆ es 1.
Es bien conocido al hecho de que el ruido en los datos es severamente
amplificado por la diferenciación.
Por consiguiente se aplico un filtro para suavizar las superficies de la Fig. 46 f)
antes de hacer la diferenciación numérica para obtener la deformación
Fig. 47 a).
a) b) c) d) e) f)
-1.25 0 1.25
78
La aproximación directa para la diferenciación numérica es calculada por
diferencias finitas:
1
1
(, ) (, )- (, )
-i i i i
i i
d xy x y x ydy y yν ν ν+
+
= (84)
Los mapas de desplazamiento (, )xyν exhiben discontinuidades a lo largo de la
región central circular de la placa Fig. 46 f). Para evitar esas discontinuidades, la
derivada no fue calculada en la región circular central de la placa.
El esfuerzo Fig. 47 b) de la probeta se pudo calcular con la carga aplicada y el
área transversal mediante la Ec. 1.
Haciendo uso de una de las imágenes del ensayo, se obtuvo el área transversal
de la probeta en cada fila de tal forma que esa imagen se binariso dando 1
donde había material y 0 donde no había material, una vez binarisado la imagen
se calculo el numero de píxeles con valor de 1 que correspondían a cada
sección transversal de la probeta (cada fila). Tomando en cuenta el ancho de la
probeta medido con un vernier (25 mm) y el numero de píxeles (160) obtenidos
en un programa, pudimos saber cuantos milímetros media un píxel (6.4 mm). De
esta forma se pudo medir el ancho de las secciones no constantes de la probeta.
El espesor de la probeta se tomo constante así obteniendo el área transversal
de la probeta en cada fila.
Para poder obtener el módulo de Young, Fig. 47 c), de esta probeta se utilizaron
los datos obtenidos del esfuerzo y deformación tomando en cuenta parte inicial,
parte elástica y parte plástica del material Ec. 4
79
X (cm) X (cm)
X (cm)
Imágenes 5
Fig. 47 a) Campo de deformación (, )xyε , b) Campo de esfuerzos (, )xyσ , c) Campo de módulo de
Young (, )Exy .
a)
2.561 X 10-6
yε =1.2 X 10-6
0
10.5
3.5
0
-3.5
-7
-10.5
7
-1.25 0 1.25
ε = ( cm )y cm
10.5
3.5
0
-3.5
-7
-10.5
7
-1.25 0 1.25
b)
3.007 X 106
yσ = 2.123 X 106
2.062 X 106
2y
σ = ( Kg )cm
c)
2.991 X 1010
yE =2.098 X 1010
2.011 X 1010
10.5
3.5
0
-3.5
-7
-10.5
7
-1.25 0 1.25
Ey
80
X (cm) X (cm)
X (cm)
Imágenes 105 Continuación Fig. 47.
a)
2.888 X 10-7
yε =2.152 X 10-8
1.585 X 10-12
10.5
3.5
0
-3.5
-7
-10.5
7
-1.25 0 1.25
ε = ( cm )y cm
b)
1.903 X 104
yσ = 1.345 X 104
1.305 X 104
10.5
3.5
0 MMMM-3.5
-7
-10.5
7
-1.25 0 1.25
2yσ = ( Kg )cm
c)
8.233 X 1015
4.792 X 1010
yE =1.345 X 1011
10.5
3.5
0 MMMM-3.5
-7
-10.5
7
-1.25 0 1.25
Ey
81
X (cm) X (cm)
X (cm)
Imágenes 151
Continuación Fig. 47.
a)
3.178 X 10-7
yε =1.684 X 10-8
1.071 X 10-13
10.5
3.5
0 MMMM-3.5
-7
-10.5
7
-1.25 0 1.25
ε = ( cm )y cm
b)
1.039 X 103
yσ =734.154
712.6
10.5
3.5
0
-3.5
-7
-10.5
7
-1.25 0 1.25
2yσ = ( Kg )cm
c)
6.75 X 1015
yE =7.665X 1011
2.378 X 109
10.5
3.5
0 MMMM-3.5
-7
-10.5
7
-1.25 0 1.25
Ey
82
Tomando las imágenes (1 a 151), se encuentra la parte elástica de la probeta
de latón, así de esta manera se pudo obtener el módulo de Young de dicha
probeta.
ESFUERZO DEFORMACIÓN
-5.0E+06
0.0E+00
5.0E+06
1.0E+07
1.5E+07
2.0E+07
2.5E+07
3.0E+07
3.5E+07
0 0.000005 0.00001 0.000015 0.00002 0.000025 0.00003
DEFORMACIÓN UNITARIA (m/m)
ES
FUE
RZO
(N/m
²)
Fig. 48 Gráfica de esfuerzo deformación.
5
105
151
83
CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES
Se obtuvieron resultados experimentales del comportamiento mecánico de una
probeta de latón utilizando una técnica óptica correspondiente a interferometría
de moteado. Los campos de desplazamiento en la probeta fueron consecuencia
de una carga mecánica que le fue aplicada mediante una máquina universal
para ensayos. Se obtuvo entonces los campos de desplazamiento (en la
dirección “y”) y a través de ellos los campos correspondientes de deformación,
esfuerzo y módulo de Young del material.
Se obtuvo también una gráfica de esfuerzo-deformación del material bajo
estudio a través del equipo de la máquina universal.
Las ventajas del uso de técnicas ópticas es que se obtienen resultados de
campo completo, en tiempo real y que son no destructivas.
De los resultados se tiene que la ruptura del material ocurrió a un
desplazamiento de 3.51 mm y una carga mecánica aplicada de 21.54 KN sin
tomar en cuenta que el material fue estabilizado con una carga de 5 KN.
Observando las gráficas del módulo de Young se puede concluir que éste es
casi constante en las tomas identificadas con los números 100 -105. Dada la
razón anterior, el módulo de Young asociado al latón corresponde a
1.345x1011, valor que corresponde a la región elástica. Se pueden observar las
demás gráficas donde el valor se dispara pero la razón es que el material ya no
está en la parte lineal del material. De esta manera se puede comparar con el
módulo de Young dada en las tablas correspondiente a 9.7x1010 obteniendo una
diferencia de 3.75x1010 debido al tipo de aleaciones y porcentajes de los
materiales.
84
Es importante mencionar que las propiedades del latón dependen
principalmente de la proporción de zinc y cobre que presente, así como la
adición de pequeñas cantidades de otros metales (plomo y estaño) esto es
conveniente para darle distintos usos. También depende de algunas de sus
impurezas a la hora de ser fundidos los materiales, ya que el material puede
perder cualquiera de sus propiedades y así obtener diferentes resultados.
Llegando a la conclusión de que el latón es un excelente material para la
manufactura de muchos componentes debido a sus características únicas.
Buena resistencia y el ser muy dúctil se combinan con su resistencia a la
corrosión y su fácil manejo en las máquinas y herramientas.
El método de interferometría de moteado es aplicable a desplazamientos muy
pequeños, del orden de micras. Dado que se toma una serie de imágenes y
dado que se correlacionan cada dos imágenes consecutivas es posible
extender la técnica a medir desplazamientos mayores como se observa en los
resultados.
85
APÉNDICE A: DESENVOLVIMIENTO DE FASE
Los interferómetros ópticos pueden ser usados para medir un amplio rango de
cantidades físicas. Los datos obtenidos de un interferómetro corresponden a un
patrón de franjas, el cual puede ser representado como una función coseno en
cuyo argumento se encuentra la fase. Ésta función está modulada por
distorsiones del frente de onda las cuales van a ser medidas. El patrón de
franjas o interferograma puede ser modelado como:
( ) ( ) ( ) ( )yxyxbyxayxs ,cos,,, φ+= (85)
donde ( )yxa , representa la iluminación de fondo con pequeñas variaciones;
( )yxb , es la modulación de la amplitud y ( )yx,φ es la fase que se desea medir y
que corresponde a la variable física buscada (campos de desplazamiento,
índice de refracción, temperatura, etc.). El propósito del análisis de franjas con
ayuda de la computadora es la detección automática de la variación de fase
bidimensional, ( )yx,φ , que ocurre en el interferograma debido al cambio
espacial de la variable física correspondiente. Se forma entonces la imagen del
interferograma sobre la cámara CCD. La imagen es digitalizada para su análisis
en la computadora. Se utilizan algunas técnicas para medir la variación espacial
de la fase, entre ellas, interferometría de desplazamiento de fase, la cual
requiere al menos tres interferogramas. El desplazamiento entre los
interferogramas debe ser conocido en todo el interferograma. En este método la
fase detectada se conoce como envuelta, dado que la fase se envuelve en un
módulo de π2 , dada la función de tangente inversa involucrada en el proceso
de la estimación de la fase. La fase así obtenida es indeterminada por un factor
de π2 . En la mayoría de los casos la función será dada en el valor principal de
π− a π+ , (Fig. 49).
86
Fig. 49. Ejemplo de una distribución de fase mostrando las discontinuidades debido al cálculo del valor
principal, ésta se conoce como fase envuelta; (B) Valores de fase que tienen que ser sumados en los
puntos de discontinuidad y (C) Fase desenvuelta.
y
φd(x,y)
π
-π
y
4π
2π
5π
3π
-π
π
x
x
x
(A)
(B)
(C)
x0
y
0
xk
xm
φc(x,y)
φo
x
(x,y)
87
Idealmente, las funciones que calculan la tangente inversa deben tener como
parámetros de entrada no los valores finales de la tangente sino los valores del
numerador ( φsen ) y el denominador ( φcos ) para evitar la perdida de la
información útil. Este par de valores permiten el cálculo del ángulo en el círculo
entero de 00 a π2 o de π− a π+ . Después calculamos el ángulo φ en el
intervalo desde 2π− a 2π , la corrección se muestra en las tablas 1 y 2 para
obtener el ángulo en el círculo entero. Para este propósito se usan los signos de
φsen y φcos . Dependiendo del rango deseado, si es para π− a π+ , se usa la
tabla 1. Si el rango es de 00 a π2+ , se utiliza la tabla 2.
φsen φcos Fase
ajustada
0⟩φsen 0cos ⟩φ φ
0⟩φsen 0cos ⟨φ πφ +
0⟨φsen 0cos ⟨φ πφ −
0⟨φsen 0cos ⟩φ φ
0⟩φsen 0cos =φ 2π
0=φsen 0cos ⟨φ π
0⟨φsen 0cos =φ 23π
0=φsen 0cos ⟩φ 0
Nota: El rango final de las fases es entre π− a π+
Tabla 1. Fase y rango de valores de acuerdo a los signos en el numerador ( φsen ) y denominador
( φcos ) en la expresión para la φtan .
88
φsen φcos Fase
ajustada
0⟩φsen 0cos ⟩φ φ
0⟩φsen 0cos ⟨φ πφ +
0⟨φsen 0cos ⟨φ πφ +
0⟨φsen 0cos ⟩φ πφ 2+
0⟩φsen 0cos =φ 2π
0=φsen 0cos ⟨φ π
0⟨φsen 0cos =φ 23π
0=φsen 0cos ⟩φ 0
Nota: El rango final de las fases es entre 00 a π2+
Tabla 2. Fase y rango de valores de acuerdo a los signos en el numerador ( φsen ) y denominador
( φcos ) en la expresión para la φtan .
Existen diferentes tipos de algoritmos para la obtención de la fase desenvuelta.
Algunos son presentados y discutidos por Malacara y et. al.22
89
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