Untersuchung der Einsatzmöglichkeiten von Computer ?· symbolische Mathematik unterstützt“ (aus…

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    18-Sep-2018

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  • Untersuchung der Einsatzmglichkeiten von

    Computer-Algebra-Systemen (CAS) im Mathematikunterricht der Klassenstufe 11

    Darstellung von ausgewhlten Beispielen zum Einsatz des Casio ClassPad 300

    Schriftliche Hausarbeit im Rahmen der Zweiten Staatsprfung fr das Lehramt an Gymnasien

    Dem Landesprfungsamt fr Lehrmter vorgelegt von Lars Kliesche

    Potsdam, im April 2004

  • Inhaltsverzeichnis: Vorwort ...............................................................................................................

    2

    1. Was sind Computer Algebra Systeme (CAS)? ....................................... 3 1.1. Computer Algebra System ein Computer im

    Taschenrechnerformat? .................................................................. 3

    1.2. Beispiele fr CAS ............................................................................ 4

    2. Einordnung von CAS in den Mathematikunterricht der Klassenstufe 11 ........................................................................................ 5

    2.1. Guter Unterricht wird durch Computeralgebrasysteme noch besser, schlechter Unterricht noch schlechter ..................... 5

    2.2. Allgemeine Zielvorstellungen des Mathematikunterrichts .................................................................... 6

    2.3. CAS im Mathematikunterricht eine Untersttzung zur Erreichung der Lernziele ......................................................... 9

    2.4. Przisierung der Lernziele fr die Klassenstufe 11 mit Hilfe der Planungsdokumente des Landes Brandenburg ................................................................................... 14

    2.4.1. Rahmenplan des Landes Brandenburg .............................. 14 2.4.2. Verbindliche Curriculare Vorgaben, EPA ......................... 15 2.4.3. Erkenntnisse aus den Planungsdokumenten ...................... 16 2.5. Konkretisierung der Einsatzmglichkeiten von

    CAS im Lernumfeld der Klassenstufe 11 ....................................... 18

    2.6. Einordnung der Anwendungsmglichkeiten von CAS in die Stoffgebiete der Klassenstufe 11 ...............................................

    21

    3. Darstellung von Einsatzmglichkeiten des Casio ClassPad 300 an ausgewhlten Beispielen ......................................................................... 23

    3.1. Erarbeitung der Ortsdefinition einer Parabel ................................. 24 3.2. Stabilisierung der relativen Hufigkeit fr das Ereignis

    Augenzahl Sechs beim Werfen eines Wrfels ............................. 26

    3.3. Selbststndige berprfung von Ergebnissen bei bungsaufgaben durch die Schler ................................................ 28

    4.

    Schlusswort .............................................................................................. 30

    Anhang ................................................................................................................ 31 A1 Arbeitsblatt zur Ortsdefinition einer Parabel ..................................... 31 A2 Programm zur Stabilisierung relativer Hufigkeiten ......................... 32

    A3 Arbeitsblatt zur Stabilisierung relativer Hufigkeiten ........................ 33

    Literaturverzeichnis ............................................................................................

    34

    Erklrung ............................................................................................................ 35

  • Vorwort - 2 -

    Vorwort Noch vor 30 Jahren waren gelufige Hilfsmittel im Mathematikunterricht der Rechenstab und die Logarithmentafeln. Niemand dachte damals daran, dass der technische Fortschritt diese Hilfsmittel in nur 30 Jahren aus den Unterrichtsrumen der heutigen Schule verbannen wird. Taschenrechner und Personalcomputer haben Einzug gehalten und sind fr jeden Schler zur Normalitt geworden, wie fr viele damals der Rechenstab und die Logarithmentafeln. Taschenrechner und Personalcomputer haben in der Schule mehr verndert, als vielleicht auf den ersten Blick erkennbar ist. Sicherlich steht auch heute bei der Benutzung technischer Hilfsmittel die Entlastung von oft mhsamer und langwieriger Rechenarbeit im Vordergrund, besonders, wenn man genaue Ergebnisse bentigt, oder mit rechenintensiven Algorithmen mehrere Wiederholungen durchlaufen und lange Tabellen erstellen muss. Heute besteht aber auch die Mglichkeit, sich unbekannte Zusammenhnge grafisch veranschaulichen zu lassen, oder Berechnungen direkt an grafischen Darstellungen auszufhren. Selbst darber hinaus gibt die heutige Technik Einblicke in Strukturen frei, die bisher ohne den Computer nicht erschliebar gewesen waren, denken wir an Stichworte wie Apfelmnnchen oder Feigenbaum. Wie oft aber werden Computer heute im Unterricht wirklich eingesetzt? Wird sich der Einsatz hufen, wenn sich der Einsatz der Computer im Taschenrechnerformat in Form von grafikfhigen Taschenrechnern oder Computer Algebra Systemen im Schulklassenraum durchsetzt? Es gilt, sich der Herausforderung durch die neuen Mglichkeiten zu stellen und daraus Konsequenzen zu ziehen. Das verlangt insbesondere auch die Bereitschaft, von Vertrautem Abschied zu nehmen, wenn dies als sinnvoll oder sogar unvermeidbar erkannt wird. Mit den nachfolgenden Ausfhrungen mchte ich am Beispiel der Klassenstufe 11 den mglichen Einsatz von CAS im Mathematikunterricht darstellen. Mit der Einordnung von CAS in den Zielkatalog des Mathematikunterrichts, in Planungsdokumente des Landes Brandenburg, wie Vorlufiger Rahmenplan, Curriculare Vorgaben, Einheitliche Prfungsanforderungen fr die Abiturprfung (EPA), mchte ich verdeutlichen, dass der Einsatz von CAS zur Ausbildung von heute geforderten Kompetenzen und der Schaffung notwendigen Wissens hilfreich, ntzlich und teilweise sogar erforderlich ist. Dieser Teil meiner Ausfhrungen wird den Schwerpunkt meiner Arbeit bilden. Im Anschluss daran sollen drei einfache Beispiele verdeutlichen, dass der Einsatz von CAS im Unterricht nicht gleichzeitig stundenlanges Einrichten von Computersystemen, wochenlange Lehrerschulungen und tagelange Vorbereitung am huslichen Schreibtisch bedeutet. Hinweis zur verwendeten Begrifflichkeit: Im nachfolgenden werden Schler und Schlerinnen unter dem Begriff Schler verstanden und nicht im Einzelnen getrennt aufgefhrt.

  • Was sind Computer Algebra Systeme? - 3 -

    1. Was sind Computer Algebra Systeme (CAS)?

    1.1. Computer Algebra System ein Computer im Taschenrechnerformat?

    Fast alle Menschen benutzen heute einen Taschenrechner, da er ihnen das mechanische Rechnen mit Zahlen abnimmt. Viele von ihnen haben beispielsweise niemals gelernt, einen Rechenschieber zu benutzen oder den Sinus oder Logarithmus einer Zahl ohne elektronische Hilfsmittel zu berechnen. Heutige Taschenrechner knnen weitaus mehr, als nur mit Zahlen zu rechnen. Der heutige Taschenrechner fand seine Weiterentwicklung in der Computer-Algebra. Computer Algebra Systeme fhren die Automatisierung mechanischer Rechnungen einen Schritt weiter. Eine Definition fr Computer Algebra Systeme findet man in diversen Nachschlagewerken: Ein Computer Algebra System (CAS) ist eine Software, die symbolische Mathematik untersttzt (aus Wikipedia, der freien Enzyklopdie). CAS rechnen nicht nur mit ganzen oder rationalen Zahlen nahezu beliebiger Gre, sie berechnen nicht nur Gleitpunktapproximationen auf beliebige Genauigkeit, sie knnen auch formal-symbolisch mit Parametern rechnen. Dadurch werden Berechnungen mglich, wie z.B. finde alle x mit , oder auch komplizierte Berechnungen wie z.B. finde alle differenzierbaren Funktionen mit

    fr beliebige Werte von a und b. CAS in der heutigen Zeit sind in der Lage, mathematische Objekte in Form von Grafiken darzustellen und rumen die Mglichkeit ein, diese Darstellungen dynamisch zu verndern, daran Berechnungen anzustellen, Parameter zu ndern, zu simulieren und zu variieren.

    0353 2 =+ xx)(xy

    0)()(' 2 =+++ xabxyxy

    Zusammenfassend knnte man die Funktionalitt von CAS folgendermaen kurz zusammenfassen - CAS knnen:

    - mit beliebiger Genauigkeit rechnen. Es ist beispielsweise mglich, auf 10.000 Stellen genau zu bestimmen,

    - algebraische Ausdrcke vereinfachen, vergleichen, Funktionen integrieren und Gleichungen lsen,

    - Diagramme und Funktionen grafisch darstellen (2D und 3D) - Lineare Gleichungssysteme lsen und Matrizenberechnung durchfhren - mit einer hheren Programmiersprache Benutzern ermglichen, ihre eigenen

    Algorithmen zu implementieren Die Laufzeit der numerischen Programme, die in CAS realisiert werden, ist hufig grer als die gleichwertiger Programme, die in Systemen wie z.B. in C implementiert sind. Durch die spezielle Numerik (Berechnungen mit hherer Genauigkeit) wird zustzliche Rechenkapazitt und Zeit bentigt. Dafr werden beim Betrieb Rundungsfehler weitgehend vermieden, was wissenschaftliche Simulationen (z.B. Wetterentwicklungen) ber einen langen Zeitraum mglich macht. Computer Algebra Systeme befreien den Benutzer keinesfalls von mathematischen berlegungen, sie knnen mechanische Aspekte der Rechnung vereinfachen, ein ntzliches Hilfsmittel beim Hantieren mit mathematischen Objekten und Modellen sein, sei es fr Ingenieure, fr die mathematische Forschung, oder einfach fr Schler beim Erkennen und Verstehen mathematischer Sachverhalte. CAS werden bald ebenso verstndlich sein, wie es heute numerische Taschenrechner sind. Damit werden

  • Was sind Computer Algebra Systeme? - 4 -

    Aufgaben wie Differenziere ebenso leicht dem technischen Hilfsmittel bertragen werden knnen, wie dies heute ganz selbstverstndlich etwa beim Berechnen von

    )54(sin 23 +xx

    )3,0cos( oder 35,4 geschieht. Durch die heute zur Verfgung stehende Technik ist es mglich geworden, CAS im Taschenrechnerformat herzustellen und somit dem mobilen Einsatz im Unterricht den Weg zu ebnen. Das Organisieren von Computerrumen und die Einrichtung spezieller Software ist nicht mehr zwingend notwendig. Der Schler hat in der heutigen Zeit das CAS in der Schulmappe und kann es jederzeit im Unterricht einsetzen, sei es zur Berechnung von einfachen Aufgaben, zur Darstellung von Funktionen und rumlichen Objekten, bis zum Veranschaulichen komplizierter Zusammenhnge oder Algorithmen. Das CAS bernimmt die Funktionen des Taschenrechners und leistet darber hinaus noch vieles mehr. Mglicherweise wird dadurch in einigen Jahren der CAS-fhige Taschenrechner den Platz des heutigen Taschenrechners in der Schultasche eines Schlers einnehmen. Aber nicht nur CAS-fhige Taschenrechner sind fr die Schule interessant. Saftwarepakete, elektronische Tafelwerke halten Einzug in den Klassenraum bzw. auf den Schreibtisch der Schler. Der Computer wird immer mehr zum Gebrauchsgegenstand, der Hilfe bietet bei Recherchen, bei bungsaufgaben oder beim Nachschlagen. Nachfolgend sind einige Beispiele von CAS aufgezhlt.

    1.2. Beispiele Fr CAS:

    - Mathematica - Maple - MuPAD - MathCad Didaktische Programmpakete auf Grundlage eines CAS

    - Auf der Grundlage von MathCad stellt das Elektronische Tafelwerk von Paetec

    eine interaktive Formelsammlung bereit - In den Schulen ist als CAS vorwiegend Derive vertreten. - LiveMath ist das bisher erste CAS, das mittels Plugin dynamisch in Webseiten

    integriert werden kann. LiveMath ist im Leistungsumfang gegenber anderen CAS reduziert und auf den Unterricht zugeschnitten. Besondere Strken liegen in der interaktiven, dynamischen Verknpfung von Thermen, Graphen und Tabellen.

    Beispiele fr Taschenrechner, die CAS beherschen: - TI 98, TI Voyage 200 - Casio ClassPad 300

  • Einordnung von CAS in den Mathematikunterricht der Klassenstufe 11 - 5 -

    2. den Mathematikunterricht der Klassenstufe 11

    2.1. Guter Unterricht wird durch Computeralgebrasysteme noch besser, schlechter Unterricht noch schlechter (E. Lehmann, Podiumsdiskussion 1995 in Wolfenbttel)

    Dieser Ausspruch unterstreicht deutlich die besondere Stellung des Lehrers, dessen Kompetenzen und Fhigkeiten mehr als alle technischen Hilfsmittel Voraussetzung fr guten Mathematikunterricht sind. Somit werden auch in Zukunft die Fhigkeit und das Geschick des Lehrers fr den Erfolg des Unterrichts magebend sein. Dabei stehen die Beobachtungsfhigkeit, die pdagogische Phantasie des Lehrers und die Verstndlichkeit, der logische Aufbau und die berzeugungskraft der Lehrersprache im Vordergrund. CAS knnen im Unterrichtsgeschehen untersttzend eingesetzt werden, um das Unterrichtsziel durch die gemeinsame Arbeit von Schler und Lehrer auf anschauliche und alltagsbezogene Art und Weise zu erreichen. Das allerdings erfordert vom Lehrer eine neu zu erlernende Planung fr den Einsatz des CAS. Nur wenn der Einsatz durchdacht und strukturiert erfolgt, knnen Computer Algebra Systeme den Mathematikunterricht verstndlicher und anschaulicher gestalten. Im Zusammenhang mit Lehren und Lernen lassen sich drei Rollen unterscheiden:1

    1. Computer als Unterrichtsgegenstand 2. Computer als Lern- und Informationsmedium 3. Computer als Werkzeug

    Der Computer als Unterrichtsgegenstand wird mehr dem Informatikunterricht berlassen. Aber auch im Mathematikunterricht kann es notwendig sein, sich mit dem Aufbau, den Funktionsprinzipien bzw. seiner Programmierung auseinanderzusetzen, wenn es darum geht, Berechnungen des CAS zu interpretieren und Algorithmen zu verstehen bzw. selbst zu programmieren. Diese Rolle wird aber einen geringeren Anteil im Mathematikunterricht einnehmen. Entscheidend fr den Mathematikunterricht ist die Rolle des Computers als Lern- und Informationsmedium. In dieser Rolle ist der Computer ein Mittel, dessen Gebrauch Lernvorgnge anregen, frdern und kontrollieren soll, nicht anders, als wir es von herkmmlichen Medien, wie Schulbchern, Foliensammlungen, Unterrichtsfilmen, Arbeitsblttern, usw. kennen. Dabei hat der Computer Eigenschaften, die ihn von herkmmlichen Lehrmitteln unterscheiden:

    - Flexibilitt hinsichtlich der materiellen, rtlichen und zeitlichen Verfgbarkeit, Manipulierbarkeit und Handhabung

    - Integration bislang getrennter Welten diskreter Daten (Texte, Bilder) und kontinuierlicher Daten (Ton, Filme/ Video) auf einer gemeinsamen Plattform Multimedia

    - Interaktivitt in dem Sinne, dass Computer auf Lernhandlungen reagieren und/ oder Rckmeldungen hervorbringen knnen

    - Computer sind individualisierend, sofern sie sich selbstttig an den Lernfortschritt jedes einzelnen Schlers anpassen

    Einordnung von CAS in

    1 Vgl. [10]

  • Einordnung von CAS in den Mathematikunterricht der Klassenstufe 11 - 6 -

    - Computer schaffen eine Mglichkeit der Vernetzung von Lernen an der Schulbank und Arbeiten im Internet und damit einen aktuellen Bezug des Lerninhalts zur Realitt

    Im private als Hilfsm dienen. Hier spielen Textverarbeitung, Speichern und Verwalten von Daten in Datenbanken, Rechnen und Erstellen von

    eutsche Mathematikdidaktiker haben eine ganze Reihe von Zielkatalogen fr den 971),

    inter (1972), Lange (1974), Bigalke (1976). In der nachfolgenden Darstellung sollen die w...

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