Uvod u planiranje i analizu pokusa - unizg.hr · Osnove teoriUvod u planiranje i analizu pokusaje uzoraka Dr. sc. Hrvoje Cajner • Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne

Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner

Uvod u planiranje i analizu pokusa


bull Statistika - znanost koja daje potporu pri donošenju odluka i zaključaka u slučaju kada je prisutna varijabilnost

bull Inženjerski i znanstveni pristup jest skup metoda kojima se formulira i rješava zadani problem

bull Područje statistike se bavi prikupljanjem prezentacijom analizom i upotrebom dobivenih rezultata u procesu donošenja odluka rješavanja problema te oblikovanja proizvoda i procesa

bull Statističke metode - opisivanje i razumijevanje varijabilnosti

1 Uvod u statističku analizu


bull Potrebno je uključiti činjenicu varijabilnosti u proces donošenja odluka ndashstatistički princip

bull Statistika ndash daje okvir za istraživanje varijabilnosti te identifikaciju potencijalnih izvora (faktora)

bull Uobičajen način razmišljanja - primjena općenitih (fizikalnih) zakona u oblikovanju proizvoda ili procesa

bull Istraživački pristup upotrebom statističkog zaključivanja (eng Statistical inference) ndash jest da na temelju specifičnih podataka dobivenih iz uzorka se zaključuje o populaciji

Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner

2 Osnove teorije uzoraka

UZORAK slučajni reprezentativni dio osnovnog skupa ndash populacije

21 1

22 2

2

1uzorak

2uzorak

uzorak i i

n x

n x

i n x

Uzorci


bull Razdioba aritmetičke sredine uzorka

osnovni skup

aritm sredina uzorka

20( ) N E x

2( ) N xE x

Raspon osnovnog skupa

2x3x

4x

5x6x

x x

( )( )

f x f x

razdioba aritmetičke

sredine uzorka

osnovni skup

x1


bull Centralni granični teorem- Razdiobe aritmetičkih sredina uzoraka vrlo brzo se približavaju

normalnoj raspodjeli neovisno o vrsti raspodjele u osnovnom skupu ako veličina uzorka teži u beskonačnost


bull Nepristrane procjene parametara osnovnog skupaPojam nepristrane procjeneneka varijabla nepristrano procjenjuje parametar osnovnog skupa Θako vrijedi

( )E

( ) ( )E x E x

2 20( )E

2 20( )E s

dakle uzorka nepristrano procjenjuje očekivanja osn skupa

dakle varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance osnovnog skupa

dakle varijabla nepristrano procjenjuje

varijancu osnovnog skupa

2 2

1ns

n

x


bull Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka

Pomoću varijable s2 određuje se

bull VAŽNO

k = (n ndash 1) broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka

2x

22 0 0

22

x x

x x

n ns ss sn n

2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n

standardna pogreškaar sredine


bull Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa

2

2 (1 2)

121( )

2

x x

x

z

x z x z

xz

f z e

xz

interval povjerenja(vjerodostojnosti)

varijabla standardizirane normalne razdiobe

1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2 30ndash1ndash2ndash3 z

f(z)


Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka

ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka

ndash koristiti Studentovu t-razdiobu

Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne

razlikuje od normalne razdiobe

t

f(t) N 01

Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode


Konačno

bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu

bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1

( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n

01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe

t


Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu

521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)

bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x

( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n


Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno

korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške

bull U tom je slučaju

bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi

( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1


bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku

Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s

uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )

1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P


bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka

ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije

uzorka

ndash n veličina uzorka

ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)

( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn


bull Intervalna procjena varijance

bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa

bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)

ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s

k = n ndash 1 stupanj slobode 2

2 2( 2) (1 2)2

0

n

uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k

k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n

uz razinu povjerenja (1 ndash )


3 Testiranje statističkih hipoteza

bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn

bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru

bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B

U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)

dio B(odbacivanje H0)

dio A(prihvaćanje H0)


Postavimo dvije hipoteze

H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza

ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je

ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je




bull Pogreške pri testiranju hipoteza

bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka

ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna

bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste

ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1


0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H

1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H

bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna

+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho

1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA

OdbacitiPogreška 1 vrste

ISPRAVNO

Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste


bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka

ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob

1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1

ndash dvostrani test

H xH x

1

1

ndash jednostrani testovi

H xH x

Pogodna jednodimenzionalna varijabla

Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste

x

xt

s

varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode

0račt t

Hipoteze


Primjer

bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica

naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)

0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak

0 0ODBACITIračt t H

515

x


bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)

bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201

1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2

02 2 uzorak n2 podataka

Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2


bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe

bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita

varijabla d će se rasipati oko 0

1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0


bull pri tome je standardna pogreška varijable d

bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze

2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n

za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30

za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju

1 2rač

d

x xt

s

varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s

Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste

0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2


bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)

bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s

proporcijom P elementa sa svojstvom A

ndash uzorak n elemenata s proporcijom p

ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko

proporcije P ima standardnu pogrešku

bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi

ndash uzorci

ndash nulta hipotezandash alternativna hip

pp qsn

1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2

n1 pod proporcija p1


0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2

H P PH P PH P PH P P


ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P

ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze

ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N

p

p Pz

s

Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n

ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H


bull Usporedba (testiranje) varijanci

bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201

nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2

02 nepristrana procjena varijance

bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj

bull Varijabla

hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss

21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs


Ako Frač gt F0 odbaciti Ho

Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s

VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama

bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)

( )f F

kb kn

1

FF0


bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama

f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable

bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2

bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne

bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0

bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)

22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance

bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)

bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat

bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)

bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka


bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora

uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x

vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu

aritmetička sredina svihpodataka

doprinos ar sredine j-toguzorka

slučajno odstupanje unutaruzorka

Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE


bull Model se može shvatiti i kao

bull Hipoteza

bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test

( )f F

kb kn

1

FF0

varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss

2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan

Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost


bull Postupak

1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2

1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j

ij j j ij j ji j i j i j

N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j

UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka


x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF

s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss


Primjer

bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u

bull Tablica analize varijance

udio tvrdog drva mjerenja

5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20

Suma po uzorcima 60 94 102 127

Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217

izvor varijacije

suma kvadrata odstupanja

stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač F0(=001)

faktor udio tvrdog drva

38279 3 12760 1961 494

slučajno odst u uzorcima (ostatak)

13017 20 651 ndash ndash

UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash

ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596

( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001

Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste

= 001

Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner

PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)

Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4

1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182

Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition

EffectDegr ofFreedom

Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187

Descriptive Statistics (Spreadsheet1)

EffectLevel ofFactor

N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500

TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece

26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403


bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora

bull Model ij j i ijx x x

ij

j

i

ij

x

x

x

Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu


doprinos ar sredine j-togstupca

doprinos ar sredine i-togretka

slučajno odstupanje (ostatak)

Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan

bull Formiraju se dva F-testa

F-test (po redovima)

F-test (po stupcima)

0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan


bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja

2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j

UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka

UKUPNO ostatkai redovi

x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss

bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice

bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)


izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač

Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak

Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak

Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash

UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash

ANOVA tablica


PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju

[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964

Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition


Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap

RadnikUređajErrorTotal

3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221



N Prijelomna si laMean

Prijelomna silaStdDev

Pri jelomna silaStdErr

Pri jelomna sila-9500

Prijelomna si la+9500

TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj

12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632


bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor

2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j

ostatak ukupno između uzorak

j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO

bull 2 promjenjiva faktora2

2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij

između stupaca ijj ij

ijij

između redova iji ji

ostatak ukupno između u

iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K

bull indeksi u tablici podataka

i

j

Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa

5 Korelacija i regresija

- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson

- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton


Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu

1 2 3( )y f x x x

bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne

postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu

varijablu

2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora

Opći model procesa


bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među

varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100

bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju

SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli

te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta

korelacije odnosno koeficijenta determinacije


Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije

ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222

- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka

1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n


Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka


Izvod koeficijenta determinacije

ukupno

oprotumačro

ostatkaoprotumačroukupno

i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ

- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable

objašnjeno promjenom nezavisne varijable

Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable

- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije


Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)

bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane

varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet

uzorak sa n parova podataka

0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen


0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt


bull Regresijska analiza

bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli

bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska

raquo y=aebx

raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip

bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)

bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija

(linearizacija) višestruka regresija


Jednostavna linearna regresija

bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1

bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x

bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna


xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11

bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(

bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x


Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)

R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n

odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF


Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti

bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja

bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju

bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash

bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)


bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele

20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x

Normal Papir vjerojatnosti

20151050

100

80

60

40

20

0

x

Normal Funkcija distribucije

~84

bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)


bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli

- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli

- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2

0xx i


Metoda linearizacije

b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5

- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije


Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57

PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika

Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_

The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_

Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000

S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978


Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875

UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177


bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)

bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa

bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu

6 Planiranje i analiza pokusa


ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse

ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of

Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj

proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom

promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse

Povijest i osnovni pojmovi

ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi

objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments

u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj

industriji industriji guma te industriji sapuna


Vrste pokusa

bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina

odjednombull Metode odzivnih površina

bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli

bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv

bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu

bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)


Princip uporabe planova pokusa


Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i

njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti

(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni

pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge

Proces problem

kontrolirani faktoriw1 w2 wp

z1 z2 zp

nekontrolirani faktori(poremećaji)

y1

y2

ym

izlazi(mjerne

vrijednostirezultati)

x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)

Metode znanstveno-istraživačkog rada

Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner

7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova

prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor

bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1

Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2

bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt

Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2

Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2

bull Problem neuključivanja interakcija



bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine

yijk = + i + j + ij + eijk

- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija

linearni model

broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za

svaku kombinaciju razina faktora

bull označavanje 2k r



rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba

A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Prikaz promjene rezultata

Primjer



Rezultati djelovanja promjene faktora

bull glavni efekti

bull interakcija

VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE

(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba

INTERAKCIJA AB = ndash 20

Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1



Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija

Izvor varijacija

Suma kvadrata odstupanja

Stupnjevi slobode

Srednji kvadrat odstupanja Frač F0

Faktor A SSA a ndash 1 1A

ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS

Faktor B SSB b ndash 1 1B

BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS

interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB

ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS

ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST

OSTSSMS

a b r

Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1

a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa

opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho



Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume

koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti

1 1 2 21

1

je kontrast ako vrijedi 0

n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M



a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3

b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini

yi y1 y2 y3

i -1 0 +1

bull Primjeri kontrasta

i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12



Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka

odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0

10

n

i ii

bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3

M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1

M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti

bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni

(lsquoconfoundingrsquo)



8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r

bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1

Primjer 23-1



bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC

bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem

A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao

AI = A(ABC) = A2BC = BC

BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB



Primjer (djelomični 24-1)



bull rezultat

bull značajni efekti= A C D AC i AD

Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa



bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)

bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa

bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno

jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces

a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces

8 Metodologija odzivne površine




bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda

bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)

bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa

bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)

bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa




Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta

bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)

bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo




bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa

bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli

bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)

bull Pokus je rotatabilan ako je

gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)

4 F




bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682

bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa

bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna

bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja

bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda




bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable

bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)

bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti




bull Metoda strmog uspona (primjer)




bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti

et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(

1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -

2)]min()[max(2)]min()[max(

1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x

bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent




bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora




bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru




bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine




Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi

i nivoi su prikazani u tablici

Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu

Faktor Mjernajedinica

Low level(-1)

High level(+1)

A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4




bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora

91




Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

Analysis of Variance for Y (coded units)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000

Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units

Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000




Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici

Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383

Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)

Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067

S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424




Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod

ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam

bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena

ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa

Faktor Naziv Mjerne jedinic

e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)

A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5

Metoda odzivne površine

Planiranje pokusa

bull Model pokusa i izmjereni podaci

ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa

No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)

1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa

ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value

Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7

Std Dev 012 R-Squared 08750

Mean 250 Adj R-Squared 08500

CV 473 Pred R-Squared 05794

PRESS 024 Adeq Precision 103510


Planiranje pokusa

Rezultati




Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)

Centralno kompozitni model za dva faktora

Centralno kompozitni model za tri faktora

bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora




bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću

snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor

bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni

ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda




bull Centralno kompozitni model Konfeti

No Blok Tip Širina (cm)

Duljina (cm)

Vrijeme (sec)

1 Block 1 Fact 1 3 250




5 Block 1 Center 2 4 280




9 Block 2 Axial 059 4 250

10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica




Rezultati ndash odzivna površina

Konturni prikaz odziva

3D prikaz odzivne površine


bull Statistika - znanost koja daje potporu pri donošenju odluka i zaključaka u slučaju kada je prisutna varijabilnost

bull Inženjerski i znanstveni pristup jest skup metoda kojima se formulira i rješava zadani problem

bull Područje statistike se bavi prikupljanjem prezentacijom analizom i upotrebom dobivenih rezultata u procesu donošenja odluka rješavanja problema te oblikovanja proizvoda i procesa

bull Statističke metode - opisivanje i razumijevanje varijabilnosti

1 Uvod u statističku analizu









21 1

22 2

2

1uzorak

2uzorak

uzorak i i

n x

n x

i n x

Uzorci



osnovni skup


20( ) N E x

2( ) N xE x


2x3x

4x

5x6x

x x

( )( )

f x f x


sredine uzorka

osnovni skup

x1






( )E

( ) ( )E x E x

2 20( )E

2 20( )E s





2 2

1ns

n

x




bull VAŽNO


2x

22 0 0

22

x x

x x

n ns ss sn n

2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n




2

2 (1 2)

121( )

2

x x

x

z

x z x z

xz

f z e

xz



1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x


f(z)







t

f(t) N 01



Konačno



( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n


t





( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica















21 1

22 2

2

1uzorak

2uzorak

uzorak i i

n x

n x

i n x

Uzorci



osnovni skup


20( ) N E x

2( ) N xE x


2x3x

4x

5x6x

x x

( )( )

f x f x


sredine uzorka

osnovni skup

x1






( )E

( ) ( )E x E x

2 20( )E

2 20( )E s





2 2

1ns

n

x




bull VAŽNO


2x

22 0 0

22

x x

x x

n ns ss sn n

2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n




2

2 (1 2)

121( )

2

x x

x

z

x z x z

xz

f z e

xz



1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x


f(z)







t

f(t) N 01



Konačno



( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n


t





( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










21 1

22 2

2

1uzorak

2uzorak

uzorak i i

n x

n x

i n x

Uzorci



osnovni skup


20( ) N E x

2( ) N xE x


2x3x

4x

5x6x

x x

( )( )

f x f x


sredine uzorka

osnovni skup

x1






( )E

( ) ( )E x E x

2 20( )E

2 20( )E s





2 2

1ns

n

x




bull VAŽNO


2x

22 0 0

22

x x

x x

n ns ss sn n

2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n




2

2 (1 2)

121( )

2

x x

x

z

x z x z

xz

f z e

xz



1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x


f(z)







t

f(t) N 01



Konačno



( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n


t





( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









osnovni skup


20( ) N E x

2( ) N xE x


2x3x

4x

5x6x

x x

( )( )

f x f x


sredine uzorka

osnovni skup

x1






( )E

( ) ( )E x E x

2 20( )E

2 20( )E s





2 2

1ns

n

x




bull VAŽNO


2x

22 0 0

22

x x

x x

n ns ss sn n

2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n




2

2 (1 2)

121( )

2

x x

x

z

x z x z

xz

f z e

xz



1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x


f(z)







t

f(t) N 01



Konačno



( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n


t





( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica












( )E

( ) ( )E x E x

2 20( )E

2 20( )E s





2 2

1ns

n

x




bull VAŽNO


2x

22 0 0

22

x x

x x

n ns ss sn n

2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n




2

2 (1 2)

121( )

2

x x

x

z

x z x z

xz

f z e

xz



1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x


f(z)







t

f(t) N 01



Konačno



( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n


t





( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









( )E

( ) ( )E x E x

2 20( )E

2 20( )E s





2 2

1ns

n

x




bull VAŽNO


2x

22 0 0

22

x x

x x

n ns ss sn n

2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n




2

2 (1 2)

121( )

2

x x

x

z

x z x z

xz

f z e

xz



1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x


f(z)







t

f(t) N 01



Konačno



( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n


t





( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










bull VAŽNO


2x

22 0 0

22

x x

x x

n ns ss sn n

2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n




2

2 (1 2)

121( )

2

x x

x

z

x z x z

xz

f z e

xz



1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x


f(z)







t

f(t) N 01



Konačno



( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n


t





( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









2

2 (1 2)

121( )

2

x x

x

z

x z x z

xz

f z e

xz



1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x


f(z)







t

f(t) N 01



Konačno



( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n


t





( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica













t

f(t) N 01



Konačno



( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n


t





( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Konačno



( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k

s sx t x tn n


t





( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











( 2) (1 2)

096 0965065 2262 5065 226210 10

4996 5134 uz P 095 (95)

s sx t x tn n






( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica












( 2) (1 2)x z x zn n

1 15065 196 5065 19610 10

5003 5127 uz P 095 (95)

1



Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









Vrijedi

( 2) (1 2)p pp z s P p z s


1 2

2

( )f p

pP1p 2p

( ) pN E p P




uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










uzorka



( )( ) pp N E p P

1pp qs q pn







2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica













2 2( 2) (1 2)2

0

n


k = n ndash 1

1

2( 2) 2

(1 2)

2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15

220

2 22

2 21 10 0

( )n ni

i i

x x n


Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Konačno

2 2202 2

(1 2) ( 2)

n n




























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica

































1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica

























1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica


















1p B H P T


Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Hipoteza HoStanje

ISTINITA NEISTINITA

ODLUKA


ISPRAVNO





1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










1 2

2

2x 1 2x

x

( )f x

1 2

2

0t

( )f t

t00t

k = n ndash 1 ss

0

1


H xH x

1

1


H xH x



x

xt

s


0račt t

Hipoteze


Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Primjer



0 1 515 515 ( 515)H x H x

5065 5150 085 27997096 0303610

račt

005

( )f t

t00 1833t

27997račt

Zaključak


515

x






Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica












Hipoteze

1

2 21 1 xx s s

2

2 22 2 xx s s

0 1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 2

HHHH

1 1 2x x

1( )f x

2( )f x

2





1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











1 2d x x 1 2D 1 2

2

2

( )f d

d0




2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










2 21 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2

1 2 1 2

( 1) ( 1)2

d

d

s ssn n

n s n s n nsn n n n



1 2rač

d

x xt

s



0račt t

2

2

0t

( )f t

t00t

k = n1 + n2 ndash 2









ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica















ndash uzorci


pp qsn




0 1 2

1 1 2

1 1 2

2 1 2






p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











p

p Pz

s


1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2

(1 )

d

d

p pz

s

n ns p pn n

n p n ppn n








bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica













bull Varijabla


21s

22s

2 20 01 02

2 21 01 02

H

H

2122

sFs



Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









Konvencija

Tipično = 005 001

2 21 2s s



( )f F

kb kn

1

FF0








22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica














22

1

( ) ( )( )

ni i

i i

f x ft xft x

2 20r


4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








4 Analiza varijance







uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









uzorci Redni broj

mjerenja 1 2 3 j k

1 11x 21x 1kx

2 11x

3

i ijx

jn

1

jn

ji

x 1

1

jn

i

x 2

1

jn

i

x

1

jn

ji

x

1

jn

ki

x

jx 1x 2x jx

kx

Model

ij j ijx x

ij

j

ij

x

x





Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE



bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









bull Hipoteza


( )f F

kb kn

1

FF0


2122

sFs

2 21 2( )s s

12 12

jij j ij

i nx x

j k

0 1 2

1

0 0

k

j

H x x xH x

bar jedan



bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








bull Postupak


1 12 20

( )

1

jnk

ijj i

xs

N

2 2 2

2 2

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) 2 ( ) ( )

ij ij j ji j i j


N s x x x x

x x x x x x

1 1

jk n

j i i j

= 0


Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Konačno 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j



x x x x

SKO SKO SKO

s s s

2

2

izmeđuuzoraka

unutaruzoraka

sF



Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Primjer




5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20



izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat



38279 3 12760 1961 494





( )f F

kb = 3 kn = 20

1

FF0 = 494

001


= 001




1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










1 160 158 146 151

2 161 164 155 152

3 165 164 160 153

4 168 170 162 167

5 170 175 164 160

6 172 166 168

7 180 174

8 182



Var2SS

Var2MS

Var2F

Var2p

PoduzeceErrorTotal

3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187



N Var2Mean

Var2StdDev

Var2StdErr

Var2-9500

Var2+9500


26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403




ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










ij

j

i

ij

x

x

x






Pretpostavka

2( )( ) 0N

ijij ijE

0 1

1

0

0j k

j

H x x x

H x

bar jedan




0 1

1

0 0

i l

i

H x x xH x

bar jedan



2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









2 2 2

2 2 2 2


UKUPNO stu

stupc

pci redovi ostatka


x x x SKO

SKO SKO SKO SKO

ss ss




izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








izvor varijacije


stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač





ANOVA tablica



[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









[N] Radnik

Uređaj R1 R2 R3 R4

S1 973 976 967 969

S2 965 966 972 960

S3 971 972 969 964



Prijelomna si laSS

Prijelomna silaMS

Prijelomna silaF

Prijelomna silap


3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13

11 221









12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632



2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









2

2

2

_

_

2

ijij

ukupno

ijijiji

između uzorakaj j


j

a

ii i

SKOx

N

xxSKO

n N

SKO SKO

x

SKO


2

2

_

2

2

_

_

2

1

1

ijij

ukupno

ijij


ijij



iji

zoraka

i

x

N

xSKO x

n N

xSKO x

n N

SKO S

S

K

K

S O O

O x

K


i

j







1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica













1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









1 2 3( )y f x x x



varijablu


Opći model procesa










ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica
















ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









ii

ii

iii

ynyxnx

yxnyxr

2222


1

2

2

( )( )

( )

( )

xy

xx yy

n

xy i iin

yy ii i

n

xx ii i

SSr

SS SS

SS x x y y

SS y y

SS x x

1 1

1 1 n n

i ii i

x x y yn n





ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









ukupno

oprotumačro


i

n

ii

n

i

n

i

n

ii

ii

ii

SKOSKO

r

SKOSKOSKO

yyyyyyyyyy

yyyyyy

yyyyyy

2

2

111

2

1

2

2

)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(

)ˆ()ˆ(

ˆˆ












0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica














0052-nk

t1

2

1

0

tab2

H

Hr

nrt





raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











raquo y=aebx











xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica













xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








xbybxnx

yxnyxb n

ii

n

iii

10

1

22

11


n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iiii

n

iii

n

iii

n

ii

yxxbxb

yxbnb

yxbbxbS

yxbbbS

yxbbbbS

yybbS

11

21

10

1110

110

1

110

0

1

21010

1

210

0)(2

0)(2

min)()(

min)ˆ()(




R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









R

P

ssF 2

2

2

2

2

2

ˆ( )

1

ˆ( )

2

ii

P

i ii

R

y ys

y ys

n










20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica















20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









20151050

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

x


20151050

100

80

60

40

20

0

x


~84






0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











0xx i



b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









b

Y lnlnln xay 1Xba

xbay

bxabxay

bx

Y lnln eay 2

10

101

0

by

1b bby 3

Xbx

byx

1010 b by 4 Xbyxb

bx

bxy

bxybxy

bxy

1

-bx

Y

)1

1ln(

)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5








S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica













S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978






















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica




























Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica
























Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica



















Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Vrste pokusa










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Model pokusa





Proces problem


z1 z2 zp


y1

y2

ym

izlazi(mjerne


x1

x2

xm

ulazi(faktori

varijable)
















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica






















linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica












linearni model






rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 40

(1) b

aba


A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B


Primjer




bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










bull glavni efekti

bull interakcija


(1) 40 30 20 10 202 2

(1) 40 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 40 30 20 10 02 2

ab a bAB



bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









bull glavni efekti

bull interakcija

(1) 0 30 20 10 02 2

(1) 0 30 20 10 102 2

ab a bA

ab a bB

(1) 0 30 20 10 202 2

ab a bAB

rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0

(1) b

aba


Primjer

A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B

0 A1 A2

10

20

30

Rezultati

faktor A

B2

B1




Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










Izvor varijacija


Stupnjevi slobode



ASSMSa

( )

Arač A

OST

MSFMS


BSSMSb

( )

Brač B

OST

MSFMS


ABSSMS

a b

( )

ABrač AB

OST

MSFMS


OSTSSMS

a b r








1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











1 1 2 21

1


n

n n i ii

n

ii

M y y y y

M





yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











yi y1 y2 y3

i -1 0 +1


i iM y

i iL y

yi y1 y2 y3

i -12 1 -12





10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











10

n

i ii


M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1








Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











Primjer 23-1







BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica













BI =B(ABC) = AC

CI = C(ABC) = AB

notacija aliasa

A B CA BC B AC C AB






bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica












bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica









bull rezultat

































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica






































4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica





























4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica





















4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica















4 F


























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica
































1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica
























1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica


















1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica














1

1

1

1

11

1111

i

i

i

i

ii

iiii

x

x





















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica


























Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica






















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica


















Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica














Low level(-1)

High level(+1)






91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











91





rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica











rezultatyij

B1 B2

A1 10 20

A2 30 0A1 A2

B1

B2

(1) a

abb

faktor A

faktor B






















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica
























e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica















e

Niži nivo (-)

Centar (0)

Viši nivo (+)



Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Planiranje pokusa




1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27


Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Planiranje pokusa

Efekti


Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Planiranje pokusa


Prob gt FModel 049 1 049 35 00020

A-Širina 049 1 049 35 00020

Curvature 032 1 032 2286 00050

Residual 007 5 0014

Lack of Fit 005 2 0025 375 01527

Pure Error 002 3 000667

Cor Total 088 7






Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica








Planiranje pokusa

Rezultati




















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica


























Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica



















Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica












Duljina (cm)

Vrijeme (sec)










10 Block 2 Axial 341 4 180

11 Block 2 Axial 2 259 260

12 Block 2 Axial 2 541 300








ANOVA tablica










ANOVA tablica













Documents

Uvod u planiranje i analizu pokusa - unizg.hr · Osnove teoriUvod u planiranje i analizu pokusaje uzoraka Dr. sc. Hrvoje Cajner • Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne