Wiskunde D vwo ∙ Lineaire algebra

Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres

19 november 2015

Harm Houwing en John Romkes

Lineaire algebra

VwoD

Harm HouwingJohn Romkes

4Hoofdstuk

Rekenen met matricesStelsels vergelijkingenKansen en matricesDeterminantenInverse matricesToepassingen

Onderwerpen

De temperatuur in een bepaalde plaats wordt vaak berekend met behulp van gegevens van weerstations. In de figuur hiernaast zie je de plaatsen A, B, C en D en de temperaturen die zijn gemeten in acht naburige weerstatons. We nemen aan dat de temperatuur in ieder punt het gemiddelde is van de temperaturen van de vier naastgelegen punten. Voor de temperatuur TA in A geldt dus

Bereken de temperatuur in A, B, C en D door een stelsel op te lossen. Rond af op één decimaal.

1A D B4

(10 6).T T T

Stelsels

Bij de figuur horen de vergelijkingen

Dit geeft de matrix

De optie rref (TI) of Rref (Casio) geeft afgerond op één decimaal

Dus de temperaturen in A, B, C en D zijn respectievelijk 8,5 °C, 8,8 °C, 8,8 °C, en 9,3 °C.

A B D

A B C

B C D

A C D

4 16

4 18

4 17

4 20

T T T

T T T

T T T

T T T

Uitwerking

1 0 0 0 8,5

0 1 0 0 8,8

0 0 1 0 8,8

0 0 0 1 9,3

4 1 0 1 16

1 4 1 0 18

0 1 4 1 17

1 0 1 4 20

11Hoofdstuk

GeogebraLineaire afbeeldingenEigenwaarden en eigenvectorenDiagonaliserenMachtreeksenDifferentievergelijkingenToepassingen

Onderwerpen

Onderzoek met GeoGebra

a welke rotatie bij hoort

b welke spiegeling bij hoort

c welke draaivermenigvuldiging bij hoort.

GeoGebra (1)

0 1

1 0M

0 1

1 0M

2 2

2 2M

a Voer de matrix in, maak een schuifknop a

waarvan de waarde varieert van ‒10 tot 10 met

stapgrootte 0,1 en teken de lijn

b Teken een punt A op k, het punt B = M ∙ A

en de vectoren en

c Onderzoek voor welke waarden van a geldt

dat op k ligt.

d Voor de waarden van a die je bij vraag c hebt

gevonden geldt

Geef voor elke waarde van a de bijbehorende

GeoGebra (2)1 2

3 2M

: .k y ax

OA .OB

OB

.OB OA

.

a Voer de matrix in en teken

een punt A en de vector

b Een van de eigenwaarden van M is gelijk aan 1.

Dit betekent dat origineel en beeld samenvallen.

Welke eigenvectoren horen hierbij?

c Een van de eigenvectoren van M is

Welke eigenwaarde van M hoort hierbij?

GeoGebra (3)3 2

1 2M

.v OA

2.

1v

a Het punt A(3, ‒5) wordt ten opzichte van de oorsprong

over ‒45° geroteerd en vermenigvuldigd met

Bereken de coördinaten van het beeld A’.

b Het punt B(4, ‒1) wordt ten opzichte van de oorsprong

over 30° geroteerd en vermenigvuldigd met 2.

Bereken de coördinaten van het beeld B’.

Lineaire afbeeldingen

2 2.

Vraag a

wordt afgebeeld op en wordt afgebeeld op

dus

Dit geeft dus A’(‒4, 16).

Vraag b

wordt afgebeeld op en wordt afgebeeld op

dus

Dit geeft

dus

Uitwerking

1

0

2,

2

0

1

2,

2

2 2.

2 2M

2 2 3 4,

5 162 2M a

1

0

3,

1

0

1

1,

3

3 1.

1 3M

3 1 4 1 4 3,

1 4 31 3M b

1 4 3, 4 3 .B

De matrix M beeldt A(2, 3) op A’(4, 6) en B(‒2, 4) op B’(‒1, 2) af.

Geef de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van M

zonder M op te stellen.

Om de eigenwaarden van een 2 × 2-matrix te berekenen moet een

tweedegraadsvergelijking worden opgelost. Een 2 × 2-matrix heeft

dus 0, 1 of 2 eigenwaarden.

Geef bij de volgende afbeeldingen aan of de bijbehorende matrix

0, 1 of 2 eigenwaarden heeft. Licht steeds je antwoord toe.

a Vermenigvuldiging met 3 ten opzichte van O.

b Rotatie om O over 120°.

c Rotatie om O over 180°.

d Spiegeling in een lijn door O.

e Vermenigvuldiging met 2 ten opzichte van de x-as

en met 3 ten opzichte van de y-as.

Eigenwaarden

De matrix M heeft de eigenwaarden en

Bijbehorende eigenvectoren zijn en

a Stel de matrix M op.b Bereken Mn.

Diagonaliseren

1 2 2 5.

1

31

v 2

5.

2v

Uitwerking1

3 5 2 5 geeft

1 2 1 3

3 5 2 0 2 5 13 45

1 2 0 5 1 3 6 20

P P

M

a

b3 5 2 52 0

1 2 1 30 5

3 5 2 2 5 2

1 2 5 3 5

6 2 5 5 15 2 15 5

2 2 2 5 5 2 6 5

n

n

n

n n

n n

n n n n

n n n n

M

Heel bijzonderGegeven is de 2 × 2-matrix M met de eigenwaarden

en

Bijbehorende eigenvectoren zijn en

a Bereken M.b Bereken sin(M).c Bereken cos(M).d Onderzoek of geldt

11 2

π 2 π.

1

11

v 2

1.

0v

2 2sin ( ) cos ( ) .M M I

Uitwerkinga Bereken M.

11 1 0 1

geeft 1 0 1 1

P P

12

12

12

12

1 1 0 1π 0

1 0 1 10 π

1 1 0 π

1 0 π π

π 1 π

0 π

M

Uitwerkingb Bereken sin(M).

12

1 1 0 1sin( π) 0sin( )

1 0 1 10 sin( π)

1 1 1 0 0 1

1 0 0 0 1 1

0 1

0 1

M

Uitwerkingc Bereken cos(M).

12

1 1 0 1cos( π) 0cos( )

1 0 1 10 cos( π)

1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 1 1

1 1

0 0

M

Uitwerkingd Onderzoek of geldt 2 2sin ( ) cos ( ) .M M I

2

2

0 1 0 1 0 1sin ( )

0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1cos ( )

0 0 0 0 0 0

M

M

2 20 1 1 1 1 0

Dus sin ( ) cos ( ) .0 1 0 0 0 1

M M I

• Leerlingen maken kennis met kernbegrippen uit de lineaire algebra.

• Van intuïtief werken met GeoGebra naar rekenen en bewijzen.

• Wij verwachten dat de leerlingen hierdoor met een flinke voorsprong beginnen in het vervolgonderwijs.

Conclusie