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1Bernard CLÉMENT, PhD
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
VARIABLES ALÉATOIRES à 1 dimension
définition fonction de répartition variable aléatoire discrète variable aléatoire continue moyenne - variance - écart type espérance mathématique
TRANSFORMATION VARIABLE ALÉATOIRE Y = φ (X)
discrète à discrète continue à continue: transformation générale continue à continue: transformation monotone continue à discrète
ch2-ch3 HMGB2ième ed.-------------ch3HMGB3ième ed.
2Bernard CLÉMENT, PhD
3Bernard CLÉMENT, PhD
4Bernard CLÉMENT, PhD
Définition : variable aléatoireE : expérience aléatoire S : espace échantillonnal associéX fonction de S dans les nombres réels ( R )X est une variable aléatoire ; X( o ) est un nombre réel
Exemple : lancement d’une pièce de monnaie 3 foisX = nombre de fois « P I L E » X = 0, 1, 2, 3
F : Face
P : Pile
S . FFF. FFP. FPF. PFF
. FPP
. PFP
. PPF
. PPP
R
Les probabilités
sur S
se transportent
sur R
0
1
2
3
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
5Bernard CLÉMENT, PhD
assemblage 2 composantscomposant 1 : 0 -1- 2 -3 défautscomposant 2 : 0 -1- 2 -3 - 4 défauts
modèle proposé : probabilitésassemblage
dénouement = (i , j ) 5*4 = 20 casX1 = i nombre défauts composant 1X2 = j nombre défauts composant 2
P (0, 0 ) = 0.5 assemblage 0 défaut
P ( i, j ) = k / ( i + j ) = 0,0723 / (i + j)si ( i, j ) = ( 0, 1), ….. (3, 4)
i j i + j k / (i+j) Prob (i , j) = 0,0723 / (i + j)
0 0 0 ----- 0,5000 1 1 k / 1 0,072
0 2 2 k / 2 0,036
0 3 3 k / 3 0,024
0 4 4 k / 4 0,018
1 0 1 k / 1 0,072
1 1 2 k / 2 0,036
1 2 3 k / 3 0,024
1 3 4 k / 4 0,018
1 4 5 k / 5 0,014
2 0 2 k / 2 0,036
2 1 3 k / 3 0,024
2 2 4 k / 4 0,018
2 3 5 k / 5 0,014
2 4 6 k / 6 0,012
3 0 3 k / 3 0,024
3 1 4 k / 4 0,018
3 2 5 k / 5 0,014
3 3 6 k / 6 0,012
3 4 7 k / 7 0,010
∑ k * 6,91 1.000
Exemple: chapitre probabilités
k = 0,5 / 6,91= 0,0723
y 0 1 2 3 4 5 6 7 prob 0,500 0,144 0,108 0,096 0,072 0,043 0,024 0,010
assemblage 2 composants
Y = X1 + X2 = nombre total défauts
YX1
X2
6Bernard CLÉMENT, PhD
assemblage 2 composantscomposant 1 : 0 -1- 2 -3 défautscomposant 2 : 0 -1- 2 -3 - 4 défauts
modèle proposé : probabilitésassemblage
dénouement = (i , j ) X1 = i nombre défauts composant 1X2 = j nombre défauts composant 2
P (0, 0 ) = 0.5 assemblage 0 défaut
P ( i, j ) = k / ( i + j ) = 0,0723 / (i + j)si ( i, j ) = ( 0, 1), ….. (3, 4)
Exemple: chapitre probabilités
assemblage 2 composants
Y = X1 + X2 = nombre total défauts
YX1
X2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
7Bernard CLÉMENT, PhD
Fonction de répartition FXX une variable aléatoire x une valeur (réelle) prise par X
Événement : X ≤ x
FX ( x ) = PX ( X ≤ x ) : fonction de répartitionpropriétés1. 0 ≤ F X ( x ) ≤ 1 2. x - ∞ F X (x) 0
x ∞ F X (x) 13. F X (x) non décroissante4. F X (x) continue à droite
X continue
x
X discrète
FX
FX1
0
1
0
R
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
X est une variable discrète si elle prend un nombre fini ou infini
de valeurs distinctes généralement des entiers 0, 1, 2, 3, 4, …
Exemples comptages : nombre de … défauts de surface
versions d'un dessin de définition pendant une année
pièces non conformes dans un lot de 500
pièces en attente devant une machine
Fonction de masse p X (x) = PX ( X = x)p X (x) ≥ 0
Fonction de répartition F X (x ) = ∑p X (u)u ≤ x
Distributions importantes - Bernouilli - Binomiale - Géométrique
- Poisson - Hypergéométrique
étudiées au chapitre 5 8Bernard CLÉMENT, PhD
9Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple variable discrète : loi binomialeessais de Bernoulli : expérience avec 2 dénouements possibles
SUCCÈS ÉCHEC
Prob (SUCCÈS) = θ Prob (ÉCHEC) = 1 - θ 0 ≤ θ ≤ 1 observation (échantillonnage) d’une suite de n essais
n : taille de l’échantillon (observations)
X : nombre de succès dans une suite de n essais
valeurs possibles de X x = 0, 1, 2,…, n
X est une variable binomiale notation X ~ bin(n,θ)
px(x) = [n! / x ! (n- x)!] θx (1 – θ)n – x x = 0, 1, 2,.., n
FX(x) = ∑ [n! / k! (n- k)!] θ k (1 – θ)n – k x = 0, 1, 2,.., n
étude détaillée : chapitre 5
k = 0
k = x
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
10Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple : variable aléatoire discrète distribution binomiale n = 30 θ = 0,3
Bar/Column Plot of probX_binomiale
probX_binomiale1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 310,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
11Bernard CLÉMENT, PhD
Moyenne : E [ X ] = μ = ∑ x p X (x )premier moment par rapport à l’origine – centre de masse
Exemple : X ~ bin(n, θ)
E [ X ] = n θn = 30 θ = 0,3 E [ X ] = 9
Variance : Var [ X ] = σ2 = ∑ ( x - μ )2p X (x ) = ∑ x 2p X (x ) - μ2
Exemple : X ~ bin(n, θ) ~ = distribué commeσ 2 = n θ ( 1 - θ )
n = 30 θ = 0,3 Var [ X ] = σ 2 = 6,3
Écart type : ET [ X ] = σ = √ Var [ X ]
Exemple : X ~ b i n ( n = 30 , θ = 0,3 ) ET [ X ] = σ = 2,51
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
moyenne - variance - écart type
12Bernard CLÉMENT, PhD
VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE
L'espace de la variable aléatoire X est un intervalle surles nombres réels concept de support de X
sa fonction de répartition FX( x ) est dérivable
La dérivée de FX( x ) notée f X est la densité de X
Exemples (mesures)
- volume d’un réservoir d’eau
- temps requis pour finaliser une conception
- tension d'un câble métallique
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
13Bernard CLÉMENT, PhD
VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE
[ ] 0)()(0
lim)( =−∆+
→∆== xFxxF
xxXP XXX
)()( xFdxdxf XX = ∫
∞
=x
XX dttfxF )()(
∫=≤≤b
a
dxxfbxaP )()(
0)( ≥xf X ∫ =XR X dxxf 1)(
∫∞
==x
X dttxfXE µ)()( ∫∞+
∞
−= dxxfxXVAR )()(][ 2µ 22 )( µ−= ∫∞+
∞
dxxfx X
Moyenne et Variance
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
14Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple : distribution uniforme(équiprobabilité)
0 si X ≤ a ou X ≥ b
k si a ≤ X ≤ b k = ?
k = 1 / ( b – a ) E (X) = ( a + b ) / 2 Var (X) = ( b – a )2 / 120 si X ≤ a(x – a) / ( b – a ) si a ≤ X ≤ b1 si X ≥ b
a bX
a bX
1
0Application générateurs de nombres (pseudo) aléatoires de la loi
uniforme
méthode linéaire congruente : I i + 1 = ( a I i + b ) mod m i = 0, 1, 2,…
À choisir : a, b, m , I 0 ( semence ) ; u i = I i / m 0 ≤ u i ≤ 1
employé pour la SIMULATION : STATISTICA fonction Rnd
k
00f X ( x ) =
F X ( x ) =
15Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple : simulation 1 000 observations
distribution uniforme fonction RnD de STATISTICA
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Histogram of Uexemple.sta in Chap02-Variables.stw 10v*1000c
U = 1000*0,1*beta(x; 1,0469; 1,0656)
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
U
0
20
40
60
80
100
120
No
of o
bs
89; 9%
101; 10%103; 10%99; 10%
109; 11%
99; 10%
110; 11%
98; 10%105; 11%
87; 9%
U: N = 1000; Mean = 0,5005; StdDv = 0,2832; Max = 0,9977; Min = 0,0001
16Bernard CLÉMENT, PhD
SUPPORT variable aléaloireTOUTE variable aléatoire X discrète ou continue
est définie sur TOUTE la droite réelle R (- ∞ , ∞)
X variable (fonction) aléatoire transforme S dans R
X : S (espace probabilité) R (droite réelle)
S R0
X
support de X : x : p(x) ou f(x) > 0 p(x) fonction masse si X discrète
ou f(x) fonction densité si X continue
Exemple 1: p(x) = [n! / x ! (n- x)!] θx (1 – θ)n – x x = 0, 1, 2,.., nX distribution binomiale voir page 8 support de X = 0, 1, 2,.., n
x
Exemple 2: loi uniforme sur l’intervalle (0,1)support de X = ( 0,1) voir page 12
Exemple 3 : chapitre probabilités / assemblage 2 composantsX1: nombre défauts composant 1 support X1 = 0, 1, 2, 3 X2: nombre défauts composant 2 support X2 = 0, 1, 2, 3, 4
17Bernard CLÉMENT, PhD
Espérance mathématiqueX va discrète pX(x): fonction de masse de X
X va continue fx(x) : densité de Xh fonction de R dans R h : R R espérance mathématique de h E(h(X))
Cas particuliers de hh(X) = X moyenne μh (X) = X2 2 ième moment par rapport à l’origine 0h (X) = (X – μ)2 varianceh (X) = Xk k - ième moment par rapport à l’origineh (X) = (X – μ)k k – ième moment par rapport à la moyenne μ
E[h(X)] = ∑ h(x) pX(x) si X est discrète
= ∫ h(x) fx(x)dx si X est continue
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
18Bernard CLÉMENT, PhD
Espérance mathématique
Propriétés
E(a + bX) = a + b E(X)
Var(a + bX) = b2 var(X)
ET(a + bX) = |b| ET(X)
Variable centrée-réduite Z
Z = (X – E(X)) / ET(X)
Alors E(Z) = 0
ET(Z) = 1
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
19Bernard CLÉMENT, PhD
Variable centrée-réduite Z
Z = (X – E(X)) / ET(X)
Alors E(Z) = 0 ET(Z) = 1
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
Histogram of Uchap02.sta in MTH2302B-global.stw 10v*1000c
U = 1000*0,1*Beta(Shape1=1,0469; Shape2=1,0656)
89; 9%
101; 10%103; 10%99; 10%
109; 11%
99; 10%
110; 11%
98; 10%105; 11%
87; 9%
-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1U
0
20
40
60
80
100
120
No
of o
bs
U: N = 1000; Mean = 0,5005; StdDv = 0,2832; Max = 0,9977; Min = 0,0001
. . .
20Bernard CLÉMENT, PhD
Espérance mathématique
Exemple : soumission pour la réalisation d'un travail d’ingénierieX v.a. « nombre de jours requis pour le travail » Vous estimez vos « probabilités »
x < 3 3 4 5 6 total
p(x) 0 1/8 4/8 2/8 1/8 1
Y = profit net = φ (X) dépend du nombre de jours X pour réaliser le travail
x 3 4 5 6
Y = φ (x) 10K$ 3K$ 0,7K$ -1,5K$
ça vaut-il la peine ?
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
21Bernard CLÉMENT, PhD
Espérance mathématiqueExemple : soumission pour la réalisation d'un travail d’ingénierie
X v.a. « nombre de jours requis pour le travail » Vous estimez vos « probabilités »
x < 3 3 4 5 6 total
p(x) 0 1/8 4/8 2/8 1/8 1
Y = profit net = φ (X) dépend du nombre de jours X faire le travail
x 3 4 5 6
Y = φ (x) 10K$ 3K$ 0,7K$ -1,5K$
Profit net moyen = ?E(Y ) = 10K$ *1/8 + 3K$ * 4/8 + 0,7K$ * 2/8 + (-1,5K$) * 1/8 = 2,73K$ Critère de décision basé sur profit net moyen
si E(profit net Y) = profit net moyen ≥ 0 on accepte le travail
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
22Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple - vous achetez des billets du spectacle des «RS» à 40,00$ dans l'espoir de les revendre 70,00$ le soir du spectacle
- votre estimation de la demande billets X nombre billets X 23 24 25 26 27 28 29 30
probabilité p(x) 0,02 0,04 0,08 0,16 0,32 0,18 0,12 0,08
combien de billets S = ? stocker pour minimiser les pertes (profit max) - perte réelle = 40$/billet si vous stockez trop de billets: x < S- Perte nulle = 0 si X = S billets invendus = S - x- perte potentielle = 30$/billet si vous ne stockez pas assez billets: x ≥ S+1
Fonction de perte L (x, s)L(x, s) = 40 (s - x) si 23 ≤ x ≤ s stock excessif L(x, s) = (70 - 40) (x – s) si s+1 ≤ x ≤ 30 stock manquant
perte moyenneE(L)
∑ ∑= +=
−+−=s
x sxXX xpsxxpxssXLE
23
30
1
)()(30)()(40)],([
Quelle valeur de S minimise E(L) ?
23Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple suite
S ∑ 40(s – x)p(x) ∑ 30(x –s)p(x) E [ L(X , s) ] 23 0,00 124,20 124,20 24 0,80 94,80 95,6025 3,20 66,60 69,90 26 8,80 40,80 49,60 27 20,80 19,20 40,60 minimum28 45,60 6,20 51,6029 77,60 0,00 77,6030 114,40 0,00 114,40
Si on a une nouvelle distribution de probabilité pour X
x 23 24 25 26 27 28 29 30prob 0,30 0,20 0,15 0,12 0,10 0,08 0,04 0,01
solution optimale devient S = 24
profit net réalisé avec S = 27 : 27*30$ = 810$
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
24Bernard CLÉMENT, PhD
Transformation : fonction d’une variable aléatoire discrète
R XY = φ (X)
R Y
∑Ω∈
===jki
kx
iXjYjY xPyYPyp )()()(
...x i1 .
x i2 .
x i3 .
. Y j
.
.
.
.
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
25Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple 1 : fonction d’une variable aléatoire discrète
X : nombre de pannes en une semaine
x 0 1 2 3 4
p X(x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9
Y : coût d’un service de dépannage
coût fixe 500$ + 200$ par panne
Déterminer
- masse de probabilité de Y : pY (y)
- moyenne et écart type de Y
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
26Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple 1 : fonction d’une variable aléatoire discrète
X : nombre de pannes en une semaine
Y = 500 + 200*X : coût ($) par semaine
y 500 700 900 1100 1300pY(y) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9
Moyenne de Y = E(Y)
= 500*(4/9) + 700*(2/9) + 900*(1/9) + 1100*(1/9) + 1300*(1/9)
= 6700 / 9 = 744,44
Écart type de Y
= [ E(Y2) – (E(Y))2 ] 0.5 = 279,32
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
27Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple 2 : fonction d’une variable aléatoire discrète
X : variable aléatoire discrète
x -2 -1 0 1 2pX(x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9
Y = X2
Déterminer
- masse de probabilité de Y : p Y (y)
- moyenne et écart type de Y
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
28Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple 2 : fonction d’une variable aléatoire discrète
Y = X2 x -2 -1 0 1 2y 4 1 0 1 4
p X (x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9 pY(Y=0) = pX(X= 0) = 1/9pY(Y=1) = pX(X= -1) + pX(X = 1) = 2/9 + 1/9 = 3/9pY(Y=4) = pX(X= -2) + pX(X = 2) = 4/9 + 1/9 = 5/9
y 0 1 4
pY(y) 1/9 3/9 5/9
moyenne de Y = E(Y) = 0*(1/9) + 1*(3/9) + 4*(5/9) = 23/9
écart type de Y = ET(Y) = [ E(Y2) – ( E(Y))2 ] 0.5
= [ 02 *(1/9) + 12 *(3/9) + 42*(5/9) – (23/9)2 ]0.5 = 1,64
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
29Bernard CLÉMENT, PhD
Fonction continue d’une variable aléatoire continuecas : transformation non monotone
Exemple 3 : X variable aléatoire continue de
densité f X fX (x) = ½ si -1 ≤ x ≤ 1= 0 sinon -1 1
1/2
FX(x) = Prob (X ≤ x) = 0 si x < -1 = (x + 1) / 2 si -1 ≤ x ≤ 1= 1 si x > 1
densité de Y = X2
Fonction de répartition de Y : FY(y) = Prob( Y ≤ y) = Prob ( X2 ≤ y)
= Prob( - y 0.5 ≤ X ≤ y 0.5 ) = FX( y 0.5 ) – FX ( - y 0.5 )
= ( y 0.5 + 1) / 2 - (- y 0.5 + 1) / 2 = y 0.5
0 1Y
0 < y < 1
0
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
x0 0
y
30Bernard CLÉMENT, PhD
Fonction continue d’une variable aléatoire continuecas : transformation non monotone
Exemple 3 : suite densité de Y = X2
0 0
1/2Fonction de répartition de Y FY(y) = Prob( Y ≤ y) = Prob ( X2 ≤ y)
= Prob( - y 0.5 ≤ X ≤ y 0.5 )= FX( y 0.5 ) – FX ( - y 0.5 )= ( y 0.5 + 1) / 2 - (-y 0.5 + 1) / 2 = y 0.5
0 1Y
X-1 0 1
?0 0
densité de Y : fY (y) = (d/dy) FY(y) = 0,5 y - 0.5 0 ≤ y ≤ 1
= 0 ailleurs
0 1
0,5
fY (y)
fX
00
??
31Bernard CLÉMENT, PhD
Fonction continue d’une variable aléatoire continuecas d’une transformation monotone
X v.a.c. densité f x φ fonction continue Y = φ (X) Y est une v.a.c
Densité f Y = ? Pour trouver la densité il faut : 1. Obtenir F Y (y) = P( Y ≤ y ) par l'événement de R X équivalent à (Y ≤ y)
dans R y2. Dériver F Y (y) par rapport à y pour obtenir la fonction de densité fy
3. Trouver l'espace image de cette v.a.c.
THÉORÈME Si X est une v.a.c. de densité f x telle que f x > 0 pour a < x < b et y = φ (x ) est une fonction continue strictementmonotone, alors la v.a.c Y = φ ( X) possède une densité f Y
dydxxfyf XY •= )()(
x = φ - 1 (y ) exprimé en terme de y
32Bernard CLÉMENT, PhD
Fonction continue monotone d’une variable continueExemple 4 : X diamètre d’un fil à
distribution uniforme intervalle 1,00 à 1,01
f X ( x ) = 100 1,00 ≤ x ≤ 1,01= 0 autrement 1,00 1,01
100
0
Y = aire de la section = π (X/2) 2 = 0,25 π X2 = 0,7854 X2
y = 0,78540 si x = 1,00 y = 0,80118 si x = 1,01X = 1,2732 Y0,5 dx/dy = 0,5642 y - 0,5
dydxxfyf XY •= )()( f y (y ) = 100 (0,5642 y - 0,5 ) = 56,42 y - 0,5
0,78540 0,80118
63,03
63,66
00
f y (y)
00
33Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple 5 : transformation continue à discrète
loi exponentielle f x (x ) = λ e – λ x x ≥ 0
= 0 x < 0
[ ] ∫ ∫∞ ∞
−−− =+∞
−==0 0
1
0 λλ λλλ dxexedxexXE xxx
[ ]2
0
2 1∫∞
−=λ
λ λ dxexXVar x = 1 / λ 2
Le temps X jusqu'à la défaillance (ex, tube à rayons cathodiques)X durée vie suit une loi exponentielle, λ taux de défaillance
Posons : Y variable Bernoulli définie par le fait que X excède ounon sa durée moyenne 1/ λ
Y = 0 si X ≤ 1 / λ= 1 si X > 1 / λ
-
34Bernard CLÉMENT, PhD
Exemple 5 : (suite) transformation var. continue à var. discrète
probabilités de Y
∫ ≈−=−== −−−λ
λλλ
λ/1
0
1 6321.010
/1)0( eedtep tt
Y
3679.0/1
)1(/1
1 ≈=∞
−== ∫∞
−−−
λ
λλ
λλ eedtep tt
Y
ne dépend pas de λ
MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques
35Bernard CLÉMENT, PhD
36Bernard CLÉMENT, PhD