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1 Bernard CLÉMENT, PhD MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques VARIABLES ALÉATOIRES à 1 dimension définition fonction de répartition variable aléatoire discrète variable aléatoire continue moyenne - variance - écart type espérance mathématique TRANSFORMATION VARIABLE ALÉATOIRE Y = φ (X) discrète à discrète continue à continue: transformation générale continue à continue: transformation monotone continue à discrète ch2-ch3 HMGB 2ième ed. ------------- ch3 HMGB 3ième ed.

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1Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

VARIABLES ALÉATOIRES à 1 dimension

définition fonction de répartition variable aléatoire discrète variable aléatoire continue moyenne - variance - écart type espérance mathématique

TRANSFORMATION VARIABLE ALÉATOIRE Y = φ (X)

discrète à discrète continue à continue: transformation générale continue à continue: transformation monotone continue à discrète

ch2-ch3 HMGB2ième ed.-------------ch3HMGB3ième ed.

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2Bernard CLÉMENT, PhD

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3Bernard CLÉMENT, PhD

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4Bernard CLÉMENT, PhD

Définition : variable aléatoireE : expérience aléatoire S : espace échantillonnal associéX fonction de S dans les nombres réels ( R )X est une variable aléatoire ; X( o ) est un nombre réel

Exemple : lancement d’une pièce de monnaie 3 foisX = nombre de fois « P I L E » X = 0, 1, 2, 3

F : Face

P : Pile

S . FFF. FFP. FPF. PFF

. FPP

. PFP

. PPF

. PPP

R

Les probabilités

sur S

se transportent

sur R

0

1

2

3

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5Bernard CLÉMENT, PhD

assemblage 2 composantscomposant 1 : 0 -1- 2 -3 défautscomposant 2 : 0 -1- 2 -3 - 4 défauts

modèle proposé : probabilitésassemblage

dénouement = (i , j ) 5*4 = 20 casX1 = i nombre défauts composant 1X2 = j nombre défauts composant 2

P (0, 0 ) = 0.5 assemblage 0 défaut

P ( i, j ) = k / ( i + j ) = 0,0723 / (i + j)si ( i, j ) = ( 0, 1), ….. (3, 4)

i j i + j k / (i+j) Prob (i , j) = 0,0723 / (i + j)

0 0 0 ----- 0,5000 1 1 k / 1 0,072

0 2 2 k / 2 0,036

0 3 3 k / 3 0,024

0 4 4 k / 4 0,018

1 0 1 k / 1 0,072

1 1 2 k / 2 0,036

1 2 3 k / 3 0,024

1 3 4 k / 4 0,018

1 4 5 k / 5 0,014

2 0 2 k / 2 0,036

2 1 3 k / 3 0,024

2 2 4 k / 4 0,018

2 3 5 k / 5 0,014

2 4 6 k / 6 0,012

3 0 3 k / 3 0,024

3 1 4 k / 4 0,018

3 2 5 k / 5 0,014

3 3 6 k / 6 0,012

3 4 7 k / 7 0,010

∑ k * 6,91 1.000

Exemple: chapitre probabilités

k = 0,5 / 6,91= 0,0723

y 0 1 2 3 4 5 6 7 prob 0,500 0,144 0,108 0,096 0,072 0,043 0,024 0,010

assemblage 2 composants

Y = X1 + X2 = nombre total défauts

YX1

X2

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6Bernard CLÉMENT, PhD

assemblage 2 composantscomposant 1 : 0 -1- 2 -3 défautscomposant 2 : 0 -1- 2 -3 - 4 défauts

modèle proposé : probabilitésassemblage

dénouement = (i , j ) X1 = i nombre défauts composant 1X2 = j nombre défauts composant 2

P (0, 0 ) = 0.5 assemblage 0 défaut

P ( i, j ) = k / ( i + j ) = 0,0723 / (i + j)si ( i, j ) = ( 0, 1), ….. (3, 4)

Exemple: chapitre probabilités

assemblage 2 composants

Y = X1 + X2 = nombre total défauts

YX1

X2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

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7Bernard CLÉMENT, PhD

Fonction de répartition FXX une variable aléatoire x une valeur (réelle) prise par X

Événement : X ≤ x

FX ( x ) = PX ( X ≤ x ) : fonction de répartitionpropriétés1. 0 ≤ F X ( x ) ≤ 1 2. x - ∞ F X (x) 0

x ∞ F X (x) 13. F X (x) non décroissante4. F X (x) continue à droite

X continue

x

X discrète

FX

FX1

0

1

0

R

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VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE

X est une variable discrète si elle prend un nombre fini ou infini

de valeurs distinctes généralement des entiers 0, 1, 2, 3, 4, …

Exemples comptages : nombre de … défauts de surface

versions d'un dessin de définition pendant une année

pièces non conformes dans un lot de 500

pièces en attente devant une machine

Fonction de masse p X (x) = PX ( X = x)p X (x) ≥ 0

Fonction de répartition F X (x ) = ∑p X (u)u ≤ x

Distributions importantes - Bernouilli - Binomiale - Géométrique

- Poisson - Hypergéométrique

étudiées au chapitre 5 8Bernard CLÉMENT, PhD

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9Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple variable discrète : loi binomialeessais de Bernoulli : expérience avec 2 dénouements possibles

SUCCÈS ÉCHEC

Prob (SUCCÈS) = θ Prob (ÉCHEC) = 1 - θ 0 ≤ θ ≤ 1 observation (échantillonnage) d’une suite de n essais

n : taille de l’échantillon (observations)

X : nombre de succès dans une suite de n essais

valeurs possibles de X x = 0, 1, 2,…, n

X est une variable binomiale notation X ~ bin(n,θ)

px(x) = [n! / x ! (n- x)!] θx (1 – θ)n – x x = 0, 1, 2,.., n

FX(x) = ∑ [n! / k! (n- k)!] θ k (1 – θ)n – k x = 0, 1, 2,.., n

étude détaillée : chapitre 5

k = 0

k = x

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10Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple : variable aléatoire discrète distribution binomiale n = 30 θ = 0,3

Bar/Column Plot of probX_binomiale

probX_binomiale1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 310,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

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11Bernard CLÉMENT, PhD

Moyenne : E [ X ] = μ = ∑ x p X (x )premier moment par rapport à l’origine – centre de masse

Exemple : X ~ bin(n, θ)

E [ X ] = n θn = 30 θ = 0,3 E [ X ] = 9

Variance : Var [ X ] = σ2 = ∑ ( x - μ )2p X (x ) = ∑ x 2p X (x ) - μ2

Exemple : X ~ bin(n, θ) ~ = distribué commeσ 2 = n θ ( 1 - θ )

n = 30 θ = 0,3 Var [ X ] = σ 2 = 6,3

Écart type : ET [ X ] = σ = √ Var [ X ]

Exemple : X ~ b i n ( n = 30 , θ = 0,3 ) ET [ X ] = σ = 2,51

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moyenne - variance - écart type

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12Bernard CLÉMENT, PhD

VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE

L'espace de la variable aléatoire X est un intervalle surles nombres réels concept de support de X

sa fonction de répartition FX( x ) est dérivable

La dérivée de FX( x ) notée f X est la densité de X

Exemples (mesures)

- volume d’un réservoir d’eau

- temps requis pour finaliser une conception

- tension d'un câble métallique

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13Bernard CLÉMENT, PhD

VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE

[ ] 0)()(0

lim)( =−∆+

→∆== xFxxF

xxXP XXX

)()( xFdxdxf XX = ∫

=x

XX dttfxF )()(

∫=≤≤b

a

dxxfbxaP )()(

0)( ≥xf X ∫ =XR X dxxf 1)(

∫∞

==x

X dttxfXE µ)()( ∫∞+

−= dxxfxXVAR )()(][ 2µ 22 )( µ−= ∫∞+

dxxfx X

Moyenne et Variance

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14Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple : distribution uniforme(équiprobabilité)

0 si X ≤ a ou X ≥ b

k si a ≤ X ≤ b k = ?

k = 1 / ( b – a ) E (X) = ( a + b ) / 2 Var (X) = ( b – a )2 / 120 si X ≤ a(x – a) / ( b – a ) si a ≤ X ≤ b1 si X ≥ b

a bX

a bX

1

0Application générateurs de nombres (pseudo) aléatoires de la loi

uniforme

méthode linéaire congruente : I i + 1 = ( a I i + b ) mod m i = 0, 1, 2,…

À choisir : a, b, m , I 0 ( semence ) ; u i = I i / m 0 ≤ u i ≤ 1

employé pour la SIMULATION : STATISTICA fonction Rnd

k

00f X ( x ) =

F X ( x ) =

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15Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple : simulation 1 000 observations

distribution uniforme fonction RnD de STATISTICA

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Histogram of Uexemple.sta in Chap02-Variables.stw 10v*1000c

U = 1000*0,1*beta(x; 1,0469; 1,0656)

-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1

U

0

20

40

60

80

100

120

No

of o

bs

89; 9%

101; 10%103; 10%99; 10%

109; 11%

99; 10%

110; 11%

98; 10%105; 11%

87; 9%

U: N = 1000; Mean = 0,5005; StdDv = 0,2832; Max = 0,9977; Min = 0,0001

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16Bernard CLÉMENT, PhD

SUPPORT variable aléaloireTOUTE variable aléatoire X discrète ou continue

est définie sur TOUTE la droite réelle R (- ∞ , ∞)

X variable (fonction) aléatoire transforme S dans R

X : S (espace probabilité) R (droite réelle)

S R0

X

support de X : x : p(x) ou f(x) > 0 p(x) fonction masse si X discrète

ou f(x) fonction densité si X continue

Exemple 1: p(x) = [n! / x ! (n- x)!] θx (1 – θ)n – x x = 0, 1, 2,.., nX distribution binomiale voir page 8 support de X = 0, 1, 2,.., n

x

Exemple 2: loi uniforme sur l’intervalle (0,1)support de X = ( 0,1) voir page 12

Exemple 3 : chapitre probabilités / assemblage 2 composantsX1: nombre défauts composant 1 support X1 = 0, 1, 2, 3 X2: nombre défauts composant 2 support X2 = 0, 1, 2, 3, 4

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17Bernard CLÉMENT, PhD

Espérance mathématiqueX va discrète pX(x): fonction de masse de X

X va continue fx(x) : densité de Xh fonction de R dans R h : R R espérance mathématique de h E(h(X))

Cas particuliers de hh(X) = X moyenne μh (X) = X2 2 ième moment par rapport à l’origine 0h (X) = (X – μ)2 varianceh (X) = Xk k - ième moment par rapport à l’origineh (X) = (X – μ)k k – ième moment par rapport à la moyenne μ

E[h(X)] = ∑ h(x) pX(x) si X est discrète

= ∫ h(x) fx(x)dx si X est continue

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18Bernard CLÉMENT, PhD

Espérance mathématique

Propriétés

E(a + bX) = a + b E(X)

Var(a + bX) = b2 var(X)

ET(a + bX) = |b| ET(X)

Variable centrée-réduite Z

Z = (X – E(X)) / ET(X)

Alors E(Z) = 0

ET(Z) = 1

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19Bernard CLÉMENT, PhD

Variable centrée-réduite Z

Z = (X – E(X)) / ET(X)

Alors E(Z) = 0 ET(Z) = 1

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

Histogram of Uchap02.sta in MTH2302B-global.stw 10v*1000c

U = 1000*0,1*Beta(Shape1=1,0469; Shape2=1,0656)

89; 9%

101; 10%103; 10%99; 10%

109; 11%

99; 10%

110; 11%

98; 10%105; 11%

87; 9%

-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1U

0

20

40

60

80

100

120

No

of o

bs

U: N = 1000; Mean = 0,5005; StdDv = 0,2832; Max = 0,9977; Min = 0,0001

. . .

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20Bernard CLÉMENT, PhD

Espérance mathématique

Exemple : soumission pour la réalisation d'un travail d’ingénierieX v.a. « nombre de jours requis pour le travail » Vous estimez vos « probabilités »

x < 3 3 4 5 6 total

p(x) 0 1/8 4/8 2/8 1/8 1

Y = profit net = φ (X) dépend du nombre de jours X pour réaliser le travail

x 3 4 5 6

Y = φ (x) 10K$ 3K$ 0,7K$ -1,5K$

ça vaut-il la peine ?

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21Bernard CLÉMENT, PhD

Espérance mathématiqueExemple : soumission pour la réalisation d'un travail d’ingénierie

X v.a. « nombre de jours requis pour le travail » Vous estimez vos « probabilités »

x < 3 3 4 5 6 total

p(x) 0 1/8 4/8 2/8 1/8 1

Y = profit net = φ (X) dépend du nombre de jours X faire le travail

x 3 4 5 6

Y = φ (x) 10K$ 3K$ 0,7K$ -1,5K$

Profit net moyen = ?E(Y ) = 10K$ *1/8 + 3K$ * 4/8 + 0,7K$ * 2/8 + (-1,5K$) * 1/8 = 2,73K$ Critère de décision basé sur profit net moyen

si E(profit net Y) = profit net moyen ≥ 0 on accepte le travail

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22Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple - vous achetez des billets du spectacle des «RS» à 40,00$ dans l'espoir de les revendre 70,00$ le soir du spectacle

- votre estimation de la demande billets X nombre billets X 23 24 25 26 27 28 29 30

probabilité p(x) 0,02 0,04 0,08 0,16 0,32 0,18 0,12 0,08

combien de billets S = ? stocker pour minimiser les pertes (profit max) - perte réelle = 40$/billet si vous stockez trop de billets: x < S- Perte nulle = 0 si X = S billets invendus = S - x- perte potentielle = 30$/billet si vous ne stockez pas assez billets: x ≥ S+1

Fonction de perte L (x, s)L(x, s) = 40 (s - x) si 23 ≤ x ≤ s stock excessif L(x, s) = (70 - 40) (x – s) si s+1 ≤ x ≤ 30 stock manquant

perte moyenneE(L)

∑ ∑= +=

−+−=s

x sxXX xpsxxpxssXLE

23

30

1

)()(30)()(40)],([

Quelle valeur de S minimise E(L) ?

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23Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple suite

S ∑ 40(s – x)p(x) ∑ 30(x –s)p(x) E [ L(X , s) ] 23 0,00 124,20 124,20 24 0,80 94,80 95,6025 3,20 66,60 69,90 26 8,80 40,80 49,60 27 20,80 19,20 40,60 minimum28 45,60 6,20 51,6029 77,60 0,00 77,6030 114,40 0,00 114,40

Si on a une nouvelle distribution de probabilité pour X

x 23 24 25 26 27 28 29 30prob 0,30 0,20 0,15 0,12 0,10 0,08 0,04 0,01

solution optimale devient S = 24

profit net réalisé avec S = 27 : 27*30$ = 810$

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24Bernard CLÉMENT, PhD

Transformation : fonction d’une variable aléatoire discrète

R XY = φ (X)

R Y

∑Ω∈

===jki

kx

iXjYjY xPyYPyp )()()(

...x i1 .

x i2 .

x i3 .

. Y j

.

.

.

.

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25Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple 1 : fonction d’une variable aléatoire discrète

X : nombre de pannes en une semaine

x 0 1 2 3 4

p X(x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9

Y : coût d’un service de dépannage

coût fixe 500$ + 200$ par panne

Déterminer

- masse de probabilité de Y : pY (y)

- moyenne et écart type de Y

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26Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple 1 : fonction d’une variable aléatoire discrète

X : nombre de pannes en une semaine

Y = 500 + 200*X : coût ($) par semaine

y 500 700 900 1100 1300pY(y) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9

Moyenne de Y = E(Y)

= 500*(4/9) + 700*(2/9) + 900*(1/9) + 1100*(1/9) + 1300*(1/9)

= 6700 / 9 = 744,44

Écart type de Y

= [ E(Y2) – (E(Y))2 ] 0.5 = 279,32

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27Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple 2 : fonction d’une variable aléatoire discrète

X : variable aléatoire discrète

x -2 -1 0 1 2pX(x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9

Y = X2

Déterminer

- masse de probabilité de Y : p Y (y)

- moyenne et écart type de Y

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28Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple 2 : fonction d’une variable aléatoire discrète

Y = X2 x -2 -1 0 1 2y 4 1 0 1 4

p X (x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9 pY(Y=0) = pX(X= 0) = 1/9pY(Y=1) = pX(X= -1) + pX(X = 1) = 2/9 + 1/9 = 3/9pY(Y=4) = pX(X= -2) + pX(X = 2) = 4/9 + 1/9 = 5/9

y 0 1 4

pY(y) 1/9 3/9 5/9

moyenne de Y = E(Y) = 0*(1/9) + 1*(3/9) + 4*(5/9) = 23/9

écart type de Y = ET(Y) = [ E(Y2) – ( E(Y))2 ] 0.5

= [ 02 *(1/9) + 12 *(3/9) + 42*(5/9) – (23/9)2 ]0.5 = 1,64

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29Bernard CLÉMENT, PhD

Fonction continue d’une variable aléatoire continuecas : transformation non monotone

Exemple 3 : X variable aléatoire continue de

densité f X fX (x) = ½ si -1 ≤ x ≤ 1= 0 sinon -1 1

1/2

FX(x) = Prob (X ≤ x) = 0 si x < -1 = (x + 1) / 2 si -1 ≤ x ≤ 1= 1 si x > 1

densité de Y = X2

Fonction de répartition de Y : FY(y) = Prob( Y ≤ y) = Prob ( X2 ≤ y)

= Prob( - y 0.5 ≤ X ≤ y 0.5 ) = FX( y 0.5 ) – FX ( - y 0.5 )

= ( y 0.5 + 1) / 2 - (- y 0.5 + 1) / 2 = y 0.5

0 1Y

0 < y < 1

0

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x0 0

y

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30Bernard CLÉMENT, PhD

Fonction continue d’une variable aléatoire continuecas : transformation non monotone

Exemple 3 : suite densité de Y = X2

0 0

1/2Fonction de répartition de Y FY(y) = Prob( Y ≤ y) = Prob ( X2 ≤ y)

= Prob( - y 0.5 ≤ X ≤ y 0.5 )= FX( y 0.5 ) – FX ( - y 0.5 )= ( y 0.5 + 1) / 2 - (-y 0.5 + 1) / 2 = y 0.5

0 1Y

X-1 0 1

?0 0

densité de Y : fY (y) = (d/dy) FY(y) = 0,5 y - 0.5 0 ≤ y ≤ 1

= 0 ailleurs

0 1

0,5

fY (y)

fX

00

??

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31Bernard CLÉMENT, PhD

Fonction continue d’une variable aléatoire continuecas d’une transformation monotone

X v.a.c. densité f x φ fonction continue Y = φ (X) Y est une v.a.c

Densité f Y = ? Pour trouver la densité il faut : 1. Obtenir F Y (y) = P( Y ≤ y ) par l'événement de R X équivalent à (Y ≤ y)

dans R y2. Dériver F Y (y) par rapport à y pour obtenir la fonction de densité fy

3. Trouver l'espace image de cette v.a.c.

THÉORÈME Si X est une v.a.c. de densité f x telle que f x > 0 pour a < x < b et y = φ (x ) est une fonction continue strictementmonotone, alors la v.a.c Y = φ ( X) possède une densité f Y

dydxxfyf XY •= )()(

x = φ - 1 (y ) exprimé en terme de y

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32Bernard CLÉMENT, PhD

Fonction continue monotone d’une variable continueExemple 4 : X diamètre d’un fil à

distribution uniforme intervalle 1,00 à 1,01

f X ( x ) = 100 1,00 ≤ x ≤ 1,01= 0 autrement 1,00 1,01

100

0

Y = aire de la section = π (X/2) 2 = 0,25 π X2 = 0,7854 X2

y = 0,78540 si x = 1,00 y = 0,80118 si x = 1,01X = 1,2732 Y0,5 dx/dy = 0,5642 y - 0,5

dydxxfyf XY •= )()( f y (y ) = 100 (0,5642 y - 0,5 ) = 56,42 y - 0,5

0,78540 0,80118

63,03

63,66

00

f y (y)

00

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33Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple 5 : transformation continue à discrète

loi exponentielle f x (x ) = λ e – λ x x ≥ 0

= 0 x < 0

[ ] ∫ ∫∞ ∞

−−− =+∞

−==0 0

1

0 λλ λλλ dxexedxexXE xxx

[ ]2

0

2 1∫∞

−=λ

λ λ dxexXVar x = 1 / λ 2

Le temps X jusqu'à la défaillance (ex, tube à rayons cathodiques)X durée vie suit une loi exponentielle, λ taux de défaillance

Posons : Y variable Bernoulli définie par le fait que X excède ounon sa durée moyenne 1/ λ

Y = 0 si X ≤ 1 / λ= 1 si X > 1 / λ

-

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34Bernard CLÉMENT, PhD

Exemple 5 : (suite) transformation var. continue à var. discrète

probabilités de Y

∫ ≈−=−== −−−λ

λλλ

λ/1

0

1 6321.010

/1)0( eedtep tt

Y

3679.0/1

)1(/1

1 ≈=∞

−== ∫∞

−−−

λ

λλ

λλ eedtep tt

Y

ne dépend pas de λ

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