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Universidad Pedagógica Nacional Estructuras Discretas Francisc o MorazánSistema PREUFOD Teoría de Conjunto s

Universidad Pedagógica Nacional

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Universidad Pedagógica Nacional. “ Francisco Morazán ”. Teoría de Conjuntos. Estructuras Discretas. Sistema PREUFOD. DEFINICION DE CONJUNTO. Universidad Pedagógica Nacional. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Universidad Pedagógica Nacional

Universidad Pedagógica Nacional

Estructuras Discretas

“Francisco Morazán”

Sistema PREUFOD

Teoría de Conjuntos

Page 2: Universidad Pedagógica Nacional

Conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama miembros o elementos del conjunto

DEFINICION DE CONJUNTO

Universidad Pedagógica Nacional

Estructuras Discretas

“Francisco Morazán”

Sistema PREUFOD

Teoría de Conjuntos

Normalmente se utilizan letras mayúsculas A, B, X, Y …. Para denotar Conjuntos

Y para denotar a los elementos se utilizan letras minúsculas a,b,c,…, numeros, simbolos o variables.

Page 3: Universidad Pedagógica Nacional

DEFINICIONES DE CONJUNTO

EXPLICITAMENTE

IMPLICITAMENTE

Un Conjunto puede ser definido:

Page 4: Universidad Pedagógica Nacional

EXPLICITAMENTE escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves o separados por una coma

DEFINICION DE CONJUNTO EXPLÍCITAMENTE

1.- Sea A el conjunto de las vocales

A= { a, e, i, o, u } 2.- Sea B el conjunto de las vocales

B= { lunes , martes, miércoles, jueves, viernes}

Page 5: Universidad Pedagógica Nacional

IMPLICITAMENTE escribiendo dentro de las llaves las características de los elementos que pertenecen al conjunto , como sigue

DEFINICION DE CONJUNTO IMPLICITA

Sea A es el conjunto de las vocales

Se escribe A= {x/x es una vocal}Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es una vocal Sea D el conjunto de los números pares

Se escribe D= {x/x es un numero natural par }Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es un

numero natural par”

Page 6: Universidad Pedagógica Nacional

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de elementos.

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Se representa de la siguiente manera

Elemento є conjunto …….. Se lee elemento pertenece a conjunto

Elemento conjunto ……. Se lee elemento NO pertenece a conjunto

Ejemplos:

a є A Se lee …… a Pertenece al conjunto A w є A Se lee …… w No pertenece al conjunto A 3 D Se lee …… 3 No pertenece al conjunto D

є

є

Page 7: Universidad Pedagógica Nacional

Podemos decir que un conjunto esta bien definido si podemos afirmar de manera inequívoca si un elemento pertenece a él o no

CONJUNTO BIEN DEFINIDO

1. Sea T el conjunto de las personas simpáticas

Este conjunto no esta bien definido ya que la idea de ser simpático essubjetiva, No hay un criterio definido para decir que una persona es simpática o no

2. Un conjunto es FINITO cuando podemos listar todos sus elementos

3. Un conjunto es INFINITO si no podemos listar todos sus elementos

Ejemplo:S= {x/x є N, x >= 10}

Se lee x tal que x pertenece a los números naturales y x es mayor o igual a 10

Page 8: Universidad Pedagógica Nacional

RELACIONES DE IGUALDAD DE CONJUNTO

Relaciones Entre Conjuntos

Igualdad de Conjuntos

Sub Conjuntos

Conjuntos Especiales

Conjuntos de Pares

Conjunto Vacio

Conjunto Universal

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Page 9: Universidad Pedagógica Nacional

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a B

IGUALDAD DE CONJUNTOSRe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

A= { x, y } B= { y, x }Esto es:

A=B,

entonces x є A, implica que x є B y

Que y є B, implica que y є A.

Page 10: Universidad Pedagógica Nacional

Ejemplo de Igualdad de Conjuntos……………

IGUALDAD DE CONJUNTOSRe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Si M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y

L= {x/x es impar ^ 1 ≥ x ≤ 9 }

Esto significa que

M=L

Page 11: Universidad Pedagógica Nacional

Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B,

entonces A se llama SubConjunto de BTambién decimos que A, esta contenido en B O que B, esta contenido en A

A no es un subconjunto de B, es decir si por lo menos un elemento de A no pertenece a B

SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os A B

B A

A B

B A

Page 12: Universidad Pedagógica Nacional

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Considere los siguientes conjuntos:A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B={ 1, 2, 3, 5, 7 } C={ 1, 5 }

Podemos decir que:

C A y C B, Ya que 1 y 5 los, elementos de C, también son elementos de A y B

B A Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a Ao se que no todos lo elementos de B son elementos de A

Page 13: Universidad Pedagógica Nacional

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Considere los siguientes conjuntos:

B={ x/x es un ave} H={ y/y es una paloma}

Podemos decir que:

H B H es un subconjunto de B

Page 14: Universidad Pedagógica Nacional

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Considere el siguiente conjunto:

A={ x/x є N es par} y B={ y/y є N y es múltiplo de 2}

Podemos decir que…………

B A A B

B = A

A = B

Page 15: Universidad Pedagógica Nacional

CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por Ø .

Ejemplo de conjunto Vacio:

El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 años de edad.

Page 16: Universidad Pedagógica Nacional

CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por Ø .

Ejemplo de conjunto Vacio:

El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 años de edad.

Page 17: Universidad Pedagógica Nacional

CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Cuando se habla o se piensa acerca de los conjuntos es conveniente saber que los miembros de un conjunto dado pertenece a alguna población determinada.

Page 18: Universidad Pedagógica Nacional

CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Ejemplo Si se habla de un conjunto de números es útil establecer una población general de números denominado CONJUNTO UNIVERSO o CONJUNTO REFERENCIA

Cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los conjuntos que intervienen en una discusión determinada.

El conjunto Universal se denomina : U

Page 20: Universidad Pedagógica Nacional

CONJUNTO PARTES (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A, denominado por P(A),

Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A

En la lista de subconjuntos de A hay que tener en cuenta dos subconjuntos especiales el mismo A, ya que A A, y el conjunto

vacio Ø

Page 21: Universidad Pedagógica Nacional

CONJUNTO PARTES (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

EjemploSi A = { a, b, c } entonces

P(A)={ {a}, {b}, {c}, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c, }, {Ø} }•Los elementos del Conjunto P(A) son a su vez conjunto•Un conjunto cuyos miembros son conjuntos se llama Familia de Conjuntos•P(A) es un ejemplo de una familia de conjuntos

NOTA: Si un conjunto M tienes n elementos P(M) constara de 2n elementos

2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8

Page 22: Universidad Pedagógica Nacional

DIAGRAMA DE VENN (Euler)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Los Diagramas de Venn e Euler son una manera esquemática de representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de conjuntos.

Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las relaciones de: Pertenencia, Inclusión y las Operaciones con conjuntos.

UA B

C

El Rectángulo representa conjunto Universal

Los círculos se han utilizado para representar a cada uno de los conjuntos.

Page 23: Universidad Pedagógica Nacional

DIAGRAMA DE VENN (Euler)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Si A={ 1, 2, 3,} B= { 1 } C={ 8,9 } D={ 8}

UA

B

C

D

A U C UB U D U

B A D C

Page 24: Universidad Pedagógica Nacional

OPERACIONES CON CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

Operaciones con Conjuntos

Unión

Intersección

Diferencia

Diferencia Simétrica

Complemento

Page 25: Universidad Pedagógica Nacional

UNION DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

La unión de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A unión B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntos

A U B ={ x/x Є A V x Є B}

U

A B

En el diagrama de Venn, la región sombreada corresponde al conjunto A U B

Page 26: Universidad Pedagógica Nacional

UNION DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

Ejemplo

A U B ={ a, b, c, d, e, f}

U

A B

Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }Entonces:

Page 27: Universidad Pedagógica Nacional

INTERSECCION DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

A ∩ B ={ X/X Є A Λ x Є B }

U

A B

La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B, que se lee A intersección B.

Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos

En este diagrama de Venn la región

sombreada corresponde al conjunto A ∩B

Page 28: Universidad Pedagógica Nacional

INTERSECCION DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y BA ∩ B Se denomina también el producto lógico de los conjuntos Ay B

Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }

Dos conjuntos que no tienen nada en común se llaman

DISYUNTOS

Observe que los elementos c y d pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B

A ∩ B = { c, d }

Page 29: Universidad Pedagógica Nacional

INTERSECCION DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

Si A={ a, b, c, d }

B= { c, d }A ∩ B = { c, d }

UA

B

UA

B

Si A={ a, b, c, d }

B= { m, p, q }A ∩ B = Ø

A ∩ B = Ø, A y B son disyuntos A ∩ B =B porque B A

Page 30: Universidad Pedagógica Nacional

DIFERENCIA DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }

La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B

Simbólicamente:

UA

B

UA B

Page 31: Universidad Pedagógica Nacional

DIFERENCIA DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }

UA

B

U A B

U A B

Page 32: Universidad Pedagógica Nacional

DIFERENCIA DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

Ejemplo 1:

Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b }

Ejemplo 2:

Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}

Ejemplo 3:

Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }

Page 33: Universidad Pedagógica Nacional

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

Simbólicamente:

La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos

A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}

Page 34: Universidad Pedagógica Nacional

DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

Simbólicamente:

La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos

A B ={ X/X Є A V x Є B Λ x Є A ∩ B}

A diferencia simétrica de B es igual ax Tal que x pertenece a A o x pertenece a B, y x pertenece

a A intersección B

Page 35: Universidad Pedagógica Nacional

DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

Simbólicamente: A - B ={ X/X Є A Λ x Є B }

UA B

En el siguiente grafico se muestra A B

Observe que las regiones a la izquierda y a la derecha corresponden a los

conjuntos A-B y B-A

Por eso también

A B={ A – B } U { B- A }

A B={ A U B } - { B ∩A }

A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }

Page 36: Universidad Pedagógica Nacional

COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOSOpe

racion

es co

n Co

njun

tos

El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota

A΄, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A

Simbólicamente: A΄={ X/X Є A U Λ x A }

UA

A΄= U – A Ejemplo:

A = { X/X es un numero natural par}Sea U = N (el conjunto de los números naturales)

A΄ = { X/X es un numero natural impar}=U -A

Page 37: Universidad Pedagógica Nacional

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos N

uméricos 

Números Naturales NEs la colección de Objetos matemáticos representados por los símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar.

N= {1, 2, 3, 4, ….}

Números Enteros ZLos números enteros abarca los números negativos incluyendo en cero y los números positivos. Y se representa

Z= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}

Page 38: Universidad Pedagógica Nacional

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos N

uméricos 

Números Racionales QEs el conjunto de los números de la forma donde p y q son enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el simbolo

Q= { ,q Є Z Λ q ≠ 0}

Números Irracionales Q’Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos números enteros

Q’

Entre los mas conocidos esta el π

pq

Page 39: Universidad Pedagógica Nacional

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos N

uméricos 

Números Reales REs el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales

R = Q U Q’

Números Complejos cEs la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad. i2=-1

Page 40: Universidad Pedagógica Nacional

IGUAL

SIMBOLOGIARe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

ELEMENTO PERTENECE

ES SUBCONJUNTO

єє

NO ES SUBCONJUNTO

ELEMENTO NO PERTENECE

=

CONJUNTO VACIO { } o Ø CONJUNTO UNIVERSAL UCONJUNTO DE PARTES P{A }

UNION

INTERSECCION

DIFERENCIA SIMETRICA

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

DIFERENCIA

U

CONJUNTOS NUMERICOSNNATURALES

___

ZENTEROS

QRACIONALES

IRRACIONALES

rREALES

CCOMPLEJOS

Page 41: Universidad Pedagógica Nacional

Lic. Josué Iván Turcios Rodríguez

Licenciado en informática Educativa