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7/26/2019 Volmenes Discos y Anillos
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CLCULO II
INTEGRAL DEFINIDA:
CLCULO DE VOLMNES : DISCO Y ARANDELAS O
ANILLO
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Logros de la sesin:
Al finalizar la sesin, el estudiante resuelve problemas de
ingeniera
calculando el volumen de slidos de revolucin a travs de los
mtodos del
disco y de las arandelas.
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1. Mtodo del disco1.1 definicin
1.2 ejemplos
2. Mtodo del anillo
2.1 definicin
2.2 ejemplos
Temario
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Volmenes
1) Mtodo Del Disco
ea funa funcin continua en !a, b" y sea Rla regin acotada por la
gr#fica de f,
el eje xy las rectas verticales x= a, x= b. $l volumen del slido
de revolucin
generado al girar la regin Ralrededor del eje xest# dado
por%
dxxfvb
a= &'2
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Eem!lo "1
(allar el volumen del slido generado al rotar alrededor del eje
) la regin
acotada por y*x2 y las rectas x * + ,x* 1
#ol$cin
r#ficamente se tiene%
Aplicando nuestra frmula se tiene%
dxxdxxfVb
a
b
a == 222 &'&'
1
+
-
-
x= .
-u
=
-
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%) Mtodo del &nillo o de las &randelas
ean fy gdos funciones continuas en !a,b" y sea Runa regin
acotada por las
gr#ficas de las funciones fy g, el eje xy las rectas x= a , x=b.
$l volumen delslido de revolucin generado al girar la regin
Ralrededor del eje xest# dado
por%
dxxgxfVb
a = &"'&'! 22
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Eem!lo "%
(allar el volumen del slido de revolucin generado al rotar
alrededor del eje x,
la regin acotada por y
#ol$cin
gr#ficamente tenemos%
xy= xy=
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/alculemos los lmites de integracin igualando las funciones. $s
decir%
$ntonces el volumen es%
xx =
+2 =xx
+&1' =xx
1+ == xx
dxxxV =1
+
22
"&'&!'
dxxx = 1
+
2
"!
1
+
.2
.2
= xxV .
0u
=
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Teorema
ean f y g funciones continuas en !a,b" y sea R una regin
acotadas por lasgr#ficas de las funciones f yg, el eje xy las
rectas verticales x= a, y= b. $l
volumen del slido de revolucin generado al girar Ralrededor de
la recta y=
c est# dado por%
dxcxgcxfVb
a = "&&''&&'!' 22
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Eem!lo "%
(allar el volumen del slido generado al rotar la regin formada
por las
gr#ficas de las curvas y alrededor de la recta y * 1
#ol$cin
r#ficamente tenemos%
xy= xy=
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/alculemos el #rea usando la integral%
dxxxV = 1
+
22 "&&1''&&1'!'
dxxxV ++= 1
+
22 "&1'&1!'
dxxxxxV
++++= 1
+
2&"12'12!
dxxxxxV ++= 1
+
2 &1212'
dxxxxV += 1
+2 &2'
1
+
2.
.
2.
.
+=
xx
x
.
2uV
=
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'R&(
