121
Definisi dan Contoh Grup Definisi Operasi Biner Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi biner pada himpunan G adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap pasangan terurut unsur-unsur di G ke unsur di G. Definisi Grup Misalkan G himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang memasangkan setiap pasangan terurut (a, b) unsur- unsur dari G ke unsur dari G dinotasikan dengan ab. G disebut grup dengan operasi tersebut jika tiga sifat berikut dipenuhi. 1. Asosiatif Operasi bersifat asosiatif, yaitu (ab) c = a (bc) untuk setiap a, b, canggota G. 2. Identitas 1

kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

  • Upload
    others

  • View
    39

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Definisi dan Contoh Grup

Definisi Operasi Biner

Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi biner pada himpunan G adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap pasangan terurut unsur-unsur di G ke unsur di G.Definisi Grup

Misalkan G himpunan tidak kosong bersama dengan operasi biner (biasanya disebut perkalian) yang memasangkan setiap pasangan terurut (a, b) unsur-unsur dari G ke unsur dari G dinotasikan dengan ab. G disebut grup dengan operasi tersebut jika tiga sifat berikut dipenuhi.1. Asosiatif

Operasi bersifat asosiatif, yaitu (ab) c = a (bc) untuk setiap a, b, canggota G.

2. Identitas Ada elemen e (disebut identitas) dalam G, sehinggaae = ea = a untuk setiapa anggota G.

3. Invers

1

Page 2: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Untuk setiap aanggota G, terdapat elemen banggota G (disebut invers dari a) sedemikian rupa sehingga ab = ba = e. Suatu himpunan yang memenuhi ketiga

sifat di atas, di mana setiap pasangan elemen yang dikombinasikan menghasilkan elemen yang tetap berada dalam himpunan tersebut disebut memenuhi kondisi tertutup (closure).Pastikan untuk memeriksa sifat tertutup ketika menguji suatu himpunan termasuk grup atau bukan. Sebagai catatan tambahan, jika a adalah invers dari b maka b adalah juga invers dari a.

Jika suatu grup memenuhi sifat ab = ba untuk setiap pasangan unsur a dan b, maka grup tersebut Abelian.Jika sebaliknya disebut non-Abelian.

Contoh 1

Himpunan bilangan bulat Z (berasal dari bahasa Jerman yang berarti Zahlen), himpunan bilangan rasional Q (quotient), dan himpunan bilangan real Rsemuanya merupakan grup dengan operasi penjumlahan biasa. Identitas dari masing-masing grup tersebut adalah 0 dan invers dari aadalah –a.

2

Page 3: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Contoh 2

Himpunan bilangan bulat dengan operasi perkalian biasa bukanlah grup. 1 adalah identitas, namunsifat ke-3 suatu Grup tidak terpenuhi. Misalnya, tidak ada bilangan b sehingga 5b = 1 Contoh 3

Himpunan bagian {1, - 1, i, -i} dari bilangan kompleks adalah grup terhadap perkalian kompleks. -1 adalah invers bagi dirinya sendiri, sedangkan invers i adalah -ibegitupun sebaliknya. Contoh 4

Himpunan bilangan rasional positif Q+ adalah grup terhadap perkalian biasa. Invers dari a adalah 1/a = a-1

Contoh 5

S adalah himpunan bilangan irasional positif dan bilangan 1 dengan operasi perkalian yang memenuhi tiga sifat yang diberikan dalam definisi suatu grup tetapi bukan grup. √2.√2=2,jadi S tidak tertutup terhadap operasi perkalian.Contoh 6

3

Page 4: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Diketahui matriks 2 x 2[a bc d ]. Himpunan

semua matriks 2 x 2 dengan unsur bilangan riil adalah grupdengan operasi penjumlahan componentwise.

[a1 b1

c1 d1]+[a2 b2

c2 d2]=[a1+a2 b1+b2

c1+c2 d1+d2]Identitas matrix adalah[0 0

0 0] dan invers dari

[a bc d ]adalah [−a −b

−c −d ]Contoh 7

Himpunan Zn= {0, 1, ….,n – 1} untuk n ≥ 1 adalah grup dengan operasi penjumlahan modulo n. Untuk setiap j> 0 dalam Zn, invers dari j adalah n – j. Grup ini disebut grup bilangan bulat modulo n.Contoh 8

R* himpunan bilangan riilbukan nol adalah grup terhadap perkalian biasa. Identitasnya adalah 1. Invers a adalah 1 / a.

Contoh 9

4

Page 5: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Determinan martiks 2x2 [a bc d ]adalah ad - bc.

Jika A adalah matriks 2x2, det A berarti determinan A.Himpunan

GL (2, R) = {[a bc d ]|a , b , c , d∈R , ad−bc ≠ 0}

Matriks 2x2 dengan anggota nyata dan determinan bukan nol adalah kelompok non-Abelian metode operasi

[a1 b1

c1 d1] [a2 b2

c2 d2]=[a1a2+b1 c2 a1 b2+b1 d2

c1 a2+d1 c2 c1b2+d1 d2]Contoh 10

Himpunan matriks 2x2 dengan anggota bilangan real bukanlah kelompok metode operasi yang didefinisikan pada contoh 9. invers tidak ada saat determinannya 0.Sekarang kita telah menunjukkan bagaimana membuat subset dari bilangan real dan subset dari himpunan matriks 2x2 dalam kelompok multiplikatif, kita selanjutnya mempertimbangkan perkalian bilangan bulat dalam modulo n.Contoh 11

Untuk setiap n> 1, kita mendefinisikan U(n) untuk menjadi himpunan semua bilangan

5

Page 6: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

bulat positif kurang dari n dan relatif prima dengan n. maka U(n) adalah grup bawah perkalian modulo n. (kita tinggalkan sebagai latihan bukti bahwa set ini tertutup terhadap operasi ini.)Untuk n = 10, kita memiliki U(10) = {1, 3, 7, 9}. tabel Cayley untuk U(10) adalah

mod 10 1 3 7 91 1 3 7 93 3 9 1 77 7 1 9 39 9 7 3 1

(ingat bahwa ab mod n adalah biangan bulat r unik dengan properti ab = nq + r, dimana 0 ≤ r <n dan ab adalah perkalian biasa.) dalam hal ini bahwa n adalah prima U(n)={1, 2, …., n-1}.Dalam buku aljabar klasiknya der Lehrbuch, yang diterbitkan pada tahun 1899, Heinrich Weber memberikan perlakuan yang luas dari kelompok U (n) dan dideskripsikan mereka sebagai contoh yang paling imporant dari grous Abelian terbatas.Contoh 12

6

Page 7: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Himpunan {0,1,2,3} adalah bukan kelompok metode perkalian modulo 4. Meskipun 1 dan 3 memiliki invers, unsur-unsur 0 dan 2 tidak.{0,1,2,3} bukan grupPembuktiannya:1. Asosiatif

Misal: 1 ( 2 . 3 ) = (1 . 2) 3 6 = 6 benar asosiatifSyarat 1 terpenuhi

2. Identitas{0, 1, 2, 3} memiliki identitas yaitu 1Syarat 2 terpenuhi

3. Invers{0,1,2,3} Invers 0Misal: 0 x 0 = 0

0 x 1 = 00 x 2 = 00 x 3 = 0

Maka 0 tidak memiliki invers Invers 11 x 1 = 1 maka invers 1 adalah 1 Invers 22 x 0 = 02 x 1 = 22 x 2 = 42 x 3 = 6Maka 2 tidak memiliki invers Invers 3

7

Page 8: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

3 x 1 = 3 = 1 mod 4 → maka invers 3 adalah 1Syarat 3 tidak terpenuhiContoh 13

Himpunan bilangan bulat operasi pengurangan bukan grup, karena operasi tidak asosiatif.Dengan contoh yang diberikan jauh sebagai panduan, adalah kebijakan bagi pembaca untuk berhenti sejenak di sini dan memikirkan contoh sendiri. belajar aktif! tidak hanya membaca bersama dan disuapi oleh buku.Misalkan :{0,1,2,3,4}Asosiatif(1 – 2) – 3 = 1 – (2 – 3) -1 – 3 = 1 – (-1) -4 ≠ 2Berarti terbukti bahwa bilangan bulat dengan operasi pengurangan adalah bukan groupContoh 17:SL (2, Z5)

8

Page 9: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Z5 = {0 , 1 ,2 , 3,4 }

Carilah invers matrik A = [344 4]

Determinan A = ad – bc= 12 – 16 = -4 = 1 mod 5

Invers A = [4−4−4 3] = [41

13]Cek = [3 4

4 4] [4113 ] = [16 15

2016 ] = [1001]

Contoh 18

GL (2, Z7)Z7 = {0 , 1 ,2 , 3 ,4 , 5 , 6 }

Carilah invers matrik A = [4563 ]

Determinan A = ad – bc= 12 – 30 = -18 = 3 mod 7Invers 3 mod 7 adalah 5 mod 7 karena 3.5 = 15 = 1 mod 7

Invers A

[3 .5−5.5−6 .54 .5] = [3 .52.5

1.5 4 .5] = [1510520 ] = [13

5 6]9

Page 10: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Cek = [4 56 3 ][13

56 ]= [29 422136 ] =[10

0 1]

Soal dan Pembahasannya

1. Tunjukkan apakah Z15 grup!

2. Buatlah tabel Cayley untuk U(15) dan buktikan apakah U(15) grup?

3. Tentukan invers dari [ 324 4] pada GL(2, Z5)!

4. Tentukan invers dari [3 24 3 ] pada SL(2, Z5)!

5. Tunjukkan bahwa {1, 2, 3} dengan operasi perkalian modulo 4 bukanlah grup sedangkan {1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5 adalah grup!

Pembahasan{1, 2, 3} mod 4 dengan operasi perkalian adalah bukan grup.Syarat Grup:1. Asosiatif, sebab → 1 (2 . 3) = (1 . 2) 32. Identitas, yaitu 13. Tidak memiliki invers, karena:

1 . 1 = 1 maka invers 1 adalah 12 . ≠ 1

10

Page 11: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

3 . 3 = 9 = 1 mod 4 maka invers 3 adalah 3

Karena 2 tdak mempunyai invers, maka {1, 2, 3} adalah bukan grup

{1, 2, 3, 4} mod 5 perkalian adalah grup

Syarat grup:1. Assosiatif, karena

(2 . 3) . 4 = 2 . (3 . 4) 1 . 4 = 2 . 2 4 = 4

2. IdentitasYaitu 1 merupakan identitas

3. Invers1 . 1 = 1→ invers 1 adalah 12 . 3 = 6 → 1 mod 5, maka invers 2 adalah 33 . 2 = 6 → 1 mod 5, maka invers 3 adalah 34 . 4 = 16 → 1 mod 5, maka invers 4 adalah 4

No. 5, hal 52GL (2, Z11)

Z11 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}11

Page 12: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Invers matrik A = [2 63 5 ]

Det. A = ad – bc = 10 – 18 = -8 = 3 mod 11

Invers determinan 3 mod 11 adalah 4, karena 3 . 4 = 12 = 1 mod 11InversA

[ 5 −6−3 2 ]=[5 .4 5.4

8 .4 2.4 ]=[20 2032 8 ]=[ 9 9

10 8 ]Cek [2 6

3 5 ][ 9 910 8 ]=[78 66

77 67 ]=[1 00 1 ]

No. 25, hal. 53+ E a B c dE E a B c dA A b C d eB B c D e aC C d E a bD D e A b c

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 2

12

Page 13: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

4 4 0 1 2 3Penyelesaiannya dengan menggunakan operasi penjumlahan.

SIFAT-SIFAT DASAR DARI GROUP

Sekarang kita dapat melihat banyak macam contoh dari sebuah group.Kami ingin memberi kesimpulan beberapa sifat yang mereka berikan.Definisi itu sendiri memunculkan pertanyaan yang fundamental.Setiap group memiliki satuidentitas.Pertanyaannya apakah group memiliki identitas lebih dari satu?Setiap group memiliki satu invers.Pertanyaannya apakah group memiliki invers lebih dari satu?Sekarang tidak bisa membuktikan bahwa setiap group memiliki identitas tunggal hanya dilihat dari contohnya, karena setiap contoh tidak dapat dipisahkan dari sifat yang tidak bisa diberikan oleh setiap group.

Teorema 2.1 Ketunggalan Dari Suatu Identitas

“Di dalam sebuah group, hanya ada 1 element identitas”

Bukti.Andaikan kedua ini e dan e’ adalah identitas dari G. Lalu,

1. ae = a semua bagian a dalam G, dan2. e’a = a semua bagian a dalam G.

Pilihan dari a = e’ adalah yang nomor satu (1) dana = e adalah yang nomor dua (2) hasilnya adalah e’e

13

Page 14: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

= e’ dan e’e = e. Dengan demikian e dane’ adalah sama dengan e’e dan begitu juga sama pada setiap lainnya.

Jadi pada intinya, bahwa dalam satu group itu hanya ada satu (1) identitas, penyimbolan identitas, penyimbolan identitas dalam group adalah e (karena berasal dari bahasa Jerman, Einheit yang berarti identitas).

Teorema 2.2 Pembatalan

“Didalam group G dari kanan ke kiri dengan menggunakan hukum didalam pembatalan yang saling berkaitan dengan ba = ca yang mengakibatkan b = c,dan ab = ac mengakibatkan b =c.”

Bukti.Dengan menggangap bahwa ba = ca. Maka a’adalah invers dari a. Kemudian, dikalikan dari kanan untuk a’menghasilkan (ba)a’=(ca)a’. Maka akan menghasilkan sifat asosiatifb(aa’)= c(aa’).Kemudian,be = ce dan maka dari itu,b = c.Lalu,kita membuktikan bahwa ab = ac implikasi dari b = c. Perkalian a’ dari kiri.

Pemecahan masalah yang ada didalam sifat cancellation yang ada didalam tabel Cayle yang telah dibahas dengan menggunakan tabel dan kolom. (lihat latihan no. 24). Pemecahan sifat cancellation akan lebih diperdalam didalam materi Ketunggalan dari Invers.

Teorema 2.3 Ketunggalan Dari Invers

“Untuksetiapelemen a dalamgroupG, adasebuah belementunggal dalamGsehinggaab=ba=e”

14

Page 15: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Bukti.Jikabdanckeduanyainversdaria.makaab=edanac = e, sehinggaab=acitu. Sekarang abaykana.

Seperti yangterjadidengan elemen identitas, itu adalahbiasa, dalampandanganTeorema2.3, untuk berbicaratentang"invers" darielemen group g;dan, pada kenyataannya, kitajelasdapatmenunjukkanitudengang-1. Notasiinidisarankandenganyang digunakanuntukbilanganrealbiasaterhadap perkalian. Sama, ketikanadalahbilangan bulat positif, gndigunakanuntukmenunjukkan hasil.

gg..............g(n faktor)

Kitamendefinisikang0 = e. Bila nnegatif, kita mendefinisikangn = (g-1)-n[misalnya, g-3 = (g-1)3] dengannotasi, hukumakrabeksponenpegangan untuk group;berlaku untuk semua bilangan bulat m dan n dan semua elemen group g, kamitelahgmgn = gm+ndan(gm)n = gmn. Walaupunsalah satucaramemanipulasiekspresi groupyang melibatkanduaelemengroup. Sehinggauntuk group umum, (ab)n≠ anbn(lihat latihanno. 15).

Kita juga harusberhati-hatidengannotasiiniketikaberhadapandengangroup tertentuyangpasangan operasinyaadalah penambahandanmenyatakandengan"+". Dalamhalini,definisidanpropertigroup dinyatakandalamnotasiperkalianharusdiartikan kenotasi penjumlahan. Misalnya, inversgditulissebagai-g, demikian juga misalnya g3di tulis g + g + g dan biasanya di tulis seperti 3g, sedangkan g-3di tulis (-g) +(-g)+(-g)danditulisseperti-3g. Notasipenjumlahan.

15

Page 16: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Tabel 2.2

Group Perkalian Group Pembagiana . b atau ab

Perkalian

a + b Pembagian

e atau 1

Identitas atau satu

0 Nol

a-1 Perkalian invers dari a

-a Penjumlahan invers dari a

an Power dari a

na Perkalian dari a

ab-1 Hasil bagi

a - b Pengurangan

yangdigunakan, jangan "ng" sebagaimenggabungkanndangdi dalamoperasigroup; nbahkan mungkin tidakmenjadiunsurgroup! tidak sepertikasusuntukbilangan realdalamgroupabstrak, kami tidakmengizinkaneksponenbukan bilangan bulat seperti g½. Pada Tabel2.2menunjukkannotasiumumdanterminologiyang sesuaidengan group dalam perkaliandanpenjumlahan dalam group. Seperti dalamkasusuntukbilangan real, kitamenggunakana-bsebagai singkatanuntuk a+(-b). Karenamempunyai sifat asosiatif, kitajelasdapatmenulis tanda abc,untukhal ini dapatdiartikan sebagaihanyacukup(ab)cataua(bc),yangsama.Padakenyataannya,

16

Page 17: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

denganinduksimenggunakandanpenerapan berulangdarisifat asosiatif, seseorang dapatmembuktikansebuah sifat asosiatifumumbahwapada dasarnyaberartikurungdapat dimasukkanataudihapustanpa akanmempengaruhinilaisuatu hasil yang melibatkanjumlahelemengroup. Demikian

a2 (bcdb2 )=a2b (cd )b2=(a2 b ) (cd )b2=a (abcdb )b ,

dan sebagainya.

CATATAN SEJARAH

Kami menutup bab ini dengan sedikit sejarah mengenai sifat tidak komutatif dari matrik perkalian. Pada tahun 1925, Teori Kuantum merupakan teori yang penuh dengan mengubah dan menyusun ambiguitas. Dia Werner Heisenberg yang berpengaruh pada hal tersebut. Dia mengamati hasil dari teori analogi yang tidak perlu merubah seri klasik Fourier. Atas semua kegigihannya yang mengguncangkan Heisenberg. Seperti dalam suratnya [Bab 2, hal 94]:

Dalam penelitian, saya sangat tidak setuju tentang fakta xy yang tidak sama dengan yx. Saya rasa itu hanya sebuah kesukaran dalam keseluruhan rencana, sebaliknya saya sangat bahagia. Namun kesukaran ini membuat saya sangat khawatir dan saya tidak dapat memecahkan masalah itu.

Heisenberg berbicara kepada gurunya Max Born, jika ide-idenya dipublikasikan akan sangat berharga. Dengan munculnya pendekatan baru milik Heisenberg sangat

17

Page 18: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

mengagumkan dan sangat mendalam. Seperti dalam tulisannya [Bab 1, hal 217]:

Setelah pengiriman karya ilmiah atau hasil penelitian Heisenberg untuk Zeitschrift fur Physik agar dipublikasikan. Saya memulainya dengan mempertimbangkan simbol perkalian dan akan segera berbelit-belit mengenai gagasan saya tentang keseluruhan jumlah dari tidur yang nyenyak pada malam hari. Saya rasa akhir dari sesuatu hal yang pokok akan mengalami penyempurnaan dalam beberapa tahun. Suatu hari, pada tanggal 10 Juli 1925, saya tiba-tiba melihat cahaya, tidak hanya simbol perkalian Heisenberg, namun kalkulus matrik. Sejak itu saya mengenalkan kepada murid saya dari dosen Rosanes di Breslau.

Born dan muridnya, Pascual Jordan, memformulakan kembali ide Heidenberg di dalam teorema Matrik, tapi Heisenberg yang mengkreditkan formulanya. Di buku autobiografinya, Born Lament [Bab 1, hal 219]:

Sekarang, semua Buku berbicara tentang Matrix Heisenberg, Hukum Commutation Heisenberg, dan Direc Filed Quantization. Kenyataanya, Heisenberg tahu waktu sangat sedikit untuk mempelajari matrik.

Pada tahun 1933, ia menerima hadiah Nobel untuk karyanya selama ini. Lalu ia mengirim surat kepada Max Born [Bab 1, hal 220]:

Jika saya selama ini belum menuliskan sesuatu kepada anda, dan saya belum berterima kasih atas ucapan selamat anda. Itu karena sebagian dalam diri

18

Page 19: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

saya buruk, yang tidak menghormati anda. Dan kenyataanya saya mendapatkan hadiah Nobel Prize sendiri, untuk pekerjaan yang saya, kamu dan Jordan lakukan di Gottingen, dan ini membuat saya berat dalam menuliskan surat ini kepada anda. Saya senang upaya yang kita lakukan bersama di beri apresiasi atau penghargaan, dan saya selalu senang tentang ingatan-ingatan kebersamaan dan kerja sama kita. Saya sangat percaya, para fisikawan-fisikawan tahu betapa hebatnya anda dan Jordan dalam kontribusi kalian dalam menyusun teori Kuantum, walaupun tidak merubah keputusan. Mungkin saya perlu berterima kasih lagi atas kerjasama yang telah kita lakukan selama ini.

Certia pun berakhir indah, bagaimanapun Max Born tetap mendapatkan hadiah dari Nobel di tahun 1945 untuk Landasan Kuantum yang ia kemukakan.

Latihan (Hal. 52 dan 53)

5. Carilah unsur invers dari 2 6 elemen di GL (2, Z11). 3 5

Jawaban:

2 6 elemen di GL (2, Z11). 3 5

Det = (2 . 5) – (3 . 6)

= 10 -18

19

Page 20: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

= -8

= 3 mod 11

GL (2, Z11)

Invers: a b d -bc d -c a

2 6 = 5 -63 5 -3 2

= 5.4 5.48.4 2.4

= 9 910 8

Bukti: 2 6 9 9 = 1 03 5 10 8 0 1

17. Buktikan bahwa group G adalah abelian jika dan hanya jika (ab)-1 = a-1 b-1  untuk semua a dan b di G.

Jawaban:

(ab)-1 = a-1b-1 untuk semua adan b di G

Bukti: a group G = abelian

(ab)a-1 b -1 = a(b.b-1).a-1

= a.e.a-1

20

Page 21: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

= e

(ab)(a-1b-1) = abelian

18. Didalam group,buktikan bahwa (a-1)-1 = a untuk semua a.

Jawaban:

(a-1)-1  = a

G = {a}

Dengan menggunakan identitas:(am)n = amxn

Maka:(a-1)-1 =(1a)

= 11a

= a

21

Page 22: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

FINITE GROUPS; Subgroup

Definisi Order Sebuah Grup

Bilangan yang termasuk dari sebuah grup (terhingga/tak terhingga) disebut order. Kita akan menggunakan ǀGǀ untuk melambangkan orde dari G .

Jadi, grup Z dari bilangan bulat dengan operasi penjumlahan mempunyai order yang tak terhingga. Sedangkan grup U(10) ={1, 3, 7, 9} dengan operasi perkalian modulo 10 mempunyai 4 order.

Definisi Order Sebuah Elemen

Order dari sebuah elemen/unsur g dalam grup G merupakan bilangan bulat positif terkecil n seperti gn = e

22

Page 23: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

(dalam notasi penjumlahan, ini akan menjadi ng = 0). Jika tidak ada bilangan bulat, kita katakan g mempunyai order yang tak terhingga. Order dari sebuah elemen g dilambangkan dengan ǀgǀ.

Jadi, untuk menemukan order dari sebuahelemen grup g, yang kamu butuhkan hanya menghitung urutan dari hasil g1,g2 ,g3 , ..... Sampai kamu mendapatkan identitas untuk pertama kali. Eksponen dari hasil ini (atau koefisien jika operasinya penjumlahan)adalah order dari g. Jika identitas tidak pernah muncul dalam urutan, maka g mempunyai order yang tidak terbatas.

Contoh 1

Anggap U(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} dengan operasi perkalian modulo modulo 15. untuk mencari orde 7, katakan kita menghitung urutan 71 = 7, 72 = 4, 73 = 13, 74 = 1. maka ǀ7ǀ = 4. untuk mencari order 11, kita menghitung 111 = 11, 112 = 1, maka ǀ11ǀ = 2. perhitungan yang sama menunjukkan bahwa ǀ1ǀ = 1, ǀ2ǀ = 4, ǀ4ǀ = 2, ǀ8ǀ = 4, ǀ13ǀ = 4, ǀ14ǀ = 2. [disini ada sebuah trik yang membuat perhitungan jadi lebih mudah. Lebih suka menghitung urutan 131 , 132 , 133 ,134 , kita boleh memeriksa dengan 3 = -2 modulo 15 (sebab 13 +2 = 0 mod 15) maka dari itu 13 = (-2) = 4, 13 = -2.4 = -8, 13 = (-2)(-8) = 1] .

Penjabaran:

U (15)={1,2,4,7,8,11,13,14 }

|U (15)|=8

23

Page 24: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

order of an elemen

|1|=1 karena 11=1=1mod 15

21=2 2=2

22=4 2 ×2=4

23=8 2 ×2 ×2=8

24=16=1mod 15,2×2×2×2=16=1

25=2

26=4

27=8

28=1

29=2

|2|=4

|14|=2

Contoh 2

Z10 dengan operasi penjumlahan modulo 10. sebab 1 . 2 = 2, 2 . 2 = 4, 3 . 2 = 6, 4 . 2 = 8, 5 . 2 = 0, kita tahu bahwa ǀ2ǀ = 5. perhitungan yang sama menunjukkan ǀ0ǀ = 1, ǀ7ǀ = 10, ǀ5ǀ = 2, ǀ6ǀ = 5.

Contoh 3

24

Page 25: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Z dengan penjumlahan biasa. Disini setiap elemen yang bukan nol mempunyai order yang tak terbatas, karena urutan a, 2a, 3a, ... Tidak pernah sama dengan 0 ketika a ≠ 0.

Perseptif pembaca mungkin telah memperhatikan di antara kelompok sampel kami dalam bab 2 bahwa beberapa adalah himpunan bagian dari orang lain dengan operasi biner yang sama. kelompok dalam sampel 17 dengan entri nyata, misalnya, adalah bagian dari kelompok dalam contoh 9. Demikian pula, kelompok bilangan kompleks {, 1 -1, i,-i} adalah himpunan bagian dari kelompok yang dijelaskan dalam Contoh 14 untuk n sama dengan kelipatan dari 4. Situasi ini muncul begitu sering bahwa kami memperkenalkan istilah khusus untuk menggambarkan hal itu.

Definisi Subgrup

Jika subset H kelompok G sendiri operasi Inder kelompok G, H kita katakan adalah subkelompok G.

Kami menggunakan notasi H ≤ G berarti H adalah subgrupG. Jika kita ingin menunjukkan bahwa H adalah subgrup dari G, tetapi tidak sama dengan g sendiri, kita menulis H <G. Subgrup seperti ini disebut sub-grup sejati. Subgrup {e} disebut subgrup trivial G. Subgrup yang tidak {e} adalah disebut subgrup trivial dari G.

Perhatikan bahwa Z_n dalam modulo n adalah subgrup dari Zdengan operasi penjumlahan, karena penjumlahan modulo n adalah bukan operasi dari Z.

SUBGROUP TESTS

25

Page 26: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Ketika menentukan apakah atau tidak H subset dari sebuah kelompok G merupakan subgrup dari G, orang tidak perlu langsung memverifikasi aksioma grup. Tiga berikutnya memberikan hasil tes sederhana yang cukup untuk menunjukkan bahwa himpunan bagian dari kelompok adalah sebuah subgroup.

Theorema 3.1 Satu Langkah Uji Subgroup

Misalkan G menjadi kelompok dan H tidak kosong subset dari G.then, H adalah subgroup dari G adalah H kapanpun a dan b berada dalam H (dalam notasi aditif, H adalah subgrup jika a - b di H setiap kali dan b berada dalam H).

Bukti. Sejak pengoperasian H adalah sama dengan G, jelas bahwa operasi ini adalah associative. next, kita menunjukkan e yang ada di H. sejak H tidak kosong, kita dapat memilih beberapa x di H. kemudian membiarkan a= x dan b = x dalam hipotesis, kita memiliki e = xx−1 = ab−1 adalah H. untuk memverifikasi bahwa x adalah di H ketika x adalah di H, semua yang perlu kita lakukan adalah memilih e = dan b = x dalam pernyataan dari teorema. Akhirnya, bukti tersebut akan lengkap bila kita menunjukkan bahwa H ditutup, yaitu jika x, y milik H, kita harus menunjukkan xy yang ada di H juga. Baik, kita telah menunjukkan bahwa y adalah y−1 adalah H kapan y, maka a = x dan b = y−1, kita telah xy = x (y−1 ¿−1= ab−1 ada di H.

26

Page 27: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Meskipun kami telah dijuluki teorema 3.1 "satu langkah uji subgroup," sebenarnya ada empat langkah yang terlibat dalam menerapkan teorema. (Setelah Anda mendapatkan beberapa pengalaman, tiga langkah pertama adalah rutin)Perhatikan kesamaan antara tiga langkah terakhir yang terdaftar di bawah dan tiga langkah yang terlibat dalam prinsip induksi matematika.

1. Mengidentifikasi properti P yang membedakan unsur-unsur H, yaitu, mengidentifikasi kondisi yang menentukan.

2. Buktikan bahwa identitas memiliki aset P. (ini membuktikan bahwa H tidak kosong)

3. Asumsikan bahwa dua elemen a dan b memiliki properti P.

4. Gunakan asumsi tentang a dan b untuk menunjukkan bahwa ab−1 memiliki aset P

Prosedur ini diilustrasikan dalam contoh 4 dan 5Contoh 4Misalkan G menjadi kelompok belian A dengan identitas e. maka H= { X € G І X2 = е } adalah subgroup G. disini, mendefinisikan properti H adalah kondisiX2 = e. jadi, pertama kita perhatikan bahwa e2 = e sehingga H adalah nonempy. Sekarang kita asumsikan bahwa a dan b milik H. ini berarti a2 = e dan b2 = e. akhirnya, kita harus menunjukkan bahwa(ab−1¿² = e.. karena G adalah abelian, (ab−1 )² = ab−1 ab−1 = a2 (b−1) = ee−1 = e. Oleh karena itu, ab−1milik H dan, dengan uji sub kelompok satu langkah, H adalah subgroup G.

27

Page 28: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Dalam banyak kasus, sub-grup akan terdiri dari semua elemen yang memiliki bentuk khusus. Di sini, properti P adalah bentuk khusus.

Contoh 5

Misalkan G menjadi kelompok abelian terhadap perkalian dengan identitas e. maka H ={ x2| x ϵ G}adalah subgroup G. (dalam kata-kata, H adalah himpunan semua "kotak.") sejak e2=e , identitas memiliki bentuk yang benar. Selanjutnya kita menulis dua elemen dari H dalam bentuk yang benar, katakanlah ,a2 dan b2. Kita harus menunjukkan bahwa a2 (b2 )−1juga memiliki bentuk yang benar, yaitu sebuah a2 (b2 )−1 adalah kuadrat dari beberapa elemen. Karena G adalah Abelian, kita dapat menulis a2 (b2 )−1 sebagai (ab¿¿−1)2 ¿ yang merupakan bentuk yang benar. demikian, H adalah subgroup G.

Bagaimana Anda membuktikan bahwa subset dari kelompok bukanlah sebuah subgroup? Berikut adalah tiga cara yang mungkin, salah satu yang menjamin bahwa subset bukan merupakan sub kelompok:

1. Tunjukkan bahwa identitas tidak di set.2. Menunjukkan sebuah elemen dari set yang

terbalik tidak di set.3. Menunjukkan dua elemen dari himpunan yang

produk tidak di set.

Contoh 6Misalkan G adalah grup bilangan real nol dalam

28

Page 29: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

perkalian, H = {x ϵ G ¿x = 1 or irrational} dan K = { x ϵ G | x ≥ 1 }kemudian H. Tidak subgroup G sejak √ (2) ∈ H tetapi √2. √2= 2 ∉ H.also, K bukan subgroup sejak 2 ∈ K tetapi 2−1∉ K.

Awal mahasiswa biasanya lebih memilih untuk menggunakan teorema berikutnya bukan Teorema 3.1

Teorema 3.2 Dua Langkah Uji Subgroup

Misalkan G menjadi kelompok dan H tidak kosong subset G. Kemudian, H adalah subgrup dari G jika ab ∈ H jikaa, b∈H(tertutup terhadap perkalian) dana−1∈Hsetiap kali a ∈ H (tertutup di bawah invers mengambil)

BUKTI. Dengan Teorema 3.1, itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa a, b ∈ H menyiratkan ab−1∈ H. Jadi, kami menganggap bahwa a, b ∈ H. Karena H ditutup melakukan invers, kami juga memiliki b−1∈ H.ab−1 ϵ Hdengan penutupan terhadap perkalian.

Ketika berhadapan dengan kelompok terbatas, lebih mudah untuk menggunakan tes subgroup berikut.

Teorema 3.3 Uji Hingga Subgroup

29

Page 30: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

H subset terbatas tidak kosong dari suatu kelompok G. kemudian, H adalah subgrup dari G jika H ditutup di bawah pengoperasian G

BUKTI. Mengingat Teorema 3.2, kita hanya perlu membuktikan bahwa a−1 H setiap kali. jika a∈ ϵ H maka a = ϵ ,kemudiana−1 kita sudah selesai. Jika e ≠ ϵ , pertimbangkan urutan sebuah, 〖sebuah〗𝒂 ,a2, a3.. Sejak H adalah terbatas dan penutupan mengimplikasikan bahwa semua kekuatan positif dari dalam H, tidak semua elemen ini berbeda. Katakanlah, a i

= a j dan i > j. Kemudian a i− j = e, dan sincen a ≠ е ,Jadi, i – j > 1,demikian a i− j = a .ai− j−1 = e dan, karena itu, . a i− j−1 = a−1 . Tapi, i – j- 1 ≥ 1 menyiratkan a i− j−1 H ∈dan kita selesai.

Teorema 3.4 ⟨ a ⟩adalah Subgroup

Misalkan G adalah grup, dan misalkan a adalah beberapa elemen G. Kemudian, ⟨ a ⟩ adalah a subgroup G.

BUKTI. Ketika a Є ⟨ a ⟩, ⟨ a ⟩ adalah tidak kosong. Misalkan, an , am Є ⟨ a ⟩. Kemudian, an. (am) -1 = a n-mЄ ⟨a ⟩; maka, dengan teorema 3.1, ⟨ a ⟩ adalah a subgroup G.Subgroup ⟨ a ⟩ disebut subgroup siklik dari G yang dihasilkan oleh a. Dalam hal itu G = ⟨ a ⟩ kita katakan G adalah siklik dan a adalah sebuah generator (penghasil) dari G. (sebuah group siklik boleh memiliki banyak generator/penghasil) meskipun bahwa daftar. . . , a-2, a-1, a0, a1, a2,. . . tak terbatas banyak entrie, himpunan {a n │n

30

Page 31: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Є Z} mungkin hanya memiliki banyak bilangan element yang terbatas. Juga perhatikan ini, ketika ai. aj = ai + j = aj +i = aj. ai, setiap group siklik adalah Abelian (komutatif).

CONTOH 7 Di U (10), ⟨ 3 ⟩ = {3,9,7,1} = U (10), untuk 31 = 3, 32, = 9 33 = 7, 34 = 1, 35 = 34. 3 = 1. 3, 36 = 34. 32 = 9,. . .; 3-1 = 7 ( karena 3 . 7 = 1), 3-2 = 9, 3-3 = 3, 3-4 = 1, 3-

5 = 3- 4. 3-1 = 1. 7, 3-6 = 3-4. 3-2 = 1. 9 = 9,. . . .u(10)= {1,3,7,9 }

⟨ 3 ⟩={3,9,7,1 }=u (10 ) dan ⟨ 3 ⟩ adalah generator dalam

u(10)

31=3

32=9

33=7 mod 10

34=1 mod 10

3−1=7karena3× 7=1mod 10 karenainvers

3−2=9

3−3=3

CONTOH 8 Di Z10⟨ 2 ⟩ = {2,4,6,8,0}. Ingat, an berarti na ketika operasi adalah penjumlahan.z10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }⟨ 2 ⟩= {2,4,6,8,0 }Keterangan:⟨ 2 ⟩ →21=2

31

Page 32: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

22=2.2=423=3.2=624=4.2=825=5.2=10→ 0mod 10

CONTOH 9 Dalam Z, ⟨−1 ⟩ = Z. Di sini setiap entri dalam daftar. . . , -2 (-1), -1 (-1), 0 (-1), 1 (-1), 2 (-1),. . . merupakan sebuah elemen group yang berbeda/jelas.z , ⟨−1 ⟩=zKeterangan : z =bilangan bulat…,−2 ,−1,0,1,2 , …Karena dala bilangan bulat yang berlaku operasi penjumlahan, maka−1−1=−2−1−1=−2−1=−3Dan−1− (−1 )=0−1−1=0−1=1−1− (−1 )=0−(−1 )=1− (−1 )=2

Contoh 10 Di Dn, group dihedral dari oeder 2n , misalkan R menunjukkan suatu rotasi 360 / n derajat. Kemudian,Rn¿R360° = e, Rn + 1 = R, Rn +2 = R2,. . . .Demikian pula, R-1 = Rn-1, R-2 = Rn-2, . . sehingga ⟨ R ⟩ = {e, R,. . . , Rn-1}. Kita melihat, maka pangkat dari R "siklus kembali" secara berkala dengan periode n. Dapat dilihat, meningkatkan R untuk pangkat positif yang berurutan adalah sama seperti arah jarum jam yang berlawanan sekitar perputaran satu node pada satu waktu, sedangkan peningkatan R untuk pangkat negatif

32

Page 33: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Rn+1= R

Rn+2 = R2

Rn+1 = R

R-2 = Rn-2

Rn = e

yang berturut-turut adalah sama dengan seperti searah jarum jam pada suatu waktu.

Dalam bab 4 ini kita akan memperlihatkan │⟨ a ⟩│ = │a│, yaitu oeder subgroup yang dihasilkan oleh a adalah order a itu sendiri (Sebenarnya, definisi │a │ untuk memastikan validitas dari persamaan ini)kita selanjutnya mempertimbangkan salah satu subgroup yang paling penting.

Definisi Pusat dari sebuah Grup

Pusat, Z (G), sebuah group G adalah himpunan bagian dari elemen-elemen di G dengan merubah setiap elemen di G. dengan simbol,Z (G) = {a € G|ax=xauntuk semua x diG }{Notasi Z (G) kata pusat berasal dari jerman yaitu Zentrum. Istilah ini diciptakan oleh J. A. de Segulerin 1904.]Center : z (G )={a∈G|ax=xa ,∀ x∈G }Kalau ada (=) generator, kalau (,) = subgroup.

Teorema3.5PusatAdalahsebuahSubgroup

33Pusat sebuah group G adalah sebuah subgroup di G

Page 34: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

BUKTI.Untukvariasi, kitaakan menggunakan Teorema3.2untukmembuktikanhasilini. Jelas, e∈Z(G), makaZ(G) adalah tidak kosong. Sekarang, misalkana, b∈Z(G). Kemudian(ab) x=a(bx) =a(xb) =(ax) b=(xa) b=x(ab) untuksemuaxdiG, dan oleh karena itu, ab∈Z(G).

Berikutnya, asumsikanbahwaZ∈(G). kemudian,kami mempunyaiax=xauntuk semuaxdiG.yang kitainginkanadalaha-1x=xa-1untuk semuaxdiG.informal, semua yang perlu kitalakukanuntukmendapatkanpersamaankeduadariYang pertamaadalahsecara bersamaanuntukmembawasatudi seberangtandasama dengan:

ax=xa

Menjadix a−1=a−1 x(hati-hati di sini; grouptidakkomutatif. a disebelah kiridikalikan dengan a−1 dan a disebelah kanandikalikan dengana−1. Secara

resmi, yangpersamaanyang diinginkandapatdiperolehdariyang aslidengan mengalikanitudikiri dankananoleh a−1seperti:

a−1 ( ax ) a−1=a−1 ( xa ) a−1 ,

(a−1 a ) xa−1=a−1 x (a a−1) ,

34

Page 35: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

n 2

F

2 n

11 n

1 n –1

ex a−1=a−1 xe ,

x a−1=a−1 x .

Hal inimenunjukkanbahwa a-1∈Z(G) setiap kali aadalah.UntukLatihan, mari kitamenentukanpusatgroupdihedral.Contoh11Untukn≥3,Z(Dn) ={R0, R180} bilan genap

{R0} ketika nadalahganjil

Kita mulaidengan menunjukkanbahwaZ(Dn) tidakdapatmengandung sebuah pencerminan. JikaFadalah sebuah pencerminan, ada duakasusyang mungkinuntuksumbupencerminanuntukF.Entahsumbu inimelewatisimpuldarin-gon, ataubergabungdengantitik tengahduasisiberlawanandarin-gon. Mari kitaasumsikanpertamayangporosmelewatisimpul. Labeln-gon sepertiyang ditunjukkandi bawah ini.

1

n 2

poros pencerminan untuk F

sekarang, R360/n F

35

R360 / n

Page 36: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

n 2 1 3 3 1

1 22

R360/nF

Sedangkan, FR 360/n

Sekarang, R360/n memberikan puncak/simpul 1 untuk

puncak/simpul n, sedangkan FR360/ n simpul 1ke impul 2.

Ketika n≥ 3, kita mempunyai R360n

F ≠ F R360n

, sedangkan

F adalah tidak di tengah di Dn. Argumen serupa pada

aturan diagram berikut keluar refleksi yang

bergabung dengan titik-titik tengah sisi yang berlawanan

(kasus ini muncul ketika n bahkan).

1• •2

n• •3

poros/sumbu pencerminan

36

Page 37: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Kami telah membuktikan, bahwa tidak ada refleksi/pencerminan di tengah Dn.Selanjutnya, mempertimbangkan rotasi R = Rk.360 / n (1 ≤ k <n) di Dn, mari kita asumsikan bahwa 0 0< K.360°/ n <180 °. label n-gon seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut, dan membiarkan F menunjukkan refleksi di sumbu/poros yang melewati vertex/puncak 1

1

Sekarang, FR mengirim simpul 1 ke simpul di sisi kanan dari sumbu refleksi, sedangkan RF mengirim simpul 1 ke simpul di sisi kiri sumbu seleksi. Dengan demikian, RF ≠ FR. Argumen yang sama menunjukkan bahwa FR ≠ RF ketika 180 ° <k • 360°/n <360 °. Membuktikan bahwa R0 dan R180 adalah unsur hanya mungkin di pusat Dn. Bila n adalah bilangan ganjil, Dn tidak memiliki rotasi 180°, dan kita menyerahkan kepada pembaca untuk menunjukkan bahwa ketika n bahkan, R180 memang bolak-balik dengan setiap anggota Dn.

Meskipun elemen dari kelompok non-Abelian tidak perlu bolak-balik dengan setiap elemen kelompok, selalu ada beberapa unsur dengan yang akan bepergian. Untuk Misalnya, setiap elemensebuahkemacetandengansemuakekuatana.penelitianinimendorongdefinisiberikutnyadanteorema.

37

n 2

Page 38: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

DEFINISIPemusat a di G

Misalkan amenjadielementetap sebuahgrupG.Pemusatdari a diG.C(a), adalahhimpunansemua elemendalamGyangpulang pergidengana.simbol,C(a) ={g ∈G|ga=ag}.CONTOH12DiD4, kitamemilikicentralizers (Pemusat)berikut:C(R0) =D4=C(R180),Didalam D4, contoh: R180 D=D'

D R180=D ' karena berlaku sifat komutatif/abelian dimana R180sebagai centralizer.C(R90) ={R0, R90, R180, R270} =C(R270),

Dalam D4, R90 R180=R270 , R180 R90=R270.

berlaku sifat komutatif/abelian dimana R270sebagai centralizer.C(H) ={R0, H, R180,V} =C(V),

contoh : R180 H=V , H R180=Vberlaku sifat komutatif/abelian dimana V sebagai centralizer.C(D)={R0, D, R180, D'} =C(D').contoh : R180 D=D', D R180=D'

berlaku sifat komutatif/abelian dimana D’ sebagai centralizer.

PerhatikanbahwasetiapCentralizersdalamContoh12sebenarnyamerupakansubkelompokdariD4. Teoremaberikutnyamenunjukkanbahwa inibukansebuah kebetulanTeorema3.6 C(a) adalahsuatuSubgroup

38

Untuk setiap a di sebuah group G, berpusat pada a adalah sebuah subgroup G

Page 39: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

BUKTI. Sebuahbuktiyang sama denganTeorema3.5diserahkan kepadapembacauntukpasokan.Perhatikanbahwa untuksetiapelemendarigrupG, Z(G) ⊆C(a). Juga, obsevebahwa GadalahAbelianjikadanhanyajikaC(a) =GuntuksemuadiG.

Latihan halaman 65:9. Tunjukan u (20 ) ≠ ⟨k ⟩ untuk bebrapa k di u (20 ), [ketika, u (20 ) adalahbukan siklik.Penyelesain :

u (20 )= {1,3,7,9,11,13,17,19 }

⟨1 ⟩= {1 }

⟨ 3 ⟩={3,9,7,1 }

31=3

32=9

33=7 mod 20

34=1mod 20

⟨7 ⟩={7,9,3,1 }

71=7

72=9mod 20

73=3 mod 20

74=1 mod 20

⟨ 9 ⟩={9,1 }

91=9

92=1mod 20

⟨11 ⟩={11,1}

111=11

112=1mod 20

⟨13 ⟩={13,9,17,1 }

39

Page 40: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

131=13

132=9 mod 20

133=17 mod 20

134=1 mod 20

⟨17 ⟩={17,9,13,1 }

171=17

172=9mod 20

173=13 mod 20

174=1mod 20

⟨19 ⟩= {19,1 }

191=19

192=1 mod 20

12. untuk setiap k di n, misalkan uk (n )={x∈u (n )|x=1 mod k }. (untuk contoh, u3 (21 )= {1,4,10,13,16,19 } dan u7 (21 )= {1,8 }.) daftar element-element u4 (20 ) , u5 (20 ) ,u5 (30 ) , u10 (30 ) .buktikan uk (n ) adalah sebuah subgroup u(n ). Penyelesian:u (21 )= {1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20 }u3 (21 )= {1,4,7,10,13,16,19 } karena 7 tidak termasuk u(21 ) maka u3 (21 )= {1,4,10,13,16,19 }.Dimana (0 ×3 )+1=1(1×3 )+1=4(2×3 )+1=7 dan seterusnya.u7 (21 )= {1,8,15 } karena 15 tidak termasuk u (21 ) makau7 (21 )= {1,8 }Dimana (0×7 )+1=1(1 ×7 )+1=8 dan seterusnya.u (20 ) {1,3,7,9,11,13,17,19 }u4 (20 )={1,5,9,14 } karena 5 tidak termasuk u (20 ) makau4 (20 )={1,9,14 }

40

Page 41: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Dimana (0 × 4 )+1=1(1 ×4 )+1=5(2×4 )+1=9 dan seterusnya.u5 (20 )= {1,6,11 }Dimana (0×5 )+1=1(1×5 )+1=6 karena 6 tidak termasuk u (20 )(2×5 )+1=11(3×5 )+1=16 karena 16 tidak termasuk u(20) dan seterusnyau5 (20 )= {1,11 }u (30 )= {1,7,11,13,19,23,29 }u5 (30 )= {1,11 }u10 (30 )= {1,11 }Dimana: (0×10 )+1=1(1×10 )+1=11 dan seterusnyaMaka buktikan uk (n ) adalah sebuah subgroup u(n ). Karena element-element uk (n ) merupakan sebuah subgroup u(n) yang element-elemntnya sama.7. Tunjukan bahwa U(14) = <3> = <5>. [ Dimana,

U(14) adalah siklik ]. Apakah U(14) = <11> ?Jawab:U(14) = { 1, 3, 5, 9, 11, 13 }<3> = 3¹ = 3

3² = 93³ = 13 mod 1434 = 11 mod 1435 = 5 mod 1436 = 1 mod 14

<3> = { 3, 9, 13, 11, 5, 1 }

41

Page 42: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

<5> = 5¹ = 5 5² = 115³ = 13 mod 1454 = 9 mod 1455 = 3 mod 1456 = 1 mod 14

<5> = { 5, 11, 13, 9, 3, 1 }<11> = 11¹ = 11

11² = 9 mod 1411³ = 1 mod 14

<11> = { 11, 9, 1 }U(14) ≠ <11> dan bukan siklik melainkan subgroup karena <11> terdapat elemen yang sama pada U(14).Terbukti Bahwa U(14) <3> = <5>dan merupakan siklik karenaterdapat generator.

8. Tunjukan bahwa Z10 = <3> = <7> = <9>. Apakah Z10 = <2> ?Jawab:Z10 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }<3> = 3¹ = 3

3² = 63³ = 9 mod 1034 = 2 mod 1035 = 5 mod 10

42

Page 43: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

36 = 8 mod 1037 = 1 mod 1038 = 4 mod 1039 = 7 mod 10310= 0 mod 10

<3> = { 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0 }<7> = 7¹ = 7

7² = 47³ = 1 mod 1074 = 8 mod 1075 = 5 mod 1076 = 2 mod 1077 = 9 mod 1078 = 6 mod 1079 = 3 mod 10710 = 0 mod 10

<7> = { 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0 }<9> = 9¹ = 9

9² = 89³ = 7 mod 1094 = 6 mod 1095 = 5 mod 1096 = 4 mod 1097 = 3 mod 10

43

Page 44: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

98 = 2 mod 1099 = 1 mod 10910 = 0 mod 10

<9> = { 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 }

<2> = 2¹ = 22² = 42³ = 8 mod 1024 = 6 mod 1025 = 2 mod 1026 = 4 mod 10

<2> = { 2, 4, 8, 6 }U(10) ≠ <2> dan bukan siklik melainkan subgroup karena <2> terdapat elemen yang sama pada U(14).Terbukti : Z10 = <3> =<7> = <9>.Dan merupakan generator karena terdapat generator

1. Untuk setiap group pada daftar berikut, tentukan order group dan order setiap elemant di group. Bagaiman hubungan antara order element group dengan order group?

Z12= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

|Z12|=12

|2|=6

1.2=2

44

Page 45: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

2.2=4 ,

3.2=6 ,

4.2=8 ,

5.2=10mod 12

6.2=2 mod 12

u (10 )= {1,3,7,9 }↔|u (10 )|=4

⟨1 ⟩= {1 }

⟨ 3 ⟩={3,9,7,1 }↔|3|=4

⟨7 ⟩={7,9,3,1 }↔|7|=4

⟨ 9 ⟩={9,1 }↔|9|=2

u (12 )= {1,5,7,11 }↔|u (12 )|=4

|1|=1 ,|5|=2 ,|11|=2 ,|7|=0 ,

51=5

52=1 mod 12

111=11

112=1mod 12

71=7

45

Page 46: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

72=1mod33. D4 mempunyai 7 subgrup siklik (selain <R0>).

34. U(15) mempunyai 7 subgrup siklik

37. H = {1,3,17,19} adalah subgrup dari U(20)

38. |U(3)| = 2, |U(5)| = 4, |U(15)| = 8

39. |U(r)| |U(s)| = |U(rs)|

51. a. C ([1 11 0]) =

b. C ([1 11 0]) =

c. Z(G) =

CYCLIC GROUPSSIFAT CYCLIC GROUPS

Mengulang dari Bab 3 bahwa group 6 dikatakan cyclic jika element a di 6 sedemikian hingga 6 = an/nZ. Sehingga element disebut generator dari 6.Mengingat notasi yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, kita dapat menunjukan bahwa 6 adalah

46

Page 47: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

cyclic group yang dihasilkan oleh a dan ditulis 6 = a.Dibab ini, kita memeriksa cyclic group secara lengkap dan mencari karakteristik penting. Kita mulai dengan beberapa contoh.Contoh 1

Himpunan bilangan bulat Z dalam operasi penjumlahan adalah cyclic. 1 dan -1 adalah generator. Mengingat kembali bahwa ketika dalam operasi penjumlahan, 1n diartikan sebagai1+1+…+1 ketika n positiven terms(-1)+(-1)+…+(-1) ketika n negativen termsContoh 2

Himpunan Zn = (0,1,…,n-1) untuk n 1 adalah cyclic group dalam operasi penjumlahan modulo n. 1 dan -1 = n-1 adalah generator.Tidak seperti Z, yang banyak memiliki 2 generator, Zn mungkin memiliki banyak generator (tergantung pada n yang kita beri).Contoh 3

Z8 = 1 = 3 = 5 = 7. Untuk mengetahiunya misalnya pada Z8 = 3, kita perhatikan bahwa 3 = 3, (3+3) mod 8, 3+3+3) mod 8... himpunannya adalah 3, 6, 1, 4, 7, 2, 5, 0 = Z8 dengan demikian,

47

Page 48: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

3 adalah generator dari Z8 disisi lain, 2 bukanlah generator saat Z = 0, 2, 4, 6 Z8.Contoh 4

U(10) = 1, 3, 7, 9 = 30, 31, 33, 32 = 3 dan juga 1, 3, 7, 9 = 70, 73, 71, 72 = 7. Jadi 3 dan 7 adalah generator untuk U(10).Seiring dalam matematika, “nonexample” membantu untuk memahami konsep. Sebagai contohMengenai cyclic groups, U(8) menjadi tujuan, yaitu U(8) tidak cyclic group. Dapatkah kita menjelaskannya? Baik perhatikan U(8) = 1, 3, 5, 7, tapi 1={ 1 }3= { 3,1 }5= { 5,1 }7= { 7,1 }Jadi U(8) a untuk semua a di U(8).Dengan contoh ini, sekarang kita harus siap untuk mengatasi cyclic group dengan cara yang abstrak dan sifat utamanya.Teorema 4.1

Criteria untuk a i=a j

48

Gadalah sebuah grup, dan a termasuk elemen G. jika a adalah order terhingga , lalu pangkat berbeda a dari elemen grup yang berbeda.

Jikaa adalah order terhingga , sebut n lalu ⟨ a ⟩={e , a , a2 ………an−1 }

Page 49: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

a i=a j dimana a1− j=e

i− j=o jadi a0=e=1untuk identitas perkalian .

Contoh 1

u( 10)={1,3,7,9 } termasuk grup siklik atau tidak?

Jawab ⟨1 ⟩= {1 }

⟨ 3 ⟩={3,9,7,1 }→ 34=1 ,i− j=4 , 35=31 ,310=36 dst

⟨7 ⟩={7,9,3,1 }

⟨ 9 ⟩={9,1 , }

Jadi generator dari u(10) adalah 3 dan 7. Karena U ( 10)

memiliki generator maka U (10)adalah grup siklik.Contoh 2

Apakah U ( 8)=¿ {1,3,5,7 }¿ merupakan grup siklik?Jawab

⟨1 ⟩= {1 }

⟨ 3 ⟩={3,1 }

⟨5 ⟩={5,1 }

49

Page 50: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

⟨7 ⟩={7,1 }

Karena U ( 8)tidak memiliki generator maka U (8)bukan grup siklik.

ak=e menyatakanbahwa|a|dibagi k

Buktikan. Selama ak=e=a0. Kita tahu melalui teorema 4.1 bahwa n dibagi k-0.Teorema 4.1 dan akibatnya untuk Himpunan |a|=6 diilustrasikan dalam teorema 4.1.Apa –apa yang penting tentang teorema 4.1 dalam Himpunan berhingga yang ia katakana bahwa perkalian dalam ⟨ a ⟩ bekerja dengan operasi penjumlahan modulo n. Yaitu, jika (i+ j mod n=k , lalu ai . a j=ak ). Disini, tidak ada masalah dengan apa grup G itu, atau bagaimana elemen a dipilih, perkalian dalam ⟨ a ⟩ bekerja sama seperti penjumlahan dalam Zn dengan |a|=n. Sama halnya, jika a adalah order takhingga, dengan perkalian dalam ⟨ a ⟩ bekerja sama seperti penjumlahan dalam Z, selama a i . a j=a i+ j dan tidak ada modul aritmatika yang bekerja.

50

Page 51: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Untuk alasan, grup siklik Zndan Z sebagai prototype untuk semua grup siklik, dan ahli aljabar mengatakan bahwa hanya ada satu grup siklik yang esensial pada tiap order. Apa makna dari ini, walaupun mungkin ada banyak Himpunan yang berbeda pada bentuk {an|n∈Z }, pada dasarnya hanya satu cara untuk mengoperasikan Himpunan ini tergantung pada order a. Ahli aljabar tidak terlalu memperdulikan apa elemen himpunan tersebut, mereka hanya peduli tentang sifat aljabar pada sebuah Himpunan ----cara elemen sebuah Himpunan bisa digabungkan. Kita akan mendalaminya dalam bab Isomorphisms.Dalam contoh 3, kita menyebutkan 3 adalah generator pada Z8 dimana 2 bukan. Samahalnya, 3 dan 7 adlah generator untuk U (10) dimana 9 bukan.

51

Page 52: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Ini bisa ditunjukkan secara cermat oleh “eyeball” atau seperti bolamata generator untuk Zn dan untuk grup siklik secara umum. Teorema 4.2 dan akibatnya memberi kita sebuah metode aritmatika sederhana untuk mengidentifikasi generator.Contoh soal:Teorema 4.2 Generator dari group siklik

G=<a>adalah group siklik dengan order n, maka G=<ak>jika dan hanya jika FPB (k,n) =1

Akibat Generator dari Zn

Dengan bilangan bulat k dalam Zn, adalah generator dari Zn jika dan hanya jika FPB (k,n) = 1

Menilai teorema 4. 2, bahwa salah satu generator dari group siklik dapat ditemukan semua generator dari group siklik dapat dengan mudah ditemukan. Sebagai contoh, mempertimbangkan subgroup dari semua rotasi dalam D6. Jelas satu generatornya adalah R60. Dan R60 = 6 , kita lihat teorema 4.2, itu generator yang lain adalah (R60)5 = R300. Tentu saja kita dapat menarik kesimpulan dari informasi ini tanpa bantuan teorema 4.2 dengan perhitungan langsung.. Jadi untuk mengilustrasikan pangkat dari teorema 4.2, gunakanlah itu untuk mencari seluruh generator dari group siklik U(50). Pertama, tuliskan menghitung langsung untuk menunjukkan U(50) = 2 dan tiga adalah salah satu dari generatornya. Demikianlah, dalam melihat teorema 4.2, daftar

52

Page 53: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

pelengkap dari generator-generator untuk U(50) adalah

31 mod 50 = 3 311 mod 50 = 47

33 mod 50 = 27 313 mod 50 = 2337 mod 50 = 37 317 mod 50 = 1339 mod 50 = 33 319 mod 50 = 17320 mod 50 = 1

Dengan begitu kita dapat melakukan perhitungan aritmatika disini, tapi tentu saja menjadikan terlalu banyak pekerjaan, dibandingkan mencari seluruh generator dengan penentuan yang sederhana order dari element U(50) satu persatu.PENGKLASIFIKASIAN SUBGRUP PADA GRUP SIKLIKPada Teorema selanjutnya, menjelaskan berapa banyak subgrup yang dimiliki sebuah grup siklik terhingga dan bagaimana menemukannya.Teorema 4.3 Teorema Dasar Grup Siklik

53

Setiap subgrup pada sebuah grup siklik adalah grup siklik itu pula. Lebih-lebih jika |⟨a ⟩|=n, lalu order pada subgrup ⟨ a ⟩ adalah sebuah pembagi n dan atau setiap k pembagi positif pada n, grup ⟨ a ⟩ memiliki tepat satu subgrup berorder k, yaitu ⟨an / k ⟩

Page 54: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Sebelum kita membuktikan teorema ini, mari kita lihat apa artinya. Memahami apa arti dari sebuah teorema adalah sebuah prasyarat untuk memahami buktinya. Andaikan G= ⟨a ⟩ (dibaca a adalah generator G) dan G mempunyai order 30. Bagian pertama torema mengatakan bahwa jika H adalah

beberapa subgrup pada G, lalu H mempunyai bentuk ⟨ak ⟩ untuk beberapa k. 2) Bagian kedua dari teorema mengatakan bahwa G mempunyai satu subgrup yang masing-masing ordernya 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30 dan tidak ada yang lain. Pembuktian juga akan menunjukkan bagaimana menemukan subgrup berikut.

BUKTI. Jika G = ⟨ a ⟩ (a ad alah generator G) dan andaikan bahwa H adalah sebuah subgrup G. kita harus tunjukkan bahwa H adalah siklik. Jika ini terdiri dari idenditas ini sendiri, maka dengan jelas H adalah siklik. Jadi kita boleh mengasumsikan bahwa H ≠ {e }. Kita sekarang menyatakan bahwa H mengandung sebuah unsur dengan bentuk a t, dimana t adalah positif. Sejak G= ⟨a ⟩, setiap unsur H mempunyai bentuk a t; Ketika a t merupakan H dengan t<0, lalu a−t merupakan H dan juga –t adalah positif. Maka, pernyataan kita diterima. Sekarang jika m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga am ϵH . Secara tertutup, ⟨am ⟩≤ H . Selanjutnya kita menyatakan bahwa H= ⟨am ⟩. Untuk membuktikan pernyataan ini, cukup jika b sebuah anggota H, dan menunjukkan bahwa b ada pada ⟨am ⟩. Selama b∈G=⟨ A ⟩, kita punya b=ak untuk beberapa k. Sekarang, menerapkan algoritma dalam pembagian untuk k dan m, untuk mendapatkan bilangan bulat q dan r sedemikian hingga :k=mq+r dimana 0 ≤ r<m. Maka,

54

Page 55: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

ak=amq+r=amq ∙ ar, jadi

ar=a−mq ∙ ak. Selama

ak=b∈H dan

a−mq=(am )−q juga pada

H, ar∈H .

Tapi m bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga am∈H , dan0 ≤ r<m, maka r harus nol.a−mq ∙ ak=e, maka dari itu b=ak=amq=(am )q∈ ⟨am ⟩. Ini membutuhkan pernyataan pada teorema bahwa setiap subgrup pada sebuah grup siklik adalah siklik.

Untuk membuktikan bagian pada Teorema selanjutnya, andaikan |⟨a ⟩|=n dan H adalah subgrup ⟨ a ⟩. Kita sudah menunjukkan bahwa H= ⟨am ⟩ untuk m. selama (am )n=(an )m=em=e, kita mengetahui kesimpulan untuk Teorema 4.1 bahwa |am| adalah sebuah persegi n. |H|=|am| adalah sebuah pembagi n

Pada akhirnya, jika k pembagi n. Jelas bahwa (an/ k )k=an=e dan (an/ k )t ≠ e untuk t positif ¿k , jadi ⟨an / k ⟩ memiliki order k. Selanjutnya kita menunjukkan bahwa ⟨an / k ⟩ adalah hanya subgrup dari order k. Untuk mengakhiri ini, jika H menjadi subgrup dari order k. Sebelumnya kita sudah menunjukkan bahwa H= ⟨am ⟩, dimana m

55

Page 56: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga am pada H. Sekarang dituliskann=mq+r, dimana 0 ≤ r<m, kita punyae=an=amq+r=amq ∙ ar, maka

ar=a−mq= (am )−q∈H .

Dengan, r=0 dan n=mq. Jadi,k=|H|=|⟨am ⟩|=n/m. Ini mengikuti m=n/k dan H= ⟨am ⟩=⟨an / k ⟩.

Kembali pada pembahasan mengenai grup siklik ⟨ a ⟩, dimana a mempunyai order 30, kita boleh menyimpulkan dari Teorema 4.3 bahwa subgrup ⟨ a ⟩ sesuai bentuk ⟨am ⟩ dimana m adalah sebuah pembagi 30. Lebih dari itu, jika k adalah pembagi dari 30, subgrup order k adalah ⟨a30 /k ⟩. Jadi daftar subgrup dari ⟨ a ⟩ adalah :

⟨ a ⟩={e ,a , a2 ,…,a29 } order 30,⟨a2 ⟩= {e , a2 , a4 , …,a28 } order 15,⟨a3 ⟩= {e , a3 , a6 , …,a27 } order 10,⟨a5 ⟩= {e , a5 , a10 , a15 , a20 , a25 } order 6,⟨a6 ⟩= {e , a6 , a12 , a18 , a24 } order 5,⟨a10 ⟩= {e ,a10 , a20 } order 3,⟨a15 ⟩={e ,a15 } order 2,⟨a30 ⟩= {e } order 1.

Pada umumnya, jika ⟨ a ⟩ memiliki order n dan k pembagi n, lalu ⟨an / k ⟩ adalah subgrup tunggal pada order k.

Ambil grup dalam Teorema 4.3 menjadi Zn dan a menjadi 1, kita memperoleh kasus penting berikut.

56

Page 57: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Akibat Subgrup Zn

Contoh 5 Daftar subgrup pada Z30 adalah

⟨1 ⟩= {0 ,1 , 2 ,…, 29 } order 30,

⟨ 2 ⟩= {0 ,2 , 4 , …,28 } order 15,

⟨ 3 ⟩={0 ,3 ,6 , …, 27 } order 10,

⟨5 ⟩={0 ,5 ,10 ,15 ,20 , 25 } order 6,

⟨ 6 ⟩={0 ,6 , 12,18 ,24 } order 5,

⟨10 ⟩={0 ,10 , 20 } order 3,

⟨15 ⟩={0 ,15 }order 2,

⟨ 30 ⟩={0 }order 1.

Dengan mengkombinasikan Teorema 4.2 dan 4.3, kita dapat dengan mudah menghitung angka dari unsur pada setiap order dalam sebuah grup siklik terhingga. Untuk memudahkan, kita mengenal sebuah fungsi teori angka penting yang disebut Euler phi function. Jika ∅ (1 )=1, dan untuk bilangan bulat n>1, jika ∅ (n ) dinotasikan angka bilangan bulat positif kurang dari n dan relative prima ke-n. Nyatakan bahwa |U (n )|=∅ ( n ).

57

Untuk setiap pembagi positif k pada n, himpunan ⟨ n/k ⟩ adalah subgrup tunggal Zn pada order k, lebih dari itu, hanya ada subgrup dalam Zn.

Page 58: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Teorema 4.4 Jumlah pada Unsur Setiap Order dalam Grup

Siklik.

BUKTI. Pada Teorema 4.3, ada tepat satu subgrup pada order d disebut ⟨ a ⟩. Setiap unsur pada order d juga menghasilkan subgrup ⟨ a ⟩ dan, dengan Teorema 4.2, setiap unsur ak menghasilkan ⟨ a ⟩ jika dan hanya jika FPB(k , d )=1.

Hubungan antara macam-macam subgroup dari sebuah group dapat diilustrasikan dengan sebuah pola subgroup. Diagram ini memuat semua subgroup dari sebuah group dan menghubungkan sebuah subgroup H pada level pertama terhadap sebuah subgroup K pada level tertinggi dengan sebuah garis penghubung segmen jika dan hanya H adalah sebuah subgroup sejati dari K. Walaupun terdapat banyak cara untuk menyamakan seperti sebuah diagram, hubungan antara sebuah subgroup harus sama. Secara khas satu cara untuk mempresentasikan diagram dengan cara yang menyenangkan. Pola diagram untukZ30 ditunjukkan pada gambar 4.2. perhatikan bahwa ⟨10 ⟩ adalah sebuah subgroup dari ⟨ 2 ⟩dan ⟨5 ⟩tetapi⟨ 6 ⟩ bukan sebuah subgroup dari ⟨10 ⟩.

Ketepatan dari Teorema 4.3 dapat dihargai dengan membandingkan yang mudah dengan yang dapat kita identifikasi subgroup dari Z30 dengan yang kita katakana, lakukan hal yang

58

Jika d adalah sebuah pembagi positif pada n, angka pada unsur dalam order d dalam sebuah grup siklik pada order n adalah ∅ (d ).

Page 59: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

sama untuk U30 atau D30. Dan group-group itu memiliki kerelativan struktur sederhana antara group non siklik.Kita akan membuktikan pada bab 7 bahwa sebuah bagian pasti dari Teorema 4.3 meluas dan dapat berubah untuk group terhingga; yaitu, order dari sebuah subgroup dibagi oleh order dari group itu sendiri. Kita akan melihat juga, bagaimanapun , bahwa sebuah group terhingga tidak perlu persis satu subgroup sesuai untuk setiap pembagi terhadap order dari group. Untuk beberapa pembagi, mungkin tidak ada sama sekali. Sedangkan untuk pembagi yang lain, mungkin ada banyak.

< 1 >

< 2 > < 5 >

< 3 >

< 10 >

< 6 > < 15 >

59

Page 60: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

< 0 >

Satu kata terakhir tentang pentingnya dari group siklik adalah sesuai. Walaupun group siklik merupakan sebuah kelas yang sangat sempit dari group terhingga, kita akan melihat pada bab 11 bahwa mereka bermain peran bangunan block untuk semua group abelian terhingga pada banyak cara yang sama bahwa bilangan prima bangunan block untuk bilangan bulat dan elemen kimiawi adalah bangunan block untuk gabungan kimiawi.

GRUP-GRUP PERMUTASI DEFINISI DAN NOTASI

Pada bab ini, kita mempelajari fungsi dari grup-grup tertentu yang disebut grup permutasi, dari himpunan A itu sendiri. Pada awal dan pertengahan abad ke-19, grup-grup dari permutasi hanya grup-grup yang diselidiki oleh ahli matematika. Tidak sampai sekitar tahun 1850 bahwa dugaan dari sebuah grup abstrak telah diperkenalkan oleh Cayley, dan telah membawa yang lainnya seperempat abad sebelum ide tersebut telah mempengaruhi secara tetap.

DEFINISI Permutasi A, Grup Permutasi A

Permutasi dari sebuah himpunan adalah fungsi dari A ke A yang berkorespondensi satu-satu dan onto. Permutasi grup dari himpunan A adalah himpunan permutasi-permutasi dari A yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi.

Meskipun grup-grup permutasi terdiri dari beberapa himpunan A tidak kosong dari objek-objek yang nyata, kita akan focus pada masalah dimana A adalah berhingga. Lagi pula, hal ini biasa, sebagai hal yang menyenangkan, untuk mengambil A menjadi sebuah himpunan berbentuk {1,2,3,…,𝑛} untuk beberapa bilangan bulat n positif. Tidak seperti di Kalkulus, dimana banyak

60

Page 61: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

fungsi yang digambarkan dalam himpunan-himpunan tak terhingga dan diberikan rumus-rumus, dalam aljabar, permutasi-permutasi dari himpunan-himpunan tak terhinggabiasanya diberikan sebuah daftar eksplisit dari setiap anggota domain yang bersesuaian dengan fungsi nilainya. Sebagai contoh, kita daftarkan sebuah permutasi 𝛼 dari himpunan {1,2,3,4} dengan menetapkan 𝛼 (1)= 2 𝛼 (2)=3 𝛼 (3)=1 𝛼 (4)=4 Sebuah cara yang lebih menyenangkan untuk menunjukkan korespondensi ini adalah menuliskan 𝛼 dengan membentuk barisan sebagai berikut.

=[12 3 423 1 4 ]

Di sini (j) diganti secara langsung di bawah j untuk setiap j. Begitu pun, permutasi dariβ dari himpunan {1,2,3,4,5 , 6 } ditetapkan β(1) = 5 β(2) = 3 β(3) = 1

β(4) = 6 β(5) = 2 β(6) = 4

Ditentukan dalam barisan dengan bentuk sebagai berikut

β = [12 34 6 75 316 2 4 ]

Permutasi komposisi ditunjukkan dalam notasi barisan yang diangkat dari kanan ke kiri dengan membawa dari atas ke bawah lagi. Sebagai contoh,misalkan

61

Page 62: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

σ = [12345243 51] dan γ = [12 3 4 5

5 41 23 ] maka

γ σ = [123 455 41 23 ][12 34 5

24 35 1]

= [123 4542 135 ]

Dari kanan kita mempunyai 4 dibawah 1 jika ( γ σ ) (1 )=γ ¿jadi γ σmengirimkan 1 ke 4.sisa dari baris bawah γ σ diperoleh dengan model yang sama.

Sekarang kita siap untuk memberikan beberapa contoh dari grup-grup permutasi.

Contoh 1 Grup Simetri Segitiga sama sisi( S3)

Misalkan S3 menyatakan semua himpunan fungsi satu-satu dari{1 , 2, 3 } untuk himpunan itu sendiri. Kemudian S3dalam komposisi fungsi adalah grup dengan elemen ke-6 elemennya adalah.

ε=[123123 ]α = [12 3

23 1]α 2 = [12 3

31 2]β = [123

132]αβ = [12 321 3]α 2 β= [12 3

3 21]62

Page 63: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Catatan bahwa βα= [12 33 21]≠ αβsehingga S3 adalah tidak

Abelian.

CONTOH 2 Grup Simetri Berderajat n (𝑆𝑛) Misalkan A = {1, 2, ..., n}. Semua himpunan permutasi dari A disebut grup simetri berderajat n dan dituliskan 𝑆𝑛. Elemen 𝑆𝑛 memiliki bentuk :

α = [ 1 23α (1)α (2)α (n)]

Hal ini untuk mudah dalam menghitung order dari 𝑆𝑛. Terdapat n pilihan dari α (1 ) . walaupun α(1) sudah ditetapkan, ada n – 1 kemungkinan untuk α(2) karena αberkorespondensi satu – satu, kita harus mempunyai α(1) ≠ α(2). Setelah memilih α (2), terdapat tepat n-2 kemungkinan untuk α(3). Terus sepanjang model ini, kita melihat bahwa 𝑆𝑛 harus memiliki n(n-1......3.2.1 ¿ elemen n! . Kami menyerahkan kepada pembaca untuk membuktikan bahwa 𝑆𝑛 adalah tidak Abelian ketika n ≥3.

Group simetri kaya akan subgroup. Group 𝑆𝑛 mempunyai 30 subgroup dan 𝑆𝑛 mempunyai lebih dari 100 subgrup.

CONTOH 3 Simetri Dari Persegi (𝑆4)63

Page 64: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Pada contoh ke-3, kita menghubungkan setiap pergerakan dalam D4 dengan permutasi dari penempatan-penempatan tiap empat sudut persegi. Sebagai contoh, jika kita tandai empat posisi sudut seperti dalam gambar di bawah dan terap menandai ini yang ditetapkan sebagai acuan. Kita dapat menggambarkan sebuah rotasi 90 hasil prmutasi.ρ=[12 34

2 34 1]Sedangkan refleksi dengan garis mendatar sumbu horizontal menghasilkan

∅=[1 2 3421 43 ]

Dua elemen ini secara umum menghasilkan group (bahwa, setiap elemen adalah kombinasi beberapa ρ dan ∅). Jika D4 ditampilkan dengan cara ini, kita katakan bahwa D4 adalah sebuah subgroup dari S4.

NOTASI CYCLEDisini ada notasi umum lainnya yang bisa digunakan untuk menyatakan permutasi. Ini disebut notasi cycle dan pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan besar asal Perancis yang bernama Cauchy pada tahun 1815. Notasi cycle memiliki teori yang bermanfaat pada sifat-sifat yang penting darisebuah permutasi yang digambarkan ketika notasi cycle digunakan. Sebagai ilustrasi dari notasi cycle, mari lihat permutasi di bawah ini :

64

Page 65: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

α=[12 3 4 5 621 4 6 5 3]

Nilai permutasi di atas dapat ditampilkan secara skematis seperti dibawah ini :

Meskipun memuaskan secara matematis, seperti gambar diagram-diagram yang susah. Daripada, kita meninggalkan tanda panah dan dengan mudah dituliskan (1,2)(3,4,6)(5). Contoh kedua,menghasilkan

β=[12 3 4 5 653 1 6 2 4]

Dalam notasi cycleβ dapat dituliskan (2, 3, 1, 5)(6, 4) atau (4, 6)(3, 1, 5, 2), karena keduanya menggambarkan fungsi dariβ .Sebuah gambaran dari barisan (a1, a2…. , am) disebut panjang cycle m atau perputaran m cycle.

Suatu perkalian cycle-cycle dapat diperkenalkan dengan memikirkan cycle sebagai permutasi yang menunjukkan setiap simbol tidak muncul didalam

65

Page 66: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

cycle. Dengan demikian, cycle (4, 6) dapat dianggap sebagai perwakilan dari permutasi

[123 456123 654 ].

Dengan cara ini, kita dapat mengalikan cycle-cycle dengan memikirkan perkalian ini sebagai permutasi-permutasi yang diberikan dalam pola barisan. Coba lihat contoh dari S8. Misalkan α = (13)(27)(456)(8) dan β = (1237)(648)(5). (jika domain terdiri dari bilangan bulat satu digit, itu adalah praktek yang umum untuk menghilangkan koma antara digit-digit). Apakahα β merupakan bentuk cycle? Tentu saja,orang bisa mengatakan bahwa α β = (13)(27)(456)(8)(1237)(648)(5),tetapi pada umumnya yang lebih diinginkan untuk menyatakan permutasi dalam bentuk disjoint cycle.(yaitu, berbagai cycle-cycle yang tidak memiliki nomor yang sama ).Perlu diingat bahwa komposisi fungsi dilakukan dari kanan ke kiri dan bahwa setiap cycle yang tidak mengandung simbol menentukan simbol, kita amati bahwa : (5) menentukan 1; (648) menentukan 1; (1237) mengirimkan 1 ke 2; (8) menentukan 2; (456) menentukan 2; (27) mengirimkan 2 ke 7; dan (13) menentukan 7. Sehingga efek jaring dari αβ adalahdengan mengirimkan 1 ke 7. Dengan demikian kita mulai αβ = (17 ...) … . Sekarang, untuk mengulangi seluruh proses dimulai dengan 7, kita mempunyai, cycle dengan cycle (pemutaran), dari kanan ke kiri, 7 → 7 → 7 → 1 → 1 → 1 → 3, sehingga αβ = (173 ...) … . Akhirnya, kita mempunyai αβ = (1732)(48)(56). Hal yang penting untuk diingat ketika mengalikan cycle-cycle adalah 'terus bergerak' dari satu cycle dan selanjutnya dari kanan ke kiri. (Peringatan: beberapa penulis menuliskan cycle dari kiri ke kanan. Ketika membaca teks lain, pastikan untuk menentukan

66

Page 67: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

konvensi yang digunakan.)Untuk memastikan bahwa Anda memahami bagaimana untuk beralih dari satu notasi ke notasi lain dan bagaimana untuk mengalikanpermutasi, kita akan melakukan satu contoh lagi untuk masing-masing.

Jika urutan notasi untuk α dan β, masing-masing adalah

[123 45213 54 ] dan [12345

541 23 ]Kemudian, dalam notasi cycle, α = (12)(3)(45), β = (153)(24), dan αβ = (12)(3)(45)(153)(24).

Untuk menempatkan αβ dalam bentuk disjoint cycle amati bahwa (24) menentukan 1; (153) mengirimkan 1 ke 4.kemudian dengan cara ini. Kemudian dengan cara ini kita mendapatkan αβ = (14)(253).

Seseorang dapat mengkonversi αβ kembali kebentuk susunan tanpa mengubah setiap cycle dari αβ sampai ke bentuk susunan yang hanya mengamati (14) berarti 1 untuk 4 dan 4 untuk 1; (253) yang berarti 2→5,5→3,3→2.

Yang terakhir komentar tentang notasi cycle : matematikawan memilih untuk tidak menulis cycle-cycle yang hanya memiliki satu entry . Dalam kasus ini, dapat dipahami bahwa setiap elemen yang hilang dipetakan ke dirinya sendiri. Dengan ketentuan ini, permutasi 𝛼 di atas dapat ditulis sebagai (12)(45). Yang sama dengan

α¿ [1 23 4 53 24 1 5]

Dapat ditulis α = (134). Tentunya identitas permutasi hanya terdiri dari cycle-cycle dengan satu entry,jadi kita tidak bisa menghilangkan

67

Page 68: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

semua! Dalam hal ini seseorang biasanya menulis hanya satu cycle. Sebagai contoh,

ε=[1 23 4 51 23 4 5]

Dapat ditulis ε = (5) atau ε = (1). Perlu diingat bahwaelemen yang hilang dipetakan ke dalam elemen itu sendiri

68

Page 69: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

SIFAT PERMUTASI

Kita sekarang siap untuk menyatakan beberapa theorma tentang permutasi dan siklik. Bukti dari teorema pertama adalah tersirat dalam pembahasan kita tentang permutasi di bagian siklik.Teorema 5.1 Produk Disjoint Siklik

Setiap Permutasi dari himpunan terbatas dapat ditulis sebagai siklik atau sebagai produk dari siklik menguraikan.BUKTI. α menjadi permutation = {1,2,3 , ……, n }. Untuk menulis siklik disjoint, kita memulai dengan memilih anggota A, katakan a1, dan biarkan

a2 = α ¿ , (a3=α ¿

dan seterusnya, sampai kita dapatkan α 1= α m(a1) untuk beberapa m. Kita tahu ada beberapa karena deretan a1, α ¿), α 2 (a1 ) , … harus tidak berhingga, jadi pada akhirnya terjadi penglangan, katakan, α i (a1 )=α j (a1 ), untuk i dan j dengan i < j. Kemudian a1= α m(a1), dimana m = j – i. Dan kita sebut hubungan diantara a1 , a2 , a3 , … ..am sepertiα=(a¿¿1 , a2 , a3 , ….. am)…¿

69

Page 70: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Tiga titik pada akhir barisan menunjukan kemungkinan tidak sampai habis, dalam kasus seperti ini, hanya memilih element dari b1=α k (b1) untuk beberapa k. Siklik baru tidak akan memiliki unsur yang sama dengan siklik sebelumnya yang dibangun. Kalau begitu, lalu α i (a1 )=α j (a1 ) untuk di i dan j. Tapi kemudian α i− j (a1 )=b1dan sampai b1=α t untuk t. Yang bertentangan dengan cara b1 dipilih. Sampai kita mendapatkan semua elemen A, permutasi akan terlihat seperti

a=¿

Dengan cara ini, kita melihat untuk setiap permutasi dapat ditulis sebagai produk siklik disjoint.Teorema 5.2 Menguraikan Siklus

Jika dua buah siklik α=¿ dan b=(b1 , b2 , b3 , …..bn ) tidak memiliki isi yang sama, kemudian αβ=βα.

BUKTI. Untuk pasti, kami memisalkan kira-kira agar α dan β dari permutasi S = {a1 , a2, a3, … .. am, (b1 ,b2 , b3 , … .. bn ) , c1, c2 ,c3 , … ..ck }

70

Page 71: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Dimana c’s anggota S yang tersisa dari α dan β. Untuk membuktikan αβ=βα, kita harus tunjukan (αβ ) ( x )=(βα ) ( x ) untuk semua x di S. Jika x adalah satu a elemen, katakan a i, kemudian

(αβ ) (ai )=α (β (ai ))=α (ai )=ai+1

Kami tafsirkan a i+1 sebagaia i jikai=m

¿

Karenanya, fungsi dari αβ dan βα sepakati di dalam eleman. Argumen yang mirip menunjukan bahwa αβ dan βα sedang itu b elemen sama baiknya. Akhirnya, katakan x adalah elemen dari c, atau c1. Kemudian di dapatkan

(αβ ) (ci )=α ( β (c i ))=α (c i)=c i

(βα ) (ci )=β (α (c i ))=β (ci )=a i

Dalam contoh perkalian siklik, kita menunjukan produk (1 3) (2 7) (4 5 6) (8) (1 2 3 4) (6 4 8) (5) dapat ditulis dengan (1 7 3 2) (4 8) (5 6). Apakah ekonomi dalam rumus keuntungan hanya untuk menulis permutasi dalam bentuk menguraikan siklus? Tidak. Yang nantinya akan ditunjukan dalam theorema selanjutnya, order dari permutasi.

71

Page 72: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Teorema 5.3 Order Suatu Permutasi (Ruffini-1799)

Order suatu permutasi suatu yang ditulis dalam di set terbatas memisah format siklik adalah yang umum yang terakhir berbagai panjang siklik.

BUKTI. Pertama, mengamati suatu siklus panjangnya n yang mempunyai order n. (memverifikasi sendiri). Kemudian, memisalkan α dan β dengan memisahkan siklus panjangnya m dan n, dan membiarkan k, maka jadilah yang umum yang mengalikan berbagai m dan n. Itu mengikuti dari Teorema 4.1 yang kedua-duanya α k dan βk adalah permutasi identitas ε dan, karena m dan n berubah, (αβ )k= α k βk adalah juga identitas. kemudian, kita mengetahui dengan kesimpulan ke Teorema 4.1 (α k=e menyiratkan bahwa suatu membagi k) bahwa order αβ-membiarkan kita menyebutkannya t-harus membagi k. Akan tetapi (αβ )t=α t β t=ε, sedemikian sehingga α t

=β−t. Bagaimanapun, itu harus jelas bahwa jika α danβ tidak punya simbol, umum yang sama adalah benar untuk α t danβ−t, karena peningkatan suatu siklus bagi suatu kuasa tidak memperkenalkan lambang baru. Tetapi, jika α t dan β−t adalah sama dan tidak punya simbol, mereka umum

72

Page 73: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

harus kedua-duanya jadi akan menjadi identitas, sebab tiap-tiap lambang didalam α t ditetapkan, perbaiki oleh β−t dan sebaliknya (tidak ingat bahwa suatu lambang muncul adalah suatu permutasi ditetapkan dan diperbaiki oleh permutasi). Mengikuti itu, kemudian, itu kedua-duanya m dan n harus membagi t. Ini berarti k, paling sedikit itu yang umum berbagai m dan n, dibagi t juga. menunjukkan ini bahwa k= t.Dengan begitu jauh, kita sudah membuktikan bahwa teorema adalah benar kasus di mana permutasi adalah siklik tunggal atau suatu produk dua memisah siklik. Kasus yang umum yang menyertakan lebih dari dua siklik dapat ditangani dengan suatu cara yang sepadan.Ketika kita akan segera melihat, yang terutama sekali macam penting permutasi adalah suatu siklik panjangnya 2-itu adalah, suatu permutasi tentang format (ab). Banyak orang pengarang menyebutkan permutasi ini perubahan, karena efek ab) adalah untuk mempertukarkan atau mengubah urutan suatu a dan b.Teorema 5.4 Produk 2 Siklus

73

Page 74: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Tiap-tiap permutasi di (dalam) n>1,adalah suatu produk 2-siklus.

BUKTI. Pertama, catat bahwa identitas itu dapat dinyatakan ketika (1 2)(1 2), dan ini merupakan suatu produk 2-siklus. Dengan Teorema 5.1, kita mengetahui bahwa tiap-tiap permutasi dapat ditulis dalam format

(a1a2...ak)(b1b2...bt)...(c1c2...cs).suatu perhitungan langsung menunjukkan bahwa ini adalah sama sebagai(a1ak)(a1ak-1)...(a1a2)(b1bt)(b1bt-1)...(b1b2)(c1cs)(c1cs-1)...(c1c2)Ini tanda bukti.Penghapusan yang pertama di dalam contoh yang berikut mempertunjukkan teknik ini. Produk lain di dalam contoh 4 pertunjukan bahwa penghapusan suatu permutasi ke dalam suatu produk 2-siklus tidaklah unik.CONTOH 4

(1 2 3 4 5) = (1 5) (1 4) (1 3) (1 2)= (4 5) (5 3) (2 5) (1 5)= (2 1) (2 5) (2 4) (2 3)= (5 4) (5 2) (2 1) (2 5) (2 3) (1

3)Contoh 4 genap pertunjukan bahwa banyaknya 2-siklus boleh bertukar-tukar

74

Page 75: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

dari satu penghapusan kepada yang berikutnya. Teorema 5.5 (dalam kaitan dengan Cauchy) mengatakan bagaimapun itu ada satu aspek suatu penghilangan yang tidak pernah bervariasi. Kita mengisolasikan suatu spesial kasus Teorema 5.5 sebagai lemma.LEMMA

Jika ε =β1 β2...βr, dimana β ’s adalah 2-siklik, kemudian r adalah

BUKTI. Dengan jelas, r ≠1, karena suatu 2-siklus bukanlah identitas. Jika r = 2,kita adalah yang dilaksanakan.jadi,kita mengira bahwa r > 2 dan kita berproses dengan induksi. Karena (i j) = (j i),hasil β1 β2 dapat dinyatakan salah satu dari format yang berikut menunjukkan pada sisi kiri:

(a b)(a b) = ε(a b)(a c) = (b c)(a b)(a b)(c d) = (c d)(a b)(a b)(b c) = (b c)(a c).

Jika kasus yang pertama terjadi, kita boleh menghapus β1 β2 dari produksi untuk memperoleh ε = β3...βr dan oleh karena itu, dengan prinsip Induksi Matematika, r-2 yang kedua menjadi genap. Di dalam lain tiga kasus, kita menggantikan format β1 β2 pada sisi kiri oleh counterpantnya pada sisi

75

Page 76: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

kanan untuk memperoleh suatu produksi baru r 2-siklik itu masih identitas, hanyalah dimana kejadian pertama bilangan bulat adalah di dalam yang kedua 2-siklik produk sebagai ganti yang dulu. Kita sekarang mengulangi prosedur itu hanya uraikan dengan β2 β3, dan, sama seperti sebelunnya,kita memperoleh suatu produk (r-2) 2-siklus sepadan dengan identitas itu atau suatu produksi baru r 2-siklik, di mana kejadian yang pertama suatu adalah di (dalam) yang ketiga 2-siklik. Melanjutkan proses, kita ini harus memperoleh suatu produk (r-2) 2-beredar sama kepada identitas, sebab jika tidak kita mempunyai suatu produk sepadan dengan identitas dimana kejadian yang pertama bilangan bulat adalah didalam 2-siklik yang terakhir, dan produk seperti itu tidak menentukan suatu sedangkan mengerjakan identitas. Karenanya, dengan induksi, r-2 bahkan dan r bahkan juga.Teorema 5.5 Selalu Genap atau Selalu Ganjil

Jika pada permutasi α dapaat dinyatakan sebagai perkalian yang berjumlah 2 siklik, maka setiap penguraian α akan menjadi perkalian dari 2 siklik yang bahkan harus memiliki jumlah 2 siklik. Seperti yang ada di bawah; jika

76

Page 77: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

α=β1 β2 …βr dan α=γ1 γ2 …γs

dimana β dan γ adalah 2 siklik, maka r dan s keduanya genap atau ganjil.

BUKTI. Amati bahwaβ1β2 … βr = γ1γ2 … γs menyiratkanε=γ1 γ2 … γs βr-1 ... β2-1β1-1

= γ1 γ2 … γs βr … β2 β1,karena 2 siklik adalah inversnya sendiri. Demikian, seperti yang di atas menjamin bahwa s + r adalah genap. Sehingga terjadi r dan s keduanya adalah genap dan ganjil.DEFINISI: Permutasi Genap dan Ganjil

Sebuah permutasi yang dapat dinyatakan sebagai perkalian, maka jumlah 2 siklik disebut permutasi genap. Sebuah permutasi yang dapat dinyatakan sebagai perkalian dari 2 siklik yang ganjil, maka disebut permutasi ganjil.Teorema 5.4 dan 5.5 menunjukkan bahwa setiap permutasi dapat jelas diklasifikasikan sebagai genap atau ganjil, tetapi tidak untuk keduanya. Pada saat ini adalah wajar untuk menanyakan apa

77

Page 78: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

signifikasi pengamatan ini. Jawabannya terdapat pada Teorema 5.6.Teorema 5.6 Permutasi Genap Membentuk Group

Himpunan permutasi genap di Sn membentuk subgroup Sn.

BUKTI. Bukti ini diserahkan kepada pembaca.Pada permutasi genap subgroup dalam Sn akan jadi sering muncul yang kita berikan nama khusus dan notasi.DEFINISI: Group Bertukar dari Tingkat n

Group permutasi genap n adalah simbol yang dilambangkan oleh An dan disebut group bertukar dari tingkat n.

Hasil berikutnya menunjukkan bahwa tepat setengah dari unsure-unsur Sn (n > 1) menjadi permutasi genap.Teorema 5.7

Untuk n > 1, An adalah order yang mempunyai n !

2

BUKTI.

78

Page 79: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Untuk setiap permutasi ganjil σ , permutasi (12)σ adalah permutasi genap. Demikian, setidaknya ada sebagai permutasi ganjil yang banyak karena ada yang aneh. Di sisi lain, untuk setiap permutasi genap ∅ , permutasi (12)∅ permutasi ganjil. Jadi, setidaknya ada banyak maupun sedikit pada permutasi ganjil sebagai permutasi genap. Itu terjadi karena sebuah angka sama dari permutasi genap dan ganjil. Karena │Sn│= n!, sedangkan yang kita miliki │An│= n!

2 .

Tabel 5.1 Group A4 bertukar dengan permutasi Genap dari {1, 2, 3, 4}(Dari tabel ini, permutasi A4 ditujukan sebagai α1, α2, …, α12dan entri k di dalam table mewakili αk. Misalnya, α3α8 = α6.)

α1

α2

α3

α4

α5

α6

α7

α8

α9

α10

α11

α12

α1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

α2

2 1 4 3 6 5 8 7 10

9 12

11

α3

3 4 1 2 7 8 5 6 11

12

9 10

α4

4 3 2 1 8 7 6 5 12

11

10

9

α 5 8 6 7 9 1 1 1 1 4 2 3

79

Page 80: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

5 2 0α6

6 7 5 8 10

11

9 12

2 3 1 4

α7

7 6 8 5 11

10

12

9 3 2 4 1

α8

8 5 7 6 12

9 11

10

4 1 3 2

α9

9 11

12

10

1 3 4 2 5 7 8 6

α10

10

12

11

9 2 4 3 1 6 8 7 5

α11

11

9 10

12

3 1 2 4 7 5 6 8

α12

12

10

9 11

4 2 1 3 8 6 5 7

Ket:α1 = (1) α2 = (1 2) (3 4)α3 = (1 3) (2 4) α4 = (1 4) (2 3)α5 = (1 2 3) α6 = (2 4 3)α7 = (1 4 2) α8 = (1 3 4)α9 = (1 3 2) α10 = (1 4 3)α11 = (2 3 4) α12 = (1 2 4)Group bertukar merupakan contoh yang paling penting dari group. Group A4 dan A5

80

Page 81: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

akan muncul beberapa kali di bab berikutnya. Khususnya A5 yang memiliki signifikansi historis yang besar. Interpretasi geometris A4 diberikan dalam contoh 5, dan tabel perkalian A4 diberikan pada tabel 5.1.CONTOH5.Rotasi Bidang Empat12rotasidarisebuahbidang empat yang biasadapatdengan mudahdigambarkandenganunsur A4. BarisatasGambar 5.1menggambarkanidentitasdantiga1800

"ujung" tentangsumburotasi yang bergabung dengantitik tengahdariduasisi. Bariskeduaterdiridari1200putaran"wajah" tentangsumbubergabungsimpulkepusatwajahyang berlawanan. Barisketiga terdiridari1200(atau 2400) rotasi"wajah". Pemberitahuanbahwaempatrotasipada bariskeduadapatdiperolehdarimereka yangdibarispertama olehperkalian dari kiriempatdibarispertama olehrotasi(1 2 3), sedangkanmerekadibaristiga puluhdapatdiperolehdariorang-orangdi barisketigadarikiri-mengalikan yang ada dibarispertamaoleh(1 2 3).MolekuldenganrumuskimiadariAB4, seperti metana(CH 4) dankarbontetraklorida(CCl4),

81

Page 82: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

telahA4sebagaikelompoksimetrimereka. Gambar5.2menunjukkandarisatumolekultersebut.Banyak permainan dan puzzle dapat di analisis menggunakan permutasi.

82

Page 83: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

CONTOH6(Loren Larson) SebuahPuzzlePiringan yang BergeserMempertimbangkan puzzle yang ditunjukkandi bawah(ruang di tengahadalahkosong)

Denganmenggeserpiringansepanjanggarisditunjukkandarisatuposisi ke posisi laintanpamengangkatataumelompat,

83

Page 84: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

bisakitamemdapatkan danmengemukakan tatasusunannya?

Untukmenjawabpertanyaan inikitamelihatposisisepertinomorpadagambarpertamadi atasdan mempertimbangkandualangkahdasar: (i) memutarsemuapiringan pada satuposisisearah dengan jarum jam(ditunjukan dengan r), dan(ii) piringandiposisi1pindah keposisi3, piringanpadaposisi2bergerakkeposisi1, danposisipiringan3bergerakkeposisi2(ditunjukan dengan s). Dalampermutasi, kamimemilikir=(1 2 3 4 5 6) dans=(1 3 2). Jelas, himpunansemuakemungkinanbergerakdalamsubgroupdariS6dihasilkanolehrdans(yaitu, semuarangkaianrdans's). Kitadimintauntukmengekspresikan(2 3 4) dalamhalrdans.Sebuah judulpercobaan mengungkapkanbahwa(234) =rs2r-1.

84

Page 85: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Disisilain,tidak mungkinuntukcepat(12) dalamhalrdan s.Halmemukautentangmasalahpermutasiadalah bahwaadasoftwareperpaketyangbisamenjawabbanyak pertanyaanlangsung. Dalam kasusini, kamiakanmemintakomputeruntukmenentukanjika(2 3 4) adalahyang dapat dinyatakandalamjangka wakturdans, dan jikademikian, bagaimana. Misalnya, dengansoftwareGAP(lihat perangkat lunakyang disarankanpadaakhir babini)kitamenggunakanperintah:

gap ¿ G : = group simetri (6)gap ¿ r : = (1, 2, 3, 4, 5, 6); s : - (1, 3, 2)

gap ¿ K : = subgrup (G[r,s¿); gap ¿ faktorisasi (K(2, 3, 4));

Tigabaris pertamamenginformasikankomputerbahwa kelompokkitaadalahsubkelompokS6dihasilkanolehr=(1 2 3 4 5 6) dans=(1 3 2) sedangkanpermintaanbariskeempatyang(2 3 4) diungkapkandalamrdans.

85

Page 86: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

GAPdapatmenghitung43, 252, 003, 274, 489, 856, 000 (43+triliun) permutasikubusrubik's labelwajahparakubussepertiyang ditunjukkandi sini.

permutasikelompokkubusdihasilkannyarotasiberikutdarienamlapisan.Atas = (1, 3, 8, 6) (2, 5, 7, 4) (9, 33, 25, 17) (10, 34, 26, 18) (11, 35, 27, 19)Kiri = (9, 11, 16, 14) (10, 13, 15, 12) (1, 17, 41, 40) (4, 20, 44, 37) (6, 22, 46, 35)

86

Page 87: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Depan = (17, 19, 24, 22) (18, 21, 23, 20) (6, 25, 43, 16) (7, 28, 42, 13) (8, 30, 41, 11)Kanan = (25, 27, 32, 30) (26, 29, 31, 28) (3, 38, 43, 19) (5, 36, 45, 21) (8, 33, 48, 24)Samping = (33, 35, 40, 38) (34, 37, 39, 36) (3, 9, 46, 32) (2, 12, 47, 29) (1, 14, 48, 27)Bawah = (41, 43, 48, 46) (42, 45, 47, 44) (14, 22, 30, 38) (15, 23, 31, 39) (16, 24, 32, 40)A CHECK-DIGIT SCHE BASED ON D5

Pada tahun 1969 J. verhoeff membagi metode pemanfaatan grup dihedral beroeder 10 untuk mendeteksi semua digit unggal eror dan transposisi eror digit-digit yang berdekatan tanpa menghindari beberapa bilangan atau mengajukan karakter baru. Untuk menggambarkan metode permutasi ini = (0 1 5 8 9 4 2 7) (3 6)Dan grup dihedral berorder 10 yang digambarkan oleh table di bawah ini (disini kita menggunakan 0 sampai 4 untuk rotasi dan 5 sampai 9 untuk refleksi)

87

Page 88: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 1 2 3 4 0 6 7 8 9 52 2 3 4 0 1 7 8 9 5 63 3 4 0 1 2 8 9 5 6 74 4 0 1 2 3 9 5 6 7 85 5 9 8 7 6 0 4 3 2 16 6 5 9 8 7 1 0 4 3 27 7 6 5 9 8 2 1 0 4 38 8 7 6 5 9 3 2 1 0 49 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

IdeVerhoeff melihat digit 0 sampai 9 sebagai element dari grup D5 ,faktanya beberapa rangkaian digit a1 , a2… a(n−1) kami melampirkan cek digit an maka (a1) * ❑2(a2

) * ❑3(a3) * … * ❑n−1(an−1) * ❑n(an) = 0 (disini ❑2(x) = ((x)); ❑3(x) = (❑2(x)) dan sebagainya)Karena memiliki sifat

❑i(a) ≠❑i(b) jika a ≠ bPada tahun 1990 pemerintah jerman mulai menggunakan modifikasi dari skema cek digit Verhoeff untuk membubuhkan cek digit kedalam serial nomor pada bank jerman (mata uang dutces mark)

88

Page 89: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

Table selanjutnya memberikan nilai fungsi ❑i(j), baris disimbolkan oleh ❑i dan kolom disimbolkan oleh j

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 7 6 2 8 3 0 9 4❑2 5 8 0 3 7 9 6 1 4 2❑3 8 9 1 6 0 4 3 5 2 7❑4 9 4 5 3 1 2 6 8 7 0❑5 4 2 8 6 5 7 3 9 0 1❑6 2 7 9 3 8 0 6 4 1 5❑7 7 0 4 6 9 1 3 2 5 8❑8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9❑9 1 5 7 6 2 8 3 0 9 4❑10 5 8 0 3 7 9 6 1 4 2

ContohMata uang yang memiliki nomer serial AG8536827U dengan menggunakan table di bawah ini

A D G K L N S U Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

89

Page 90: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

(0) * ❑2(2) * ❑2(2) *❑3(8) * ❑4(5) * ❑5(3) * ❑6(6) * ❑7(8) * ❑8(2) * ❑9(7) * ❑10(7) * 7 = 1 * 0 * 2 * 2 * 6 * 6 * 5 * 2 * 0 * 1 * 7 = 0Ilustrasikan bagaimana menggunakan table perkalian dihedral 51 * 0 * 2 * 2 = (1 * 0) * 2 * 2 = 1 * 2 * 2 = (1 * 2) * 2 = 3 * 2 = 0SOAL LATIHAN (Hal. 107-110)

1.Find the order of each of the following permutations.

a .(1 4 )=(4 1)b .(1 4 7 )=(1 7 )(1 4)

c .(1 4 7 6 2 )=(12 ) (1 6 ) (1 7 )(1 4)

3.What is the order of each of the following permutations.

a .(1 2 4 ) (357 )

[1 2 32 4 5

4 5 61 7 6

73 ]

b .(1 2 4 )(3 5 6)

[1 2 32 4 5

4 5 61 6 3]

c .(1 2 4 ) (35 )

90

Page 91: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

[1 2 32 4 5

4 51 1]

d. (1 2 4)(3 5 7 8)

[1 2 32 4 5

4 5 61 7 6

7 88 3 ]

4 .What is the order of each of the following permutations?

a .[1 2 32 1 5

4 5 64 6 3]

= (1 2 ) (35 6 )(4)

b .[1 2 37 6 1

4 5 62 3 4

75]

=(1 7 53 )(26 4)

8. What is the maximum order of any element in A10 ?10!2=5 .9!

40. Prove that Sn is non-abelian for all n ≥3.S3 = 3! = 66 fungsi (α , β , ε , α2 , αβ , βα)αβ ≠ βα

91

Page 92: kaliwedilor.files.wordpress.com  · Web viewDefinisi dan Contoh Grup. Definisi Operasi . Biner. Misalkan G adalah suatu himpunan. Operasi . biner. pada himpunan G adalah suatu fungsi

[a1 a2 a3

b1 b2 b3][b1 b2 b3

a1 a2 a3]≠ [b1 b2 b3

a1 a2 a3] [a1 a2 a3

b1 b2 b3](b1 b2 b3 )≠ (a1 a2 a3 ) non-abelian

92