XII 2013-14 2 Inele Și Corpuri

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/25/2019 XII 2013-14 2 Inele i Corpuri

    1/4

    SUPORT DE CURS XII / II. Inele i corpuri / P a g e | 22

    II. Inele i corpuri

    COMPETENE SPECIFICE1. Recunoaterea structurilor algebrice , a mulimilor de numere , depolinoame i de matrice;2.1 Identificarea unei structuri algebrice , prin verificareaproprietilor acesteia ;

    2.2 Determinarea i verificareaproprietilor unei structuri ;4. Explicareamodului n care sunt utilizate , n calcule specifice ,proprietile operaiilor unei structuri algebrice ;5.1. Utilizareastructurilor algebrice n rezolvarea de problemepractice ;6.1. Exprimareaunor probleme practice , folosind structuri algebriceCONINUTURI

    Inel , exemple :inele numerice ( , , , ),n

    , inele de matrice ,inele de funcii reale

    Corp , exemple : corpuri numerice ( , , ) , p , p prim .BIBLIOGRAFIE

    BACALAUREAT 2009-MATEMATIC - Proba D, MT2, programa M2 Mircea Ganga MATEMATIC-Manual pentru clasa a XII-a , profil

    M2 , Editura MATHPRESS

    Marius Burtea , Georgeta Burtea Clasa a XII-a , Culegere deexerciii i probleme , MATEMATIC M2 ,Editura CAMPION .

    SUPORT DE CURS XII / II. Inele i corpuri / P a g e | 23

    1. IneleDEFINIIE

    Fie i dou operaii pe aceeai mulime M.Se spune c operaia este distributiv la stngafa de

    operaia dac : ( ) ( ) ( )x y z x y x z , ( ) , ,x y z M (1)Se spune c operaia este distributiv la dreaptafa de

    operaia dac : ( ) ( ) ( )y z x y x z x , ( ) , ,x y z M (2)Se spune c operaia este distributiv fa de operaia

    dac este distributiv la dreapta i la stnga , adic au loc (1) i (2) .OBSERVAIE

    1) Dac operaia este comutativ , atunci (1) i (2) suntechivalente i deci se reine ca definiie una din ele .

    2) Dac H M este parte stabil fa de operaiile i iar este distributivfa de operaia pe mulimea Matunciproprietatea se pstreaz i pe submulimea H .DEFINIIE

    Se numete inel unitarun triplet ( , , )A , A unde i sunt dou operaii pe A , numite adunareai respectivnmulireapentru care : 1) ( , )A este grup abelian ; 2) ( , )A este monoid ;3) este distributiv fa de .

    Dac , n plus , pe A este comutativ spunem c inelul estecomutativ.OBSERVAIE

    1) Structura ( , )A se numete grupul aditiv al inelului. Elementulneutru , notat cu 0, se numete elementul nulal inelului .

    2) A doua operaie este cea distributiv fa de prima i n plus( , )A este monoid numit monoidul multiplicatival inelului . Elementulneutru n raport cu nmulirea va fi notat cu simbolul 1 i este numitelementul unitateal inelului .DEFINIIE

    ntr-un inel ( , , )A , grupul ( ( ), )U A al elementelor inversabile dinmonoidul ( , )A se numete grupul elementelor inversabilesau grupulunitilordin inelul A .

  • 7/25/2019 XII 2013-14 2 Inele i Corpuri

    2/4

    SUPORT DE CURS XII / II. Inele i corpuri / P a g e | 24

    EXERCIII PROPUSE

    1) Artai c ( ,T, ) este un inel comutativ , unde T 3x y x y ,

    3 12x y xy x y . Determinai elementele inversabile iinversele lor .

    2) Pe mulimea ,0

    x yA x y

    x

    se consider adunarea i

    nmulirea matricilor . S se arate c , ,A este inel .3) Pe mulimea se consider operaiile T 1x y x y ix y x y xy . S se arate c ( ,T, ) este un inel .

    4) S se arate c , , ,3x y

    A x yy x

    este inel comutativ .

    5) Pe definim legile de compoziie 1x y x y i2x y xy x y . S se arate c ( , , ) este un inel .

    6) Pe mulimea numerelor ntregi se definesc operaiile2x y x y i 2( ) 6x y xy x y . S se arate c :

    a) ( , , ) este un inel comutativ ;b) S se arate c ( ) ,x y , 0x y ( unde 0 este elementul neutrual operaiei ) 0x sau 0y .( n acest caz ( , , ) se numete domeniu de integritate)

    7) Artai c5

    , , ,x y

    A x yy x

    este inel .

    8) S se arate c mulimea0

    0 0 0 |0

    a aA a

    a a

    mpreun cu

    operaiile de adunare i nmulire a matricelor este un inel comutativ .

    SUPORT DE CURS XII / II. Inele i corpuri / P a g e | 25

    2. Exemple de inele, Inelul claselor de resturi modulo n

    1) Inelul numerelor ntregi( , , ) : elementul nul este 0 , elementulunitate este 1 , elementele inversabile sunt : ( ) 1, 1U ;2) Inelul numerelor raionale( , , ) : elementul nul este 0 , elementulunitate este 1 , elementele inversabile sunt : ( )U ;

    3) Inelul numerelor reale( , , ) : elementul nul este 0 , elementulunitate este 1 , elementele inversabile sunt : ( )U ;4) Inelul numerelor complexe( , , ) : elementul nul este 0 , elementulunitate este 1 , elementele inversabile sunt : ( )U ;Inelele din exemplele 1 4 se numesc inele numerice.5)Inelul claselor de resturi modulo n:

    Pe mulimea claselor de resturi modulo n, 2n , {0, 1, 2, ..., 1}

    n n , am definit operaiile de adunare i nmulire

    astfel : a b a b i a b a b .Tripletul ( , , )n este un inel comutativ , numit inelul claselor de

    resturi modulo n.Elementul nul este 0 , elementul unitate este 1 , iar

    elementele inversabile sunt ( ) ( , ) 1n nU k cmmdc k n

  • 7/25/2019 XII 2013-14 2 Inele i Corpuri

    3/4

    SUPORT DE CURS XII / II. Inele i corpuri / P a g e | 26

    EXERCIII PROPUSE

    1) Se consider inelul 6, , , unde 6 0,1,2,3,4,5 .a) S se rezolve n 6 ecuaia 2 5 1x .

    b) S se calculeze determinantul

    1 2 3

    2 3 1 3 1 2

    n 6 .

    c) S se rezolve n 6 sistemul de ecuaii2 4

    2 5

    x y

    x y

    .

    2) Se consider 8, , inelul claselor de resturi modulo 8 .

    a) S se calculeze n 8 suma 1 2 3 4 5 6 7 .b) S se calculeze n 8 produsul elementelor inversabile ale inelului .

    c) S se rezolve n 8 sistemul 2 5 2 3 2 5

    x y

    x y

    ;

    3) Se consider inelul 6, , .a) S se calculeze numrul elementelor inversabile n raport cu

    nmulirea din inelul 6, , .

    b) Se consider Ssuma soluiilor ecuaiei 2 1 5x i Pprodusulsoluiilor ecuaiei 2x x , unde 6x . S se calculeze S P .

    c) S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element din inelul 6, , acesta s fie soluie a ecuaiei

    3 0x .

    4) S se calculeze inversul fa de nmulire al elementului 5n inelul9( , , ) ;

    SUPORT DE CURS XII / II. Inele i corpuri / P a g e | 27

    5) n 8 se consider sistemul

    2 4 2 3 2 4

    6 4 5 1

    x y z

    x y z

    x y z

    . Dac este

    determinantul sistemului , , ,x y z soluia sistemului i2 2 2x y z atunci :

    a) 3 , 2 ; b) 5 , 4 ; c) 3 , 5 ;

  • 7/25/2019 XII 2013-14 2 Inele i Corpuri

    4/4

    SUPORT DE CURS XII / II. Inele i corpuri / P a g e | 28

    3. Corpuri . Exemple de corpuriDEFINIIE

    Se numete corpun triplet ( , , )K dac : 1) ( , )K este grupabelian , cu elementul neutru notat cu 0 ( elementul nul ) ;2) ( 0 , )K este grup , cu elementul neutru notat cu 1 ( elementulunitate ) ; 3) este distributiv fa de ;

    Dac , n plus , nmulirea este comutativ , atunci ( , , )K

    senumete corp comutativ.OBSERVAII

    1) Grupul ( , )K se numete grupul aditival corpului , iar

    ( 0 , )K se numete grupul multiplicatival elementelor nenule alecorpului .

    2) Dac corpul Keste comutativ , atunci ( 0 , )K este grupcomutativ .

    3) Orice corp K conine cel puin dou elemente distincte , un

    element neutru fa de adunare 0 i un element neutru fa denmulire 1 .4) Un inel K se numete corp dac orice element nenul al lui K

    este inversabil : 1( ) , 0,( )x K x x K a.. 1 1 1x x x x EXEMPLE CUNOSCUTE DE CORPURI :1) ( , , ) corpul numerelor raionale ;2) ( , , ) corpul numerelor reale ;3) ( , , ) corpul numerelor complexe ;Aceste corpuri se numesc corpuri numerice.

    SUPORT DE CURS XII / II. Inele i corpuri / P a g e | 29

    EXERCIII PROPUSE

    1) S se arate c aplicaiile 2x y x y ,

    2 2x y xy x y determin pe mulimea a numerelorraionale o structur de corp comutativ .2) Pe mulimea se definesc dou legi de compoziie

    1x y ax by , 2 2x y xy x y c , , ,a b c . S sedetermine numerele , ,a b castfel nct tripletul , , s fie corpcomutativ .3) Artai c mulimea ,K a bi a b mpreun cu operaiileobinuite de adunare i nmulire a numerelor complexe este un corp .

    4) Artai c,

    3,

    a b

    a bK A a b

    b a

    mpreun cu operaiile

    obinuite de adunare i nmulire este un corp .

    5) Fie 2 2 0 0 1 0 0 1 1 1, , , 0 0 0 1 1 1 1 0K

    M . Artai c

    ( , , )K este un corp .6) Pe mulimea numerelor reale definim urmtoarele legi de compoziie

    1x y x y , 2 2 2 3x y xy x y , ( ) ,x y . Artai ctripletul ( , , ) formeaz o structur de corp comutativ .7) Pe mulimea numerelor reale definim urmtoarele legi de compoziie

    4x y x y , 4( ) 20x y xy x y , ( ) ,x y . Artai ctripletul ( , , ) formeaz o structur de corp . Este i comutativ ?