UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA … · 2010-04-28 · Tema: Trabajo y energía Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky, Benson, Ohanian-Markert 2 2 2 1 2, cos cos 1 cos 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

Curso: FISICA I CB 302U 2010 I

Profesor: Lic. JOAQUIN SALCEDO [email protected] Tema: Trabajo y energía

Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky, Benson, Ohanian-Markert http://es.wikipedia.org/

Fuerza conservativa Una fuerza es conservativa si el trabajo total que realiza sobre una partícula es nulo al realizar una trayectoria cerrada Alternativa Una fuerza es conservativa si es independiente de la trayectoria seguida por la partícula cuando se mueve de un punto a otro

Ejemplos. El trabajo realizado por la gravedad solo depende de la altura realizado por un resorte del Campo eléctrico … * Una fuerza varía como F(x, y) =xy2i Halle el trabajo desde O hasta B en la figura, a lo largo

de las siguientes trayectorias:

a) OA y después AB; b) OC y después CB. ¿Satisface esta función el criterio para las fuerzas conservativas? Repita el ejercicio con F(x, y) = 2y2i + 3xj

Tarea: muestre que si F es conservativa 0xF






Energía Potencial U En muchos casos el trabajo por las fuerzas externas sobre un sistema no incrementa su energía cinética, sino que se almacena como energía potencial, es decir, energía asociada a la configuración del sistema. Ejemplos. Levantar la mota. Llevar una piedra del suelo a la mesa. Levantar la mancuerna. Comprimir – estirar un resorte … Funciones de energía potencial El hecho de que el trabajo solo depende de las posiciones es utilizado para definir la función de energía potencial U, asociada a una fuerza conservativa Se define de tal modo que el trabajo realizado por la fuerza conservativa es igual a la disminución de la función energía potencial.

2

1

2

1 21

.

.

.

W F dl U

U U U

dU F

dl

d

F

l

Energía potencial gravitatoria próxima a la superficie de la tierra






. ( )y

F mgj

dU F dl F dy mg dy mgdy

0

0

0

y

y

g

U mg dy mgy

U mg

U

y U

Energía potencial de un resorte (muelle)






00

2

2

. ( )

1

2

1

2

x

s

x

x

x

dU F dl F dx kx dx kxdx

U k xdx

F kx

U k

k

x

x U

Es nula en la posición de equilibrio Fuerza Conservativa Fc y función de energía Potencial U ¿Cómo encontrar una Fc si conoce U?

.cdU F dl Si U solo depende de una variable U=U(x)

x xdU F dxdU

Fdx

El signo negativo indica que la fuerza apunta en el sentido en que disminuye la energía potencial.

21

2

g z

s x

U mgz F mg

U kx F kx

Si ( , , )U U x y z

,

( , , ) ( , ,

,

)

x y z

U U UF F F

U U UF U

x y

Ux y z x z

z

y

F U

Si ( , )U U r

1,r

U UF F

r r

Vemos que:

U es una función importante porque a partir de ella podemos deducir

¿y en coordenadas esféricas? ¿y en cilíndricas?






* Halle la fuerza asociada con el potencial mM

U Gr

con coordenadas

a) cartesianas b) polares ¿Cuál es el camino más fácil? a)

1

2 2 2 2

1 3

2 2 2 2 2 22 2

3

, ( )

1 1( ) ( ) (2 )

2x

x

cU r x y z

r

U U UF c c x y z c x y z x

x x r x

xF c

r

Hallando las otras componentes, agrupando

3

3 2

3

3

,

( , , ) ( , , )

y z

x y z

MmG r

y zF c F c

r r

c MmF F F F x y z G r

r r r

b)

2

2

1 1, r

r

c UU F c c

r r r r

mMF

r

G er

¿me reconoces?

* El potencial de Yukawa para la interacción de protones y neutrones en el núcleo es

o-r/r0 0r U(r) = - e

rU

a) ¿Cuál es la función fuerza Fr? (b) Calcule el valor de la fuerza en r = r0, y en r = 3 ro

Suponga -12 -15

0 0 = 5x10 J, r =1,5x10 mU

Conservación de energía mecánica

Para un sistema aislado E: energía mecánica U: energía potencial K: energía cinética






1 2

1 1 2 2 0

E E

U K U K K U

Los puntos 1 y 2 deben ser representativos Sea un sistema masa m y resorte k sobre una mesa sin fricción. Jala la masa una distancia A y lo soltamos Describe el movimiento

1 2

1 1 2 2

2 2 2

1

2 2 2

1

2 2 2

1 1 10

2 2 2

( )

( )

E E

U K U K

kA kx mv

kv A x

m

dx kA x

dt m

Separando variables y mirando tu tabla de integrales

01 1

2 2 2 22 2( ) ( )

( ) ( 90) ( )

x t

A

dx k dx kdt dt

m m

k kx t Asen t

A x

Ac tm m

A

os

x

La amplitud es A

La frecuencia angular es k

m

Es un ejemplo del movimiento armónico simple MAS






* Dos bloques con masas m1=2kg y m2=4kg cuelgan en cada lado de la polea. El bloque 1 esta sobre el plano inclinado ( 30 ) y atado al resorte k= 40N/m.

Polea ideal y plano sin fricción Se libera al sistema a partir del reposo con el resorte en su longitud natural

a) Velocidad de si el alargamiento es de 0.5m

b) ¿alargamiento máximo del resorte?

a)

Es recomendable usar la forma con diferencias: no requiere nivel de referencia

0sg UUK

Reemplazando expresiones d = desplazamiento

2 2

1 2 1 2

1 1( ) ( ) 0

2 2m m v m gd sen m gd kd

Sustituyendo valores

3.23 ... /v m s

b) D = desplazamiento maximo

2

1 2

2 1 1.04

10 ( ) 0

2

2( )

m gDsen m gD kD

gD m m sen

km






* La lenteja de un péndulo de longitud 2m tiene una masa de 2kg y velocidad 1.2m/s cuando el hilo forma una ángulo de 35° con la vertical

Halle la tensión del hilo en el punto más a) bajo b) alto

Es necesario dinámica y conservación de energía

T mg ma

La componente radial

2

cosv

T mg mL

La velocidad lo hallamos de la conservación de energía Referencia en el punto mas bajo Energía en el punto inicial y el punto mas bajo

2 2

m

2 2

m

max

1 1(1 cos )

2 2

1 1(1.2) 9.8(2)(1 cos35)

2 2

2.9 /

mv mgL mv

v

v m s

La tensión en el punto mas bajo 2

co 8.1s0 2mmvT

LNmg

Para el punto mas alto necesitamos el ángulo Energía en el punto mas alto y el punto mas bajo

2

m

10 (1 cos )

2

cos 0.783

m

m

mgL mv

cos 15.3mT g Nm






Energía mecánica y fuerzas no conservativas

neto c ncW W W K

cW U

ncW K U

El trabajo realizado por una fuerza no conservativa cambia la energía del sistema Un niño de se desliza hacia abajo por un tobogán de 8m de largo inclinado 30°. El coeficiente de rozamiento cinético 0,35. Si parte del punto más alto del tobogán ¿Qué velocidad tiene al llegar al suelo?






2

2

2

1

2

, cos cos

1cos

2

2 ( cos )

5.6 /

nc

k k

k

k

K U W

mv mgd sen fd

f N N mg f mg

mv mgd sen mg d

v gd sen

v m s

Otra versión (energético)

2

2

0

1

2

10 co

5.6

s2

/

ext

mec

term

k

ext mec term

W

E K U mv mgd sen

E fd

mv mgd s

W E E

en mg d

v m s

* Un bloque de 2kg está detenido por un resorte de 50N/m, sin estar amarrado a él, el resorte esta comprimido 0.2m Cuando el bloque se suelta se desliza 0.5m sobre el plano inclinado áspero antes de alcanzar el reposo Halla

a) la fuerza de fricción b) velocidad del bloque cuando se separa del resorte






a) Entre el punto mas bajo y el mas alto

2

2

.

2

2

.

1

.

1i

f

f i nc

E kA

E mgd sen

E E W mgd sen kA

N

fd

f

b) analizando en x=0 como posición final

2

2

2 2

2.45 /

1

2

1

2

1 1

2 2

i

f

f i nc

E kA

E mv mgA sen

E E W mv mgAsen kA f

v

A

m s

Analicemos el sistema masa resorte sobre una superficie sin fricción

21

2xU kx F kx

E U K






Si la masa esta en reposo en x=0 permanecerá en ella a menos que

apliquemos una fuerza Si estiramos el resorte la pendiente es positiva y la fuerza es negativa y la

masa se acelera de regreso hacia 0 Si comprimimos el resorte la pendiente es negativa y la fuerza es positiva

y la masa se acelera de regreso hacia 0 Luego 0 es un punto de equilibrio estable En general los puntos de equilibrio estable son aquellas en las cuales U tiene un valor mínimo Si a la masa se le da un desplazamiento inicial máximo xo y se suelta su energía inicial es solo la potencial luego aumenta K y disminuye U

Como la energía total es constante la masa oscila entre los puntos 0x x

¿otro ejemplo simple de equilibrio estable? Equilibro inestable Analiza

También F=0 en x=0 pero






Si la masa se desplaza a la derecha ( x>0) la pendiente es negativa y la

fuerza positiva luego la mas acelera alejándose Si la masa se desplaza izquierda (x<0) la pendiente es positiva y la fuerza

negativa luego la mas acelera alejándose hacia la izquierda Es decir un pequeño desplazamiento acaba el equilibrio. En general los puntos de equilibrio inestable son aquellas en las cuales U tiene un valor máximo Si U es constante entonces F=0 Pequeños desplazamientos no producen fuerzas restauradoras ni de ruptura equilibrio neutro Analizar las fuerzas que varían con el inverso del cuadrado.

2( ) ( ) ( )

dU a aF x F x U x

dx x x

Analicemos un caso mas complicado Sea una hipotética función de energía potencial
















Analicemos oto caso complicado Sea una hipotética función de energía potencial

Una partícula esta fija en el origen y r es la distancia de la otra partícula. La componente radial de la fuerza conservativa

r

dUF

dr

Cualitativamente analiza la fuerza que experimenta la partícula móvil en diferentes posiciones. Examina la pendiente de la curva dU/dr y relaciona con Fr

Si 0rF la fuerza esta en el sentido positivo de r es decir repulsión

Si 0rF la fuerza esta en el sentido negativo de r es decir atracción

La partícula en

2 , 0rr r F es débilmente repelida

2 , 0rr r F está en equilibrio inestable (si se desplaza ligeramente se

aleja de ese punto)

0 2 , 0rr r r F es atraída, máxima atracción en r1

0 , 0rr r F está en equilibrio estable (si se desplaza ligeramente

retorna)






0 , 0rr r F se repelen la fuerza repulsiva aumenta

Si la U fuese constante la fuerza seria… Si se desplaza permanece en su nueva posición equilibrio neutro Diagrama de energía

Esta energía potencial se caracteriza por un pozo de potencial de profundidad – U0

Las rectas horizontales representan diferentes niveles de energía Los puntos de intersección son los puntos de retorno

Suponemos una partícula fija en el origen y estudiamos el movimiento de otra para diferentes valores de su energía mecánica total

E U K

La partícula esta en estado ligado para 0E no esta ligada para E>0

Si 0U r En un estado dado E es constante: un nivel de energía El mínimo de la energía potencial es – U0 y ocurre en r0 Si la partícula no tiene K es un punto de equilibrio estable La energía cinética de la partícula en un punto esta dada por

E U K corresponde a la distancia vertical entre la curva e la energía y el nivel de la energía. Cuando la partícula esta en estado ligado su movimiento esta restringido entre los dos puntos de retorno donde K=0 (momentáneamente en reposo, invierte su sentido) la velocidad aumenta conforme se acerca a r0 Cuando tiene energía

E1 los puntos de retorno son '

1 1,r r






E2 los puntos de retorno son '

2 2,r r

E3 no esta ligada y tiene un solo punto de retorno r3 cuando se acerca su

velocidad aumenta hasta r0 y luego comienza a disminuir hasta anularse en r3, invierte su sentido y se va ¿puede quedar atrapada?

Considere la función de energía potencial mostrada en la figura

Leer los puntos de retorno si la energía de la partícula es a) E1 b) E2 c) ¿Cuál es la energía cinética de la partícula en la posición 2 X 10-10m cuando la energía total es E1?

* La fuerza de una partidla en la región a x a se representa mediante la

función de energía potencial

1 1( )U ba x a x

a y b son constantes

a) ¿la fuerza en esa región? b) ¿para que valor de x la fuerza vale cero? c) En el punto en que la fuerza se anula ¿el equilibrio es estable o inestable?

2 2

1 1( )( ) ( )

x

dUF b

dx x a x a

0 0xF x

Calculamos la segunda derivada en, la posición de equilibrio

Si es U alanza su valor mínimo y el equilibrio es estable

Si es ( ) U alanza su valor máximo y el equilibrio es inestable






ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA La ley de gravitación universal propuesto por Newton usando lo proporcionado por … y verificada por … establece que:

2ˆ

mMF G r

r

* Aplicando lo aprendido deduce que

mMU G

r

Donde se asume que la energía potencial en puntos lejanos (infinito) es nulo El signo negativo significa que un agente extra debe hacer trabajo sobre las partículas para aumentar su separación La relación es valida para cuerpos esféricos con distribución uniforme de masa donde r es la distancia al centro. ¿…?

¿Cuál es la relación entre mM

U Gr

y U mgh

Sea R radio de la tierra M su masa m masa de un partícula calculamos U en la superficie y en un punto de altura h

( ) , ( )mM mM

U R G U R h GR R h

El cambio es

( ) ( )( )

mMhU U R h U R G

R R h

Si h R R h R Luego

2

mMhU G mgh

R

Donde

2

Mg G

R

Luego mgh es a energía potencial para cuerpos cercanos a la superficie

terrestre, para satélites y cohetes se debe usar mM

U Gr

Energía mecánica en una orbita circular Si M>>m el cambio de la energía cinética de M es despreciable

21

2

mME K U mv G

r

La velocidad orbital ……






2

02g c

mM mv GMF F G v

r r r

2

0

2 22

mv mM mME G

rK G K U

r

El signo negativo: el satélite esta en estado ligado

¿Qué sucedería al añadir 2

mME G

r? ¿Nombre?

Velocidad de escape. Una partícula esta en reposo en la superficie de la tierra, y en una orbita esta en estado ligado ¿Cuál debe ser la velocidad mínima para escaparse? “al verte con uno y otro quisiera irme de tu lado y no regresar jamás”

El cohete debe trepar un pozo de energía potencial Para convertirse en partícula no ligada se le debe dar suficiente K par que alcance el punto de máxima energía potencial y al menos rapidez nula Este valor se produce en r

Cuando el cohete es disparado con la rapidez mínima de escape ev

Llegara al r con velocidad cero entonces Ef=0 Su energía en la tierra es

2

2

ei

mv mME G

R

Por conservación de energía 2

02

2e

ei f

mv m GMv

R

ME E G

R

* Se dispara verticalmente un cohete con la mitad de la velocidad de escape Calcule la máxima altura en términos del radio de la tierra

2 Te

T

i f

GMv

R

E E

21( ) 0

2 2 3

e T T T

T T

v mM mM Rm G G h

R R h

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