Maksymalizacja zysku

Na razie zakładamy, że rynki są doskonale konkurencyjneFirma konkurencyjna traktuje ceny (czynników produkcji oraz produktów) jako stałe, czyli wszystkie ceny są ustalane przez rynek i poszczególne firmy nie mają wpływu na ich poziom

Zysk jest różnicą między przychodami a kosztami:(ilość sprzedana * cena produktu) - (ilość czynników * ich cena)

Jeśli firma wytwarza n różnych produktów i używa m różnych czynników, wtedy dokładny wzór na zysk

Uwaga: nas interesuje zysk ekonomiczny. Koszty są zatem kosztami alternatywnymi (kosztami utraconych możliwości).

Max zysku a ograniczenia

Maksymalizacja zysków przy zadanej wielkości kosztów daje taki sam warunek optimum jak minimalizacja kosztów przy zadanej produkcji

firma maksymalizuje przychody TR=p*y=p*f(x1 ,x2 )przy ograniczeniu ponoszonych kosztów TC = w1x1 + w2x2 = TC0

Metoda Lagrange’aInne cele działalności firm: max przychodów, max dywidendy, max udziału w rynku, max zatrudnienia, max zysku krótkookresowego, realizacja pomysłu bez szczególowego biznes planu (http://www.youtube.com/watch?v=TBiSI6OdqvA), …Problem oddzielenia własności i władzy w spółkach, czyli corporate governance (brak odpowiedzialności majątkowej, menadżerowie działają w interesie tylko niektórych akcjonariuszy, menadżerowie mogą być nastawieni na wzrost rozmiarów spółki, a nie jej zysk,…)

Max. zysku w krótkim okresie

Krótki okres to taki, w którym może zmieniać się poziom tylko niektórych czynników, (np. pracy, x1) a poziom co najmniej jednego czynnika jest stały (np. kapitał, x2)

Firma wytwarzająca 1 produkt używając 2 czynników, maksymalizuje zysk rozwiązując poniższy problem dla π(x1)

Rozwiązanie znajdujemy przyrównując pochodną funkcji zysku po x1 do zera

]),([][max 22112122111

xwxwxxpfxwxwpyx

−−=−−

Przychód z produktu krańcowego (MRP – marginal revenue product) czynnika zmiennego musi się równać jego cenie (ostatnia, czyli krańcowa, jednostka czynnika musi jedynie na siebie zarobić)

Max. zysku graficznieJeśli na osiach mamy produkt końcowy i zmienny czynnik produkcji, to π(x1) obrazuje wszystkie kombinacje y i x1 dla takiego samego poziomu zysku:

Jest to tzw. linia jednakowego zysku (krzywa izozysku), czyli kombinacje nakładów i wielkości produkcji, które zapewniają jednakowy zysk.

Kombinacje te muszą leżeć w zbiorze produkcyjnym, tj. zysk musi być technicznie osiągalny

Maksymalizacja zysku polega na wybraniu punktu należącego do zbioru produkcyjnego, który leży na najwyższej krzywej izozysku

Jest o punkt, w którym nachylenie krzywej izozysku jest równe nachyleniu funkcji produkcji (czyli produkcyjności krańcowej)

Wykres

x1

pw1nachylenie =

y

)~,( 21 xxfy =

Zbiór produkcyjny

Przesuwając linię w górę zwiększamy zysk

Π′Π″Π″′

Są to dodatnio nachylone linie proste: im więcej y (wyższa linia) tym zysk większy, ale im więcej x1 tym zysk mniejszy

y *

Wykres2

x1

pw1nachylenie =

y

)~,( 21 xxfy =Π = Π″

*1x

),~,( punkcie w *2

*1

11

yxxp

wMP =

MRP=p*MP1 pokazuje w jaki sposób krańcowa zmiana ilościx1 wpływa na zmianę przychodów:jeśli MRP > w1 ⇒ opłaca się zwiększyć x1

Statyka porównawcza

Co się stanie, gdy wzrośnie p, czyli cena produktu?maleje nachylenie krzywej izozysku zysk wzrośnie, gdyż występuje dodatnia zależność π = py - TCnakłady czynnika zmiennego i produkcja muszą wzrosnąćprzecięcie krzywej izozysku z osią pionową rośnie , czyli ∆p< ∆ π

Co się stanie, gdy wzrośnie w1, czyli cena czynnika zmiennego? rośnie nachylenie krzywej izozyskuzysk spadnie, gdyż występuje ujmna zależność π = TR - w1x1 - w2x2

nakłady czynnika zmiennego i produkcja musi spaśćprzecięcie krzywej izozysku z osią pionową spada

Powyższe wnioski są konsekwencją założenia malejącej produkcyjności krańcowej (wklęsłości krótkookresowej funkcji produkcji)

Długi okres

W długim okresie oba czynniki są zmienneMaksymalizacja zysku wymaga jednoczesnego ustalenia poziomu obu ich poziomów. Firma rozwiązuje następujące zadanie:

Rozwiązanie znajdujemy przyrównując pochodne po obu zmiennych do zera:

Wzrost x2nie powoduje zmiany nachylenia f(x1,x2) oraz izozysku, przecięcie izozysku z osią pionową rośniezwiększa produkcje (dla tego samego poziomu x1)zwiększa zysk (czyli ∆y >∆x2 ) dopóki p*MP2 > w2

Krzywe popytu na czynniki

Dwa warunki maksymalizacji długookresowej można traktować jako równania opisujące popyt na czynniki

Np. z pierwszego równania możemy znaleźć zależność między ceną czynnika 1 a optymalną jego ilością, czyli krzywą popytu na czynnik 1

Krzywą popytu na dany czynnik możemy wyrysować przy założeniu jakiegoś poziomu czynnika drugiego (zwykle przyjmuje się optymalną wielkość drugiego czynnika x2*)

W długim okresie konkurencyjna firma maksymalizująca zysk zatrudni tyle każdego z czynników żeby wartość jego krańcowej produktywności była równa jego cenie

MRP1 = p*MP1 = w1 and MRP2 = p*MP2 = w2ale unikalne rozwiązanie nie zawsze istnieje… (korzyści skali)

Krzywą popytu na czynnik jest zatem krzywą MRP tego czynnika

Max. zysku a korzyści skaliZałóżmy, że firma na rynku konkurencyjnym stosuje technologię o stałych korzyściach skali

Jeśli firma osiąga dodatni zysk, to nie istnieje poziom nakładów (produkcji) maksymalizujący zysk – firma powinna produkować nieskończenie wieleJeśli firma osiąga ujemny zysk (stratę), to powinna produkować 0Jeśli osiąga dokładnie zerowy zysk, to jest jej obojętne ile produkuje – zysk zawsze wyniesie 0 (krzywa izozysku pokrywa się z krzywą produkcji)

Załóżmy, że firma stosuje technologię o rosnących korzyściach skaliWtedy firma zawsze chce produkować nieskończenie wiele (czyli nie istnieje równowaga dla konkurencyjnej firmy)

Załóżmy, że firma stosuje technologię o malejących korzyściach skaliwtedy zawsze istnieje skończony optymalny poziom produkcji

Jeśli firma ma dodatni zysk i stałe lub rosnące korzyści skali, to nie możemy mieć doskonałej konkurencji (raczej monopol naturalny)

Zyskowność ujawnionaZałóżmy zatem, że firma doskonale konkurencyjna ma malejące korzyści skali

Możemy wnioskować, że kombinacje nakładów i wyników, które ta firma wybiera, są wynikiem maksymalizacji zysków

Przy takim założeniu, obserwowanie wyborów dokonywanych przez firmę pozwala nam zrekonstruować jej funkcję produkcji

Załóżmy dla uproszczenia, że firma używa jednego czynnika x. Przy cenach (p’, w’) wybiera kombinację (y’, x’), przy cenach (p”, w”) wybiera kombinację (y”, x”), itd.Na podstawie tych danych jesteśmy w stanie odtworzyć krzywą izozysku przechodzącą przez każdy z wybranych przez firmę punktówWiedząc, że funkcja produkcji za każdym razem leżała poniżej krzywej izozysku i była do niej styczna w wybranym przez firmę punkcie, możemy odtworzyć kształt funkcji produkcji

x

y

y ′″

x ′″

y ′

x ′

Rekonstrukcja funkcji produkcji na podstawie obserwacji wyborówdokonywanych przez firmę

y ″

x ″

(w ′, p ′)(w ′″, p ′″)

(w ″, p ″)y = f (x)