2. Vybrané základní pojmy matematické statistiky 2.1. Náhodný jev, pravděpodobnost2.1. Náhodný jev, pravděpodobnost

Příklad:Příklad: kostka {VE} {. , : , :. , :: , :.: , :::} vážení {VE} { (hmotnosti) }

Náhodný jev A na experimentu E ( AE): je zadán pravidlem, je zadán pravidlem, kterékteré určuje, zda jev určuje, zda jev nastal, či nenastal nastal, či nenastal A(E) - je určen A(E) - je určen množinou pozitivních množinou pozitivních výsledků výsledků

Výsledek experimentu Výsledek experimentu v v {V{VE E } }

Experiment (E) -Experiment (E) - je definován předpisem, kterýje definován předpisem, který specifikujespecifikuje

množinu možných výsledkůmnožinu možných výsledků {V{VEE}. }.

Příklad:Příklad: Experiment E házení kostkou Jevy: AE {. ,: , :.} , BE {:: , :.: ,:::}

Náhodná proměnnáNáhodná proměnná x na experimentu E ( x x na experimentu E ( xE E ) ):) ):

je určena je určena pravidlempravidlem, které výsledku experimentu , které výsledku experimentu přiřazujepřiřazuje

čísločíslo jako hodnotu náhodné proměnné jako hodnotu náhodné proměnné

Příklad:Příklad: 1) E házení kostkou x n počtu bodů,

diskretní náhodná proměnná x {1,2,...,6}

2) E vážení x m hmotnost (SI), spojitá náhodná proměnná x {0 ,

} Speciálně: náhodný výběr (N) - experiment, jehož množina výsledkůexperiment, jehož množina výsledků

je konečná a je konečná a realisace žádného z realisace žádného z

nich není upřednostněnanich není upřednostněna

Příklad:Příklad: házení kostkou E N x N

{1,2,...,6}

Definice:Definice:

,1

n

i Ei

A nastane alespoň jeden z jevů nastane alespoň jeden z jevů

AAii, , EE

,1

n

i Ei

A

nastane každý z jevů nastane každý z jevů AAii E E

, , , , 1,...,j E i Ei j

A A i j n

jevy vzájemně disjunktníjevy vzájemně disjunktní

Nechť Nechť AAi, Ei, E jsou jevy na experimentu E potom: jsou jevy na experimentu E potom:

1) jev1) jev non non AAEE jev A nenastanejev A nenastane

2) jev2) jev

3) jev3) jev

Speciálně:Speciálně:

(( - - prázdná množina výsledků)prázdná množina výsledků)

Definice pravděpodobnosti (teorie míry):

Na experimentu E nechť jsou dále zadány jevy AE a BE svými množinami výsledků - {VA}, {VB}; {VA},{VB} {VE}.

Definujeme: Definujeme:

pravděpodobnost pravděpodobnost jevů A, B jako míru podmnožin {V(A)},{V(B)} jevů A, B jako míru podmnožin {V(A)},{V(B)} následujícími pravidly: následujícími pravidly:

1) 1) PPAA,B,B 00

2) 2) PPVV = 1 = 1

3) 3) p(Ap(AB) B) p pAA + p + pBB p(A p(AB)B)

Nechť je experiment E zadán Nechť je experiment E zadán množinou množinou - - {V{VEE}.}.

Příklad experiment (E) házení kostkou náhodný výběr

{x N} {1,2,..,6},

nechť jevy Ai {i }, i = 1,...,6 ,

potom A Ai {1,..,6}{VN}

pA = 1 = , zároveň pAi = p; (i,k = 1,..,6)

Potom 1= = = 6 p p = 1/ 6 ;

6

1

p

6

1

( )ip A6

1

( )ip A

Pro Pro náhodný výběrnáhodný výběr platí: platí:

kde nkde nAA je počet prvků množiny {V je počet prvků množiny {VAA} a} ann je počet prvků množiny {V je počet prvků množiny {VNN} – } – rredukovaná velikost edukovaná velikost podmnožiny. podmnožiny.

AA

np

n

Jev opačný: Nechť: A {VA}, nonA {VnonA}

{VA} {VnonA} {VE}, {VA} {VnonA}

Potom: Potom: p(A p(A nonA) = p nonA) = pAA + p + pnonAnonA = 1 = 1

a tedy:a tedy: ppnonAnonA = 1 – p = 1 – pAA

Spojení experimentů:Spojení experimentů:

Definice:Definice: Experiment E, který je Experiment E, který je spojením experimentůspojením experimentů E E ii , , (i = 1,..,n) má  za množinu výsledků kartézský součin (i = 1,..,n) má  za množinu výsledků kartézský součin

množin {Vmnožin {VEE ii}, kde {V}, kde {VEE ii} jsou množiny výsledků } jsou množiny výsledků experimentů Eexperimentů E ii . .

E E E E11 . E . E22 . E . E33 . . . E . . . Enn , , {V{VEE} } {V {VE1E1}x{V}x{VE2E2}x{V}x{VE3E3}x.....x{V}x.....x{VEnEn}}

Příklad:Příklad: Současné házení dvěma kostkami

N1 {1,2,...,6}, N2 {1,2,...,6} E N1. N2 , {VE} {(1,1) , (1,2) ,.., (1,6) , (2,1) , (2,2) ,.., (6,6)},

nE = 36

Definice: Experimenty jsou nezávislé, pokud provedení jednoho nezávisí na provedení druhého. Pravděpodobnosti jevů na

nezávislých experimentech jsou pak také nezávislé Náhodný jev na spojení experimentů: Definice: Definice: náhodný jev na spojení experimentůnáhodný jev na spojení experimentů je je definován definován množinou výsledků:množinou výsledků:

{V{VAA} } {V {VA1A1}x {V}x {VA2A2}x {V}x {VA3A3}x ...x {V}x ...x {VAnAn} }

Nezávislé jevy:Nezávislé jevy:

Definice: Definice: jevy jsou nezávisléjevy jsou nezávislé, jsou-li definovány na , jsou-li definovány na

nezávislých nezávislých experimentechexperimentech

Pro náhodný jev na spojení nezávislých experimentů platí

1

n

A Aii

p p

Nezávislé experimentyNezávislé experimenty::

1

1 1

1

n

Ai n ni AiA

A Aini ii

ii

nnn

p pN n

n

Příklad: Příklad:

házení dvěma kostkami - i = 2

jev A1 na N1: {VA1} {1, 2}, pA1 = 2 / 6

jev A2 na N2: {VA2} {3, 4, 6}, pA2 = 3 / 6

A = A1 . A2 , {VA} {VA1} x {VA2}

{VN1.N2} má 36 prvků, {VA} má 6 prvků

pA = 6 / 36 = pA1 . pA2 jevy nezávislé

Opakování experimentu:Opakování experimentu:

Označme:Označme: EEn n (E.E ... E) (E.E ... E)nn , , n-krát opakovaný n-krát opakovaný

experiment E experiment E

a dále:a dále: {V{VEE} množinu výsledků experimentu E} množinu výsledků experimentu E

Potom: Potom: EEnn {{V {{VEE} x {V} x {VE E ) x ....x {V) x ....x {VEE}}nn

Jev na opakování experimentu:

Je-li definován jev AE {VA}, potom: AE {{VA} x {VA} x...x {VA}}n ,

Alternativní definice pravděpodobnostiAlternativní definice pravděpodobnosti::

- v- využitím pojmu yužitím pojmu relativní četnosti při nezávislém opakovánírelativní četnosti při nezávislém opakování experimentu. experimentu. Není omezena na Není omezena na experimenty typu náhodný výběr.experimenty typu náhodný výběr.

Relativní četnost jevu Relativní četnost jevu

A:A: A

A

np

n

Jako Jako pravděpodobnost jevu Apravděpodobnost jevu A potom označíme: potom označíme: lim( )AA n

np

n

Příklad užití: Příklad užití: integrace metodou Monte-integrace metodou Monte-Carlo Carlo

2.2. Rozdělení pravděpodobnosti

Definice: Rozdělením pravděpodobnostiRozdělením pravděpodobnosti nazýváme funkci, nazýváme funkci, která hodnotám náhodné proměnné přiřazuje jejich která hodnotám náhodné proměnné přiřazuje jejich pravděpodobnostpravděpodobnost

a) diskrétní náhodná  proměnná a) diskrétní náhodná  proměnná 

Rovnoměrné rozdělení:Rovnoměrné rozdělení: Mějme experiment typu Mějme experiment typu náhodný výběrnáhodný výběr s množinou výsledků s množinou výsledků {V} {V} {v {v11 ,v ,v22 ,...v ,...vnn } } Dále mějme na tomto experimentu jevyDále mějme na tomto experimentu jevy A Aii {v {vii},}, i=(1,....,n) i=(1,....,n)Potom rovnoměrné rozděleníPotom rovnoměrné rozdělení p pravděpodobnosti je dáno ravděpodobnosti je dáno

podmínkou, podmínkou,

ppAiAi = p = p ,, p proro všechna i = (1,..,n).všechna i = (1,..,n).

Užitím normovací podmínkyUžitím normovací podmínky::

1 1

1 .n n

Aii i

p p n p1

p =n= =

= = = ®å å

Binomické rozdělení:

Mějme experiment typu náhodný výběr

- definujme na něm jev s pravděpodobností p.

- jaká je pravděpodobnost P(k), že při N-násobném nezávislém opakování

experimentu nastane jev s pravděpodobností p právě k-krát, k = (0,1,2,...,N)?

k - diskrétní náhodná proměnnák - diskrétní náhodná proměnná, , pp, , N N parametry.parametry.

P(k) = CP(k) = C(k)(k) p pkk (1-p) (1-p)N-N-

kk

Normovací podmínka:Normovací podmínka: ( )0

1 ( ) (1 ) ( )N

k N k Nk

k

C k p p C k-

=

= - ® =å

Z Z toho:toho:

( )( ) (1 )N k N kkP k p p -= -

Poissonovo rozdělení: Rozdělení pravděpodobnosti počtu výskytů náhodného jevu v

určitém intervalu (časovém, prostorovém)

Příklad: Příklad: počet emisí počet emisí -kvant v časovém intervalu (0,t) -kvant v časovém intervalu (0,t)

počet překlepů na stránce textupočet překlepů na stránce textu

Předpoklady pro odvození rozdělení:Předpoklady pro odvození rozdělení:i) realisace náhodného jevu jsou navzájem nezávislé‚i) realisace náhodného jevu jsou navzájem nezávislé‚

ii) pravděpodobnost realisace jevu v malém intervalu je ii) pravděpodobnost realisace jevu v malém intervalu je

úměrná velikostiúměrná velikosti

tohoto intervalu: tohoto intervalu: P(t,t+dt) = P(t,t+dt) = .dt .dt

iii) pravděpodobnost současné realisace (též místně) dvou jevů iii) pravděpodobnost současné realisace (též místně) dvou jevů

je nulová.je nulová.

-( )!

k

P k ek

mm=

b) spojitá náhodná proměnná 

množina možných výsledků experimentu je spojitá – interval, plocha, objem

( , ) ( )P x x dx p x dx+ =

Definice:Definice: ppravděpodobnost ravděpodobnost vvýýskytuskytu náhodné proměnné náhodné proměnné v intervalu (x, x+dx) jev intervalu (x, x+dx) je úměrná velikosti úměrná velikosti

intervalu intervalu dxdx : :

p(x) p(x) - - hustothustotaa (rozdělení) pravděpodobnosti (rozdělení) pravděpodobnosti. .

NormováníNormování

:: ( ) 1x

p x dx =ò

Rovnoměrné rozdělení:

Mějme spojitou náhodnou proměnnou v jednorozměrném intervalu <a,b>.

( ) , ,p x konst x a b= Î á ñ

( ) ( ) 1b b

a a

p x dx konst dx konst b a= = - =ò ò

Užitím normovací podmínky:Užitím normovací podmínky:

DostanemeDostaneme:: 1( )

-p x

b a=

Je-li:Je-li:

hovoříme o hovoříme o rovnoměrném rovnoměrném rozdělenírozdělení

Cauchyho rozdělení:

Mějme náhodnou proměnnou <-/2, /2 > s rovnoměrným rozdělením.

Příklad:Příklad: rovnoměrně se otáčející, náhodně střílející dělorovnoměrně se otáčející, náhodně střílející dělo

x

0

Jaké je rozdělení zásahů v cílové rovině v jednotkovéJaké je rozdělení zásahů v cílové rovině v jednotkové vzdálenosti?vzdálenosti?Pravděpodobnost výstřelu v intervalu <Pravděpodobnost výstřelu v intervalu <,,+d+d> je dána funkcí> je dána funkcí: : p(p() = ) = kkonst.onst.

2

2

11 ( ) . ( )p d konst p

p

p

j j p jp

-

= = ® =ò

Transformace proměnných (viz obr.): 2

1( ) , ( ) ,

1tg x arctg x d dx

xj j j= = =

+

2

1 1( ) ( )

1p d dx p x dx

xj j

p= =

+

Cauchyho rozdělení:

PotomPotom

2

1 1( )

1p x

xp=

+

Seminární úloha 2.1.:Seminární úloha 2.1.:  Nalezněte funkci popisující Nalezněte funkci popisující rozdělení pravděpodobnosti výskytu rozdělení pravděpodobnosti výskytu matematického kyvadlamatematického kyvadla v intervalu <-A,+A> v aproximaci malého v intervalu <-A,+A> v aproximaci malého rozkmitu.rozkmitu.Návod: uvažte souvislost mezi pohybem koncového bodu Návod: uvažte souvislost mezi pohybem koncového bodu matematického kyvadla a rovnoměrným pohybem po kružnici o matematického kyvadla a rovnoměrným pohybem po kružnici o poloměru A.poloměru A.

a tedy:a tedy:

Normální (Gaussovo) rozdělení:

Definice: Nechť je dána spojitá náhodná proměnná Nechť je dána spojitá náhodná proměnná xx v intervalu v intervalu x x (- (-, ,

++ ). ). Normálním rozdělenímNormálním rozdělením nazýváme funkci ve tvaru: nazýváme funkci ve tvaru:

2

2

( )

21

( )2

x

p x em

s

s p

--

=

střední hodnotstřední hodnotaa

22 disperse disperse ((variance, variance, rozptyl) rozptyl)

sstandartní odchylktandartní odchylkaa..

=0=0

Seminární úloha 2.2.:Seminární úloha 2.2.:

Dokažte, že Normální rozdělení má v bodech Dokažte, že Normální rozdělení má v bodech x = x = inflexní body. inflexní body.

Charakteristiky rozdělení

a P(-a,+a)

2 0.955

( , ) ( )a

a

P a a p x dx+

-

- + =ò

3 0.997

0.683

2/3 0.5

2.3. Střední hodnota, momenty náhodné veličiny2.3. Střední hodnota, momenty náhodné veličiny

Definice:Definice: mějme spojitou náhodnou proměnnou x na intervalu mějme spojitou náhodnou proměnnou x na intervalu < < a,b >a,b > s rozdělením pravděpodobnosti s rozdělením pravděpodobnosti p(x).p(x).

( )b

x

a

xp x dxm =ò

Obdobně pro diskrétní náhodnou proměnnou Obdobně pro diskrétní náhodnou proměnnou kk platí: platí: ( )kk

k p km =å

Dále platí:Dále platí:

Potom střední hodnota Potom střední hodnota xx < x < x

>> je definována vztahem:je definována vztahem:

pro funkci h(x) náhodné proměnné x na intervalu <a,b> je:pro funkci h(x) náhodné proměnné x na intervalu <a,b> je:

( ) ( ) ( )b

h x

a

h x p x dxm =ò

a obdobně:a obdobně:( ) ( ) ( )h k

k

h k p km =å

mějme spojitou náhodnou veličinu x na mějme spojitou náhodnou veličinu x na intervalu V.intervalu V.

Definice:Definice:

( )n nx

V

x p x dx

Pro diskrétní náhodnou veličinu Pro diskrétní náhodnou veličinu analogicky:analogicky:

( )n nk

k

k p k

Příklad: Příklad: 1x x

n = 1,n = 1,

Potom Potom n-tým momentem n-tým momentem náhodné veličiny xnáhodné veličiny x nazýváme veličinu:nazýváme veličinu:

Definice: Definice: mějme spojitou náhodnou veličinu mějme spojitou náhodnou veličinu xx na na intervalu V. intervalu V.

Potom Potom n-tým centrálním n-tým centrálním momentemmomentem náhodné veličiny nazýváme výrazynáhodné veličiny nazýváme výrazy:

( ) ( )nc nx x

V

x p x dx

Pro diskrétní náhodnou Pro diskrétní náhodnou veličinu analogicky: veličinu analogicky: ( ) ( )nc n

k kk

k p k

n = 2,n = 2, 2 2 2( ) ( )cx x x x

V

x p x dx D

Příklad: Příklad:

Dále platí: Dále platí: 2

2x xx

D

Definice:Definice: asymetrií rozděleníasymetrií rozdělení nazýváme veličinu: nazýváme veličinu:

33

3 3

1( ) ( )

cx

x xx x V

x p x dx

Příklad: Příklad: Asymetrie rozdělení symetrického kolem Asymetrie rozdělení symetrického kolem střednístřední

hodnoty je nula (plyne přímo z definice třetíhohodnoty je nula (plyne přímo z definice třetíhocentrálního momentu).centrálního momentu).

Příklad: Příklad:

!!( )!

0 1

(1 ) (1 )N N

k N k k N kNk k N k

k k

Nk p p k p p

k

střední hodnota střední hodnota Binomického Binomického rozdělení: rozdělení:

11 1

0

!( 1) (1 )

( 1)!( 1)!

Nl N l

l

Nl p p

l N l

( ) (1 )N k N kkP k p p

1

0

( 1)!(1 )

!( )!

Ml M l

l

Mp p

l M l

0

!( 1) (1 )

!( )!

Ml M l

l

Mp M p p

l M l

0

!(1 )

!( )!

Ml M l

l

MpN p p p N

l M l

Seminární úloha 2.5.:Seminární úloha 2.5.:Dokažte, že pro Normální rozdělení platí:Dokažte, že pro Normální rozdělení platí:

a) a) <x><x> = = , , b) Db) Dx x = = 22, , c) c) = 0 = 0

Návod: užijte vztahy: Návod: užijte vztahy:

2

2 2 2, 2t

te dt t e dt

Seminární úloha 2.3.:Seminární úloha 2.3.:Dokažte, že pro Binomické rozdělení platí: Dokažte, že pro Binomické rozdělení platí:

DDkk = N.p.(1-p) a = N.p.(1-p) a kk3c3c = N.p.(1-p).(1-2p) = N.p.(1-p).(1-2p)

Poznámka: pro p = 1/2 je Poznámka: pro p = 1/2 je kk3c3c = 0 a rozdělení je symetrické kolem = 0 a rozdělení je symetrické kolem

střední hodnoty.střední hodnoty.

Seminární úloha 2.4.:Seminární úloha 2.4.:Dokažte, že pro Poissonovo rozdělení platí:Dokažte, že pro Poissonovo rozdělení platí:

a) a) <k><k> = = , , b) Db) Dkk = = , , c) c) = = -1/2-1/2

2.4 Rozdělení pravděpodobnosti více náhodných veličin2.4 Rozdělení pravděpodobnosti více náhodných veličin

Definice: Definice:

Mějme dvě spojité náhodné proměnné Mějme dvě spojité náhodné proměnné x, yx, y definované na intervalech definované na intervalech VVxx , , VVyy, ,

s rozdělení pravděpodobnosti s rozdělení pravděpodobnosti p(x) a q(y).p(x) a q(y). Pravděpodobnost, že Pravděpodobnost, že x x (x,x+dx)(x,x+dx) a a

zároveň zároveň y y (y,y+dy (y,y+dy) je dána rozdělením ) je dána rozdělením (x,y(x,y) ve tvaru:) ve tvaru:

( , ; ) ( , )P x x dx y dy x y dxdy

V případě nezávislých veličin je zřejmě:V případě nezávislých veličin je zřejmě:

( , ) ( ) ( )x y p x q y

Definice:Definice: mějme spojité náhodné veličiny mějme spojité náhodné veličiny x, yx, y, na intervalech , na intervalech VVxx , V , Vyy

sesestředními hodnotami středními hodnotami xx , , yy . Potom . Potom kovariance kovariance CCx,yx,y je je

dána dána vztahem: vztahem:

,

,

( )( ) ( , )x y x y

x y

C x y x y dxdy

Dále vypočítáme: Dále vypočítáme: ,x y x yC xy

Příklad: Příklad:

,, x yx ycor

x y

CC

,.x x x x xD x x C

Definice: Definice: korelačním koeficientemkorelačním koeficientem dvou náhodných veličin dvou náhodných veličin, nazýváme , nazýváme veličinu:veličinu:

Příklad: Příklad: najděte hodnotu korelačního koeficientu, jsou-li veličiny najděte hodnotu korelačního koeficientu, jsou-li veličiny x, yx, y::a)a) lineárně závislé (lineárně závislé (y = ax+by = ax+b))b) nezávisléb) nezávislé

Řešení: Řešení: a)a)

2

2

,

2

2 2 2

2,

2 2 2 2

2,

,

( ) ( )

,

,

( ) ( )

1

x y xy x y

xy xx

x y x x x xx

x y x

y x x

x y xcor

x x

C

ax bx p x dx a b

a b a a a

C a

ax b a b p x dx a

aC

a

b)b), 0x y xy x y x y x yC

2

2 2x x xx

D

Střední hodnota součtu náhodnýchStřední hodnota součtu náhodných veličinveličin::

Mějme náhodné veličiny Mějme náhodné veličiny xxi , i=1,2,....., a jejich součet: i , i=1,2,....., a jejich součet: 1

n

ii

s x

potompotom::

,ii

s x 1 2 1 2.. ( , ,...., ) ...j j n nx x x x x dx dx dx

x

Příklad: Příklad: střední hodnota aritmetického průměru – střední hodnota aritmetického průměru – 1

1 n

ii

x xn

1

1 n

ii

x xn

Jde-li o stejné veličiny: Jde-li o stejné veličiny: , ( 1, 2,..., )ix i n

Střední hodnot součinu náhodných veličin: Střední hodnot součinu náhodných veličin:

Mějme náhodné veličiny Mějme náhodné veličiny xxii , i=1,2,.....,n a jejich součin: , i=1,2,.....,n a jejich součin: 1

n

ii

n x

Potom: Potom:

1 2 1 1 2 2( , ,...., ) ( ) ( ).... ( )n n nx x x p x p x p x

1 2 1 21

.. ( , ,...., ) ...n

i n ni

n x x x x dx dx dx

1 1 1 2 2 2( ) ( ) ..... ( )n n nn x p x dx x p x dx x p x dx

Střední hodnot součinu nezávislých veličin:Střední hodnot součinu nezávislých veličin:

1

n

ii

n

Potom:Potom:

Disperse součtu náhodných veličinDisperse součtu náhodných veličin::

Mějme náhodné veličiny xMějme náhodné veličiny xii , i=1,2,... . , i=1,2,... . Označme: Označme:

ii

s x

Potom:Potom:22

sD s s

2 2

1 , 1

n n

i i ji i j

s x x x

2 2

1 , 1

n n

i i ji i j

i j

s x x x

2 2

,i i j

i i ji j

s x x x

1

n

ii

s x

22 2

i ix x i iD x x ,i jx x i j i jC x x x x

22,

, ,i i jx i x x i j

i i i j i ji j i j

s D x C x x

,1 , 1

i i j

n n

s x x xi i j

i j

D D C

Jsou –li Jsou –li veličiny xveličiny xi i jsou nezávislé (pro všechna i), jsou nezávislé (pro všechna i), tedytedy

CCxi,xj xi,xj = 0 pro všechna (i,j= 1,2,..), potom:= 0 pro všechna (i,j= 1,2,..), potom:is x

i

D D

Disperse lineární kombinace náhodných veličin:Disperse lineární kombinace náhodných veličin:

NechťNechť:: i ii

s a x

potom:potom:2

,,

i i js i x i j x xi i j

D a D a a C

v případě lineárně nezávislých v případě lineárně nezávislých

veličin:veličin: 2

is i xi

D a DPříklad: Příklad:

Stanovte dispersi aritmetického průměru Stanovte dispersi aritmetického průměru nn nezávislých nezávislých opakování téže veličiny o střední hodnotě opakování téže veličiny o střední hodnotě x x a dispersi a dispersi

DDxx . .

1

21

1 1

1, , , 1,...,

1,

i

i

n

i i x xi

n nx

i xnxi i

x x x x D D i nn

Dx x x D D

n n

2.5. Centrální limitní věta2.5. Centrální limitní věta

Nechť jeNechť je náhodná veličina x popsána rozdělením p(x) se střední náhodná veličina x popsána rozdělením p(x) se střední hodnotouhodnotou xx a a konečnou konečnou dispersí D dispersí Dxx , ,

Na typu rozdělení p(x) Na typu rozdělení p(x) nezáleží !!!nezáleží !!!

potom se rozdělení potom se rozdělení pravděpodobnosti:pravděpodobnosti:

s rostoucím n blíží k Normálnímu rozdělení s rostoucím n blíží k Normálnímu rozdělení N(x):N(x):

( )q x

1

1

n

n ini

x x

lim ( ) ( )nn

q x N x

aritmetického průměru n hodnot veličiny aritmetického průměru n hodnot veličiny x: x:

se střední hodnotou:se střední hodnotou:

a a dispersí:dispersí:

x x

xDx nD

Seminární úloha 2.7.: Seminární úloha 2.7.: 

Vypočítejte střední hodnotu a dispersi rovnoměrného, spojitého Vypočítejte střední hodnotu a dispersi rovnoměrného, spojitého rozdělení v intervalu <a,b>.rozdělení v intervalu <a,b>.

2

2.x

N L

Seminární úloha 2.6.:Seminární úloha 2.6.:Dokažte, že při „náhodné procházce“ (random walk) platí pro Dokažte, že při „náhodné procházce“ (random walk) platí pro střední hodnotu čtverce vzdálenosti uražené po N krocích: střední hodnotu čtverce vzdálenosti uražené po N krocích:

, ,

Návod: užijte Binomického rozdělení a definice střední hodnoty.Návod: užijte Binomického rozdělení a definice střední hodnoty.

kde L je velikost jediného kroku.kde L je velikost jediného kroku.

(random walk - pohyb po krocích (random walk - pohyb po krocích L se stejnou pravděpodobností p=1/2) L se stejnou pravděpodobností p=1/2)

Seminární úloha 2.8.: Seminární úloha 2.8.: 

Vypočítejte střední hodnotu a dispersi rovnoměrného diskrétního Vypočítejte střední hodnotu a dispersi rovnoměrného diskrétního rozdělení veličiny k v intervalu k rozdělení veličiny k v intervalu k <1,N>.<1,N>.