24
Universidade do Algarve Faculdade de Ciências e Tecnologia Ano lectivo 2007/2008 – 2º semestre (V e VI módulos) Disciplina: Estatística Curso: Ciências Biomédicas Exercícios 1ª parte – ESTATÍSTICA DESCRITIVA I - Dados Univariados 1. - Determine quais das seguintes variáveis são qualitativas ou quantitativas. Para as variáveis quantitativas indique se são contínuas ou discretas. a) Número de telefone b) Tipo de telefone c) Número de chamadas interurbanas por mês d) Duração da chamada interurbana mais longa de cada mês e) Cor do telefone f) Conta telefónica mensal 2. - Suponha que as seguintes informações são respeitantes a uma doente de um Hospital Distrital. Indique qual a natureza dessas variáveis. a) Sexo : feminino b) Data de nascimento : 06/02/47 c) Estado civil : casada d) Temperatura : 38º C e) Pulsação : 72 p/m f) Tipo de sangue : A - Rh negativo g) Tensão : 6-12 h) Diagnóstico : hepatite 3. - Suponha que o gerente de um clube de vídeo está interessado em determinar se os clientes que compraram vídeos no último ano estão satisfeitos com o produto. O gerente pretende inquirir 425 dos clientes que compraram o vídeo. a) Indique a população e a amostra de interesse do gerente. b) Indique o tipo de dados que o gerente pretende obter. c) Inicie um questionário formulando 3 questões qualitativas e 3 questões quantitativas que considere apropriadas para o inquérito. 4. - Num inquérito realizado a 36 trabalhadores de uma dada empresa obtiveram-se as seguintes respostas :

Universidade do Algarve Faculdade de Ciências e Tecnologia ...w3.ualg.pt/~fbarros/Estatística (Biomédicas)/Exercicios TP_ Estat... · - Considere os seguintes dados relativos ao

Embed Size (px)

Citation preview

Universidade do Algarve

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Ano lectivo 2007/2008 – 2º semestre (V e VI módulos) Disciplina: Estatística Curso: Ciências Biomédicas

Exercícios

1ª parte – ESTATÍSTICA DESCRITIVA I - Dados Univariados 1. - Determine quais das seguintes variáveis são qualitativas ou quantitativas. Para as

variáveis quantitativas indique se são contínuas ou discretas. a) Número de telefone b) Tipo de telefone c) Número de chamadas interurbanas por mês d) Duração da chamada interurbana mais longa de cada mês e) Cor do telefone f) Conta telefónica mensal

2. - Suponha que as seguintes informações são respeitantes a uma doente de um

Hospital Distrital. Indique qual a natureza dessas variáveis. a) Sexo : feminino b) Data de nascimento : 06/02/47 c) Estado civil : casada d) Temperatura : 38º C e) Pulsação : 72 p/m f) Tipo de sangue : A - Rh negativo g) Tensão : 6-12 h) Diagnóstico : hepatite

3. - Suponha que o gerente de um clube de vídeo está interessado em determinar se os

clientes que compraram vídeos no último ano estão satisfeitos com o produto. O gerente pretende inquirir 425 dos clientes que compraram o vídeo. a) Indique a população e a amostra de interesse do gerente. b) Indique o tipo de dados que o gerente pretende obter. c) Inicie um questionário formulando 3 questões qualitativas e 3 questões

quantitativas que considere apropriadas para o inquérito. 4. - Num inquérito realizado a 36 trabalhadores de uma dada empresa obtiveram-se as

seguintes respostas :

2

Nome estado civil idade altura nºde filhos (anos) (cm) Alexandra Almeida solteira 26 160 0 Alexandre Carmo casado 30 174 2 Alda Morais casada 37 160 3 Ana Ribeiro casada 23 159 1 Ana Cristina Santos casada 26 156 2 Ana Cristina Oliveira solteira 25 153 0 Anabela Pais divorciada 33 156 3 António Couto solteiro 24 177 0 António Fernandes casado 42 161 5 António Pinto casado 51 171 1 Armando Ferreira casado 48 167 1 Carlos Matos casado 37 165 1 Carlos Sampaio casado 40 174 2 Cristina Vicente casada 39 160 2 Cristina Zita casada 27 164 1 Dora Ferreira casada 50 170 4 Elsa Sampaio casada 45 160 4 Fernando Barroso casado 43 164 3 Fernando Martins casado 29 165 1 Fernando Santos divorciado 32 174 2 Filomena Silva solteira 20 165 0 Fransisco Gomes casado 26 174 0 Isabel Soares solteira 22 156 0 Isabel Silva casada 34 148 2 João Morais casado 44 171 2 João Sousa solteiro 25 176 0 Luís Horta casado 35 169 2 Luís Sousa casado 37 170 0 Luís Ribeiro casado 49 170 1 Manuel Santos casado 54 175 4 Manuel Pereira divorciado 47 162 3 Manuel Teixeira casado 50 173 2 Margarida Almeida casada 51 166 1 Margarida Simões casada 47 161 4 M. Adelina Azevedo solteira 25 148 0 Sérgio Teixeira divorciado 40 174 2

a) No conjunto de dados anterior, diga quais são os de tipo qualitativo e quantitativo.

b) Considere apenas os dados referentes ao nº de filhos. Construa a tabela de frequências e represente graficamente os dados.

c) Considere agora os dados apenas referentes à altura. Escolhendo uma amplitude de classe conveniente, represente-os graficamente (histograma, polígono de frequências e polígono de frequências relativas acumuladas).

d) Considerando a informação conjunta

3

i) sexo e estado civil ii) sexo e idade

Faça o agrupamento que achar conveniente para os dados. 5. - Considere a amostra de tempos de vida (em anos) de determinado tipo de

equipamento eletrónico 2.25 1.91 2.07 4.21 3.45 2.37 10.56 .54 .65 .82 .55 1.57 4.60 2.10 1.31 2.48 5.42 1.88 3.54 2.77 1.40 .63 .21 1.21 .54 6.20 .80 .10 .19 .30 Escolha uma amplitude conveniente para o intervalo de classe, construa o histograma

correspondente aos dados, e o respectivo polígno de frequências. 6. - Trinta estudantes foram submetidos a um exame de informática, obtendo as

seguintes notas : 84 88 90 78 80 89 94 95 77 81 83 87 91 83 92 90 92 77 86 86 99 93 83 94 76 98 70 81 76 87

a) Determine a média e a mediana dessas notas. b) Determine a moda, o Q1 e o Q3 . c) Determine a amplitude total e o desvio médio. d) Determine o desvio padrão e a variância. e) Construa um diagrama de "caule-e-folhas" e um gráfico "caixa com bigodes"

para a amostra. 7. - Para os dados discretos e contínuos do exercício 4:

a) Determine as seguintes características amostrais: média, variância e quartis. b) Construa o diagrama de "caule e folhas" para as variáveis altura e idade. c) Construa o gráfico "caixa com bigodes" para a variável idade. d) Construa gráficos "caixa com bigodes" paralelos da variável altura para cada

grupo de definido pela variável sexo. 8. - Determine a média e a variância dos dados do exercício 5, tanto no formato como

são apresentados (não tabelados) como após o agrupamento em classes que fez para a construção do histograma. Compare os valores obtidos nas duas situações.

9. - Considere os seguintes dados relativos ao número de acidentes diários num grande

estacionamento, durante um período de 24 dias. 6 11 2 7 4 0 0 5 4 2 1 3 4 2 5 5 3 1 3 1 7 3 2 3

a) Construa a tabela de frequências (note que os dados variam entre 0 e 11), e represente os dados graficamente.

4

b) Determine a média e a moda a partir dos dados tabelados. c) Determine a mediana, o Q1 e o Q3 d) Determine o desvio padrão e a variância. e) Construa um gráfico "caixa com bigodes" para a amostra. f) Estude a amostra quanto à assimetria.

10. Mostre que se Y = a + bX, então Y = a + bX e S2Y=b2S

2X.

11. - Mostre que o valor de

T =

∑i=1

N

(xi - a)2

N é mínimo quando a = x.

12. - Considere a distribuição das notas de uma amostra de 40 alunos:

Xi fi [0 ,4[ 0.05 [4, 8[ 0.20

[8, 12[ f3 [12, 16[ 0.25 [16, 20] f5

a) Indique qual a distribuição de frequências absolutas simples, sabendo que a média da amostra é 10.6 valores.

b) Calcule o coeficiente de variação da distribuição apresentada. 13. - Num consultório médico registou-se o peso de 6 crianças:

Criança 1 Criança 2 Criança 3 Criança 4 Criança 5 Criança 6 Peso 14 12 17 ? 21 ?

a) Indique os valores em falta, sabendo que a média é 17 e a variância 26. b) Suponha que houve um engano no registo dos pesos e que o peso da primeira

criança não é 14 mas sim 20. Das estatísticas amostrais que estudou, quais as que iriam ser afectadas por essa alteração?

5

2ª parte – PROBABILIDADES E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS III– Variáveis aleatórias

14. Classifique as v. a. seguintes conforme discreta ou contínua:

a) X: o número de acidentes de viação por ano em Portugal. b) Y: o tempo de duração de uma partida de golfe com 18 buracos. c) M: a quantidade de leite produzida durante um ano por uma vaca. d) N: o número de ovos postos mensalmente por uma galinha.

15. Seja W a v. a. que dá o nº de diferença entre os totais de caras e coroas saídas em

três lançamentos de uma moeda. Liste os elementos do espaço amostra e para cada um dos pontos associe o valor w, da variável W.

16. Determine o valor c para o qual as funções abaixo mencionadas serão funções de probabilidade de uma v. a. X:

a) f(x)=c(x2+4), para x=0,1,2,3 ;

b) f(x)=c( )( )33

2xx − ,para x=0,1,2.

17. O tempo de expiração, em dias, para garrafas de um certo remédio é uma variável

aleatória tendo função de densidade

f(x)=

>+

.,0

0,)100(

200003

outros

xx

Ache a probabilidade de a garrafa do remédio tem um tempo de expiração

a) de pelo menos 200 dias; b) algures entre 80 e 120 dias.

18. O total de horas, medido em unidades de 100, que uma família utiliza o aspirador

num período de um ano é uma variável aleatória X que tem função de densidade

=)x(f

<≤−<<

.,0

,21,2

,10,

outros

xx

xx

Calcule a probabilidade de que num período de 1 ano uma família utilize o aspirador a) menos do 120 horas; b) entre 50 e 100 horas.

19. - Sabendo que uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição

6

FX(x) =

0 se x < 0

1/2 se 0≤x<1

2/3 se 1≤x<2

1 se x≥2

determine a sua função massa de probabilidade.

20. - Dada a seguinte função

FX(x) =

0 se x < 0

1/4 se 0≤x<1

3/4 se 1≤x<2

1 se x≥2

a) diga se F(x) pode ser função de distribuição de uma variável aleatória X. b) a que correspondem os pontos de descontínuidade de F(x) ? c) determine P(0<X<2), P(0<X≤2), P(0≤X<2) e P(0≤X≤2). Se X fosse uma

variável aleatória contínua, poderiam os resultados anteriores ser diferentes, uns em relação aos outros ?

21. - Dada a função:

FX(x) =

0 se x < 0

x2 se 0≤x<1/2

-(kx2 -2kx+2) se 1/2≤x<1

1 se x≥1

a) determine k de forma a F(x) ser função de distribuição de uma v.a. contínua. b) determine a função densidade de X. c) determine s de forma que P(X≤s)= 1/2

22. - Considere a função:

fX(x) =

k(x-1) se 1≤x < 2

-k(x/2 -2) se 2≤x<3

k/2 se 3≤x<4

0 se caso contrário

a) determine k de forma a f(X) ser função densidade de probabilidade de uma v.a.

X. b) determine a função distribuição de X e trace o seu gráfico. c) determine P(X - 2< 1) e P(X<3| X>1.5 ).

23. - Depois de se terem pesado várias embalagens de 1 kg de sal marinho de marca "Iodal", chegou-se à conclusão que, embora a embalagem indique 1 kg, o verdadeiro peso é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [ .85 kg, 1.05 kg ], isto é, a função de densidade tem a seguinte forma :

7

fX(x) = k se .85≤x≤1.05

0 se caso contrário

a) calcule k e represente gráficamente f(x). b) determine a função de distribuição de X. c) qual a probabilidade de uma embalagem de café marca "Apetitoso" pesar menos

de 1 kg ? d) da produção total, qual a percentagem de embalagens com peso superior ao

indicado no rótulo ?

24. - Uma agência de prestação de serviços médicos recebe pedidos de grupos de 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 médicos. Registos efectuados pela empresa permitem concluir que o modelo probabilistíco que se ajusta aos pedidos é dado por .40, .23, .11, .09, .08, e .09, respectivamente para cada um dos grupos considerados anteriormente. Representando por X a variável aleatória que representa o número de médicos pedidos de cada vez, calcule : a) P(X=1), P(X≤3), P(1<X<3), P(1≤X≤3), P(X >3), P(X=0). b) o valor médio, a variância e o desvio padrão. c) represente gráficamente a função massa de probabilidade da variável aleatória X. d) represente gráficamente a função distribuição da variável aleatória X.

25. - Seja X uma v.a. com a seguinte f.d.p.:

f(x) =

kx se 0≤x< 1/2

k(1-x) se 1/2≤x<1

0 se caso contrário

Seja A={ X< 1/2 }, B={ X> 1/2 }e C={ 1/4<X< 3/4 }

a) determine o valor de K. b) determine a correspondente função de distribuição. c) determine o valor esperado e a variância de X. d) P(A), P(B), P(C), P(A|B). e) A e B são acontecimentos independentes? Justifique.

26. - Seja X uma variável aleatória cuja função massa de probabilidade é dada por :

xi 0 1 2 3 4 5 P(X=xi) .10 .30 .40 .10 .05 .05

a) indique a respectiva função distribuição, e represente-a gráficamente. b) calcule P(X< 4.5), P(X ≥2) e P(2<X< 4.5). c) calcule o valor médio, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X.

27. – Considere a v.a. X com f.m.p. fX(x):

fX(x) =

1/8 se x = -2 e 21/4 se x=-1, 0 e 10 se caso contrário

8

Determine a f.m.p. da v.a. Y=X2 - 2 e calcule E(Y) e Var(Y).

28. – Seja x uma v.a. com valor esperado E(X)=0.1 e variância Var(X)=0.04. Será

possível que P(-0.3<X<0.5)=0.4? justifique. 29. – Sabe-se que a v.a. Y tem E(Y)=6 e E(Y2)=45.

a) Será possível que P(0<Y<12)=0.6? b) Sendo W= 3+X/2, calcule E(W) e Var (W).

30. - Suponha que : - o João durante um treino de basquetebol faz três lançamentos; - os lançamentos do João são independentes uns dos outros; - a probabilidade de o João encestar é igual a 0.6; Designando por X a v.a. que representa o número de cestos nos dois primeiros

lançamentos, e por Y a v.a. que representa o número de cestos nos dois ultimos lançamentos, determine : a) a função massa de probabilidade conjunta do par (X,Y). b) a função massa de probabilidade condicional de (Y | X=1). c) P( X>Y). d) a função massa de probabilidade da variável aleatória Z = max(X,Y).

31. - Numa fábrica duas máquinas A e B produzem o mesmo tipo de artigo, que poderá

ter 0, 1, 2 ou 3 defeitos de fabrico, de acordo com a seguinte distribuição de probabilidade conjunta :

Números de defeitos

0 1 2 3

Máquina A .1250 .0625 .1875 .1250 Máquina B .0625 .0625 .1250 .2500

a) verifica-se que um artigo não tem defeitos. Qual a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A ?

b) sabe-se que um artigo foi produzido pela máquina A. Qual a probabilidade de não ter defeitos ?

c) sabe-se que um artigo tem 2 ou mais defeitos. Qual a probabilidade de que tenha sido produzido pela máquina A ?

d) será que o número de defeitos que um artigo tem, é influênciado pela máquina que o produziu ?

9

32. - Considere a variável aleatória X com distribuição de probabilidade :

xi -1 0 1 P(X= xi) 1/3 1/3 1/3

e Y =X2 a) determine a distribuição conjunta do par (X,Y). b) o que pode concluir quanto à independência do par (X,Y) ? c) calcule a função de distribuição de X e represente-a graficamente.

33. - Seja X uma variável aleatória representando o maior número de pintas ocorridos num lançamento de um par de dados não viciados. Determine : a) a f.m.p. definida pela variável aleatória X. b) o valor médio de X e a variância de X.

34. - Admita que o par (X,Y) tem a seguinte distribuição conjunta de probabilidade :

Y \

X�

-1 0 1

-1 1/8�

1/8�

1/8� 0 1/8

� 0 1/8

� 1 1/8�

1/8�

1/8�

a) determine as f.m.p. marginais de X e Y. b) diga, justificando se X e Y são independentes. c) determine a cov (X, Y) e ρ(X, Y).

35. - Seja X uma v.a. definida da seguinte forma:

X P(X = x )

m-1 (k+1)/8

m k/8

m+3 (k-1)/8

m+5 k/8

Determine :

a) K e m de modo que E(X) =1/4; b) E (3X-2), E(X2) e E(X); c) Var(3X-2), Var(X2) e Var(X).

36. - Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y.

X \ Y -2 -1 4 5

1 0.1 0.2 0 0.3

2 0.2 k 0.1 0 Determine :

a) o valor de k. b) E(X) e E(Y). c) Cov (X,Y) d) σx , σy e ρ(X,Y).

10

3ª parte - Distribuições de Probabilidade

I - Variáveis aleatórias discretas: algumas distribuições importantes

37. Seja X uma variável aleatória de distribuição binomial, com parâmetros n e p. Sabe-

se que o valor médio dessa variável é 4 e a sua variância é igual a 8/3. Determine o valor dos parâmetros.

38. - De uma urna com seis bolas verdes e duas brancas fazem-se quatro extracções com

reposição. Considere a v.a. X, que conta o número de bolas verdes extraídas.

a) Determine o valor esperado de X e calcule a probabilidade da sua ocorrência. b) Calcule o desvio padrão de X.

39. - Numa caixa com 10 lâmpadas, 2 estão fundidas. Se retirarmos dessa caixa uma

amostra de 4 lâmpadas, determine a probabilidade de : a) nenhuma ser defeituosa. b) haver 1 defeituosa. c) no máximo 1 ser defeituosa.

40. O departamento de Biologia de uma Universidade tem 8 professores graduados,

ocupando o mesmo gabinete. Cada um destes estuda tanto em casa como no gabinete. Quantas secretárias deve haver no gabinete de modo que cada um tenha uma secretária disponível em, pelo menos, 90% das vezes?

41. 59 - Num armazém estão preparadas para serem distribuídas 10000 latas de um certo

produto alimentar, das quais 500 ultrapassaram já o prazo de validade. É efectuada uma inspecção sobre uma amostra de 10 embalagens escolhidas ao acaso, com reposição. A inspecção rejeita o lote se encontrarem mais que duas latas fora do prazo.

a) Qual a probabilidade de rejeição do lote? (utilize a distribuição binomial e a sua aproximação pela Poisson).

b) Qual o número de latas fora do prazo que se espera encontrar, em média, na amostra?

42. - O número médio anual de casos de intoxicação num grande complexo

petroquímico segue uma distribuição de Poisson, de valor médio 5.

a) Qual o número médio de pessoas intoxicadas num período de seis meses? b) Qual a probabilidade de que, num ano, apareçam menos de 4 pessoas

intoxicadas? c) Qual a probabilidade de que aparecem, em seis meses, entre 5 e 8 pessoas

intoxicadas?

11

d) Qual a probabilidade de, num período de 10 anos, aparecerem menos de 60 pacientes?

43. - O número de automóveis que atravessam uma ponte durante um determinado

período de tempo é uma v.a. com distribuição de Poisson. Admita que é 0.22 a probabilidade de não passar nenhum automóvel em 10 minutos. a) Qual a probabilidade de não passar nenhum em 20 minutos? b) Qual a probabilidade de, numa hora, atravessarem a ponte menos de 4

automóveis? 44. - Sabe-se que uma bactéria, após atacar um organismo, se distribui homogeneamente

pelos seus tecidos, havendo, em média, 16 bactérias por 1cm3 de sangue desse organismo. Sabendo que um ensaio clínico necessita encontrar numa amostra de sangue pelo menos 6 bactérias para que a doença possa ser detectada, determine a probabilidade de uma amostra de 0.5cm3 não ser adequada para identificar a doença em causa.

II -Variáveis aleatórias contínuas: algumas distribuições importantes

45. - Uma firma corta e vende lenha para lareiras. O comprimento dos toros varia

uniformemente entre 2 e 3 pés. a) qual o comprimento médio de um toro cortado por essa firma? b) calcule a probabilidade de :

( i ) um toro ser maior que 2,6 pés. ( ii ) um toro ter mais de 3 pés. ( iii ) um toro ser inferior à média. ( iv ) um toro ter exactamente 2 pés. ( v ) um toro ter entre 2 e 3 pés.

46. - O tempo (em horas) que determinado indivíduo preguiçoso dorme numa noite é

uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [7,12].

a) Determine a probabilidade desse indivíduo dormir mais de 11 horas por noite. b) Determine a probabilidade de, em vinte noites, ele dormir mais de 11 horas em

pelo menos três dessas noites. c) Determine a probabilidade de dormir mais de 1100 horas em 100 noites.

47. - Para o estudo das propriedades físicas de um líquido, analisa-se a sua viscosidade

registando o número de gotas que pingam, por hora, da abertura de uma bureta contendo esse líquido. Admita que o número de gotas caídas por hora é uma v.a. de Poisson de parâmetro 3. a) Determine a probabilidade de, em meia hora de observação, registar-se a

queda de mais de uma gota.

12

b) O investigador que regista os resultados da experiência pretende ausentar-se do laboratório durante alguns minutos. Que período máximo de tempo pode estar ele ausente para que tenha 85% de certeza de que entretanto não cai nenhuma gota da bureta?

c) Imediatamente após ter caído uma gota, qual a probabilidade de o investigador ter de esperar mais de 40 minutos pela queda da gota seguinte?

d) Sabendo que a última gota caíu já há 20 minutos, qual a probabilidade da próxima cair antes de se passar meia hora?

e) Para extrair, com segurança, conclusões quanto à viscosidade do líquido em estudo, é necessário observar a queda de, pelo menos, 25 gotas. Qual a probabilidade de tal acontecer ao fim de 4 horas?

48. - O tempo de espera, numa paragem, pela chegada de um táxi é, em média, 5

minutos. Admitindo que esse tempo é uma variável exponencial negativa, determine a probabilidade de se ter de esperar mais de 15 minutos e a probabilidade de apanhar um táxi no minuto imediatamente a seguir à chegada à paragem.

49. - Considere a v.a. X com distribuição normal de valor médio 50 e desvio-padrão 6.

a) Determine as seguintes probabilidades: a1) P(X>54) a2) P(X<57) a3) P(48<X<59) a4) P(52<X<55) a5) P(45<X<59) a6) P(X<30).

b) Determine o valor k tal que P(X>k)=0.0023. c) Considere Y=kX. Sabendo que P(Y>120)=0.55, determine o valor de k.

50. - Seja X é uma v.a. com distribuição normal, onde P(X ≥ 3) = 0.8531 e P(X ≥ 9) =

0.0179. Determine o valor médio e a variância dessa variável. 51. - Numa população de 800 pessoas, o peso médio é 62 kg e o desvio-padrão 8 kg.

Sabendo que os pesos seguem uma distribuição normal, determine:

a) Número de pessoas com peso inferior a 58kg. b) Número de pessoas com peso superior a 84kg. c) Número de pessoas com peso entre 54kg e 70 kg. d) Formando ao acaso, a partir da população, uma amostra de 15 pessoas, qual a

probabilidade do peso total dessa amostra ultrapassar a tonelada?

52. - Uma máquina destinada a produção de anilhas fabrica anilhas com um diâmetro

interno médio de 0,502 cm e um desvio-padrão de 0,005 cm. Essas peças irão ser utilizadas com parafusos cuja espessura oscila entre 0,496 e 0,508 cm. Assim, caso as anilhas ultrapassem essas dimensões são consideradas defeituosas.

a) Assumindo que os diâmetros das anilhas se distribuem normalmente, determine a percentagem de anilhas defeituosas produzidas pela máquina.

b) Cada anilha vai ser vendida por 0$60. O processo de fabrico de anilhas custa 0$25 por peça. Enquanto que as anilhas com largura superior a 0,508cm são jogadas fora, as anilhas com diâmetro inferior ao previsto (0,496cm) podem ainda ser reaproveitadas alargando-se esse diâmetro através de outra máquina,

13

operação que custa mais 0$15 por anilha. Atendendo às anilhas defeituosas e às reaproveitadas, qual o lucro por anilha que se espera que o fabricante venha a usufruir?

c) Uma maneira de reduzir o número de anilhas defeituosas consiste afinar a máquina de forma a reduzir a dispersão dos diâmetros das anilhas produzidas. Para quanto se deverá reduzir esse desvio-padrão para que mais de 90% das anilhas possam ser aproveitadas de imediato?

53. - Sabe-se que a duração (em horas) de funcionamento de duas marcas distintas (M1 e M2) de um dispositivo electrónico é uma variável aleatória com distribuição normal. Para a marca M1 a duração tem distribuição X: N(40,36) e para M2 a duração tem distribuição Y: N(42,9).

a) Qual das duas marcas terá maior probabilidade de funcionar durante um período superior a 48 horas?

b) Numa situação de teste, colocou-se em funcionamento um grande número de dispositivos da marca M2. Quantas horas é necessário aguardar para que 90% desses dispositivos deixem de funcionar?

c) O fabricante vendeu um total de 500 dispositivos da marca M1. Qual a probabilidade de apenas 50 durarem mais de 48 horas?

54. - Sabe-se que a duração (em minutos) da viagem de automóvel que a Joana faz

diariamente da sua casa para Gambelas é uma v.a. normal com valor médio 12 e variância 4.

a) Determine a probabilidade da viagem demorar mais de 9 minutos? b) Sabendo que a Joana já saiu de casa há 10 minutos mas ainda não chegou a

Gambelas, qual a probabilidade da duração da viagem não ultrapassar os 15 minutos?

c) Ao fim de um mês (22 dias úteis) qual a probabilidade da Joana ter gasto mais de 9 horas (540 minutos) no caminho entre Gambelas e a sua casa? (considere que por dia a Joana faz duas viagens, ida e volta).

55. - A probabilidade de um estudante ser aprovado em uma prova de Estatística é 0.25.

a) Determine a probabilidade de, em 500 estudantes, exactamente 150 ficarem aprovados nessa prova.

b) Determine a probabilidade de, em 500 alunos, ficarem entre 120 e 150 aprovados.

14

4ª parte – ESTATÍSTICA INDUTIVA I - Estimação 42. - Uma amostra de 10 válvulas de televisão produzidas por uma companhia,

apresentam uma vida média de 1200 horas e um desvio padrão de 100 horas. Estime a média e o desvio padrão populacional da vida média de todas as válvulas produzidas pela companhia.

43. - Considerando uma amostra de 9 elementos de uma população normalmente

distribuída com os seguintes valores : 10, 11, 4, 9, 14, 13, 8, 12, 9. Determine : a) a estimativa da média da população. b) a estimativa da variância da população. c) um intervalo a 95% de confiança para a média da população. d) um intervalo a 99% de confiança para o desvio padrão da população.

44. - Durante o turno da noite numa fábrica de caramelos, seleccionou-se aleatóriamente

uma amostra de 28 caramelos da linha de produção. Os caramelos seleccionados foram pesados, e a média dos pesos obtida foi de 21.45g e o desvio padrão foi de 0.31g. Construa o intervalo a 90% de confiança para a média dos pesos dos caramelos.

45. - Um novo cereal para o pequeno almoço está a ser testado durante um mês nas lojas

de uma rede de supermercados. As receitas de uma amostra aleatória de 16 lojas apresentam uma média de 1200 contos e um desvio padrão de 180 contos. a) Construa um intervalo a 99% de confiança para a média das vendas deste novo

cereal para o pequeno almoço. b) Se se pretender estimar a quantidade média de vendas com um erro de 100

contos a 99% de confiança. Considerando o desvio padrão da população 200 contos, qual o tamanho necessário para a amostra?

46. - Seleccionou-se uma amostra de 35 pacientes, e constatou-se que o tempo de

reacção de uma injecção intravenosa é em média 2.1 minutos, com um desvio padrão de 0.1 minutos. Construa um intervalo a 90% de confiança para o tempo médio de reacção.

47. - Estamos interessados em determinar a quantidade de água em garrafas de 2 litros.

A secção de engarrafamento informa que o desvio padrão é de .05 litros. Uma amostra aleatória de 20 garrafas de 2 litros tem uma quantidade média de 1.99 litros. Construa um intervalo a 99% de confiança para a quantidade média de água contida em cada garrafa.

48. - Qual o tamanho de amostra necessário para estimar a vida média de uma lâmpada a

95% de confiança, admitindo um erro de 20 horas. Considerando o desvio padrão da população de 100 horas.

15

49. - Ao estudar-se a resistência de certo tipo de plásticos, chegou-se à conclusão que o seu ponto de fusão era uma v.a. com distribuição normal, expressa em dezenas de graus centígrados. Experimentaram-se num forno apropriado 5 peças daquele material, tendo-se obtido os seguintes pontos de fusão:

70 40 50 30 60 Construa um intervalo a 95% de confiança para a variância da população. 50. - O peso de componentes electrónicos produzidos por determinada empresa é uma

v.a. com distribuição normal. Pretendendo-se estudar a variabilidade dos pesos dos referidos componentes, recolheu-se uma amostra de 10 elementos, cujos valores (gr) foram:

98 97 102 100 98 101 102 105 95 100 a) Apresente uma estimativa para a variância do peso dos componentes. b) Construa um intervalo a 99% de confiança para a variância do peso dos

componentes. II - Testes de Hipóteses 51. - Seja X a variável aleatória que representa o crescimento em milimetros, durante 15

dias, de um tumor introduzido num rato. Assumindo que a variável aleatória X tem distribuição normal, seleccionou-se aleatóriamente uma amostra de 9 ratos e obteve-se uma média de 4.3 e um desvio padrão de 1.2. Teste a hipótese de o crescimento médio ser de 4 milimetros, a um nível de significância α = 0.10 .

52. - Uma amostra aleatória de 30 empregados de secretariado numa grande organização

foi submetida a um teste de datilografia. Os resultados obtidos foram uma média de 63 palavras por minuto e um desvio padrão de 5 palavras por minuto. Teste a hipótese de que as secretárias não ultrapassam uma velocidade de datilografia de 60 palavras por minuto, usando um nível de significância de 1 %.

53. - As especificações de produção de determinada liga exigem 23,2 % de cobre. Uma

amostra aleatória de 10 análises dessa liga acusou um conteúdo médio de cobre de 23,5% e um desvio padrão de 0.24%. Pode-se concluir que o produto satisfaz às especificações : a) a um nível de significância α = 0.01. b) a um nível de significância α = 0.05.

54. - O desvio padrão da vida útil de um cabo de televisão de determinada marca é de

500 horas, sendo a vida útil dos cabos de televisão uma variável aleatória normalmente distribuída. O fabricante dos cabos de televisão dessa marca afirma que a vida útil média de um cabo é no mínimo de 9000 horas. Teste a afirmação do fabricante ao nível de significância 5 %, sendo a vida útil média de um cabo de 8800 horas considerando : a) uma amostra aleatória de 15 cabos. b) uma amostra aleatória de 35 cabos.

16

55. - No fabrico de certo tipo de peças admite-se uma variabilidade máxima nos

respectivos diâmetros traduzida por c=0,5 milimetros. Perante uma amostra de 20 peças obteve-se uma variância de 0,3. É de concluir que o processo de fabrico está fora de controlo?

(admitindo que os diâmetros das peças seguem uma distribuição normal, use α = 0.05 ). 56. - Considere que, de uma amostra de 30 elementos retirados de uma população com

distribuição normal, se obtiveram os seguintes resultados:

∑i=1

30 xi= 320 e ∑

i=1

30 x i

2 = 3443,8

Para um nível de significância α = 0.01 teste a hipótese de o desvio padrão ser 0,866. 57. Uma empresa construtora de equipamento para a indústria alimentar pretende

adquirir termostatos para comandar a abertura de um certo tipo de fornos, contemplando a possibilidade de os adquirir a um dos fornecedores A ou B. O fornecedor B vende os termostatos mais caros, invocando que são mais fiáveis do mercado. Num ensaio de 9 termostatos do fornecedor A e 11 do fornecedor B, todos regulados para actuarem à mesma temperatura, as temperaturas observadas de abertura dos fornos foram as seguintes:

Fornecedor A: 423 425 401 430 417 425 416 421 419; Fornecedor B: 419 414 422 435 418 421 420 410 406 418 421.

Verifique ao nível de significância de 5%, se os resultados confirmam a maior fiabilidade dos termostatos fornecidos por B.

58. Num processo de fabricação de placas de vidro, produzem-se bolhas que se

distribuem aleatoriamente pelas placas. Com base na abundante informação recolhida pelo Departamento de Qualidade, a densidade média das bolhas estimava-se, até há pouco tempo em 0,4 bolhas/m2. Recentemente fez-se uma tentativa para melhorar o processo produtivo, em particular no tocante ao aparecimento daqueles efeitos. Depois de serem as alterações no processo, recolheu-se uma amostra constituída por 15 placas de 1,5*3,0 m2 e registou-se o número de bolhas em cada um delas. Os resultados foram os seguintes:

{1, 0, 3, 0, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 1} Verifique, ao nível de significância de 5 %, se a densidade esperada de bolhas diminuiu. 59. Sete indivíduos saudáveis ofereceram-se para realizar uma experiência envolvendo

um novo fármaco para combater a insónia. Os sete indivíduos submeteram-se. Antes e depois de ingerir o tal fármaco a um exame em que foi medido (em centésimos de segundo) o tempo de resposta a um sinal sonoro. Os resultados desse exame apresentam-se na seg. tabela:

Tempo de reacção com fármaco 17 27 39 27 30 21 36 Tempo de reacção sem fármaco 19 22 34 21 27 24 29

17

Supondo o tempo de espera com distribuição normal, teste ao nível de 5%, se o tal fármaco provoca, como efeito secundário, o aumento do tempo de resposta a estímulos auditivos.

60. No laboratório DMC foi recentemente desenvolvido um método mais barato e mais

rápido do que o convencional para efectuar certas análises de rotina. Em testes realizados com o objectivo de comparar a fiabilidade do novo método com a do convencional, repetiu-se sucessivamente a mesma análise, tendo-se obtido os seguintes resultados:

Nº de observações ∑ − 2)xnx(

Método convencional 24 30,5 Método novo 30 55,7

a) Poder-se-á afirmar que o novo método é mais fiável que o convencional? b) Será que a média de 3 observações obtidas com o novo método é mais precisa do

que uma observação recolhida com base no método convencional? Efectue os testes adequados ao n. sig. de 5%.

61. Um botânico pretende comparar a resposta de crescimento de ervilheiras a dois níveis diferentes da hormona IAA. Expôs 11 plantas à concentração 0.5×10-4 de hormona e 13 plantas à concentração 1.0×10-4. Seja X a v.a. que representa o crescimento de plantas expostas à primeira concentração e Y a v.a. que representa o crescimento das plantas expostas à segunda concentração. Os dados obtidos foram:

X 0.8 1.8 1.0 0.1 0.9 1.7 1.0 1.4 0.9 1.2 0.5

Y 1.0 0.8 1.6 2.6 1.3 1.1 2.4 1.8 2.5 1.4 1.9 2.0 1.2

Teste, ao nível de significância α = 0.05, se a maior concentração de hormona induz um maior crescimento. Que pressupostos teve de assumir para realizar este teste?

62. Uma fábrica de pastilhas elásticas pretende produzir duas variedades de pastilha (variedade Normal e Balão) em unidades com uma espessura de 6.7×10-1 mm. Vamos considerar que X (a espessura das pastilhas da variedade Normal) tem uma distribuição N(µX, σX2) e que Y (a espessura das pastilhas da variedade Balão) tem uma distribuição N(µY, σY2). Como a goma da variedade Balão têm maior elasticidade, é difícil garantir que a espessura dessas pastilhas apresente os valores desejados. O fabricante pretende testar a hipótese nula µX = µY contra a hipótese alternativa µX < µY. Para isso, mediu a espessura de 50 pastilhas da variedade Normal e 40 da variedade Balão. Os resultados amostrais foram:

Média Desvio-padrão N

X (Normal) 6.701 0.108 50

Y (Balão) 6.841 0.155 40

18

Teste as hipóteses apresentadas ao nível de significância α=0.01. 63. A empresa Fumarada, SA., envia para dois laboratórios amostras de tabaco. Cada

laboratório fez 5 medições com os seguintes resultados em nicotina por mg: (X) 24 27 26 21 24 (Y) 27 28 23 31 26 Admitindo que os conteúdos têm distribuição Normal com igual variância, σX2=σY2, será de aceitar que os dois laboratórios usam o mesmo método de determinação? 64. Certo distribuidor ao comercializar um novo aditivo assegura que este faz reduzir

consideravelmente o consumo do combustível. Uma organização de automobilistas resolveu comprovar tal afirmação, para o que seleccionou dez modelos diferentes de carros, que percorreram determinado troço mas mesmas condições, primeiro sem aditivo e depois com o aditivo.

Sem aditivo 8,08 6,85 8,46 7,08 7,06 10,53 8,47 6,79 7,11 9,3

Com aditivo 7,71 6,72 8,42 7,76 6,70 10,34 8,42 6,21 6,83 9,29

Que se deve concluir para α=0.01?

65. Numa sondagem 60 das 200 pessoas inquiridas revelaram-se conhecedoras de determinado produto. Após uma campanha publicitária foi feito um novo inquérito a 300 pessoas, das quais 111 se revelaram conhecedoras do produto.

Pode considerar-se que, devido à campanha de publicidade , o referido produto se tornou mais conhecido (α=0.01)? 66. Dois programas de alimentação de gado bovino são comparados. As v.a.’s X e Y

representam o aumento de peso (em Kg) durante um mês os animais alimentados segundo os programas 1 e 2, respectivamente. Admita que X: N(µ1,σ1) e que Y: N(µ2,σ2). Foi submetido um grupo de 8 animais ao programa 1 e um grupo de 10 animais ao programa 2, os resultados foram:

Programa 1:∑=

8

1i

iX = 416; ∑=

8

1

2

i

iX = 21807; Programa 2: ∑=

10

1i

iY = 468 ; ∑=

10

1

2

i

iY = 22172

Considerando α=0,01, teste a hipótese de que a variabilidade dos aumentos de peso (durante um mês) é igual nos dois programas.

67. Havendo indícios de que o esquema de avaliação e as classificações finais atribuídas diferem fortemente entre as duas escolas, decidiu-se comprovar estatisticamente esta hipótese. Assim, seleccionaram-se 30 fichas dos alunos da escola A 20 fichas dos alunos da escola B. Os resultados amostrais foram:

Média Desvio-padrão ( s′ ) N

Escola A 12,9 2,1 30

Escola B 14,7 1,8 20 Diga, para um nível de significância de 5%, se é de concluir que: a) A variabilidade das classificações é significativamente diferente nas duas escolas.

19

b) A classificação média na escola B é mais alta em 2 valores que na escola A.

III – ANOVA

68. Após a realização de uma viagem, seleccionaram-se 6 estudantes de cada uma das viagens ( Europa, Ásia e África) que responderam a um teste de opinião, que pretendia avaliar o grau de satisfação obtido nessa viagem. Os dados encontram-se na tabela seguinte:

Nível de Satisfação Europa 13 12 12 10 10 14

Ásia 15 13 15 15 12 15 África 14 16 13 12 14 17

Averigúe se o nível de satisfação relativamente aos três destinos é significativamente diferente(α=0,05).

69. Para os três grupos etários seguintes indica-se o número de dias que cada casal (escolhido ao acaso) espera passar no estrangeiro nas férias do ano 2000:

Grupos etários Dias de férias no estrangeiro

20/25 15 22 12 5 25/30 30 22 12 25 30/35 22 30 15 12

a) Admitindo que a variável em estudo não tem uma distribuição normal na população, que teste deve aplicar para comparar os três grupos? Que conclusões pode tirar (α=0,01)? b) Caso existam muitos valores repetidos, faça a correcção do valor da estatística de teste obtida na alínea anterior. Altera-se a conclusão para o mesmo nível de significância? IV - Regressão linear 70. - Registou-se a altura (X) e o peso (Y) de 20 crianças em idade pré-escolar. Os

dados recolhidos foram: X Y X Y

123 22 141 33 126 25 142 35 132 25 135 28 134 27 136 29 137 28 127 25 125 24 129 28 142 39 124 24 131 36 138 30 138 29 132 29 144 43 141 36

20

a) considerando o número de classes conveniente, apresente os dados recolhidos

numa tabela de frequências de dupla entrada. b) calcule a média e a variância para a distribuição marginal da variável Y. c) calcule a mediana para a distribuição de Y condicionada a X≥132. d) calcule a covariância e o coeficiente de correlação entre X e Y a partir dos dados

originais e da tabela de frequências.

71. - Considere a seguinte amostra, resultante do registo e agrupamento de 35 observações das variáveis X e Y:

X Y [1, 3[ [3, 5[ [5, 7[ [7, 9[ [9, 11[ Total

[20, 24[ 2 2 0 0 0 4

[24, 28[ 1 4 3 1 0 9

[28, 32[ 0 2 5 3 1 11

[32, 36[ 0 0 2 3 1 6

[36, 40[ 0 0 1 3 1 5

Total 3 8 11 10 3 35

a) calcule a média e a variância para as distribuições marginais de X e de Y. b) calcule a covariância e o coeficiente de correlação entre X e Y. c) obtenha a recta de regressão de Y em X a partir dos dados tabelados.

72. - Considere os dados da tabela seguinte: X 1 3 4 6 8 9 11 14 Y 1 2 4 4 5 7 8 9

a) represente graficamente os pontos (x, y) através de um diagrama de dispersão.

b) obtenha a recta de regressão de Y em X a partir dos dados da tabela, usando o método dos mínimos quadrados. Represente-a graficamente.

73. - A tabela seguinte dá-nos a idade X e a pressão sistólica Y, para uma amostra aleatória de 12 mulheres : X 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42 68 60 Y 147 125 160 118 149 128 150 145 115 140 152 155

a) determine o coeficiente de correlação entre X e Y.

b) determine a recta de regressão de Y sobre X, pelo método dos mínimos quadrados.

c) estime a pressão sistólica de uma mulher de 45 anos usando a recta de regressão encontrada na alínea b.

21

74. - Dois juízes de um concurso, solicitados a classificar 8 candidatos (A, B, C, D, E, F, G e H) por ordem das suas preferências, fizeram as escolhas que são apresentadas na tabela seguinte:

Candidato A B C D E F G H

1º Juiz 5 2 8 1 4 6 3 7

2º Juiz 4 5 7 3 2 8 1 6

Determine o coeficiente de correlação entre o 1º e o 2º juiz e tire as conclusões adequadas no que diz respeito à concordância entre os dois juízes.

75. - Realizou-se a seguinte experiência para estudar a relação entre a solubilidade em água de um produto químico e a temperatura: a mesma quantidade de produto foi colocada em 6 balões que continham 5dl de água destilada; os 6 balões foram expostos a diferentes temperaturas, sendo a solução misturada durante uma hora. Ao fim desse período de tempo, a solução foi filtrada e a quantidade de produto não dissolvida (precipitado) foi pesada. Os resultados obtidos foram os seguintes:

X- Temperatura 5 10 25 50 80 90

Y- Peso do precipitado 20 20 14 12 5 2

a) Ajuste os seguintes modelos de regressão:

a1) Y = a + bX

a2) Y = aXb

a3) Y = aebX

b) Escolha, justificando convenientemente, o modelo que considera mais apropriado e indique a quantidade de produto que, segundo esse modelo, se espera que não venha a dissolver-se a uma temperatura de 40ºC.

22

6ª parte - Testes não paramétricos 76. - A tabela seguinte apresenta as frequências observadas e esperadas de 120 jogadas

de um dado. Teste a hipótese de que o dado é honesto, utilizando um nível de significância de α = 0.05.

Face

1 2 3 4 5 6

f. obs. 25 17 15 23 24 16 f. esp. 20 20 20 20 20 20

77. - Usualmente um fabricante de televisores vende 40 % de aparelhos com ecrãn

pequeno, 40 % com ecrãn médio e 20 % dos aparelhos com ecrãn grande. Com o objectivo de estabelecer os programas apropriados de produção para o próximo mês, seleccionou-se uma amostra aleatória de 100 vendas e obtiveram-se os seguintes resultados :

Dimensão do ecrãn pequeno médio grande

f. obs. 55 35 10 f. esp. 40 40 20

Teste a hipótese de que não é necessário a alteração dos programas de produção, a um nível de significância α = 0.01. 78. - Uma amostra de alunos recém licenciados foi classificada de acordo com dois

critérios: Situação profissional Escola onde se formou

A B com emprego 39 69 sem emprego 25 17

Para um nível de significância de 5%, diga se será de relacionar a escola onde se formou com a situação profissional. 79. - Para α = 0.01, diga se o nível de absentismo e o sexo são características

independentes, tomando por base os dados seguintes obtidos em certa zona industrial:

Nível de absentismo

Sexo nulo reduzido forte F 40 17 3 M 35 11 4

23

80. Experiências recentes feitas com certa dieta para emagrecer permitem concluir que a dieta é eficaz em 99% dos casos. Considerando os dados que se seguem (Pi – peso inicial, Pf – peso final) diga se concorda com a afirmação que se fez:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pi=Pf Pi>Pf Pi<Pf Pi<Pf Pi=Pf Pi<Pf Pi=Pf Pi<Pf Pi<Pf Pi<Pf

81. Considere as pontuações (em %) de 7 crianças em duas realizações de um teste de expressão visual:

1ª realiz. 67 54 59 59 56 66 55

2ª realiz. 65 57 67 57 59 66 54

Serão as pontuações da 2ª realização do teste significativamente superiores à primeira?

82. Um professor de Educação física registou as notas de performances de um grupo de 20 alunos antes e depois de um treino:

Antes 10 9 15 2 7 8 6 15 12 10 10 11 12 13 11 9 6 7 8 14

Depois 12 8 15 10 15 8 8 16 13 18 18 10 2 18 10 10 5 11 12 10

a) Aplique o teste dos sinais para averiguar se houve progresso (α=0,05 e α=0,01).

b) Teste a mesma hipótese por outro teste não paramétrico (α=0,05 e α=0,01).

83. Seleccionaram-se aleatoriamente 7 indivíduos do sexo masculino e 7 do sexo feminino, com idades entre os 45 e os 65 anos que, há mais de 20 anos tinham frequentado um curso introdutório à língua alemã. Aplicou-se um teste de memorização que consistia numa lista de 25 palavras durante um intervalo de tempo, registando-se o n.º de palavras recordadas correctamente:

Masculino 3 2 7 13 20 21 21

Feminino 5 7 7 8 10 20 21

a) Considera que os homens e as mulheres têm diferente capacidade de memorização? (α=0,05).

b) Os indivíduos do sexo feminino que obtiveram resultados inferiores a 13, no referido teste, frequentaram outro curso introdutório tendo-se verificado os seguintes resultados para um teste de memorização do mesmo tipo:

Feminino 10 9 7 3 15 - -

Terão os indivíduos do sexo feminino melhorado a sua capacidade de memorização de palavras alemãs? Aplique o teste estatístico que ache mais adequado e justifique a sua escolha. (α=0,01).

24

84. Um banco de sangue guarda as garvações da taxa de batimentos cardíacos para vários doadores de sangue:

Homens 58 76 82 74 79 86 65 Mulheres 66 74 75 69 73 67 76 68

Será a variabilidade entre os homens significativamente diferente da variabilidade entre as mulheres(α=0,05)?

85. Uma empresa de epacotamento de comida, pretende ter a certeza que as caixas de cereais que produz, contêm pelo menos o peso líquido indicado na caixa. A variabilidade do peso líquido é causada da máquina de empacotamento que, umas vezes coloca um pouco menos, e outras vezes um pouco mais de cereais na caixa. A máquina com menor variação poupará dinheiro à empresa.

Está a ser testada uma nova máquina para se verificar se origina uma menor variabilidade, do peso líquido dos cereais contidos nas caixas, do que a máquina actual.

Para a empresa tomar uma decisão relativamente à mudança de máquina seleccionou algumas caixas de cereais empacotadas por ambas as máquinas:

Maq. actual 10.8 11.1 10.4 10.1 11.3 - - Maq. nova 10.8 10.5 11.0 10.9 10.8 10.7 10.8

Será a variabilidade da máquina nova inferior à da máquina actual (α=0,01)?

86. Fez-se uma experiência para comparar os tempos (em minutos) que os jovens de ambos os sexos demoram a visitar o Oceanário. Os resultados de alguns jovens foram os seguintes:

Rapazes 104 50 85 72 41 90 50

Raparigas 55 40 22 58 16 42 26 Serão as raparigas mais rápidas na visita? (α=0,01).

87. No Oceanário existem 5 habitats marinhos. A adaptação das espécies depende do habitat no qual estão inseridas. Escolheram-se 2 habitats e seleccionaram-se aleatoriamente algumas espécies, tendo-se determinado a percentagem de espécies adaptadas:

Índico 36,0 34,5 28,2 -

Atlântico 69,0 56,5 89,0 72,0 Será a percentagem de espécies adaptadas significativamente diferente nestes 3 habitats? (α=0,05).