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Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (25 – Fibonacci-Heaps – Analyse). T. Lauer. Fibonacci-Heaps: Idee. - PowerPoint PPT Presentation
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1
Vorlesung Informatik 2
Algorithmen und Datenstrukturen
(25 – Fibonacci-Heaps – Analyse)
T. Lauer
2
Fibonacci-Heaps: Idee
• Liste von Bäumen (beliebigen Verzweigungsgrades), die alle heapgeordnet sind.
Definition:
Ein Baum heißt (min-)heapgeordnet, wenn der Schlüssel jedes Knotens größer
oder gleich dem Schlüssel seines Vaterknotens ist (sofern er einen Vater hat).
• Die Wurzeln der Bäume sind in einer doppelt verketteten, zirkulären Liste
miteinander verbunden (Wurzelliste).
• Der Einstiegspunkt ist ein Zeiger auf den Knoten mit minimalem Schlüssel.
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Fibonacci-Heaps: Knotenformat
class FibNode { Object content; // der eigentliche Inhalt int key; // Schlüssel (Priorität) FibNode parent, child; // Zeiger auf Vater und einen Sohn FibNode left, right; // Zeiger auf linken und rechten
Nachbarn
int rank; // Anzahl der Söhne dieses Knotens boolean mark; // Markierung}
Die Zahl rank gibt an, wie viele Söhne der Knoten hat (= der Rang des Knotens)
Die Bedeutung der Markierung mark wird später deutlich. Diese Markierung gibt an, ob der Knoten bereits einmal einen seiner Söhne verloren hat, seitdem er selbst zuletzt Sohn eines anderen Knotens geworden ist.
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Fibonacci-Heap: Detaillierte Darstellung
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Fibonacci-Heaps: Operationen
• Q.accessmin(): Gib den Knoten Q.min zurück (bzw. null, wenn Q leer ist).
• Q.insert(int k): Erzeuge einen neuen Knoten N mit Schlüssel k und füge ihn
in die Wurzelliste von Q ein. Falls k < Q.min.key, aktualisiere den Minimum-
Zeiger (setze Q.min = N). Gib den neu erzeugten Knoten zurück.
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Fibonacci-Heaps: Operationen
• Q.accessmin(): Gib den Knoten Q.min zurück (bzw. null, wenn Q leer ist).
• Q.insert(int k): Erzeuge einen neuen Knoten N mit Schlüssel k und füge ihn
in die Wurzelliste von Q ein. Falls k < Q.min.key, aktualisiere den Minimum-
Zeiger (setze Q.min = N). Gib den neu erzeugten Knoten zurück.
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Fibonacci-Heaps: Operationen
• Q.accessmin(): Gib den Knoten Q.min zurück (bzw. null, wenn Q leer ist).
• Q.insert(int k): Erzeuge einen neuen Knoten N mit Schlüssel k und füge ihn
in die Wurzelliste von Q ein. Falls k < Q.min.key, aktualisiere den Minimum-
Zeiger (setze Q.min = N). Gib den neu erzeugten Knoten zurück.
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117 4
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Manipulation von Bäumen in Fibonacci-Heaps
Drei Basis-Methoden zur Manipulation von Bäumen in Fibonacci-Heaps:
link: „Wachstum“ von Bäumen.
Zwei Bäume werden zu einem neuen verbunden.
cut: „Beschneiden“ von Bäumen im Inneren.
Ein Teilbaum wird aus einem Baum herausgetrennt und als neuer Baum in die
Wurzelliste eingefügt.
remove: „Spalten“ von Bäumen an der Wurzel.
Entfernt die Wurzel eines Baums und fügt die Söhne der Wurzel als neue Bäume
in die Wurzelliste ein.
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Baummanipulation: link
link:
Input: 2 Knoten mit demselben Rang k in der Wurzelliste
Methode: vereinigt zwei Bäume mit gleichem Rang, indem die Wurzel mit größerem
Schlüssel zu einem neuen Sohn der Wurzel mit kleinerem Schlüssel gemacht wird.
Die Gesamtzahl der Bäume verringert sich um 1, die Knotenzahl ändert sich nicht.
Output: 1 Knoten mit Rang k+1
Kosten: O(1)
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83 52
2
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36 21
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Baummanipulation: cut
cut:
Input: 1 Knoten, der nicht in der Wurzelliste ist
Methode: trennt den Knoten (samt dem Teilbaum, dessen Wurzel er ist) von seinem
Vater ab und fügt ihn als neuen Baum in die Wurzelliste ein.
Die Gesamtzahl der Bäume erhöht sich um 1, die Knotenzahl ändert sich nicht.
Kosten : O(1)
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36
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26
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Baummanipulation: remove
remove:
Input: 1 Knoten mit Rank k aus der Wurzelliste
Methode: entfernt die Wurzel eines Baums und fügt stattdessen seine k Söhne in die
Wurzelliste ein. Die Zahl der Bäume erhöht sich um k-1, die Gesamtzahl der
Knoten verringert sich um 1.
Kosten: O(1) [sofern die Vaterzeiger der Söhne nicht gelöscht werden!]
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36 2115
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13 45 8
36 2115
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Entfernen des Minimums
Q.deletemin():
• Wenn Q leer ist, gib null zurück.
• Andernfalls:
– Entferne den Minimalknoten (mit remove).
– „Konsolidiere“ die Wurzelliste:Verbinde (mit link) je zwei Wurzelknoten mit demselben Rang, und zwar solange, bis nur noch Knoten mit unterschiedlichem Rang in der Wurzelliste vorkommen.Lösche dabei die Markierungen der Knoten, die zum Sohn eines anderen werden, und entferne außerdem evtl. vorhandene Vaterzeiger der Wurzelknoten.
– Finde unter den Wurzelknoten das neuen Minimum.
– Gib den entfernten Knoten zurück.
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deletemin: Beispiel
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83 52
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36 2115
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consolidate: Beispiel
1913 45 8
36 21 2415
83 52
117
0 1 2 3 4 5Rang-Array:
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consolidate: Beispiel
1913 45 8
36 21 2415
83 52
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0 1 2 3 4 5Rang-Array:
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consolidate: Beispiel
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13 45 8
36 21
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83 52
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0 1 2 3 4 5Rang-Array:
17
consolidate: Beispiel
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45 8
36 21
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83 52
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0 1 2 3 4 5Rang-Array:
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consolidate: Beispiel
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13 45
8
36 21
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83 52
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0 1 2 3 4 5Rang-Array:
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consolidate: Beispiel
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13 45
8
36 21
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Laufzeitanalyse
Laufzeit von deletemin():
remove: O(1)
consolidate: O(#links) + O(maxRank(n))
updatemin: O(#Wurzelknoten nach consolidate) = O(maxRank(n))
Nach dem Konsolidieren gibt es von jedem Rang nur noch höchstens einen
Wurzelknoten.
Definiere maxRank(n) als den höchstmöglichen Rang, den ein Wurzelknoten in einem
Fibonacci-Heap der Größe n haben kann. (Berechnung von maxRank(n) später.)
21
Analyse von consolidate
rankArray = new FibNode[maxRank(n)+1]; // Erstelle das Array
for „each FibNode N in rootlist“ {
while (rankArray[N.rank] != null) { // Position besetzt
N = link(N, rankArray[N.rank]); // Verbinde Bäume
rankArray[N.rank-1] = null; // Lösche alte Pos.
}
rankArray[N.rank] = N; // Eintragen in Array
}
Die Gesamtkosten von consolidate werden dominiert von der Anzahl der
link-Operationen und der Anzahl der Array-Modifikationen.
22
Gesamtkosten von deletemin
remove: O(1)
Erstellen des Rang-Arrays: O(maxRank(n))
for-Schleife: O(#links) + O(maxRank(n))
Update des Minimum-Zeigers: O(maxRank(n))
Gesamtkosten: O(#links) + O(maxRank(n))
23
Herabsetzen eines Schlüssels
Q.decreasekey(FibNode N, int k):
• Setze den Schlüsselwert von N auf k herab.
• Wenn die Heap-Bedingung nicht mehr erfüllt ist (k < N.parent.key):
– Trenne N von seinem Vater ab (mit cut)
– Falls der Vater markiert ist (N.parent.mark == true), trenne auch ihn
von seinem Vater ab; wenn auch dessen Vater markiert ist, trenne auch diesen
ab, usw. („cascading cuts“)
– Markiere den Knoten, dessen Sohn zuletzt abgetrennt wurde (sofern dieser
kein Wurzelknoten ist).
– Aktualisiere den Minimum-Zeiger (falls k < min.key).
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Beispiel für decreasekey
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13 45 8
36 21
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15 83 52
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64
Setze den Schlüssel 64 auf 14 herab.
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Beispiel für decreasekey
6 5
13 45 8
36 21
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15 83 52
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64
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Beispiel für decreasekey
6 5
13 45 8
36 21
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15 83 52
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Beispiel für decreasekey
6 5
13 45 8
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15 83 52
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Beispiel für decreasekey
6 5
13 45 8
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15 83 52
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64
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Laufzeitanalyse
Laufzeit von decreasekey():
Schlüssel neu setzen: O(1)
cut: O(1)
Cascading cuts: #cuts · O(1)
Markieren: O(1)
Gesamtkosten: O(#cuts)
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Entfernen eines Knotens
Q.delete(FibNode N):
• Falls N == Q.min, führe Q.deletemin() aus.
• Andernfalls:
– Falls N nicht in der Wurzelliste ist:
• Trenne N von seinem Vater ab (mit cut)
• Falls der Vater markiert ist (N.parent.mark == true), trenne auch ihn von seinem Vater ab; wenn auch dessen Vater markiert ist, trenne auch diesen ab, usw. („cascading cuts“)
• Markiere den Knoten, dessen Sohn zuletzt abgetrennt wurde (sofern dieser kein Wurzelknoten ist).
– Entferne N aus der Wurzelliste (mit remove).
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Beispiel für delete
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13 45 8
36 21
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117
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64
Lösche den Knoten mit Schlüssel 21.
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Beispiel für delete
6 5
13 45 8
36 21
24
15 83 52
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Beispiel für delete
6 5
13 45 8
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21
24
15 83 52
117
64 64
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Beispiel für delete
6 5
13 45 8
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15 83 52
117
64 64
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Beispiel für delete
6 5
13 45
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15 83 52
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64 64
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Beispiel für delete
6 5
13 45
8
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15 83 52
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Laufzeitanalyse
Laufzeit von delete():
• Falls der entfernte Knoten der Minimalknoten ist, sind die Kosten gleich wie bei
deletemin: O(#links) + O(maxRank(n))
• Ansonsten sind sie ähnlich wie bei decreasekey:
cut: O(1)
Cascading cuts: #cuts · O(1)
Markieren: O(1)
remove: O(1)
Gesamtkosten: O(#cuts)
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Analyse
Beobachtungen:
Bei deletemin beeinflusst die Zahl der link-Operationen die tatsächliche Laufzeit.
Bei decreasekey (und delete) ist es die Zahl der cascading cuts.
In beiden Fällen bekommen wir im schlimmsten Fall eine lineare Laufzeit:
Aber: Wie häufig kann das passieren?
5 8 217 2
28
11
5
39
Amortisierte Analyse
Beobachtungen:
Bei deletemin beeinflusst die Zahl der link-Operationen die tatsächliche Laufzeit.
Bei decreasekey (und delete) ist es die Zahl der cascading cuts.
Idee: Spare dafür Guthaben an (Bankkonto-Paradigma)!
Annahme: Die Kosten pro link und pro cut seien jeweils 1€.
(1) Sorge dafür, dass für jeden Wurzelknoten immer 1€ Guthaben vorhanden ist,
mit dem sich die link-Operation bezahlen lässt, wenn dieser Knoten an einen
anderen angehängt wird.
(2) Sorge dafür, dass für jeden markierten Knoten, der nicht in der Wurzelliste ist,
immer 2€ Guthaben vorhanden sind. Damit kann man bei „cascading cuts“
das Abtrennen (cut) dieses Knotens bezahlen und hat noch 1€ übrig für (1).
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Beispiel
913 45 3
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Guthaben ansparen
Bei welchen Operationen müssen wir etwas dazu bezahlen?
Neue Wurzelknoten können entstehen bei:
– insert: gib dem neu eingefügten Wurzelknoten noch 1€ dazu.
– decreasekey: bezahle 1€ für den abgetrennten Knoten dazu.
– deletemin und delete: bezahle bei remove für jeden Sohn des entfernten
Knotens 1€ dazu, insgesamt also bis zu maxRank(n) €.
Markierte Knoten können nur am Ende von decreasekey und delete entstehen:
– Bezahle beim Markieren zusätzlich 2€ für den markierten Knoten.
42
Amortisierte Kosten von insert
Erstellen des Knotens: O(1)
Einfügen in Wurzelliste: O(1) + O(1)
Amortisierte Gesamtkosten: O(1)
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Amortisierte Kosten von deletemin
remove: O(1) + O(maxRank(n))
Erstellen des Rang-Arrays: O(maxRank(n))
link-Operationen: #links · O(1) wird vom Guthaben bezahlt!
Restl. Eintragungen: O(maxRank(n))
Update Minimum-Zeiger: O(maxRank(n))
Amortisierte Gesamtkosten: O(maxRank(n))
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Beispiel
913 45 3
36 21 24
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79
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36
3214
50 39
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45
Beispiel
913 45 36 21
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75
52
79
107
1147
36
3214
50 39
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remove: Bezahle zusätzlich für jeden Sohn 1€:
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Beispiel
913 45
36
21
24
75
52
79
107
1147
36
3214
50 39
61
link: Bezahle alle Kosten mit dem Guthaben.
47
Beispiel
913 45
36
2124
75
52
79
107
1147
36
3214
50 39
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link: Bezahle alle Kosten mit dem Guthaben.
48
Beispiel
913
45
36
2124
75
52
79
107
1147
36
3214
50 39
61
link: Bezahle alle Kosten mit dem Guthaben.
49
Beispiel
9
1345
36
2124
75
52
79
107
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36 3214
50 39
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link: Bezahle alle Kosten mit dem Guthaben.
50
Beispiel
9
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45
36
21
24
75
52
79
10
7
1147
36
3214
50 39
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link: Bezahle alle Kosten mit dem Guthaben.
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Amortisierte Kosten von decreasekey
Schlüsselwert neu setzen: O(1)
cut: O(1) + O(1)
Cascading cuts: #cuts · O(1) wird vom Guthaben bezahlt!
Markieren: O(1) + 2 · O(1)
Amortisierte Gesamtkosten: O(1)
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Beispiel
913 45 3
36 21 24
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Beispiel
913 45 3
36 21 24
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7
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36
3214
50 39
Bezahle für den ersten cut noch 1€ zusätzlich:
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Beispiel
913 45 3
36 21 24
20
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3214
50 39
Bezahle für den ersten cut noch 1€ zusätzlich:
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Beispiel
913 45 3
36 21 24
20
52
79
7
1147
36
3214
50 39
Alle weiteren cascading cuts werden vom Guthaben bezahlt:
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Beispiel
913 45 3
36 21 24
20
52
79
7
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3214
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Alle weiteren cascading cuts werden vom Guthaben bezahlt:
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Beispiel
913 45 3
36 21 24
20
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79
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3214
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Beim Markieren bezahle noch 2€ extra:
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Amortisierte Kosten von delete
• Falls der entfernte Knoten der Minimalknoten ist, sind die Kosten dieselben wie bei
deletemin: O(maxRank(n))
• Ansonsten:
cut: O(1)
Cascading cuts: #cuts · O(1) wird vom Guthaben bezahlt!
Markieren: O(1) + 2 · O(1)
remove: O(1) + O(maxRank(n))
Amortisierte Gesamtkosten: O(maxRank(n))
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Amortisierte Analyse
Amortisierte Kosten
• Insert: O(1)
• Accessmin: O(1)
• Deletemin: O(maxRank(n))
• Decreasekey: O(1)
• Delete: O(maxRank(n))
• Meld: O(1)
Noch zu zeigen: maxRank(n) = O(log n). D.h. der maximale Rang eines Knotens in
einem Fibonacci-Heap ist logarithmisch in der Größe n des Fibonacci-Heaps.
60
Berechnung von maxRank(n)
Lemma 1:
Sei N ein Knoten in einem Fibonacci-Heap und k = N.rank. Betrachte die Söhne
C1, ..., Ck von N in der Reihenfolge, in der sie (mit link) zu N hinzugefügt wurden.
Dann gilt:
(1) C1.rank ≥ 0
(2) Ci.rank ≥ i - 2 für i = 2, ..., k
Beweis: (1) klar
(2) Als Ci zum Sohn von N wurde, waren C1, ..., Ci-1 schon Söhne von N,
d.h. es war N.rank ≥ i-1. Da durch link immer Knoten mit gleichem Rang
verbunden werden, war beim Einfügen also auch Ci.rank ≥ i-1. Seither kann
Ci höchstens einen Sohn verloren haben (wegen cascading cuts), daher
muss gelten: Ci.rank ≥ i - 2
61
Berechnung von maxRank(n)
Lemma 2:
Sei N ein Knoten in einem Fibonacci-Heap und k = N.rank.
Sei size(N) = die Zahl der Knoten im Teilbaum mit Wurzel N.
Dann gilt: size(N) ≥ Fk+2 ≥ 1.618k
D.h. ein Knoten mit k Söhnen hat mind. Fk+2 Nachkommen (inkl. sich selbst).
Beweis: Sei Sk = min {size(N) | N mit N.rank = k}, d.h. die kleinstmögliche Größe
eines Baums mit Wurzelrang k. (Klar: S0 = 1 und S1 = 2.)
Seien wieder C1, ..., Ck die Söhne von N in der Reihenfolge, in der sie zu N
hinzugefügt wurden.
62
Berechnung von maxRank(n)
Beweis: Sei S(k) = min {size(N) | N mit N.rank = k}, d.h. die kleinstmögliche Größe eines
Baums mit Wurzelrang k. (Klar: S0 = 1 und S1 = 2.)
Seien wieder C1, ..., Ck die Söhne von N in der Reihenfolge, in der sie zu N hinzugefügt
wurden.
Es ist size(N) ≥
13
36
21
10
3214
61
k
i
k
iS
kSS
rankCSrankCSrankCSkS
2
21
)2(2
)2(...)22(11
).(...).().(1)(
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Berechnung von maxRank(n)
• Es ist size(N) S(k) =
k
i
iS2
)2(2
64
Berechnung von maxRank(n)
Satz:
Der maximale Rang maxRank(n) eines beliebigen Knotens in einem
Fibonacci-Heap mit n Knoten ist beschränkt durch O(log n).
Beweis: Sei N ein Knoten eines Fibonacci-Heaps mit n Knoten und sei k = N.rank.
Es ist n ≥ size(N) ≥ 1.618k (nach Lemma 2)
Daher istk ≤ log1.618(n) = O(log n)
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Zusammenfassung
Lineare Liste (Min-)Heap Fibonacci-Heap
insert: O(1) O(log n) O(1)
accessmin: O(1) O(1) O(1)
deletemin: O(n) O(log n) O(log n)*
decreasekey: O(1) O(log n) O(1)*
delete: O(n) O(log n) O(log n)*
meld: O(1) O(m log(n+m)) O(1)
*Amortisierte Kosten
