PRVA KRAGUJEVAČKA GIMNAZIJA

M A T U R S K I R A D I Z M A T E M A T I K E

MENELAJEVA, ČEVIJEVA I PTOLOMEJEVA TEOREMA

UČENIK: MENTOR:

Viktorija Stojanović IVsm Jasmina Micić

Kragujevac, jun 2016.

1

SADRŽAJ

1 Uvod……………………………………………………………………………........................3

2 Menelajeva teorema…………………………………………………….……..........................4

2.1. Dokaz preko sličnosti trouglova…………………………………………………………5

2.2. Trigonometrijski dokaz…………………………………………………………………..6

3 Čevijeva teorema……………………………………………………………............................7

3.1.Dokaz preko sličnosti trouglova………………………………………………………….8

3.2. Trigonometrijski dokaz…………………………………………………………………..9

4 Ptolomejeva teorema…………………………………………...……………………………10

4.1. Dokaz preko sličnosti trouglova………………………………………………………..11

4.2. Trigonometrijski dokaz…………………………………………………………………12

5 Primene……………………………………………………………………………………..…13

6 Zaključak……………………………………………………………………………………..18

7 Literatura……………………………………………………………………………………..19

2

1

UVOD

O matematici i njenoj ulozi u razvoju čovečanstva puno je toga rečeno i zapisano. Geometrija

kao prva praktična primena matematičkih znanja bila je razvijena i kod drevnih civilizacija.

Arabljani su sva znanja prikupljali i dopunjavali, da bi ih kasnije zapadna civilizacija otkrila i

time započela neprekidnu matematičku revoluciju. Značajno mesto u matematici zauzimaju

Menelajeva, Čevijeva i Ptolomejeva teorema, te je ovaj rad posvećen njihovom izučavanju.

Imaju veliku primenu u geometriji, gde se koriste u dokazivanju složenijih problema. Često se

pojavljuju i na takmičenjima iz matematike, što je i razlog da se ova oblast detaljnije razmotri. U

delu matematičara Menelaja iz Aleksandrije, Sphaerica, koje je njegovo jedino sačuvano delo,

pored astronomskih proračuna, nalazi se i dokaz teoreme koju danas znamo kao Menelajeva

teorema. Iako se zna veoma malo o njegovom životu, smatra se da je ovu teoremu Menelaj prvi

dokazao. Kasnije je matematičar Đovani Čeva nezavisno od njega došao do iste teoreme, ali je

takođe definisao Čevijevu teoremu, veoma sličnu Menelajevoj. Dok Menelajeva i Čevijeva

teorema važe za trouglove, veoma je značajna i Ptolomejeva teorema koja ima primenu na

tetivnim četvorouglovima. Svaka od ovih teorema u ovom radu dokazana je na dva načina -

preko sličnosti trouglova i trigonometrije. Prikazani su i primeri gde se one mogu upotrebiti. Cilj

rada je da ukaže na primenu i zastupljenost ovih teorema i produbi već ranije stečena znanja iz

ove oblasti.

Ključne reči: Menelajeva teorema, Čevijeva teorema, Ptolomejeva teorema

3

2

MENELAJEVA TEOREMA

Neka su P, Q, R tačke pravih BC, CA, AB trougla ABC. Tada su tačke P, Q, R kolinearne ako i samo ako važi

BPPC

∙ CQQA

∙ ARRB

=1

4

2.1.

Dokaz (sličnost trouglova)

Spustimo normale iz temena B na duž PR, iz temena A na duž QR, iz temena C na produžetak

duži PQ. Neka su to tačke redom M, N, K (slika1). Možemo uočiti sledeće sličnosti trouglova:

∆ PKC ∆ PMB => BPPC

=MBKC

∆ ANQ ∆ QKC => CQQA

= KCAN

∆ RMB ∆ ANR => ARRB

= ANMB

Kada pomnožimo date jednakosti dobijamo BPPC

∙ CQQA

∙ ARRB

=1, što je i trebalo dokazati.

5

slika1

2.1.

Dokaz (trigonometrijski)

Neka su R1, R2, R3 poluprečnici opisanih kružnica oko ∆ ARP, ∆ BPQ , ∆ CQR redom(slika2).

Primenimo sinusnu teoremu na trouglove APR, BPQ, CQR:

AP=2 R 1 ∙ sin (180−γ )=2 R 1∙ sinγ

PB=2 R 2∙ sinβ

Deljenjem ovih jednakosti, dobija se APPB

= R 1 ∙ sinγR 2∙ sinβ

BQ=2R 2 ∙ sinα

QC=2R 3 ∙ sinβ

Deljenjem ovih jednakosti, dobija se BQQC

=R 2 ∙ sinαR 3 ∙ sinβ

CR=2 R 3 ∙ sinβ RA=2 R 1 ∙ sinα

Deljenjem ovih jednakosti, dobija se CRRA

=R 3 ∙ sinβR 1 ∙ sinα

Množenjem dobijenih jednakosti, dobija se APPB

∙ BQQC

∙ CRRA

=1 , što je i trebalo dokazati.

6

slika2

3

ČEVIJEVA TEOREMA

Neka su P,Q,R tačke na pravama BC, CA, AB trougla ∆ ABC. Duži AP,BQ,CR seku se u jednoj

tački ako i samo ako važi

BPPC

∙ CQQA

∙ ARRB

=1

7

3.1.

Dokaz (sličnost trouglova)

Povucimo pravu paralelnu stranici BC i neka je to prava p. Neka je presečna tačka duži CR, BQ,

AP tačka N. Produžimo duž CR do preseka sa pravom p i neka je to tačka P2 i produžimo duž

BQ do preseka sa pravom p i neka je to tačka P1 (slika3).

∆ P 2NA ∆ NPC=¿ AP 2PC

= ANNP

∆ ANP1 ∆ NPB=¿ AP 1PB

= ANNP

Iz ovih jednakosti sledi AP 2PC

= AP 1PB , odnosno

PBPC

=P 1 AP 2 A .

∆ AP1 Q ∆ QBC=¿ QCQA

= CBP 1 A

∆ AP 2 R ∆ CBR=¿ ARRB

= AP2BC

Množenjem dobijenih jednakosti sledi BPPC

∙ CQQA

∙ ARRB

=1 , što je i trebalo dokazati.

8

slika3

3.2.

Dokaz (trigonometrijski)

Primenimo sinusnu teoremu na trouglove AMR, AMQ, CMQ, CMP, BMP, BMR redom(slika4):

AMsinφ

= ARsinβ => AR= AM ∙ sinβ

sinφ

AMsin θ

= AQsinα => AQ= AM ∙ sinα

sinθ

CMsinθ

= CQsinγ => CQ=CM ∙sinγ

sinθ

CMsinδ

= CPsinβ => CP=CM ∙ sinβ

sinδ

BMsinδ

= BPsinα => BP=BM ∙ sinα

sinδ

BMsinφ

= BRsinα => BR=BM ∙ sinα

sinφ

Na osnovu dobijenih jednakosti sledi BPPC

∙ CQQA

∙ ARRB

=1 , što je i trebalo dokazati.

9

slika4

4

PTOLOMEJEVA TEOREMA

U svakom tetivnom četvorouglu ABCD gde su AB i CD merni brojevi dužina naspramnih

stranica važi da je zbir proizvoda merni brojevi dužina naspramnih stranica jednak proizvodu

dijagonala.

Tetivni četvorougao je svaki četvorougao oko koga se može opisati kružnica i važi da je zbir

svaka dva naspramn ugla 180 ° .

AB∙CD+ AD ∙ BC=AC ∙ BD

10

4.1.

Dokaz preko sličnosti trouglova

Neka je tačka E na dijagonali AC takva da je ∢ ADB=∢CDE, zatim ∢DAC=∢DBC kao

uglovi nad tetivom DC (slika5). Odatle sledi:

∆ ADE ∆ BDC

AEBC

= DEDC

= ADDB => AD∙ BC=AE∙ DB

Kako je ∢ ADB=∢CDE, sledi da je ∢ ADE=∢BDC . Zatim ∢DCA=∢DBA kao uglovi nad

tetivom AD, sledi:

∆ ADE ∆ BDC

ABEC

= ADDE

= BDDC => AB∙ DC=EC ∙BD

AD∙BC+ AB ∙DC=BD ( AE+EC )=BD ∙ AC.

11

slika5

180−φ

4.2.

Dokaz preko trigonometrije

φ

Neka je AB=a , BC=b ,CD=c , DA=d , AC=n , DB=m,∢ABC=φ ,∢ADC=180−φ.

Primenimo kosinusnu teoremu na trouglove ABC i ADC.

∆ ABC n2=a2+b2−2abcosφ / ·cd

∆ ADC n2=c2+d2+2cdcosφ /·ab

Sabiranjem ovih jednakosti, dobija se:

n2 (cd+ab )=a2cd+b2cd+c2 ab+d2ab=ad (ac+bd )+bc (ac+bd)

n2=( ac+bd )(ad+bc)

cd+ab

kao i

m2=(ac+bd )(cd+ab)

ad+bc

m2 ∙ n2=(ac+bd )2 , odnosno m∙ n=ac+bd.

12

5

PRIMENE

Teoreme koje su u ovom radu dokazane imaju jako široku primenu u zadacima. Prikazani su neki

primeri u kojima se koriste.

1. Dokazati da tačke P,Q,R u kojima simetrala spoljašnjeg ugla kod temena A i simetrala

unutrašnjeg ugla kod temena B i C, seku prave određene naspramnim stranicama trougla ABC

pripadaju jednoj pravoj.

Rešenje:

Koristićemo osobinu da simetrala unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla trougla deli naspramnu stranicu

u odnosu druge dve stranice. Odatle sledi(slika6):

ARRB

= ACBC

AQQC

=BCAB

BPPC

= ABAC

Da bi tačke P, Q, R pripadale istoj pravoj, prema Menelajevoj teoremi treba da važi

ARRB

∙ AQQC

∙ BPPC

=1. Na osnovu dobijenih jednakosti sledi: ARRB

∙ AQQC

∙ BPPC

= ACBC

∙ BCAB

∙ ABAC

=1,

dakle tačke P,Q,R pripadaju istoj pravoj.

13

slika6

2. Dokazati da se prave određene temenima trougla i dodirnim tačkama naspramnih stranica sa

upisanim krugom seku u jednoj tački. (Žergonova tačka)

Rešenje:

Da bi se duži AA1, BB1 CC1 sekle u istoj tački (slika7), na osnovu Čevijeve teoreme treba da

važi: AC 1C 1B

∙ BA 1A 1C

∙ CB1B1 A

=1

Kako su tangentne duži iz iste tačke jednake, važi da je

AC 1=AB1 , C 1B=BA 1 , CB1=CA 1.

Zamenom u jednakost za Čevijevu teoremu sledi:

AC 1C 1B

∙ BA 1A 1 C

∙ CB1B1 A

= AB1BA 1

∙ BA 1CB 1

∙ CB 1B 1 A

=1.

14

slika7

3. Ako je trougao ABC oštrougli, dokazati da je zbir odstojanja centra opisane kružnice od

njegovih stranica jednak zbiru poluprečnika opisane i upisane kružnice.

Rešenje:

Neka je R poluprečnik opisane kružnice, r poluprečnik upisane kružnice ∆ ABC. Treba dokazati

u+v+w=R+r. Uočimo sledeće tetivne četvorouglove: A C1 O B1 , C1 B A1 O , A1 C B1O . (slika8)

Posmatrajmo tetivan četvorougao A C1 O B1 i primenimo Ptolomejevu teoremu:

A C1 ∙B1 O+C1 O∙ A B1=AO ∙B1 C1

⟺ c2

∙ w+u ∙ b2=R ∙ a

2 ⟺c ∙ w+b ∙u=a ∙ R

Analogno, za četvorouglove C1 B A1O i A1 C B1O važi (1) c ∙ v+a ∙u=b ∙ R, (2) a ∙ w+b ∙ v=c ∙R .

Zatim saberemo jednakosti (1) i (2):

cw+bu+cv+au+¿ a ∙ w+b ∙ v=R(a+b+c) .

a+b+c=2 s , gde je s poluobim trougla. Dalje sledi:

u (b+a )+v (b+c )+w ( a+c )=2 sR

15

slika8

u (2 s−c )+v (2 s−a)+w (2 s−b )=2 sR

2 s (u+v+w )−(uc+va+wb)=2sR

P ∆ AOB=rs=P ∆ AOB+P ∆ BOC+P ∆ AOC=uc2

+ av2

+ bw2

2 s (u+v+w )−2 sr=2sR, odnosno u+v+w=R+r

4. Neka je sa h označena najveća visina proizvoljnog oštrouglog trougla ABC. Ako su R i r

dužine poluprečnika opisane i upisane kružnice tog trougla redom, dokazati da je R+r ≤ h.

Rešenje:

Pretpostavimo da stranica c odgovara najvećoj visini mernog broja h i neka su u, w, v rastojanja

centra opisane kružnice (O) od ostalih stranica (slika9). Tada je c dužina najkraće stranice u tom

trouglu.

Tada važi:

P ∆ ABC=P ∆ AOB+P ∆ BOC+P ∆ AOC=uc+av+bw2

= ch2

.

Ako uočimo tetivne četvorouglove ACOB ,CBAO , ACBO, na osnovu Ptolomejeve teoreme

važiće u+v+w=R+r (dokazano u prethodnom zadatku ), pa sledi:

16

slika9

c ( R+r )=c (u+v+w )≤ uc+av+bw=ch , odnosno R+r ≤ h.

5. Ako su E,H i M tačke dodira spolja pripisanih kružnica trouglu ABC, tada se prave AE, CM, BH seku u jednoj tački. Dokazati.

Rešenje:

Neka je¿ AF∨¿s, kao i |AD∨¿ s, odnosno ¿ AF∨¿∨AD∨¿ s.

Analogno |BG∨¿∨BK∨¿ s ,∨CL∨¿∨CN∨¿ s .(slika10)

¿CF∨¿∨CE∨¿∨AL∨¿∨AM∨¿s−x

¿ BD∨¿∨BE∨¿∨AK∨¿∨AH∨¿ s− y,

¿ BN∨¿∨BM∨¿∨CG∨¿∨CH∨¿ s−z

tj. ¿ AM∨¿∨EC∨,∨BE∨¿∨HA∨,∨CH∨¿∨MB∨.

Pošto na osnovu Čevijeve teoreme važi da je

¿ AM∨ ¿¿ MB∨¿ ∙¿BE∨ ¿

¿ EC∨¿ ∙¿CH∨ ¿¿ AH ∨¿=1¿

¿¿¿¿

¿, date duži se seku u jednoj tački.

17

slika10

6

ZAKLJUČAK

Menelajeva, Čevijeva i Ptolomejeva teorema primenjuju se u različitim uzrastima i na različitim

nivoima matematičkih takmičenja. Ovo je samo jedan mali deo onoga što one predstavljaju.

Korišćenju i primeni ovih teorema nema kraja, kao i samom istraživanju.

7

LITERATURA

[1.] Lopandić D., Geometrija za 3. razred usmerenog obrazovanja, Naučna knjiga, Beograd, 1981.

[2.] Pavković,Veljan,Elementarna matematika 1. i 2.,Skolska knjiga Zagreb,1995.

[3.] Prvanović M., Osnovi geometrije, Građevinska knjiga, Beograd, 1987.

18

Datum predaje rada:

Datum odbrane rada:

Komentar:

Ocena:

19