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Geometría
VOLÚMENES (3 h.)
El volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo.
En un cuerpo sólido se puede medir su volumen, lo que, como en el caso de las
longitudes y las áreas significa ver cuántas veces cabe en él una unidad determinada.
En este caso, la unidad será un cuerpo sólido, como un cubito.
Por ejemplo, podemos tomar como unidad un cubo cuyas aristas midan 1 cm, es
decir, un cubo formado por cuadrados de 1 cm de lado. A esta unidad la llamamos un
centímetro cúbico y la denotamos 1 cm3 (a veces se denota también 1 cc).
Cambio de una unidad a otra:
Como hemos visto en los apartados anteriores existen equivalencias entre las
unidades del sistema métrico decimal, las que se establecen de acuerdo al siguiente
esquema:
¿Cómo establecer equivalencias?
÷ 1.000
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
X 1.000
En este caso cada unidad de longitud es 1.000 veces mayor que la inmediata inferior
y 1.000 veces menor que la inmediata superior. Por lo tanto contaremos los lugares
que separan una unidad de otra y multiplicaremos o dividiremos cada lugar por 1.000
según corresponda.
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Ejemplos:
7 km3 = 7.000 Hm3 = 7.000.000 dam3 = 7.000.000.000 m3
3 m3 = 3.000 dm3 =3.000.000 cm3 = 3.000.000.000 mm3
0,0735 m3 =73,5 dm3 = 73.500 cm3 = 73.500.000 mm3.
¿24 m3 cuántos cm3 son?
Como del m3 al cm3 hay dos lugares multiplicaremos 24 x 1000 x 1000
24 m3 · 1.000.000 = 24.000.000 cm3
¿256 m3 cuántas Hm3 son?
Como del m3 a la Hm3 hay dos lugares dividiremos 256 : 1000 : 1000
256 : 1.000.000 = 0,000256 Hm3
Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos
Figura Esquema Área Volumen
Cilindro
Atotal = 2πr ( h + r ) V = π r2 · h
Esfera
Atotal = 4π r2
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Cono
Atotal = π r2 + π r g
Cubo
A = 6 a2 V = a3
Prisma
A = (perim.base × h) + 2 · area base V = área base × h
Pirámide
Ejemplos:
Calcula el volumen de los siguientes cuerpos:
1)
2)
10 cm
3aV =
33 100010 cmcmV ==
5 m
2 m
3 m 330235 mmmmV =⋅⋅=
hbaseáreaV ⋅=
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3)
4)
5)
32
55,1673
10414,3 cmV =⋅⋅
=
6)
367,666.63
50400 cmV =⋅
=
r=4 cm
h=10 cm
400 m2
50 m
6 cm
10 cm
hrV ⋅⋅= 2π
32 97,113010614,3 cmV =⋅⋅=
10 cm
33 79,41881014,334 cmV =⋅⋅=
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Equivalencias entre volumen y capacidad:
Como vimos anteriormente, el volumen es una magnitud cuya medida nos permite
conocer la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. Esta magnitud está muy
relacionada con la capacidad, puesto que el volumen es el espacio que puede ocupar
un recipiente lleno y la capacidad es la cantidad de materia que puede contener un
cuerpo.
Al establecer el Sistema métrico decimal, se definió el litro como el volumen de un
cubo de un decímetro de arista, es decir, un decímetro cúbico. Ésa es la equivalencia
fundamental entre las unidades de volumen y capacidad.
1 dm3 = 1 l.
La siguiente tabla muestra las equivalencias entre las unidades de volumen y
capacidad:
Unidades de volumen m3 dm3 cm3
Unidades de capacidad kl hl dal l dl cl ml
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Ejemplos:
a) ¿Cuántos litros son 20 m3?
Como 1 litro es igual a 1 dm3, pasaremos los 20 m3 a dm3
20 m3 · 1.000 = 20.000 dm3 = 20.000 litros
b) ¿Cuántos litros son 10.000 cm3?
Pasaremos los 10.000 cm3 a dm3
10.000 cm3 : 1.000 = 10 dm3 = 10 litros
c) Una piscina tiene forma de prisma rectangular de dimensiones 25m x 15m x 3m.
¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenar los 4/5 de su volumen?
d) Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es
de 25 cm. Queremos llenarlo. ¿Cuántos litros de agua necesitamos?
hV ⋅= base área
3 112531525 mV =⋅⋅=
litrosm 000.125.1 125.1 3 =
litros 000.90054000.125.1 =⋅
hrV ⋅⋅= 2π
32 43,282725614,3 cmV =⋅⋅=
33 82743,2 43,2827 dmcm =
litros 82,2 82,2 3 =dm
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Presentación: Volúmenes.
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