Wieczorek K.a. - Zadania z Logiki

Embed Size (px)

Citation preview

1.1. Zapisz schemat zdania: a) Jeeli nie sprbuj, to nie wygram. b) Nie jest prawd, e jeli sprbuj, to wygram. c) Nie jest prawd, e jeli nie wygraem, to nie sprbowaem. d) Jeeli Mieczysaw owiadczy si Karolinie, to jest lepy lub zakochany. e) Jeeli Karolina wyjdzie za Mieczysawa, a jej plan si powiedzie, to zostanie bogat wdow. f) Karolina przyjmie owiadczyny Mieczysawa i wyjdzie za niego wtedy i tylko wtedy, gdy Mieczysaw zapisze jej dom lub podaruje dwa samochody. g) Jeeli Mieczysaw nie rozwiedzie si z on i nie oeni z Karolin, to zachowa majtek i szacunek rodziny, ale nie bdzie szczliwy. h) Tadeusz nie bdzie zadowolony, jeli wrci wczeniej i pozna ca prawd. i) Jeeli Tadeusz nie wrci wczeniej, to o ile ssiedzi bd dyskretni, Tadeusz o niczym si nie dowie. j) Tadeusz zabierze synowi kieszonkowe i nie pozwoli korzysta z komputera, jeli zobaczy jego wiadectwo. k) Nie jest prawd, e jeli przeczytam podrcznik i nie bd opuszcza zaj, to zdam egzamin. l) Jeeli nie przygotuj si do egzaminu, to albo bd mia szczcie i wylosuj atwe pytania, albo nie bd mia szczcia i nie zdam egzaminu. ) Jeli pjd na imprez, to jutro bdzie bolaa mnie gowa i nie naucz si logiki, a jeli nie naucz si logiki, to nie zalicz poniedziakowego kolokwium; ale jeli nie pjd na imprez, to bd cay czas myla, co straciem i te nie naucz si logiki. Zadania 1.2, 1.3 i 1.4 maj na celu utrwalenie w pamici tabelek zero-jedynkowych oraz wyrobienie umiejtnoci sprawnego posugiwania si nimi. 1.2. Tam gdzie jest to moliwe, okrel warto caego zdania o podanym schemacie, wiedzc, e p = 1. a) p q b) p q c) p q d) p q e) p ~ p f) (p q) p g) (p q) p h) p ~ (p q) i) p (~ p q) j) (~ p q) ~ p k) (p ~ p) (q p) l) ~ [(p q) p]

1

1.3. Tam gdzie jest to moliwe, okrel warto caego zdania w przykadach z poprzedniego zadania, wiedzc, e p = 0

1.4. Tam gdzie jest to moliwe okrel warto zmiennej q, wiedzc e cae zdanie o podanym schemacie jest prawdziwe, natomiast p = 0. a) p q b) q p c) p q d) ~ q ~ p e) ~ (p q) f) ~ (p q) g) ~ p (p q) h) (p ~ q) ~ p i) q ~ (p q)

1.5. Sprawd, czy formua jest tautologi metod wszystkich moliwych podstawie. Nastpnie sprawd to samo przy pomocy metody skrconej. a) p ( p q) b) (p q) (p q) c) (p q) (p q) d) (p q) (~ p q) e) (p ~ q) ~ ( p q) f) (p q) [(p q) q] g) [(p q) q] (p q) h) (p q) (~ q ~ p) i) (~ p q) (q p)

Porwnaj wyniki otrzymane obydwiema metodami. Jeeli jeszcze nie cakiem rozumiesz ide dziaania metody skrconej, zwr uwag, na nastpujce fakty. W przypadku formu, ktre okazay si zawsze prawdziwe, gdy sprawdzae je zwyk metod, zaoenie, e mog okaza si faszywe (przy metodzie skrconej) prowadzi do sprzecznoci. Sprzeczno ta wskazuje, e formua nie moe sta si schematem zdania faszywego, a wic musi by zawsze prawdziwa. W obu metodach ten sam fakt zosta wykazany rnymi sposobami. Jeli przy sprawdzaniu zwyk metod, okazywao si, e formua moe okaza si schematem zdania faszywego przy pewnym konkretnym podstawieniu, to badajc formu metod skrcon, otrzymujemy to wanie podstawienie jako to, przy ktrym nie ma sprzecznoci. 1.6. Sprawd, czy formua jest kontrtautologi metod wszystkich moliwych podstawie. Nastpnie sprawd to samo przy pomocy metody skrconej. a) (p q) (p ~ q) b) (p q) ( p ~ q) c) p ~ ( p q) d) ~ [ p (p ~ q)] e) ~ (p q) (~ p q) f) (p q) ~ (p q)

Podobnie jak w poprzednim zadaniu porwnaj wyniki otrzymane obydwiema metodami i zauwa wystpujce prawidowoci. 2

1.7. Sprawd skrcon metod, czy formua jest tautologi. a) [(p ~ q) (q ~ r)] r b) [p (q r)] [~ q (p ~ r)] c) (p q) {(p r) [(p (q r)]} d) [(p q) ~ r] [~ (r ~ p) ~ q] e) {[p (q r)] (r s)} [(q ~ r) ~ s] f) {[(p q) r] ~ r} (~ p ~ q) g) [(q r) p] [(p q) (r ~ p)] h) [~ (~ p ~ r) ~ q] [(~ p q) ~ r] i) [(~ q p) (p ~ r)] [(q r) ~ p] j) ~ (p q) {(~ p r) [p (~ q r)]} k) (q ~ p) {(~ r p) [~ p (q r)]} l) [(p q) (q r)] [ ~ r (q r)] ) {[p (q ~ r)] [q (p r)]} (p r) m) [(p ~ r) ~ q] [(p q) r] n) [p (~ q r)] [~ (~ p q) ( r ~ p)] o) (p q) [(r p) (r q)] p) [(p ~ s) q] {[(r s) ~ q] (p ~ r)} 1.8. Sprawd skrcon metod, czy formua jest kontrtautologi. a) ~ [p (~ q r)] (p r) b) (p q) {(~ q ~ r) ~ [(p r) q]} c) ~ {[~ p (q r)] [ r (p q)]} d) [~ p (q r)] ~ [(p q) (~ p r)] e) [p ~ (~ q ~ r)] ~ [~ p (q r)] 1.9. Ktre z poniszych zda s prawdami logicznymi? a) Jzef zostanie prezesem lub nie zostanie prezesem. b) Albo Jzef bdzie uczciwy i nie zostanie prezesem albo jeli Jzef nie bdzie uczciwy to zostanie prezesem.

3

c) Jeeli Jzef zostanie prezesem wtedy i tylko wtedy gdy nie bdzie uczciwy, to nie jest prawd, e zarazem Jzef bdzie uczciwy i zostanie prezesem. d) Jeeli Jzef zostanie prezesem wtedy i tylko wtedy gdy nie bdzie uczciwy, to albo Jzef bdzie uczciwy, albo nie zostanie prezesem. e) Jeeli Jzef zostanie prezesem wtedy i tylko wtedy gdy zwolni Jerzego lub Mieczysawa to jeli Jzef nie zwolni Jerzego to nie zostanie prezesem. f) Jeeli Jzef zostanie prezesem wtedy i tylko wtedy gdy zwolni Jerzego lub Mieczysawa to jeli Jzef zwolni Jerzego to zostanie prezesem. 1.10. Czy ze zdania A wynika logicznie zdanie B? a) A: Jeli w baku nie ma benzyny, to nie mona uruchomi silnika. B: Jeli w baku jest benzyna, to mona uruchomi silnik. b) A: Jeli w baku nie ma benzyny, to nie mona uruchomi silnika. B: Jeli mona uruchomi silnik, to w baku jest benzyna. c) A: Jeli przekrocz prdko i zatrzyma mnie policja, to zapac mandat. B: Jeli nie przekrocz prdkoci, a policja mnie zatrzyma, to nie zapac mandatu. d) A: Jeli zatrzyma mnie policja, to albo znajd przekonujce wytumaczenie, albo zapac mandat. B: Jeli zatrzyma mnie policja, to jeli nie znajd przekonujcego wytumaczenia, to zapac mandat. 1.11. Ktre z poniszych zda wynika ze zdania Jeli wiadek mwi prawd, to oskarony nie jest winny. a) Jeli wiadek nie mwi prawdy, to oskarony jest winny. b) wiadek nie mwi prawdy lub oskarony nie jest winny. c) Oskarony jest winny lub wiadek nie mwi prawdy. d) Jeli oskarony jest winny, to wiadek nie mwi prawdy. e) Nie jest prawd, e zarazem: oskarony jest winny, a wiadek mwi prawd. 1.12. Ktre z poniszych zda wynika ze zdania Ja idzie do szkoy wtedy i tylko wtedy, gdy jest brzydka pogoda i nie ma matematyki. a) Jeli jest brzydka pogoda, a w szkole jest matematyka, to Ja nie idzie do szkoy. b) Jeli nie ma matematyki, to albo pogoda jest brzydka albo Ja idzie do szkoy. c) O ile pogoda jest brzydka to jeli nie ma matematyki, to Ja idzie do szkoy. d) Albo pogoda jest brzydka, albo jeli jest matematyka, to Ja nie idzie do szkoy. 4

e) Jeli Ja nie idzie do szkoy, to jest matematyka. f) Jeli pogoda nie jest brzydka, to Jasiu nie idzie do szkoy. 1.13. Sprawd poprawno wnioskowania: a) Jeeli Kazimierz spotka Tadeusza, to wrci pno. Kazimierz nie spotka Tadeusza. Zatem Kazimierz nie wrci pno. b) Kazimierz by na zebraniu lub z kolegami w barze. Gdyby Kazimierz by z kolegami w barze, to nie wsta by dzi tak wczenie. Kazimierz wsta dzi wczenie. A zatem Kazimierz by na zebraniu. c) Jeli nie zwolnimy Mieczysawa, to atmosfera w firmie nie poprawi si. Jerzy zostanie w firmie wtedy i tylko wtedy, gdy atmosfera si poprawi. Jeli Jerzy nie zostanie w firmie, to odejd z nim najlepsi pracownicy. Zatem albo zwolnimy Mieczysawa, albo odejd najlepsi pracownicy. d) Jeeli zwolnimy Mieczysawa z funkcji prezesa, to przegramy dwa kolejne przetargi i stracimy poparcie zwizkw zawodowych. Jeli stracimy poparcie zwizkw zawodowych, to bdzie grozi nam strajk. Jeli przegramy dwa kolejne przetargi, to nie bdziemy w stanie spaci kredytw. Jeli nie bdziemy w stanie spaci kredytw lub bdzie grozi nam strajk to akcje firmy znacznie strac na wartoci. Zatem jeli zwolnimy Mieczysawa, to akcje firmy strac na wartoci. e) Prezesem moe by Jerzy lub Mieczysaw. Jeeli Mieczysaw pozostanie prezesem dostaniemy dotacje rzdowe i nie bdzie grozi nam bankructwo. Jeeli Jerzy zostanie prezesem, to nie dostaniemy rzdowych dotacji, ale za to zdobdziemy zaufanie na zachodnich rynkach. Zatem jeeli Jerzy nie zostanie prezesem, to nie zdobdziemy wprawdzie zaufania na zachodnich rynkach, ale nie bdzie grozi nam bankructwo.

5

ODPOWIEDZI: 1.1. a) ~ p ~ q, b) ~ (p q), c) ~ (~ p ~ q), d) p (q r), e) (p q) r, f) (p q) (r s), g) (~ p ~ q) [(r s) ~ t)], h) (p q) ~ r, i), ~ p (q ~ r), j) p (q ~ r), k) ~ [(p ~ q) r], l) ~ p [(q r) (~ q ~ s)], ) {[p (q ~ r)] (~ r ~ s)} [~ p (t ~ r)] 1.2. Warto caego zdania wynosi 1 w przypadkach: b), e), f), k); 0 w przypadkach: h), i), j), l). W pozostaych przypadkach wartoci zdania nie da si obliczy jest ona zalena od wartoci q. 1.3. Warto caego zdania wynosi 1 w przypadkach: c), e), f), g), j) ; 0 w przypadkach a), h) l). W pozostaych przypadkach wartoci zdania nie da si obliczy jest ona zalena od wartoci q. 1.4. q = 1 w przypadkach g), i) ; q = 0 przypadkach b), c), e), h). W pozostaych przypadkach wartoci q nie da si obliczy 1.5. Tautologiami s formuy: b), d), e), f), h) 1.6. Kontrtautologiami s formuy: b), e), f) 1.7. Tautologiami s formuy: a), c), d), f), g), h), j), ), m), n) 1.8. Kontrtautologiami s formuy: b), d), e) 1.9. Schematy poszczeglnych zda przedstawiaj si nastpujco: a) p ~ p, b) (p ~ q) (~ p q), c) (p ~ q) ~ (q p), d) (p ~ q) (q ~ p), e) [p (q r)] (~ q ~ p), f) [p (q r)] (q p) Prawdami logicznymi s zdania: a), c), f) 1.10. Zdanie B wynika ze zdania A w przypadkach: b), d). 1.11. Z podanego zdania wynikaj logicznie zdania: b), d), e) 1.12. Z podanego zdania wynikaj logicznie zdania: a), c), d), f) 1.13. Poprawne s wnioskowania: b), c), d)

6

2.1. Napisz sylogistyczny schemat zdania; okrel co jest terminem S, a co P. a) Kady kij ma dwa koce. b) S takie kraje afrykaskie, ktre zniosy kar mierci. c) S takie postpki zupenie legalne, ktre nie s uczciwe. d) Pewien kraj afrykaski nie znis kary mierci. e) Nic co ludzkie, nie jest mi obce. f) Kada pliszka swj ogon chwali. g) Nikt, kto przynosi ze wieci, nie jest lubiany. h) Niekiedy nawet ten, kto nie zawini, powinien powiedzie przepraszam. i) Kto mieczem wojuje, ten od miecza ginie. j) Psychopata moe by czowiekiem o wybitnej inteligencji. k) Jeszcze si taki nie urodzi, ktry by wszystkim dogodzi. l) S tacy, ktrzy wtpi w uczciwo Jzefa. ) Nikt nie jest doskonay. m) Dentelmeni nigdy nie rozmawiaj o pienidzach. n) Cokolwiek da si powiedzie, da si powiedzie jasno. o) Wane lekcje nigdy nie s przyjemne w nauce. p) atwo odniesione zwycistwa nie zawsze daj du satysfakcj. q) Nie jest prawd, e adne wane odkrycie nie zostao dokonane przez przypadek. r) Nieprawda, e niektrzy eksperci nie s omylni. s) Nie kady teoretyk jest dobrym praktykiem. ) Nie jest prawd, e istniej ludzie nieomylni. t) Najtrudniejszy kilometr, to zawsze ten ostatni przed met u) Nieprawda, e istniej dowody na pozaziemskie pochodzenie czowieka, nie bdce spreparowanymi falsyfikatami. w) Tylko osoby penoletnie mog zosta posami na Sejm. z) Nie tylko dzieci wierz w bajki.

7

2.2. Zbadaj formaln poprawno nastpujcych sylogizmw (czyli to, czy ich wniosek wynika logicznie z przesanek). Na podstawie wasnej wiedzy i dowiadcze yciowych sprbuj oceni ich poprawno materialn. (Przed przystpieniem do sprawdzania sprbuj okreli poprawno wnioskowania intuicyjnie. Jeli wynik okae si niezgodny z oczekiwaniami, zastanw si, co byo tego powodem. Dwie najczciej wystpujce przyczyny to: (1) bdne uznanie sylogizmu za poprawny na podstawie faktu, e zarwno przesanki jak i wniosek wydaj si prawdziwe; tymczasem moe nie zachodzi midzy nimi wynikanie logiczne; (2) uznanie sylogizmu za formalnie niepoprawny, gdy bdny wydaje si jego wniosek; tymczasem nieprawdziwo wniosku spowodowana by moe faszywoci przesanki a nie bdnoci wnioskowania.) a) aden artysta nie jest abstynentem. Niektrzy logicy s artystami. Zatem niektrzy logicy nie s abstynentami. b) Kady stary kawaler jest nudny. Niektrzy starzy kawalerowie nie s filatelistami. Zatem niektrzy filatelici nie s nudni. c) Niektrzy wykadowcy nie s zarozumiali. Nikt zarozumiay nie jest powszechnie lubiany. Zatem niektrzy wykadowcy s powszechnie lubiani. d) Kady dobry kierowca jest dobrym kochankiem. Kady Polak jest dobrym kierowc. Zatem kady Polak jest dobrym kochankiem.

8

e) Kady, kto wierzy w obietnice wyborcze jest naiwny. Niektre dzieci s naiwne. Zatem niektre dzieci wierz w obietnice wyborcze. f) Niektrzy bogaci mczynie nie s inteligentni. Kady bogaty mczyzna ma powodzenie u kobiet. Zatem niektrzy mczyni, majcy powodzenie u kobiet, nie s inteligentni. g) Niektre pikne kobiety s zarozumiae. Wszystkie pikne kobiety maj powodzenie u mczyzn. Zatem wszystkie zarozumiae kobiety maj powodzenie u mczyzn. h) Niektrzy politycy s rasistami. aden rozsdny czowiek nie jest rasist. Zatem aden polityk nie jest rozsdnym czowiekiem. i) Niektre dobre samochody produkowane s w Japonii. Niektre produkowane w Japonii samochody s czarne. Zatem niektre dobre samochody s czarne. j) Kady czowiek majcy poczucie humoru ma dystans do siebie samego. aden czowiek majcy dystans do siebie samego nie jest mciwy. Zatem aden czowiek majcy poczucie humoru nie jest mciwy. k) Niektrzy oszuci s inteligentni. Kady inteligentny czowiek potrafi sprawia dobre wraenie. Zatem niektrzy oszuci potrafi sprawia dobre wraenie. l) adna mrwka nie jest soniem. adna aba nie jest mrwk. Zatem adna aba nie jest soniem. 2.3. Na podstawie podanej informacji o wartoci logicznej zdania, okrel, posugujc si kwadratem logicznym, wartoci pozostaych zda kategorycznych o tym samym podmiocie i orzeczniku. a) Prawdziwe jest zdanie: Kada wojna jest zem. b) Faszywe jest zdanie: Kady stary kawaler jest nudziarzem. c) Prawdziwe jest zdanie: aden czowiek nie jest doskonay. d) Faszywe jest zdanie: adna rzecz pikna nie jest tania. e) Prawdziwe jest zdanie: Niektre rzeczy przyjemne s szkodliwe. f) Faszywe jest zdanie: Niektrzy ludzie lubi krytyk pod swoim adresem. g) Prawdziwe jest zdanie: Niektrzy egzaminatorzy nie s wyrozumiali. h) Faszywe jest zdanie: Niektrzy eksperci nie s omylni. 2.4. Sprawd, co na mocy praw konwersji, obwersji, kontrapozycji i inwersji wynika z poniszych zda: a) Kady anarchista jest wrogiem pastwa. b) aden student nie jest analfabet. 9

c) Niektrzy ministrowie s biznesmenami. d) Niektrzy wykadowcy nie s geniuszami. e) Kady pies jest nie-wydr. f) Niektre zwierzta morskie s nie-rybami. g) Niektrzy nie-komunici nie s demokratami.

Odpowiedzi: 2.1. a) S a P; S kij, P co, co ma dwa koce. b) S i P; S kraj afrykaski, P kraj, ktry znis kar mierci. c) S o P; S postpek zupenie legalny, P postpek uczciwy. d) S o P; S kraj afrykaski, P kraj, ktry znis kar mierci. e) S e P; S rzecz ludzka, P rzecz, ktra jest mi obca. f) S a P; S pliszka, P co (kto), co (kto) swj ogon chwali. g) S e P; S czowiek przynoszcy ze wieci, P czowiek lubiany. h) S i P; S czowiek, ktry nie zawini, P czowiek, ktry powinien powiedzie przepraszam. i) S a P; S czowiek, ktry mieczem wojuje, P czowiek, ktry od miecza ginie. j) S i P; S psychopata, P czowiek o wybitnej inteligencji. k) S e P; S czowiek, ktry si (dotd) urodzi, P czowiek, ktry by wszystkim dogodzi. l) S i P; S czowiek, P czowiek, ktry wtpi w uczciwo Jzefa. ) S e P; S czowiek, P czowiek doskonay. m) S e P; S dentelmen, P osoba (kiedykolwiek) rozmawiajca o pienidzach. n) S a P; S co, co da si powiedzie, P co, co da si powiedzie jasno. o) S e P; S wana lekcja, P co, co jest przyjemne w nauce. p) S o P; S atwo odniesione zwycistwo, P rzecz dajca du satysfakcj. q) ~ S e P, czyli S i P; S wane odkrycie, P co dokonanego przez przypadek. r) ~ S o P, czyli S a P; S ekspert, P czowiek omylny. s) ~ S a P, czyli S o P; S teoretyk, P dobry praktyk. ) ~ S i P, czyli S e P; S czowiek, P istota nieomylna. t) S a P; S ostatni kilometr przed met, P kilometr najtrudniejszy (do pokonania). u) ~ S o P, czyli S a P; S dowd na pozaziemskie pochodzenie czowieka, P spreparowany falsyfikat. 10

w) S a P; S osoba mogca zosta posem na sejm, P osoba penoletnia. z) ~ S a P, czyli S o P; S czowiek wierzcy w bajki, P dziecko. 2.2. a) MeP SiM SoP b) MaP MoS SoP c) SoM MeP SiP d) MaP SaM SaP e) PaM SiM SiP f) MoP MaS SoP g) MiS MaP SaP h) SiM PeM 11

Sylogizm poprawny

Sylogizm niepoprawny

Sylogizm niepoprawny

Sylogizm poprawny

Sylogizm niepoprawny

Sylogizm poprawny

Sylogizm niepoprawny

SeP i) SiM MiP SiP j) SaM PeM SeP k) SiM MaP SiP l) MeP SeM SeP 2.3.

Sylogizm niepoprawny

Sylogizm niepoprawny

Sylogizm poprawny

Sylogizm poprawny

Sylogizm niepoprawny

a) Prawdziwe: Niektre wojny s zem (istniej wojny bdce zem). Faszywe: adna wojna nie jest zem; Niektre wojny nie s zem. b) Prawdziwe: Niektrzy starzy kawalerowie nie s nudziarzami. c) Prawdziwe: Niektrzy ludzie nie s doskonali (istniej ludzie, ktrzy nie s doskonali); Faszywe: Kady czowiek jest doskonay; Niektrzy ludzie s doskonali. d) Prawdziwe: Niektre rzeczy pikne s tanie. e) Faszywe: adna rzecz przyjemna nie jest szkodliwa. f) Prawdziwe: aden czowiek nie lubi krytyki pod swoim adresem; Niektrzy ludzie nie lubi krytyki pod swoim adresem (istniej ludzie, ktrzy nie lubi krytyki pod swoim adresem). Faszywe: Kady czowiek lubi krytyk pod swoim adresem. g) Faszywe: Kady egzaminator jest wyrozumiay. h) Prawdziwe: Kady ekspert jest omylny; Niektrzy eksperci s omylni (istniej eksperci omylni). Faszywe: aden ekspert nie jest omylny. 12

2.4. W nawiasach podane s numery wzorw, dziki ktrym otrzymano dane zdanie. a) Niektrzy wrogowie pastwa s anarchistami (3). aden anarchista nie jest nie-wrogiem pastwa (4). Nikt kto nie jest wrogiem pastwa nie jest anarchist (8). Kady kto nie jest wrogiem pastwa jest nie-anarchist (11). Niektrzy nie-anarchici nie s wrogami pastwa (14). Niektrzy nie-anarchici s nie-wrogami pastwa (17). b) aden analfabeta nie jest studentem (1). Kady student jest nie-analfabet (5). Niektrzy nie-analfabeci s studentami (9). Niektrzy nie-analfabeci nie s nie-studentami (12). Niektrzy nie-studenci s analfabetami (15). Niektrzy nie-studenci nie s nie-analfabetami (17). c) Niektrzy biznesmeni s ministrami (2). Niektrzy ministrowie nie s nie-biznesmenami (6). d) Niektrzy wykadowcy s nie-geniuszami (7). Niektrzy nie-geniusze s wykadowcami (10). Niektrzy nie-geniusze nie s nie-wykadowcami (13). e) Niektre nie-wydry s psami (3). aden pies nie jest wydr (4). adna wydra nie jest psem (8). Kada wydra jest nie-psem (11). Niektre nie-psy nie s nie-wydrami (14). Niektre nie-psy s wydrami (16). f) Niektre nie-ryby s zwierztami morskimi (2). Niektre zwierzta morskie nie s rybami (6). g) Niektrzy nie-komunici s nie-demokratami (7). Niektrzy nie-demokraci s nie-komunistami (10). Niektrzy nie-demokraci nie s komunistami (13).

13

3.1. Zapisz schemat zdania: a) Niektrzy studenci nie s orami. b) Nie kady bogacz jest skpcem. c) aden rzd nie jest wieczny. d) Niektre pikne kobiety nie s zarozumiae. e) Nie kady przystojny mczyzna jest inteligentny. f) Kady czowiek jest mczyzn lub kobiet. g) Nie tylko politycy s zodziejami. h) Nie kady kto jest bogaty jest inteligentny, chocia niektre osoby inteligentne s bogate. i) Wszyscy uczestnicy wycieczki taczyli, a niektrzy piewali. j) Kady palacz szkodzi sam sobie. k) Niektrzy politycy lekcewa wszystkich dziennikarzy. l) Kady student zaliczy jakie kolokwium. ) Niektre egzaminy zdaj wszyscy studenci. m) Niektrzy kierowcy nie zapacili adnego mandatu. n) Nie kady policjant ukara jakiego kierowc. o) Istniej muzycy, ktrych nie ceni aden krytyk. p) Niektre twierdzenia goszone s tylko przez recentywistw. q) Niektrzy nie lubi adnych zwierzt. r) Kady jest czyim dzieckiem. s) Niektrzy kochaj wszystkich. t) Niektrzy inteligentni studenci nie ucz si niektrych przedmiotw. u) Niektre kobiety lubi wszystkich mczyzn, ktrzy je obdarowuj. w) Kada inteligentna kobieta potrafi uwie kadego prawdziwego mczyzn. x) Niektrzy politycy uywaj czasem sw, ktrych sami nie rozumiej. y) Niektrzy politycy lubi tylko tych dziennikarzy, ktrzy dobrze o nich pisz. z) Kady artysta tworzy jakie dziea, ktre pewien krytyk wymiewa lub lekceway. ) Niektrzy politycy gosz tylko takie hasa, ktre s akceptowane jedynie przez szalecw lub nieukw. 3.2. Zapisz schemat zdania: a) Mieczysaw nie zdradza Karoliny, cho Karolina zdradza Mieczysawa. b) Mieczysaw kocha tylko Karolin. c) Karolina kocha nie tylko Mieczysawa. 14

d) Karolina lubi tylko takich mczyzn, ktrzy s bogaci lub sawni. e) Mieczysaw nie lubi nikogo, oprcz siebie samego, kto lubi Karolin. f) Nikt rozsdny nie wierzy w niektre obietnice skadane przez Karolin. g) Co najmniej dwch ministrw kamao. h) Tylko jeden student przynis jak butelk. i) Niektrzy sfrustrowani wykadowcy wymylaj niektre zadania takie, e potrafi je rozwiza najwyej oni sami. j) Niektrzy filozofowie pisz wycznie takie ksiki, ktre s zrozumiae tylko dla nich samych. 3.3. Wyka, e formua nie jest tautologi ani kontrtautologi: a) x (P(x) Q(x)) b) x y R(x,y) c) xy (R(x,y) R(y,x)) d) xy (R(x,y) ~ R(y,x)) e) x y R(x,y) x R(x,x) f) ( x P(x) x Q(x)) x (P(x) Q(x)) g) (x P(x) x Q(x)) x (P(x) Q(x)) h) x y R(x,y) x R(x,x) i) x R(x,x) xy R(x,y) j) xy (R(x,y) R(y,x)) x R(x,x) k) x ( y R(x,y) P(x)) l) xyz [(R(x,y) R(y,z)) R(x,z)] 3.4. Wyka, e regua nie jest dedukcyjna: a) x P(x) x P(x) x (P(x) Q(x)) x (~ P(x) ~ Q(x)) x ~ (P(x) Q(x)) 15

b)

c)

x ~ P(x) d) x R(x,x) xy R(x,y) xy (R(x,y) R(y,x)) x R(x,x)

e)

Odpowiedzi: 3.1. Podaj schematy, ktre, jak mi si wydaj, w sposb najbardziej intuicyjny oddaj struktur zdania. W niektrych przypadkach s to dwie rwnowane formuy. Czasem moliwe s rwnie inne poprawne odpowiedzi. a) x (S(x) ~ O(x)) b) ~ x (B(x) S(x)) c) x (R(x) ~ W (x)) ~ x (R(x) W (x)) d) x [(K(x) P(x)) ~ Z(x)] e) ~ x [(M(x) P(x)) I(x)] f) x [C(x) (M(x) K(x))] g) ~ x (Z(x) P(x)) h) ~ x (B(x) I(x)) x (I(x) B(x)) i) x (U(x) T(x)) x (U(x) S(x)) j) x (P(x) S(x,x)) k) x [P(x) y (D(y) L(x,y))] l) x [S(x) y (K(y) Z(x,y))] ) x [E(x) y (S(y) Z(y,x))] m) x [K(x) ~ y (M(y) Z(x,y))] x [K(x) y (M(y) ~ Z(x,y))] n) ~ x [P(x) y (K(y) U(x,y))] o) x [M(x) y (K(y) ~ C(y,x))] x [M(x) ~ y (K(y) C(y,x))] 16

p) x [T(x) y (G(y,x) R(y))] q) x [C(x) y (Z(y) ~ L(x,y))] x [C(x) ~ y (Z(y) L(x,y))] r) x [C(x) y (C(y) D(x,y))] Przyjmujc, e ograniczamy si jedynie do uniwersum zoonego z ludzi: x y D(x,y) s) x [C(x) y (C(y) K(x,y))] Przyjmujc, e ograniczamy si jedynie do uniwersum zoonego z ludzi: xy K(x,y) t) x [(S(x) I(x)) y (P(y) ~ U (x,y))] u) x {K(x) y [(M(y) O (x,y)) L(x,y)]} w) x [(K(x) I(x)) y (P(y) U(x,y))] x) x {P(x) y [(S(y) U(x,y)) ~ R(x,y)]} y) x {P(x) y [(D(y) L(x,y)) P(y,x)]} z) x A(x) y {(D(y) T(x,y)) z [K(z) (W(z,y) L(z,y))]} x A(x) y z {[(D(y) T(x,y)) K(z)] (W(z,y) L(z,y))} ) x P(x) y {(H(y) G(x,y)) z [A(z,y) (S(z) N(z))]} x P(x) yz {[(H(y) G(x,y)) A(z,y)] (S(z) N(z))} 3.2. Przyjmujemy wszdzie stae indywiduowe: a = Mieczysaw, b = Karolina. a) ~ Z(a,b) Z(b,a) b) K(a,b) x (K(a,x) x = b) c) K(b,a) x (K(b,x) x a) d) x [(M(x) L(b,x)) (B(x) S(x))] e) x [(L(x,b) x a) ~ L(a,x)] ~ x [(L(x,b) x a) L(a,x)] f) x {R(x) y [(O(y) S(a,y)) ~ W(x,y)]} ~ x {R(x) y [(O(y) S(a,y)) W(x,y)]} g) x {(M(x) K(x)) y [(M(y) K(y)) x y]} x y{(M(x) K(x)) [(M(y) K(y)) x y]} h) x S(x) y {(B(y) P(x,y)) z [(S(z) P(z,y)) z = x]} x S(x) y {(B(y) P(x,y)) ~ z [(S(z) P(z,y)) z x]} i) x {(W(x) S(x)) y [(Z(y) W(x,y)) z (P(z,y) z = x)]}

17

j) x F(x) y {(K(y) P(x,y)) [Z(y,x) z (Z(y,z) z = x)]} 3.3. U1 stanowi kadorazowo kontrmodel, wskazujcy, e formua nie jest tautologi, natomiast U2 model, wskazujcy, e formua nie jest kontrtautologi. Podaj rwnie zdania, jakie powstaj z kadego schematu przy interpretacji w danej strukturze oraz, czasem, krtkie wyjanienie. a) U1 = U = zb. liczb; P(x) x jest parzyste, Q(x) x jest nieparzyste Istnieje liczba bdca jednoczenie parzyst i nieparzyst. (Fasz.) U2 = U = zb. ludzi; P(x) x jest kobiet, Q(x) x ma 20 lat Istnieje kobieta majca 20 lat. (Prawda.) b) U1 = U = zb. ludzi; R(x,y) x jest rodzicem y Kady czowiek jest rodzicem. (Fasz.) U2 = U = zb. ludzi; R(x) x jest dzieckiem y Kady czowiek jest czyim dzieckiem. (Prawda.) c) U1 = U = zb. ludzi; R(x,y) x kocha y Dla kadych dwch ludzi jest tak, e jeden kocha drugiego lub drugi pierwszego. (Fasz) U2 = U = zb. liczb; R(x) x y Dla kadych dwch liczb jedna jest wiksza lub rwna drugiej albo druga wiksza lub rwna pierwszej. (Prawda. Uwaga! Zdanie nie byoby prawdziwe, gdybymy zamiast wiksze lub rwne dali tylko wiksze. Nie jest tak, e dla kadych dwch liczb jedna jest wiksza od drugiej lub druga wiksza od pierwszej liczby mog by sobie rwne.) d) U1 = U = zb. ludzi; R(x,y) x kocha y Dla kadych dwch ludzi jest tak, e jeli jeden kocha drugiego, to drugi nie kocha pierwszego. (Fasz; czasem si zdarza si para ludzi, e jedna osoba kocha drug, a ta druga pierwsz.) U2 = U = zb. ludzi; R(x) x jest starszy od y Dla kadych dwch ludzi jest tak, e jeli jeden jest starszy od drugiego, to drugi nie jest starszy od pierwszego. (Prawda.) e) U1 = U = zb. ludzi; R(x,y) x jest starszy od y 18

Jeli istnieje dwoje ludzi, takich, e jeden jest starszy od drugiego, to istnieje kto, kto jest starszy od siebie samego. (Fasz; prawdziwy poprzednik implikacji istnieje dwoje ludzi, takich, e jeden jest starszy od drugiego, a faszywy nastpnik istnieje kto, kto jest starszy od siebie samego.) U2 = U = zb. ludzi; R(x) x jest w tym samym wieku co y Jeli istnieje dwoje ludzi, takich, e jeden jest w tym samym wieku co drugi, to istnieje kto, kto jest w tym samym wieku, co on sam. (Prawda; prawdziwy poprzednik i nastpnik implikacji.) f) U1 = U = zb. ludzi; P(x) x ma 20 lat, Q(x) x ma 35 lat Jeli istnieje kto kto ma 20 lat i istnieje kto kto ma 35 lat, to istnieje kto, kto ma jednoczenie 20 i 35 lat. (Fasz; prawdziwy poprzednik implikacji istnieje kto kto ma 20 lat i istnieje kto kto ma 35 lat i faszywy nastpnik istnieje kto, kto ma jednoczenie 20 i 35 lat.) U2 = U = zb. ludzi; P(x) x urodzi si w lipcu, Q(x) x ma 20 lat Jeli istnieje kto kto urodzi si w lipcu i istnieje kto, kto ma 20 lat, to istnieje kto, kto urodzi si w lipcu i jednoczenie ma 20 lat. (Prawda; prawdziwy poprzednik i nastpnik implikacji.) g) U1 = U = zb. ludzi; P(x) x jest kobieta, Q(x) x jest nauczycielem Jeeli jest tak, e jeli kady czowiek jest kobiet, to kady czowiek jest nauczycielem, to kada kobieta jest nauczycielem. (Fasz; prawdziwy poprzednik gwnej implikacji jeli kady czowiek jest kobiet, to kady czowiek jest nauczycielem, a faszywy nastpnik kada kobieta jest nauczycielem. Poprzednik gwnej implikacji jest prawdziwy, bo, sam bdc implikacj, ma faszywy poprzednik i faszywy nastpnik.) U2 = U = zb. liczb; P(x) x jest podzielne przez 4, Q(x) x jest parzyste Jeeli jest tak, e jeli kada liczba jest podzielna przez 4, to kada liczba jest parzysta, to kada liczba podzielna przez 4 jest parzysta. (Prawda; prawdziwy zarwno poprzednik gwnej implikacji jeli kada liczba jest podzielna przez 4, to kada liczba jest parzysta, jak i nastpnik kada liczba podzielna przez 4 jest parzysta. Poprzednik gwnej implikacji jest prawdziwy, bo, sam bdc implikacj, ma faszywy poprzednik i faszywy nastpnik.)

19

h) U1 = U = zb. liczb; R(x,y) x < y Jeli kada liczba jest mniejsza od jakiej liczby, to istnieje liczba mniejsza od siebie samej. (Fasz; prawdziwy poprzednik implikacji kada liczba jest mniejsza od jakiej liczby, a faszywy nastpnik istnieje liczba mniejsza od siebie samej) U2 = U = zb. liczb; R(x) x y Jeli kada liczba jest mniejsza lub rwna w stosunku do jakiej liczby, to istnieje liczba mniejsza lub rwna w stosunku do siebie samej. (Prawda, prawdziwy zarwno poprzednik, jak i nastpnik implikacji.) i) U1 = U = zb. liczb; R(x) x = y Jeli istnieje liczba rwna sobie samej, to kade dwie liczby s sobie rwne. (Fasz; prawdziwy poprzednik implikacji istnieje liczba rwna sobie samej, a faszywy nastpnik kade dwie liczby s sobie rwne.) U2 = U = zb. ludzi; R(x) x jest starszy od y Jeli istnieje kto kto jest starszy od siebie samego, to dla kadych dwch ludzi jeden jest starszy od drugiego. (Prawda; faszywy zarwno poprzednik, jak i nastpnik implikacji.) j) U1 = U = zb. ludzi; R(x,y) x jest maonkiem y Jeli dla kadych dwch ludzi jest tak, e jeli jeden jest maonkiem drugiego to drugi jest maonkiem pierwszego, to istnieje kto, kto jest swoim wasnym maonkiem. (Fasz, bo prawdziwy jest poprzednik implikacji dla kadych dwch ludzi jest tak, e jeli jeden jest maonkiem drugiego to drugi jest maonkiem pierwszego, a faszywy nastpnik istnieje kto, kto jest swoim wasnym maonkiem.) U2 = U = zb. ludzi; R(x) x ma tyle samo lat co y Jeli dla kadych dwch ludzi jest tak, e jeli jeden ma tyle samo lat co drugi, to drugi ma tyle samo lat co pierwszy, to istnieje kto, kto ma tyle samo lat, co on sam. (Prawda; prawdziwy zarwno poprzednik, jak i nastpnik implikacji.) k) U1 = U = zb. ludzi; R(x,y) x jest bratem y, P(x) x jest mczyzn Kady czowiek, ktry ma brata, jest mczyzn. (Fasz.) U2 = U = zb. ludzi; R(x,y) x jest matk y, P(x) x jest kobiet Kady czowiek, ktry jest czyj matk, jest kobiet. (Kada matka jest kobiet.) (Prawda.) 20

l) U1 = U = zb. ludzi; R(x,y) x kocha y Dla kadych trzech ludzi jest tak, e jeli jeden kocha drugiego, a drugi trzeciego, to pierwszy kocha trzeciego. (Fasz.) U2 = U = zb. ludzi; R(x) x jest starszy od y Dla kadych trzech ludzi, jeli jeden jest starszy od drugiego, a drugi od trzeciego, to pierwszy jest starszy od trzeciego. (Prawda.) 3.4. a) U = U = zb. ludzi; P(x) x jest mczyzn b) U = U = zb. liczb; P(x) x jest podzielne przez 4, Q(x) x jest parzyste Przesanka: Kada liczba podzielna przez 4 jest parzysta. (Prawda) Wniosek: Kada liczba, ktra nie jest podzielna przez 4 jest nieparzysta. (Fasz) c) U = U = zb. liczb; P(x) x jest parzyste, Q(x) x jest nieparzyste Przesanka: adna liczba nie jest jednoczenie parzysta i nieparzysta. (Prawda) Wniosek: adna liczba nie jest parzysta. (Fasz) d) U = U = zb. ludzi; R(x,y) x ma tyle samo lat co y Przesanka: Kady czowiek ma tyle samo lat, co on sam. (Prawda) Wniosek: Kadych dwoje ludzi ma tyle samo lat. (Fasz)

e) U = U = zb. mczyzn; R(x,y) x jest bratem y Przesanka: Dla kadych dwch mczyzn, jeli jeden jest bratem drugiego, to drugi jest bratem pierwszego. (Prawda) Wniosek: Kady mczyzna jest swoim wasnym bratem. (Fasz)

21

22

4.1. Sklasyfikuj nazwy: a) miasto nad Wis, b) liczba podzielna przez trzy, c) dugie przemwienie, d) egzamin z logiki, e) haas, f) Afryka, g) dobry samochd, h) najwyszy czowiek w Polsce, i) ciemna noc, j) znany muzyk, k) medalista olimpijski, l) najwiksza liczba parzysta, ) trzystupitrowy budynek w Warszawie. 4.2. Okrel bez pomocy diagramw Venna zalenoci pomidzy nazwami: a) A koo, B wz; b) A Polska, B Europa; c) A Polska, B kraj europejski; d) A Polska, B Warszawa; e) A Warszawa, B obecna stolica Polski; f) A stolica, B Warszawa; g) A stolica, B miasto; h) A miasto w Polsce, B miasto w Belgii; i) A miasto w Polsce, B miasto liczce ponad 100 tys. mieszkacw. 4.3. Przy pomocy diagramw Venna zbadaj zalenoci pomidzy nazwami: a) A osoba majca ponad 16 lat, B osoba majca mniej ni 25 lat; b) A osoba majca mniej ni 16 lat, B osoba majca ponad 25 lat; c) A student, B czowiek co najmniej 10-letni; d) A nie-student, B analfabeta; e) A sportowiec, B nie-pikarz; f) A gruszka, B nie-pietruszka; g) A ziemniak, B nie-warzywo; 23

h) A ryba, B nie-led; i) A nie-mleko, B piwo; j) A nie-owoc, B nie-liwka; k) A nie-orze, B nie-ptak; l) A nie-piekarnia, B nie-apteka. 4.4. Do podanej nazwy dobierz nazw nadrzdn, podrzdn, wykluczajc si i krzyujc si. a) ojciec, b) wieowiec, c) krzeso, d) ksika przygodowa, e) zazdro, f) miasto nad Wis, g) liczba parzysta, h) drzewo liciaste, i) napj alkoholowy, j) mecz pikarski, k) bardzo ciekawy wykad. 4.5. Zbadaj poprawno nastpujcych definicji sprawozdawczych: a) Magister to czowiek, ktry studiowa na wyszej uczelni b) Romb jest to figura majca cztery boki. c) Naukowiec to pracownik wyszej uczelni. d) Wieloryb to ryba morska osigajca dugo kilkunastu metrw. e) Przestpca jest to czowiek, ktry obrabowa bank. f) Wdka jest to napj zawierajcy alkohol. g) Recydywista to czowiek drugi raz popeniajcy przestpstwo tego samego typu, za ktre by karany.

24

Odpowiedzi: 4.1. a) oglna, konkretna, generalna, ostra; b) oglna, abstrakcyjna, generalna, ostra; c) oglna, abstrakcyjna, generalna, nieostra; d) oglna, abstrakcyjna, generalna, ostra; e) oglna, abstrakcyjna, generalna, nieostra; f) jednostkowa, konkretna, indywidualna, ostra; g) oglna, konkretna, generalna, nieostra; h) jednostkowa, konkretna, generalna, ostra; i) oglna, abstrakcyjna, generalna, nieostra; j) oglna, konkretna, generalna, nieostra; k) oglna, konkretna, generalna, ostra; l) pusta, abstrakcyjna, generalna, ostra; ) pusta, konkretna, generalna, ostra. 4.2. Przyjmujc oznaczenia r rwnowane, w wykluczajce si, k krzyujce si, AnB A nadrzdne do B, ApB A podrzdne do B: a) w, b) w, c) ApB, d) w, e) r, f); AnB, g) ApB, h) w, i) k 4.3. a) k, b) w, c) ApB, d) AnB, e) k, f) ApB, g) w, h) k, i) AnB, j) ApB, k) AnB, l) k, 4.4. Przykadowe odpowiedzi (n nadrzdna, p podrzdna, w wykluczajca si, k krzyujca si). a) n rodzic, p dobry ojciec, w kobieta, k 30-letni mczyzna, b) n budynek, p wieowiec 50 pitrowy, w wiejska chata, k budynek w Warszawie, c) n mebel, p krzeso z trzema nogami, w komputer, k drewniany mebel, d) n ksika, p ksika przygodowa polskiego autora, w podrcznik do logiki, k ksika z obrazkami, e) n uczucie, p silna zazdro, w pomidor, k uczucie w stosunku do ony, f) n miasto, p miasto nad Wis na poudniu Polski, w wie w Chinach, k due miasto, g) n liczba, p liczba podzielna przez 4, w liczba nieparzysta, k liczba podzielna przez 3, h) n drzewo, p wysokie drzewo liciaste, w trawa , k drzewo rosnce w Polsce, 25

i) n napj, p wino, w mleko, k napj o smaku owocowym, j) n mecz, p sprzedany mecz pikarski, w konkurs skokw narciarskich, k enujce widowisko, k) n wykad, p bardzo ciekawy wykad z logiki, w nudna impreza, k wykad znanego profesora. 4.5. a) za szeroka, b) za szeroka, c) bd krzyowania zakresw, d) bd rozcznoci zakresw, e) za wska, f) za szeroka, g) za wska (recydywist jest rwnie czowiek popeniajcy to samo przestpstwo po raz trzeci, czwarty itd.).

26

5.1. Okrel stosunki pomidzy podanymi zbiorami: a) A zbir tulipanw, B zbir r, C zbir kwiatw czerwonych, D zbir biaych r. b) A zbir ludzi urodzonych w styczniu, B zbir ludzi urodzonych w grudniu, C zbir ludzi urodzonych w I kwartale, D zbir ludzi urodzonych w niedziel. c) A zbir osb majcych wysze wyksztacenie, B zbir osb, ktre maj zdan matur, C zbir osb pracujcych w Krakowie, D zbir osb urodzonych w Warszawie. d) A zbir ludzi urodzonych w 2000 roku, B zbir ludzi poniej 60 roku ycia, C zbir kobiet, D zbir ludzi powyej 25 roku ycia. e) A zbir liczb nieparzystych, B zbir liczb podzielnych przez 2, C zbir liczb podzielnych przez 3, D zbir liczb podzielnych przez 4. f) A zbir osb urodzonych w Katowicach lub Wrocawiu, B zbir osb urodzonych w Katowicach, C zbir osb urodzonych w Katowicach i pracujcych w Katowicach, D zbir osb urodzonych w Katowicach lub Opolu. g) A zbir miast Polski, B {Zakopane, Warszawa}, C {Pary, Wiede}, 27

D zbir miast bdcych stolicami pastw. 5.2. Okrel stosunki pomidzy podanymi zbiorami: a) A zbir osb urodzonych w Warszawie, B zbir, ktrego elementami s zbiory osb urodzonych w tym samym miecie, C zbir osb mieszkajcych w Katowicach, D zbir osb urodzonych w Katowicach. b) A zbir zbiorw kwiatw poszczeglnych gatunkw, B zbir tulipanw, C zbir r, D zbir kwiatw czerwonych. c) A zbir osb majcych 35 lat, B zbir, ktrego elementami s zbiory ludzi urodzonych w takim samym miesicu, C zbir, ktrego elementami s zbiory ludzi w tym samym wieku, D zbir ludzi urodzonych w lipcu. Uwaga! Zadania polegajce na wykonywaniu dziaa na zbiorach (zad. 3 i 4) wydaj si bardzo atwe, gdy jedynie czyta si ich gotowe rozwizania; nie wszystko jest jednak takie proste, gdy trzeba to zrobi samemu. Dlatego osoby, ktre chc si naprawd nauczy rozwizywa tego typu przykady, nie powinny zaglda do odpowiedzi przed ich samodzielnym wykonaniem. 5.3. Przyjmujc U zbir ludzi oraz podane zbiory A, B, C, D, wykonaj ponisze dziaania. A zbir studentw prawa, B zbir studentw, C zbir studentw dziennych, D zbir studentw matematyki. a) A C b) B C c) C A 28

d) B C e) B f) B D g) B (A D) h) (D B) A i) C (B A) 5.4. Przyjmujc U zbir wszystkich ludzi oraz podane zbiory A, B i C, wykonaj ponisze dziaania. A zbir mczyzn, B zbir osb palcych, C zbir abstynentw (czyli osb niepijcych) a) B C b) C c) C B d) A C e) A B f) A B g) (A B) h) (A C) i) (A B) j) C C k) B B l) A A ) (C C) m) (A B) C n) (B C) o) (A B) C p) A (B C) r) (B C) A

29

5.5. Sprawd, posugujc si metod rachunku zda, czy nastpujce wyraenia s prawami rachunku zbiorw: a) (A B) (A B) b) [(A B) C] (A B) c) [(A (B C)] [(A B) (A C)] d) [(A B) C] [(A C) (B C)] e) [(A B) C] = [(A C) B] f) [A (A B)] = (A B) g) (A B) (A B) h) [A (B C)] [(B C) A] i) [(A B) (B C)] = [(A C) B] j) [(A B) C] = [(A C) (B C)] 5.6. Sprawd przy pomocy diagramw Venna, czy nastpujce wyraenia s prawami rachunku zbiorw: a) (A B = B C ) A C b) (A )( B C B) A C = c) (C B A )( C) C A d) (A B C B) A C e) (B A A C = ) A = f) [A)(B A C B C ] C A g) [(A B) C (C B) A] C )( B h) [(A B) C (A B) C = ] A )( B i) [A (B C) B A = ] (C A) B j) [A (B C) (C A) B] C (A B) = k) [(A C) B (A B) C] A B

30

Odpowiedzi: 5.1. a) A )( B, A # C, A )( D, B # C, D B, C )( D. b) A )( B, A C, A # D, B )( C, B # D, C # D. c) A B, A # C, A # D, B # C, B # D, C # D. d) A B, A # C, A )( D, B # C, B # D, C # D. e) A )( B, A # C, A )( D, B # C, D B, C # D. f) B A, C A, A # D, C B, B D, C D. g) B A, A )( C, A # D, B )( C, B # D, C D. 5.2. a) A )( B i A B, A # C, A )( D, B )( C, B )( D i D B, C # D. b) A )( B i B A, A )( C i C A, A )( D, B )( C, B # D, C # D. c) A )( B, A )( C i A C, A # D, B )( C, B )( D i D B, C )( D. 5.3. a) Zbir dziennych studentw prawa. b) Zbir studentw zaocznych (okrelajc dla uproszczenia wszystkich nie-dziennych studentw jako zaocznych). c) Zbir studentw dziennych studiujcych inne kierunki ni prawo. d) Zbir studentw dziennych. e) Zbir osb nie bdcych studentami. f) Zbir studentw (B). g) Zbir studentw wszystkich kierunkw oprcz prawa i matematyki. h) Zbir studentw prawa (A). i) Zbir studentw zaocznych oprcz studentw prawa. 5.4. a) Zbir palcych abstynentw. b) Zbir osb nie bdcych abstynentami (osb pijcych). c) Zbir niepalcych abstynentw. d) Zbir mczyzn (wszystkich) oraz niepijcych kobiet. e) Zbir niepalcych mczyzn. 31

f) Zbir niepalcych kobiet. g) Zbir osb nie bdcych niepalcymi mczyznami, czyli zbir wszystkich kobiet oraz palcych mczyzn. h) Zbir obejmujcy ludzi nie bdcych mczyznami lub abstynentami, czyli zbir pijcych kobiet. i) Zbir obejmujcy wszystkich oprcz palcych mczyzn, czyli zbir zoony z kobiet (wszystkich) oraz niepalcych mczyzn. j) Uniwersum (wszyscy ludzie). k) l) Zbir kobiet. ) Uniwersum (wszyscy ludzie). m) Zbir kobiet niepalcych, ale pijcych. n) Zbir palcych abstynentw. o) Zbir kobiet palcych, ale niepijcych. p) Zbir mczyzn jednoczenie palcych i pijcych. r) Zbir mczyzn niepalcych i jednoczenie niepijcych. 5.5. Poniej podane s formuy, jakie powinny powsta po przeksztaceniu wyrae rachunku zbiorw na rachunek zda. Prawami rachunku zbiorw s przykady wszystkie za wyjtkiem b). a) (p q) (p q) b) [(p ~ q) r] (p q) c) [p (q r)] [(p q) (p r)] d) [(p q) ~ r] [(p ~ r) (q ~ r)] e) [(p ~ q) r] [(p r) ~ q] f) [p ~ (p q)] (p ~ q) g) ~ (p q) (~ p ~ q) h) [~ p (q ~ r)] [(q r) ~ p] i) [(p q) ~ (q ~ r)] [(p r) ~ q] j) [(p ~ (~ q)) ~ r] [(p r) ~ (~ q r)] 5.6. Prawami rachunku zbiorw s przykady: b), c), f), h), i), j), k). 32

6.1. Okrel dziedzin lew, praw i pole nastpujcych relacji: a) {a, a , a, b , a, c , b, d }, b) x okrad y, c) x jest przeoonym y, d) x jest wyszy od y, e) x jest bratem y, f) x jest tej samej pci co y, g) x jest w innym wieku ni y, h) x naley do tej samej partii co y, i) x wynika logicznie z y (w zbiorze zda). 6.2. Okrel wasnoci formalne nastpujcych relacji: a) x jest dzieckiem y, b) x jest przeciwnej pci ni y, c) x ma tyle samo lat co y, d) x jest starszy od y, e) x jest starszy o 10 lat od y, f) x jest starszy o co najmniej 10 lat od y, g) x kocha y, h) x y (w zbiorze zbiorw), i) x # y (w zbiorze zbiorw), j) {a, a , b, b , c, c , d, d , a, b , b, a b, c , c, b a, c , c, a } ( U = {a, b, c, d}) k) {a, a , c, c , a, b , b, c } ( U = {a, b, c, d}) l) {b, a , a, b , c, a a, d , c, b b, d , d, c } ( U = {a, b, c, d}) 6.3. Przyjmujc relacje: xRy x i y s przeciwnej pci, xSy x i y kochaj si wzajemnie, xTy x i y s maestwem, okrel relacje: a) S T b) R T c) T S d) T R e) T S 33

f) (T S) 6.4. Okrel konwers (relacj R-1) nastpujcych relacji: a) x jest dziadkiem y, b) x kocha y, c) x ma tyle samo lat co y, d) x jest wyszy od y. 6.5. Jakie zachodz stosunki pomidzy nastpujcymi relacjami: xRy x jest starszy o 2 lata od y, xSy x jest starszy o 5 lat od y, xTy x jest starszy o co najmniej rok od y, xQy x jest mem y. 6.6. Do nastpujcych relacji R dobierz relacje S, T, Q, P, takie e: S R, R T, Q )( R, P # R: a) xRy x jest bratem y, b) xRy x jest o rok starszy od y, c) xRy x jest przeciwnej pci ni y. Odpowiedzi: 6.1. a) DL(R) = {a, b}, DP(R) = {a, b, c, d}, P(R) = {a, b, c, d}, b) DL(R) = zbir osb, ktre kogo okrady, DP(R) = zbir osb, ktre zostay okradzione, P(R) = zbir osb ktre kogo okrady lub zostay okradzione, c) DL(R) = zbir osb bdcych czyim przeoonym, DP(R) = zbir osb majcych przeoonego, P(R) = zbir osb bdcych przeoonym lub majcych przeoonego, d) DL(R) = zbir wszystkich ludzi za wyjtkiem najniszego, DP(R) = zbir wszystkich ludzi za wyjtkiem najwyszego, P(R) = zbir wszystkich ludzi, e) DL(R) = zbir mczyzn majcych rodzestwo (osb bdcych czyim bratem), DP(R) = zbir osb majcych brata, P(R) = zbir osb bdcych czyim bratem lub majcych brata, f) DL(R) = DP(R) = P(R) = zbir wszystkich ludzi, g) DL(R) = DP(R) = P(R) = zbir wszystkich ludzi, h) DL(R) = DP(R) = P(R) = zbir ludzi nalecych do jakiejkolwiek partii, 34

i) DL(R) = DP(R) = P(R) = zbir wszystkich zda. 6.2. a) przeciwzwrotna, asymetryczna, nieprzechodnia, niespjna, b) przeciwzwrotna, symetryczna, nieprzechodnia, niespjna, c) zwrotna, symetryczna, przechodnia, (rwnowano), niespjna, d) przeciwzwrotna, asymetryczna, przechodnia, niespjna, e) przeciwzwrotna, asymetryczna, nieprzechodnia, niespjna, f) przeciwzwrotna, asymetryczna, przechodnia, niespjna, g) ani zwrotna, ani przeciwzwrotna, ani symetryczna, ani asymetryczna, nieprzechodnia, niespjna, h) zwrotna, sabo asymetryczna, przechodnia, niespjna, i) przeciwzwrotna, symetryczna, nieprzechodnia, niespjna, j) zwrotna, symetryczna, przechodnia, (rwnowano), niespjna, k) ani zwrotna, ani przeciwzwrotna, sabo asymetryczna, nieprzechodnia, niespjna, l) przeciwzwrotna, ani symetryczna, ani asymetryczna, nieprzechodnia (jest dRc, cRa, a nie ma dRa), spjna. 6.3. a) x i y s niekochajcym si maestwem, b) x i y s przeciwnej pci, ale nie s maestwem, c) x i y s kochajcym si maestwem, d) x i y s maestwem (heteroseksualnym), e) x i y nie s maestwem, ale si kochaj, f) x i y nie kochaj si i nie s maestwem., 6.4. a) y jest wnukiem x, b) y jest kochany przez x, c) y ma tyle samo lat co x, d) y jest niszy od x. 6.5. R )( S, R T, R # Q, S T, S # Q, T # Q. 35

6.6. Przykadowe rozwizania: a) xSy x jest starszym bratem y, xTy x jest rodzestwem y, xQy x jest ojcem y, xPy x jest modszy od y, b) xSy x jest o rok starszym bratem y, xTy x jest starszy od y, xQy x jest modszy od y, xPy x jest mem y, c) xSy x jest kobiet, a y mczyzn, xTy x jest tej samej lub innej pci ni y, xQy x jest tej samej pci co y, xPy x zna y.

36