38
VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA b Sen B a Sen A c Sen C 2 2 y x r

VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

VOLÚMENES

ÁNGULOS.

ÁREASIDENTIDADES

CUADRILÁTEROS.

GEOMETRÍA

bSen

B

aSen

A

cSen

C

22 yxr

Page 2: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Entre los elementos de un cuadrilátero mencionamos sus lados y ángulos,

CUADRILÁTERO

Es un polígono de cuatro lados. se presentan dos ejemplos de cuadriláteros, convexo el de la izquierda y cóncavo el de la derecha. Para designarlos utilizamos letras mayúsculas en los vértices.

Page 3: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 4: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 5: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 6: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 7: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 8: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 9: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

ANGULOS.

Tienen lado inicial y el lado terminal. y de acuerdo al sentido de giro se definen ángulos positivos y ángulos negativos

Una posición muy importante de un ángulo trigonométrico es su posición estándar (posición normal).

Un ángulo está en posición estándar cuando su lado inicial coincide con el eje positivo de las x y su vértice con el origen del sistema cartesiano. El lado terminal del ángulo colocado en esta posición indicará el cuadrante al que pertenece dicho ángulo.

Page 10: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 11: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

El grado sexagesimal. Es el ángulo central que comprende un arco igual a la trescientos sesentava parte de un círculo cuyo centro es el vértice de dicho ángulo. Su símbolo (°).

El grado sexagesimal posee 60 minutos y cada minuto 60 segundos.El radián. es el ángulo central que teniendo su vértice en el centro de un círculo,

subtiende un arco de longitud igual a la que corresponde al radio de dicho círculo. Se representa (rad).

Para transformar de grados a radianes se usa la relación:

Nro. Rad x = n°

Para transformar de radianes a grados se usa la relación:

No x = Nro. rad.

CLASES DE ÁNGULOS.

Nulos, agudos, rectos, obtusos, complementarios, suplementarios, de cualquier magnitud, de una vuelta.

180

180

Page 12: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 13: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama Seno del ángulo:

• El cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama Coseno del ángulo:

• El cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama Tangente del ángulo:

• El cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto se llama Cotangente del ángulo:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS.

Page 14: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

El cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente se llama Secante del ángulo:

• El cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto se llama Cosecante del ángulo;

Si se analizan las funciones del ángulo b se llegan a las siguientes conclusiones:

bCosaSen bCtgaTan

bCscaSec

Page 15: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 16: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 17: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

FÓRMULAS

tTantTan

tCostCos

tSentSen

)(

)(

)(

Page 18: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Fórmulas Variaciones

Page 19: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

A estas parejas de funciones se las denomina cofunciones, dándose que; siendo a y b, ángulos complementarios una de las funciones de las parejas, es igual a la cofunción de su ángulo complementario. De esto se tiene que, si existe en alguna aplicación por ejemplo, esto es igual a ( x es el complemento). Con números;

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Se pueden hallar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60° por métodos sencillos y sin utilizar calculadora, si tomamos en cuenta la definición de las funciones y los valores de los lados de un triángulo equilátero (los 3 lados y sus tres ángulos son iguales) tenemos:

3357 CotTan

)90( xSen xCos

Page 20: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Si trazamos una bisectriz por un ángulo, este triangulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. La bisectriz es a su vez altura y mediatriz del lado opuesto. Separando un triángulo tenemos: Un triángulo rectángulo con sus lados y ángulos conocidos.

60

60 60 2

2 2

2 30

60 1

3

Page 21: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Calcular los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30 y 60. Ej:

Para las funciones de 45 usamos un triángulo rectángulo isósceles (los catetos son iguales y sus ángulos opuestos son iguales y miden 45) veamos:

Ejemplos:

2

45

1

1

2

45

.,360;

2

160;

2

130 etcTanCosSen

1

1

145;

2

145;

2

145 TanCosSen

Page 22: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Se puede hacer práctica de la operatoria algebraica con los valores de las funciones trigonométricas por ejemplo:

Halle el valor de la siguiente expresión:

Este tipo de ejercicios se realizan efectuando las operaciones algebraicas con los valores de estas funciones así:

305603452 CscCtgCos

10

3

3

2

225

3

13

2

12

6

6102332

Page 23: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES.

Se derivan las siguientes identidades básicas llamadas identidades pitagóricas.

identidades recíprocas :

xCtgxTan

xSecxCos

xCscxSen

1;

1;

1

xCtgxCsc

xTanxSec

xSenxCos

22

22

22

1

1

1

+=

+=

=+

identidades de cociente.

xSen

xCosxCtg

xCos

xSenxTan ;

Page 24: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Sí consideramos un ángulo en posición estándar (algunos otros autores lo llaman posición normal) y escogemos un punto P de coordenadas (x,y) en el lado terminal del ángulo como se indica en la figura y si tomamos la distancia de O a P, d (OP)

Entonces y opuesto, x adyacente r hipotenusa, entonces tenemos que:

Observando el grafico tenemos:

22 yxr

P (x,y)

y r

x O

Page 25: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Estas expresiones nos dan un modelo sobre el cual basamos nuestra definición extendida para cualquier ángulo en posición normal, tal como lo ilustramos a continuación:

x

yTan

r

xCos

r

ySen ;;

|

P (x,y)

y r

x

r y

P (x,y) P (x,y)

x x

y r

Page 26: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Si consideramos a P como un punto (x,y) cualquiera distinto de (0,0), en el lado terminal del ángulo en posición estándar, si

es la distancia entre (0,0) y (x,y), entonces las seis funciones trigonométricas de se definen:

Los valores de las funciones trigonométricas dependerán exclusivamente del valor de , independientemente donde se escoja el punto P de coordenadas.

22 yxr

0;0;0

0

yy

xCtgx

x

rSecy

y

rCsc

xx

yTan

r

xCos

r

ySen

Page 27: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Del cuadrante en que este el lado terminal del ángulo dependerán los signos de las funciones trigonométricas. Recuerde que r es una distancia, por lo tanto siempre va a ser positiva.

Existe una regla nemotécnica que permite recordar fácilmente los signos de las funciones trigonométricas de ángulos en los cuatro cuadrantes a saber:

Señorita (Todas)

Cos

Sin

Ta

Page 28: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES.

Definición: El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe.

Por ejemplo, el seno del número real , es simplemente, el seno del ángulo de radianes (que como usted sabe, es Sen 30= ½). De esta manera, no hay en realidad nada nuevo al evaluar la función trigonométrica de un número real.

Page 29: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

La circunferencia unitaria es muy útil para describir las funciones trigonométricas de los números reales.

Como veremos mas adelante, de este resultado podemos obtener algunas propiedades importantes de las funciones seno y coseno. Debido al papel jugado por la circunferencia en este análisis, las funciones trigonométricas se refieren algunas veces a las funciones circulares.

Ya que (x, y) está situado en la circunferencia unitaria, se deduce que:

1 x 1 y 1 y 1

Page 30: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

De lo anterior podemos deducir que:

Dominio y Rango.

Las observaciones anteriores indican que tanto Cos t y Sen t pueden ser cualquier número real del intervalo 1, 1. Así obtenemos las funciones seno y coseno.

y

Ambas con dominio en los números reales y como rango, el intervalo 1, 1. .

11 tSenytCos

tSentf )( tCostf )(

Page 31: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Fórmulas para la suma y resta de senos, cosenos y tangentes de dos ángulos.

Estas fórmulas las podemos aplicar tanto en la comprobación de identidades, así como a la solución de ecuaciones trigonométricas.

ucosvsenvcosusenv)Sen(u

vsenusenvcosucosv)Cos(u

vtanutan1

vtanutanv)tan(u

Page 32: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Fórmulas del ángulo doble.

Estas fórmulas no solamente se aplican cuando el ángulo tiene esta forma, sino que se las puede utilizar para otros ángulos que tiene la misma relación.

Fórmulas de ángulo mitad.

ucosusen22usen

1u2cosusen21usenucos2uCos 2222

utan1

utan22uTan

2

2

ucos1

2

uSen

Page 33: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

.

LEY DE LOS SENOS

LEY DE LOS COSENOS

bSen

B

aSen

A

cSen

C

bCosACCAB 2222

Page 34: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Áreas y perímetros de figuras geométricas

Page 35: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Volúmenes y áreas de figuras geométricas

Page 36: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 37: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA
Page 38: VOLÚMENES ÁNGULOS. ÁREAS IDENTIDADES CUADRILÁTEROS. GEOMETRÍA

Bibliografíahttp://es.wikipedia.org/wiki/

Wikipedia