Vorlesung Werkstoffe

8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe

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2/32

"

Wärmeleitfähigkeit (#bersicht)

$eiträge zur Wärmeleitfähigkeit%

Phononen (&ch'ingungen !es ristallgitters) schlechteWärmeleitfähigleit

Elektronen (mit !er elektrischen eitfähigkeit verbun!en) gute

Wärmeleitfähigkeit


3/32

*

&pezifische Wärme(Wärmekapazität)

Einstein un! eb+e o!ell - .uantenmechanische$eschreibung !erTransportphänomene


4/32

/

efinition !er ph+sikalischen0r2en

QW E +=∆ 3 4n!erung !er Energie eines thermo!+namischen&+stems (W ist !ie 5rbeit, Q !ie Wärme)

Es 'ir! angenommen, !assW 6 7

∆E 6 8


5/32

9

Wärmekapazität

p

V

V

T V

V

TV C C

pV U H T

H C

T

E C

pV

p p

V V

∂∂

−=

∂∂=

−′=′

+=

∂∂=′

∂∂

=′

1

1

;

2

κ

α

κ

α

3 Wärmekapazität beim konstanten Volumen

3 Wärmekapazität beim konstanten ruck (H ist !ie Enthalpie)

α 3 Volumenaus!ehnungskoeffizient

T 3 (absolute) Temperatur

V 3 Volumen !es aterials

κ 3 ompressibilität

Energie (Wärme), !ie zum 5ufheizen !es Werkstoffs um 1 (1:;)not'en!ig ist


6/32

<

&pezifische Wärme

T mcQ E

T

E

mc

mC c

V

V V

∆==∆

∂∂

=

′=

1

M cC V V ⋅=3 pro asseneinheit% 3 pro ol%

Temperaturabhängig


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=

Temperaturabhängigkeit !erspezifischen Wärme

E>perimentelle Ergebnisse%

1? &pezifische Wärme !erWerkstoffe mit einem 5tom in!er Elementarzelle liegt bei

!er @aumtemperatur bei "9 AmolB1 B1?

"? $ei nie!rigen Temperaturennimmt !ie spezifische Wärmeab? ;v ≈ T in etallen, ;v ≈ T* in Csolatoren?

*? Cn magnetischen Werkstoffensteigt !ie spezifische Wärme,'enn sich !er Werkstoffmagnetisch or!net?

;V 6 "9 A molB1 B1 6 9?D cal molB1 B1


8/32

&pezifische Wärme beiPhasenFbergängen

&pezifischeWärmekapazität vonG"PH/, !as bei 1"7

einen PhasenFbergangerster Hr!nung besitzt?

er Werkstoff bentigtzusätzliche Energie

(Wärme) fFr !iePhasenum'an!lung


9/32

D

&trukturFbergang in G"PH/%

paraelektrisch ferroelektrisch

o

a

b

c

3

3 P

3 H

3 G

o

a

b

c

Paraelektrisch

@0% C B/"! (tetragonal)

a 6 =?///I, c 6


10/32

17

agnetischer PhasenFbergang in;ePt&n

* < D 1" 19 1 "1/?


11/32

11

C!eales 0as

nRT T k nN T Nk pV Ba B ===La 6


12/32

1"

lassische Theorie !erWärmekapazität (i!eales 0as)

T k N E

T k E

E E

E E E

T k E

Bamol

B

kin pot

kin pot

Bkin

3

3

23

==

=

+=

=

Emol 3 EnergieKol

Rk N T

E C Ba

V V 33 ==

∂∂

=

;V 6 "9 A molB1 B1 6 9?D cal molB1 B1

0ute #bereinstimmung mit!em E>periment bei hohenTemperaturen


13/32

1*

8uantentheorie

1D7*% Einstein postulierte !as 8uantenverhalten !er 0ittersch'ingungenanalog zum 8uantenverhalten !er Elektronen?

ie 8uanten !er 0ittersch'ingungen 'er!en als Phononen bezeichnet?

λ

= p 3 !er Cmpuls (!e $roglie)

ongitu!inale &ch'ingungen Transversale &ch'ingungen

ω n E n =

3 !ie Energie


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1/

ispersionsz'eige

5nalogie zum Energiebän!er($än!erschema) bei !en PhotonenHptische Phononen

5kustischePhononen

Hptische Phononen 3 hhere Energie(Jre.uenz)

5kustische Phononen 3 nie!rigereEnergie (Jre.uenz)

J r e . u e n z

Wellenvektor


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19

B e

i s p

i e l e


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1<

5kustischer un! optischerispersionsz'eig fFr eine lineare

5tomkette


17/32

1=

Energie eines (.uantenmechanischen)Hszillators

( )

+

−=

−

=

=

1exp

1

1exp

1

T k

E E E F

T k

N

n E

B

F

B

phonons

n

ω

ω

3 Energie.uanten

3 $oseBEinstein

Verteilung

3 JermiBJunktion(Verteilung) fFrElektronen


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1

Wärmekapazität - as Einstein o!ell

ω

ω

ω

ω

T k n

nT k E

T k

n

n E

B K

K B K

B

QM

n

=

==−

=

=

3

1exp

1E 6 7?71 eV

P

8


19/32

1D

Wärmekapazität - as Einstein o!ell

2

2

1exp

exp

3

1exp

3

1exp

−

=

=

∂∂=

−

=

−

=

T k

T k

T k k N

T E C

T k

N E

T k

E

B

B

B Ba

V V

B

a

B

osc

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

lassische 5nnäherung

;V 6 *@

( ) T k x

!

! xk N C

B x

x

BaV

ω =

−⋅= ;

1

32

2

x Ba

x BaV

BaV

!k N ! xk N C xT

Rk N C xT

−− ⋅∝⋅=⇒∞→⇒→

==⇒→⇒>>

330

3300

2

E>tremfälle%

;V ≈ e>p(BωKk$T)


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"7

Vergleich !er theoretischen Ergebnissemit E>periment

E>perimentelle Ergebnisse%

1? &pezifische Wärme !er Werkstoffemit einem 5tom in !erElementarzelle liegt bei !er@aumtemperatur bei "9 A molB1 B1?

"? $ei nie!rigen Temperaturen nimmt!ie spezifische Wärme ab? ;v ≈ T inetallen, ;v ≈ T* in Csolatoren?

Theorie (EinsteinBo!ell)%

1? &pezifische Wärme liegt bei hohenTemperaturen bei "9 A molB1 B1?

"? $ei nie!rigen Temperaturen nimmt!ie spezifische Wärme alse>p(BωKk$T) ab?

Cm EinsteinBo!ell 'er!en nur Phononenmit einer bestimmten Jre.uenzberFcksichtigt?


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""

Wärmekapazität - !as eb+e o!ell

( )

( )[ ]

( )

( )[ ]∫

∫

∫

−⋅

=

=⇒

⋅

=

−⋅=

==⇒=

−

⋅=

T

" BaV

"

a

sa

s

"

T

B

s

V

B " B

B

B

B

B s

V

"

"

"

dx x

x xT k N C

N

v

V

N V

v

dx x

x xT k

v

V C

k dxT k d

T k x

d

T k

T k

T k v

V C

θ

θ

ω

θ

ω π

π

ω

π

ω θ ω ω

ω

ω

ω ω

π

02

43

332

323

02

4

3

34

32

02

4

2

2

32

1exp

exp9

9

2

3

3

23

3

1exp

exp

2

3

;

1exp

exp

2

3


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"*

eb+eBTemperaturen


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"/

Wärmekapazität bei hohen un! nie!rigenTemperaturen (nach !em eb+eBo!ell)

( )

[ ]

( )

[ ]

( )( )[ ]

3

02

43

3

31

3

4

41

3

31

0

3

0

2

02

4

02

43

1exp

exp9:0

39

11

1

11

19:00

T dx x

x xT k N C T T

RT

T k N C

T T

dx xdx xdx

x

x x

dx x

x xT k N C T T

" BaV "

"

" BaV

" "

T T T

T

" BaV "

" " "

"

∝−

⋅

=∞→⇒→

=

⋅

≈

+

=+=

−−

+

−−

+⋅

=→⇒>>

∫

∫ ∫ ∫

∫

∞

θ θ

θ

θ

θ θ

θ θ

θ θ θ

θ

;v ≈ T*% $essere #bereinstimmung mit E>periment bei tiefen Temperaturen

QQQ JFr Csolatoren QQQ


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"9

0esamte Wärmekapazität

Phononen (eb+e o!ell)

T R Θ

Elektronen

3T C V β = T T

E

k N C

F

BaV γ

π ==

22

2

2

3

T T

C

T T C C C

tot V

phV

!l V

tot V

β γ

β γ

+=

+=+=

γ 3 Elektronenbeitrag

β 3 Phononenbeitrag

;VKT

T"


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"<

E>perimentelle etho!en

fFr Sntersuchung von Temperatursch'ingungen

Röntgenbeugung

4n!erung !er Jorm !erElektronen!ichte (TemperaturB

sch'ingungen !er Elektronen)

Einfluss auf !ie Cntensitäten !er$eugungslinien

Neutronenbeugung

Wechsel'irkung !ernie!erenergetischen (langsamen)

Leutronen mit Phononen


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"=

WärmeleitungWärmeleitfähigkeit%

( )T K t

T

# t

T

T K #

graddiv

div

grad

=∂

∂

−=∂∂

−=

∂

∂

∂

∂

=∂

∂∂∂

−=∂∂

∂∂−=

x

T

K xt

T

x

#

t

T

x

T K #

Temperaturän!erung - ähnlich 'ie !ie onzentrationsän!erung bei iffusionsprozessen

T 6 konst? T 6 konst? A 6 7 A 6 7

Partielle Differentialgleichung:

Lösung bei bestimmten Anfang-

und Randbedingungen


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"

Wärmeleitfähigkeit

Bv

Q

Bv

Q

Bv

Bv

B

k vn

K x

T K #

xT k vn E E #

x

T T k

vn E

x

T T k

vn

x

T

T k z E

⋅=∂∂

−=

∂∂⋅−=−=

∂∂

+⋅=

∂∂

−⋅=

=

∂

∂

−+⋅=

2;

2

6

6

21

023

2

023

02

3

1

n 3 5nzahl !er Elektronen

l 3 freier Weg z'ischen z'ei ollisionen(ElektronB0ittersch'ingung)

v 3 0esch'in!igkeit !er Elektronen

vC K vk n

K

k ndT

dE C

T k n E

!l V

Bv

BvV

!l V

Bv

31

23

23

2

=⇒

=

⋅=

=

⋅=


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"D

Wärmeleitfähigkeitetalle

ielektrika

Temperatur,

W ä r m e l e i t f ä h i g k e i t ,

W K c m K

Wiedemann-Fran !eset:Werkstoffe mit guter elektrischer eitfähigkeitbesitzen auch eine gute Temperaturleitfähigkeit

s K

#

!

k $

T

K B2

8

2

22

10443,23

Ω×=== −

π

σ

aterial NWKcmK&iH" 7,1* - 7,97 (bei "=* bz'? 7)La;l 7,7= - 7,"= (bei "=* bz'? 7) 5l"H* "77 bei *7;u 97 bei "70a /9 bei 1,


30/32

*7

Wärmeaus!ehnung 5tomare $in!ungskräfte

( ) 432 %x &xcx xU W −−==

( )

( )

( )

( ) ( ) 2325

54

4

32

2

−∞

∞−

−∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

−

∞

∞−

−

∞

∞−

−

=++≅

=≅

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

β π

β β

β

π

β β

β β

β

β

c

& dx %x &x x!dx x!

c

dx!dx!

dx!

dx x!

x

cx xU

cx xU

xU

xU

T k

c

& x

x

dx! %xdx x!

B

cxcx

2

5

4

3

0

0;022

=

=

=⋅= ∫ ∫ ∞

∞−

−∞

∞−

− β β β

Garmonische &ch'ingungen%

5nharmonische &ch'ingungen% Wärmeaus!ehnung


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*1

Wärmeaus!ehnung

4n!erung !es mittleren 5tomabstan!esmit !er Temperatur% T k c & x

dT da B2

43=∝

Temperaturabhängigkeit !es 0itterparameters% 2

02

4

3T T d T k

c

& a

T

B ∝′′∝ ∫

Temperatur N

0 i t t e r p a r a m e t e r N I P 5rgon (kfz)

i c h t e N g K c m P

0itterparameter 'ächst ungefähr.ua!ratisch mit !er Temperatur

$ei T 6 7 ist !ieWärmeaus!ehnung gleich Lull


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*"

Wärmeaus!ehnung in 0!Li5l

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