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Vektorrechnung Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur H¨ oheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite vhm.mathematik.uni-stuttgart.de ur Erl¨ auterungen zur Nutzung und zum Copyright. Vektorrechnung 1-1

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Vektorrechnung

Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Hoheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite

vhm.mathematik.uni-stuttgart.de fur Erlauterungen zur Nutzung und zum Copyright.

Vektorrechnung 1-1

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Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und imRaum

Ein raumliches kartesisches Koordinatensystem besteht aus 3 sich in einemals Ursprung bezeichneten Punkt O senkrecht schneidenden Zahlengeraden(Achsen), deren Orientierung gemaß der in der Abbildungveranschaulichten

”Rechten-Hand-Regel“ gewahlt ist.PSfrag repla ementsOx1-A hse x2-A hse

x3-A hseXx1 x2x3 PSfrag repla ements ODaumen Zeige�nger

Mittel�nger

Koordinaten Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum 1-1

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Ein Punkt X wird durch seine als Koordinaten xi bezeichneten Werte derProjektionen auf die Achsen festgelegt: X = (x1, x2, x3). Verwendet mankeine Indexschreibweise, so bezeichnet man die Koordinaten ublicherweisemit (x , y , z) und die Zahlenachsen als x-, y - und z-Achse.Analog definiert man ein ebenenes kartesisches Koordinatensystem.

Koordinaten Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum 1-2

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Beispiel:

Grafik-Fenster:Objekte in Pixel-Koordinaten, meist bezogen auf die linke obere Bildecke

20 40 60 80 100 120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

(30, 80)

(85, 69)

(74, 8)

Koordinaten Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum 2-1

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Kugelkoordinaten

Ein Punkt P = (x , y , z) kann durch seinen Abstand r = |OP| zumUrsprung, den Winkel ϑ ∈ [0, π] zwischen OP und der z-Achse und denWinkel ϕ zwischen der x-Achse und der Projektion von OP auf diexy -Ebene dargestellt werden. Der Winkel ϕ ist nur bis auf ein Vielfachesvon 2π bestimmt. Als Standardbereich wird meist ϕ ∈ (−π, π] vereinbart.

O

x-Achse y-Achse

z-Achse

P

ϕ

ϑr

Koordinaten Kugelkoordinaten 1-1

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Es giltx = r sinϑ cosϕ, y = r sinϑ sinϕ, z = r cosϑ

bzw.

r =√

x2 + y2 + z2, ϑ = arccos(z/√x2 + y2 + z2), ϕ = arctan(y/x) ,

wobei je nach Vorzeichen von x und y ein geeigneter Zweig desArcustangens zu wahlen ist. Mit dem Hauptzweig-WinkelϕH = arctan(y/x) ∈ (−π/2, π/2) gilt bei Wahl des Standardbereichs fur ϕ

ϕ =

ϕH , fur x > 0 ∧ y 6= 0,

sign(y)π/2, fur x = 0,

ϕH + π, fur x < 0 ∧ y ≥ 0,

ϕH − π, fur x < 0 ∧ y < 0 .

Fur x = y = 0 (Punkt auf der z-Achse) ist ϕ beliebig und, falls ebenfallsz = 0, so auch ϑ. In diesen Fallen kann Null als kanonischer Wert gewahltwerden.

Koordinaten Kugelkoordinaten 1-2

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Beispiel:

regelmaßiges Tetraeder mit Kantenlange 2√

2 und Schwerpunkt O

P1 = (1, 1, 1), P2 = (1,−1,−1), P3 = (−1, 1,−1), P4 = (−1,−1, 1)

O

x

y

z

P1

P2

P3

P4

Koordinaten Kugelkoordinaten 2-1

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Eckpunkte in Kugelkoordinaten (r , ϑ, ϕ)

P1 = (1, 1, 1) → (√

3, ψ, π/4)

P2 = (1,−1,−1) → (√

3, π − ψ,−π/4)

P3 = (−1, 1,−1) → (√

3, π − ψ, 3π/4)

P4 = (−1,−1, 1) → (√

3, ψ,−3π/4)

ψ = arccos(1/√

3), π − ψ = arccos(−1/√

3),

Koordinaten Kugelkoordinaten 2-2

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Beispiel:

Langen- und Breitengrade auf der Erdkugel:Kugelkoordinaten mit anderen Winkelbereichen

x

y

N

S

Stuttgart

ϕ

ϑ

r

Koordinaten Kugelkoordinaten 3-1

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x

y

N

S

Stuttgart

ϕ

ϑ

r

ostliche Lange 0◦ – 180◦ ϕ = 0 . . . π

westliche Lange 0◦ – 180◦ ϕ = 0 . . .−πnordliche Breite 0◦ – 90◦ ϑ = π/2 . . . 0

sudliche Breite 0◦ – 90◦ ϑ = π/2 . . . π

Koordinaten Kugelkoordinaten 3-2

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x

y

N

S

Stuttgart

ϕ

ϑ

r

Aquator (Breite 0◦) und nullter Langenkreis fettNordpol: 90◦ n. Br., Sudpol: 90◦ s. Br.Langen- und Breitenkreise fur Stuttgart (blau): 9◦ o. L., 49◦ n. Br.ϕ = 1

20π (ostliche Halbkugel) oder ϕ = −1920π (westliche Halbkugel)

ϑ = 90−49180 π = 41

180π

Koordinaten Kugelkoordinaten 3-3

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Zylinderkoordinaten

Ein Punkt P = (x , y , z) kann durch den Winkel ϕ zwischen der x-Achseund der Projektion von OP auf die xy -Ebene, die Lange % der Projektionund die z-Koordinate dargestellt werden. Der Winkel ϕ ist nur bis auf einVielfaches von 2π bestimmt. Als Standardbereich wird meist ϕ ∈ (−π, π]vereinbart.

O

x-Achse y-Achse

z-Achse

P

ϕ

z

Koordinaten Zylinderkoordinaten 1-1

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Es giltx = % cosϕ, y = % sinϕ, z = z

bzw.% =

√x2 + y2, ϕ = arctan(y/x), z = z ,

wobei je nach Vorzeichen von x und y ein geeigneter Zweig desArcustangens zu wahlen ist. Mit dem Hauptzweig-WinkelϕH = arctan(y/x) ∈ (−π/2, π/2) gilt bei Wahl des Standardbereichs fur ϕ

ϕ =

ϕH , fur x > 0 ∧ y 6= 0,

sign(y)π/2, fur x = 0,

ϕH + π, fur x < 0 ∧ y ≥ 0,

ϕH − π, fur x < 0 ∧ y < 0.

Fur x = y = 0 ist ϕ beliebig. Als kanonischer Wert ist, entsprechend derKonvention sign(0) = 0, ϕ = 0 gewahlt worden.

Koordinaten Zylinderkoordinaten 1-2

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Beispiel:

Zylinder- und Kugelkoordinaten, (%, ϕ, z) bzw. (r , ϑ, ϕ),von (x , y , z) = (−1,

√3, 2)

x

y

z

P

Q

−1

√3

2

ϕ

ϑ

Koordinaten Zylinderkoordinaten 2-1

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Abstande vom Ursprung:

% =√x2 + y2 =

√1 + 3 = 2, r =

√x2 + y2 + z2 =

√1 + 3 + 4 = 2

√2

x

y

z

P

Q

−1

√3

2

ϕ

ϑ

Koordinaten Zylinderkoordinaten 2-2

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x

y

z

P

Q

−1

√3

2

ϕ

ϑ

Winkel mit der x-Achse:

ϕ = arctan(y/x) + π = arctan(−√

3) + π = −π3

+ π =2

(Addition von π wegen x < 0 und y > 0)Winkel mit der z-Achse:

ϑ = arccos(z/r) = arccos(1/√

2) =π

4

Koordinaten Zylinderkoordinaten 2-3

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alternativ:(x , 0, 0),O,Q bilden die Halfte eines gleichseitigen Dreiecks;(0, 0, z),O,P bilden ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck

x

y

z

P

Q

−1

√3

2

ϕ

ϑ

Koordinaten Zylinderkoordinaten 2-4

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Translation eines kartesischen Koordinatensystems

Bei einer Verschiebung des Ursprungs O nach O ′ = (p1, p2, p3) andernsich bei gleichbleibender Richtung der Achsen die Koordinaten einesPunktes X = (x1, x2, x3) gemaß

X ′ = (x1 − p1, x2 − p2, x3 − p3) .

X=X ′

O′

O p1

p2x′1

x1

x2

x′2

Koordinaten Translation 1-1

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Beispiel:

ebene gleichformige Bewegung

(x(t), y(t)) = (p + αt, q + βt), t ≥ 0 ,

betrachtet aus einem in x-Richtung mit Geschwindigkeit v fahrenden ZugAnderung der Koordinaten:

x ′ = x − vt, y ′ = y

andere beobachtete Geschwindigkeit

Koordinaten Translation 2-1

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PSfrag repla ements

xy

11 vtt = 0t = 1t = 0

t = 1x0

y011t = 0

t = 1t = 0

t = 1transformierte Koordinaten eines Objekts, das sich in einer Zeiteinheit vonP = (1, 1) nach Q = (4, 3) bewegt (roter Pfeil) fur v = 2:

P ′ = (1, 1), Q ′ = (4− 2, 3− 0) = (2, 3)

tatsachliche und beobachtete Geschwindigkeit:

vt =√

(4− 1)2 + (3− 1)2 =√

13, vb =√

5

Koordinaten Translation 2-2

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Rotation eines kartesischen Koordinatensystems

Bei einer Drehung der xy -Ebene um die z-Achse mit dem Winkel αtransformieren sich die Koordinaten eines Punktes P = (p1, p2, p3) gemaß

p′1 = cosα p1 + sinα p2, p′2 = − sinα p1 + cosα p2, p′3 = p3 .

αx

x′

yy′

1

1

p1

p2P

p′1

p′2

Analoge Formeln erhalt man fur Drehungen der yz- und zx-Ebene.

Koordinaten Rotation 1-1

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Beweis:

^(S ,P,Q) = α =⇒4(S ,O,R) ∼ 4(S ,P,Q)

O

αx

x′

yy′

p1

p2P

Q

R

Sp′1

p′2

erstes Dreieck:|OS | = p1/ cosα, |RS | = p1 tanα

zweites Dreieck:

p′2 = cosα |PS | = cosα (p2 − |RS |) = cosα p2 − sinα p1

p′1 = |OS |+ |SQ| = p1/ cosα + sinα (p2 − |RS |)

=1− sin2 α

cosαp1 + sinα p2 = cosα p1 + sinα p2

Koordinaten Rotation 2-1

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Beispiel:

Bahnkurven von geradlinigen und kreisformigen Bewegungen (links)

G : (x , y) = (1, 2 + t/(2π)),K : (x , y) = (1 + cos(t), 2− sin(t))

beobachtet in einem mit Winkelgeschwindigkeit ω = 1 rotierendenBezugssystem (rechts)

PSfrag repla ements !t xy

12 x0y0

12Koordinaten Rotation 3-1

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Transformationx ′ = cx + sy , y ′ = −sx + cy

mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)geradlinige Bewegung Spirale:

x ′ = c + s(2 + t/(2π)), y ′ = −s + c(2 + t/(2π))

kreisformige Bewegung:

x ′ = c(1 + c) + s(2− s), y ′ = −s(1 + c) + c(2− s)

(c = cos t, s = sin t)abrupte Richtungsanderung moglich

Koordinaten Rotation 3-2

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Vektoren

Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke:

~a =−→PQ

bezeichnet den Vektor vom Punkt P zum Punkt Q. Alternativ kann einVektor als Parallel-Verschiebung des Raumes interpretiert und mit einemPfeil identifiziert werden.

P1

Q1

P2

Q2

~a

~a

−~a

Vektoren Vektoren 1-1

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Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, stellen gleichlange Pfeile mit gleicher

Richtung den gleichen Vektor dar,−−−→P1Q1 =

−−−→P2Q2. Die spezielle Darstellung

bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems wird als Ortsvektorbezeichnet und definiert die Koordinaten des Vektors:

−→OA =

a1a2a3

.

Die Koordinaten von ~a lassen sich ebenfalls als Differenz der Koordinatender Punkte Q und P berechnen. Schließlich wird mit

−→OO =

−→PP = ~0

der Nullvektor bezeichnet.

Vektoren Vektoren 1-2

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Addition von Vektoren

Die Summe von zwei Vektoren entspricht der Hintereinanderschaltungzweier Verschiebungen, −→

PR =−→PQ +

−→QR .

P R

Q

~a ~b

~c

Vektoren Addition von Vektoren 1-1

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Fur die Koordinaten gilt entsprechend

~c = ~a + ~b =

a1a2a3

+

b1b2b3

=

a1 + b1a2 + b2a3 + b3

.

Mit −→QP = −−→PQ

wird die zu ~a =−→PQ entgegengesetzte Verschiebung −~a bezeichnet.

Insbesondere gilt~a + (−~a) = ~0, ~a +~0 = ~a .

Vektoren Addition von Vektoren 1-2

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Beispiel:

berechne

−→PR =

−→PQ +

−→QR,

−→RP =

−→RQ +

−→QP = −−→PQ +

(−−→QR

)

PSfrag repla ementsP RQ

~a ~b~ �~b �~a

Vektoren Addition von Vektoren 2-1

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Koordinaten:

P = (1, 1, 1), Q = (4, 2, 7), R = (1, 4, 3)

~a =−→PQ, ~b =

−→QR, ~c =

−→PR

~c = ~a + ~b =

4− 12− 17− 1

+

1− 44− 23− 7

=

316

+

−32−4

=

032

−~b + (−~a) =

4− 12− 47− 3

+

1− 41− 21− 7

=

3−24

+

−3−1−6

=

0−3−2

= −~c

Vektoren Addition von Vektoren 2-2

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Beispiel:

Zerlegung der Gewichtskraft ~fG fur eine schiefe Ebene mit Hilfe desKrafteparallelogramms:

~fG = ~fN︸︷︷︸Normalkraft

+ ~fH︸︷︷︸Hangabtriebskraft

~fH

~fG

~fN

Vektoren Addition von Vektoren 3-1

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Skalarmultiplikation

Der Vektor s~a entspricht einer s-fachen Verschiebung, d.h.

s

a1a2a3

=

sa1sa2sa3

.

Speziell ist 0~a = ~0.

a1 sa1

a2

sa2

~a

s~a

Vektoren Skalarmultiplikation 1-1

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Beispiel:

Schnittpunkt S (Schwerpunkt) der Seitenhalbierenden in einem Dreieck:

~s =1

3

(~a + ~b + ~c

)

A B

C

Mb Ma

Mc

S

Darstellung der Punkte auf der Seitenhalbierenden AMa:

~p = ~a + t( ~ma − ~a) = ~a + t

(1

2~b +

1

2~c − ~a

), t ∈ [0, 1]

t = 2/3 =⇒ ~p = ~s =⇒ S teilt AMa im Verhaltnis 2 : 1analoges Argument fur BMb und CMc

S gemeinsamer Punkt der 3 SeitenhalbierendenVektoren Skalarmultiplikation 2-1

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Betrag eines Vektors

Der Betrag von ~a =−→PQ ist die Lange des Pfeils von P nach Q bzw. von O

nach A, d.h.

|~a| =√

a21 + a22 + a23 .

Insbesondere ist |s~a| = |s||~a|.Ein Vektor mit Betrag bzw. Lange 1 wird als Einheitsvektor bezeichnetund man benutzt die Schreibweise

~v0 = ~v/|~v |

fur einen solchen normierten Vektor.

Vektoren Betrag eines Vektors 1-1

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Beispiel:

~a =

4−18

Betrag:|~a| =

√16 + 1 + 64 = 9

normierter Vektor:

~a0 =

4−18

/9 =

4/9−1/98/9

Vektoren Betrag eines Vektors 2-1

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Dreiecksungleichung

Fur eine Summe zweier Vektoren gilt

|~a + ~b| ≤ |~a|+ |~b|

mit Gleichheit genau dann, wenn ~a und ~b parallel sind, d.h. ~a = s~b.

~a ~b

~a+~bVektoren Dreiecksungleichung 1-1

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Rechenregeln fur Vektoren

Fur Vektoren gelten die folgenden Rechenregeln.

Kommutativgesetz:~a + ~b = ~b + ~a

Assoziativgesetz:~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c

Distributivgesetz:s(~a + ~b) = s~a + s~b

Vektoren Rechenregeln 1-1

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Beispiel:

Flug nach Osten mit 800km/h, Windgeschwindigkeit 50km/h aus WSW

PSfrag repla ementsO ~x + ~p~x ~x + ~y ~p ~d~y

Geschwindigkeitsvektor des Flugzeugs

~x =

(800

0

)

Vektor der Windgeschwindigkeit

~y =

(50 cos(π/8)50 sin(π/8)

)

Vektoren Rechenregeln 2-1

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Position nach einer Stunde

~x + ~y =

(800 + 50 cos(π/8)

50 sin(π/8)

)≈(

846.1919.13

)

~p orthogonale Projektion von ~y auf die Gerade in Richtung von ~xGeschwindigkeitskomponente nach Osten

~x + ~p =

(800 + 50 cos(π/8)

0

)≈(

846.190

)

Drift nach Norden

~d = ~x + ~y − (~x + ~p) =

(0

50 sin(π/8)

)≈(

019.13

)

Gesamtgeschwindigkeit ~vgesamt = ~x + ~p + ~d

Vektoren Rechenregeln 2-2

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Winkel zwischen zwei Vektoren

Fur ~a, ~b 6= ~0 bezeichnet man mit ^(~a, ~b) ∈ [0, π] den kleineren der beidenWinkel, den die mit den Vektoren assoziierten Pfeile in einemgemeinsamen Scheitelpunkt bilden.

~a

~b

∢(~a,~b)

Die beiden Vektoren sind orthogonal, ~a ⊥ ~b, wenn der Winkel gleich π/2ist. Dabei vereinbart man, dass der Nullvektor auf jedem Vektor senkrechtsteht.

Skalarprodukt Winkel 1-1

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Beispiel:

Winkel zwischen Vektoren

PSfrag repla ements ~a ~b^(~a;~b) = 0 PSfrag repla ements ~a ~b^(~a;~b) = �~a

~b

∢(~a,~b) = π2

PSfrag repla ements~a ~b^(~a;~b) = �4

Skalarprodukt Winkel 2-1

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Kosinussatz

In einem Dreieck gilt fur den der Seite AB gegenuberliegenden Winkel γ

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .

b

a c

A

B

γ

Als Spezialfall erhalt man fur γ = π/2 den Satz des Pythagoras:

c2 = a2 + b2 .

Skalarprodukt Kosinussatz 1-1

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Beweis:

b

a ch

p qγ

Satz des Pythagoras =⇒

c2 = h2 + q2, h2 = a2 − p2

mit q = b − p, p = a cos γEinsetzen

c2 = (a2 − p2) + (b − p)2

= a2 − p2 + b2 − 2b(a cos γ) + p2

= a2 + b2 − 2ab cos γ

Skalarprodukt Kosinussatz 2-1

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Sinussatz

In einem Dreieck

b

c

a

A B

C

α β

γ

verhalten sich die Langen der Seiten wie die Sinuswerte dergegenuberliegenden Winkel:

sinα

a=

sinβ

b=

sin γ

c

bzw. sinα : sinβ : sin γ = a : b : c .

Skalarprodukt Sinussatz 1-1

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Beweis:

betrachte die durch eine Hohe begrenzten rechtwinkligen Teildreiecke

bh

a

bα β

sinα =h

b, sinβ =

h

a=⇒

sinα : sinβ =h

b:h

a= a : b

Skalarprodukt Sinussatz 2-1

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Beispiel:

Entfernung d zweier schwer zuganglicher Punkte P und Q

30◦30◦

45◦

α

A B

P

Q

c = 100

a b

d

^(APB) = 90◦ − 60◦ = 30◦

a = 100/ sin 30◦ = 200

Winkelsumme gleich 180◦

α = 15◦

Sinussatz =⇒ b : 100 = sin 135◦ : sin 15◦, d.h.

b ≈ 100 · 0.7071/0.2588 = 273.2

Kosinussatz =⇒ d2 = a2 + b2 − 2ab cos 30◦, d.h.

d ≈ (40000 + 74640− 2 · 54640 · 0.8660)1/2 = 141.4

Skalarprodukt Sinussatz 3-1

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exakte algebraische Rechnung:Additionstheorem =⇒

1/2 = sin(30◦) = 2s√

1− s2︸ ︷︷ ︸cos(15◦)

, s = sin(15◦)

d.h.(1/4)2 = s2(1− s2)

und s =√

2−√

3/2 (Losung in (0, 1/2))

Skalierung der Langen mit dem Faktor 1/100, cos(30◦) =√

3/2

a = 2

b =1√2

2√2−√

3

d2 = 4 +4

2(2−√

3)− 2 · 2 · 2

√2√

2−√

3·√

3

2= 2

( dunskaliert = 100√

2)Skalarprodukt Sinussatz 3-2

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Beweis der letzten Gleichheit durch Umformung

2 +2

2−√

3=

4√

3√

2√

2−√

3

1/(2−√

3) = 2 +√

3 und Quadrieren

36 + 24√

3 + 12 =48

2(2−√

3)

Ubereinstimmung nach Erweitern der rechten Seite mit 2 +√

3

Skalarprodukt Sinussatz 3-3

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Skalarprodukt von Vektoren im Raum

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist durch

~a · ~b = |~a||~b| cos^(~a, ~b) = a1b1 + a2b2 + a3b3

definiert. Insbesondere ist~a · ~a = |~a|2

und~a · ~b = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b .

Aus der Koordinatendarstellung des Skalarproduktes folgt

~a · ~b = ~b · ~a

sowie (s~a + r~b

)· ~c = s~a · ~c + r~b · ~c ,

d.h. es gelten die fur Produkte ublichen Rechenregeln.Skalarprodukt Skalarprodukt 1-1

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Beweis:

Kosinussatz:

|~c|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2|~a||~b| cos γ

PSfrag repla ements ~b~a ~

Umformung

2|~a||~b| cos γ = (a21 + a22 + a23) + (b21 + b22 + b23)− (c21 + c22 + c23 )

Substitution c2i = (bi − ai )2 Vereinfachung der rechten Seite zu

2a1b1 + 2a2b2 + 2a3b3

Skalarprodukt Skalarprodukt 2-1

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Beispiel:

Dreieck mit A = (6, 0), B = (4, 4), C = (0, 0)

~a =−→CB =

(44

), ~b =

−→CA =

(60

), ~c =

−→BA =

(2−4

)

C A

B

γ

~b

~a ~c

Winkelberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes:

cos γ =

(44

)·(

60

)

∣∣∣∣(

44

)∣∣∣∣∣∣∣∣(

60

)∣∣∣∣=

24√32 · 6

=1√2

=⇒ γ =π

4

Skalarprodukt Skalarprodukt 3-1

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Illustration des Kosinussatzes:~a = (4, 4)t , ~b = (6, 0)t , ~c = (2,−4)t , γ = π/4

|~c |2 − |~a|2 − |~b|2 = 20− 32− 36 = −48

und−2|~a||~b| cos γ = −2 (4

√2) 6/

√2 = −48 X

Skalarprodukt Skalarprodukt 3-2

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Orthogonale Basis

Eine Orthogonalbasis im Raum besteht aus drei paarweise orthogonalenVektoren ~u, ~v , ~w , jeweils ungleich ~0.

~u

~v

~w

~au

~av

~aw

~a

Skalarprodukt Orthogonale Basis 1-1

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Wie in der Abbildung illustriert ist, lasst sich jeder Vektor ~a alsLinearkombination

~a =~a · ~u|~u|2

~u +~a · ~v|~v |2

~v +~a · ~w|~w |2

~w

darstellen. Die Summanden sind die Projektionen ~au, ~av , ~aw , auf die durchdie Basisvektoren erzeugten Achsen, und fur die Koeffizienten gilt

|~a · ~u|2

|~u|2+|~a · ~v |2

|~v |2+|~a · ~w |2

|~w |2= |~a|2 .

Sind die Vektoren ~u, ~v , ~w normiert (|~u| = |~v | = |~w | = 1), so spricht manvon einer Orthonormalbasis.

Skalarprodukt Orthogonale Basis 1-2

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Speziell ist

a1a2a3

= a1~ex + a2~ey + a3~ez

fur die kanonische Orthonormalbasis

~ex =

100

, ~ey =

010

, ~ez =

001

des kartesischen Koordinatensystems.

Skalarprodukt Orthogonale Basis 1-3

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Beweis:

(i) Berechnung der Basis-Koeffizienten:Bilden des Skalarproduktes von

~a = α~u + β~v + γ ~w

mit den Basisvektoren~u · ~u = |~u|2, ~v · ~u = ~w · ~u = 0 =⇒

~a · ~u = (α~u + β~v + γ ~w) · ~u = α|~u|2

und somit α = ~a · ~u/|~u|2analoge Berechnung von β und γ

Skalarprodukt Orthogonale Basis 2-1

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(ii) Formel fur die Quadratsumme:

|~a|2 = (α~u + β~v + γ ~w) · (α~u + β~v + γ ~w)

Ausmultiplizieren

|~a|2 = α2|~u|2 + β2|~v |2 + γ2|~w |2

wegen Orthogonalitat der Basisvektoren

(iii) Differenzvektoren zu den Projektionen:

~a− α~u, ~a− β~v , ~a− γ ~wsenkrecht auf den entsprechenden Basisvektoren, z.B.

(~a− α~u) · ~u = (β~v + γ ~w) · ~u = 0

Skalarprodukt Orthogonale Basis 2-2

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Beispiel:

Bzgl. der orthogonalen Basis

~u = (1, 1, 0)t , ~v = (1,−1, 1)t , ~w = (−1, 1, 2)t

besitzt der Vektor

~a = (1, 2, 4)t = ~ex + 2~ey + 4~ez

die Koeffizienten

α =~a · ~u|~u|2 =

1

2

124

·

110

=

3

2

β =~a · ~v|~v |2 =

1

3

124

·

1−11

= 1

γ =~a · ~w|~w |2 =

1

6

124

·

−112

=

3

2

Skalarprodukt Orthogonale Basis 3-1

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Basisdarstellung

~a =3

110

+ 1 ·

1−11

+

3

2

−112

=

124

Quadrat des Betrags|~a|2 = 1 + 4 + 16 = 21

Quadratsumme der Koeffizienten

α2|~u|2 + β2|~v |2 + γ2|~w |2 =9

4· 2 + 1 · 3 +

9

4· 6 = 21

Skalarprodukt Orthogonale Basis 3-2

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Satz des Pythagoras

Fur orthogonale Vektoren ~u und ~v gilt

|~u + ~v |2 = |~u|2 + |~v |2 .

Der Satz ist heute als Satz des Pythagoras (569-475 v. Chr.) bekannt,obwohl ihn bereits die Babylonier 1000 Jahre fruher kannten.Moglicherweise war aber Pythagoras der erste, der ihn bewiesen hat.

Skalarprodukt Satz des Pythagoras 1-1

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Beweis:

Linearitat des Skalarprodukts =⇒

|~u + ~v |2 = (~u + ~v) · (~u + ~v)

= ~u · ~u + ~u · ~v + ~v · ~u︸ ︷︷ ︸=0, da ~u⊥~v

+~v · ~v

= |~u|2 + |~v |2

Skalarprodukt Satz des Pythagoras 2-1

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Beispiel:

Pythagoraisches Tripel:

`,m, n ∈ N : `2 + m2 = n2 ,

d.h. ganzzahlige Seitenlangen fur rechtwinklige Dreiecke

Anwendung durch die Agypter: Konstruktion rechter Winkel via Erganzungungerader Zahlen ` durch m = (`2 − 1)/2 und n = (`2 + 1)/2 zu einemPythagoraischen Tripel:

`2 +`4 − 2`2 + 1

4=`4 + 2`2 + 1

4=

(`2 + 1

2

)2

Multiplikation der Tripel mit 2 Tripel fur jede gerade Zahl ` ≥ 6

Skalarprodukt Satz des Pythagoras 3-1

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allgemeineres Konstruktionsprinzip mit Hilfe der dritten BinomischenFormel

c2 − b2 = (c − b)(c + b) = a2

ganzzahlige Losung, wenn a2 in zwei unterschiedliche Faktorenzerlegbar ist, die eine gerade Differenz (= 2b) aufweisen

Fur ungerades a = ` gilt dies fur die Aufteilung a2 = a2 · 1 mit

b =a2 − 1

2, c =

a2 + 1

2

obiger Spezialfall

Skalarprodukt Satz des Pythagoras 3-2

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Vektorprodukt

Der Vektor~c = ~a× ~b

ist zu ~a und ~b orthogonal, gemaß der”Rechten-Hand-Regel“ orientiert und

hat die Lange ∣∣~c∣∣ =

∣∣~a∣∣∣∣~b∣∣ sin(^(~a, ~b)) ,

die dem Flacheninhalt des von den Vektoren ~a und ~b aufgespanntenParallelogramms entspricht.

~a

~b

~c

Daumen

Zeigefinger

Mittelfinger

∢(~a,~b)

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 1-1

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Insbesondere gilt

~a× ~b = ~0 fur ~a‖~b;∣∣~a× ~b∣∣ =

∣∣~a∣∣∣∣~b∣∣ fur ~a⊥~b.

Alternativ lasst sich das Vektorprodukt durch

~a× ~b =

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

definieren.

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 1-2

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Beweis:

(i) Linearitat der geometrischen Definition:Multiplikation mit Skalaren XInvarianz unter Drehungen ~a = ~ezadditiv bzgl. des zweiten Arguments, da

~c = ~ez × (b1, b2, b3)t = (−b2, b1, 0)t

Begrundung:

~c ⊥ ~ez , ~b

b3 irrelevant fur den Flacheninhalt (Scherung) o.B.d.A. b3 = 0^(~ez , ~b) = π/2, |~ez | = 1 |~c| Xrichtige Orientierung (prufe alle Vorzeichenkombinationen der bk mitder

”rechten Hand Regel“)

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 2-1

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(ii) Ubereinstimmung mit der analytischen Definition:bereits gezeigt fur ~a = ~ez , ~ex , ~ey analogAntisymmetrie richtig fur ~a = ~ex , ~ey , ~ezLinearitat allgemeiner Fall(iii) Flacheninhalt A des Parallelogramms:A = |~b| h mit der Hohe

h = |~a| sin^(~a, ~b)

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 2-2

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Beispiel:

Vektorprodukt ~c der Vektoren

~a = (2, 1, 2)t, ~b = (3, 3, 0)t

~c ⊥ ~a, ~b ~c = λ(−1, 1, 1/2)t

Rechte-Hand-Regel =⇒ λ > 0Winkel

cos^(~a, ~b) =~a · ~b|~a| |~b|

=9

3 · 3√

2=

1√2

=⇒ ^(~a, ~b) = π/4Flache des aufgespannten Parallelogramms

|~c| = |~a| |~b| sin^(~a, ~b) = 3 · 3√

2 · 1√2

= 9

~c = λ(−1, 1, 1/2)t = (−6, 6, 3)t

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 3-1

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analytische Definition

~c =

212

×

330

=

1 · 0− 2 · 32 · 3− 2 · 02 · 3− 1 · 3

=

−663

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 3-2

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Beispiel:

Vektorprodukte der kanonischen Basisvektoren:

~ex × ~ey = ~ez , ~ey × ~ez = ~ex , ~ez × ~ex = ~ey~ex × ~ex = ~0, ~ey × ~ey = ~0, ~ez × ~ez = ~0

entsprechende Formeln fur eine beliebige, gemaß der Rechten-Hand-Regelorientierte Orthonormalbasis

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 4-1

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Beispiel:

Lorentzkraft fur ein Elektron mit Ladung −e und Geschwindigkeit ~v ineinem Magnetfeld ~b:

~f = e ~b × ~v Auslenkung des stromdurchflossenen Leiters in Richtung ~f

+

~v

~b

~f

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 5-1

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Regeln fur Vektorprodukte

Fur Vektorprodukte gelten die folgenden Rechenregeln:

Antisymmetrie~a× ~b = −

(~b × ~a

)

Linearitat

(α1~a1 + α2~a2

)×(β1~b1 + β2~b2

)=

α1β1(~a1 × ~b1

)+ α1β2

(~a1 × ~b2

)+ α2β1

(~a2 × ~b1

)+ α2β2

(~a2 × ~b2

)

Grassmann-Identitat

(~a× ~b)× ~c = (~a · ~c) ~b − (~b · ~c) ~a

Lagrange-Identitat

(~a× ~b) · (~c × ~d) = (~a · ~c)(~b · ~d)− (~a · ~d)(~b · ~c)

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 6-1

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Beweis:

(i) Antisymmetrie und Linearitat: X(ii) Grassmann- und Lagrange-Identitat:Linearitat o.B.d.A. ~a, ~b kanonische Basisvektoren~a = ~ex = ~b: beide Seiten der Identitaten Null~a = ~ex , ~b = ~ey :linke Seite der Grassmann-Identitat

(~ex × ~ey )× ~c =

001

×

c1c2c3

=

−c2c10

Ubereinstimmung mit rechter Seite c1~ey − c2~ex

Lagrange-Identitat im betrachteten Spezialfall

001

·

· · ·· · ·

c1d2 − c2d1

= c1d2 − d1c2

analoge Argumentation fur andere Kombinationen von BasisvektorenVektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 7-1

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Beispiel:

(i) Linearitat vorteilhaft bei parallelen Vektoren:

3

001

+

120

×

001

+ 2

120

= 6

001

×

120

+

120

×

001

= (6− 1)

001

×

120

= 5

0− 21− 00− 0

=

−10

50

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 8-1

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(ii) Vektorprodukte einfacher berechenbare Skalarprodukte:

Grassmann-Identitat: (~a× ~b)× ~c = (~a · ~c) ~b − (~b · ~c) ~a

123

×

012

×

−210

= 0

012

−1

123

=

−1−2−3

Lagrange-Identitat: (~a×~b) · (~c × ~d) = (~a ·~c)(~b · ~d)− (~a · ~d)(~b ·~c)

123

×

012

·

−210

×

303

= 0 · 6− 12 · 1 = −12

Vektor- und Spatprodukt Vektorprodukt 8-2

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Epsilon-Tensor

Der ε-Tensorεi ,j ,k ∈ {−1, 0, 1}, i , j , k ∈ {1, 2, 3} ,

ist Null bei zwei gleichen Indizes und hat fur paarweise verschiedeneIndizes die Werte

ε1,2,3 = ε2,3,1 = ε3,1,2 = 1 ,ε1,3,2 = ε2,1,3 = ε3,2,1 = −1 .

Er ist also invariant unter zyklischer Permutation und andert beiVertauschung von Indizes das Vorzeichen.

Vektor- und Spatprodukt Epsilon-Tensor 1-1

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Beispiel:

Vektorprodukt

~c = ~a× ~b =

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

Darstellung mit Hilfe des ε-Tensors

ci =3∑

j ,k=1

εi ,j ,kajbk

z.B.c1 = ε1,2,3︸ ︷︷ ︸

1

a2b3 + ε1,3,2︸ ︷︷ ︸−1

a3b2

c2, c3 durch zyklische Indexverschiebung

Vektor- und Spatprodukt Epsilon-Tensor 2-1

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Spatprodukt

Das Spatprodukt

[~a, ~b, ~c

]= ~a · (~b × ~c) =

a1(b2c3 − b3c2) + a2(b3c1 − b1c3) + a3(b1c2 − b2c1)

stimmt bis auf Vorzeichen mit dem Volumen des von den drei Vektoren ~a,~b, ~c aufgespannten Spats uberein. Es ist positiv, wenn die Vektoren ~a, ~b, ~cgemaß der Rechten-Hand-Regel orientiert sind.

~b

~c~a

~b× ~c

Vektor- und Spatprodukt Spatprodukt 1-1

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Mit Hilfe des ε-Tensors lasst sich das Spatprodukt auch in der Form

[~a, ~b, ~c

]=

3∑

i ,j ,k=1

εi ,j ,kaibjck

schreiben.

Vektor- und Spatprodukt Spatprodukt 1-2

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Beweis:

Normale des von ~b, ~c aufgespannten Parallelogramms

~d =~b × ~c|~b × ~c |

Hohe des Spats (Lange der Projektion von ~a auf ~d)

h = |~a|∣∣∣cos^(~a, ~d)

∣∣∣ = |~a · ~d | ,

da |~d | = 1Volumen (Produkt aus Hohe und Flacheninhalt des Parallelogramms)

∣∣∣∣∣~a ·(~b × ~c|~b × ~c|

)∣∣∣∣∣ |~b × ~c | = |[~a, ~b, ~c]|

Vektor- und Spatprodukt Spatprodukt 2-1

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Beispiel:

Oberflache und Volumen des von den Vektoren

~a =

010

, ~b =

203

, ~c =

312

aufgespannten Spats:

(i) Oberflache:~a ⊥ ~b Rechteck Fab = 1 ·

√22 + 32 =

√13

Permutation und Scherung Fac = Fab

Fbc =

∣∣∣∣∣∣

203

×

312

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

−352

∣∣∣∣∣∣

=√

9 + 25 + 4 =√

38

Oberflache: 2Fab + 2Fac + 2Fbc = 4√

13 + 2√

38 ≈ 26.75

(ii) Volumen: |[~a, ~b, ~c]| = |~a · (~b × ~c)| =

∣∣∣∣∣∣

010

·

−352

∣∣∣∣∣∣

= 5

Vektor- und Spatprodukt Spatprodukt 3-1

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Eigenschaften des Spatprodukts

Das Spatprodukt ist linear in jedem Argument und besitzt daruber hinausdie folgenden weiteren Eigenschaften.

zyklische Vertauschung:

[~a, ~b, ~c] = [~b, ~c , ~a] = [~c , ~a, ~b]

lineare Abhangigkeit:

[~a, ~b, ~c] = 0 ⇔ ~0 = α~a + β~b + γ~c

mit mindestens einem der Skalare α, β, γ ungleich 0.

Orientierung:[~a, ~b, ~c] > 0

fur jedes Rechtssystem.Vektor- und Spatprodukt Spatprodukt 4-1

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Volumen eines Tetraeders

Das Volumen V eines Tetraeders, der von den Vektoren ~a, ~b und ~caufgespannt wird, lasst sich mit Hilfe des Spatproduktes berechnen:

V =1

6|[~a, ~b, ~c]| .

PSfrag repla ements ~b ~ ~aVektor- und Spatprodukt Volumen eines Tetraeders 1-1

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Beweis:

Volumen eines Tetraeders:

V =1

3Gh

mit h der Hohe und G dem Inhalt der Grundflache des von den Vektoren~b, ~c aufgespannten DreiecksG : halbe Parallelogrammflache

G = GSpat/2

und

V =1

6GSpath =

1

6VSpat =

1

6|[~a, ~b, ~c]|

mit dem Spatvolumen VSpat

Vektor- und Spatprodukt Volumen eines Tetraeders 2-1

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Beispiel:

Volumen eines von den Vektoren

~a =

011

, ~b =

110

, ~c =

020

aufgespannten Tetraeders:

V =1

6|[~a, ~b, ~c]|

=1

6

∣∣∣∣∣∣

011

·

110

×

020

∣∣∣∣∣∣

=1

6

∣∣∣∣∣∣

011

·

002

∣∣∣∣∣∣

=2

6=

1

3

Vektor- und Spatprodukt Volumen eines Tetraeders 3-1

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Berechnung von Koordinaten mit Hilfe des Spatproduktes

Spannen die Vektoren ~u, ~v und ~w ein echtes Spat auf, so lasst sich einbeliebiger Vektor ~x als Linearkombination

~x = α~u + β~v + γ ~w

darstellen mit den Koeffizienten

α =[~x , ~v , ~w ]

[~u, ~v , ~w ], β =

[~x , ~w , ~u]

[~v , ~w , ~u], γ =

[~x , ~u, ~v ]

[~w , ~u, ~v ].

Vektor- und Spatprodukt Berechnung von Koordinaten 1-1

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Beweis:

~x = α~u + β~v + γ ~w

Skalarprodukt mit ~v × ~w

~x · (~v × ~w) = α ~u · (~v × ~w)

denn ~v · (~v × ~w) = 0 = ~w · (~v × ~w)[~u, ~v , ~w ] 6= 0 =⇒

α =[~x , ~v , ~w ]

[~u, ~v , ~w ]

analoge Berechnung von β und γ

Vektor- und Spatprodukt Berechnung von Koordinaten 2-1

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Beispiel:

Darstellung des Vektors

~x =

−282

als Linearkombination der Basisvektoren

~u =

202

, ~v =

111

, ~w =

011

Spatprodukte

[~u, ~v , ~w ] = [~v , ~w , ~u] = [~w , ~u, ~v ] =

202

·

111

×

011

=

202

·

0−11

= 2

Vektor- und Spatprodukt Berechnung von Koordinaten 3-1

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[~x , ~v , ~w ] =

−282

·

111

×

011

=

−282

·

0−11

= −6

analog

[~x , ~w , ~u] = 8, [~x , ~u, ~v ] = 8

Quotienten Koeffizienten und

~x = −6

2~u +

8

2~v +

8

2~w = −3

202

+ 4

111

+ 4

011

Vektor- und Spatprodukt Berechnung von Koordinaten 3-2

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Punkt-Richtungs-Form

Die Punkte X auf einer Geraden durch P mit Richtung ~u lassen sich inparametrischer Form durch

−→PX = t~u, t ∈ R

darstellen.

~u

P

X

Entsprechend giltxi = pi + tui , i = 1, 2, 3 ,

fur die Koordinaten des Ortsvektors ~x = ~p + t~u.

Geraden Punkt-Richtungs-Form 1-1

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Beispiel:

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

g : ~x =

(13

)+ t

(2−1

), t ∈ R

32~u =

(3

−1.5

)

~p =

(13

)

~x =

(13

)+

(3

−1.5

)=

(4

1.5

)

P

X

−1 0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

X : Parameterwert t = 3/2

Geraden Punkt-Richtungs-Form 2-1

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Zwei-Punkte-Form

Die Punkte X auf einer Geraden durch zwei Punkte P 6= Q lassen sich inder Form −→

PX = t−→PQ, t ∈ R ,

darstellen. Die Parameterwerte t ∈ [0, 1] entsprechen der Strecke PQ.

−→PQ

−−→PX

P

Q

X

Entsprechend gilt

xi = pi + t(qi − pi ), i = 1, 2, 3 ,

fur die Koordinaten des Ortsvektors ~x = ~p + t(~q − ~p).

Geraden Zwei-Punkte-Form 1-1

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Beispiel:

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

g : ~x =

(13

)+ t

(5− 11− 3

), t ∈ R

~p =

(13

)

P

Q = (5, 1)

X

~x =

(13

)+ 1

2

(5− 11− 3

)=

(32

)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

X teilt PQ im Verhaltnis t : (1− t)t = 1/2 Mittelpunkt zwischen den Punkten P und Q

Geraden Zwei-Punkte-Form 2-1

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Momentenform

Die Punkte X auf einer Geraden durch P mit Richtung ~u lassen sich durch

−→PX × ~u = ~0

beschreiben.

~u

~u

−−→PX

O

P

X

−→OP = ~p

~x =−−→OX

|~p× ~u| = |~c|

|~x× ~u| = |~c|

Entsprechend gilt fur den Ortsvektor ~x × ~u = ~c , ~c = ~p × ~u.

Geraden Momentenform 1-1

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Beispiel:

Momentenform einer Geraden:X ∈ g ⇔ −→PX × ~u = ~0

~u =

(2

−1

)P = (1, 3)

X1 = (5, 1)

−−→PX1

X2 = (3.5, 1)

−−→PX2

|−−→PX2 × ~u|

−1 0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

Geraden Momentenform 2-1

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−−→PX1 × ~u =

510

130

×

2−1

0

=

4−2

0

×

2−1

0

=

00

4 · (−1)− (−2) · 2

= ~0

=⇒ X1 ∈ g

−−→PX2 × ~u =

2.5−2

0

×

2−1

0

=

00

2.5 · (−1)− (−2) · 2

=

00

1.5

6= ~0

=⇒ X2 /∈ gGeraden Momentenform 2-2

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Abstand Punkt-Gerade

Die Projektion X eines Punktes Q auf eine Gerade durch P mit Richtung~u erfullt

−→PX = t~u ⇔ ~x = ~p + t~u, t =

(~q − ~p) · ~u|~u|2 .

~u

~u

t~u =−−→PX

O

P

X

Q

−→OP = ~p

−→OQ = ~q

−→PQ = ~q − ~p

|(~q − ~p)× ~u|

Geraden Abstand Punkt-Gerade 1-1

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Der Abstand d = |−→XQ| lasst sich alternativ mit dem Vektorproduktberechnen:

d =|(~q − ~p)× ~u|

|~u| .

Geraden Abstand Punkt-Gerade 1-2

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Beweis:

prufe die Orthogonalitat von−→XQ zu ~u (~x = ~p + t~u):

−→XQ · ~u =

(~q −

(~p +

(~q − ~p) · ~u|~u|2 ~u

))· ~u

= (~q − ~p) · ~u − (~q − ~p) · ~u|~u|2 |~u|2 = 0

Definition des Vektorproduktes

|~a× ~b| = |~a| |~b| sin^(~a, ~b)

Formel fur den Abstand

d =∣∣∣−→XQ

∣∣∣ =∣∣∣−→PQ

∣∣∣ sin^(−→PQ, ~u) =

∣∣∣−→PQ∣∣∣ |~u| sin^(

−→PQ, ~u)

|~u|

=|(~q − ~p)× ~u|

|~u|

Geraden Abstand Punkt-Gerade 2-1

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Beispiel:

Projektion von Q = (3, 3, 3) auf die Gerade

g :

213

+ t

111

Punkt X mit dem Ortsvektor

~p +(~q − ~p) · ~u|~u|2 ~u =

213

+

333

213

·

111

12 + 12 + 12

111

=

213

+

1 · 1 + 2 · 1 + 0 · 13

111

=

324

Geraden Abstand Punkt-Gerade 3-1

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Abstand

d =∣∣∣−→XQ

∣∣∣ =√

(3− 3)2 + (3− 2)2 + (3− 4)2 =√

2

alternative Abstandsberechnung:Anwendung der Formel

d =|(~q − ~p)× ~u|

|~u|~q − ~p = (3− 2, 3− 1, 3− 3)t = (1, 2, 0)t

d =

∣∣∣∣∣∣

120

×

111

∣∣∣∣∣∣

√3

=

√(2− 0)2 + (0− 1)2 + (1− 2)2

3=√

2

Geraden Abstand Punkt-Gerade 3-2

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Abstand zweier Geraden

Der Abstand zweier durch die Punkte P, Q und Richtungen ~u, ~vgegebener Geraden ist

d =|[−→PQ, ~u, ~v ]||~u × ~v | ,

falls ~u 6‖ ~v .

P

Q−→PQ

~u~v

∣∣∣[−→PQ, ~u,~v

]∣∣∣

Geraden Abstand zweier Geraden 1-1

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Fur parallele Geraden gilt

d =|−→PQ × ~u||~u| .

Man bezeichnet zwei Geraden als windschief, wenn sie nicht parallel sindund einen positiven Abstand haben.Die Punkte X , Y kurzesten Abstandes erhalt man aus denOrthogonalitatsbedingungen

~x − ~y ⊥ ~u, ~v , ~x = ~p + s~u, ~y = ~q + t~v

durch Losen des resultierenden linearen Gleichungssystems fur dieParameter s, t.

Geraden Abstand zweier Geraden 1-2

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Beweis:

Ortsvektoren der Punkte kurzesten Abstandes

~x = ~p + s~u, ~y = ~q + t~v

Differenzvektor −→XY =

−→PQ + t~v − s~u

−→XY ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren, also parallel zu

~c = ~u × ~v .

berechne |−→XY | als Betrag des Skalarproduktes mit einem parallelenEinheitsvektor: ~c ⊥ ~u, ~v

d = |−→XY | =

∣∣∣∣(−→PQ + t~v − s~u) · ~c|~c|

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣−→PQ · ~c|~c |

∣∣∣∣

parallele Geraden: Formel fur den Abstand Punkt/GeradeGeraden Abstand zweier Geraden 2-1

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Beispiel:

Geraden:

g : ~x = (1, 1, 3)t + s(1, 2, 1)t, h : ~y = (4, 1, 4)t + t(1,−2, 1)t

(i) Abstand:

d =

∣∣∣[−→PQ, ~u, ~v

]∣∣∣|~u × ~v | =

∣∣∣∣∣∣

414

113

·

121

×

1−2

1

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

121

×

1−2

1

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

301

·

40−4

∣∣∣∣∣∣

√(2− (−2))2 + (1− 1)2 + ((−2)− 2)2

=8

4√

2=√

2

Geraden Abstand zweier Geraden 3-1

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(ii) Punkte kurzesten Abstandes:~x − ~y ⊥ (1, 2, 1)t, (1,−2, 1)t ⇔ lineares Gleichungssystem

0 =((−3, 0,−1)t + s(1, 2, 1)t − t(1,−2, 1)t

)· (1, 2, 1)t

= −4 + 6s + 2t

0 =((−3, 0,−1)t + s(1, 2, 1)t − t(1,−2, 1)t

)· (1,−2, 1)t

= −4− 2s − 6t

Losung s = 1, t = −1

~x = (2, 3, 4)t, ~y = (3, 3, 3)t

Kontrolle:d = |~x − ~y | = |(−1, 0, 1)t| =

√2 X

Geraden Abstand zweier Geraden 3-2

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Parametrische Darstellung einer Ebene

Punkte X auf einer Ebene durch P, die von zwei nicht parallelenRichtungen ~u und ~v aufgespannt wird, erfullen

−→PX = s~u + t~v , s, t ∈ R .

X

P

O

s~u

t~v

Ebenen Parameterdarstellung einer Ebene 1-1

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Entsprechend gilt

xi = pi + sui + tvi , i = 1, 2, 3 .

fur die Koordinaten des Ortsvektors ~x = ~p + s~u + t~v .

Ebenen Parameterdarstellung einer Ebene 1-2

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Beispiel:

Ebene durch P = (1, 2, 3), aufgespannt von ~u = (2, 0, 0)t , ~v = (1, 1, 1)t

E : ~x =

123

+ s

200

+ t

111

, s, t ∈ R

X = (1, 1, 2) ∈ E , denn

−→PX =

0−1−1

=

1

2~u + (−1)~v

X = (0, 0, 0) /∈ E , denn

−→PX =

−1−2−3

6= s

200

+ t

111

fur alle s, t

Ebenen Parameterdarstellung einer Ebene 2-1

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Drei-Punkte-Form einer Ebene

Fur Punkte X auf einer Ebene durch drei Punkte P, Q, R, die ein echtesDreieck bilden, verschwindet das Spatprodukt:

[−→PX ,−→PQ,−→PR] = 0 .

PSfrag repla ements XP QR

Ebenen Drei-Punkte-Form einer Ebene 1-1

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Mit Hilfe von Determinanten lasst sich die Ebenengleichung auch in derForm

p1 q1 r1 x1p2 q2 r2 x2 = 0p3 q3 r3 x31 1 1 1

schreiben.

Ebenen Drei-Punkte-Form einer Ebene 1-2

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Beispiel:

Ebene E durch P = (1, 2, 3), Q = (3, 2, 3), R = (2, 3, 4)

X = (1, 1, 2) ∈ E , denn

[−→PX ,−→PQ,−→PR] =

0−1−1

,

200

,

111

=

0−1−1

·

0−22

= 0

X = (0, 0, 0) /∈ E , denn

[−→PX ,−→PQ,−→PR] =

−1−2−3

,

200

,

111

=

−1−2−3

·

0−22

= 4− 6 = −2 6= 0

Ebenen Drei-Punkte-Form einer Ebene 2-1

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Ebenengleichung

0 =

1 3 2 x12 2 3 x23 3 4 x31 1 1 1

=1 3 22 2 33 3 4

− x3

1 3 22 2 31 1 1

+ x2

1 3 23 3 41 1 1

− x1

2 2 33 3 41 1 1

= 2− 2x3 + 2x2 − 0x1

d.h.E : x3 − x2 = 1

Ebenen Drei-Punkte-Form einer Ebene 2-2

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Hesse-Normalform einer Ebene

Der Ortsvektor ~x eines Punktes X auf einer Ebene durch P orthogonal zueinem Normalenvektor ~n erfullt

~x · ~n = d , d = ~p · ~n .

PSfrag repla ementsXP

O

~n; j~nj = 1 ~n

Ebenen Hesse-Normalform einer Ebene 1-1

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Bei der Normalform wird dabei |~n| = 1 und d ≥ 0 angenommen. In diesemFall ist d der Abstand der Ebene zum Ursprung. Der Normalenvektor zeigtvom Ursprung in Richtung der Ebene.

Ebenen Hesse-Normalform einer Ebene 1-2

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Beispiel:

Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor ~n◦ = (2, 2, 1)t/3Normierung: ~n◦ = σ~n/|~n| = σ(2, 2, 1)t/3Wahl des Vorzeichens σ so, dass

0 ≤ d = |~p · ~n◦| =

123

· σ1

3

221

= σ · 3

d.h. σ = 1 und d = 3 Hesse-Normalform E : ~x · ~n◦ = d , d.h.

E :2

3x1 +

2

3x2 +

1

3x3 = 3

X = (4, 0, 1) ∈ E , denn ~x · ~n◦ = 13(8 + 0 + 1) = d

X = (0, 0, 0) /∈ E , denn ~x · ~n◦ = 0 6= d

Ebenen Hesse-Normalform einer Ebene 2-1

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Beispiel:

Umrechnen von Ebenendarstellungen:

(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht paralleleVektoren ~u, ~v :Parameterdarstellung

E : ~x = ~p + s~u + t~v , s, t ∈ R

weitere Punkte Q,R ∈ E : ~q = ~p + ~u, ~r = ~p + ~v Drei-Punkte-Form

E : [~x − ~p, ~q − ~p, ~r − ~p] = 0

normierter Normalenvektor

~n◦ = σ~u × ~v|~u × ~v |

mit σ ∈ {−1, 1} so gewahlt, dass d = ~p · ~n◦ ≥ 0 Hesse-Normalform E : ~x · ~n◦ = d

Ebenen Hesse-Normalform einer Ebene 3-1

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(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden:Drei-Punkte-Form

E :[~x − ~p, ~q − ~p, ~r − ~p

]= 0

Vektoren, die E aufspannen

~u =−→PQ, ~v =

−→PR

Konstruktion der Hesse-Normalform wie in (i)

Ebenen Hesse-Normalform einer Ebene 3-2

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(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor ~n:Hesse-Normalform

E : ~x · ~n0 = d , d = ~p · ~n0 ≥ 0

mit ~n0 = σ · ~n/|~n| und σ ∈ {−1, 1}Vektoren, die E aufspannen

~u = ~n × ~x , ~v = ~n × ~u

mit ~x 6= λ~nKonstruktion der Drei-Punkte-Form wie in (i)

Ebenen Hesse-Normalform einer Ebene 3-3

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Beispiel:

Ebene durch die Punkte

P = (7, 2, 0), Q = (1,−6, 2), R = (−1,−8, 3)

Drei-Punkte-Form

E :

~x −

720

,

1−62

720

,

−1−83

720

= 0

Differenzen der Ortsvektoren Richtungen, die die Ebeneaufspannen

~u =−→PQ =

−6−82

, ~v =

−→PR =

−8−10

3

Parameterdarstellung der Ebene

E : ~x =

720

+ s

−6−82

+ t

−8−10

3

, s, t ∈ R

Ebenen Hesse-Normalform einer Ebene 4-1

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Normalenvektor

~n = ~u × ~v =

−24 + 20−16 + 1860− 64

=

−42−4

Normierung:

~n0 =σ

6

−42−4

mit σ ∈ {−1, 1} so gewahlt, dass

0 ≤ d = ~p · ~n0 =

720

· σ

−2/31/3−2/3

= σ(−4)

d.h. σ = −1 und d = 4 Hesse-Normalform

E :2

3x1 −

1

3x2 +

2

3x3 = 4

Ebenen Hesse-Normalform einer Ebene 4-2

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Abstand Punkt-Ebene

Der Lotvektor eines Punktes Q auf eine Ebene E durch P mitNormalenvektor ~n ist

−→XQ =

−→PQ · ~n|~n|2 ~n .

XP

Q

O

~n

−−→XQ

−→PQ

Ebenen Abstand Punkt-Ebene 1-1

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Die Lange des Lotvektors,

d =|−→PQ · ~n||~n| ,

ist der Abstand der Ebene zu Q. Der Punkt X mit dem Ortsvektor

~x = ~q − (~q − ~p) · ~n|~n|2 ~n

wird als Projektion von Q auf E bezeichnet.

Ebenen Abstand Punkt-Ebene 1-2

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Beweis:

Projektion~x = ~q − λ~n

X ∈ E =⇒~x · ~n = ~q · ~n − λ|~n|2 = ~p · ~n

Auflosen nach λ Formel fur den Abstand

λ =(~q − ~p) · ~n|~n|2 , d = |λ~n|

Lotvektor~q − ~x = λ~n

Ebenen Abstand Punkt-Ebene 2-1

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Beispiel:

Ebene E durch den Punkt P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor ~n = (2, 1, 2)Berechnung des Abstands d von Q = (3, 2, 3) sowie der Projektion X aufE

−→PQ =

200

,

−→PQ · ~n = 4, |~n| = 3

Lotvektor und Abstand

−→XQ =

−→PQ · ~n|~n|2 ~n =

4

9

212

, d = |−→XQ| =

4

9· 3 =

4

3

Projektion

~x = ~q −−→XQ =

323

8/94/98/9

=

1

9

191419

Ebenen Abstand Punkt-Ebene 3-1

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Schnitt zweier Ebenen

Der kleinere der beiden Winkel ϕ ∈ [0, π/2] zwischen zwei Ebenen mitNormalenvektoren ~ni ist durch

cosϕ =|~n1 · ~n2||~n1||~n2|

eindeutig bestimmt. Die Schnittgeraden g hat die Richtung ~u = ~n1 × ~n2 .

�!n1 �!n2

Ebenen Schnitt zweier Ebenen 1-1

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Einen Punkt P auf g kann man durch simultanes Einsetzen in beideEbenengleichungen bestimmen und mit einer Losung (p1, p2, p3)t desresultierenden unterbestimmten linearen Gleichungssystems erhalt man

g : ~x = ~p + t~u, t ∈ R

als Parameterdarstellung von g .

Ebenen Schnitt zweier Ebenen 1-2

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Beispiel:

Schnitt von Ebenen durch die Punkte P1 = (1, 2, 0), P2 = (0, 1, 3) mitNormalenvektoren ~n1 = (1,−1, 0)t, ~n2 = (0,−1, 1)t

Schnittwinkel

cosϕ =|~n1 · ~n2||~n1||~n2|

=|1 · 0 + (−1)(−1) + 0 · 1|√

2√

2=

1

2

ϕ = π/3Richtung der Schnittgeraden g

~u = ~n1 × ~n2 =

−1−1−1

Ebenen Schnitt zweier Ebenen 2-1

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Punkt X auf g durch Losung der Ebenengleichungen ~x · ~nk = ~pk · ~nk :~p1 · ~n1 = 1− 2 + 0 = −1, ~p2 · ~n2 = 0− 1 + 3 = 2

E1 : x1 − x2 = −1, E2 : −x2 + x3 = 2

x2 = 0 x1 = −1 und x3 = 2Parameterdarstellung der Schnittgeraden

g : ~x =

−102

+ t

−1−1−1

, t ∈ R

Ebenen Schnitt zweier Ebenen 2-2

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Beispiel:

Winkel zwischen Flachen eines regelmaßigen Tetraederswahle

P1 = (1, 0, 0), P2 = (−1, 0, 0), P3 = (0, 1,√

2), P4 = (0,−1,√

2)

und betrachte Ebenen durch P1, P2, P3 und P1, P2, P4

Normalenvektoren

~n1 =−−−→P1P2 ×

−−−→P1P3 =

−200

×

−11√2

=

0

2√

2−2

~n2 =−−−→P1P2 ×

−−−→P1P4 =

−200

×

−1−1√

2

=

0

2√

22

Schnittwinkel

cos(ϕ) =|~n1 · ~n2||~n1||~n2|

=4√

12√

12=

1

3

ϕ ≈ 70.53◦Ebenen Schnitt zweier Ebenen 3-1

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Ellipse

Fur die Punkte P = (x , y) auf einer Ellipse ist die Summe der Abstande zuzwei Brennpunkten F± konstant:

|−−→PF−|+ |−−→PF+| = 2a

mit 2a > |−−−→F−F+|.

xa

y

b

F− F+

P

Quadratische Kurven Ellipse 1-1

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Ist F± = (±f , 0), so gilt fur die Koordinaten

x2

a2+

y2

b2= 1, b2 = a2 − f 2 ,

und

r2 =b2

1− (f /a)2 cos2 ϕ

fur die Polarkoordinaten der Punkte P.Eine Parametrisierung der Ellipse ist

x = a cos t, y = b sin t

mit t ∈ [0, 2π).

Quadratische Kurven Ellipse 1-2

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Beweis:

(i) Aquivalenz der Darstellungen:

|−−→PF−|+ |−−→PF+| = 2a ⇐⇒ x2

a2+

y2

b2= 1, b2 = a2 − f 2

Quadrieren von

2a−√

(x + f )2 + y2︸ ︷︷ ︸

>0

=√

(x − f )2 + y2 = |−−→PF+|

aquivalente Form der linken Gleichung

4a2 + 4xf︸ ︷︷ ︸>0

= 4a√

(x + f )2 + y2

erneutes Quadrieren und Division durch (4a)2

a2 + 2xf +f 2

a2x2 = x2 + 2xf + f 2 + y2

Substitution von f 2 = a2 − b2, Division durch b2 KoordinatenformQuadratische Kurven Ellipse 2-1

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(ii) Polarform:

r2 =b2

1− (f /a)2 cos2 ϕ

Multiplikation mit dem Nenner und Substitution von

r2 = x2 + y2, f 2 = a2 − b2, r2 cos2(ϕ) = x2

x2 + y2 − a2 − b2

a2x2 = b2

Koordinatenform nach Division durch b2

Quadratische Kurven Ellipse 2-2

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Beispiel:

Reflektion von Brennpunktstrahlen (F+P → PF−)

F− F+

P

R

Q

α

α

Hilfspunkt Q 6= P auf der Tangente g außerhalb der Ellipse =⇒2a = |−−→PF−|+ |

−−→PF+| < |

−−→QF−|+ |

−−→QF+|

Ersetzen von PF+ durch das Spiegelbild PR an g |−−→QF+| = |−→QR|und

|−−→PF−|+ |−→PR| < |−−→QF−|+ |

−→QR| ∀Q ∈ g

=⇒ F−, P, R kollinear, bzw. ^(F−PQ) = αQuadratische Kurven Ellipse 3-1

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Parabel

Die Punkte P = (x , y) auf einer Parabel haben von einem Brennpunkt Fund einer Leitgerade g den gleichen Abstand.

x

y

F

P

g

r

ϕ

Quadratische Kurven Parabel 1-1

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Ist F = (0, f ) und g : y = −f , so gilt fur die Koordinaten

4f y = x2

und

r =4f sinϕ

cos2 ϕ

fur die Polarkoordinaten der Punkte P.

Quadratische Kurven Parabel 1-2

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Beweis:

(i) Aquivalenz der Darstellungen:Gleichsetzen der quadrierten Abstande

|−→PF |2 = x2 + (y − f )2 = (y + f )2 = (dist(P, g))2

Vereinfachung x2 = 4f y

(ii) Polarform:substituiere

x = r cosϕ, y = r sinϕ

r2 cos2 ϕ = 4f r sinϕ

Quadratische Kurven Parabel 2-1

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Beispiel:

Bundelung senkrecht zur Leitgerade einfallender Strahlen im Brennpunkt

x

y

F

P

g QR

α

α

−→FP +

−→QP =

((xy

)−(

0f

))+

((xy

)−(

x−f

))=

(x

2y

)

parallel zur Richtung (1, x/(2f ))t der Tangente im Punkt P (f = x2/(4y))

|−→FP| = |−→QP| (Definition der Parabel) =⇒ ^(F ,P,R) = α = ^(R,P,Q)Quadratische Kurven Parabel 3-1

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Hyperbel

Fur die Punkte P = (x , y) auf einer Hyperbel ist die Differenz derAbstande zu zwei Brennpunkten F± konstant:

|−−→PF−| − |−−→PF+| = ±2a

mit 2a < |−−−→F−F+|.

x

y

F+F−

Pr

ϕa

b

Quadratische Kurven Hyperbel 1-1

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Ist F± = (±f , 0), so gilt fur die Koordinaten

x2

a2− y2

b2= 1, b2 = f 2 − a2 ,

und

r2 = − b2

1− (f /a)2 cos2 ϕ

fur die Polarkoordinaten der Punkte P. Die Asymptoten haben dieSteigung ±b/a.Parametrisierungen der Hyperbelaste sind

x = ±a cosh t, y = b sinh t

mit t ∈ R.

Quadratische Kurven Hyperbel 1-2

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Beweis:

(i) Aquivalenz der Darstellungen:

|−−→PF−| − |−−→PF+| = ±2a ⇐⇒ x2

a2− y2

b2= 1, b2 = f 2 − a2

Quadrieren von√(x + f )2 + y2 ∓ 2a

︸ ︷︷ ︸>0

=√

(x − f )2 + y2 = |−−→PF+|

aquivalente Identitat zur linken Gleichung:

4a2 + 4xf = ±4a√

(x + f )2 + y2

erneutes Quadrieren und Division durch (4a)2

a2 + 2xf +f 2

a2x2 = x2 + 2xf + f 2 + y2

Substitution von f 2 = a2 + b2 und Division durch b2 Koordinatenform

Quadratische Kurven Hyperbel 2-1

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(ii) Polarform:

r2 = − b2

1− (f /a)2 cos2 ϕ

Multiplikation mit dem Nenner unter Berucksichtigung von

r2 = x2 + y2, f 2 = a2 + b2, x = r cosϕ

x2 + y2 − a2 + b2

a2x2 = −b2

Division durch −b2 Koordinatenform

Quadratische Kurven Hyperbel 2-2

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Beispiel:

Positionsbestimmung durch Zeitdifferenzen 2aj ,k synchroner Radiosignalevon Sendestationen Fi

F1 F2

F3

F4

S1

S2

S3

S4

Position P: Schnittpunkt von Hyperbeln

Quadratische Kurven Hyperbel 3-1

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konkrete Daten

F1 = (−2, 0), F2 = (2, 0), F3 = (0,−3), F4 = (0, 3)

a1,2 = a3,4 = 1Hyperbelgleichungen

x2 − y2

3= 1, y2 − x2

8= 1

(f 2 = a2 + b2 mit a = 1 und f = 2 bzw. f = 3)Koordinaten der moglichen 4 Schnittpunkte Si

x2 =32

23, y2 =

27

23

Quadratische Kurven Hyperbel 3-2