[VNMATH.com]-Hinh Hoc Khong Gian-LBTP

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Quan hệ vuông góc

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

I. Kiến thức cơ bản thường sử dụng:

* ðịnh lý 1:

; , ( )

( ),

a b a b Pd P

d a d b

∩ ⊂ ⇒ ⊥

⊥ ⊥

* ðịnh lý 2:

Nếu ( )d P⊥ ⇒ d vuông góc với mọi ñường thẳng nằm trong mp (P).

* ðịnh lý 3:

/ / '

' ( )( )

d dd P

d P

⇒ ⊥

⊥

* ðịnh lý 4:

( )

( ) ( )( )

d QQ P

d P

⊂ ⇒ ⊥

⊥

* ðịnh lý 5:

( ) ( )

( )( ),

P Qd Q

d P d

∩ = ∆ ⇒ ⊥

⊂ ⊥ ∆

* ðịnh lý 6:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

P Q

P R R

Q R

∩ = ∆

⊥ ⇒ ∆ ⊥⊥

II. Các ví dụ mẫu: 1. Chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Bài 1. Cho chóp tam giác S.ABC có ABC∆ vuông tại C, mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng ñáy.. a. Chứng minh: BC vuông góc (SAC)

b. E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE vuông góc với mặt phẳng (SBC).

c. Mặt phẳng (P) qua AE và vuông góc mặt phẳng (SAB) cắt SB tại D. Chứng minh rằng: SB vuông góc

mp (P). d. Gọi F là giao ñiểm của DE và BC. Chứng minh rằng: AF vuông góc mp (SAB).

Bài 2 (Trích ñề ðHKD-2012) Cho hình chóp tam giác ñều SABC, gọi H là hình chiếu vuông góc của A

trên SC. Chứng minh ( )SC ABC⊥ .

Bài 3. Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB ñều, mặt phẳng (SAB) vuông góc

với (ABCD). Gọi I, J là trung ñiểm của AB, AD. Chứng minh rằng FC vuông góc với (SID).

Nguồn: Hocmai.vn

http://hocmai.vn/course/view.php?id=264

http://hocmai.vn/mod/scorm/view.php?id=43306




Bài 1 (Trích ðHKA-2007) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD ñều. Mặt

phẳng (SAD) vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của SB, BC, CD. Chứng minh: AM vuông góc BP.

Bài 2 (Trích ðHKB-2007) Cho tứ giác ñều S.ABCD có ñáy là hình vuông, E ñối xứng với D qua trung

ñiểm của SA. Gọi M, N là trung ñiểm của AE và BC. Chứng minh MN vuông góc với BD. Bài 3 (Trích ðHKD-2007) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông, góc ABC bằng góc

BAD = 900, BA = BC = a ; AD = 2a. SA vuông góc với (ABCD). Chứng minh tam giác SCD vuông.

Bài 4. Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh tam giác

SBD vuông.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

Nguồn: Hocmai.vn

QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 02)

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Luyện

thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững

kiến thức phần Quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

www.VNMATH.com






Bài 1. Cho chóp SABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D ñối xứng với A qua

I, SD vuông góc với (ABC), 6

2

aSD = . Chứng minh

a) (SAD) vuông góc với (SBC)

b) (SAB) vuông góc (SAC)

Bài 2 (Trích ðHKB-2006) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, 2AD a= , SA

vuông góc với ñáy, M là trung ñiểm của AD, gọi I là giao của BM và AC. Chứng minh (SAC) vuông góc (SMB).

Bài 3. Cho chóp SABCD có ñáy ABCD là hình thoi, SA = SC. Chứng minh rằng (SBD) vuông góc

(ABCD)


Nguồn: Hocmai.vn

QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 03)


Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Quan hệ vuông góc thuộc khóa học Luyện


kiến thức phần Quan hệ vuông góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.






Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng: SB vuông góc SD.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.

a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK). b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.

a. Chứng minh rằng: ( )SO ABCD⊥

b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.

c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).

Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc 060BAD∠ = ,

3AA '

2

a= .

M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: ' ( ).AC BDMN⊥

Bài 5: Tứ diện SABC có ( ).SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.

a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( )SAC BHK⊥

b. Chứng minh ( )HK SBC⊥ và ( ) ( ).SBC BHK⊥

Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng minh rằng BM vuông góc với B’C.

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a. ( )SA ABCD⊥ . Gọi H, I, K lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR:

1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( );BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD⊥ ⊥ ⊥ ⊥

5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( );SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

9. ; 10. ; 11. ; 12. ;BC SB CD SD AH SC AK SC⊥ ⊥ ⊥ ⊥

13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( );SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD⊥ ⊥ ⊥ ⊥

17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( );AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC⊥ ⊥ ⊥ ⊥


Nguồn : Hocmai.vn

QUAN HỆ VUÔNG GÓC

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Quan hệ vuông góc (Phần 01+02+03) thuộc

khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các

Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Quan hệ vuông góc (phần

01+02+03). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)

www.VNMATH.com







a

a

a

a

O

A

B

D

C

S

O

A

B

D

C

S

H

K

I

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng: SB vuông góc SD.

Giải: + Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi

nên O là trung ñiểm của AC và BD

0

1

2

90

ABC ASC SO BO BD

BSD SB SD

+ ∆ = ∆ ⇒ = =

⇒∠ = ⇔ ⊥

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.

a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK). b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.

Giải: a. Ta có:

( ) (1)AH SB

AH SBC AH SCAH BC

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

( ) (2)AK SD

AK SDC AK SCAK DC

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Từ (1) và (2) ta suy ra ( )SC AHK⊥

b. Ta có:

v vSAB SAD SH SK∆ = ∆ ⇒ =

/ /SH SK

HK BDSB SD

⇒ = ⇒ ( ðịnh lý Ta lét ñảo)

( )BD AC

BD SACBD SA

⊥ ⇒ ⊥

⊥

QUAN HỆ VUÔNG GÓC

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Quan hệ vuông góc (Phần 01+02+03) thuộc


Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Quan hệ vuông góc (phần

01+02+03). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.








N

K

I

O

D

A

C

B

S

M

/ /( )

( )

HK BDHK SAC HK AI

BD SAC

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.

a. Chứng minh rằng: ( )SO ABCD⊥

b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.

c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).

Giải: a. Ta có:

( )SO AC

SO ABCDSO BD

⊥ ⇒ ⊥

⊥

b.

( )( )

IK BD do AC BDIK SBD IK SD

IK SO

⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

c. + Gọi M là giao ñiểm của SB với mặt phẳng (P), N là giao ñiểm của DB với mặt phẳng (P).

/ /( ), ( )/ /

( ) ( )

/ /

( )

SO P SO SBDSO MN

SBD P MN

SO BDMN BD

MN SO

BD IKBD P

BD MN

⊂ + ⇒

∩ = ⊥

+ ⇒ ⊥

⊥ + ⇒ ⊥

⊥

Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc 060BAD∠ = ,

3AA '

2

a= .

M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng: ' ( ).AC BDMN⊥

Giải:

+ Gọi S BN DM= ∩ ⇒M là trung ñiểm SD, N là trung ñiểm SB, A’ là trung ñiểm SA.

+ Gọi O = AC∩BD

+ ∆BAD ñều 3

2 3 , '2

aAO AC AO a SA CC AO⇒ = ⇒ = = = =

+ Hai ∆ vuông SOA và ACC’ bằng nhau AS 'O CAC⇒∠ = ∠ .

Mà 0 0AS 90 ' 90 'O SOA CAC SOA AC SO∠ +∠ = ⇒∠ +∠ = ⇒ ⊥

+ '

' ( )'

AC BDAC BDMN

AC SO

⊥ ⇒ ⊥

⊥

Bài 5: Tứ diện SABC có ( ).SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.

a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( )SAC BHK⊥

b. Chứng minh ( )HK SBC⊥ và ( ) ( ).SBC BHK⊥

Giải:

www.VNMATH.com



a. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC∆ ⇒ ⊥ , theo giả thiết

( )SA mp ABC BH SA⊥ ⇒ ⊥ . Nên ( )BH mp SAC SC BH⊥ ⇒ ⊥

Do K là trực tâm SBC BK SC∆ ⇒ ⊥

Từ ñó suy ra ( ) ( ) ( )SC mp BHK mp BHK mp SAC⊥ ⇒ ⊥ (ñpcm)

b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh ñược: ( )SB mp CHK SB HK⊥ ⇒ ⊥

Mà ( )SC mp BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥ .

Do ñó: ( ) ( ) ( )HK mp SBC mp SBC mp BHK⊥ ⇒ ⊥

Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng

minh rằng BM vuông góc với B’C.

Giải: Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung ñiểm của B’C.

M là trung ñiểm AA’ nên MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M

' ; ' ' ' .B C MI B C BC B C MB⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a. ( )SA ABCD⊥ . Gọi H, I, K lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là

trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR:

1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( );BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD⊥ ⊥ ⊥ ⊥

5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( );SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

9. ; 10. ; 11. ; 12. ;BC SB CD SD AH SC AK SC⊥ ⊥ ⊥ ⊥

13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( );SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD⊥ ⊥ ⊥ ⊥

B

S

C

A

H

K

A

A’

B

B’

C

C’

M I



17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( );AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC⊥ ⊥ ⊥ ⊥

Giải:

1. BC ⊥ AB (giả thiết ABCD là hình vuông) BC ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD))

⇒ BC ⊥ (SAB). 2. CD ⊥ AD (giả thiết ABCD là hình vuông), CD ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD))

⇒ CD ⊥ (SAD).

3. AH ⊥ SB (giả thiết), AH ⊥ BC (do theo câu 1 ta ñã có BC ⊥ (SAB)

mà AH ⊂ (SBC) ) ⇒ AH ⊥ (SBC) 4. AK ⊥ SD (giả thiết)

AK ⊥ CD (do theo câu 2 ta ñã có CD ⊥ (SAD)

mà AK ⊂ (SAD) ) ⇒ AK ⊥ (SCD)

5. AH ⊥ (SBC) (do theo câu 3) ⇒ AH ⊥ SC

AK ⊥ (SCD) (do theo câu 4) ⇒ AK ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AHK) 6. OM là ñường trung bình của tam giác ABC nên OM//BC, mà BC ⊥ (SAB) (do theo câu 1) nên

OM ⊥ (SAB)

7. ON là ñường trung bình của tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD ⊥ (SAD) (do theo câu 2)

nên ON ⊥ (SAD).

8. OP là ñường trung bình của tam giác BDC nên OP//CD mà BC ⊥ CD (giả thiết) nên BC ⊥ OP (*).

OQ là ñường trung bình của tam giác SAC nên OQ//SA mà SA ⊥ (ABCD) nên OQ ⊥ (ABCD),

⇒ BC ⊥ OQ (**). Vậy từ (*) và (**) ta có BC ⊥ (OPQ)

9. Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.

10. Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD.

11. Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC.

12. Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC.

13. Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB).

14. Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) mà CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD).

15. Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) mà AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SBC).

www.VNMATH.com



16. Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) mà AK ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SCD).

17. Theo câu 5: SC ⊥ (AHK) mà SC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (AHK).

18. Theo câu 6: OM ⊥ (SAB) mà OM ⊂ (OMQ) ⇒ (OMQ) ⊥ (SAB).

19. Theo câu 7: ON ⊥ (SAD) mà ON ⊂ (ONQ) ⇒ (ONQ) ⊥ (SAD).

20. Theo câu 8: BC ⊥ (OPQ) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (OPQ).


Nguồn : Hocmai.vn

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn ñề về góc


a

b

O

b'

a'

b

a

Ob'

b

a

I. Góc giữa 2 ñường thẳng:

1. ðịnh nghĩa góc giữa 2 ñường thẳng cắt nhau: Cho 2 ñường thẳng a; b cắt nhau tại O. Khi ñó ta có 4 góc, góc có số ño bé nhất trong 4 góc ñó

ñược gọi là góc giữa 2 ñường thẳng a, b. Kí hiệu: ( ),a b∠

* Chú ý: - Khi a và b trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0o - Khi a⊥ b thì góc giữa chúng bằng 90o

Như vậy nếu gọi α là góc giữa 2 ñường thẳng cắt nhau thì 00 ≤ α ≤ 900 ⇒ 0 ≤ cosα ≤ 1

2. Cách xác ñịnh góc giữa hai ñường thẳng bất kì trong không gian. Qui tắc 1: Góc giữa 2 ñường thẳng a, b bất kì trong không gian là góc giữa 2 ñường thẳng cắt nhau a’, b’

lần lượt song song (hoặc trùng nhau) với a và b.

Qui tắc 2: ðể xác ñịnh góc giữa 2 ñường thẳng a và b ta lấy ñiểm O thuộc ñường thẳng a rồi vẽ qua O

ñường thẳng b’// b. Khi ñó ( , ) ( , ')a b a b∠ = ∠

* Chú ý : - Khi tính góc giữa 2 ñường thẳng ta thường sử dụng ñịnh lí hàm số cosin hoặc dùng hệ thức

lượng giác trong tam giác vuông.

- ðịnh lí hàm số cosin:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + −

= + −

= + −

3. Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm BC và AD, MN = a 3 .

Tính góc của AB và CD

Bài 2: (ðH khối A – 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,

CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC (Phần 01)


Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện


kiến thức phần Các vấn ñề về góc, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

www.VNMATH.com



http://hocmai.vn/course/view.php?id=264&cid=12



AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) trùng với trung ñiểm của BC. Tính cosin của

góc giữa hai ñường thẳng AA’ và B’C’.

Bài 3: Cho chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = a 3 , SA ⊥BC. Gọi I và J lần lượt là

trung ñiểm của SA và SC. Tính góc giữa 2 ñường thẳng:

a) SD và BC b) ỊJ và BD

Bài 4: (ðH khối B – 2008)

Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 , (SAB) vuông góc với mặt

phẳng ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, BC. Tính cosin của góc giữa 2 ñường thẳng SM và

DN.


Nguồn: Hocmai.vn



Bài 1: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông góc với ñáy. Gọi D là trung ñiểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD

Bài 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung ñiểm BC, AD. Biết AB = CD = 2a, MN = 3a .

Tính góc giữa 2 ñường thẳng AB và CD

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc

với AB và AD, SA=2 3

3

a. Tính góc giữa 2 ñường thẳng:

a, DC và SB

b, SD và BC

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ñều . ' ' 'ABC A B C có 1, ' ( 0).AB CC m m= = > Tìm m biết rằng góc

giữa hai ñường thẳng 'AB và 'BC bằng 060 .


Nguồn : Hocmai.vn



Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về góc thuộc khóa học Luyện thi

ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố

lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần

học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

www.VNMATH.com






NM

D

S

A B

C

K

Bài 1: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 vuông

góc với ñáy. Gọi D là trung ñiểm cạnh AB. Tính góc giữa AC và SD

Giải:

Ta có : AB = 2 5 ,

Gọi M là trung ñiểm của BC ,ta có : DM = 1

SD = 2 2 30SA AD+ = ,

SC = 2 2 29SA AC+ =

SM = 2 2 33SC CM+ =

Ta có : 2 2 2 30 1 33 1

cos2 . 2 30 30

SD MD SMSDM

SD MD

+ − + −∠ = = = − (*)

Góc ϕ giữa hai ñường thẳng AC và SD là góc giữa hai ñường thẳng DM và SD hay ϕ bù với góc

∠ SDM . Do ñó : cosϕ = 1

30

Vậy ϕ = arcos 1

30

Bài 2: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung ñiểm BC, AD. Biết AB = CD = 2a, MN = 3a .

Tính góc giữa 2 ñường thẳng AB và CD

Giải: Gọi P là trung ñiểm AC. Khi ñó MP // AB, NP // CD và MP = NP = a

( , ) ( , )AB CD MP NP⇒∠ =∠

Trong tam giác MPN ta có: 2 2 2 2 2

0

2 3 1os MPN=

2 . 2 . 2

120

MP NP MN a ac

MP NP a a

MPN

+ − −∠ = = −

⇒∠ =

Vậy 0 0( , ) 60 ( , ) 60MP NP AB CD∠ = ⇒∠ =

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD=DC=a, AB=2a. SA vuông góc

với AB và AD, SA=2 3

3

a. Tính góc giữa 2 ñường thẳng:

a, DC và SB

b, SD và BC

Giải:












a. Do / / ( , ) ( , )DC AB DC SB AB SB α⇒∠ =∠ =

Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi ñó 0

2 333tan 30

2 3

aSA

AB aα α= = = ⇒ =

Vậy 0( , ) 30DC SB∠ =

b. Gọi I là trung ñiểm AB, khi ñó AI=a. Tứ giác ADCI là hình bình hành, lại có AI=AD=a nên là hình

thoi, mà góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a 2DI a⇒ = Tứ giác BIDC là hình bình hành nên BC // DI

Khi ñó ( , ) ( , )SD BC SD DI β∠ = ∠ =

Tam giác SAI vuông tại A nên 2

2 2 2 7

3

aSI SA AI= + =

Tam giác SAD vuông tại A nên 2

2 2 2 7

3

aSD SA AD= + =

Áp dụng ñịnh lý hàm số cosin trong tam giác SDI: 2 2 2 22 3

os2 . 21 42

. . 23

SD DI SI ac SDI

SD DI aa a

+ −∠ = = = >0

Suy ra SDI∠ là góc nhọn và SDI∠ =arccos3

42

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác ñều . ' ' 'ABC A B C có 1, ' ( 0).AB CC m m= = > Tìm m biết rằng góc

giữa hai ñường thẳng 'AB và 'BC bằng 060 .

Giải:

- Kẻ / / ' ( ' ')BD AB D A B∈ 0( ', ') ( , ') 60AB BC BD BC⇒ = =

0' 60DBC⇒∠ = hoặc 0' 120 .DBC∠ =

- Nếu 0' 60DBC∠ =

Vì lăng trụ ñều nên ' ( ' ' ').BB A B C⊥

Áp dụng ñịnh lý Pitago và ñịnh lý cosin ta có 2' 1BD BC m= = + và ' 3.DC =

Kết hợp 0' 60DBC∠ = ta suy ra 'BDC∆ ñều.

Do ñó 2 1 3 2.m m+ = ⇔ =

- Nếu 0' 120DBC∠ =

Áp dụng ñịnh lý cosin cho 'BDC∆ suy ra 0m = (loại).

Vậy 2.m =


Nguồn : Hocmai.vn

www.VNMATH.com

Khóa học LTðH môn Toán – Th ầy Lê Bá Trầ n Phương Chuyên ñề 01- Hình học không gian


Góc giữa hai mặt phẳng:

1. ðịnh nghĩa:

Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ . Từ ñiểm I bất kỳ trên ∆ ta dựng trong (P)

ñường thẳng a vuông góc với ∆ và dựng trong mp (Q) ñường thẳng b vuông góc ∆ . Khi ñó góc giữa hai

mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai ñường thẳng a, b.

2. Bài tập mẫu:

Bài 1:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính số ño góc giữa 2 mặt phẳng (BA’C) và (DA’C).

Bài 2:

BÀI GIẢNG 03.

CÁC VẤN ðỀ VỀ GÓC ( Phần II)


I

P

Q

Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01- Hình học không gian


Cho tứ giác ñều SABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cosin góc giữa

2 mặt phẳng(SAB) và (SAD).

Bài 3:

Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ ñáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, � 0120BAC = . Cạnh bên BB’ = a,

I là trung ñiểm CC’.

Chứng minh rằng tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).

Bài 4:

Cho hình chóp SABC, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).

a. Xác ñịnh góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC)

b. Giả sử tam giác ABC vuông tại B. Xác ñịnh góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC).

Giáo viên : Lê Bá Trần Phương

Nguồn : Hocmai.vn

www.VNMATH.com



Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 3a , SD= 7a và SA

⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SB.

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).

Bài 2: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC ñôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm AB, BC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng 3SA a= và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các mp

sau: a. (SAB) và (ABC)

b. (SBD) và (ABD)

c. (SAB) và (SCD)


Nguồn : Hocmai.vn












Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 3a , SD= 7a và SA

⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SA và SB. a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.


Giải: a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

( )SA AB

SA ABCDSA AD

⊥⊥ ⇒ ⇒

⊥ các tam giác SAB, SAD vuông tại A

Tương tự :

BC ABBC SB SBC

BC SA

⊥⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥ vuông tại B

CD ADCD SD SDC

CD SA

⊥⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥vuông tại D


( ) ( )SCD ABCD CD∩ =

( ),AD ABCD AD CD⊂ ⊥ , ( ),SD SCD SD CD⊂ ⊥

Suy ra:

( )

( )

3 21( ), ( ) ; cos

77

21( ), ( ) ar cos

7

AD aSCD ABCD SDA SDA

SD a

SCD ABCD SDA

= ∠ ∠ = = =

⇒ = ∠ =

Bài 2: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC ñôi một vuông góc và SA = SB = SC.

Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm AB, BC. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)

Giải:

Do SA = SB = SC ⇒AB = BC = CA ⇒ tam giác ABC ñều

Trong tam giác ABC, gọi H là giao của SJ và CI.

Khi ñó H vừa là trọng tâm vừa là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có ( AJ) ( )S SCI SH∩ = ,

do ñó, ñể xác ñịnh góc giữa 2 mp (SAJ) và (SCI), trước tiên ta xác ñịnh mp vuông góc với SH

Ta có : AH ⊥BC (1) do tam giác ABC ñều

Lại có SA, SB, SC ñôi một vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒SA⊥BC (2) Từ (1) và (2) ta ñược BC ⊥ (SAH) suy ra BC⊥ SH (*)

Tương tự ta cũng có







www.VNMATH.com






( )( )

AB CH AB CHAB SCH

SC SAB AB SC

⊥ ⊥ ⇒ ⇒ ⊥

⊥ ⊥

Hay AB⊥ SH (**) Từ (*) và (**) suy ra SH ⊥ (ABC)

Mà ( ) ( AJ) AJ

(( AJ), ( )) (AJ, )( ) ( )

ABC SS SCI CI

ABC SCI CI

∩ =⇒∠ = ∠

∩ =

Do tam giác ABC ñều nên 0 0 0 090 90 30 60CHJ HCJ∠ = −∠ = − =

Vậy 0(( AJ), ( )) (AJ, ) 60S SCI CI CHJ∠ = ∠ = ∠ =

Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng 3SA a= và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các mp

sau:

a. (SAB) và (ABC)

b. (SBD) và (ABD)

c. (SAB) và (SCD)

Giải: a. Gọi O là giao ñiểm của AC và BD

Suy ra: 2

2

aAO AC= =

Khi ñó ( ) ( )SAB ABC AB∩ =

Ta có : ( )AB SA

AB SADAB AD

⊥⇒ ⊥

⊥

Mặt khác 0( ) ( )(( ), ( )) ( , ) 90

( ) ( )

SAD SAB SASAB ABC SA AD SAD

SAD ABC AD

∩ =⇒∠ = ∠ = ∠ =

∩ =

b. ( ) ( )SBD ABD BD∩ =

Ta có ( )BD SA

BD SACBD AC

⊥⇒ ⊥

⊥

Mặt khác ( ) ( )

(( ), ( )) ( , )( ) ( )

SAC SBD SASBD ABD SO AO SOA

SAC ABD AO

∩ =⇒∠ = ∠ = ∠

∩ =

Trong tam giác vuông SOA ta có:

3tan 6 (( ), ( )) arctan 6

22

SA aSOA SBD ABD

AO a∠ = = = ⇒∠ =

c. ( ) ( ) / / / /SAB SCD Sx AB CD∩ =

Mà ( ) ( )AB SAD Sx SAD⊥ ⇒ ⊥

Do ( ) ( )

(( ), ( )) ( , )( ) ( )

SAD SAB SASAB SCD SA SD ASD

SAD SCD SD

∩ =⇒∠ = ∠ = ∠

∩ =

Trong tam giác vuông ASD: 0 01tan 30 (( ), ( )) 30

3 3

AD aASD ASD SAB SCD

SA a∠ = = = ⇒∠ = ⇒∠ =


Nguồn : Hocmai.vn

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn ñề về khoảng cách


P

M

H

Khoảng cách từ một ñiểm tới một mặt phẳng

1. ðịnh nghĩa: Cho (P) và M là một ñiểm nằm ngoài. Khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) là MH.

Kí hiệu:

( )( ;( ))

( )

MH PMH d M P

H P

⊥= ⇔

∈

2. Cách xác ñịnh khoảng cách từ một ñiểm tới một mặt phẳng:

a. Các xác ñịnh tổng quát: ðể xác ñịnh khoảng cách từ ñiểm M tới mp (P) ta làm như sau: + Tìm (Q) chứa M và vuông góc với (P) theo giao tuyến d.

+ Kẻ MH vuông góc d ( H∈d) ( ) ( ; ( ))MH P MH d M P⇒ ⊥ ⇒ =

P

d

Q

M

H

+ MN // (P) thì d(M,(P)) = d(N;(P))

P

M N

+ Khi giải quyết các bài toán tính khoảng cách từ một ñiểm tới một mặt phẳng, ta thường thực hiện theo

hai bước:

CÁC VẤN ðỀ VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 01)


Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 01) thuộc

khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể

có thể nắm vững kiến thức phần Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 01), Bạn cần kết hợp xem tài liệu

cùng với bài giảng này.

www.VNMATH.com






A

B

C

H

* Xác ñịnh khoảng cách

* Tính khoảng cách. + Các hệ thức cơ bản cần nhớ:

2 2 2

2

2

2

1 1 1

.

.

.

AH AB AC

AB BH BC

AC CH CB

AH HB HC

= +

=

=

=

Bài 1. Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng ñáy, SA = 2a.

a) Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (SBC).

b) Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBD).

Bài 2. Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB ñều, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, J là trung ñiểm của AB và AD. Tính khoảng cách từ I ñến mặt

phẳng (SFC).

Bài 3. Cho chóp S.ABCD có SA = a, các cạnh còn lại bằng 3

2

a. Chứng minh rằng SA ⊥ SC và tính d(S,

(ABCD)).


Nguồn: Hocmai.vn



Bài 4. Cho chóp S.ABC có SA = 3a, SA vuông góc với mặt phẳng ñáy, AB = 2a, góc ABC bằng 1200.

Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC). Bài 5 (Trích ðHKD – 2009). Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’, tam giác ABC vuông tại B, AB = a, AA’ =

2a, A’C = 3a. M là trung ñiểm của A’C’, I là giao ñiểm của AM và A’C. Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến

mặt phẳng (IBC). Bài 6 (Trích ðHKD – 2012). Cho hình hộp ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy ABCD là hình vuông, tam giác

A’AC vuông cân, A’C bằng a. Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (BCD’).


Nguồn: Hocmai.vn







www.VNMATH.com






Bài 7. (Trích ðHKB-2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1, ABCD là hình chữ nhật, AB = a; 3AD a= .

Hình chiếu vuông góc của A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao ñiểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ B1 tới mặt phẳng (A1BD).

Bài 8. (Trích ðHKB-2013) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam

giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (SCD) Bài 9. (Trích ðHKD-2013) Cho chóp SABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA vuông góc với ñáy,

góc BAD bằng 1200, M là trung ñiểm của BC, góc SMA bằng 450. Tính khoảng cách từ D ñến mặt phẳng

(SBC)


Nguồn: Hocmai.vn












Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( ) ( )SAB ABCD⊥ , SA = SB, góc giữa

SC và (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SCD).

Bài 2. Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ACBD⊥ , góc giữa mặt bên (SBC) và

mặt ñáy (ABCD) bằng 600, G là trọng tâm tam giác SAD. Tính khoảng cách từ G ñến mặt phẳng (SBC).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 2AB a= , I là trung ñiểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là ñiểm H thỏa mãn I nằm giữa AH. Tính khoảng cách từ trung ñiểm K của SB tới mặt phẳng (SAH).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D là ñiểm ñối

xứng với A qua I, ( )SD ABC⊥ , K là hình chiếu vuông góc của I trên SA, 2

aIK = . Tính khoảng cách từ

D ñến mặt phẳng (SBC).

Bài 5. Cho chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB ñều, tam giác SCD vuông cân tại S. H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách từ H ñến mặt phẳng

(SCD).

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, ( )SA ABCD⊥ ,

2 , 2 ; .SA a AB a AD DC a= = = = Gọi M là trung ñiểm của SD. Tính khoảng cách từ M ñến mặt phẳng

(SBC).

Bài 7. Cho chóp ñều SABC, ñáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với ñáy 1 góc 0 0(0 90 )α α< < . Tính

khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC).


Nguồn : Hocmai.vn

CÁC VẤN ðỀ VỀ KHOẢNG CÁCH

(KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ðIỂM ðẾN 1 MẶT PHẲNG)


Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 01+02+03)

thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp

các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về khoảng

cách. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.


www.VNMATH.com







45

I

B

C

A D

S

E

H

SCD

AB I

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( ) ( )SAB ABCD⊥ , SA = SB, góc giữa

SC và (ABCD) bằng 450. Tính khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SCD).

Giải:

Gọi I là trung ñiểm của AB, vì tam giác SAB cân tại S SI AB⇒ ⊥

( ) ( )( )

( ),

SAB ABCDSI ABCD

SI SAB SI AB

⊥ ⇒ ⊥

⊂ ⊥

045SCI⇒∠ =

Vì / /( ) ( , ( )) ( , ( ))BA SCD d B SCD d I SCD⇒ =

Gọi J là trung ñiểm của CD, ta có:

( )CD IE

CD SIECD SI

⊥ ⇒ ⊥

⊥

mà ( ) ( ) ( )CD SCD SIE SCD⊂ ⇒ ⊥ theo giao tuyến SE.

Do ñó trong mặt phẳng (SIE)

kẻ ( ) ( )IH SE H SE IH SCD⊥ ∈ ⇒ ⊥

( , ( ))IH d I SCD⇒ =

Ta có: 2 2 2

1 1 1

ISIH IE= +

Mà IE = a, 2

2 2 2 5

2 2

a aSI IC BI BC a

= = + = + =

(∆SIC vuông cân nên SI = IC)

22 2 2 2 2

1 1 1 4 1 9

5 552

IH a a a aa⇒ = + = + =

22 5 5

9 3

a aIH IH⇒ = ⇒ =

Vậy 5

( , ( ))3

ad B SCD = .

Bài 2. Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ACBD⊥ , góc giữa mặt bên (SBC) và

mặt ñáy (ABCD) bằng 600, G là trọng tâm tam giác SAD. Tính khoảng cách từ G ñến mặt phẳng (SBC).

CÁC VẤN ðỀ VỀ KHOẢNG CÁCH

(KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ðIỂM ðẾN 1 MẶT PHẲNG)


Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 01+02+03)

thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp

các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về khoảng

cách. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.








M

D

A B

C

S

G

K

SBC

S

M

G

I

A

C

B

S

H

K

SAH

S

B

K

Giải :

Ta có : 060SBA∠ = Gọi M là trung ñiểm của AD, ta có :

( , ( )) 2

( , ( )) 3

d G SBC SG

d M SBC SM= =

2( , ( )) ( , ( ))

3d G SBC d M SBC⇒ =

Vì / /( ) ( , ( )) ( , ( ))AM SBC d M SBC d A SBC⇒ =

Do ( ) ( )SAB SBC⊥ theo giao tuyến SB

nên kẻ ( ) ( )AK SB K SB AK SBC⊥ ∈ ⇒ ⊥

( , ( ))AK d A SBC⇒ =

Ta có: 2 2 2

1 1 1

ASAK AB= +

Mà ta lại có: 0 0tan 60 . tan 60 3SA

SA AB aAB

= ⇒ = =

( )2

222 2 2

1 1 1 4 3 3

3 4 23

a aAK AK

AK a aa⇒ = + = ⇒ = ⇒ =

Vậy 2 3 3

( , ( )) .3 2 3

a ad G SBC = =

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 2AB a= , I là trung ñiểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là ñiểm H thỏa mãn I nằm giữa AH. Tính khoảng cách từ trung ñiểm K của SB tới mặt phẳng (SAH).

Giải:

( )BI AH

BI SAHBI SH

⊥ ⇒ ⊥

⊥

Ta có: ( , ( )) 1

2

d K SAH SK

BI SB= =

1 1 1( , ( )) .2

2 4 4 2

ad K SAH BI BC a⇒ = = = =

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D là ñiểm ñối

xứng với A qua I, ( )SD ABC⊥ , K là hình chiếu vuông góc của I trên SA, 2

aIK = . Tính khoảng cách từ

D ñến mặt phẳng (SBC).

Giải:

www.VNMATH.com



M

N

B

C

A D

S

H

K

l

C

B

A

D

S

K

H

( ) ( )SAD SBC⊥ theo giao tuyến SI, nên kẻ ( ) ( )DH SI H DI DH SBC⊥ ∈ ⇒ ⊥

( , ( ))DH d D SCB⇒ =

Ta có: 2 2 2

1 1 1

DH DS DI= +

Mà 3

2

aDI AI= =

Ta có ∆ vuông SDA ñồng dạng với ∆ vuông IHA

(góc A chung)

2 2

3 6

22

SD DA SD a aSD

aIK KA AI IK⇒ = ⇔ = ⇒ =

−

Do ñó: 2 22 2

1 1 1 2

26 32 2

aDH

DH aa a= + = ⇒ =

Vậy ( ;( ))2

ad D SBC = .

Bài 5. Cho chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB ñều, tam giác SCD vuông cân tại S. H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách từ H ñến mặt phẳng

(SCD).

Giải: Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, CD.

Khi ñó ( ) ( )SMN ABCD⊥ theo giao tuyến MN.

Do ñó, kẻ ( ) ( )SH MN H MN SH ABCD⊥ ∈ ⇒ ⊥

( ) ( )SHN SCD⊥ theo giao tuyến SN.

Do ñó kẻ ( )HK SN K SN⊥ ∈

( ) ( , ( ))HK SCD HK d H SCD⇒ ⊥ ⇒ =

Ta có: 2 2 2

1 1 1

HK HS HN= +

Mặt khác: 2 2 23, ,

2 2

a aMN a SM SN MN SM SN= = = ⇒ = + ⇒ ∆ SMN vuông tại S.

22

2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 4 16 3

3 3 16322

aSH

SH SM SN a a aaa⇒ = + = + = + = ⇒ =

3

4

aSH⇒ =

2 2 1

4 2

aHN SN SH SN CD

= − = =

Do ñó ta có: 2 22 2 2 2

1 1 1 16 16 64 3

3 3 3 816 16

aHK

a aHK a a a= + = + = ⇒ =



I

O

M

N

A

D

C

B

S

E

K

P

H

A

B

C

S

I

O

H

Vậy 3

( , ))8

ad H SCD = .

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, ( )SA ABCD⊥ ,

2 , 2 ; .SA a AB a AD DC a= = = = Gọi M là trung ñiểm của SD. Tính khoảng cách từ M ñến mặt phẳng

(SBC).

Giải:

Gọi E là trung ñiểm AB, N là trung ñiểm SE, O là tâm hình vuông ADCE, I SO MN= ∩

Ta có: / / / / / /( )MN DE BC MN SBC⇒

( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))d M SBC d MN SBC d I SBC⇒ = =

Xét tam giác ACB có 1

2CE a AB BC AC= = ⇒ ⊥

( )BC AC

BC SACBC SA

⊥ ⇒ ⊥

⊥

mà ( ) ( ) ( )BC SBC SAC SBC⊂ ⇒ ⊥ theo giao tuyến SC.

Do ñó kẻ ( ) ( )IH SC H SC IH SBC⊥ ∈ ⇒ ⊥

( , ( ))IH d I SBC⇒ =

Tính IH: Kẻ ( ), ( )OK SC K SC AP SC P SC⊥ ∈ ⊥ ∈

Ta có: 1 1

2 4IH OK AP= =

Mà ( ) ( )2 22 2 2 2

1 1 1 1 1 1

AS 2 2AP a

AP AC aa a= + = + = ⇒ =

1

4 4

aIH AP⇒ = =

Vậy ( , ( ))4

ad M SBC = .

Bài 7. Cho chóp ñều SABC, ñáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với ñáy 1 góc 0 0(0 90 )α α< < . Tính

khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC).

Giải:

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC, khi ñó ( )SO ABC⊥

Gọi I là trung ñiểm của BC ta có:

AI BCSIO

SI BCα

⊥ ⇒∠ =

⊥

Ta có: ( ) ( )SAI SBC⊥ theo giao tuyến SI

Vì ( ) à ( )BC AI

BC SAI m BC SBCBC SI

⊥ ⇒ ⊥ ⊂

⊥

Trong mặt phẳng (SAI) kẻ ( )AH SI H SI⊥ ∈

( ) ( ; ( ))AH SBC AH d A SBC⇒ ⊥ ⇒ =

Ta có: 1 1

. . . .2 2SAIS AI SH SI AH AI SH SI AH∆ = = ⇔ =

www.VNMATH.com



.AI SHAH

SI⇒ =

Mà 1 3

tan . tan . . tan3 2

SH aSH HI

HIα α α= ⇒ = =

1 3. 33 2os

os os 6cos

aHI HI a

c SISI c c

αα α α

= ⇒ = = =

Suy ra 3

.sin2

aAH α=


Nguồn : Hocmai.vn



P)

I

A

B

Khoảng cách từ một ñiểm tới một mặt phẳng (trường hợp ñặc biệt) Nếu ñường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) theo giao ñiểm I thì:

( , ( ))

( , ( ))

d A P IA

d B P IB= ( ðịnh lý Talet)

Bài tập mẫu: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D. AB = AD = a. CD = 2a. SD vuông

góc (ABCD). SD = a.

a. Tính d(D,(ABC))

b. Tính d(A,(SBC))

Bài 2: (Trích ðHKD-2007) Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang. 090ABC BAD∠ = ∠ =

, , 2 .BA BC a AD a SA= = = vuông góc với ñáy, 2SA a= . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng

minh tam giác SCD vuông và tính d(H, (SCD)).

Bài 3: (Trích ðHKD-2011) Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC =

4a, 0( ) ( ), 2 3, 30 .SBC ABC SB a SBC⊥ = ∠ = Tính d(B,(SAC)).


Nguồn: Hocmai.vn







www.VNMATH.com






Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, SA = AB = a, AC = 2a và SA vuông

góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là ñiểm trên cạnh AB sao cho BM = 2MA. Tính khoảng cách từ B ñến

mặt phẳng (SCM). Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, góc SBC bằng 600,

mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC).

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác

SAC tới (SCD) là 3

6

a. Tính khoảng cách từ tâm O của ñáy tới (SCD).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, tâm I và cạnh bên SA vuông

góc với mặt ñáy (ABCD). Mặt bên (SBC) tạo với mặt ñáy (ABCD) một góc bằng 600. Gọi G là trọng tâm

tam giác SAC. Tính khoảng cách từ G ñến mặt phẳng (SBC).


Nguồn : Hocmai.vn



Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách (Phần 04) thuộc


Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các vấn ñề về khoảng cách

(Phần 04). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.






A

B

C

S

MK

H

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, SA = AB = a, AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là ñiểm trên cạnh AB sao cho BM = 2MA. Tính khoảng cách từ B ñến

mặt phẳng (SCM).

Giải:

Tam giác BMC có 2

; 33

aBM BC a= =

2 22 2 2 24 31

39 9

a aMC BM BC a= + = + =

31

3

aMC⇒ =

Ta có: ( , ( ))

2 ( , ( )) 2 ( , ( ))( , ( ))

d B SCM BMd B SCM d A SCM

d A SCM AM= = ⇒ =

Gọi K là hình chiếu của A trên ñường thẳng CM (do góc AMC > 900 nên K nằm ngoài ñoạn CM).

Ta có à ( ê ( )CK AK v CK SA do SA ABC n n CK SAK⊥ ⊥ ⊥ ⊥

( ) ( ) à ( ) ( )SCK SAK v SCK SAK SK⇒ ⊥ ∩ = . Kẻ ( )AH SK H SK⊥ ∈

( )AH SCM⇒ ⊥ . Vậy AH là khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SCM).

Các tam giác AKM và CBM ñồng dạng nên ta có:

. 3

31

AK AM BC AM aAK

BC CM CM= ⇒ = =

AH là ñường cao của tam giác vuông SAK nên:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 31 1 34 3

AS 3 3 34

aAH

AH AK a a a= + = + = ⇒ =

Vậy 2 3

( , ( ))34

ad B SCM =

Chú ý: Ta cũng có thể tính trực tiếp khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (SCM) theo cách:

..

31( , ( )). ( , ( ))

3S BCM

S BCM SCMSCM

VV d B SCM S d B SCM

S= ⇒ =

Trong ñó .

1.

3S BCM BCMV SA S= (dạng này sẽ có trong bài giảng thể tích khối chóp (phần 3)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, góc SBC bằng 600,

mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC).

Giải:







www.VNMATH.com






A

B

C

S

H

K

E

O

B

A

D

C

S

M

H

G

K

Gọi H là trung ñiểm của cạnh AC

, ó ( ) ( )SH AC c SAC ABC⇒ ⊥ ⊥ ,

( ) ( )SAC ABC AC∩ = nên ( )SH ABC⊥

ðặt ( 0)SH x x= >

Tam giác SHC vuông ta có: 2

2 2

4

aSC x= +

Tam giác SHB vuông ta có: 2

2 2 3

4

aSB x= +

Áp dụng ñịnh lí Côsin trong tam giác SBC ta có: 2 2 2 2 . .cosSC SB BC SB BC SBC= + −

2 2 22 2 2 23 3 1

2 . .4 4 4 2

a a ax x a a x⇒ + = + + − +

22 3 3 6

.4 2 2

a a ax x⇔ + = ⇔ =

Vậy 6

2

aSH =

Gọi K là hình chiếu của H trên ñường thẳng AC ta có:

( ) ( ) ( ) à ( ) ( )BC HK

BC SHK SBC SHK v SBC SHK SKBC SH

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ∩ =

⊥

Kẻ ( ) ( ; ( ))HE SK HE SBC HE d H SBC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =

Do H là trung ñiểm của AC nên có: ( ; ( )) 2 ( ; ( )) 2d d A SBC d H SBC HE= = =

Tam giác vuông BHC có: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 4 16

3 3HK HB HC a a a= + = + =

Tam giác vuông SHK có: 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 16 18 6

3 3 3HE HS HK a a a a= + = + = =

22 6 2 6 6

( ;( ))6 6 6 36

a a a a aHE HE d d A SBC⇒ = ⇒ = = ⇒ = = =

Chú ý: ta có thể dùng phương pháp: 1 3

.3

VV S h h

S= ⇒ =

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a, khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác

SAC tới (SCD) là 3

6

a. Tính khoảng cách từ tâm O của ñáy tới (SCD).

Giải: Gọi O là tâm của ñáy ABCD.

Vì SO là một trung tuyến của tam giác SAC

nên trọng tâm G của tam giác SAC nằm trên SO là có 2

3

SG

SO= .

Gọi M là trung ñiểm của CD

Ta có OM DC SM DC⊥ ⇒ ⊥ (ñịnh lí ba ñường vuông góc)

( ) ( ) ( )DC SOM SDC SOM⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Lại có: ( ) ( )SOM SDC SM∩ = nên nếu



I

A

B

D C

S

M

G K

kẻ ( ) ì ( )OH SM H SM th OH SDC⊥ ∈ ⊥

( ; ( ))d O SCD OH⇒ =

Trong tam giác SOM kẻ GK// OH

( ) ( , ( ))GK SDC d G SDC GK⇒ ⊥ ⇒ =

Từ giả thiết suy ra 3

6

aGK =

Ta có: 2 3 3 3 3

.3 2 2 6 4

GK SG a aOH GK

OH SO= = ⇒ = = =

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, tâm I và cạnh bên SA vuông

góc với mặt ñáy (ABCD). Mặt bên (SBC) tạo với mặt ñáy (ABCD) một góc bằng 600. Gọi G là trọng tâm

tam giác SAC. Tính khoảng cách từ G ñến mặt phẳng (SBC).

Giải:

Do , ê ( )SA BC AB BC n n BC SAB⊥ ⊥ ⊥ .

Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt ñáy (ABCD) bằng góc SBA = 600.

Suy ra SA=AB.tan60 3a= .

Gọi M là trung ñiểm AD.

Hạ ( ( )) êAK SB do BC SAB n n BC AK⊥ ⊥ ⊥

Suy ra 2 2 2 2

1 1 1 4( ) à

3AK SBC v

AK SA AB a⊥ = + =

Vậy 3

2

aAK = .

( , ( )) 2

( , ( )) 3

d G SBC GS

d M SBC MS= =

Vì AM song song với (SBC)

nên 3

( , ( )) ( , ( ))2

ad M ABC d A SBC AK= = =

Vậy 2 3 3

( , ( )) .3 2 3

a ad G SBC = = .


Nguồn : Hocmai.vn

www.VNMATH.com



d'

d

M

N

1. ðịnh nghĩa ñoạn vuông góc chung

MN là ñoạn vuông góc chung của d và d’ '

; '

MN d

MN d

M d N d

⊥

⇔ ⊥ ∈ ∈

2. ðịnh nghĩa khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa 2 ñường thẳng chéo nhau d và d’ (kí hiệu d(d;d’)) chính là ñộ dài ñoạn vuông góc

chung.

3. Cách tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau d và d’ Cách 1: Tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung

Cách 2: Tìm (P) chứa d và song song d’

Khi ñó d(d;d’) = d(d;(P))=d(A;(P)) với ñiểm A bất kì thuộc d

Chú ý: ñiều kiện ñể ñường thẳng song song với mặt phẳng khi ñường thẳng ñó song song với 1 ñường

thẳng thuộc mặt phẳng. Bài 1 (Trích ðHKA-2010) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. M, N là trung ñiểm

của AB và AD, H là giao ñiểm của CN và DM, SH vuông góc mặt phẳng (ABCD), SH 3a= . Tính

khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau DM và SC. Bài 2 (Trích ðHKB-2007) Cho tứ giác ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, E ñối xứng với

D qua trung ñiểm SA, M là trung ñiểm của AE, N là trung ñiểm của BC. Chứng minh rằng MN vuông góc

BD và tính khoảng cách giữa MN và AC.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và CD.

Bài 4. Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a . Tính

khoảng cách giữa AD và SB.


Nguồn: Hocmai.vn







P

d'

h

dA






Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình thang nội tiếp trong ñường tròn ñường kính AD,

AD//BC, AD=2a, AB=BC=CD=a, SA⊥ (ABCD), d(A,(SCD)) = a 2 , I là trung ñiểm AD. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng chéo nhau BI và SC.

Bài 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC ñôi một vuông góc, OA=a, OB=2a, OC=3a. M là trung ñiểm

OB. Tính d(AM, OC).

Bài 3. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC=2a, 0120ACB∠ = , góc giữa ñường thẳng A’C và (ABB’A’) bằng 300. M là trung ñiểm của BB’. Tính khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và CC’.

Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc giữa cạnh bên AA1 và mặt ñáy

bằng 300. Hình chiếu H của A trên (A1B1C1) thuộc B1C1. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AA1 và B1C1.

Bài 5. Chóp SABC ñáy ABC là tam giác vuông cân A, AB = a, góc giữa các cạnh bên và mặt ñáy bằng

600. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SC theo a.

Bài 6. Cho lăng trụ ñều ABCA’B’C’ (lăng trụ ñứng có ñáy là tam giác ñều) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, BB’. Tính d(B’M, CN).


Nguồn : Hocmai.vn







(Tài liệu dùng chung bài 11+12)

www.VNMATH.com






a

2a

a

a

IA

B C

D

S

H

AD

CB

SCD

D

A

I

2a

3a

a

NM

O

B

C

A

H



Giải

- DC AC

( ).DC A

DC SACS

⊥=> ⊥

⊥

Mà DC ⊂ (SCD) => (SAC) ⊥ (SCD) theo giao tuyến SC. Do ñó kẻ AH ⊥ SC (H∈SC) => AH ⊥ (SCD).

⇒AH = d(A, (SCD)) = a 2 . - (SCD) chứa SC và // với BI

=> d(BI, SC) = d(I, (SCD)).

Ta có: ( , ( )) 1

2

d I SCD DI

AH DA= =

=> d(I, (SCD))=1 2

( , ).2 2

aAH d IB SC= =



Giải - Gọi N là trung ñiểm BC, khi ñó (AMN) chứa AM và // với OC => d(AM,OC) = d (O, (AMN)).

- MN OB

( ).MN A

MN AOBO

⊥=> ⊥

⊥

Mà MN⊂ (AMN) => (AOB) ⊥ (AMN) theo giao tuyến AM. Do ñó kẻ OH ⊥AM (H∈AM) => OH⊥ (AMN)

=> OH=d(O,(AMN)).













120

a

2a

30

M

C'

A'

B'

B

A

C

H

B1

A

30A1

C1

C

B

H

K

- Ta có 2

22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2.

2 2

a aOH OH

OH OA OM a a a= + = + = => = => =

Bài 3. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC=2a, 0120ACB∠ = , góc giữa ñường thẳng A’C

và (ABB’A’) bằng 300. M là trung ñiểm của BB’. Tính khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và CC’.

Giải - (CAB)⊥ (ABB’A’) theo giao tuyến AB,

nên trong (CAB) kẻ CH ⊥AB (H∈AB)

=> CH⊥ (ABB’A’) => 0( ' , ( ' ') ' 30 .A C ABB A CA H∠ = ∠ =

- (ABB’A’) chứa AM và // với CC’

=> d(AM, CC’) = d(C, (ABB’A’))=CH.

- Tính CH? Áp dụng ñịnh lý hàm số cosin ta có:

AB2=CA2+CB2-2CA.CB.cos 1200

= a2+4a2-2a.2a.1

( )2

−= 7a2 => AB=a 7 .

Mặt khác ta có: 1

.2ABCS AB CH∆ =

� 01 1. .sin120 .

2 2CA CB AB CH=

� a.2a.3

2= a 7 .CH => CH = a.

3

7= a

21

7= d (AM, CC’).



Giải

- AH⊥ ( A1B1C1) => góc giữa AA1 và (A1B1C1) là góc 1AA H∠ , theo giả thiết 1AA H∠ =300.

- Xét tam giác vuông AHA1, ta có:

cos 300= 1

1

A H

AA=> A1H = AA1cos300 = a

3

2.

- ∆ A1B1C1 ñều, A1H =a3

2=> A1H⊥B1C1.

- Kẻ HK ⊥AA1 (K∈ AA1), ta có:

1 1 11 1 1 1 1

1 1

B C A HB C ( A H) B C HK

B C AHA

⊥=> ⊥ => ⊥

⊥

=> HK là ñoạn vuông góc chung của A A1và B1C1

=> HK = d(A A1, B1C1).

- Tính HK?

1AA 1 1

1 1. .

2 2HS A H AH AA HK∆ = = => A1H.AH = AA1.HK => HK= 1

1

3.A H.AH 32 .

AA 2

aAH

AHa

= =

Xét tam giác vuông AA1H, ta có:

www.VNMATH.com



B

A

S

C

D

H

E

K

K

SDC

D

A

H

K

O

N

M

C

B

A

A'

B'

C'

H

sin 300=1

AH

AA�

1 3 3.

2 2 2 2 4

AH a a aAH HK

a= <=> = => = =



Giải - Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).

Ta có 060SAH SBH SCH∠ = ∠ = ∠ = => AH=BH=CH => H là trung ñiểm của BC. - Gọi D là ñiểm ñối xứng với A qua H

=> AB//CD => AH//(SCD)

=> d(AB,SC) = d(AB,(SCD))=d(A,(SCD)). - Gọi E là trung ñiểm của CD.

Khi ñó (SHE)⊥ (SCD) theo giao tuyến SE,

nên trong (SHE) kẻ HK⊥ SE(K∈SE)

=> HK⊥ (SCD) => HK=d(H,(SCD)).

- Ta có: 2 2 2

1 1 1

HK HS HE= +

Mà :

- Xét tam giác vuông SHA, ta có: tan600=SH

AH=> SH=AH.tan600=

1

2. tan600=

1

2. 2. 3a =

6

2

a.

- Xét tam giác vuông HEC ( vuông tại E), ta có: HE2 = HC2 - EC2 = 2

2 22 3( ) ( )

2 2 4

a a a− =

Do ñó: 2

222 2 2 2

2

1 1 1 2 4 2.

3 3 236 2( )

42

a aHK HK

HK a a aaa= + = + = => = => =

- Ta có: 1

( , ( )) 2

HK DH

d A SCD DA= =

1 1( , ( )) .

2 2 2

ad A SCD HK=> = =

Bài 6. Cho lăng trụ ñều ABCA’B’C’ (lăng trụ ñứng có ñáy là tam giác ñều) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi

M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, BB’. Tính d(B’M, CN).

Giải - B’M//AN => B’M//(ACN)

=> d(B’M//CN)= d(B’M,(ACN))= d(B’,(ACN))=d(B,(ACN)).

(BB’ cắt (ACN) tại trung ñiểm N của BB’ => d(B’,(ACN))= d(B,(ACN)) ).

- Gọi O là trung ñiểm BC, kẻ OK⊥CN(K∈CN). Khi ñó:

(OAK) ⊥ (ACN) => OH=d(O, (ACN)).

- Ta có: 2 2 2

1 1 1

OH OK OA= +

Mà:

- Tam giác vuông OKC ñồng dạng với tam giác vuông NBC ( C∠ chung)



N

ACN

B'

B

� 2 2

2 2

2 2

( )2 2 2

a aOK CO OK OK

a aNB CN aCB BN a

= <=> = <=> =+ +

�

2

2

.2 2 4

5 2 5524

a a aa

OKaa

= = =

+) OA=3

2

a.

22

2 22 2 2 2

1 1 1 20 4 64 3 3.

3 3 64 8320 4

a aOH OH

OH a a aa a= + = + = => = => =

Ta có: 1

( , ( )) 2

OH CO

d B ACN CB= =

- d(B,(ACN)) = 2.OH=3

4

a = d(BM’, CN).


Nguồn : Hocmai.vn

www.VNMATH.com



Bài 5: Cho chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc C bằng 600, ñường cao SO = a. Tính

khoảng cách giữa AD và SB.

Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC. A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a; 2

AA '2

a= . Tính khoảng

cách giữa AB và CB’.

Bài 7: Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD ñều, mặt phẳng (SAD) vuông góc với ñáy. Tính khoảng cách giữa SA và BD.

Bài 8 (ðHKA – 2011) Cho chóp SABC ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = 2a, mặt phẳng

(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với ñáy (ABC). M là trung ñiểm của AB, mặt phẳng qua SM và song

song với BC cắt AC tại N, ( ) 0( ), ( ) 60SBC ABC∠ = . Tính khoảng cách giữa AB và SN.

Bài 9 (ðHKD – 2008) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ ñáy ABC là tam giác vuông, BA = BC = a,

AA ' 2a= , M là trung ñiểm của BC. Tính khoảng cách giữa AM và B’C.

Bài 10 (ðHKA-2012) Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S

trên (ABC) là H biết H thuộc AB sao cho HA = 2HB, góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA và BC.


Nguồn: Hocmai.vn
















Bài 3. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC=2a, 0120ACB∠ = , góc giữa ñường thẳng A’C và (ABB’A’) bằng 300. M là trung ñiểm của BB’. Tính khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và CC’.





Bài 6. Cho lăng trụ ñều ABCA’B’C’ (lăng trụ ñứng có ñáy là tam giác ñều) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, BB’. Tính d(B’M, CN).


Nguồn : Hocmai.vn













a

2a

a

a

IA

B C

D

S

H

AD

CB

SCD

D

A

I

2a

3a

a

NM

O

B

C

A

H



Giải

- DC AC

( ).DC A

DC SACS

⊥=> ⊥

⊥

Mà DC ⊂ (SCD) => (SAC) ⊥ (SCD) theo giao tuyến SC. Do ñó kẻ AH ⊥ SC (H∈SC) => AH ⊥ (SCD).

⇒AH = d(A, (SCD)) = a 2 . - (SCD) chứa SC và // với BI

=> d(BI, SC) = d(I, (SCD)).

Ta có: ( , ( )) 1

2

d I SCD DI

AH DA= =

=> d(I, (SCD))=1 2

( , ).2 2

aAH d IB SC= =



Giải - Gọi N là trung ñiểm BC, khi ñó (AMN) chứa AM và // với OC => d(AM,OC) = d (O, (AMN)).

- MN OB

( ).MN A

MN AOBO

⊥=> ⊥

⊥

Mà MN⊂ (AMN) => (AOB) ⊥ (AMN) theo giao tuyến AM. Do ñó kẻ OH ⊥AM (H∈AM) => OH⊥ (AMN)

=> OH=d(O,(AMN)).













120

a

2a

30

M

C'

A'

B'

B

A

C

H

B1

A

30A1

C1

C

B

H

K

- Ta có 2

22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2.

2 2

a aOH OH

OH OA OM a a a= + = + = => = => =

Bài 3. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC=2a, 0120ACB∠ = , góc giữa ñường thẳng A’C

và (ABB’A’) bằng 300. M là trung ñiểm của BB’. Tính khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và CC’.

Giải - (CAB)⊥ (ABB’A’) theo giao tuyến AB,

nên trong (CAB) kẻ CH ⊥AB (H∈AB)

=> CH⊥ (ABB’A’) => 0( ' , ( ' ') ' 30 .A C ABB A CA H∠ = ∠ =

- (ABB’A’) chứa AM và // với CC’

=> d(AM, CC’) = d(C, (ABB’A’))=CH.

- Tính CH? Áp dụng ñịnh lý hàm số cosin ta có:

AB2=CA2+CB2-2CA.CB.cos 1200

= a2+4a2-2a.2a.1

( )2

−= 7a2 => AB=a 7 .

Mặt khác ta có: 1

.2ABCS AB CH∆ =

� 01 1. .sin120 .

2 2CA CB AB CH=

� a.2a.3

2= a 7 .CH => CH = a.

3

7= a

21

7= d (AM, CC’).



Giải

- AH⊥ ( A1B1C1) => góc giữa AA1 và (A1B1C1) là góc 1AA H∠ , theo giả thiết 1AA H∠ =300.

- Xét tam giác vuông AHA1, ta có:

cos 300= 1

1

A H

AA=> A1H = AA1cos300 = a

3

2.

- ∆ A1B1C1 ñều, A1H =a3

2=> A1H⊥B1C1.

- Kẻ HK ⊥AA1 (K∈ AA1), ta có:

1 1 11 1 1 1 1

1 1

B C A HB C ( A H) B C HK

B C AHA

⊥=> ⊥ => ⊥

⊥

=> HK là ñoạn vuông góc chung của A A1và B1C1

=> HK = d(A A1, B1C1).

- Tính HK?

1AA 1 1

1 1. .

2 2HS A H AH AA HK∆ = = => A1H.AH = AA1.HK => HK= 1

1

3.A H.AH 32 .

AA 2

aAH

AHa

= =

Xét tam giác vuông AA1H, ta có:



B

A

S

C

D

H

E

K

K

SDC

D

A

H

K

O

N

M

C

B

A

A'

B'

C'

H

sin 300=1

AH

AA�

1 3 3.

2 2 2 2 4

AH a a aAH HK

a= <=> = => = =



Giải - Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).

Ta có 060SAH SBH SCH∠ = ∠ = ∠ = => AH=BH=CH => H là trung ñiểm của BC. - Gọi D là ñiểm ñối xứng với A qua H

=> AB//CD => AH//(SCD)

=> d(AB,SC) = d(AB,(SCD))=d(A,(SCD)). - Gọi E là trung ñiểm của CD.

Khi ñó (SHE)⊥ (SCD) theo giao tuyến SE,

nên trong (SHE) kẻ HK⊥ SE(K∈SE)

=> HK⊥ (SCD) => HK=d(H,(SCD)).

- Ta có: 2 2 2

1 1 1

HK HS HE= +

Mà :

- Xét tam giác vuông SHA, ta có: tan600=SH

AH=> SH=AH.tan600=

1

2. tan600=

1

2. 2. 3a =

6

2

a.

- Xét tam giác vuông HEC ( vuông tại E), ta có: HE2 = HC2 - EC2 = 2

2 22 3( ) ( )

2 2 4

a a a− =

Do ñó: 2

222 2 2 2

2

1 1 1 2 4 2.

3 3 236 2( )

42

a aHK HK

HK a a aaa= + = + = => = => =

- Ta có: 1

( , ( )) 2

HK DH

d A SCD DA= =

1 1( , ( )) .

2 2 2

ad A SCD HK=> = =

Bài 6. Cho lăng trụ ñều ABCA’B’C’ (lăng trụ ñứng có ñáy là tam giác ñều) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi

M, N lần lượt là trung ñiểm của AA’, BB’. Tính d(B’M, CN).

Giải - B’M//AN => B’M//(ACN)

=> d(B’M//CN)= d(B’M,(ACN))= d(B’,(ACN))=d(B,(ACN)).

(BB’ cắt (ACN) tại trung ñiểm N của BB’ => d(B’,(ACN))= d(B,(ACN)) ).

- Gọi O là trung ñiểm BC, kẻ OK⊥CN(K∈CN). Khi ñó:

(OAK) ⊥ (ACN) => OH=d(O, (ACN)).

- Ta có: 2 2 2

1 1 1

OH OK OA= +

Mà:

- Tam giác vuông OKC ñồng dạng với tam giác vuông NBC ( C∠ chung)



N

ACN

B'

B

� 2 2

2 2

2 2

( )2 2 2

a aOK CO OK OK

a aNB CN aCB BN a

= <=> = <=> =+ +

�

2

2

.2 2 4

5 2 5524

a a aa

OKaa

= = =

+) OA=3

2

a.

22

2 22 2 2 2

1 1 1 20 4 64 3 3.

3 3 64 8320 4

a aOH OH

OH a a aa a= + = + = => = => =

Ta có: 1

( , ( )) 2

OH CO

d B ACN CB= =

- d(B,(ACN)) = 2.OH=3

4

a = d(BM’, CN).


Nguồn : Hocmai.vn

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối chóp


A. Thể tích khối chóp: I. Công thức chung:

1

3Dieän tích ñaùy x chieàu cao

* Chieàu cao laø ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc haï töø ñænh xuoáng maët ñaùy. Chaân ñöôøng cao coù theå naèm trong ñaùy hoaëc ngoaøi ñaùy.

V =

II. Các dạng bài tập:

Dạng I: Chóp có cạnh bên vuông góc ñáy. Bài 1: TK 2006

0120ABC⊥ ∠ =Cho choùp S.ABC coù SA = 3a, SA ( ), AB = BC = 2a, ABC . Tính theå tích khoái choùp S.ABC.Bài 2: ðHKA2011 Cho chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc (ABC). Gọi M là trung ñiểm AB, mặt phẳng qua SM và song song BC, cắt AN tại N. Biết

góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.

Bài 3: ðHKB 2006

Chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, 2AD a= , SA vuông góc (ABC). SA = a. M là trung ñiểm AD. N là trung ñiểm SC, I là giao ñiểm của AC và BM. a. Chứng minh rằng : mp(SAC) vuông góc mp(SBM)

b. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 01)


Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Thể tích khối chóp (Phần 01) thuộc khóa

học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể

nắm vững kiến thức phần Thể tích khối chóp (Phần 01), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài

giảng này.






Bài 4 : ðBKD 2010 Chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp(ABCD), SA = a, E là trung ñiểm CD.

H là hình chiếu của S trên BE. Tính thể tích S.ABH.

Bài 5 : ðHKD-2012 Cho hình hộp ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân A’C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’.

Bài 6 : ðHKD-2013 : Cho chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi cạnh a, SA vuông góc với ñáy, góc BAD bằng 1200, M là trung ñiểm của BC, góc SMA bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.


Nguồn: Hocmai.vn



Bài 1. Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với ñáy hình chóp. Cho

AB = a, SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông gãc của A lên SB, SD. Chứng minh SC ⊥

(AHK) và tính thể tích khối chóp OAHK.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ñáy và SA= a . Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của SB và SD; I là giao ñiểm của SC và mặt phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông

góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ñáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng ñáy một góc 600 .Trên cạnh SA lấy ñiểm M sao

cho AM =3

3

a, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ñáy. Góc giữa mặt

phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC, trong ñó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). ðáy là tam giác ABC cân tại

A, ñộ dài trung tuyến AD là a , cạnh bên SB tạo với ñáy một góc α và tạo với mặt (SAD) góc β . Tìm thể

tích hình chóp S.ABC

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SC ⊥ (ABC) và ∆ABC vuông tại B. Biết rằng AB = a, AC = ( )3 0a a >

và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng α với tan 136

α = .

Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Bài 7. Khối chóp tam giác SABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh C và SA vuông góc với mặt

phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) ñể thể tích khối chóp lớn nhất .

Bài 8. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD), SA = a, ñiểm M∈AD,

E∈CD, AM = CE = .4

a Gọi N là trung ñiểm của BM, K là giao ñiểm của AN và BC. Tính thể tích khối

chóp SADK theo a và chứng minh rằng: (SKD)⊥ (SAE).

Bài 9. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD), SA = a; A’, B’, C’, D’ lần

lượt là trung ñiểm của SC, SD, SA, SB. S’ là tâm hình vuông ABCD. Tính thể tích khối chóp

S’A’B’C’D’.


Nguồn : Hocmai.vn



Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối chóp (Phần 01) thuộc khóa

học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn

kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối chóp (Phần 01).

ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.






Bài 1. Cho hình chóp SABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với ñáy hình chóp. Cho

AB = a, SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông gãc của A lên SB, SD. Chứng minh SC ⊥

(AHK) và tính thể tích khối chóp OAHK.

Giải: + BC vuông góc với (SAB)

⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB

⇒AH vuông góc với (SBC) ⇒AH vuông góc SC (1)

+ Tương tự AK vuông góc SC (2)

(1) và (2) ⇒SC vuông góc với (AHK ) 2 2 2 23SB AB SA a= + =

6SB 3 AH.SB SA.AB AH

3

2 3 2 3SH SK

3 3

aa

a a

⇒ = ⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

Ta có HK song song với BD nên 2 2

3

HK SH aHK

BD SB= ⇒ = .

Kẻ OE// SC ( )( ( ))OE AHK doSC AHK⇒ ⊥ ⊥ suy ra OE là ñường cao của hình chóp OAHK và OE=1/2

IC=1/4SC = a/2

Gọi AM là ñường cao của tam giác cân AHK ta có 2

2 2 2 4

9

aAM AH HM= − = ⇒AM=

2

3

a

31 1 1 2. . .

3 3 2 2 27OAHK AHK

a aV OE S HK AM= = =

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ñáy và SA= a . Gọi M, N

lần lượt là trung ñiểm của SB và SD; I là giao ñiểm của SC và mặt phẳng (AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.

Giải:

Ta có , ( , )

, ( )

AM BC BC SA BC AB

AM SB SA AB

⊥ ⊥ ⊥

⊥ =AM SC⇒ ⊥ (1)

Tương tự ta có AN SC⊥ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AI SC⊥












D

C

A B

S

N

MI

H

Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi ñó IH vuông góc với (AMB)

Suy ra 1

.3ABMI ABMV S IH=

Ta có 2

4ABM

aS =

2 2

2 2 2 2 2

. 1 1 1

2 3 3 3

IH SI SI SC SA aIH BC a

BC SC SC SA AC a a= = = = = ⇒ = =

+ +

Vậy 2 31

3 4 3 36ABMI

a a aV = =

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông

góc với mặt phẳng ñáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng ñáy một góc 600 .Trên cạnh SA lấy ñiểm M sao

cho AM =3

3

a, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM

Giải: Tính thể tích hình chóp SBCMN.

( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD

Ta có : BC AB

BC BMBC SA

⊥⇒ ⊥

⊥.

Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là ñường cao

Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,

33 23

2 33

aaMN SM MN

AD SA a a

−= ⇔ = =

Suy ra MN = 4

3

a . BM =

2

3

a

Diện tích hình thang BCMN là :

S = 2

42 2 103

2 2 3 3 3

aaBC MN a a

BM

+ += =

Hạ AH ⊥ BM . Ta có SH⊥ BM và BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH.

Vậy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH là ñường cao của khối chóp SBCNM

Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM

SB MS= =

1

2 .

Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒ 030SBH∠ = ⇒ SH = SB.sin300 = a

Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = 1

.( )3

SH dtBCNM = 310 3

27

a

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ñáy. Góc giữa mặt

phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Giải: Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC. Chứng minh

ñược góc DMB = 1200 và ∆ DMB cân tại M



D C

BA

S

M

Tính ñược: DM2 = 2

3a2

∆ SCD vuông tại D và DM là ñường cao nên 2 2 2

1 1 1= +

DM DS DC

Suy ra DS = a 2 . Tam giác ASD vuông tại A suy ra SA = a.

Vậy thể tích S.ABCD bằng 1

3a3

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC, trong ñó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). ðáy là tam giác ABC cân tại

A, ñộ dài trung tuyến AD là a , cạnh bên SB tạo với ñáy một góc α và tạo với mặt (SAD) góc β . Tìm thể

tích hình chóp S.ABC

Giải:

Thể tích hình chóp S.ABC là: 1

. .3 ABCV SA S∆=

Tam giác ABC cân ñỉnh A nên trung tuyến AD

cũng là ñường cao của tam giác. Theo giả thiết:

( ) ( )( ),SA mp ABC SBA SB mp ABC α⊥ ⇒∠ = =

( )BD mp SAD BSD β⊥ ⇒∠ =

ðặt BD = x suy ra: 2 2 2 2 . tanAB a x SA a x α= + ⇒ = +

2 2

2 22

2 2

sin sin

sin tan sin

sin

os sin

BD SASB

x a x

ax

c

β α

α α β

βα β

= =

⇒ = +

⇒ =+

Do ñó: 3

2 22 2

1 sin .sin. . tan . .

3 os sin

aV a x a x

c

α βα

α β= + =

+

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SC ⊥ (ABC) và ∆ABC vuông tại B. Biết rằng AB = a, AC = ( )3 0a a >

và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng α với tan 136

α = .

Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Giải: Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB.

Ta chứng minh ñược

CK ⊥ (SAB), SA ⊥ (CHK) suy ra ∆CHK vuông tại K và SA ⊥ KH.

Do ñó α=∠CHK. Từ ( )2

213 13 13tan sin 16 19 19

CKCH

α α= ⇒ = ⇔ =

ðặt SC = x >0. Trong tam giác vuông SAC có 2 2

22 2 2 2 2

31 1 13

a xCHCH CA CS a x

= + ⇒ =+

Tương tự trong tam giác vuông SAC có 2 2

22 2

22

a xCKa x

=+



N

B C

A D

S

M

E

K

N

A M

B

K

AB

C

S

( ) ( )( )

2 2

2 2

2 3 131 6193 2

a x x aa x+⇒ = ⇔ =+

. Suy ra 31 . 23SABC ABCV SC S a= =

Bài 7. Khối chóp tam giác SABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) ñể thể tích khối chóp lớn nhất .

Giải:

Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) .

Ta có : �SCAϕ = ; BC = AC = a.cosϕ ; SA = a.sinϕ

Vậy ( )3 2 3 21 1 1 1. . . . . sin . sin 1 sin

3 6 6 6SABC ABCV S SA AC BC SA a cos aϕ ϕ ϕ ϕ= = = = −

Xét hàm số: f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1)

Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . ( ) 1' 0

3f x x= ⇔ = ±

Từ ñó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một ñiểm cực trị là ñiểm cực ñại, nên tại ñó hàm

số ñạt GTLN hay ( )

( )0;1

1 2

3 3 3xMax f x f∈

= =

Vậy MaxVSABC = 3

9 3

a, ñạt ñược khi sinϕ =

1

3 hay

1sin

3arcϕ = ( với 0 <

2

πϕ < )

Bài 8. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD), SA = a, ñiểm M∈AD,

E∈CD, AM = CE = .4

a Gọi N là trung ñiểm của BM, K là giao ñiểm của AN và BC. Tính thể tích khối

chóp SADK theo a và chứng minh rằng: (SKD)⊥ (SAE).

Giải

+ VSADK =1 1

. .3 3ADK ADKS SA S a∆ ∆=

Mà :

ADK ABCD ABK DCKS S S S∆ = − −

= a2 - SABM - 1

.2

CK CD

= a2 - 1

.2

AB AM - 1 3

. .2 4

aa

= a2 - 1

. .2 4

aa -

23

8

a=

2

.2

a

� VSADK=2 31

. . .3 2 6

a aa =

+ ( Lưu ý: Vì AM//BK nên theo hệ quả của ñịnh lý talet

ta có NM NA AM

NB NK BK= = .

Mà N là trung ñiểm của BM �NM=NB => NA=NK, AM=BK).

+ Ta thấy tam giác vuông ADE = tam giác vuông DCK ( vì CK=DE, AD=DC) => DAE CDK∠ = ∠ .

Mặt khác: 0 090 90 .DAE AED CDK AED AE DK∠ +∠ = => ∠ +∠ = => ⊥



D'

A'

C'

B'

D

C

AB

S

S'

Ta có: ( )DK AE

DK SAEDK SA

⊥=> ⊥

⊥, mà DK⊂ (SKD) => (SAE)⊥ (SKD).

Bài 9. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD), SA = a; A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung ñiểm của SC, SD, SA, SB. S’ là tâm hình vuông ABCD. Tính thể tích khối chóp

S’A’B’C’D’.

Giải - (A’B’C’D’)// (ABCD).

- ( ) ( ' ' ' ')SA ABCD SA A B C D⊥ => ⊥

- / / ' ' ( ' ' ' ')SA SA S A A B C D=> ⊥

VS’A’B’C’D’= ' ' ' '

1. . ' '

3 A B C DS S A .

Mà:

+ SA’=1

2SA=

2

a

+ A’B’C’D’ là hình vuông.

� SA’B’C’D’ = A’B’.A’D’=2

a.

2

a=

2

4

a => VS’A’B’C’D’ =

1

3.

2

4

a.

2

a=

3

24

a


Nguồn : Hocmai.vn



Dạng 2: Chóp có mặt bên vuông góc với ñáy + Cho chóp S.ABC có mặt bên (SAC) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Nếu kẻ SH vuông góc với AC (H

thuộc AC) thì ( )SH ABC⊥ SH⇒ là chiều cao của khối chóp S.ABC

+ Cho chóp S.ABCD có mặt bên SAB vuông góc với mặt ñáy. Nếu kẻ SH vuông góc AB (H thuộc AB)

thì ( )SH ABCD SH⊥ ⇒ là chiều cao của khối chóp

Bài tập minh họa Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC)

vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và 30oSBC∧

= . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Bài 2. Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 300, tam giác SBC ñều cạnh

a, mặt bên (SBC) vuông góc với ñáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C ñến mặt

phẳng (SAB).

Bài 3. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung ñiểm của ñoạn thẳng A’C, I là giao ñiểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ

diện IABC.

Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có ñộ dài cạnh bên bằng 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,

AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của ñỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung ñiểm của cạnh BC. Tính

theo a thể tích khối chóp A'.ABC.


Nguồn: Hocmai.vn

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP


Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Thể tích khối chóp thuộc khóa học Luyện


kiến thức phần Thể tích khối chóp, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.






Dạng 2: Chóp có mặt bên vuông góc với ñáy (tiếp)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =a 3 và mặt phẳng

(SAB) vuông góc với mặt phẳng ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, BC.

Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác ñều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc

giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung ñiểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(ABC) là ñiểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa ñường thẳng SC và mặt phẳng (ABC)

bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác ñều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ñáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.


Nguồn: Hocmai.vn

BÀI GIẢNG SỐ 15. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP


Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Thể tích khối chóp thuộc khóa học Luyện thi

ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến

thức phần Thể tích khối chóp, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.






Bài 1. Cho chóp S.ABC có góc 0 090 , 30 , ( ) ( ).BAC ABC SAB ABC∠ = ∠ = ⊥ Tam giác SBC ñều cạnh a.

Tính thể tích chóp S.ABC theo a..

Bài 2. Cho chóp SABC ñáy là tam giác vuông cân tại B có BC = a. Mặt SAC vuông góc với ñáy, các mặt

bên còn lại tạo với ñáy 1 góc 45 ñộ. Tính thể tích chóp?

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi ; hai ñường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt

nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ

ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) bằng 3

4

a, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại ñỉnh A, AB=AC=a. Mặt bên qua cạnh

huyền BC vuông góc với mặt ñáy, hai mặt bên còn lại ñều hợp với mặt ñáy các góc 60o. Hãy tính thể tích

của khối chóp S.ABC.

Bài 5. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA=a, SB=a 3 , 060BAD∠ = ,

(SAB)⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, BC. Tính thể tích khối tứ diện NSDC và tính

cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và DN.

Bài 6. Cho hình chóp tứ giác SABCD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD), ñáy

ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 . Gọi I là ñiểm thuộc SC sao cho SI = 2CI và AI⊥ SC. Tính

thể tích khối chóp SABCD.

Bài 7. Cho hình chóp SABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30o, M là trung

ñiểm của SC. Tính thể tích khối chóp SABM.

Bài 8. Dự bị KA-2010: Chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BA=AC=a,

( ) ( )SBC ABC⊥ , hai mặt bên còn lại hợp với ñáy 1 góc 600. Tính thể tích chóp S.ABC.


Nguồn : Hocmai.vn



Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối chóp thuộc khóa học Luyện

thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra,

củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối chóp. ðể sử dụng hiệu quả,

Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.







Bài 1. Cho chóp S.ABC có góc 0 090 , 30 , ( ) ( ).BAC ABC SAB ABC∠ = ∠ = ⊥ Tam giác SBC ñều cạnh a.

Tính thể tích chóp S.ABC theo a..

Giải: Ta có:

0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) sin 302

SAB ABCa

SAB ABC AB AC SAB h AC BC

AC AB

⊥

∩ = ⇒ ⊥ ⇒ = = = ⊥

Do ( )AC SAB AC SA SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒� vuông tại A nên ta có:

2 2 3

2

aSA AB SC AC= = − =

Tam giác SAB cân tại S, M là trung ñiểm SB suy ra AM là ñường cao của tam giác này và: 2

2 2 2 1 2( ) .

2 2 3 24SABC ABC

SB a aAM SA V CA S= − = ⇒ = =

Bài 2. Cho chóp SABC ñáy là tam giác vuông cân tại B có BC = a. Mặt SAC vuông góc với ñáy, các mặt

bên còn lại tạo với ñáy 1 góc 45 ñộ. Tính thể tích chóp?

Giải:

Kẻ , ( ) ( ) ( )SH BC SAC ABC SH ABC⊥ ⇒ ⇒ ⊥

Gọi I, J là hình chiếu của H lên AB, BC 0, 45 .SI AB SJ BC SIH SJH⇒ ⊥ ⊥ ⇒∠ = ∠ =

Ta có: SHI SHJ HI HJ∆ = ∆ ⇒ =

⇒BH là ñường phân giác góc ABC, nên H là trung ñiểm AC.

Khi ñó: 31

HI HJ SH= .2 3 12SABC ABC

a aV SH S= = ⇒ = =

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi ; hai ñường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt

nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ

ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) bằng 3

4

a, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Giải:

Từ giả thiết AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung ñiểm O của mỗi ñường chéo.



Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối chóp thuộc khóa học Luyện thi

ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng

cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối chóp. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn

cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.







Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = 3a ; BO = a , do ñó 0A D 60B∠ = hay tam giác ABD ñều.

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của

chúng là SO ⊥ (ABCD)

Do tam giác ABD ñều nên với H là trung ñiểm của AB, K là trung ñiểm của HB ta có DH AB⊥ và DH =

3a ; OK // DH và 1 3

2 2

aOK DH= = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)

Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O

ñến mặt phẳng (SAB).

Tam giác SOK vuông tại O, OI là ñường cao ⇒ 2 2 2

1 1 1

2

aSO

OI OK SO= + ⇒ =

Diện tích ñáy 2D 4S 2. . 2 3ABC ABOS OAOB a∆= = = ; ñường cao của hình chóp

2

aSO = .

Thể tích khối chóp S.ABCD: 3

. D D

1 3.

3 3S ABC ABC

aV S SO= = .

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại ñỉnh A, AB=AC=a. Mặt bên qua cạnh

huyền BC vuông góc với mặt ñáy, hai mặt bên còn lại ñều hợp với mặt ñáy các góc 60o. Hãy tính thể tích

của khối chóp S.ABC.

Giải:

Kẻ SH vuông góc với BC. Suy ra SH ⊥ mp (ABC)

Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ⊥ AC

⇒góc SIH = góc SJH = 60o ⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ

⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông

⇒ I là trung ñiểm AB ⇒ IH = a/2

Trong tam giác vuông SHI ta có 3

2

aSH =

V(SABC) = 31 3

.3 12ABC

aSH S∆ = (ñvdt)

Bài 5. Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA=a, SB=a 3 , 060BAD∠ = ,

(SAB)⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, BC. Tính thể tích khối tứ diện NSDC và tính

cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và DN.



E

N

M

AD

B C

S

I

H

Giải +) VNSDC=?

- Ta có: SA2+SB2=a2+3a2=4a2=AB2

=> ∆ SAB vuông tại S => SM=1

2AB a=

=> ∆ SAM ñều.

- Gọi H là trung ñiểm AM => SH⊥AB.

- ( ) ( )

( )( ),

SAB ABCD ABSH ABCD

SH SAB SH AB

⊥ ==> ⊥

⊂ ⊥

- VNSDC = VSNDC=1

. .3 NDCS SH∆

Mà:

+ 01 1 1 1. . . .sin 60

2 2 2 2NDC BDC BDAS S S AB AD∆ ∆ ∆= = = = 21 3 3

.2 .2 .4 2 2

aa a =

+ SH= 3

2

a (SH là ñường cao trong tam giác ñều SAM).

� VNSDC=2 31 3 3

. .3 2 2 4

a a a= .

+) d(SM, DN)=?

- Gọi E là trung ñiểm của AD, ta có: BN//=ED => BNDE là hình bình hành => BE//ND.

- Gọi I là trung ñiểm của AE => MI//BE => MI//ND => ( , ) ( , )SM DN SM MI∠ = ∠

- Ta có: SI2 = MS2 + MI2 - 2MS.MI.cos SMI => 2 2 2

cos2. .

MS MI SISMI

MS MI

+ −=

Mà: + SM=1

2AB=

1

2.2a = a.

+ MI2 = AM2 + AI2 - 2AM.AI.cos600 = a2 + 2 21 3

2. . .2 2 2 4

a a aa− =

+ Xét tam giác vuông SHI, ta có: SI2 = SH2 + HI2 = 2 23( )

2

aHI+ .

Hơn nữa tam giác AHI ñều => HI=2 2

2 23

2 4 4

a a aSI a=> = + =

� Cos

22 23

34 03 4 3

2. .2

aa a

SMIa

a

+ −= = ⟩ .

� ( ) ( ) ( ) 3, os , os , os

4 3SM MI SMI c SM DN c SM MI c SMI∠ = ∠ => ∠ = ∠ = = .

Bài 6. Cho hình chóp tứ giác SABCD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD), ñáy

ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 . Gọi I là ñiểm thuộc SC sao cho SI = 2CI và AI⊥ SC. Tính

thể tích khối chóp SABCD.

Giải - Gọi O = AC∩BD..



C

O

D

B A

S

I

M

A

B

C

S

H

-

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

SAC SBD SO

SAC ABCD SO ABCD

SBD ABCD

∩ =

⊥ => ⊥ ⊥

- 1

.3SABCD ABDCV S SO=

Mà:

+ SABCD = AB.AD = a.a 3 = a 2 3 .

+ 1 1

. .2 2SACS SO AC SC AI∆ = =

=> SO.AC = SC.AI (*).

Hơn nữa:

AC = 2 2 2 23 2 .AD DC a a a+ = + =

SC = 2 2 2 2SO OC SO a+ = + .

AI = 2 2 2 21( )3

AC CI AC SC− = − (SI=2 IC => IC=1

3SC )

= 2 2 2

2 2 2 214 35

9 9 3

SC SO aAC a a SO

+− = − = − (ðk: SO < a 35 ).

Thay vào (*) ta có:

SO.2a = 2 2 2 21. 353

SO a a SO+ −

� 6a.SO = 2 2 2 2. 35SO a a SO+ −

� 36.a2.SO2 = 2 2 2 2( ).(35 )SO a a SO+ −

� SO4 + 2a2.SO2 - 35a4 = 0. Coi ñây là phương trình trùng phương, ta có SO=a 5 .

Vậy VSABCD=3

21 . 15. . 3. 5

3 3

aa a = .

Bài 7. Cho hình chóp SABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, hai mặt phẳng (SAB)

và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30o, M là trung

ñiểm của SC. Tính thể tích khối chóp SABM.

Giải:

� o

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 30

( ) ( )

SAB SAC SA

SAB ABC SA ABC SBA

SAC ABC

∩ = ⊥ → ⊥ → =⊥

- Xét SAB∆ ta có: SA = SB.tan30o = 3a.1

3= a 3 .

Gọi H là trung ñiểm của AC

Khi ñó: MH //SA →MH ⊥ (ABC)



B

A

C

S

H

I K

-

3

1 1. .

3 31 1 1 1

. . .3 3 2 61 1 1

. . . . .3a.4a. 3 . 36 2 12

SABM SABC MABC ABC ABC

ABC ABC ABC

V V V S SA S MH

S SA S SA S SA

BA BC SA a a

∆ ∆

∆ ∆ ∆

= − = −

= − =

= = =

Bài 8. Dự bị KA-2010: Chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BA=AC=a,

( ) ( )SBC ABC⊥ , hai mặt bên còn lịa hợp với ñáy 1 góc 600. Tính thể tích chóp S.ABC.

Giải:

Kẻ ( ) ( )SH BC H BC SH ABC⊥ ∈ ⇒ ⊥

⇒SH là chiều cao của khối chóp S.ABC

- Kẻ HI AB⊥ và kẻ HK AC⊥

.

1.

3S ABC ABCV S SH∆= mà 21

.2 2ABC

aS AB AC∆ = =

Tính SH=?

Ta có: 0 0tan 60 .tan 60 3.SH

SH HK HKHK

= ⇒ = =

Mặt khác: IHKA là hình vuông HK AK⇒ =

Tam giác HKC vuông cân tại K nên HK = KC. K là trung ñiểm của AC nên 2

aHK =

3

2

aSH⇒ =

Vậy 2 3

.

1 3 3. .

3 2 2 12S ABC

a a aV = =


Nguồn : Hocmai.vn



Dạng 3: Chóp ñều

Tính chất: + ðáy là ña giác ñều (chóp tứ giác ñều ñáy là hình vuông)

+ Chân ñường cao trùng với tâm của ñáy

+ Góc giữa các cạnh bên và mặt ñáy bằng nhau + Góc giữa các mặt bên và mặt ñáy bằng nhau

+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau

Chú ý: Cách xác ñịnh tâm

+ Tam giác ñều ABC. ðể xác ñịnh tâm: Gọi I là trung ñiểm của BC, K là trung ñiểm của AC. Giao ñiểm 2 trung tuyến AI và BK là O: tâm của tam giác ñều ABC (O là trọng tâm tam giác ABC và là

trực tâm tam giác)

+ Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Lúc này O chính là tâm hình vuông.

Bài tập mẫu: Bài 1 (ðHKB-2004) Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD cạnh ñáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt ñáy bằng

0(0 90 )α α< < .

a) Tính thể tích S.ABCD b) Tính tan góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

Bài 2. (Tham khảo ñề 2010) Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD, cạnh ñáy bằng a, SH là ñường cao hình chóp,

I là trung ñiểm của SH. Khoảng cách từ I ñến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 3. (ðHKA-2002+TK-2009) Cho chóp tam giác ñều S.ABC. ðỉnh S, cạnh ñáy bằng a. Gọi M, N là

trung ñiểm của SB và SC. Mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

a) Tính thể tich khối chóp ABCNM

b) Tính khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABC). Bài 4. (ðHKB-2012) Cho chóp tam giác ñều S.ABC có SC = 2a, AB = a, H là hình chiếu vuông góc của

A trên SC. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) và tính thể tích khối chóp S.ABH.


Nguồn: Hocmai.vn






giảng này.






Bài 1. Cho hình chóp ñều S.ABCD, O là tâm ñáy, M là trung ñiểm của SO, khoảng cách từ M ñến mặt

phẳng (SBC) bằng b, AB = a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD

Bài 2. Cho hình chóp ñều S.ABC, ñáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng ( ), ( )SBC ABC α= . Tính V

Bài 3. Hình chóp tứ giác ñều SABCD có khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Với giá trị nào

của góc α giữa mặt bên và mặt ñáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất? Bài 4. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, O là giao ñiểm của AC và BD. Biết mặt bên của hình chóp là

tam giác ñều và khỏang cách từ O ñến mặt bên là d. Tính thể tích khối chóp ñã cho.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi P, Q lần lượt là trung ñiểm của AB và CD

R là một ñiểm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC . Mặt phẳng ( PQR) cắt AD tại S . Tính thể tích khối tứ diện SBCD theo a.


Nguồn : Hocmai.vn












O

D

C

A B

S

E

H

M

I

A

B

C

S

E

H

Bài 1. Cho hình chóp ñều S.ABCD, O là tâm ñáy, M là trung ñiểm của SO, khoảng cách từ M ñến mặt

phẳng (SBC) bằng b, AB = a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD

Giải:

Bước 1: Xác ñịnh d(M, (SBC) 1

2OH=

Bước 2: Phải tính SO Bước 3: Tính SO thì dựa vào tam giác vuông SOE và cần tính OE

1

2OE AB=

Xét tam giác SOE vuông tại O, OH là chiều cao

2 2 2

1 1 1SO V

OH OE SO= + ⇒ ⇒

Bài 2.

Cho hình chóp ñều S.ABC, ñáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng ( ), ( )SBC ABC α= . Tính V

Giải:

Bước 1: Xác ñịnh góc giữa hai mặt phẳng ( ), ( )SBC ABC SEA α= ∠ =

Bước 2: Phải tính SH

Bước 3: Tính SH thì dựa vào tam giác vuông SHE

Trong tam giác SHE cần tính HE, HE1

3AE=

AE là chiều cao trong tam giác ñều

3

2

aAE =

Có AE suy ra HE suy ra SH suy ra V.

Bài 3. Hình chóp tứ giác ñều SABCD có khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Với giá trị nào

của góc α giữa mặt bên và mặt ñáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?

Giải: Gọi M, N là trung ñiểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có:












A

A

Q

R

P

D

C

A

K

A

B

A

I S

( )( ) ( )( )

2ABCD 2

SABCD 2 2

2 2 22 2 2

2

2SABCD

SMN ,d A; SBC d N; SBC NH 2

NH 2 4MN S MN

sin sin sintan 1

SI MI.tansin cos

1 4 1 4V

3 sin cos 3.sin .cos

sin sin 2cos 2sin .sin .2cos

3 31

sin .cos3

V min sin .cos max

∠ = α = = =

⇒ = = ⇒ = =α α α

α= α = =

α α

⇒ = ⋅ ⋅ =α α α α

α + α + αα α α ≤ =

⇒ α α ≤

⇔ α α

⇔ 2 2 1sin 2cos cos

3α = α ⇔ α =

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD, O là giao ñiểm của AC và BD. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác ñều và khỏang cách từ O ñến mặt bên là d. Tính thể tích khối chóp ñã cho.

Giải: Gọi M là trung ñiểm CD, kẻ ñường cao OH của tam giác SOM

dOHSCDOH =⇒⊥⇒ )(

Gọi CM = x. Khi ñó: OM = x , SM = x 3

SO = 23 2222 xxxxSM =−=−

Ta có: SM.OH = SO.OM hay

3,62

6.2..3 dSOdCD

dxxxdx ==⇒=⇒=

323.63

1.

3

1 322 dddSOCDV ===

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi P, Q lần lượt là trung ñiểm của AB và CD

R là một ñiểm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC . Mặt phẳng ( PQR) cắt AD tại S . Tính thể tích khối tứ diện SBCD theo a.

Giải: RQ cắt BD tại K, gọi I là trung ñiểm của BR =>DI//RQ => ID là ñường trung bình của tam giác BRK =>D là trung ñiểm của BK.

Từ ñó suy ra S là trọng tâm tam giác ABK 2

3

AS

AD⇒ = .

Ta có 2 1

3 3ABSC

SBCD ABCDABCD

V ASV V

V AD= = ⇒ =

mà 3 33 3

12 36ABCD SBCD

a aV V= ⇒ =


Nguồn : Hocmai.vn

N

MI

D

AB

C

S

H

d

x

H

MO

D

CB

A

S



CHÓP TỔNG HỢP

Bài tập mẫu:

Bài 1:

Cho chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a. M, N là trung ñiểm AB và AD. Giao ñiểm của hai ñường CN và

DM là H. SH vuông góc với mặt phẳng ñáy ABCD. SH = 3a . Tính thể tích S.CDNM.

Bài 2: ðHKD 2010

Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt

phẳng ABCD là ñiểm H thuộc ñoạn AC sao cho 1

4AH AC= . CM là ñường cao tam giác SAC.

1. Chứng minh rằng M là trung ñiểm SA.

2. Tính thể tích khối chóp S.MBC

Bài 3 : ðHKB 2009

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. BB’ = a. Góc giữa ñường BB’ và mp(ABC) là 600. Tam giác ABC vuông tại

C, góc 060BAC = . Hình chiếu vuông góc của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính

thể tích khối chóp A’.ABC.

Bài 4 : DBKA 2007

Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có AB = a. AC = 2a. AA’ = 2 5a , góc 0120BAC = . M là trung ñiểm

CC’.

1. Chứng minh : MB vuông góc MA’

2. Tính thể tích khối chóp ABMA’ và tính d(A,(BMA’))


Nguồn: Hocmai.vn






giảng này.






Bài 1. Cho hình chóp SABC, ñáy ABC có AB = a, AC = 2a, góc 0120BAC = . Gọi G1 và G2 lần lượt là

trọng tâm của các tam giác ABC, SBC sao cho G1G2 =3

a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt (ABC)

trùng với G1, góc giữa SA và (ABC) bằng α . Tính theo a và α thể tích khối chóp G1G2BC. Bài 2. Cho hình chóp SABC ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D là ñiểm ñối xứng

với A qua I, SD ⊥ (ABC). Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên SA, IK=2

a. Tính thể tích khối chóp

SABC.

Bài 3. Cho hình chóp SABC, ñáy ABC có AB = AC = a, BC = 2

a. SA = 3a , 30oSAB SAC∠ =∠ = . Tính

thể tích khối chóp SABC.

Bài 4. Cho hình chóp SABCD, ñáy ABCD là hình thang cân, ñáy nhỏ BC = 3a, ñáy lớn AD = 8a, oD 60BA∠ = . Các cạnh bên của hình chóp tạo với ñáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp SABCD.

Bài 5. Cho hình hộp ñứng ABCDA’B’C’D’, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. AA’= b. Gọi M là trung

ñiểm của CC’. Tính thể tích của khối tứ diện A’BDM. Tìm tỉ số a

bñể hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD)

vuông góc với nhau.

Bài 6. Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA’ = 2a . Gọi M,

N lần lượt là trung ñiểm của AA’ và BC’. Tính thể tích khối chóp MA’BC’; và chứng minh rằng MN là

ñoạn vuông góc chung của AA’ và BC’.

Bài 7. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng a. Gọi M, N, I lần lượt là trung ñiểm của AA’, AB, BC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp

NAC’I và khoảng cách giữa hai ñường thẳng MN, AC’.

Bài 8. Cho hình lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân tại B; A’A = AC = a, góc giữa

ñường thẳng BC’ và (ABC) bằng 600. Gọi P, M lần lượt là trung ñiểm của BB’ và CC’, N là ñiểm nằm

trên A’C’ sao NC’=4

a. Tính thể tích khối tứ diện AB’C’B và chứng minh rằng PN⊥A’M.

Bài 9. Cho hình hộp ñứng ABC.A’B’C’ có AB =AD = a, AA’=3

2

a, 060BAD∠ = . Gọi M, N lần lượt là

trung ñiểm của A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’⊥ (BDMN) và tính thể tích khối ña diện

AA’BDMN.


Nguồn : Hocmai.vn












I

A

B

C

S

G1

G2

H

I

D

A

S

C

B

K

Bài 1. Cho hình chóp SABC, ñáy ABC có AB = a, AC = 2a, góc 0120BAC = . Gọi G1 và G2 lần lượt là

trọng tâm của các tam giác ABC, SBC sao cho G1G2 =3

a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt (ABC)

trùng với G1, góc giữa SA và (ABC) bằng α . Tính theo a và α thể tích khối chóp G1G2BC.

Giải

- 1SAG α∠ =

- Gọi I là trung ñiểm của BC, ta có:

2 1

IS 3

IG= , 1 1

IA 3

IG= => 2 1

IS IA

IG IG= => G1G2//SA.

� 1 21 2

1SA 3 3. .

SA 3 3

G G aG G a= => = = =

- Kẻ G2H⊥AI ( H∈AI) => G2H//SG1 => G2H⊥ (ABC).

Ta có: G2H=1

3SG1=

1

3.SA.sinα =

3

a sinα .

- VG1G2BC = VG2G1BC= 1

3.

1 2 2

1 1. . . .

3 3G BC ABCS G H S G H∆ ∆=

= 1

9.1

2.AB.AC.sin1200. G2H =

1

18.a.2a.

3

2.

3

a.sinα =

3. 3.sin

54

a α.

Bài 2. Cho hình chóp SABC ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D là ñiểm ñối xứng

với A qua I, SD ⊥ (ABC). Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên SA, IK=2

a. Tính thể tích khối chóp

SABC.

Giải

VSABC =1

3. .ABCS SD∆

Mà:

+ ABCS∆ =1

2.BC.AI=

1

2.a.

3

2

a=

2 3

4

a

+ SD = ?

Tam giác vuông SDA ñồng dạng với tam giác vuông IKA

( vì góc A chung)












N

M

A

B

C

S

IK KA

SD DA= �

2 2

3

2

SD aa AI IK

=−

� 2 2

3

3( ) ( )2 2 2

SD aa a a

=

−

=> SD=6

2

a . Vậy VSABC =

1

3.

2 3

4

a.

6

2

a=

3 2

8

a

Bài 3. Cho hình chóp SABC, ñáy ABC có AB = AC = a, BC = 2

a. SA = 3a , 30oSAB SAC∠ =∠ = . Tính

thể tích khối chóp SABC.

Giải: Theo ñịnh lí Cosin ta có:

SB2 = AS2 + AB2 – 2. AS.AB.cos30o = 3a2 + a2 – 2 3a . a. 3

2 = a2.

� SB = a.

Tương tự ta có: SC = a

� SAB SAC∆ = ∆ .

- Gọi M là trung ñiểm của SA, do SAB∆ và SAC∆ cân, nên ta có:

( )SA BM

SA BMCSA CM

⊥ → ⊥

⊥

Do ñó 1 1 2

. . .3 3 3SABC SMBC AMBC BMC BMC BMCV V V SM S AM S AM S∆ ∆ ∆= + = + = (AM = SM)

Mà:

+ AM = 3

2

a

+ Gọi N là trung ñiểm của BC, vì BMC∆ cân tại M nên MN ⊥ BC

→1

. .2 4BMC

aS BC MN MN∆ = =

Mặt khác xét AMN∆ vuông ta có:

2 2MN AN AM= − = 2 2 2AB BN AM− −

22 2 23 3a

( ) ( )4 2 16

a aa= − − = .

→23 3

.4 4 16BMC

a a aS∆ = = .

→2 32 3 3

. .3 2 16 16SABC

a a aS = =

Bài 4. Cho hình chóp SABCD, ñáy ABCD là hình thang cân, ñáy nhỏ BC = 3a, ñáy lớn AD = 8a, oD 60BA∠ = . Các cạnh bên của hình chóp tạo với ñáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp SABCD.

Giải: Gọi O là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)

o60SAO SBO SCO SDO∠ = ∠ = ∠ = ∠ =

SAO SBO SCO SDO→∆ = ∆ = ∆ = ∆

DOA OB OC O→ = = = →O là tâm ñường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

- Kẻ BE//CD (E ∈AD) → EBA∆ ñều →AB = AE = 5a



A

B C

D

S

O

E

BMD

M

O

S

A'

A

BC

D

B'

D'

C'

A'

M

S

- Xét DAB∆ , theo Cosin ta có:

BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cos60o= 49a2 →BD = 7a. - Gọi R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp DAB∆ (R = OA)

Theo ñịnh lí hàm số Cosin ta có: �

D2R

sin D

B

BA=

o

7a 7a2R R =

sin 60 3OA↔ = → =

- Xét SAO∆ vuông, ta có: tan60o = 3 7a7a

3

SO SOSO

OA↔ = → = .

- 3

D D

1 385. . 3. .

3 2SABC ABC

aV S SO= = .

Bài 5. Cho hình hộp ñứng ABCDA’B’C’D’, ñáy ABCD là hình vuông cạnh a. AA’= b. Gọi M là trung

ñiểm của CC’. Tính thể tích của khối tứ diện A’BDM. Tìm tỉ số a

bñể hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD)

vuông góc với nhau.

Giải

' D ?A B MV =

- Gọi S= AC∩A’M

- Vì CM // AA’ nên theo ñịnh lí Talet ta có:

1

' AA ' 2

SM CM

SA= = →M là trung ñiểm của SA’

SA’ ∩ (BDM) = M mà M là trung ñiểm của SA nên ta có:

d(A’,(BDM)) = d (S, (BDM)) → ' DAB DM SB MV V=

- D SD SD

1.

3SB M MB BV V S MC∆= =

Mà MC = 2

b



M

A

B

C

B'

C'A'

I

N

M

A

B

C

B'

C'A'

Gọi O = AC ∩BD, ta có 2

SD

1 1 1 2 3aD. . D.( ) . 2( 2 )

2 2 2 2 2B

aS B SO B SC OC a a∆ = = + = + = (C là trung

ñiểm của SA).

Vậy 2 2

' D D

1 3a. .

3 2 2 4A B M SB M

b a bV V= = = .

+ Tìm tỉ số a

bñể hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

Ta có: A’O ⊥BD và MO⊥BD → ( )( ' D), ( D) ( ' , )A B MB A O MO∠ = ∠ .

→ (A’BD) ⊥ (MBD)↔OA’ ⊥OM ↔OA’2 + OM2 = A’M2 (*) Mà

22

2 2 2 2 22' '

2 2

a aO A A A AO b b

= + = + = +

OA’2 = MD2 – OD2 = CM2 + CD2 – OD2 = 2 2

2 2 22( ) ( )2 2 4 2

b a b aa+ − = +

+ A’M2 = A’C’2 + C’M’2 = 2

2 2 2( 2) ( ) 2a2 4

b ba + = +

Thay vào (*) ta có: 2 2 2 2

2 22a2 4 2 4

a b a bb + + + = +

↔ a2 = b2 ↔ a = b ↔a

b= 1.

Bài 6. Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA’ = 2a . Gọi M,

N lần lượt là trung ñiểm của AA’ và BC’. Tính thể tích khối chóp MA’BC’; và chứng minh rằng MN là

ñoạn vuông góc chung của AA’ và BC’.

Giải:

+ ' ' ' ' ' ?MA B C C A BMV V= =

' ' '

1.

3C A BM A BMV S∆= C’A’ ( ' ' (AA ' ' )C A B B⊥ )

Mà: + C’A = a

+ ' ' ' ' 'A BM ABB A ABM A B BS S S S∆ = − −

2 2 221 2 1 2 2 2

. 2 . . 2 22 2 2 4 2 4

a a a aa a a a a a= − − = − − =

→2 3

' '

1 2 2. .

3 4 12C A BM

a aV a= =

+ Chứng minh: MN là ñoạn vuông góc chung của AA’ và BC’

- ∆ vuông C’AM = ∆ vuông MAB → MC’ = MB. - ∆BMC’ cân tại M và có N là trung ñiểm của BC’

→MN ⊥ BC’. - Gọi I là trung ñiểm của BC

→ NI// =1

2CC’ → NI// =

1

2AA’→NI//=MA

→Tứ giác MNIA là hình bình hành



O

IN

M

B

C

C'

B'

A'

A

→MN//AI mà AI ⊥AA’ →MN⊥AA’.

', AA '

AA ', '

MN BC MN

M N BC

⊥ ⊥ →

∈ ∈ MN là ñoạn vuông góc chung của AA’ và BC’.

Bài 7. Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng a. Gọi M, N, I lần lượt là trung ñiểm của

AA’, AB, BC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp

NAC’I và khoảng cách giữa hai ñường thẳng MN, AC’.

Giải

( ) 0( ' ), ( ) ' 60'

CI AIC AI ABC C IC

C I AI

⊥=> ∠ = ∠ =

⊥

+ VNAC’I = ?

Ta có: VNAC’I = V C’ANI = 1

. '3 ANIS C C∆

Mà :

- Xét tam giác vuông CC’I ta có:

tan 600 = ' '

3

2

C C C CaIC

<=> = => C’C=3

2

a.

- 21 1 1 1 3 3

. . . . .4 4 2 8 2 16ANI ABC

a aS S BC AI a∆ ∆= = = =

=> VNAC’I=2 31 3 3

. .3 16 2 32

a a a= .

+) d(MN, A’C)=?

- Gọi O=A’C∩AC’, khi ñó / / / /

à1 1

2 2

MO AC NI ACv

MO AC NI AC

= =

� MO//NI và MO=NI => MONI là hình bình hành => MN//OI � MN//(AC’I) => d(MN, AC’) =d(MN,(AC’I))=d(N,(AC’I))=h.

- Ta có: VNAC’I=3

32

a�

3

'

1.

3 32AC I

aS h∆ = (*)

Mà theo công thức diện tích hình chiếu, ta có 0' . os60AIC AC IS S c∆ ∆=

� 2

'

3 1.

8 2AC I

aS∆= =>

2

'

3

4AC I

aS∆ = , thay vào (*) ta có:

2 31 3 3. . ( , ')

3 4 32 8

a a ah h d MN AC= => = = .

Bài 8. Cho hình lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân tại B; A’A = AC = a, góc giữa

ñường thẳng BC’ và (ABC) bằng 600. Gọi P, M lần lượt là trung ñiểm của BB’ và CC’, N là ñiểm nằm

trên A’C’ sao NC’=4

a. Tính thể tích khối tứ diện AB’C’B và chứng minh rằng PN⊥A’M.

Giải: + VAB’C’B = ?

- 0( ', ( ) ( ' ) 60BC ABC C BC∠ =∠ =

- VAB’C’B= VABCC’= V C’ABC=1

3. ABCS∆ .CC’

Mà:



B'

M

P

A

B

C

A' C'N

Q

H

M

N

AB

D C

A'

C'

B'

D'

S

O

+ CC’=a.

+ Gọi H là trung ñiểm của AC, vì ∆ABC cân tại B

=> BH⊥AC => ABCS∆ =1

2.AC.BH =

1

2.a.BH

Mặt khác, xét tam giác vuông BCC’ ta có:

tan 600 = '

BC

CC => BC =

0

'

tan 60

CC=

3

a.

� BH=2 2 2

2 2

3 4 12 2 3

a a a aBC HC− = − = =

� ABCS∆ =1

2.a.

2 3

a=

2

4 3

a.

Vậy VAB’C’B =1

3.

2

4 3

a.a =

3

12 3

a.

+ Chứng minh : PN⊥A’M? Gọi Q là trung ñiểm B’C’, khi ñó ta có:

/ / '( ) / /( ' ) (1)

/ /

PQ BCNPQ C HB

NQ BH

=>

'' ( ' ) (2)

'

A M CHA M C BH

A M BH

⊥=> ⊥

⊥

Từ (1) và (2) suy ra A’M ⊥ (NPQ) => A’M ⊥ NP.

Bài 9. Cho hình hộp ñứng ABC.A’B’C’ có AB =AD = a, AA’=3

2

a, 060BAD∠ = . Gọi M, N lần lượt là

trung ñiểm của A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng AC’⊥ (BDMN) và tính thể tích khối ña diện AA’BDMN.

Giải + Chứng minh : AC’⊥ (BDMN)

- Gọi O=AC∩BD. - Gọi S= BN∩AA’. Do N là trung ñiểm A’B’

nên A’ sẽ là trung ñiểm của SA

và S cũng chính là giao ñiểm của AA’ với DM.

AB=AD=a, 060BAD∠ =

=> ∆ABD ñều => OA=3

2

a, AC = a 3 .

SA=2.AA’= a 3 , CC’= AA’=3

2

a.

Ta có: AC CC'

AO SA= => ∆SAC ñồng dạng với ∆ACC’

� 'ASO C AC∠ = ∠ mà 090ASO SOA∠ +∠ = => 0' AS 90C AC O∠ +∠ = => SO⊥AC’. Mặt khác BD ⊥ (ACC’A’) => BD ⊥AC’



Như vậy '

' ( )'

A C BDA C BDMN

A C SO

⊥=> ⊥

⊥.

+ VAA’BDMN=? VAA’BDMN= VSABD – VSA’MN

Mà: VSABD= 1

3. ABDS∆ .SA=

1

3.1

2.AB. AD.sin600.SA=

1

6.a.a.

3

2. 3a =

3

4

a.

VSA’MN= 1

3. 'A MNS∆ .SA’=

1

3.1

2.A’M. A’N.sin600.SA’=

1

6.

2

a.

2

a.

3

2.

3

2

a=

3

32

a.

� VAA’BDMN=3

4

a-

3

32

a=

38

32

a.


Nguồn : Hocmai.vn



Sử dụng ñịnh lý Simson Phương pháp tỉ số thể tích * ðịnh lý về tỉ số thể tích (Simson): Cho tứ diện SABC, A’, B’, C’ lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

' ' ' ' ' '. .SA B C

SABC

V SA SB SC

V SA SB SC=

Dấu hiệu: có 2 khối 1 khối lơ lửng, hai khối tứ diện khó, dễ khác nhau

Chú ý:

+ Nếu '

' 1SB

B BSB

≡ ⇒ =

+ ðịnh lý Simson chỉ áp dụng cho tứ diện

Bài 1. (ðHKD-2006) Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, SA = 2a. SA vuông góc với

mặt phẳng (ABC), M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

Bài 2. (ðHKD-2010) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a. Hình chiếu

của S trên (ABCD) là H thuộc AC sao cho 1

4AH AC= , CM là ñường cao của tam giác SAC.

a. Chứng minh M là trung ñiểm của SA.

b. Tính thể tích khối chóp S.MBC.

Bài 3. (DBKA-2006) Cho chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA vuông góc

với ñáy, SB tạo với mặt phẳng ñáy bằng 600. M thuộc ñoạn SA sao cho 3

3

aAM = . Mặt phẳng (BCM)

cắt SD tại N. Tính thể tích S.BCNM.

Bài 4. (ðHKB-2006) Cho chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600,SA vuông

góc mặt phẳng (ABCD), C’ là trung ñiểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song BD cắt SB, SD lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.


Nguồn: Hocmai.vn






giảng này.






Bài 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với ñáy, G là trọng tâm

tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối ña diện MNABCD biết

SA=AB=a và góc hợp bởi ñường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 030 .

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật với , 2 ,AB a AD a= = cạnh SA vuông góc với ñáy,

còn cạnh SB tạo với mặt phẳng ñáy góc 60o . Trên cạnh SA lấy ñiểm M sao cho 3

3

aAM = . Mặt phẳng

(BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác ñều SABCD có chiều cao h, góc ở ñỉnh của mặt bên là 600. Mặt phẳng qua

A, B và trung ñiểm M của SC cắt SD tại N. Tính thể tích chóp S.ABMN

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = 2

a. 3SA a= , 030SAB SAC∠ =∠ = . Tính thể tích

khối chóp S.ABC.

Bài 5. Trên ñường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD cạnh a ta lấy ñiểm S với SA=2a. Gọi B’, D’ là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính

thể tích hình chóp S.AB’C’D’.


Nguồn : Hocmai.vn












Bài 1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với ñáy, G là trọng tâm

tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối ña diện MNABCD biết

SA=AB=a và góc hợp bởi ñường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 030 .

Giải: + Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.

+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có

2

3

SG

SO= suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.

Từ ñó suy ra M, N lần lượt là trung ñiểm của SC, SD.

+ Dễ có: . . .

1 1

2 2S ABD S BCD S ABCDV V V V= = = .

Theo công thức tỷ số thể tích ta có:

..

.

1 1 1. . 1.1.

2 2 4S ABN

S ABNS ABD

V SA SB SNV V

V SA SB SD= = = ⇒ =

..

.

1 1 1 1. . 1. .

2 2 4 8S BMN

S ABNS BCD

V SB SM SNV V

V SB SC SD= = = ⇒ =

Từ ñó suy ra:

. . .

3.

8S ABMN S ABN S BMNV V V V= + =

+ Ta có: 1

.3 ABCDV SA S= ; mà theo giả thiết ( )SA ABCD⊥ nên góc hợp bởi AN với mp(ABCD) chính là góc

NAD, lại có N là trung ñiểm của SC nên tam giác NAD cân tại N 030 .NAD NDA⇒ ∠ = ∠ =

30

3

. .

1 1 33 . ( ) . . 3

tan 30 3 3 3

3 5 5 3.

8 8 24MNABCD S ABCD S ABMN

SAAD a V SA dt ABCD a a a a

aV V V V V V

⇒ = = ⇒ = = =

⇒ = − = − = =

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật với , 2 ,AB a AD a= = cạnh SA vuông góc với ñáy,

còn cạnh SB tạo với mặt phẳng ñáy góc 60o . Trên cạnh SA lấy ñiểm M sao cho 3

3

aAM = . Mặt phẳng

(BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN

Giải:












Theo giả thiết :

( ) ( )( ), 60 .tan 60 3SA mp ABCD SBA SB mp ABCD SA AB a⊥ ⇒ ∠ = = ⇒ = =o o

Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD) ( )SD mp BCM N⇒ ∩ =

Theo công thức tỉ số thể tích, ta có:

.

2

.

2 2 1

3 3 3

4 4 2.

9 9 9

SMBCSMBC SABC S ABCD

SABC

SMNCSMNC SADC S ABCD

SADC

V SMV V V

V SA

V SM SN SMV V V

V SA SD SA

= = ⇒ = =

= = = ⇒ = =

Vậy: 3. .

5 5 1 10 3. . .

9 9 3 27S BCMN SMBC SMNC S ABCD ABCDV V V V SA S a= + = = =

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác ñều SABCD có chiều cao h, góc ở ñỉnh của mặt bên là 600. Mặt phẳng qua

A, B và trung ñiểm M của SC cắt SD tại N. Tính thể tích chóp S.ABMN

Giải:

Ta có: ( ) ( )

/ / / / ./ /

ABM SCD dd AB CD

AB CD

∩ =⇒

M SC M d∈(ΑΒΜ), Μ ∈ ⇒ ∈ ⇒ trong mp(SCD) dựng MN//CD,

khi ñó N là trung ñiểm SD.

ðặt:

1 2

1 , 2 1 2

' ; ' ; '

,2

SABM SAMN SABMN

SABC SACD SABCD

V V V V V V

VV V V V V V V V

= = =

= = = ⇒ = =

Theo tỉ số thể tích ta có:

1 2

1 2

1 21 2

' '1 1 1 1. . ; . . .

2 2 2 4

' ' 3 3' , ' '

4 8 8 8

V VSA SB SM SA SN SM

V SA SB SC V SA SC SC

V VV VV V V V

V

= = = = =

+⇒ = = ⇒ = ⇒ =



Theo giả thiết, các mặt bên chính là các tam giác ñều, giả sử cạnh hình vuông là x, ta có: 2

2 2 2 2

3 3 32

3( ) ( ) 2

2 2 2

1 2 3 2( 2) .

3 3 8 3 4SABMN

x x xh h x h

h h hV h h V

= + ⇒ = ⇒ =

⇒ = = ⇒ = =

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = 2

a. 3SA a= , 030SAB SAC∠ = ∠ = . Tính thể tích

khối chóp S.ABC.

Giải:

Theo ñịnh lí côsin ta có: 2 2 2 2 2 0 22 . .cos 3 2. 3. .cos30SB SA AB SA AB SAB a a a a a= + − = + − =

Suy ra SB a= . Tương tự ta cũng có SC = a.

Gọi M là trung ñiểm của SA, do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA.

Suy ra SA ⊥ (MBC).

Ta có . . .

1 1 1. . .

3 3 3S ABC S MBC A MBC MBC MBC MBCV V V MA S SA S SA S= + = + =

SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung ñiểm SB, S’D: . .S ABCD S AMNDV V V= −

. . .S AMND S AMD S MNDV V V= + ; . .

. .

1 1; . ;

2 4S AMD S MND

S ABD S BCD

V VSM SM SN

V SB V SB SC= = = =

. . .

1

2S ABD S ACD S ABCDV V V= = ; . . .

3 5

8 8S AMND S ABCD S ABCDV V V V= ⇒ = 25

24V a h⇒ =

Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Do ñó MB = MC

hay tam giác MBC cân tại M.

Gọi N là trung ñiểm của BC suy ra MN ⊥ BC. Tương tự ta cũng có MN ⊥ SA. 22 2

2 2 2 2 2 2 2 3 3

4 2 16

a a aMN AN AM AB BN AM a

= − = − − = − − =

3

4

aMN⇒ = .

Do ñó 3

.

1 1 1 3. . 3. .

3 2 6 4 2 16S ABC

a a aV SA MN BC a= = =

Bài 5. Trên ñường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD cạnh a ta lấy ñiểm S với

SA=2a. Gọi B’, D’ là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính

thể tích hình chóp S.AB’C’D’

Giải:



Ta có: '

''

AB SBAB SC

AB CB

⊥ ⇒ ⊥

⊥ . Tương tự 'AD SC⊥ ( ' ' ') 'SC AB C D SC AC⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Do tính ñối xứng ta có: . ' ' ' 2 . ' 'S AB C D S AB CV V= . Áp dụng tính chất tỷ số thể tích cho 3 tia: SA,SB,SC, ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 3 3 3 3

. ' ' ' ' '. '. 4 4 8. . . .

5 6 15.

1 8 8 16Mà . . .2 . ' ' . . ' ' '

3 2 3 15 3 45 45

S AB C SB SC SB SB SC SC SA SA a a

SB SC SB SC SB SC a aS ABC

a a a a aS ABC a S AB C S AB C D

VV

V V V

= = = = =

= = ⇒ = = ⇒ =


Nguồn : Hocmai.vn

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Thể tích khối lăng trụ


Lăng trụ ñứng * Công thức tính thể tích chung: VLT = diện tích ñáy × chiều cao

Nhớ ñịnh nghĩa hình lăng trụ: Tất cả cạnh bên song song bằng nhau Các mặt bên là hình bình hành

Hai ñáy nằm trong 2 mặt phẳng song song và có diện tích bằng nhau.

* Bài tập mẫu:

Bài 1: Trích ðHKB – 2008

Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông. AB = BC = a. AA’ = a 2 . Tính thể tích

khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Bài 2: ðHKB 2010 Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’, AB = a. Góc giữa hai mặt (A’BC) và (ABC) là 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Bài 3: TK 2011 Cho lăng trụ tứ giác ñều ABCD.A’B’C’D’ (lăng trụ ñứng, có ñáy là hình vuông). Khoảng cách giữa hai ñường AB, A’D là bằng 2. ðộ dài ñường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích khối lăng trụ

ABCD.A’B’C’D’.

Bài 4: ðHKA 2007 (dự bị) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a. Góc hợp bởi BC’ và mp (ABB’A’) bằng 300. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’.

Bài 5:

Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác cân với ñáy AB = AC = a. Góc ACB α∠ = . Tổng diện tích các mặt bên bằng tổng diện tích hai ñáy. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.


Nguồn: Hocmai.vn

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ (Phần 01)


Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Thể tích khối lăng trụ (Phần 01) thuộc khóa


nắm vững kiến thức phần Thể tích khối lăng trụ (Phần 01), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài

giảng này.






Bài 1. Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân ñỉnh C; góc giữa BC’ và (ABB’A’)

bằng 60o. AB = AA’ = a. Gọi M, B, P lần lượt là trung ñiểm của BB’, CC’, BC và Q là một ñiểm trên cạnh

AB sao cho 4

aBQ = . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng:

( ) ( )MAC NPQ⊥ .

Bài 2. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC ñến mặt phẳng (A’BC)

bằng 6

a. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCA’B’C’, biết ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a.

Bài 3. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân tại C, AB = 2a, 1

os3

c ABC = , góc giữa

hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) bằng 60o. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa

hai ñường thẳng AB, B’C theo a. Bài 4. Cho hình lăng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’. Có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A bằng 600. Góc

giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt ñáy bằng 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’

Bài 5. Cho hình lặng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai ñường

thẳng AB và A’C bằng 15

5

a. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 6. Cho lăng trụ ñứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5= và o120BAC =∧

. Gọi M là

trung ñiểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách d từ ñiểm A tới mặt phẳng

(A1BM). Bài 7. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh là A . Góc giữa AA’ và

BC’ bằng 300 và khoảng cách giữa chúng là a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Tính thể tích tứ diện

MA’BC’.


Nguồn : Hocmai.vn



Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối lăng trụ (Phần 01) thuộc khóa


kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối lăng trụ (Phần 01).







I

P

M

N

A

B

C

A'

B'

C'

K

Q

Bài 1. Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân ñỉnh C; góc giữa BC’ và (ABB’A’)

bằng 60o. AB = AA’ = a. Gọi M, B, P lần lượt là trung ñiểm của BB’, CC’, BC và Q là một ñiểm trên cạnh

AB sao cho 4

aBQ = . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng:

( ) ( )MAC NPQ⊥ .

Giải Gọi I là trung ñiểm A’B’ thì:

' ' '' ( ' ')

' AA '

C I A BC I ABA B

C I

⊥ ⇒ ⊥

⊥

( )', ( ' ') ' 60oBC ABB A C BI⇒∠ =∠ =

* . ' ' ' ' ' ' ' ' 'AA'.S .SABC A B C A B C A B CV a∆ ∆= =

Mà ' ' '

1 1' '. ' . '

2 2A B CS A B C I a C I∆ = =

Mặt khác: Xét tam giác vuông C’IB ta có:

2 2

' 'tan 60 3

' '

o C I C I

IB B B IB= ⇔ =

+

22

' 153 '

2

4

C I aC I

aa

⇔ = ⇒ =

+

2

' ' '

1 15 15.

2 2 4A B C

a aS a∆⇒ = =

Vậy: 3

' ' '

. 15

4ABCA B C

aV =

* Gọi K là trung ñiểm AB => PQ // CK // C’I

Ta có: / / '

( ) / /( ' ) (1)/ / '

NP BCNPQ C BI

PQ C I

⇒

' ' ' 90oABM BB I AMB BIB AMB B BI AM BI∆ = ∆ ⇒∠ = ∠ ⇒∠ +∠ = ⇒ ⊥

Mặt khác, theo chứng minh trên 'C I AM⊥ nên ( ' )AM C BI⊥

( ) ( ' ) (2)AMC C BI⇒ ⊥

Từ (1) và (2) suy ra: (MAC)⊥ (NPQ)












A

B

C

A'

B'

C'

M

O

H

Bài 2. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC ñến mặt phẳng (A’BC)

bằng 6

a. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCA’B’C’, biết ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a.

Giải - Gọi M là trung ñiểm BC. Khi ñó ta có: (A’AM)⊥ (A’BC) theo giao tuyến A’M, nên trong (A’AM) kẻ OH ⊥A’M (H∈A’M):

( ' ) ( , ( ' ))6

aOH A BC OH d O A BC⇒ ⊥ ⇒ = =

* ' ' ' ' .ABCA B C ABCV A A S∆=

Mà:

+) 21 1 3 3

. .2 2 2 4ABC

a aS BC AM a∆ = = =

+) ∆ vuông A’AM ñồng dạng với ∆ vuông OHM

(vì góc M chung)

' '

OH OM

A A A M⇒ =

2 2

1 3.

6 3 2' '

a a

A A A A AM⇒ =

+

⇒2

2

1 3

'3

'2

A Aa

A A

=

+

22 3

' 3. '4

aA A A A⇒ + =

2 22 2 23 6 6

' 3 ' ' '4 16 4

a a aA A A A A A A A⇒ + = ⇒ = ⇒ =

Vậy: 2 3

' ' '

6 3 3 2.

4 4 16ABCA B C

a a aV = =

Bài 3. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân tại C, AB = 2a, 1

os3

c ABC = , góc giữa

hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) bằng 60o. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa

hai ñường thẳng AB, B’C theo a.

Giải Kẻ AK⊥ BC (K∈BC), ta có:

( )' 60 ( ' , ( )'

oAK BCA KA A BC ABC

A K BC

⊥ ⇒∠ = = ∠

⊥

* ' ' ' ' .ABCA B C ABCV A A S∆=

Mà:

+ Theo ñịnh lý hàm số cosin, ta có: 2 2 2 2 . . osABCAC BA BC BA BC c= + −

2 2 2 14 4 . .

3AC a AC a AC⇔ = + − (AC = BC)

=> AC = 3a = BC. Gọi H là trung ñiểm của AB.



K

A

B

C

A'

B'

C'

H

2 2 2 2 21 1. . 9 8

2 2ABCS AB CH CA AH a a a a∆⇒ = = − = − =

+ A’A = AK.tan60o = AK. 3

Mặt khác, ta có: 1

.2ABCS BC AK∆ =

2 1 4 2.8 .3 .

2 3

aa a AK AK⇔ = ⇒ =

4 2 . 3 4 6'

3 3

a aA A⇒ = =

32

' ' '

4 6 16. 3. 8

3 3ABCA B C

a aV a⇒ = =

* d(AB,B’C) = ?

AB // (A’B’C’) => d(AB,B’C’) = d(AB,(A’B’C)) = d(H,(A’B’C)) = 4 2.

7

a

Bài 4. Cho hình lăng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’. Có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A bằng 600. Góc giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt ñáy bằng 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’

Giải Gọi I là trung ñiểm AD, K là hình chiếu của B

xuống B’I, vì A= 600⇒ ∆ABD ñều cạnh a.

( )''

BI ADBIB AD

BB AD

⊥ ⇒ ⊥

⊥

0' 30B IB⇒∠ =

Mà 3

2

aBI =

=> 0' . tan 302

aBB BI= =

Diện tích ñáy ABCD là:

2 3

22ABCD ABD

aS S= = (ñvdt)

Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là

3 3

'.4ABCD

aV BB S= = (ñvtt)

Bài 5. Cho hình lặng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh ñáy bằng a.

Biết khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và A’C bằng 15

5

a. Tính thể

tích của khối lăng trụ.

Giải

Gọi M; M’ lần lượt là trung ñiểm của AB và A’B’. Hạ MH ⊥ M’C

AB // (A’B’C) ==> d(AB,A’C) = MH

I

B

A

B'

A'

D

D'

C

C'

K



HC = 15

10

a; M’C =

15

2

a ; MM’ = 3a

Vậy V = 33

4a .

Bài 6. Cho lăng trụ ñứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5= và o120BAC =∧

. Gọi M là

trung ñiểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách d từ ñiểm A tới mặt phẳng

(A1BM).

Giải

Theo ñịnh lý cosin ta có: BC = 7a

Theo Pitago ta ñược: MB = 2 3a ; MA1=3a

Vậy 2 2 2 21 1 21MB MA BA a+ = = 1MA MB⇒ ⊥

Ta lại có: 1 1 11

1 1( , ( )). .

3 3ABA M ABA MBAV d M ABA S d S= =

1 1( , ( )) ( , ( )) 3d M ABA d C ABA a= =

1

21

1. 5

2ABAS AB AA a= =

1

21

1. 3 3

2MBAS MB MA a= =5

3

ad⇒ = .

Bài 7. Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh là A . Góc giữa AA’ và

BC’ bằng 300 và khoảng cách giữa chúng là a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Tính thể tích tứ diện

MA’BC’.

Giải

Ta có BB/ // AA/⇒ góc giữa AA/ và BC/ bằng góc giữa BC/ và BB/

⇒ / / 030B BC∠ = ⇒ / 060CBC∠ =

Gọi N là trung ñiểm của BC/ , H là hình chiếu của N trên (ABC)

⇒ H là trung ñiểm của BC ⇒ AMNH là hình chữ nhật

⇒ MN =AH do AH ⊥ BC , AH ⊥ CC/ ⇒ AH ⊥ (BCC/) ⇒ AH ⊥ BC/

từ giả thiết suy ra AH vuông góc với AA/

Theo trên , MN // AH ⇒ MN ⊥ AA/ ; MN⊥ BC/

⇒MN là khoảng cách giữa AA/ và BC/ ⇒MN = a ⇒ AH = a.

Tính VMA/BC

/: do BA⊥ (ACC/A/)⇒ VMA/BC

/ = 13

SMA/C

/. AB

Trong ∆ vuông AHB ta có AB= a 2, BH = a ⇒ BC= 2a

Trong ∆ vuông BCC/ : CC/ = BC.tan600 = 2a 3 .

Vậy VMA/BC

/ = 13

. 12

AM.AC/.BC = 3 3

3

a


Nguồn : Hocmai.vn

A1

M

C1 B1

B

A

C

A/

B

C’

M

N

AH

C

B



Lăng trụ xiên

Bài tập 1: TK 2011 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên ABB’A’ là hình thoi cạnh a.

Mp (ABB’A’) vuông góc mp(ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (ACC’A’) và mp(ABC) bằng α . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Bài tập 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ ñáy ABC là tam giác vuông cân tại C, CA = CB = a. Mp (AA’B’B) vuông góc

với mp(ABC), AA’ = a 3 , góc A AB∠ ' nhọn. Góc giữa hai mp(ACC’A’) và (ABC) bằng 600. Tính thể

tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Bài tập 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. BC = 2a. ABB’A’ là hình thoi. Mp

(BCC’B’) vuông góc mp(ABC). Góc giữa hai mp(ABB’A’) và (BCC’B’) bằng α . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Bài tập 4: TK 2011 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a và ñiểm A’ cách ñều 3 ñiểm A, B, C. Góc

giữa cạnh bên AA’ và mặt ñáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp A’B’C’CB.


Nguồn: Hocmai.vn



Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Thể tích khối lăng trụ (Phần 02) thuộc khóa


nắm vững kiến thức phần Thể tích khối lăng trụ (Phần 02), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài

giảng này.






Bài 1. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, AA’ = b. Hình chiếu vuông góc của

A’ trên (ABC) là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp A’BB’C’C và khoảng cách ñường thẳng AA’ với mặt phẳng (BB’C’C) theo a và b, biết b > a.

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại C, 2AB a= ,

AA ' 3, (AA ' ) ( )a B ABC= ⊥ , góc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối

lăng trụ ABCA’B’C’.

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’, ñáy ABCD là hình chữ nhật với 3, 7AB a AD a= = . Hai

mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với mặt phẳng ñáy các góc 45o và 60o, biết AA’ = a. Tính

thể tích khối lăng trụ ABCDA’B’C’D’.

Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác ñều cạnh ñáy AB = a;

cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính tanα và thể tích chóp A’.BCC’B’.

Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng

cách giữa AA’ và BC là a 3

4

Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a. A’ cách ñều các ñiểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với ñáy góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên hợp với ñáy một góc

là 450. Gọi P là trung ñiểm BC, chân ñường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1

2AP AH=uuur uuur

.

gọi K là trung ñiểm AA’, ( )α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính

tỉ số thể tích ' ' '

ABCKMN

A B C KMN

V

V.

Bài 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 2BC a= , hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên tạo với mặt ñáy một góc 600.

Tính thể tích của khối lăng trụ ñó.


Nguồn : Hocmai.vn












H

A

B

A' C'

B'

C

M

Bài 1. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, AA’ = b. Hình chiếu vuông góc của

A’ trên (ABC) là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp A’BB’C’C và khoảng cách ñường thẳng AA’ với mặt phẳng (BB’C’C) theo a và b, biết b > a.

Giải

Gọi H là trọng tâm ' ( )ABC A H ABC∆ ⇒ ⊥

* VA’BB’C’C = VABCA’B’C’ – VA’ABC

= 1 2

' . ' . ' .3 3ABC ABC ABCA H S A H S A H S∆ ∆ ∆− =

Mà:

+) 21 3 3

.2 2 4ABC

a aS a∆ = =

2

2 2 2

2 2 22

2 3' ' .

3 2

3

3 3

aA H A A AH b

a b ab

= − = −

−= − =

2 2 2 22 2

' ' '

2 3 3. . . 3

3 3 4 6A BB C C

b a a aV b a

−⇒ = = −

* d(AA’,(BB’C’C) = ?

+) ( ' ) ''

BC AHBC A AH BC A A

BC A H

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥ mà A’A // B’B => BC⊥B’B

=> BB’C’C là hình chữ nhật.

+) Vì AA’ // (BB’C’C) nên khoảng cách giữa AA’ và (BB’C’C) bằng khoảng các từ ñiểm A ñến mặt

phẳng (BB’C’C)

+) Ta có 2

2 2' ' ' ' '

1 1. . 3 . .

3 6 3A BB C C BB C C

aV S h b a a b h= ⇔ − =

2 2. 3(AA ', ( ' ' ))

2

a b ah d BB C C

b

−⇒ = =

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại C, 2AB a= ,

AA ' 3, (AA ' ) ( )a B ABC= ⊥ , góc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối

lăng trụ ABCA’B’C’.

Giải












A

B

A' C'

B'

CK

I

C'

B

A

D

C

A' D'

B'

HK

M

- Kẻ A’K ⊥AB (K∈AB)

- (AA ' ) ( )

' ( )' (AA ' ), '

B ABC ABA K ABC

A K B A K AB

⊥ = ⇒ ⊥

⊂ ⊥

- Kẻ KI ⊥ AC, (I∈AC)

=> A’I ⊥ AC

( )' ( ' ), ( ) 60oA IK A AC ABC⇒∠ =∠ =

' ' ' . 'ABCA B C ABCV S A K∆=

Mà:

+) CA2 + CB2 = AB2

2 22 ( 2)CA a CA a CB⇔ = ⇔ = =

21 1.

2 2ABCS CACB a∆⇒ = =

+) Xét tam giác vuông A’KI, ta có '

tan 60o A K

KI=

' '

tan 60 3o

A K A KKI⇒ = = (1)

Mặt khác, xét tam giác vuông KMI, ta có sin 45o KI

AK=

2 2 2 22 2.sin 45 ' ' . 3 ' .

2 2oKI AK A A A K a A K⇒ = = − = − (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2 '3 ' .

2 3

A Ka A K− =

( )2 2

2 2 21 ' 9 33 ' . ' '

2 3 5 5

A K a aa A K A K A K⇒ − = ⇒ = ⇒ =

Vậy: 3

2' ' '

1 3 3.

2 5 2 5ABCA B C

a aV a= =

Bài 3. Cho hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’, ñáy ABCD là hình chữ nhật với 3, 7AB a AD a= = . Hai

mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với mặt phẳng ñáy các góc 45o và 60o, biết AA’ = a. Tính thể tích khối lăng trụ ABCDA’B’C’D’.

Giải - Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) - Kẻ HK⊥AB (K∈AB), HM⊥AD (M ∈AD)

' 45 ; ' 60o oA KH A MH⇒∠ = ∠ =

- VABCDA’B’C’D’ = SABCD.A’H Mà:

+) SABCD = AB.AD = 2. 21a +) Ta có:

' 2 ''

sin 60 3o

A H A HA M = =

2 2 22 2 2 4. ' 3 4. '

AA ' '3 3

A H a A HAM A M a HK

−= − = − = =



Nhưng HK = A’H.cot45o = A’H 2 23 4. ' 3

' ' .3 7

a A HA H A H a

−⇒ = ⇒ =

Vậy . ' ' 'ABC A B CV = ABCDS .A’H = 2 33. 21. . 3

7a a a=

Bài 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác ñều cạnh ñáy AB = a;

cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính tanα và thể tích chóp

A’.BCC’B’.

Giải

Gọi O là tâm ñáy suy ra ( )'A O ABC⊥ và góc 'AIAα = ∠

*)Tính tanα

'tan

A O

OIα = với

1 1 3 3

3 3 2 6

a aOI AI= = =

2 2 22 2 2 2 3

' '3 3

a b aA O A A AO b

−= − = − =

2 22 3tan

b a

aα

−⇒ =

*)Tính '. ' 'A BCC BV

( )

'. ' ' . ' ' ' '.

2 2 2 2 2

1' . ' .

3

2 3 1 3 3. . .

3 2 2 63

A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABCV V V A O S A O S

b a a a b aa dvtt

= − = −

− −= =

Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác ñều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt

phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng

cách giữa AA’ và BC là a 3

4

Giải

Gọi M là trung ñiểm BC ta thấy:

⊥

⊥

BCOA

BCAM

')'( AMABC ⊥⇒

Kẻ ,'AAMH ⊥ (do A∠ nhọn nên H thuộc trong ñoạn AA’.)

Do BCHMAMAHM

AMABC⊥⇒

∈

⊥

)'(

)'(.Vậy HM là ñọan vông góc chung của

AA’và BC, do ñó 4

3)BC,A'( aHMAd == .

Xét 2 tam giác ñồng dạng AA’O và AMH, ta có: AH

HM

AO

OA=

'

⇔ suy ra 3

a

a3

4

4

3a

3

3a

AH

HM.AOO'A ===

I

B'

C'

O

A C

B

A'

A

B

C

C’

B’

A’

H

O M



Thể tích khối lăng trụ: 12

3aa

2

3a

3

a

2

1BC.AM.O'A

2

1S.O'AV

3

ABC==== .

Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a. A’ cách ñều các ñiểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với ñáy góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải Từ giả thiết ta ñược chop A’.ABC là chóp tam giác ñều .

'A AG∠ là góc giữa cạnh bên và ñáy .

⇒ 'A AG∠ = 600 , AG = 3

3

a ;

ðường cao A’G của chóp A’.ABC cũng là ñường cao của lăng trụ .

Vậy A’G = 3

3

a.tan600 =

3

3

a. 3 = a.

Vậy Thể tích khối lăng trụ ñã cho là V = 31 3 3

. . .2 2 4

a aa a = .

Bài 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, cạnh bên hợp với ñáy một góc

là 450. Gọi P là trung ñiểm BC, chân ñường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1

2AP AH=uuur uuur

.

gọi K là trung ñiểm AA’, ( )α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính

tỉ số thể tích ' ' '

ABCKMN

A B C KMN

V

V.

Giải

Gọi Q, I, J lần lượt là trung ñiểm B’C’, BB’, CC’ ta có: 2

3aAP = 3aAH =⇒ (vì '' AHA∆ vuông cân

tại H).

Vậy 3' aHA = HASV ABCCBABCA '.''' =⇒

Ta có 4

3

2

3.

2

1 2aaaS ABC == (ñvdt)

4

3

4

3.3

32

'''

aaaV CBABCA ==⇒ (ñvtt) (1)

Vì '' AHA∆ vuông cân ( )CCBBHKAAHK ''' ⊥⇒⊥⇒

Gọi E = MN∩KH ⇒BM = PE = CN (2)

mà AA’ = 22' AHHA + = 633 22 aaa =+

4

6

2

6 aCNPEBM

aAK ===⇒=⇒

Ta có thể tích K.MNJI là:

1 1 1 6. ; '

3 2 4 4MNJI

aV S KE KE KH AA= = = =

26 6. . ( )

4 4MNJI

a aS MN MI a dvdt= = =

G

NM

C

B

A

B'

C'A'

45

E

K

J

I

A

B

C

C'

B'

A'

P

H

Q

N

M



2 31 6 6( )

3 4 4 8KMNJI

a a aV dvtt⇒ = =

3 3

2 3' ' '

318 8

3 28 8

ABCKMN

A B C KMN

a aV

a aV

−⇒ = =

+.

Bài 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 2BC a= , hình

chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên tạo với mặt ñáy một góc 600. Tính thể tích của khối lăng trụ ñó.

Giải

Do ∆ABC vuông cân tại A mà BC = 2a => AB = BC = a 21

.2 2ABC

aS AB BC∆ = = (ñvdt)

Ta có A'G ⊥ (ABC) => A'G là ñường cao của khối lăng trụ A'B'C'.ABC

Gọi M là trung ñiểm của BC 1 2

2 2

aAM BC⇒ = =

Do G là trọng tâm ∆ABC 2 2

3 3

aAG AM⇒ = =

Xét ∆A'AG ta có:

0 0' 2 6tan 60 ' . tan 60 3.

3 3

A G a aA G AG

AG= ⇒ = = =

2 3

. ' ' '

6 6. ' .

2 3 6ABC A B C ABC

a a aV S A G∆⇒ = = = (ñvdt)


Nguồn : Hocmai.vn

B

A' C'

G

A

B'

C

M

60

0

a

a

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Mặt cầu


A. Lý thuyết

1. ðịnh nghĩa mặt cầu Tập hợp các ñiểm trong không gian cách ñiểm O cố ñịnh 1 khoảng bằng R không ñổi ñược gọi là mặt cầu

tâm O bán kính R. Kí hiệu S(O; R) hoặc (S)

2. Các thuật ngữ * Cho S(O; R) và A là ñiểm tùy ý trong không gian

+ Nếu OA > R thì ta nói A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) + Nếu OA = R thì ta nói A nằm trên mặt cầu S(O; R)

+ Nếu OA < R thì nói A nằm phía trong mặt cầu S(O; R)

* Cho S(O; R).

- C; D là 2 ñiểm nằm trên S(O; R) khi ñó CD ñược gọi là 1 dây cung. - Nếu CD ñi qua O thì CD ñược gọi là ñường kính của mặt cầu.

3. Khối cầu Mặt cầu S(O; R) và phần bên trong của mặt cầu ñược gọi là khối cầu (hình cầu) tâm O bán kính R.

4. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

- Mặt cầu bán kính R, có diện tích là: OH⇔ ∆ ⊥24S Rπ=

- Khối cầu (hình cầu) bán kính R có thể tích là: 34

3V Rπ=

5. Vị trí tương ñối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(P) (OH = d(O; (P)) + Nếu OH > R thì ta nói (P) không cắt mặt cầu S(O; R)

+ Nếu OH = R thì (P) tiếp xúc với S(O; R) tại H. Khi ñó H gọi là tiếp ñiểm, mặt phẳng (P) ñược gọi là mặt

phẳng tiếp xúc hay gọi là tiếp diện của mặt cầu.

+ Nếu OH < R thì (P) cắt S(O; R) theo 1 ñường tròn tâm H có bán kính 2 2'R R OH= −

+ ðặc biệt: H O≡ thì (P) cắt S(O; R) theo ñường tròn tâm O, bán kính R. ðường tròn này ñược gọi là

ñường tròn lớn nhất, lúc ñó (P) ñược gọi là mặt phẳng kính.

6. Vị trí tương ñối giữa mặt cầu và ñường thẳng Cho S(O; R) và ñường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆ (OH = d(O; ∆ ))

+ Nếu OH > R thì ta nói ∆ không cắt mặt cầu

+ Nếu OH = R thì ta nói ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại H hay ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu tại H, H gọi là tiếp ñiểm.

+ Nếu OH < R thì ta nói ∆ cắt mặt cầu tại 2 ñiểm phân biệt hay ∆ cắt mặt cầu.

Chú ý:

+ mặt phẳng (P) tiếp xúc S(O; R) tại H ( )P OH⇔ ⊥ tại H

+ ðường thẳng ∆ tiếp xúc S(O; R) tại H OH⇔ ∆ ⊥ tại H

MẶT CẦU (Phần 01)


Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Mặt cầu (Phần 01) thuộc khóa học Luyện


kiến thức phần Mặt cầu (Phần 01), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.






+ Nếu A là ñiểm nằm trên mặt cầu S(O; R) thì sẽ có vô số ñường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A (có vô

số tiếp tuyến của mặt cầu tại A) tất cả các tiếp tuyến này ñều nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A.

+ Nếu A là ñiểm nằm ngoài S(O; R) thì qua A kẻ ñược vô số các ñường thẳng tiếp xúc với mặt cầu. ðộ

dài các ñoạn thẳng nối A với các tiếp ñiểm là bằng nhau. Tập hợp các tiếp ñiểm là 1 ñường tròn nằm trên

mặt cầu S(O; R).

Bài tập Bài 1: (ðHKD – 2003) Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆ . Trên ∆ lấy 2

ñiểm A, B sao cho AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy ñiểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy ñiểm D sao cho CA và DB cùng vuông góc với ∆ , AB = AC = BD. Tính bán kính mặt cầu ñi qua bốn ñiểm A, B, C, D và

khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (BCD).


Nguồn: Hocmai.vn



Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD⊥ , 3SB a= .

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Chứng minh trung ñiểm của SC là tâm mặt cầu ñi qua các ñiểm S, A, B, C, D. Bài 2: Cho hình chóp SABC có ñáy ABC là tam giác cân tại A, mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC),

SA = SB = AB = AC = a.

a) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông.

b) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng 2SC a=

Bài 3: Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, ASB α∠ = . Tính thể tích

của khối cầu giới hạn bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a và α .

Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có AB = AC = BC = BD = a, 2; ( ) ( )AD a ACD BCD= ⊥

a) Chứng minh tam giác ACD vuông

b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 5: Cho hình lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a

a) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ñi qua 6 ñiểm A, B, C, A’, B’, C’ (mặt cầu ngoại tiếp hình lăng

trụ).

b) Gọi E là trung ñiểm của A’B’. Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE.


Nguồn : Hocmai.vn



Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Mặt cầu (Phần 01) thuộc khóa học Luyện


củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Mặt cầu (Phần 01). ðể sử dụng hiệu quả,







B

C

AD

S

I

B

C

A

S

H

O

E

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD⊥ , 3SB a= .

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Chứng minh trung ñiểm của SC là tâm mặt cầu ñi qua các ñiểm S, A, B, C, D.

Giải: a)

( ).

2 2 2 2

1.

31 1

. .3 3

S ABCDV dt ABCD SA

a SA a SB AB

=

= = −

32 21 2. 2

3 3

aa a= =

b) Ta có:

, ,SA AC CB SB CD SD⊥ ⊥ ⊥

Như vậy 3 ñiểm A, B, D cùng nhìn SC cố ñịnh dưới một góc vuông nên chúng cùng nằm trên mặt cầu ñường kính SC. Do ñó tâm mặt cầu ñi qua các ñiểm S, A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD)

là trung ñiểm của SC.

Bài 2: Cho hình chóp SABC có ñáy ABC là tam giác cân tại A, mặt bên (SBC) vuông góc với (ABC), SA = SB = AB = AC = a.

a) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông.

b) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết rằng 2SC a=

Giải: a) Gọi I là trung ñiểm SC, H là trung ñiểm BC.

Ta có: ( ) ( )

( )( ),

ABC SBC BCAH SBC

AH ABC AH BC

⊥ = ⇒ ⊥

⊂ ⊥

AH SC⇒ ⊥

Tam giác SAC cân tại A AI SC⇒ ⊥

( )SC AH

SC AHI SC HISC AI

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

/ /HI SBSB SC SBC

HI SC

⇒ ⊥ ⇒ ∆

⊥ vuông tại S.

b) Do tam giác SBC vuông tại S suy ra AH là trục của ñường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.












O

C

B

D A

S

I

E

M

- Gọi E là trung ñiểm SA, qua E dựng mặt phẳng trung trực của SA. Mặt phẳng này acwts trục AH tại O

suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính mặt cầu này là R = OA. Ta có hai tam giác vuông AOE và tam giác ASH ñồng dạng

2 2

2 2

.

2 2

OA AE SA AE SA aOA

SA AH AH AH AI HI⇒ = ⇒ = = =

−

Mà

22 22 2 2 2 21 2

2 2 2

a aAI SA SI SA SC a

= − = − = − =

221

2 2 4

a aHI SB HI= = ⇒ =

Vậy 2

2 2

22 4

aOA a

a a= = ⇒

−

diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

2 2 24. 4 . 4S R OA aπ π π= = =

Bài 3: Cho chóp tứ giác ñều S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, ASB α∠ = . Tính thể tích

của khối cầu giới hạn bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a và α .

Giải:

Gọi O là giao ñiểm của AC và BD ( )SO ABCD⇒ ⊥ ⇒ SO là trục của ñường tròn ngoại tiếp hình vuông

ABCD. - Gọi I là trung ñiểm của SA, qua I dựng mặt phẳng trung trực của SA. Mặt phẳng này cắt trục SO tại E

nên E là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính mặt cầu này là R = ES.

Ta có hai tam giác vuông SOA và SIE ñồng dạng nên 2ES AS.

ESAS 2.

SI SI SA

SO SO SO= ⇒ = =

Gọi M là trung ñiểm AB. Khi ñó ta có : sin2 sin 2sin

2 2

AM AM aSA

SA

αα α

= ⇒ = =

2 2 222

2 2 2

2 2

2 .sin2 224sin 4sin

2 2

a aa aSO SA AO

α

α α

− = − = − =

2 2

2

osES :

2 4sin sin 4sin os2 2 2

SA a a c a

SO c

αα α α

α⇒ = = =

Vậy thể tích khối cầu là :

3

3 34 4 4. .(ES) .

3 3 3 4sin os2

aV R

cπ π π

αα

= = =

2 22

2 2

os1 2sin os

24sin 4sin 2sin2 2 2

a a a cc SO

α αα

α α α = − = ⇒ =



C

A

D

B

H

I

A'

B'

C'

A

B

C

E

H

G'

G

O

IK

Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có AB = AC = BC = BD = a, 2; ( ) ( )AD a ACD BCD= ⊥

a) Chứng minh tam giác ACD vuông

b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Giải:

a) Gọi H là trung ñiểm CD, vì tam giác BCD cân tại B BH CD⇒ ⊥

( ) ( )( )

( ),

BCD ACD CDBH ACD

BH BCD BH CD

⊥ = ⇒ ⊥

⊂ ⊥

Ta có hai tam giác vuông BHC BHA HC HA∆ = ∆ ⇒ =

Xét tam giác ACD có : � 0190

2AH HC CD CAD= = ⇒ =

tức tam giác CAD vuông tại A.

b) BH là trục của ñường tròn ngoại tiếp tam giác ACD - Gọi I là trung ñiểm BD, qua I dựng mặt phẳng trung trực của BD.

Mặt phẳng này cắt trục BH tại O suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bán kính R = OB

Ta có BIO∆ ñồng dạng 2.

2.

OB BI DB BI DBBHD OB

DB BH BH BH∆ ⇒ = ⇒ = =

2 2

2 2 2 22 2

a a

BD DH a DH= =

− −

Mặt khác : Tam giác ACD vuông tại A ( )22 1 3

2 32 2

aCD a a a DH CD⇒ = + = ⇒ = =

Do ñó: 2

22 3

24

aOB a

aa

= =

−

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: 2 2 24 4 . 4 .S R OB aπ π π= = = Bài 5: Cho hình lăng trụ ñều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a a) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ñi qua 6 ñiểm A, B, C, A’, B’, C’ (mặt cầu ngoại tiếp hình lăng

trụ).

b) Gọi E là trung ñiểm của A’B’. Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE.

Giải: a) Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm

của các tam giác ñều ABC và A’B’C’

- Gọi O là trung ñiểm GG’, khi ñó dễ thấy: OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’

⇒O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Do ñó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là: 22 2

2 2 2 3 7.

2 3 2 12

a a aR OA OG GA

= = + = + =

b) Gọi H là trung ñiểm AB, I là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác cân EAB

- Qua I kẻ ∆ // CH ( )EAB⇒∆ ⊥ ⇒ ∆ là trục của ñường tròn ngoại tiếp tam giác EAB.


Nguồn : Hocmai.vn



Bài tập (tiếp)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC, ( )SA ABC⊥ , AB = 2, AC = 3, 060BAC∠ = . Gọi H, K lần lượt là hình

chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng: 5 ñiểm A, B, C, H, K cùng nằm trên một mặt cầu. Tính diện tích xung quanh mặt cầu ñó và thể tích khối cầu ñó.

Bài 3 (ðHKB – 2010) Cho lăng trụ tam giác ñều (lăng trụ ñứng, ñáy là tam giác ñều) ABC.A’B’C’ có

AB = a, góc giữa 2 mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Bài 4: Cho chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, ( )SC ABC⊥ , 3SC a= . Tính bán kính mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có (ABC) vuông góc với mặt phẳng (DBC) và tam giác ABC, DBC là các tam

giác ñều cạnh a. Gọi (S) là mặt cầu ñi qua B, C và tiếp xúc với ñường thẳng AD tại A.

a) Tính bán kính mặt cầu (S) b) Mặt phẳng (DBC) cắt mặt cầu (S) theo một ñường tròn (C). Tính bán kính của (C).

Bài 6: Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R. Một hình trụ có ñường cao 2x nội tiếp mặt cầu (S) (có nghĩa

hai ñường tròn ñáy hình trụ nằm trên mặt cầu).

a) Tính thể tích khối trụ và diện tích xung quanh của hình trụ theo R và x .

b) Tìm x ñể thể tích khối trụ lớn nhất.

c) Tìm x ñể diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất.

d) Tìm x ñể diện tích mặt cầu bằng hai lần diện tích xung quanh của hình trụ.


Nguồn: Hocmai.vn



Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Mặt cầu (Phần 02) thuộc khóa học Luyện


kiến thức phần Mặt cầu (Phần 02), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.






Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang cân và AB // CD. ðường tròn tâm O nội tiếp

trong hình thang có bán kính r. Biết SO vuông góc (ABCD) và SO = 2r. Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.

Bài 2: Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Từ 1 ñiểm S trên mặt cầu kẻ ba dây cung SA, SB, SC sao cho

SA = SB = SC và ASB BSC CSA α∠ = ∠ = ∠ = .

a) Tính thể tích khối chóp SABC theo R và α

b) Xác ñịnh α ñể thể tích khối chóp SABC lớn nhất. Bài 3 : Cho mặt cầu (S) ñường kính AB = 2R, H là ñiểm nằm giữa A và B. Mặt phẳng (P) ñi qua H và

vuông góc với AB cắt mặt cầu (S) theo một ñường tròn (C). Xét hình nón có ñỉnh A và có ñáy là hình tròn

giới hạn bởi (C). ðặt AH x=

a. Tìm x ñể thể tích V của khối nón giới hạn bởi hình nón ñó là lớn nhất.

b. Tìm x ñể diện tích xung quanh của hình nón lớn nhất Bài 4: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = b; AC = BC = AD = BD = a. Xác ñịnh tâm và bán kính R của

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (mặt cầu ñi qua 4 ñiểm A, B, C, D).

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 2, .AB a SA SB SC= = = Góc

giữa ñường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.


Nguồn : Hocmai.vn












S

S'

A

B

C

O

H

M

P

Q

N

A

S

DC

B

O

I

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang cân và AB // CD. ðường tròn tâm O nội tiếp

trong hình thang có bán kính r. Biết SO vuông góc (ABCD) và SO = 2r. Xác ñịnh tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.

Giải: Gọi M, N, P, Q là các tiếp ñiểm của ñường tròn nội tiếp hình thang với các cạnh của hình thang.

Do SO vuông góc mp(ABCD) nên các tam giác SOM, SON, SOP, SOQ bằng nhau

và mọi ñiểm trên SO cách ñều các mặt bên của hình chóp.

Tâm mặt cầu nội tiếp là giao của ñường phân giác trong �SON với SO.

Ta có: 2 2 5SN SO ON r= + =

Theo tính chất phân giác:

IS

IO NO

NS=

Suy ra bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp là:

.OS 2 5 1

21 5

ON rR IO r

ON NS

−= = = =

+ +

Bài 2: Cho mặt cầu tâm O bán kính R. Từ 1 ñiểm S trên mặt cầu kẻ ba dây cung SA, SB, SC sao cho

SA = SB = SC và ASB BSC CSA α∠ = ∠ = ∠ = .

a) Tính thể tích khối chóp SABC theo R và α

b) Xác ñịnh α ñể thể tích khối chóp SABC lớn nhất.

Giải:

a) Vì SA = SB = SC và ASB BSC CSA α∠ = ∠ = ∠ =

suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC ñều.

- Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC) khi ñó ta có : HA = HB = HC nên H là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

- Ta có : ( ); ( )SH ABC OH ABC⊥ ⊥ ⇒3 ñiểm S, O, H thẳng hàng

2.

1 1 1 3 3( ). . . . . . .

3 3 2 2 12S ABCV dt ABC SH AB AB SH AB SH

= ∆ = =

Mặt khác :

Gọi S’ là ñiểm ñối xứng với S qua O và ñặt SA x= .












Khi ñó vì tam giác SAS’ vuông tại A nên ta có : 2

2 2. ' .22

xSA SH SS x SH R SH

R= ⇔ = ⇒ =

Trong tam giác SAB ta có : 2 2 2 2 2 22 . . os 2. . . os 2 (1 os )AB SA SB SA SB c x x x x c x cα α α= + − = + − = −

Trong tam giác SHA ta có :

2

2 2 2 2 2 2 3.

3 2

ABSA SH AH SA SH

= + ⇔ = +

22 2

3

ABSA SH⇔ = +

2 2 22

2 2

2 (1 os ) 21 (1 os )

4 3 4 3

x x c xx c

R R

αα

−⇔ = + ⇔ = + −

2 22 24 (1 2cos ) 2 (1 2cos ) 8 (1 2cos )(1 os )

;3 3 3

R R R cx SH AB

α α α α+ + + −⇔ = ⇒ = =

Vậy 2 3

2.

3 8 (1 2cos )(1 os ) 2 (1 2cos ) 4 3.. . (1 os )(1 2cos )

2 3 3 27S ABC

R c R RV c

α α αα α

+ − += = − +

b) ðặt os ( 1 1)t c tα= − < <

Khi ñó : 3

24 3(1 )(1 2 ) , 1 1

27

RV t t t= − + − < <

Ta có : 3 3

24 3 4 3' .3(1 2 )(1 2 ) ( 4 1)

27 9

R RV t t t= + − = − +

2 1' 0 4 1 0

2V t t= ⇔ − + = ⇔ = ±

Bảng biến thiên :

t -1 1

2−

1

2 1

V’ - 0 + 0 -

V

38 3

27

R

38 3

27

R

0 0

Từ bảng biến thiên suy ra V lớn nhất 1 1

os2 2 3

t cπ

α α⇔ = ⇔ = ⇔ =

Bài 3 : Cho mặt cầu (S) ñường kính AB = 2R, H là ñiểm nằm giữa A và B. Mặt phẳng (P) ñi qua H và vuông góc với AB cắt mặt cầu (S) theo một ñường tròn (C). Xét hình nón có ñỉnh A và có ñáy là hình tròn

giới hạn bởi (C). ðặt AH x=

a. Tìm x ñể thể tích V của khối nón giới hạn bởi hình nón ñó là lớn nhất.

b. Tìm x ñể diện tích xung quanh của hình nón lớn nhất

Giải : a) Lấy M thuộc (C) khi ñó hình nón có bán kính r = HM.

- Vì tam giác AMB vuông tại M và MH AB⊥

nên ta có: 2 .MH HA HB=

. (2 )r HM HA HB x R x⇒ = = = −



A

B

M

H

B

C

D

A

M

N

Q

- Hình nón có chiều cao AH x= . Do ñó ta có:

2 21 1. . . (2 )

3 3V r AH x R xπ π= = −

3 34 2 32. .. . .(4 2 )

6 6 3 81

x x R x Rx x R x

π π π+ + − = − ≤ =

(Bất ñẳng thức Côsi)

Suy ra V lớn nhất 4

4 23

Rx R x x⇔ = − ⇔ =

b) Hình nón có ñường sinh là . 2 .l AM AH AB R x= = =

2. . (2 ). 2 2 (2 )xqS r l x R x Rx Rx R xπ π π= = − = −

3 24 2 8 3 .. .(4 2 ) . .

3 9

x x R x RR x x R x R

ππ π

+ + − = − ≤ =

(bất ñẳng thức Côsi)

Suy ra xqS lớn nhất bằng 28 3. . 4

4 29 3

R Rx R x x

π⇔ = − ⇔ =

Bài 4: Cho tứ diện ABCD với AB = CD = b; AC = BC = AD = BD = a. Xác ñịnh tâm và bán kính R của

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (mặt cầu ñi qua 4 ñiểm A, B, C, D).

Giải: - Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và CD

- Vì ACD, BCD là các tam giác cân nên CD vuông góc với AN và BN

Suy ra ( )CD ANB CD MN⊥ ⇒ ⊥

Tương tự ta có: AB MN⊥

,

MN AB

MN CD

M AB N CD

⊥

⊥ ⇒∈ ∈

MN là ñoạn vuông góc chung của AB và CD

- Gọi O là trung ñiểm MN thì OA = OB = OC = OD.

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính của nó là R = OA.

Ta có: 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 4 4

MN b MN bR OA OM AM

= = + = + = +

Mà 2

2 2 2 2 2 2 2 (2

bMN AN AM AD ND AM a= − = − − = − với 2 22 )a b>

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

4 8 4 4 8 8 8

a b b a b a b a bR R

+ +⇒ = − + = + = ⇒ =

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 2, .AB a SA SB SC= = = Góc

giữa ñường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Giải:

Gọi H là trung ñiểm của BC HA HB HC⇒ = = . Kết hợp với giả thiết SA = SB = SC Suy ra

0

,

( ) à 60

SH BC SHA SHB SHC

SH ABC v SAH

⊥ ∆ = ∆ = ∆

⇒ ⊥ ∠ =

Tam giác ABC vuông cân tại A: 2 2AC AB a BC a AH a= = ⇒ = ⇒ =



B

A

C

S

H

Tam giác SHA vuông: 0

3

.

tan 60 3

1 1 3. . . . .

3 2 3S ABC

SH AH a

aV AB AC SH

= =

⇒ = =

Gọi O, R lần lượt là tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

O⇒ thuộc ñường thẳng SH O⇒ thuộc mặt phẳng (SBC)

R⇒ là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Xét SHA∆ , ta có: 0

2sin 60

SHSA a SBC= = ⇒ ∆ ñều có ñộ dài cạnh bằng 2a

0

2 2 3

2sin 60 3

a aR⇒ = =


Nguồn : Hocmai.vn

Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 01


Bài 1: (2,0 ñiểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB = a, 3AC a= và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung ñiểm của BC.

Tính thể tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (BCC’B’).

Bài 2: (2,0 ñiểm) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân ñỉnh C, ñường thẳng BC’

tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 600 và AB = AA’ = a (a >0). Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của BB’, CC’, BC. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và NP theo a.

Bài 3: (2,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 3a ,

khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC) bằng 3a và 090SAB SCB∠ =∠ = . Tính thể tích khối chóp

S.ABC theo a và góc giữa SB với mặt phẳng (ABC).

Bài 4: (2,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA SB a= = ,

2SD a= và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai ñường thẳng AC và SD.

Bài 5: (2,0 ñiểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a= ,

3AC a= , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC

và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng

cách từ B’ ñến mặt phẳng (A’BC).


Nguồn : Hocmai.vn

ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KÌ SỐ 01

MÔN: TOÁN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là ñề kiểm tra ñịnh kì số 01 thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

tại website Hocmai.vn. ðể ñạt ñược kết quả cao trong kì thi ñại học sắp tới, Bạn cần tự mình làm trước ñề, sau ñó

kết hợp xem cùng với ñáp án.

Thời gian làm bài: 90 phút


Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 01


B

A

C

B'

A'

C'

HK

Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,

3AC a= và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung ñiểm của BC. Tính thể

tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (BCC’B’).

Giải:

Theo giả thiết ta có: ' ( )A H ABC⊥

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên

1

2AH BC a= = .

Xét tam giác A’AH vuông tại H nên ta có: 2 2' ' 3A H A A AH a= − =

Do ñó: 3

'

1 . 33.

3 2 2A ABC

a a aV a= = .

Mặt khác: '

. ' ' '

1

3A ABC

ABC A B C

V

V=

Suy ra: 3

3'. ' ' . ' ' '

2 2.3.

3 3 2A BCC B ABC A B C

aV V a= = =

Ta có: ( ) '. ' '

' '

3', ( ' ') A BCC B

BCC B

Vd A BCC B

S=

Vì ' ' ' ' ' 'AB A H A B A H A B H⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ vuông tại A’.

Suy ra 2 2' 3 2 ' 'B H a a a BB BB H= + = = ⇒ ∆ cân tại B’.

Gọi K là trung ñiểm của BH ta có: 'B K BH⊥ . Do ñó: 2 2 14' '

2

aB K BB BK= − =

Suy ra: 2' '

14' '. 2 . 14

2BCC B

aS B C BK a a= = =

Vậy ( )3

2

3 3 14', ( ' ')

1414

a ad A BCC B

a= = .

Bài 2: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân ñỉnh C, ñường thẳng BC’ tạo với mặt

phẳng (ABB’A’) góc 600 và AB = AA’ = a (a >0). Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của BB’, CC’, BC.

Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và NP theo a.

Giải:

HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KÌ SỐ 01

MÔN: TOÁN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây là ñáp án ñề kiểm tra ñịnh kì số 01 thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần

Phương) tại website Hocmai.vn. ðể ñạt ñược kết quả cao trong kì thi ñại học sắp tới, Bạn cần tự mình làm trước

ñề, sau ñó kết hợp xem cùng với tài liệu này.

Thời gian làm bài: 90 phút




S

B

H C

A

K

C'

I M

K

N

PC

A

B

A'

B'

H

Tính thể tích

Gọi K là trung ñiểm của A’B’, ta có tam giác A’B’C’ cân tại C’ nên ' AA'KC ⊥

( ) 0' ( ' ') ' ', ( ' ') ' 60KC ABB A KC BK BC ABB A KBC⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒∠ =∠ =

Lại có 5

2

aAM BK= =

Xét trong tam giác BKC’ 15

'2

aKC⇒ =

2

' ' '

1 1 15 15' '. ' .

2 2 2 4A B C

a aS A B KC a= = =

Vậy 2 3

. ' ' ' ' ' '

15 15AA '. .

4 4ABC A B C A B C

a aV S a= = =

Tính khoảng cách Ta có tứ giác ABB’A’ là hình vuông cạnh a

và M là trung ñiểm BB’, K là trung ñiểm A’B’

khi ñó AM BK⊥ mà theo chứng minh trên thì 'AM KC⊥

do ñó: 'AM BC⊥ mà NP//BC’ AM NP⇒ ⊥

và NP//(BKC’) khi ñó ( ) ( ), , ( ')d AM PN d AM BKC=

Gọi I AM BK= ∩ từ I hạ IH vuông góc với BC’ ( ), ( ') ( , )d AM BKC d AM PN IH⇒ = =

Ta có 2 2 2

1 1 1

5

aBI AM BI

BI AB BM⊥ ⇒ = + ⇒ =

Xét tam giác BIH vuông tại H và có 0 0 3 1560 sin 60 . .

2 105

a aIBH IH BI IH∠ = ⇒ = = ⇒ =

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 3a , khoảng cách từ A

ñến mặt phẳng (SBC) bằng 3a và 090SAB SCB∠ = ∠ = . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc

giữa SB với mặt phẳng (ABC).

Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC). Ta có:

+ ( )

(gt)

SH ABCHA AB

SA AB

⊥ ⇒ ⊥

⊥ . Tương tự HC BC⊥

Suy ra tứ giác HABC là một hình vuông

+ Có: / / ( ) / / ( )AH BC SBC AH SBC⊂ ⇒

[ , ( )] [ , ( )] 2d A SBC d H SBC a⇒ = =

+ Dựng HK SC⊥ tại K (1). Do ( ) (2)BC HC

BC SHC BC HKBC SH

⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

(1) và (2) suy ra ( )HK SBC⊥ . Từ ñó [ , ( )] 2d H SBC HK a= =

2 2 2 23 2KC HC HK a a a⇒ = − = − =

. 2. 3

tan 6HK SH HK HC a a

SCH SH aKC HC KC a

= = ⇒ = = =

Thể tích khối chóp S.ABC ñược tính bởi:



O

B

D

C

A

S

H

N

I

C'

B'

M

A

B

C

A'

G

K

H

31 1 1 6

. . . 3. 3. 63 6 6 2ABC

aV S SH AB BC SH a a a= = = = (ñvtt)

+ Góc giữa SB với mp(ABC) là góc 045SBH∠ = (do ∆SHB vuông cân).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, SA SB a= = , 2SD a= và mặt

phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách

giữa hai ñường thẳng AC và SD.

Giải:

Theo giả thiết (ABCD) ⊥ (SBD) theo giao tuyến BD. Do ñó nếu dựng AO ⊥ (SBD) thì O ∈ BD.

Mặt khác AS = AB = AD ⇒ OS = OB = OD hay ∆SBD là tam giác vuông tại S.

Từ ñó: 2 2 2 22 3BD SB SD a a a= + = + =

22 2 2 3

4 2

a aAO AB OB a= − = − =

Suy ra thể tích khối chóp S.ABD ñược tính bởi: 3

. .

1 1 1 2. . . . 2.

3 6 6 2 12S ABD A SBD SBD

a aV V S AO SB SD AO a a= = = = =

3

. .

22

6S ABCD S ABD

aV V⇒ = = (ñvtt).

Trong ∆SBD dựng OH ⊥ SD tại H (1) ⇒ H là trung ñiểm của SD.

Theo chứng minh trên AO ⊥ (SBD) ⇒ AO ⊥ OH (2)

(1) và (2) chứng tỏ OH là ñoạn vuông góc chung của AC và SD

Vậy 1

( , )2 2

ad AC BD OH SB= = =

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a= , 3AC a= , hình

chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ ñến mặt

phẳng (A’BC).

Giải: Gọi M là trung ñiểm BC. Từ giả thiết ta có:

02 22 , ; ' 60

3 3

aBC a AG AI A AG= = = ∠ = 0 2 3

' . t an603

aA G AG⇒ = =

Thể tích V của khối lăng trụ ñược tính bởi:

31 1 2 3. ' . . ' . 3.

2 2 3ABC

aV S A G AB AC A G a a a= = = = (ñvtt)

Dựng AK ⊥ BC tại K và GI ⊥ BC tại I ⇒ GI // AK

1 1 1 . 1 . 3 3.

3 3 3 3 2 6

GI MG AB AC a a aCI AK

AK MA BC a⇒ = = ⇒ = = = =

Dựng GH ⊥ A’I tại H (1)

Do: (2)'

BC GIBC GH

BC A G

⊥ ⇒ ⊥

⊥ . Từ (1) và (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC)

Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung ñiểm của AB’. Từ ñó:



[ ', ( ' )] [ , ( ' )] 3 [ , ( ' )] 3d B A BC d A A BC d G A BC GH= = =

2 2 2 2

2 3 33. .' . 3. ' . 6 2 513 63.

' 1751' 12 39 36

a aA G GI A G GI a a

A I A G GI a a= = = = =

++


Nguồn : Hocmai.vn

Documents

[VNMATH.com]-Hinh Hoc Khong Gian-LBTP