SEMINARSKI RAD TEMA:

ZLATNI PRESEK STUDENT: PROFESOR: DRAGANA ZORAN LUČIĆ PEŠIĆ 80/98.

1

SADRZAJ

ANALIZA PRAKTIČNE PRIMENE ZLATNOG PRESEKA 3 DELJENJE BROJA PO ZLATNOM PRESEKU 6 PODELA DUZI PO ZLATNOM PRESEKU 7 KONSTRUKCIJA PRAVOUGAONIKA PO ZLATNOM PRESEKU 10 DEKOMPOZICIJA PRAVOUGAONIKA 13 PRIMENA ZLATNOG PRESEKA U KONSTRUKCIJI PETOUGLA 14 KONSTRUKCIJA DESETOUGLA PO ZLATNOM PRESEKU 16 ZLATNI PRESEK KAO OSNOVNI ODNOS U GEOMETRIJI KRUGA 17 ODSTUPANJA OD ZLATNOG PRESEKA 18 ZLATNI PRESEK KAO MERA ASIMETRIJE 19 ZLATNI PRESEK PRIMENJEN NA GRčKOM HRAMU 19 ZLATNI PRESEK U VERTIKALNOJ PODELI GRAĐEVINA 20 OSNOVE GRAĐEVINA IZVEDENE PO ZLATNOM PRESEKU 21 FASADE GRAĐEVINA REšENE PO ZLATNOM PRESEKU 21 PRIMENE ZLATNOG PRESEKA NA NAšIM CRKVENIM GRA\EVINAMA 22 ZAKLJUČAK 24

2

ANALIZA TEORIJSKO-PRAKTIČNE PRIMENE ZLATNOG PRESEKA Osnovni zadatak teorije proporcija sadržan je u stvaranju vizuelnog rada i ravnoteže. čovek je, da bi zadovoljio svoje potrebe izrađivao, od davnina, proizvode i predmete koji, osim funkcije i namene, moraju biti u određenoj razmeri, pre svega u odnosu na njega kao njihovog korisnika. Tako je telo čoveka, kao i njegovi delovi, postalo osnova za dimenzionisanje prostora, nameštaja i upotrebnih predmeta. Bitne proporcije uočene su na glavi čoveka,širina i visina i odnos pojedinih detalja glave i lica među sobom. Tako je sredina glave, po visini, određena horizontalnom linijom koja prolazi po sredini očiju, a slično je analizirano i sa ostalim detaljima. Zatim je niz umetnika utvrđivao koliko puta se glava čoveka sadrži u visini njegovog tela. K.Belanže je visinu tela podelio na osam delova (glava). Poliklet je podelio telo na sedam delova, Lisip na osam, istovetno i Mikelanđelo, a Vitruvije i Leonardo da Vinči na sedam. Kod starih Egipćana zabeležena je podela na devetnaest delova, čije su dužine odgovarale dužini srednjih prstiju. (1-31,32) Proporcije širine tela postavio je Vitruvije pokazujući da se oko njega može opisati krug čiji se centar nalazi u pupku, pod uslovom da telo leži sa raširenim rukama i nogama. (1-32) Leonardo je ovaj postupak izmenio na taj način što je ruke raširio u pravoj liniji, a noge skupio, tako da je kvadrat opisan oko tela imao presek dijagonala nešto iznad pubisa, znači niže od pupka. (1-32,33) U mnogim slučajevima korišćene su , kao merne jedinice, naročito u graditeljstvu, stopa (fut) i lakat, mada je on bio vrlo nepouzdan : u Nemačkoj bilo je 136 vrsti lakata različitih dužina, dok su dužine stopa, u raznim zemljama, bile između 25 i 34 cm, u Engleskoj 30,5 cm , Japanu 30,3 cm, u Kini 31,8 cm. (2-25,26,27) Znatno kasnije, Cajsung je (XIX vek) proporcije zasnivao na zlatnom preseku. Međutim, M.Borisavljević je, četrdesetih godina XX veka, kritikovao Cajsunga, Fehnera, Valerija i druge, koji su u zlatnom preseku gledali jedinu lepotu forme (3-37) Najzad je francuski arhitekta Korbizje uveo 1945. godine u teoriju i praksu sistem proporcija zasnovan na zlatnom preseku, primenjen na čoveku, kao i modularni sistem - modulor. (3-207) H.Vesling je ukazao 1941. godine na neophodnost primene zakona u graditeljstvu, uz ograničenje, da je i najlepša proporcija samo jedno od sredstava u oblikovanju. Ovim je, sasvim sažeto, naznačeno da je čovek prihvaćen kao mera svih stvari i temelj proporcija svake umetnosti uopšte. Nema pouzdanih podataka da su egipatski graditelji i umetnici poznavali princip zlatnog preseka. Egipatski sistem proporcija zasnivao se na kvadratu i njegovim transformacijama u pravougaonike posredstvom dijagonala. Tako je dijagonala kvadrata 2 postala duža strana novog pravougaonika (1 : 2 ), njegova dijagonala 3 duža stranica novog pravougaonika (1 : 3 ) i tako redom, do pravougaonika čija je dijagonala 5 , dobijenog udvostručavanjem osnovnog kvadrata čija je dijagonala 2 . (3-26,27)

3

Kvadrat je tako postao mera za površinu, a proporcionisanje je obavljano u kombinaciji sa sistemom dijagonala. Pored ovih geometrijskih likova Egipćani su koristili i " sveti trougao ", čije su stranice izražene brojevima 3,4 i 5. (3-27) Veliki napredak načinili su stari Grci stremeći idealnom liku čoveka u umetnosti, pa su i mere hramova zasnivali na antropomorfnim proporcijama, na usklađivanju graditeljskih mera sa merama čovečjeg tela. Pitagorejci su, slično Egipćanima, otkrili postojanje nesamerljive veličine, na primeru kvadrata, tj. odnosu njegove stranice i dijagonale. Zlatni presek bio je osnova grčkih antropomorfnih proporcija u arhitekturi. Platon je pisao : " da se dve stvari na lep način sjedine bez nečeg trećeg. Između njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se može najbolje izvršiti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja, srednji odnosi prema najmanjem kao najveći prema srednjem, i obrnuto, najmanji prema srednjem kao srednji prema najvećem, onda će poslednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i poslednje, sve je dakle, nužno isto, a budući da je isto čini jedno jedino ". (2-30) Opis pristaje, kao što se uočava, pojmu zlatnog preseka. O zlatnom preseku govorio je i Platonov učenik Eudoksije, ali je prvu jasnu definiciju izneo Euklid (oko 300.god.pre nove ere) u svojim "Elementima " . Zlatni presek primenjen je na najlepšim grčkim hramovima, posebno dorskim, na celom gabaritu i detaljima. Nema podataka da su, znatno kasnije, poznavali proporcije zlatnog preseka Vitruvije i Alberti. Mnogi autori uočavali su te proporcije u prirodi, u biljnim i životinjskim oblicima, tako da su botaničari smatrali da je zlatni presek " osnovni niz rasporeda lišća ", dok su neki to zapažali na mnogim primerima u organskom svetu. Prvi astronom koji je ukazao na zlatni presek bio je Kepler i nazivao ga je " božanski rez ". Tako je on delio dužinu po spoljnom i srednjem razmeru i to označavao "proporcionalnim deljenjem ", što se smatralo prikladnijim od zlatnog preseka koji su često nazivali nekom vrstom alhemije. Pojedini autori taj rez su nazivali i " proporcionalno nizanje " analogno aritmetičkom i geometrijskom nizu. Proporcionalno nizanje primenio je V.šen-Vildeneg na primeru ruke čoveka. Najveća, sačuvana, Keopsova piramida ( oko 3000 god.pre nove ere ) pokazuje prilično tačne odnose proporcionalnog nizanja i smatra se nekom vrstom kosmičkog planetarijuma. Njena tačno izračunata stranica prema zlatnom preseku samo je 6,3 cm veća od 230,364 m ili 440 lakata. Proporcije ove piramide iskazao je Kepler konstruišući pravougli trougao sa stranicama AC (major)=1000,AB/2 (minor)=618,BC=786,1 i ova veličina je srednja proporcionala majora i minora :

4

BC= 6181000 ⋅ =786,1

Uglu CAD=51,83 odgovara sin(0,7861) što je približno π/4=0,7854. Uglu ACD=38,16 odgovara sin(0,618) i oba ugla odgovaraju uglovima piramide. Odnos π/4=0,7854 može poslužiti kao osnova za merenje kružne linije, 2rñπ=4ñ440 lakata, odnosno r=280,25 lakata što skoro odgovara stvarnoj visini piramide od 280 lakata (148,208 m). (2-33) Ako se obim osnove piramide 931,22 m (4ñ440 lakata) podeli dvostrukom visinom biće 931,22/(2ñ148,208)=3,1416 što odgovara broju π. Izraženo u laktovima (4ñ440)/(2ñ280)=3,1428 pa je razlika 3,1428 - 3,1416=0,0012. Kako su Egipćani računali π kao količnik 256/81=3,16 onda je to vrednost 10 , pa se može zaključiti da su proporcije piramide bile sredine između zlatnog preseka i vrednosti 10 . Kao što se uočava, jedinica mere, u pokazanom primeru, bila je lakat, ali se na drugim prostorima primenjivala i stopa, šaka i palac, kako navodi Vitruvije. Kako navodi B.Nestorović zlatni presek primenjuje se " retko u proporcijama celina, već u odnosima delova, jer ni dugi blokovi, ni visoki oblakoderi nisu u odnosima bliskim 8 : 5 (1,60), ali se ti odnosi mogu u njima sadržati ". (5-294,296,298) Svaki oblik moguće je raščlaniti određenim proporcijama zasnovanim na zakonima geometrije. Cela arhitektura svodi se, u stvari na geometriju. Svako delo deluje, između ostalog, svojim oblikom u celini ili u delovima koji su u nekom merljivom odnosu prema glavnom delu ili jezgru kompozicije.

5

Geometrijski oblici u obliku kocke ili poliedra čine osnovu trodimenzionanih kompozicija u graditeljstvu. Zlatan presek, kao što je navedeno, javlja se u mnogim prirodnim oblicima, kao opšti zakon, na primer u kristalima, biljnim plodovima, cvetovima biljaka i drugim, tako što se njihovi delovi ili članovi odnose kao 1 : 0,618. N.Brunov je zastupao gledište da su klasične grčke građevine zasnovane na iracionalnim brojevima, posebno zlatnom preseku. Za teoriju primene zlatnog preseka u graditeljstvu značajni su radovi Zoltovskog, Hembidža i Mesela. (3-37,38,39,40) Zoltovski je pored odnosa zlatnog preseka (0,618 : 0,382) uveo " funkciju zlatnog preseka " (0,528 : 0,472). Hembidž je smatrao da se ceo rast organskog sveta odvija prema zlatnom preseku. On od poznatih pravougaonika izdvaja one sa dijagonalama 2 , 3 , 5 . (3-43) Mesel je uveo pojam empirijskog određivanja proporcija posmatranjem arhitekture i vajarstva. (3-45,46) Proveravajući vrednost zlatnog preseka Fehner je 1876. godine predočio posmatračima niz pravougaonika i pokazalo se da se najveći broj njih opredelio za pravougaonik konstruisan prema zlatnom preseku. Odnos njegovih stranica bio je 21 : 34 (0,6176). (2-34) (13-115) DELJENJE BROJA PO ZLATNOM PRESEKU U ovom postupku kvadratu nekog broja doda se kvadrat njegove polovine pa se zatim ovaji zbir korenuje. Od dobijenog rezultata oduzme se polovina broja koji se deli i ostatak daje major tog broja

( )15nn5nnnn22

2 −=−=−⎟⎞

⎜⎛+

22422 ⎠⎝

Na primer

0,6182

1,2361,23612,23615112 22

=

=−=−=−+

tako da je minor 1-0,618=0,382. Dalje je

( ) 0,618.2

12,2362

1515n2n

=−

=−

=− (2-35)

PODELA DUŽI PO ZLATNOM PRESEKU

6

Euklid je izveo podelu duži tako da je površina pravougaonika sastavljena od te duži i jednog odsečka jednaka površini kvadrata drugog odsečka i dao je formulu

M=2a

2aa

22 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

Ako je AB=a i BC=a/2 biće AC= 52a

2aa

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ .Iz CH=BC sledi da je

CHACAH −= =2a5

2a

−

AH= ( )152a

−

Za a=1 AH=M= 0,6182

15=

− (2-35)

Prema Euklidu

)( 2MmmM =×+ ili M

mMmM +

= (M-major, m-minor)

što odgovara definiciji zlatnog preseka

deo ve}idu` cela

deo manjideo ve}i

= .

Prema 11.stavu II knjige Euklidovih Elemenata konstrukcija zlatnog preseka je sledeća: Konstruiše se kvadrat ABCD i stranica AD se prepolovi tačkom E na jednake delove AE=DE. Produži se DA do Z i odmeri EZ=EB. Zatim se konstruiše kvadrat na AQ i produži HQ do tačke K. Na taj način duž AB podeljena je na odsečke AQ i QB prema zlatnom preseku.

7

Na sledećem crtežu prikazana je podela duži po zlatnom preseku pri čemu je potrebno konstruisati pravougli trougao čije su katete 1 i 1/2 odnosno AB=1 i BC=AB/2 (2-34)

Tada je AC= 25 i AD=

25 -

21 , jer je CD=BC=

21 i tačka D pripada AC. Dalje je AD=AM,

odnosno AM= 0,6182

15=

− , a BM=1Ù0,618=0,382.

(3-52,53)

8

Usvojeno je da se izraz 1,6182

15=

+ označava sa ∅ i da predstavlja merni broj koji

izražava aritmetičku podelu po zlatnom preseku. Dalje je

2

15 + +1=2,618=1+1,618=1+∅ ili ∅2 jer je 1,6182=2,618

Takođe je

2

15 + -1=2

15 − =0,618=1/∅ jer je 0,6181,618

1= .

često se zlatan presek definiše kao sistem ∅. Obeležavanje zlatnog preseka iz prethodnog primera prikazano je na slikama :

Prema zlatnom preseku mogućno je neprekidno deljenje duži - neprekidna podela. Isto tako vrednost ∅=1,618 pogodna je za izračunavanje nove dužine jer je L=1,618 l=∅l

KONSTRUKCIJA PRAVOUGAONIKA PO ZLATNOM PRESEKU Konstrukcija se izvodi tako što se odsečak M uzme za kraću stranicu novog pravougaonika (BCDE) i tada će stranice tog pravougaonika biti u odnosu (m+M) : M.(2-34) Ako se hipotenuza AC pravouglog trougla ABC produži do tačke G,tako da je DG paralelno sa BC dobija se novi pravougaonik CDGF koji je sastavljen od dva kvadrata CDIH I FGIH ili pravougaonik Mñ2M. Pod uslovom da je M=1 biće odnos M : 2M=1 : 2.

9

Tada je CG= 2,236521 22 ==+ . Znači da su u trouglu CDG stranice u odnosu 1 : 2 : 5 ili 1 : 2 : 2,236. Kako je

AC=25

211

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

MC=AC-AM= 0,6182

1521

25

=−

=−

CD=MC=0.618 stranice pravougaonika BCDE su 1 i 0,618 , a njegova površina je 1ñ0,618=0,618. Odnosi stranica su

0,618

10,618

BCCD

1,6180,618

1CDBC

==

==

Uopšte je Mm

MMm

+= .

Moguće je konstruisati pravougaonik po zlatnom preseku koristeći pravougli trougao ABC gde je AB=1/2 i BC=1 (3-52) (14-95)

10

Kako je ranije AC=25 onda je

BE=BA+AE=BA+AC= 1,61825

21AC

21

=+=+ , a pravougaonik BCDE

biće BCñBE=1ñ1,618=1,618 a odnosi stranica

1,618

11,618

BCBE

0,6181,618

1BEBC

==

==

Ovde treba pomenuti da su Rimljani koristili za praktično proporcionisanje tzv. pompejski šestar. često je u praksi korišćen pravougaonik 1:5 i za njega se može ustanoviti veza sa zlatnim presekom koristeći aritmetičku sredinu

2

15 + =1,618=∅

Dati pravougaonik 51⋅ sastavljen je iz ∅+ 1/∅, tj.1,618+0,618 a kako je 1,618+0,618=2,236= 5 onda je reč o pravougaoniku sastavljenom iz dva pravougaonika zlatnog preseka.

11

Jedan drugi slučaj konstrukcije pravougaonika po zlatnom preseku se izvodi na sledeći način. (3-100) (6-27) Za konstrukciju koristi se kvadrat ABCD čija stranica ima dužinu 1. Pri tom je

AE= 211

21AD

21

=⋅=

25AEABBE 22 =+=

EFEB , EFDEDF =+=

==+

=+=+= 1,6182

15521

21EBDEDF ∅

Pravougaonik DFGC FGñFD=ABñFD=1ñ∅ Odnosi stranica

==1

1,618FGFD

∅/1=∅

==1,618

1FDFG 1/∅=0,618.

12

Može se razmotriti i veza broja 5 i broja 0,618 odnosom 0,618ñ x 5 , gde je

3,6180,6182,236

0,6185x === ili

+=+= 12,6181x ∅2 jer je ∅2=1,6182=2,618.

Veličina x može se izraziti i kao 0,6181,6181x

2,6181x++=

+=

+=1x ∅+1/∅ DEKOMPOZICIJA PRAVOUGAONIKA

Za pravougaonik konstruisan po zlatnom preseku 1 : 1,618=1,618 je

1,6181

1,618CBDC

FGEF

=== i 0,6181,618

1DCCB

EFFG

===

tako da je svaki pravougaonik konstruisan po zlatnom preseku posredstvom dijagonale osnovnog pravougaonika u proporciji zlatnog preseka. Takođe je i pravougaonik BCHI u proporciji zlatnog preseka jer je iz odnosa pravougaonika ABCD i BCHI

1BI

1,6181

= odnosno 0,618.1,618

1BI ==

PRIMENE ZLATNOG PRESEKA U KONSTRUKCIJI PRAVILNOG PETOUGLA

13

Prema 11. stavu IV knjige Euklidovih Elemenata konstrukcija pravilnog petougla izvodi se pomoću ravnokrakog trougla tako da su oba njegova dva nalegla ugla na osnovici pojedinačno dva puta veća od naspramnog ugla pri vrhu trougla. Osnovica tog trougla je i stranica pravilnog petougla upisanog u krug. (15)

Konstrukcija pravilnog petougla obavlja se na sledeći način : konstruiše se pravougli trougao ABF ( BF=AB/2 ) čija je stranica AB ujedno i stranica željenog petougla. Hipotenuza AF podeli se tačkom N po zlatnom preseku i dobije AN (major) kojim se, kao poluprečnikom, opiše krug sa centrom u A do preseka sa pravom koja je produžetak stranice AB u tački L. Teme E petougla dobija se presekom krugova čiji su poluprečnici BL sa centrom u B i AB sa centrom u A. Teme D biće na preseku kružnice poluprečnika BL sa centrom u B i kružnice poluprečnika EA sa centrom u E. Teme C dobija se na preseku kruga poluprečnika AD sa centrom u A i kruga poluprečnika DE sa centrom u D. Proporcije zlatnog preseka na pravilnom petouglu mogu se uočiti na priloženom crtežu. Korišćena su dva pravougla trougla ABC i A' B' C'.

14

Iz trougla BCE, sa stranicom BC=a i periferijskim uglom CEB= , oko kojeg je opisan krug sa poluprečnikom OB, sledi, na osnovu sinusne teoreme, da je

036

a=2rñsin 36¤=1,175ñr. Razmotrimo slučaj kada je r=5,00. Tada je a=1,175ñ5,00=5,877.

Iz pomoćnog trougla ABC, analogno izrazu AC=2

5a (na strani 7), imamo da je

6,572

55,877=

⋅ AC=

Kako je BC=AB/2=2,938 to je AD=ACÙCD=ACÙBC=6,57Ù2,938=3,632. AD=M=3,632 i m=ABÙAD=5,877Ù3,632=2,245 , a odnos

1,6182,2453,632

mM

== .

Stranici B'A' pomoćnog trougla A'B'C' odgovara visina BG trougla DEB. Ugao DBE je jednak 36¤.

B'A'=BG= 9,0440,324925,877

tg182a

0 =⋅

=⋅

.

Prema strani 9, podelom stranice A'B' trougla A'B'C' na odsečke 0,618ñA'B' i 0,382ñA'B' biće

15

M'=0,618ñ9,044=5,589 m'=0,382ñ9,044=3,454 tako da je odnos

1,6183,4545,589

m'M'

==

što odgovara podeli po zlatnom preseku. KONSTRUKCIJA PRAVILNOG DESETOUGLA PO ZLATNOM PRESEKU Ovu konstrukciju moguće je izvesti koristeći pravougli trougao ABO u kojem je AB=AO/2. Iz podele duži AO=r po zlatnom preseku određuje se duž NO=a, koja je ujedno i stranica traženog pravilnog desetougla. (7-29)

O'N'=ON

Razmotrimo slučaj za r=5,00. Kako je OB=25r biće

OB= 5,592

2,2365=

⋅

3,092

5,005,592rOBABOB =−=−=−=OM .

Kako je a=ON=OM=3,09 to je AN=rÙa=5,00Ù3,09=1,91.

Odnos 1,6181,913,09

ANON

== što znači da je desetougao konstruisan po zlatnom presku.

16

ZLATNI PRESEK KAO OSNOVNI ODNOS U GEOMETRIJI KRUGA Petougao ima stranicu jednaku dijagonali BG pravougaonika sa stranama jednakim poluprečniku BH i njegovom majoru M1. Desetougao ima stranicu jednaku minoru m=DE duži CD, zlatnog pravougaonika ABCD. (2-39)

Dokaz : pravougaonik ABCD konstruisan je u proporciji zlatnog preseka, a njegove stranice BC i DC podeljene su, takođe, po zlatnom preseku na odsečke M i m, i M1 i m1, tako da je formiran pravougaonik BFGH u kojem je dijagonala BG -stranica petougla, odsečak ED stranica desetougla i odsečak BH stranica šestougla, a ujedno i poluprečnik kružnice sa centrom u tački H. Dijagonala BI pravougaonika BFIA je stranica jednakostraničnog trougla upisanog u ovaj krug. Tako je geometrija kruga bila osnova za projektovanje srednjovekovnih građevina. ODSTUPANJA OD ZLATNOG PRESEKA Treba napomenuti da se u praksi odstupalo od zlatnog preseka tako što se umesto broja 1,618 koristio odnos 8 : 5=1,6, a to nije ni bilo suviše bitno, jer se i prilikom građenja odstupalo od projektnih mera iz različitih razloga. Ipak se odnos 5 : 8=0,625 bolje uklapao u niz 5,25,125,250,375,500,625...jer je uspostavljena veza sa decimalnim sistemom, na primer (5:8)*100=625, (5:8)*800=500,(5:8)*600=375,(5:8)*400=250,(5:8)*200=125,...Pomenute vrednosti odgovaraju Lame-ovom nizu 125,250,375,625... (2-35,36,37)

17

Odnos 5 : 8 pogodan je kao što se uočava iz sledećeg

62554 = 10085625 i ⋅= kao i

200125

258255

=⋅⋅ i redom ,...,,,

1000625

800500

500375

400250

gde su važni odnosi ,500375

1000625 jer se u njima major i minor podudaraju sa članovima niza

koji počinje sa brojem 125, važnim u građevinskoj praksi. Naknadno je dokazano da se broj 625 izražen kao 625 mm=125/2 cm poklapa sa laktom koji se koristio u Danskoj,Pruskoj i Rajnskoj oblasti prilikom izgradnje gotskih crkava. Broj 5 smatran je i kao prabroj u kojem su Pitagorejci videli kroz petougao simbol njihovog udruživanja. Da bi se ova teorijska razmatranja bolje razumela i uvideo njihov značaj ukazaće se na neke primere primene proporcije zlatnog preseka. B.Nestorović navodi da su neki teoretičari arhitekture smatrali optimalnim udaljenjem objekta sa gledišta najpovoljnije vidljivosti i vizuelne percepcije ako je odnos stranica objekta a : b=1 : 1,618 odnosno a : b=1 : ∅. (5-279)

Prema M.Borisavljeviću, polje vida predstavlja elipsa upisana u pravougaonik konstruisan po zlatnom preseku. (8-187)

ZLATNI PRESEK KAO MERA ASIMETRIJE Takođe, pokazuje B.Nestorović da se asimetrična kompozicija može izvesti pomoću zlatnog preseka. (5-279)

18

ZLATNI PRESEK PRIMENJEN NA GRČKOM HRAMU Složeniji je primer tipičnog grčkog hrama (osnove i preseka) koji je konstruisan primenom zlatnog preseka. (7-30)

ZLATNI PRESEK U VERTIKALNOJ PODELI GRAĐEVINA Na vili Skazi primenjen je zlatni presek u vertikalnoj podeli prizemlja i sprata i u fasadi koja odgovara pravougaoniku zlatnog preseka. (8-sl.20)

19

Slično, vertikalno raščlanjivanje primenjeno je na crkvi Madona di Sanbiado u Montepulćanu. U prvoj podeli obavljeno je odvajanje kupolnog dela od osnovne mase. Zatim je izvršena podela kupolnog dela i prizemnog dela od sprata. Uočljiva je podela sprata sa naglaskom na timpanonu. (8-sl.15)

OSNOVE GRAĐEVINA IZVEDENE PO ZLATNOM PRESEKU Osnova crkve u Il Džezu u Rimu čini pravougaonik konstruisan po zlatnom preseku sa neznatnim odstupanjem. Istovremeno je i centar kupole proporcionisan po istom principu. (10-72)

20

Izvesna odstupanja mogu se protumačiti nepodudaranjem projekta sa izvedenim objektom ali je i u tom slučaju jasno da je korišćena podela po zlatnom preseku. FASADE GRAĐEVINA IZVEDENE PO ZLATNOM PRESEKU Fasada zgrade Zgrafito u Firenci odgovara pravougaoniku konstruisanom po zlatnom preseku, a ta je podela vidljiva u postavljanju ulaznog portala i odvajanju prizemnog dela zgrade i završnog sprata. (9-sl.30)

Interesantan primer je primena zlatnog preseka na slici Raspeće Peruđina, gde je središni otvor, sa lučnim završetkom u tzv.zlatnom pravougaoniku. Pri tom je i lučni elemenat tačno na podeli duži u odnosu M : m. (9-sl.315)

21

PRIMENA ZLATNOG PRESEKA NA NAŠIM CRKVENIM GRA\EVINAMA Na osnovi crkve manastira Banje kod Priboja može se uočiti da je u obliku pravougaonika 1 : 1,618. (11-143)

Još jedan primer je na osnovi crkve manastira Psače, na kojoj je očevidna primena zlatnog preseka na glavnom prostoru izuzimajući oltarsku apsidu. (11-162)

22

PSAČA (11-162)

DRENČA I NOVA PAVLICA (12-146) Na ostacima temelja stare crkve u Trepči zlatni presek može se uočiti u unutrašnjem delu, unutar pilastera. (11-399)

23

Kod bazilike u Caričinom gradu, južno od Akropolja, primenjen je zlatni presek na narteksu sa tremom. Njihova zajednička dužina dobija se obrtanjem dijagonale polovine kvadrata naosa.

AB=1 i EB=AB/2, pa je EC=25

211

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ .

2

1525

21EFAE AFi EFEC +

=+=+== . (6-50,tablicaXXVI)

ZAKLJUČAK Primeri koji su predočeni pokazuju da je zlatni presek, kao proporcijski sistem, korišćen i u praksi, nekada tačno a ponekad sa izvesnim odstupanjem. U svakom slučaju, kada je u pitanju tzv.zlatni pravougaonik, bitno je i kod takvih odstupanja da je kod graditelja bio prisutan osećaj za dobru proporciju. U nekim primerima, koji ovde nisu prikazani, proporcionisanje je vršeno i na drugi način, ali u detaljima je mogla da se otkrije primena zlatnog preseka. Ograničen obim ovog rada nije dopustio brojniju analizu primene zlatnog preseka, ali je pokazano da se on primenjivao i da ga je moguće primeniti u mnogim slučajevima. Zlatni presek ne treba shvatit kao kanon, ali će uvek moći da olakša nedoumice u zasnivanju proporcijskih problema, a moguća lutanja stvaraoca svešće na minimum. Međutim, dobro je da u proizvoljnosti projektovanja postoji neka mera vrednosti koja je prihvatljiva za najširi krug korisnika. Znači da zlatan presek, uz najšire matematičko i umetničko obrazovanje, može neizmerno da koristi svakom stvaraocu.

24

25

LITERATURA

1. Pavle Vasić, Linije i oblici, "NOLIT", Beograd,1956. 2. E.Neufert, Pravila građevinarstva, "Građevinska knjiga", Beograd,1952. 3. Đorđe Petrović, Teoretičari proporcija, " Vuk Karadžić", Beograd,1967. 4. Euklid, Elementi, "Naučna knjiga'', Beograd,1957. 5. B.Nestorović, Uvod u arhitekturu, "Zavod za izd.udžbenika SRS",Beograd,1966. 6. Nevenka Spremo-Petrović, Proporcijski odnosi u bazilikama ilirske prefekture,

"Arheološki institut", Beograd,1971. 7. E.Neufert, Bau-entwurfslehre, Berlin-Tempelhof,1962. 8. M.Borisavljević, Problem proporcije u arhitekturi, "Umetnički pregled",6 i 7, juni i

juli 1940. 9. skripte iz istorije umetnosti, Fakultet primenjenih umetnosti, Beograd. 10. Vseobščaja istorija arhitekturi, Gosuizdat, Moskva,1963. 11. A.Deroko, arhitektura u srednjevekovnoj Srbiji, "Naučna knjiga", Beograd, 1962. 12. Đorđe Petrović, Kompozicija arhitektonskih oblika, "Naučna knjiga",Beograd,1972. 13. M.Borisavljević, Problem asimetrije u arhitekturi, "Umetnički pregled", 4 i 5, april i

maj 1940, Beograd. 14. F.Mesaroš, Tipografsko oblikovanje, "Viša grafička škola", Zagreb, 1968. 15. Mapa za nacrtnu geometriju, "školska knjiga", Zagreb,1963.