Vertex Coloring Graph

Embed Size (px)

Citation preview

BAB1PENDAHULUAN1.1 LatarBelakangMasalahGraph adalahsalah satu dari sekian banyak cabang Ilmu Matematika yangditerapkan baikdalam Ilmu Matematika sendiri maupundalam kehidupan manu-sia. Salah satu penggunaangraph pada kehidupan adalah bagaimana cara menen-tukanjarakterpendekyangbisaditempuhdari suatutempatketempatlainnya.Selain itu,graphmerupakanilmu yangbanyakmemiliki objekpenelitian.Dalam penggunaannya,suatugraph jugadapatdiwarnai. Pewarnaanpadagraph dapat dilakukan pada verteks dan edgenya. Pewarnaan dalam graph adalahpemetaanwarna-warnakeverteks-verteks padagraphsedemikianhinggaverteksmaupunedgeyangadjacentmemilikiwarnayangberbeda. Adapunsalahsatukegunaandari pewarnaangraphadalahbagaimanacaramembuatjadwal ujianakhir, seperticontohdibawahini:Contoh1.1.1 AndaikansuatuUniversitas akandilakukanujianakhir. Terdapatlimamatakuliahyangakandiujiankan,misalkanmatakuliahtersebutv1,v2,v3,v4,danv5. Jikaterdapatduamatakuliahyangmemiliki mahasiswayangsama,yaituv1danv2,v1danv4,v1danv5,v2danv3,v3danv4,v4danv5. Bagaimanacara membuat jadwal tersebut sehingga tidak ada mahasiswa yang ujian pada saatyangbersamaan.Solusi: Masalahpenjadwalanujianinidapatdiselesaikandenganmenggunakansuatumodel graph, denganverteksmewakili matakuliahdanedgeantaraduaverteks mewakili bahwaadamahasiswayangmengambil keduamatakuliahyangdiwakili verteks-verteks tersebut.uv2uv1uv5uv4uv3```ZZZZZZZZZGambar1.1 : ModelGraphPenjadwalanPenyelesaianmasalahpenjadwalaninimenggunakanpewarnaanpadamo-delgraphpadagambar1.1. Berdasarkankonseppewarnaangraphpadaverteks,maka model graphtersebut dapatdiwarnai denganmenggunakanlima warna,de-ngansetiapverteks memiliki warnayangberbeda. Iniartinyasetiapmatakuliahdiujiankanpadawaktuyangberbeda(gambar1.2). Akantetapipewarnaanpadagambar1.2tidakesienkarenamembutuhkanbanyakwarnayangartinyamem-butuhkanwaktuyanglamadalampelaksanaanujiantersebut.Pewarnaangraphpadagambar 1.2dapat lebihdiesienkandalampeng-gunaan warna, sehingga warna minimumyang dapat digunakan adalah 3, iniartinya hanya dibutuhkan3 waktu berbedadalam pelakasanaanujian akhir terse-but(gambar1.3).uv21uv12uv53uv44uv35```ZZZZZZZZZGambar1.2 : Pewarnaangraphdenganlimawarnauv21uv12uv53uv41uv33```ZZZZZZZZZGambar1.3 : PewarnaangraphdengantigawarnaDalampewarnaangraphdikenalistilahbilangankromatik. BilanganKro-2matik merupakan sasaran utama dalam melakukan pewarnaan graph. Pada contoh1.1.1bilangankromatikmewakilibanyaknyabagianwaktuminimumyangdibu-tuhkandalampelaksanaanujiantersebut. Olehsebabitu, bagaimanacarauntukmenentukanbilangankromatikpadagraphmerupakanhal terpentingdalampe-warnaangraph.Pewarnaandari suatugraphadalahmasalahyangcukupmudah, tetapipewarnaandenganmenggunakanwarnaminimum, secaraumumadalahmasalahyang sulit. Kenyataannya masih belum ditemukan suatu cara mudah dalam peng-karakteristikansuatugraphk-kromatik.Pada tulisan ini akan dibahas bagaimana cara melakukan pewarnaan vertekspadagraphtanpaloopsehinggadidapatkanbilangankromatik.1.2 PerumusanMasalahMasalahyangdibahas adalahbagaimanacaramenentukanbilangankro-matik padagraphdanbeberapakasusyangadapadagraph.1.3 TinjauanPustakaChartrand([2]) menyatakanbahwasuatugraphGadalahsuatuhimpunanberhinggatakkosongdari objek-objekyangdisebut verteks(minimal tunggal)bersama-sama dengan suatu himpunan yang anggotanya adalah pasangan yang takberurutdariverteksyangberbedapadaGyangdisebutedge(mungkinkosong),dandinotasikandenganG{V (G), E(G)}. Himpunanverteksdari GdinotasikandenganV (G)danhimpunanedgedinotasikandenganE(G).Lipschutz([5])menyatakanbahwasuatupewarnaandari graphGadalahsuatupemetaanwarna-warnakeverteks-verteksdari Gsedemikianhinggaduaverteks yangberbedadanadjacentmempunyai warna-warnayangberbeda. Bila-ngankromatikdariGadalahbanyaknyawarnaminimum yangdiperlukanuntukmewarnaiG,dandinotasikandengan(G).31.4 TujuanPenelitianTujuandaripenelitianiniadalahmemperkenalkanbilangankromatikdanbagaimanacaramenentukanbilangankromatikpadagraphdanbeberapakasusyangadapadagraph.1.5 ManfaatPenelitianHasil penelitian ini bermanfaatsebagai tambahanliteratur bagi mahasiswayang sedang mempelajari mengenai pewarnaan graph, khususnya bilangan kroma-tik.1.6 MetodePenelitianPenelitianinibersifatliteraturataukepustakaandenganawal memperke-nalkangraph, jenis-jenisgraph, pewarnaangraph, bilangankromatikdanmem-bahasbagaimanacaramenentukanbilangankromatikpadagraphdanbeberapakasusyangadapadagraph.4BAB2LANDASANTEORIPadababiniakandibahasbeberapakonsepdanterminologidalamgraphyangakandipergunakansebagai landasanberpikirdalammelakukanpenelitianini. Jugaakandibahas beberapa jenis graphyangakandipergunakansebagaiobjekpenelitianini. Semuakonsep, terminologi danjenisgraphtersebutakandipergunakanpadababpembahasan.2.1 GraphSuatugraphGadalahsuatuhimpunanberhinggatakkosongdari objek-objekyangdisebutverteks(minimaltunggal)bersama-samadengansuatuhim-punan yang anggotanya adalah pasangan yang tak berurut dari verteks yangberbedapadaGyangdisebut edge(mungkinkosong), dandinotasikandenganG{V (G), E(G)}. Himpunanverteksdari GdinotasikandenganV (G)danhim-punan edge dinotasikan dengan E(G). Banyaknya anggotadari himpunan vertekspada G disebut orderG dan dinotasikan dengan p(G), atau dengan singkat ditulisp.Edgee= {u, v}ataujugadapatditulise= uvadalahsebuahedgedalamG, yaitu u danvadalahtitik-titik ujungdari e, makau danvdikatakanadjacent(berelasi) dimana u dan e adalahincedent (terhubung), begitu juga dengan vdane. Banyaknya edge yang incedent denganverteks u disebut degree/valensi/derajatdariu, dengankatalaindegreeu adalahbanyaknyaedgeyangmemuat usebagaititik ujung. Degreeudinotasikandengandeg(u).Berikut inidiberikanbeberapaterminologipadagraph,yaitu :1. Suatu walk adalah barisan berhingga dari verteks dan edge secara bergantian,yangdiawalidari verteksdandiakhiridenganverteks. Bentukumumdariwalkv0, e1, v1, e2, v2, . . . , vn1, en, vndalamhal iniv0merupakanverteksawaldanvnmerupakanverteksakhir.Jika verteks awal dan verteks akhir dari suatu walk adalah sama, maka walkdisebutclosewalk (walktertutup).2. Suatutrailadalahsuatuwalkdengansetiapedgenyaberlainan.3. Suatupathadalahsuatuwalkdengansetiapverteksnya berbeda.4. Suatucycleadalahsuatupathyangmemiliki verteks awal samadenganverteks akhir.5. length(panjang)adalahbilanganyangmenyatakanbanyaknyaedgeyangmuncul dalamsuatuwalk.6. Edge e adalahsebuahjembatan untuk Gjika Ge tidak terhubung. Secaraumum,edgeeadalahjembatanuntuksuatugraphGjikaGemempunyaikomponenterhubunglebih dariG.Suatugraphbiasanyadipresentasikansecaragras, dengansetiapverteksdipresentasikan sebagai titik atau lingkarankecil, dan setiap edge e = uv dipresen-tasikandengansebuahgaris ataukurva yangmenghubungkantitik-titikyangbersesuaiandenganudanv.uv3u v2uv1uv5uv6uv4e3e9e8e5e7e6e4e1e2````...............````Gambar2.1 : PresentasiGrasdariG(6, 9)6Berdasarkangambar4makadapatditentukan:(i) OrdergraphGadalah6.(ii) Degreeverteksv1, v2, v3, v4, v5, danv6masing-masingadalah2, 4, 3, 2, 4,dan3.(iii) Barisan v1, e1, v2, e7, v6, e5, v5, e8, v2, e2, v3 adalah suatu walk dengan panjang5.(iv) Barisanv3, e9, v5, e8, v2, e7, v6adalahsuatupathdenganpanjang3.(v) Barisanv2, e7, v6, e5, v6, e9, v3, e2, v2adalahsuatucycle denganpanjang4.2.2 JenisGraphDibawah ini akandibahasbeberapajenis graphyangakandigunakanseba-gaiobjekpenelitian ini, yaitu:1. Nullgraph adalah suatu graph yang memiliki degree 0 (nol) dan dinotasikandenganNp, denganpadalahorderN.Contoh2.2.1uv1uv2uv3uv4Gambar2.2 : Nullgraphberorder42. GraphKomplitadalahsuatugraphyanglengkapdengansetiapduaverteksyang berbeda harus adjacent.Graph komplit dinotasikan dengan Kp, denganpadalahorderK.Teorema2.2.1Banyaknya edgepada suatu graph komplit dengann verteksadalah12n(n 1)buah.7Bukti: Untukmembuat sebuahedge memerlukandua verteks. Karenabanyaknyacarauntukmemilihduaverteksdari nverteksadalahC(n, 2).Maka banyaknya edge adalah C(n, 2) =12n(n1) buah. Contoh2.2.2uv1uv2uv3``````//////Gambar2.3 : KomplitGraphberorder33. GraphBipartisi(Bigraph) adalahsuatu graphyang memiliki himpunan ver-teksyangdapatdipartisi menjadi duahimpunanbagianyangsalingasing(disjoint), yaituV1(G) = {v1, v2. . . , vi}V2(G) = {vi+1, vi+2, . . . , vn}sedemikian sehingga setiap edge dari G menghubungkan sebuah verteks dariV1(G) kesebuah verteks dari V2(G). Sebuah graph bipartisi lengkap, diartikanbahwasetiapverteks V1(G)dihubungkanke setiapverteks diV2(G). Graphbipartisi dinotasikan dengan Km,ndengan m adalah jumlah verteks di V1(G)dan n adalah jumlah verteks di V2(G), dan standardisasi, diasumsikan mn.Contoh2.2.3uv1uv2uv3uv4uv5ZZZZ````````~~~~~~~~~ ZZZZ````.........Gambar2.4 : Komplit Bigraphberorder54. Pohon(Tree)adalahsuatugraphyangtidakmemuat loopdanedge paralel(simpleGraph)jugatidakmemuat cycle, dandinotasikandenganT.8Contoh2.2.4uv1uv2uv3uv4uv5uv9uv3uv7uv6v8````ZZZZ````ZZZZGambar2.5 : Pohonberorder92.3 PewarnaanGraphdanBilanganKromatikAndaikan G adalahsebuahgraphtanpaloop. Suatupewarnaandari graphG adalah suatu pemetaan warna-warna ke verteks-verteks dari G sedemikian hing-ga dua verteks yang berbeda dan adjacent mempunyai warna-warna yang berbeda.Himpunandari semuaverteksdenganwarnayangsamaadalahbebasdandise-butdengankelaswarna. Suatupewarnaankdari Gmerupakansuatupartisi Vdengank-kelaswarna. BilanganKromatikdariGadalahbanyaknyawarnamini-mum yangdiperlukansehinggatepatmewarnai G. Jika(G)=k, makaGdisebutgraphk kromatik. Contohpewarnaangraphdapatdilihatpadagambar1.3.Padagambar1.3tersebutbilangankromatiknya adalah3.Salahsatucarayangdapat digunakanuntukmewarnai sebuahgraphGadalahmenggunakanAlgoritmaWelch-Powell. AdapunAlgoritmaWelch-Powelladalahsebagaiberikut:1. Urutkanverteks-verteks dariGdalamderajatyangmenurun.(sebuahurutansepertiinimungkintidaktunggal karenabeberapaverteksmungkin mempunyai derajatyangsama).2. Gunakansatuwarnauntuk mewarnai verteks padaurutanpertamadanun-tuk mewarnai dalamurutanyang berurut,setiap verteks dalamdaftaryangtidakadjacentdenganverteks sebelumnya diwarnaidenganwarnaini.93. Mulai lagi denganurutanyangpalingtinggi danulangi prosespewarnaanverteks yang tidak berwarna sebelumnya dengan menggunakan warna kedua.4. Terusulangidenganpenambahanwarna-warnasampaisemuaverteks telahterwarnai.Contoh2.3.1 Lakukanpewarnaangraphpadagambar1.1denganmenggunakanAlgoritma Welch-Powell.Solusi:(i) Tuliskan verteks-verteks dari graph dalam urutan yang derajatnya menurun.Gunakanwarna1padaverteks urutanpertama, v1. Selanjutnya dalam daf-taryangtidakadjacentdenganv1, yaituv3makagunakanwarna1kev3.Karenatidakadalagiverteks yangtidakadjacentdenganv1,lanjutkande-ngan warna lain. Gunakan warna 2 ke verteks tak berwarna urutan pertama,v4. Verteks takberwarnaselanjutnya yangtidak adjacentdenganv4adalahv2makagunakanwarna2kev2. Karenasisaverteksyangtidakberwarnaadalahadjacentdengandenganv1danv4, makagunakanwarna3. Kare-nasemua verteks telah terwarnai makapewarnaanselesai. Pewarnaanpadagambar1.1dapatditulissebagaiberikut :Verteks 1 4 2 3 5Derajat 3 3 2 2 2Warna 1 2 2 1 3(ii) Karenapewarnaangraphpadagambar1.1hanyamenggunakantigawarnamakabilangankromatikGadalah3,(G) = 3.Algoritma welch-Powell ini hanya memberikan batas atas untuk (G), yaitubahwa algoritma tidak selalu memberikan jumlah warna minimum yang diperlukan10untuk mewarnai G. kenyataannya, menentukan (G) mungkin sangat sulit kecualidalamkasus-kasussederhana.2.4 GraphPlanardanPewarnaannyaSuatugraphyangdapatdigambarkandalamsebuahruangataupadaper-mukaanbidang sehingga edge-edgenyatidakbersilangandisebut graphplanar.SuatugraphdikatakanplanarjikaiatidakmemuatsemuasubgraphberbentukbigraphK3,3ataugraphkomplit K5. Suatugraphmungkin sajaplanarmeskipuniabiasanyadigambarkandengancarasisiyangsalingberpotongan, karenagraphtersebutdapat digambarkandengancaraberbedayangsisi-sisimyatidaksalingberpotongan. Edge-edgepadagraphplanarmembagi bidangmenjadi beberapawilayah(region). Derajat dari region r, dinyatakan dengandeg(r)adalahpanjangpathtertutupyangmembatasir.Teorema2.4.1Jumlahderajatregiondarisuatugraphplanarsamadenganduakaliedgedigraphplanartersebut.Bukti:Karenasetiapedgeeakanmembatasiduaregionatautermuatdalamse-buah region, maka edge e akan muncul dua kali dalam suatu path sepanjang batasregiontersebut. Sehinggasetiapedgetermuatdalamsebuahregionyangakandihitung dua kali dalam menunjukkan derajat dari region suatu graph planar. Teorema2.4.2AndaikanGadalahsebuahgraphplanaryangmemiliki verteksV ,edgeEdanregionR,makaV E+R=2. (formulaeuler)Bukti: Anggapgraphplanarterdiridari sebuahvertekstunggal v1,makaV=1danE=0danterdapatsaturegionR=1, jadi untukkasus ini VE+R=2. Se-baliknya graphplanarjugadapatdibuatdarisebuahverteks tunggaldenganduabentukberikut :111. Tambahkansebuahverteksv2danhubungkankesebuahverteksyangadapadagraphplanar,yaitu v1dengansebuahedgeyangtidakmenyilang edgeyanglain.2. Hubungkanduabuahverteksyangadapadagraphplanar,yaituv1danv2dengansebuahedgeyangtidakmenyilang edgeyanglain.OperasipertamatidakmengubahnilaiVE+RkarenaV danEditambahsatu,tetapijumlahregionRtidakberubah. OperasikeduajugatidakmengubahnilaiVE+RkarenaV tidakberubah, Editambahsatu, danini dapatditunjukkanbahwajumlahregionRjugabertambahsatu. Dengandemikian, graphplanarharus mempunyai nilai VE+Ryangsamaseperti padagraphdengansebuahverteks tunggal, yaitu VE+R=2 dan teorema terbukti. Teorema2.4.3AndaikanGadalahsebuahgraphplanardenganpverteksdanqedge,dimanap 3,makaq 3pq.Bukti:Andaikan r adalah jumlah region pada graph planar G. Berdasarkan teore-ma euler, p+q+r=2. Karena jumlah derajatregion samadengan2q, tetapi setiapregionmempunyaiderajattigaataulebih,sehingga2q 3r,jadir 23q. Subsi-tusikan ke dalam formula euler sehingga menjadi 2=pq+rpq+23q atau 2pq3.Pertidaksamaan tersebut dikalikan dengan 3 sehingga menjadi 63pq yang mem-buktikan teorema. Teorema2.4.4AndaikanGadalahgraphplanardenganpalingsedikit tigaver-teks,makaGmempunyaipalingsedikitsatuverteksberderajatlimaataukurang.Bukti: MisalkanpadalahjumlahverteksdanqadalahjumlahedgedariG,dandeg(u)6untuksetiapverteksudariG. Tetapi2qsamadenganjumlahderajatverteks-verteks dari G, yaitu 2q6p. Oleh karena itu q 3p>3p6. Ini kontradiksi12denganteorema2.4.3, sehinggabeberapaverteksdi Gmempunyai derajatlimaatau kurang. Teorema2.4.5SuatugraphplanarGadalahberwarnalima.Bukti: Pembuktianmenggunakaninduksi padapjumlahverteksdari G. Jikap 5, makajelasteoremaberlaku, karenajumlahvertekslebihkecilatausamadenganbanyakwarna. Anggapp>5, danteoremaberlakuuntukgraphdenganvertekskurangdari p. Menurutteorema2.4.4, Gmempunyaisebuahverteksvsedemikian hingga deg(v) 5. Dengan induksi, subgraph Gv berwarna 5. Asum-sikansatupewarnaan. Jikaverteksyangberelasidenganvmenggunakankurangdari lima warna maka v dapat warnai dengan salah satu warna sisa dan didapatkansebuahgraphGberwarna5.Sekarangkasusdenganvmasihberelasidengankeli-maverteks yangdiwarnaidenganwarnayangberbeda. Misalkanverteks-verteks,yangbergerakberlawanandenganarahjarumjamterhadapv,tersebutadalahv1, v2, . . . , v5dandiwarnai denganwarna-warnac1, c2, . . . , c5. Perhatikansub-graphHdari Gyangdibangunolehverteks-verteksberwarnac1danc3. Catatbahwa Hyang berbeda maka dapat ditukar warna c1 dan c3 dalam komponen yangmemuatv1tanpamerusakwarnaGv. Makav1danv3diwarnaidenganc3,danc1dapatdipilihuntukmewarnaiv1, dandidapatgraphberwarna5. Sebaliknya,anggap v1 dan v3 ada dalam komponen Hyang sama. Maka terdapat sebuah pathPdari v1kev3yangverteksnyadiwarnaidengansalahsatuc1atauc3. PathPbersama-samadenganedge {v, v1}dan {v, v3}membentuksebuahcycleCyangmenyertakanv2atauv4. KemudianperhatikansubgraphKyangdibangunolehverteks-verteksberwarnac2atauc4. KarenaCmenyertakanv2atauv4, tetapitidak keduanya, makaverteks v2danv4anggotadarikomponenKyangberbeda.Sehinggadapatditukarwarnac2danc4dalamkomponenyangmemuat v2tanpamerusak warna Gv. Maka v2 dan v4 diwarnai dengan c4, dan c2 dapat dipilih un-tuk mewarnai v dan didapatkan sebuah graph berwarna 5. Jadi G adalah berwarna5 dan teorema terbukti. 13Teoremaini telahdikenal sejakseabadyanglalumenyatakanbahwase-tiapgraphplanaradalahberwarna5. Dugaan, bahwahanyaempatwarnayangdiperlukan, akhirnya terbukti pada tahun 1976oleh Appel dan Haken yang meng-gunakan komputer untuk menganalisa hampir 2000graph yang melibatkan jutaankasus. Sekarang secara formal dinyatakan bahwa graph planar berwarna 4, dikenalsebagaiteoremaempatwarna.Teorema2.4.6Setiap graph planar (verteks) adalah berwarna 4. (teorema em-patwarna).Pembuktianteoremaempatwarnaini memerlukansebanyak2000lembarkerjadanbantuankomputer.14BAB3PEMBAHASANPadababsebelumnyatelahdijelaskanbahwamelakukanpewarnaandarisuatugraphadalahmasalahyangcukupmudah, salahsatucarayangdapatdi-gunakanadalahAlgoritmaWelch-Powell, tetapipewarnaansehinggadidapatkanbanyakwarnaminimum adalahcukupsulitkecuali dalamkasussederhana. Padababiniakandibahasbagaimanacaramelakukanpewarnaanpadabeberapajenisgraph yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya danbeberapa kasuspada graphsehinggadidapatkanbilangankromatiknya.3.1 BilanganKromatikPadaBeberapaGraphPadabagianini dibahasbagaimanacaramelakukanpewarnaanpadabe-berapajenisgraphsehinggadiperolehbilangankromatiknya.Teorema3.1.1AndaikanNadalahsuatuNullgraph. MakabilangankromatikNadalah1,(N)=1.Bukti:Karena graph adalah Nullgraph, maka graph tersebut tidak memiliki edgedaniniberartitidakadaverteksyangadjacentsehinggauntukpewarnaantepatpada Nhanya memerlukan satu warna, ambil warnanya 1, Maka bilangan kromatikN adalah 1, (N)=1. uv11uv21u1v3uv41Gambar3.1 : Pewarnaanpadanullgraphberorder4Teorema3.1.2AndaikanKadalahGraphkomplit berorderm. MakabilangankromatikKadalahm,(K)=m.Bukti: KarenaGraphadalahGraphKomplit K, makaseluruhvertekspadaKadalah adjacent. Dalam pewarnaan pada graph, verteks yang adjacent tidak bolehmemiliki warna yang sama. Oleh sebab itu seluruh verteks pada Kharus memilikiwarna yang berbeda. Jadi warna yang diperlukan untuk mewarnai graph Kadalahm karena Kberorderm. MakabilangankromatikKadalahm, (K)=m. uv11uv22uv33uv44uv55uv66```ZZZZZZZZZ```ZZZ``````.........~~~~~~~~~......... ~~~~~~~~~Gambar3.2 : Pewarnaanpadagraphkomplit berorder6Teorema3.1.3AndaikanCadalahsuatucycle, maka(i) BilangankromatikCadalah2,(C) = 2jikacycleberordergenap.(ii) BilangankromatikCadalah3,(C) = 3jikacycleberorderganjil.Bukti:(i) Karena Cadalah cycle berorder genap, maka Cdapatdiwarnai dengancaramenselang-selingi verteksyangadjacentdenganwarnayangberbeda,ambilwarnatersebut1dan2. Ambilsatuverteksv1dari G, laluwarnaivertekstersebutdengan1. Kemudianwarnaiverteksv2yangadjacentdenganver-teks v1denganwarna2. Warnaiverteks v3yang adjacent denganv2, tetapitidak adjacent dengan v1 dengan warna 1, begitu seterusnya terhadap vertekslainnya. JadibanyaknyaminimumwarnayangdiperlukanuntukmewarnaiCadalahdua,yaitu 1dan 2. Maka bilangankromatik Cadalah2, (C)=2.(ii) KarenaCadalahcycle berorderganjil. PewarnaanpadaCdapatdilakukandengancaramenselang-selingi verteks yang adjacent denganwarna yang16berbeda, ambil warna tersebut 1 dan 2, maka akan terdapat satu verteks yangtidak dapatdiwarnaidenganwarna1dan2,satuverteks tersebut harusdi-warnai dengan warna lain, ambil warnanya 3. Jadi banyaknya minimum war-na yang diperlukan untuk mewarnai Cadalah tiga. Maka Bilangan kromatikC adalah 3, (C)=3. uv11uv22uv31uv42uv71uv62uv51uv82Gambar3.3 : Pewarnaanpadacycle berorder8uv11uv22uv31uv42uv53ZZZ```Gambar3.4 : Pewarnaanpadacycle berorder5Teorema3.1.4AndaikanTadalahsebuahpohon, makabilangankromatiknyaadalah2,(T)=2.Bukti : KarenaT adalahsebuahpohon, makapewarnaanT dapat dilakukandenganmenselang-selingiverteksyangberbedadanadjacentdenganwarnayangberbeda, ambil warnanya 1 dan 2. Maka banyaknya warna yang dibutuhkan untukmewarnai graph Tadalah dua, yaitu 1 dan 2, (T)=2. uv1uv2uv3uv4uv5uv9uv3uv7u2v8````ZZZZ````ZZZZ1 2111v6111Gambar3.5 : Pewarnaanpadapohonberorder917Teorema3.1.5AndaikanGadalahsebuahGraph NonPlanarberorder n, n Njikaterdapat:(i) Graph KomplitKberorder terbesar m,3mn, mN,makabilangankro-matikG,(G)=m.(ii) Graph komplit tidak ada, tetapi terdapat Cycle berorder ganjil,maka bilangankromatikG,(G)=3.(iii) Graphkomplit dancycleberorderganjil tidakada, makabilangankromatikG,(G)=2.Bukti:(i) KarenadalamgraphGterdapat graphkomplit Kberorder m, 3mn,n, mN. Lakukanawal pewarnaanpadaK, makaberdasarkanteorema3.1.2, makabilangankromatikK, (K)=m. LanjutkanpewarnaanpadaGdenganacuanwarna yangdipakai adalahwarna pada K, berarti adampilihanwarna. Jadi banyaknyaminimumwarnayangdiperlukanuntukmewarnaiG,(G)=m.(ii) KarenapadaGtidakterdapatgraphkomplit,tetapi terdapatcycleberor-derganjil C2n1. Lakukanawal pewarnaanpadaC2n1, makaberdasarkanteorema3.1.3.(ii)makabilangankromatikC2n1, (C2n1)=3. LanjutkanpewarnaanpadaGdenganacuanwarnayangdipakai adalahwarnapadaC2n1, berarti ada 3 pilihan warna, ambil warna 1, 2, dan 3. Jadi banyaknyaminimum warnayangdiperlukanuntuk mewarnaiGadalah3,(G)=3.(iii) KarenadalamGtidakterdapatgraphkomplitdancycleganjil,makaakanterdapatduakemungkinan, yaituterdapat cycleberordergenapC2nataupohon.18(a) Lakukan awal pewarnaan pada C2n, maka berdasarkan teorema 3.1.3.(i)maka bilangan kromatik C2n, (C2n)=2. Lanjutkanpewarnaan padaGdengan acuan warna yang dipakai adalah warna pada C2n, berarti ada 2pilihanwarna,ambil warna1,dan2. Jadibanyaknyaminimum warnayangdiperlukanuntukmewarnai Gadalah2,yaitu 1,dan2. (G)=2(b) Karenagraphadalahpohon, makaberdasarkanteorema3.1.4, makabilangan kromatiknya adalah 2, (G)=2. uv11uv22uv31uv42uv73uv63uv54uv84````/////////ZZZZZZZ Z``` `............````````````////////////\\\\\\\\\Gambar3.6 : Graphyangmemiliki graphkomplit3.2 BilanganKromatikPadaBeberapaKasusGraphPadabagianini dibahasbagaimanacaramelakukanpewarnaanpadabe-berapakasusgraphsehinggadiperoleh bilangankromatiknya.Teorema3.2.1AndaikanGdanHadalahsuatucycle. JikaGdanHbersinggu-ngandisatuverteks, sehinggamembentukgraphA,maka(i) Bilangankromatik Aadalah2, (A)=2jikagraphAtidak terdapat cycleberorder ganjil.(ii) BilangankromatikAadalah3,(A)=3jikagraphAterdapatcycleberorderganjil.19Bukti :(i) KarenagraphAtidakterdapatcycle berorderganjil,makagraphGdanHadalahsuatucycle berordergenap. Pertama lakukanpewarnaanpadasalahsatu graph, ambil G. Berdasarkan teorema 3.1.3.(i) maka bilangan kromatikGadalah2, ambilwarnanya1dan2. KemudianlakukanpewarnaanpadagraphHdenganmenggunakanwarnapadagraphG. Lakukanawalpewar-naanpadagraphHdi verteks yangbersinggungandenganverteks digraphG. Karena Graph Hadalah cycle berorder genap maka bilangan kromatik Hadalah2. KarenauntukmewarnaiGraphAmemerlukanduawarna, makabilangankromatik Aadalah2,(A)=2.(ii) Karena graph A terdapat cycle berorder ganjil. Pertama lakukan pewarnaanpadacycleberorder ganjil tersebut. Berdasarkanteorema3.1.3.(ii) makabilangankromatikcycle tersebutadalah3,ambilwarnanya1,2dan3. Ke-mudianlakukanpewarnaanpadagraphyanglainnyadenganmenggunakanwarna 1, 2 dan 3, dengan awal pewarnaan pada verteks yang bersinggungan.Karenauntukmewarnai GraphAmemerlukantigawarna, makabilangankromatik A adalah 3, (A)=3. uv11uv22uv31uv42uv51uv61uv7uv822uv92u ZZZ ``````ZZZ```ZZZ ```ZZZGambar3.7 : PewarnaanpadaGraphATeorema3.2.2AndaikanGdanHadalahsuatucycle. JikaGdanHterpisahdan terhubungdengansebuahjembatandi satu verteksmasing-masingpada G danH,sehinggamembentukgraphB,maka(i) Bilangankromatik Badalah2,(B)=2jikaG danHadalah berorder genap.20(ii) Bilangankromatik B adalah 3, (B)=3 jika G atau H adalah berorder ganjil.Bukti :(i) KarenaGdanHadalahsuatucycleberordergenap. Pertamalakukanpe-warnaanpadasalahsatugraph, ambil G. Berdasarkanteorema3.1.3.(i)makabilangankromatikGadalah2, ambilwarnanya1dan2. KemudianlakukanpewarnaanpadaHdenganmenggunakanwarnapadaG. LakukanawalpewarnaanpadagraphHdiverteks padajembatan. KarenagraphHadalahcycleberordergenapmakabilangankromatikHadalah2. KarenauntukmewarnaigraphBmemerlukanduawarna,makabilangankromatikBadalah2,(B)=2.(ii) KarenaGatauHadalahsuatucycle berorder ganjil. Pertamalakukanpewarnaanpadagraphyangberorderganjil. Berdasarkanteorema3.1.3.(ii)maka bilangan kromatik graph tersebut adalah 3, ambil warnanya 1, 2 dan 3.Kemudian lakukan pewarnaan padagraph kedua dengan menggunakanwar-na padagraph pertama. Lakukanawal pewarnaanpada graphkedua di ver-teks pada jembatan. Karena untuk mewarnai graph B memerlukan tiga war-na, maka bilangankromatik Badalah3, (B)=3. uv11uv22uv3uv61uv42uv53uv813uv72ZZZ ```ZZZ ```Gambar3.8 : PewarnaanpadaGraphBTeorema3.2.3AndaikanCadalahsuatucycleberorder n. AndaikanpadacycletersebutditambahkanedgesehinggamenjadigraphD, makabilangankromatikCsamadenganbilangankromatikD21(i) Jika panjang path antara dua verteks yang terhubung oleh edge tersebutadalahn2adalahganjil dandegreesetiapverteksadalah3, dengannadalahgenapdanbukankelipatan4.(ii) Jika panjang path antara dua verteks yang terhubung oleh edge tersebutadalahn21 adalah ganjil dan degree setiap verteks adalah 3, dengan n adalahgenapdankelipatan4.Bukti :(i) Dik: Cadalahsuatucycleberorderndengannadalahgenapdanbukankelipatan 4,n N. Maka(C)=2.Adt:jika ditambahkan edge pada C sehingga menjadi graph D, maka (D)=2,apabila panjang path antara dua verteks yang terhubung edge tersebut adalahn2adalahganjil, dandegreesetiapverteks adalah3.Ambil sebuahcycle sesuaidenganyangdiketahui, lalutambahkanedgean-taraduaverteks yangpanjang pathkeduanyaadalahn2. Karenadegreeadalah3makasatuverteksterhubungolehtigaedge,yaitu: duaedgebe-rasaldaricycle awal,dansatuedgedaripenambahan. Setelahkeseluruhanpenambahanedgeterbentuksehinggamenjadi graphD, kemudianwarnaigraphDtersebut. Pewarnaandilakukandengancaramenselang-selingi ver-teks yang saling adjacent dengan warna yang berbeda, ambil warnanya 1 dan2,sehinggabanyaknya warnaminimum yangdiperlukanuntuk mewarnai Dadalah 2, yaitu: 1 dan 2, maka (D)=2. Karena (C)=2, maka (C)=(D).(ii) Dik : Cadalah suatucycle berorder n dengan n adalahgenap dan kelipatan4,n N. Maka(C)=2.Adt:jika ditambahkan edge pada C sehingga menjadi graph D, maka (D)=2,apabila panjang path antara dua verteks yang terhubung edge tersebut adalahn21adalahganjil, dandegreesetiapverteks adalah3.22Ambil sebuahcycle sesuaidenganyangdiketahui, lalutambahkanedgean-tara dua verteks yang panjang path antara dua verteks tersebut adalahn21,dimanadegreesetiapverteksadalah3. Setelahkeseluruhanpenambahanedge terbentuk sehinggamenjadi graphD,kemudian warnaigraphDterse-but. Pewarnaandilakukandengancaramenselang-selingiverteksyangsa-ling adjacent dengan warna yang berbeda, ambil warnanya 1 dan 2, sehinggabanyaknya warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai Dadalah dua,yaitu: 1dan2,(D)=2. Karena(C)=2. Maka(C)=(D). uv11uv22uv31uv42uv82uv71uv62uv91uv101uv52ZZZ``````ZZZ................. .~~~~~~~~~~~~~~~~~~ZZZZZZ ``````Gambar3.9 : PewarnaanpadagraphD23BAB4KESIMPULANDANSARAN4.1 KesimpulanPada bab-bab sebelumnya telah dibahas mengenai konsep graph, jenis-jenisgraph, pewarnaangraphdanbilangankromatikdanbagaimanacaramewarnaigraph,makadapatdisimpulkanbahwa:1. PewarnaanGraph adalah pemetaan warna-warnake verteks-verteks padaGsedemikian hingga tidak ada dua verteks yang berbeda dan adjacent memilikiwarnayangsama.2. BilanganKromatikdari graphadalahjumlahwarnaminimumyangdiper-lukanuntukmewarnaigraph.3. Algoritma Welch-Powelldapat digunakan untuk melakukan pewarnaan padagraph yang sederhana, artinya graph yang memiliki jumlah verteks dan edgeyangkecil.4. GraphPlanardapatdiwarnaidenganmenggunakanempatwarna.5. GraphNonPlanarGyangmemiliki :(i) GraphKomplitberorderm,makabilangankromatikG, (G) = m.(ii) GraphKomplit tidak ada, tetapi terdapatCycle berorder ganjil, makabilangankromatikG,(G) = 3.(iii) GraphKomplit danCycleberorder ganjil tidakada, makabilangankromatikG,(G) = 2.4.2 SaranDalam melakukan pewarnaan pada graph untuk mendapatkan bilangan kro-matik, diharapkanterlebihdahuluselidiki apakahgraphplanarataugraphnonplanar. Jika graphadalah non planar selidiki apakahterdapat graph komplit ataucycleorder ganjil atautidakadakeduanya, makabilangankromatiknyadapatditentukankemudian lakukanpewarnaanmenggunakanwarnasebanyak bilangankromatiknya.25DAFTARPUSTAKA[1] Bondy, J. A. dan Murty, U. S. R, Graph Theory With Aplications, The Macmil-lanPressLtd,1976.[2] Chartrand,G.danLesniak, L.,Graphs andDigraphs, Edisi Kedua,WasworthandBrooks/ColeAdvancedBooksandSoftware,California,1986.[3] Deo, N. GraphTheoryWithApplications Toengineering andComputersci-ence,Prentice HallofIndiaPrivateLimited, NewDelhi-110001,1980.[4] Harary,F.,GraphTheory,Addison-WesleyPublishingCompanyInc,Univer-sity ofMichigan, 1969.[5] Lipschutz, Seymor danlipson, Marc Lars, Seri PenyelesaianSoal Schaum:MatematikaDiskrit 2,SalembaTeknik, Jakarta,2001.26