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Vorlesung Variationsmethoden · PDF file 2020. 1. 6. · Vorlesung Variationsmethoden Wintersemester 2019/2020 DRAFT - MAY CONTAIN TYPOS/ERRORS! 6. Januar 2020 Prof. Dr. Jan-Frederik

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  • Vorlesung Variationsmethoden

    Wintersemester 2019/2020

    DRAFT - MAY CONTAIN TYPOS/ERRORS!

    6. Januar 2020

    Prof. Dr. Jan-Frederik Pietschmann

    Fakultät für Mathematik, Technische Universität Chemnitz Reichenhainer Straße 41, Chemnitz, Germany

    please send remarks/typos to [email protected]

    Inhaltsverzeichnis

    1 Modellierung und Motivation 3 1.1 Makroskopische Theorie der Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Interpretation als Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Motivation Variationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 Strukturen 11 2.1 Topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Normierte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Hilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Dualräume und Riesz-Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 The Theorems of Stampacchia and Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3 LP Spaces 34 3.1 Some Results about Integration That Everyone Must Know . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Definition and Elementary Properties of Lp Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Reflexivity, separability, dual space of Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4 Convolution and regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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  • 4 Sobolev Spaces 47 4.1 Weak derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Elementary properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.5 Trace-Operator (Spuroperator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.6 Sobolev Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.7 Additional topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    5 Second-Order Elliptic Equations 72 5.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.2 Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.3 Maximumprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

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  • 1 Modellierung und Motivation

    mytuc.org/yhxw

    Ziel dieses Abschnitts ist die Herleitung der Wärmeleitungsgleichung aus (zwei verschiedenen) phy- sikalischen Überlegungen. Diese Gleichung dient uns im weiteren Verlauf der Vorlesung als wichtiges Beispiel.

    1.1 Makroskopische Theorie der Wärme

    Wärme = Grundkonzept der Thermodynamik und entspricht der (ungeordneten) Bewegung von Molekülen.

    Dieser Bewegung ist eine kinetische Energie zugeordnet, die als Wärmeenergie bezeichnet wird.

    Die Temperator ist dann ein lineares Maß für den Mittelwert dieser Energie.

    Die Volumenarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit W , um das Volumen des Systems vom Wert V1 auf eines mit dem Wert V2 zu verändern. Allgemein gilt:

    W1,2 = − ˆ s F (s) · ds,

    wobei F die Kraft ist, die entlang des Weges s wirkt. Für reibungsfrei und quasistatisch zugeführte Arbeit in dem einem Zylinder mit dem Querschnitt A (also ds = dVA ) gilt wegen F = p · A (Reibungsfreiheit) also

    W1,2 =

    ˆ V2 V1

    δW = − ˆ V2 V1

    p · dV = −p∆V

    https://de.wikipedia.org/wiki/Volumenarbeit

    Um zu einer Differentialgleichung zu kommen, verwenden wir Konzepte der Thermodynamik, die energetischer Natur sind:

    • Die innere Energie U bezeichnet die kinetische Energie der Teilchen des betrachteten Systems, die Energie der chemischen Bindungen der Teilchen des Systems, und ähnliche Effekte.

    3

    mytuc.org/yhxw https://de.wikipedia.org/wiki/Volumenarbeit

  • • Die Enthalpie H ist die Summe aus innerer Energie und Volumenarbeit, d.h.,

    H = U + pV. (1.1)

    Die Erhaltung der Energie wird im ersten Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben, der besagt, dass die Anderung der inneren Energie (∆U) (in einem gegebenen Zeitintervall) gleich der Summe aus zugefuhrter Wärmemenge (∆Q) und geleisteter Arbeit (−∆W ) ist, also

    ∆U = ∆Q−∆W.

    Da die Arbeit durch W = pV gegeben ist, können wir die Energieerhaltung als

    ∆Q = ∆(U +W ) = ∆(U + pV ) = ∆H (1.2)

    umschreiben, d.h. die Änderung der Enthalpie ist gleich der zugeführten Wärmemenge.

    1.1.1 Transport

    Wir betrachten nun den Energietransport in einem Gebiet Ω ⊂ R3 für positive Zeit t > 0. Zur makroskopischen Beschreibung verwenden wir kontinuierliche Dichten, d.h. wir betrachten die Ent- halpie h und die Temperatur u als Funktionen

    h, u : Ω× R+ → R+,

    wobei dann z.B. für D ⊂ Ω gilt H(D, t) =

    ˆ D h(x, t) dx.

    Die Grundlage für die Modellierung ist der erste Hauptsatz der Thermodynamik, (1.2). Betrachten wir ein beliebiges Teilgebiet D ⊂ Ω, dann ist die (zeitliche) Änderung der Enthalpie in D gleich der zugeführten Wärmemenge. Wärmezufuhr kann durch verteilte Wärmequellen (beschrieben durch ihre Dichte f(x, t) ∈ R) oder Wärmefluss über den Rand des Teilgebietes (beschrieben durch den Flussvektor q(x, t) ∈ R3) auftreten. Damit erhalten wir

    d

    dt H(D, t) =

    d

    dt

    ˆ D h(x, t) dx =

    ˆ D f(x, t) dx+

    ˆ ∂D

    q(x, t) · n(x) dS(x).

    Mit Hilfe des Gauss’schen Satzes folgt

    ˆ D

    ( ∂h

    ∂t − divq − f

    ) dx = 0.

    Da das Teilgebiet D beliebig gewählt war, erhalten wir die Differentialgleichung

    ∂h

    ∂t − divq = f (1.3)

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  • in Ω×R+. Man nennt (1.3) auch Transportgleichung. Die rechte Seite f kann als bekannte Funktion (bestimmt durch externe Quellen) angesehen werden, die Funktionen h und q sind aber noch unbe- kannt. In der obigen Form ist die Beschreibung auch noch unabhängig von der Temperatur u. Man benötigt deshalb Materialgesetze (im Englischen auch constitutive relations), die solche Relatio- nen herstellen. Im Gegensatz zu Relationen wie (1.3), die wir nur aus dem fundamentalen Prinzip der Energieerhaltung hergeleitet haben, sind Materialgesetze jeweils abhängig von den speziellen Situationen, die betrachtet werden.

    1.1.2 Materialgesetze

    Wir benötigen nun eine Beziehung zwischen der Enthalpie und der Temperatur, die in vielen Fällen als linear modelliert werden kann, d.h.

    h(x, t) = ρcu(x, t), (1.4)

    wobei ρ die Dichte und c die spezifische Wärmekapazität des betrachteten Materials darstellen. Im einfachsten Fall sind ρ und c gegebene Konstanten, in manchen Situationen ist es aber wichtig, Relationen der Form ρ = ρ(x, u) und c = c(x, u) zu betrachten. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man es mit einer Mischung mehrerer Materialien zu tun hat, die verschiedene (konstante) Dichten und Kapazitäten haben. Die effektive Dichte und Kapazität sind dann ortsabhängige Funktionen, bestimmt durch das Material an der jeweiligen Position. Manche Materialien dehnen sich auch stark aus wenn die Temperatur steigt. In solchen Fällen ist es wiederum wichtig, die Relation ρ = ρ(u) zu berücksichtigen.

    Die Beziehung zwischen dem Wärmefluss q und der Temperatur wird im Allgemeinen durch das Fick’sche Gesetz (auch Fourier’sches Abkühlungsgesetz) beschrieben:

    q(x, t) = λ∇u(x, t), (1.5)

    wobei λ > 0 den Wärmeleitkoeffizienten bezeichnet. D.h., die Teilchen bewegen sich (mikroskopisch mittels einer Brown’schen Bewegung) bevorzugt in Richtungen des stärksten Temperaturgefälles um lokale Schwankungen der Temperatur auszugleichen. Da das lokal stärkste Temperaturgefälle in Richtung des Temperaturgradienten auftritt, ergibt sich daraus die obige Form. Die speziel- le Modellierung von λ hängt wieder von der jeweiligen Situation abhängt, und im allgemeinen die Form λ = λ(x, u) annimmt. In manchen Situationen muss man auch Abhängigkeiten von ∇u berücksichtigen. Falls das Material anisotrop ist, muss man die verschiedenen Transportei- genschaften in verschiedene Richtungen berücksichtigen und man erhält das anisotrope Fick’sche Gesetz

    q(x, t) = Λ∇u(x, t),

    wobei Λ ∈ R3×3 eine symmetrisch positiv definite Matrix (bestimmt durch die Hauptrichtungen der Anisotropie) ist.

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  • 1.1.3 Die Wärmeleitungsgleichung

    Wir betrachten nun den Fall konstanter skalarer Werte von ρ, c und λ. Durch Kombination von (1.3) mit (1.4) und (1.5) erhalten wir die Differentialgleichung

    ∂u

    ∂t −D∆u = f, in Ω× R+ (1.6)

    wobei D = λcρ der (Temperatur-) Leitwert ist. Die lineare Wärmeleitungsgleichung (1.6) ist eine parabolische Differentialgleichung zweiter Ordnung. Aus der Theorie der partiellen Differentialglei- chungen wissen wir, dass die Lösung nur dann eindeutig bestimmt ist, wenn wir Anfangswerte und Randbedingungen vorschreiben. Die natürliche Anfangsbedingung ist von der Form

    u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω,

    für eine gegebene Anfangstemperatur u0.

    1.1.4 Randbedingungen