Variabel Acak & Fungsi Distribusi Peluang Acak Diskrit

Imam Cholissodin

1

Outline

• Variabel acak• Fungsi distribusi peluang acak• Distribusi:

– Distribusi probabilitas – Distribusi probabilitas kumulatif diskrit

2

Variabel Acak

• Variabel yang nilainya tergantung pada hasil percobaan acak (random)

• Variabel acak disimbolkan dengan huruf besar (W, X, Y)• Nilai variabel acak dinyatakan dengan menggunakan huruf

kecil (w, x, y)

• Contoh:Jika X adalah jumlah munculnya sisi H pada pelemparan mata uang sebanyak tiga kali, maka X adalah variabel acak

3

Variabel Acak

• Misal:Pelemparan sebuah dadu, kemudian mencatat jumlah Y yang terjadi

Jika melempar dadu sebanyak 10 kali, kita akan mempunyai 10 hasil observasi dari variabel acak Y

4

Observasi (pengukuran) nilai Y

Syarat Variabel Acak

• Fungsi yang dapat dinyatakan sebagai variabel acak adalah fungsi yang bukan bernilai ganda (Multivalued)

• Fungsi variabel acak hanya memiliki satu harga dari suatu elemen sample eksperimen

5

Contoh

Dalam pemeriksaan lampu, ada dua kejadian yg mungkin: Baik (B) dan Mati (M). Pemeriksaan dilakukan dengan mengambil secara acak 3 buah lampu hasil produksi. Maka ruang sampelnya adalah:S = {BBB,BBM, BMB,BMM, MBB,MBM, MMB,MMM}Definisikan X adalah banyaknya lampu yg rusak dalam pengambilan tsb, maka X bisa mengambil nilai : 0,1,2,3.

X adalah contoh Variabel random:S = {BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB, MMM}X = { 0 , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 2 , 3 }

6

Contoh

• Terlihat X = 2 untuk kejadian E= {MMB,MBM,BMM}

• Jadi tiap nilai X berkenaan dengan sebuah himpunan bagian dari S.

Contoh

2 bola diambil berturut-turut tanpa dikembalikan dari kotak yg berisi 4 bola merah (R) dan 3 bola biru (B). Buatlah semua kemungkinan nilai variabel random Y yang menggambarkan jumlah bola merah yang terambil.

Jawab:

8

Ruang Sampel y

RR 2

RB 1

BR 1

BB 0

Variabel Acak Diskrit

Definisi:• Variabel acak diskrit adalah variabel yang

hanya mempunyai nilai pada waktu-waktu tertentu

• Sebuah variabel acak diskrit bila himpunan keluarannya dapat dihitung

9

Variabel Acak Diskrit

Ruang Sampel• Ruang sampel yang berisi anggota yang seperti elemen

bilangan bulat, maka disebut ruang sampel diskrit

• Variabel acak diskrit jika nilai hasilnya berupa bilangan bulat

Contoh: - Pengambilan 2 bola; 3 bola merah 4 bola biru - Pemeriksaan lampu mobil

(contoh sebelumnya)

10

Variabel Acak Diskrit

Contoh:Kejadian melempar 3 mata uang secara bersamaan.Misal didefinisikan variabel acaknya X : banyak G dalam pelemparan tsb. Maka ruang sampelnya:

S = {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA}

x = 0 {AAA} P(X=0) = 0x = 1 {GAA,AGA,AAG} P(X=1) = 3/8x = 2 {GGA,GAG,AGG} P(X=2) = 3/8x = 3 {GGG} P(X=3) = 1/8

11

Distribusi Peluang Diskrit

12

Distribusi Probabilitas

0

0.375 0.375

0.125

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3

X (banyak G)

Pro

bab

ilit

as

Distribusi Peluang Diskrit dan Kumulatif

• Himpunan pasangan tersusun (x,f(x)) adalah sebuah fungsi peluang, fungsi massa peluang atau sebaran peluang dari peubah acak diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin:

• f(x) 0 ; harus positif

• ; total probabilitas seluruh kejadian =1

• P(X=x)=f(x)

13

x

1f(x)

Distribusi Peluang Kumulatif

• Sebaran kumulatif atau fungsi sebaran F(x) suatu peubah acak X dengan sebaran peluang f(x) dinyatakan oleh:

14

xuntuk f(t)x)P(XF(x) xt

Contoh

• Mobil yang dijual sebuah dealer 50% dilengkapi dengan air-bag. Tentukanlah distribusi probabilitas dari 4 buah mobil yang akan terjual berikutnya!

15

Distribusi Peluang Jawab:

– Probabilitas menjual sebuah mobil dgn air-bag adalah ½ maka untuk 4 penjualan berikutnya ada 24 =16 susunan yang mungkin. Banyaknya cara menjual 3 mobil dengan air-bag dari 4 penjualan tsb adalah banyak kombinasi dari 4 obyek diambil tiap 3 kali (sebab tiap mobil tidak dibedakan, hanya ber air-bag atau tidak saja). Atau dipandang sebagai banyak cara mempartisi 4 obyek ke dalam 2 sel, sel pertama berisi 3 mobil dgn air-bag dan 1 sel berisi mobil tanpa air-bag, yaitu C4

3 = 4!/(3!1!) = 4 cara.

– Jadi secara umum banyaknya cara untuk menjual x mobil dgn air-bag dari penjualan 4 mobil adalah : C4

x.– Maka probabilitas menjual x mobil dgn air-bag dalam 4 penjualan

adalah :

16

4

)(

x

xf

Distribusi Peluang Kumulatif

Soal.Carilah fungsi distribusi kumulatif dari contoh sebelumnya.

Jawab:Peluang distribusi:

f(0) = C40/16 = 1/16

f(1) = C41/16 = 4/16

f(2) = C42/16 = 6/16

f(3) = C43/16 = 4/16

f(4) = C44/16 = 1/16

17

Distribusi Peluang Kumulatif

Distribusi probabilitas kumulatif F(x) dari sebuah variabel random X dengan fungsi probabilitas f(x) adalah jumlahan dari f(x) dari nilai x= -∞ hingga x:F(x) = P(X<x) = ∑t<x f(t) untuk -∞ < x < ∞

Sehingga fungsi distribusi kumulatifnya: F(0) = f(0) = 1/16, 0 ≤ x < 1 F(1) = f(0)+f(1) = 5/16, 1 ≤ x < 2 F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 11/16, 2 ≤ x < 3 F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 15/16, 3 ≤ x < 4 F(4) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 1, x ≤ 4

18

Distribusi Probabilitas Kumulatif Diskrit

19

f(x)

1/16

1/4

3/8

1/4

1/16

0

1/20

1/10

3/20

1/5

1/4

3/10

7/20

2/5

0 1 2 3 4

• Grafik Fungsi Distribusi Probabilitas (f(x))

Distribusi Probabilitas Kumulatif Diskrit

• Grafik Distribusi Probabilitas Kumulatif (F(x))

20

F(x)

1/16

5/16

11/16

15/161

0

1/5

2/5

3/5

4/5

1

1 1/5

0 1 2 3 4

Sifat-Sifat Fungsi Distribusi Peluang Acak Acak Diskrit

1. 0 F (x) 12. F (x), fungsi yang tidak turun, sebagai kumulatif setiap

x naik3. F (y) = 0, untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai x

terkecil (di ruang contoh)4. F (z) = 1, untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai

x terbesar di ruang contoh5. F (x), merupakan fungsi tangga dengan tinggi f(x) =

P(X = x)

Latihan Soal

Pada Percobaan dengan satu mata uang yang dilemparkan sebanyak 3 kali diperoleh perubah acak M (kejadian muncul muka) dengan distribusi peluang sebagai berikut:

Percobaan ke- frekuensi0 11 32 33 1

jumlah 8

Carilah:1. Gambarkan fungsi

peluang diskritnya2. Gambarkan distribusi

peluang kumulatifnya

Fungsi Distribusi Peluang Gabungan

• Misal x dan y merupakan variabel acak yang berbeda, maka distribusi peluang gabungannya dinyatakan dengan f(x,y) yang harus memenuhi syarat:

x

1 y)f(x, 2)

ydan x semua untuk 0 y)f(x, 1)

y

Dan

y x,dilingkupi yangdaerah adalah A

y)f(x, Ay)(x,Px y

Contoh

?1 y xy),(x,Adengan Ay)(x,PHitunglah b)

gabungan? peluangdistribusiuntuk syarat memenuhi y)f(x,Apakah a)

Jawab

terpenuhi2Syarat

110

1

10

1000

5

1

5

1

10

1

10

3

1f(1,2)f(1,1)f(1,0)f(0,2)

f(0,1)f(0,0)f(-1,2)f(-1,1)f(-1,0)

1 y)f(x, (2)

(memenuhi) y.danx , 0 y)f(x, (1)Syarat a)

x y

F(x,y) fungsi distribusi peluang

5

4

10

800

5

1

5

1

10

1

10

3

f(1,0)f(0,1)f(0,0)f(-1,2)f(-1,1)f(-1,0)

0 y 1, x ; 1 y 0, x

0 y 0, x ; 2y 1,- x

1 y -1, x; 0 y , -1x

1 y x b)

27

Latihan Soal

• Dua buah isi ulang untuk sebuah ballpoint diambil secara acak dari dalam kotak yg berisi 4 refill biru, 2 refill merah dan 3 refill hijau. Jika X adalah jumlah refill biru yg terpilih dan Y adalah jumlah refill merah yg terpilih, carilah:

a. Apakah f(x,y) memenuhi fungsi distribusi peluang gabungan ?b. Hitung P[(X,Y)ε A] dimana A adalah daerah {(x,y)| x+y≤1} ?

Terimakasih…

See you next week

28