79
Geometrické a algebraické metódy v teórii a analýze hudby Marek Žabka Kategra muzikológie, Filozofická fakulta UK, Bratislava [email protected] Večery o metodológii vied 5. marca 2014

[email protected] - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Geometrické a algebraické metódyv teórii a analýze hudby

Marek ŽabkaKategra muzikológie, Filozofická fakulta UK, Bratislava

[email protected]

Večery o metodológii vied5. marca 2014

Page 2: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Interakciehudby s matematikou

Page 3: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

• Pytagorejské matematy:• Staroveké akustické poznatky v pytagorejskom učení o harmónii

• Musica v stredovekom systéme univerzitného vzdelávania

• Kepler: Harmonices mundi, 1619

• Rola matematiky pri kreovaní základných princípov hudobných štruktúr:• Pytagoras -> tónové systémy• Johannes de Muris (13./14. st., ars nova) -> metro-rytmický systém• Renesančno-barokové teórie ladení -> chromatický harmonický systém

Matematika a hudba (?)

Page 4: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

• Matematizácia v hudobnovednom výskume má veľký význam, pretožeprispieva k jeho falzifikovateľnosti, resp. vyvrátiteľnosti.

• Popperova filozofia vedy a vedeckého poznania: falzifikovateľnosť akokritérium vedeckosti.

• Ide o argumentáciu podobnú Chomskyho obhajobe formalizácie lingvistiky:

Popperovská argumentácia pre matematizáciu muzikológie

„Presne zostrojené modely lingvistickej štruktúry môžu hrať dôležitú rolu[...] v samotnom procese objavovania.

Ak dovedieme presnú, no neadekvátnu formuláciu k neprijateľnýmzáverom, môžeme tak často odhaliť presný zdroj tejto neadekvátnosti a

následne získať hlbšie poznatky o lingvistických údajoch.“

Noam Chomsky: Syntactic Structures

Page 5: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Marin Mersenne: Harmonicorum libri, 1635/36

Problém:„Vyjadriť kombinácie alebo variácie štyroch tónov tetrachordualebo intervalu kvarty UT, RE, MI, FA pomocou bežných nôt.“

Riešenie:Zo štyroch tónov možno vytvoriť 24 rôznych melódií.

Page 6: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Model Mersennovej hudobnej kombinatorikyMusica

Ars combinatoria

Hudobný objekt:Melódia

Hudobný problém:Popíš všetky 4-tónové melódie

Hudobné riešenie:

Matematický objekt:Permutácia

Matematický problém:Popíš permutácie 4 prvkov

Matematické riešenie:Ide o týchto 24 permutácií

Formalizáciamelódie

Interpretáciapermutácií

Kombinatorika

Ide o týchto 24 melódií

???

Page 7: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Všeobecný model interakcie hudby s matematikouMusica

Ars combinatoria

Hudobný objekt:Melódia

Hudobný problém:Popíš všetky 4-tónové melódie

Hudobné riešenie:

Matematický objekt:Permutácia

Matematický problém:Popíš permutácie 4 prvkov

Matematické riešenie:Ide o týchto 24 permutácií

Formalizáciamelódie

Interpretáciapermutácií

Kombinatorika

Ide o týchto 24 melódií

???

Incitačná oblasť

Referenčná oblasť

Incitačný problém

týkajúci sa incitačných(hudobných) objektova konceptov

Incitačné riešenie

vyjadrené incitačným jazykom

Referenčný problém

týkajúci sa referenčných(matematických) objektova konceptov

Referenčné riešenie

Vyjadrené referenčnýmjazykom (matematiky)

Matematizácia Dematematizácia

Referenčný(matematický)prieskum

???

Page 8: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

1. Formálna interakcia

2. Sprostredkovaná interakcia

3. Kvantifikačná interakcia

4. Štruktúrna interakcia: konceptualizácia a matematický prieskum

Štyri typy interakcie muzikológie s matematikou

Page 9: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

1) Formálna interakcia• Motivácia: snaha o zvýšenie vedeckej hodnoty muzikológie• Inšpirácia výdobytkami iných vied:

• Axiomatická výstavba matematiky• Univerzálnosť prírodných zákonov fyziky

• Riziko:Môže vôbec existovať hudobný zákon? (Filipove vývinové zákony/trendy)

Page 10: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

• Motivácia: snaha o zvýšenie vedeckej hodnoty muzikológie

• Inšpirácia výdobytkami iných vied:• Axiomatická výstavba matematiky• Univerzálnosť prírodných zákonov fyziky

• Riziko:Môže vôbec existovať hudobný zákon? (Filipove vývinové zákony/trendy)

1) Formálna interakcia

Page 11: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

1) Formálnainterakcia

Page 12: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Úskalia a výhody formálnej interakcie„V hudobnej teórii nepodkladám za ideál nejakú formalizáciu ,an

sich‘, azda pre akýsi samoľúby narcizmus elegantnosti konštrukciealebo preto, že to možno príde do módy, že sa to robí inde alebo

pre prázdne hochštaplerské blufovanie čitateľa.

[...] Ide len o to, ako perspektívne využiť tie obdivuhodnémyšlienkové nástroje, ktoré v daktorých iných disciplínach tak

posunuli vývoj dopredu a ktorésú nenahraditeľné inými prostriedkami.“

Miroslav Filip: Hudobná teória a jej vzťah k formálnym vedám

Page 13: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

• Motivácia: reduktívny potenciál matematických metód

• Komplexné vstupné hudobné údaje sú redukované matematickou metódou najednoduchšie

• Využívané sú tu typicky štatistické metódy

• Riziko:Snaha o „verifikáciu“ (pseudo)zákonov

2) Kvantifikačná interakcia

Page 14: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

2) Kvantifikačnáinterakcia

Page 15: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Príklady kvantifikačnej interakcie• Jednoduché deskriptívne štatistiky

• Zipf-Mandelbrottov zákon

• Aplikácie Shannonovej teórie informácie

• Aplikácia Markovoých reťazcov

• Aplikácia moderných štatistických metód (data-mining, parametrické modely,skryté Markovove reťazce atď.; pozri napr. Beran: Statistics in Musicology)

Page 16: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

3) Sprostredkovaná interakcia• Interakcia sprostredkovaná (mediovaná) inou disciplínou

• Príklady mediačných disciplín:• Fyzika• Psychológia• Informatika

• Nejde vlastne o priamu interakciu muzikológie/hudby s matematikou

Page 17: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

3) Sprostredkovanáinterakcia

Page 18: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

• Motivácia: podobnosť hudobných a matematických štruktúr

• Matematika poskytuje nástroje na popísanie hudobných štruktúr:• Algebra• Geometria

• Dva nadväzujúce incitačné problémy:• Konceptualizácia• Matematický prieskum

• Riziko:Demuzikalizácia matematického prieskumu

4) Štruktúrna interakcia

Page 19: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

4) Štruktúrnainterakcia:

Konceptualizácia

Page 20: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

4) Štruktúrnainterakcia:

Prieskum

Page 21: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Príklady štruktúrnej interakcie• Mersennova hudobná kombinatorika• Využitie teórie grúp v hudobnej teórii

(už v r. 1924, W. Graeser)• Množiny, grupy, akcie na množine v Americkej teórii množín

(Babbitt, Milton, Lewin, Rahn, Morris)• Pólyova enumeračná teória aplikovaná na hudobné objekty (Fripertinger)• Teória kategórií a toposov aplikovaná na hudbu

(Mazzola: The Topos of Music, 2002)• Transformačná teória hudby

(Lewin: Generalized Musical Intervals and Transformations, 1987)• Neo-Riemannovské teórie

(Cohn: Audacious Euphony, 2012)• Geometrizujúca hudobná teória a tzv. priestory vedenia hlasov

(Tymoczko: Geometry of Music, 2011)

Page 22: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Sofistikovaná štruktúrna interakcia

„Kritický čitateľ môže položiť otázku, či hudba je skutočne taká zložitá.Odpoveď znie áno a dôvod je zrejmý:

Nemôžeme tvrdiť, že Bach, Haydn, Mozart alebo Beethoven [...] sú vynikajúciskladatelia a že vytvorili majstrovské diela večnej hodnoty, bez toho,

aby sme sa pokúsili pochopiť takéto jedinečné výtvorys primeranými nástrojmi, čo znamená nástrojmi primeranej hĺbky a sily.“

Guerino Mazzola: The Topos of Music

Page 23: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

1. Formálna interakcia

2. Sprostredkovaná interakcia

3. Kvantifikačná interakcia

4. Štruktúrna interakcia:konceptualizáciamatematický prieskum

Štyri typy interakcie muzikológie s matematikou

„vlastná“ matematizácia hudobných objektov

Page 24: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Abstraktné hudobné priestory(Príklady štruktúrnych interakcií hudby a matematiky)

Page 25: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

• Abstraktné modely hudobných štruktúr a ich vizualizácia• Predstavujú teoretický netemporálny priestor štruktúrnych možnosté• Konkrétne hudba, komponovaná alebo interpretovaná, je tak sťaby

„trajektóriou“ v tomto abstraktnom priestore• Lewin (1993) v analýze Stockhausenovho Klavierstück III:

[The relations underlying the abstract space] exist outside human time in an abstractuniverse of quasi-spatial potentialities; they cannot be manifested in music exceptthrough human gestures that move through chronological time...

• Morrisov (1995) ontologicky spriaznený pojem “compositional space”:[A] compositional space is a set of musical objects related and/or connected in at leastone specific way. But most importantly, compositional spaces are nontemporallyinterpreted – that is, they are out-of-time

Abstraktné hudobné priestory

Page 26: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Oblasti aplikácie

Analýza

Interpretácia

Kompozícia

Teória

Hudobnápsychológia

Page 27: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Musica Enchiriadis (neskoré 9. st.)

• Naša notácia tónov je základným príkladom

Priestorové HORE/DOLE reprezentuje VYSOKÚ/NÍZKU tónovú výšku

Page 28: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Salinas (16. st.)

Salinas, Francisco de: De musica, Mathias Gastius, Salamanca, 1577, 1592(Reprint: M. S. Kastner (ed.), Documenta Musicologica I no. 13, Bärenreiter, Kassel, 1958.)

Systém tónov(stupnica)

Page 29: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Glareanov Dodecachordon (16. st.)

Glarean, H.: Dodecachordon, H. Petri, Basel, 1547(Facsimile: Broude, New York, 1979.)

Systém stupníc

Page 30: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Euler, Leonhard: De harmoniae veris principiis per speculum musicum representatis. In: NoviCommentarii academiae scientiarum Petropolitanae 18, 1774, pp. 330-353

Euler – speculum musicum (18. st.)

Asi najdôležitejší model

2D systém tónov

Page 31: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Riemann, Hugo: Über das musikalische Hören, Göttingen, Leipzig, 1874

Hugo Riemann a iní nemeckí teoretici 19. st.

Nekonečný 2Dsystém

TONNETZ

Page 32: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Hostinského Tonnetz

Hostinský, Otakar: Die Lehre von den musikalischen Klängen,H. Dominicus, Prague, 1879

InáTONNETZ

Page 33: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Tanaka, Shohé: Studien im Gebiete der reinen Stimmung. In: Chrysander, F.; Spitta, P. & Adler,G. (Eds.): Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft, Breitkopf und Härtel, Leipzig, 1890, 6, 1-90

Shohé Tanaka – 53-tónový systém (1890)

Rozšírený systémtónov

Page 34: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Oettingen, Arthur von: Die Grundlageder Musikwissenschaft und das dualeReininstrument, Abhandllungen dermathematisch-physischen Klasse derKönigl. Sächsischen Gesellschaft derWissenschaften, Leipzig, 1916, 34

Arthur von Oettingen – 53-tónový systém

Iný rozšírenýsystém

Page 35: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Weber: priestorový model pre kompozíciu (19. st.)

Weber, Gottfried: Versuch einergeordneten Theorie der Tonsetzkunst zumSelbstunterricht, Bd. 2, Mainz, Schott, 1824

Systém stupnícpre KOMPOZÍCIU

Page 36: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Schönberg – kompozícia (20. st.)

Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954

Systém harmóniípre KOMPOZÍCIU

Page 37: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

„Mapy“ harmonických priestorov – v hudobnej teórii

Imig, Renate: Systeme derFunktionsbezeichnung in denHarmonielehre seit HugoRiemann, Orpheus, Düsseldorf,1970

Systém harmóniípre TEÓRIU

Page 38: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Kellerova analýza Mozarta

Keller, Wilhelm: Die Modulationen in Mozarts Fantasie KV 475In: Weiss, G. (Ed.): Festschrift Erich Valentin, Regensburg, 1976, 79-88

Systém harmóniípre ANALÝZU

Page 39: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Lerdahlove analytické priestory

Systém harmónií a tonalítANALÝZA

Page 40: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Douthett, Jack – Steinbach, Peter: Parsimonious Graphs: A Study in Parsimony, ContextualTransformations, and Modes of Limited Transposition, Journal of Music Theory, 1998, 42, 241-263

Douthettove grafy: Cube Dance a Power Towers

Systémkvintakordov

ANALÝZASystém

septakordovANALÝZA

Page 41: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Cohnove analytické priestory

Systémykvintakordov a

septakordovv ANALÝZE

Page 42: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Jankóova klaviatúra (1882)

“Izomorfná klaviatúra”(derivovaný z Tonnetz)

pre INTERPRETÁCIU

Page 43: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Bosanquetova klaviatúra (1876)

Bosanquet, R. H. Macdowall: An Elementary Treatise on Musical Intervals and Temperament (London 1876)In: Rasch, R. (Ed.): Diapason Press, Utrecht, 1976

Rozšírená izomorfnáklaviatúra

pre INTEREPRETÁCIU(a KOMPOZÍCIU)

Page 44: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Fokkerova klaviatúra (1950)

Rozšírená izomorfnáklaviatúra

pre INTEREPRETÁCIU(a KOMPOZÍCIU)

Page 45: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Moderné izomorfné klaviatúry

Terpstra ChromatoneRozšírená izomorfná

klaviatúrapre INTEREPRETÁCIU

(a KOMPOZÍCIU)

Page 46: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Hudobná psychológia – 19. st.

Modely tónovej výškyv PSYCHOLÓGII

Opelt, 1834

Drobisch, 1855 Révész, 1954

Page 47: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Shepard, Roger N.: Geometrical Approximations to the Structure of Musical PitchPsychol. Rev., 1982, 89, 305-333

Hudobná psychológia – 20. st.

Pokročilé modely tónovejvýšky

v PSYCHOLÓGII

Page 48: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Krumhansl, Carol L.: Perceived Triad Distance: Evidence Supporting the PsychologicalReality of Neo-Riemannian Transformations, Journal of Music Theory, 1998, 42, 265-281

Hudobná psychológia – 20. st.

Modely kvintakordovv PSYCHOLÓGII

Ekvivalentné s Tonnetz

Page 49: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Toroidálne modely

Page 50: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Oblasti aplikujúce metafore abstraktného priestoru

AnalýzaCohn

InterpretáciaFokker

KompozíciaSchönberg

Riemann Teória

Hudobnápsychológia

Shepard

Page 51: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

TonnetzTónová sieť

Page 52: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Euler, Leonhard: De harmoniae veris principiis per speculum musicum representatis. In: NoviCommentarii academiae scientiarum Petropolitanae 18, 1774, pp. 330-353

Eulerovo speculum musicum

čisté kvinty

veľké tercie

Page 53: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Hostinského Tonnetz

Hostinský, Otakar: Die Lehre von den musikalischen Klängen,H. Dominicus, Prague, 1879

kvinty

veľké tercie

Page 54: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Krumhanslovej Tonnetz

Krumhansl, Carol L.: Perceived Triad Distance: Evidence Supporting the PsychologicalReality of Neo-Riemannian Transformations, Journal of Music Theory, 1998, 42, 265-281

kvinty

veľké tercie

Page 55: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Tonnetz ako 2D generovaný tónový systém

3C♯ 3G♯ 3D♯ 3A♯ 3E♯ 3B♯ 3F♯♯ 3C♯♯ 3G♯♯ 3D♯♯ 3A♯♯

2A 2E 2B 2F♯ 2C♯ 2G♯ 2D♯ 2A♯ 2E♯ 2B♯ 2F♯♯

1F 1C 1G 1D 1A 1E 1B 1F♯ 1C♯ 1G♯ 1D♯

Db Ab Eb Bb F C G D A E B

1Bbb 1Fb 1Cb 1Gb 1Db 1Ab 1Eb 1Bb 1F 1C 1G

2Gbb 2Dbb 2Abb 2Ebb 2Bbb 2Fb 2Cb 2Gb 2Db 2Ab 2Eb

Db Ab Eb Bb F C G D A E B

3C♯♯

2A♯

1F♯

D

1Bb

2Gb

kvinty

veľké tercie

Page 56: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Eulerovo speculum musicum ako podmnožina Tonnetz

3C♯ 3G♯ 3D♯ 3A♯ 3E♯ 3B♯ 3F♯♯ 3C♯♯ 3G♯♯ 3D♯♯ 3A♯♯

2A 2E 2B 2F♯ 2C♯ 2G♯ 2D♯ 2A♯ 2E♯ 2B♯ 2F♯♯

1F 1C 1G 1D 1A 1E 1B 1F♯ 1C♯ 1G♯ 1D♯

D♭ A♭ E♭ B♭ F C G D A E B

1B♭♭ 1F♭ 1C♭ 1G♭ 1D♭ 1A♭ 1E♭ 1B♭ 1F 1C 1G

2G♭♭ 2D♭♭ 2A♭♭ 2E♭♭ 2B♭♭ 2F♭ 2C♭ 2G♭ 2D♭ 2A♭ 2E♭

1E 1B 1F♯ 1C♯

C G D A

1A♭ 1E♭ 1B♭ 1F

Page 57: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Úsporné transformáciena TonnetzZáklady Cohnovej “neo-Riemannovskej” teórie

Page 58: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Tonnetz a jej duál

G D A E B F♯ C♯ G♯ D♯

E♭ B♭ F C G D A E B

E B F♯ C♯ G♯ D♯ A♯ E♯ H♯

E♭♭ H♭♭ F♭ C♭ G♭ D♭ A♭ E♭ B♭

G♭ D♭ A♭ E♭ B♭ F C G D

G♯ D♯ A♯ E♯ B♯ F♯♯ C♯♯ G♯♯ D♯♯

aC

cA♭

f

F

Page 59: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Úsporné transformácie na Tonnetz

G D A E B F♯ C♯ G♯ D♯

E♭ B♭ F C G D A E B

E B F♯ C♯ G♯ D♯ A♯ E♯ H♯

E♭♭ H♭♭ F♭ C♭ G♭ D♭ A♭ E♭ B♭

G♭ D♭ A♭ E♭ B♭ F C G D

L – Leittonwechsel

P – parallel

R– relative

G♯ D♯ A♯ E♯ B♯ F♯♯ C♯♯ G♯♯ D♯♯

L a P sú úspornejšie ako R

Page 60: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Schubert, Sonatina in G Minor, Op. 137, No. 3, II

B♭ ii V7 (C♭)

B b G

g E♭ C♭

Page 61: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Analýza Schuberte

G D A E B F♯ C♯ G♯ D♯

E♭ B♭ F C G D A E B

E B F♯ C♯ G♯ D♯ A♯ E♯ H♯

E♭♭ H♭♭ F♭ C♭ G♭ D♭ A♭ E♭ B♭

G♭ D♭ A♭ E♭ B♭ F C G D

B b G

g E♭ C♭

P

P

L

L

PL

Reťazec úsporných“neo-Riemannovských” transformácií:

P – L – P – L – PL

Page 62: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Schubert analyzovaný Cube Dance

Page 63: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

• Tonnetz – prístupný model úsporných transformácií kvintakordov, teda množín3 tónov

• Zovšeobecnenia pre viac ako 3 tóny – problém viacrozmernosti• Gollinov (1998) model septakordov: 3D• Tymoczkov (2011) model septakordov: dokonca 4D!

• Môj model generovaných tónových systémov:• Všetky modely sú derivované z 2D Tonnetz• Model pre 3-tónové množiny zodpovedá Cube Dance• Ďalšie modely pre 4- a 7- tónové množiny

Zovšeobecnenia pre množiny viac ako 3 tónov

Page 64: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Gollin, Edward: Some Aspects of Three-Dimensional "Tonnetze“, JMT, 1998, 42, 195-206

Gollinov 3D model 4-tónové akordy

Page 65: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Tymoczko, Dmitri: A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice,Oxford University Press, 2011

Tymoczkov 3D model pre 3-tónové akordy

Zodpovedá Cube Dance

Page 66: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Tymoczkov 4D model pre 4-tónové akordy

Tymoczko, Dmitri: A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice,Oxford University Press, 2011

Page 67: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Generované tónové systémy

Page 68: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Model pre 3-tónové akordy

Page 69: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Model pre 4-tónové akordy

Page 70: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Chopin: Mazurka no. 13

Page 71: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Chopin: Mazurka no. 13

Plane Dance

Tube DanceDonut Dance

Page 72: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

3 hd7 DÙ-2 hd7 BÙ-1 hd7 G 0 hd7 E1 hd7 CÛ2 hd7 AÛ3 hd7 FÛÛ4 hd7

FÙ-3 mi7 DÙ-2 mi7 BÙ-1 mi7 G0 mi7 E1 mi7 CÛ2 mi7 AÛ3 mi7 FÛÛ4

ÙÙ4 d7 FÙ-3 d7 DÙ-2 d7 BÙ-1 d7 G 0 d7 E 1 d7 CÛ2 d7 AÛ3 d7

AÙ-2 dim7 F-1 dim7 D0 dim7 B1 dim7 GÛ2 dim7 EÛ3 dim7 CÛÛ4 dim7 AÛÛ5 dim7

3 hd7 AÙ-2 hd7 F-1 hd7 D0 hd7 B1 hd7 GÛ2 hd7 EÛ3 hd7 CÛÛ4 hd7

CÙ-3 mi7 AÙ-2 mi7 F-1 mi7 D0 mi7 B1 mi7 GÛ2 mi7 EÛ3 mi7 CÛÛ4

ÙÙ4 d7 CÙ-3 d7 AÙ-2 d7 F-1 d7 D0 d7 B 1 d7 GÛ2 d7 EÛ3 d7

EÙ-2 dim7 C-1 dim7 A0 dim7 FÛ1 dim7 DÛ2 dim7 BÛ3 dim7 GÛÛ4 dim7 EÛÛ5 dim7

3 hd7 EÙ-2 hd7 C-1 hd7 A 0 hd7 FÛ1 hd7 DÛ2 hd7 BÛ3 hd7 GÛÛ4 hd7

GÙ-3 mi7 EÙ-2 mi7 C-1 mi7 A0 mi7 FÛ1 mi7 DÛ2 mi7 BÛ3 mi7 GÛÛ4

ÙÙ4 d7 GÙ-3 d7 EÙ-2 d7 C-1 d7 A0 d7 FÛ1 d7 DÛ2 d7 BÛ3 d7

BÙ-2 dim7 G -1 dim7 E0 dim7 CÛ1 dim7 AÛ2 dim7 FÛÛ3 dim7 DÛÛ4 dim7 BÛÛ5 dim7

3 hd7 BÙ-2 hd7 G -1 hd7 E 0 hd7 CÛ1 hd7 AÛ2 hd7 FÛÛ3 hd7 DÛÛ4 hd7

DÙ-3 mi7 BÙ-2 mi7 G -1 mi7 E0 mi7 CÛ1 mi7 AÛ2 mi7 FÛÛ3 mi7 DÛÛ4

Ù4 d7 DÙ-3 d7 BÙ-2 d7 G -1 d7 E0 d7 CÛ1 d7 AÛ2 d7 FÛÛ3 d7

F-2 dim7 D-1 dim7 B0 dim7 GÛ1 dim7 EÛ2 dim7 CÛÛ3 dim7 AÛÛ4 dim7 FÛÛÛ5 dim7

3 hd7 F-2 hd7 D-1 hd7 B 0 hd7 GÛ1 hd7 EÛ2 hd7 CÛÛ3 hd7 AÛÛ4 hd7

AÙ-3 mi7 F-2 mi7 D-1 mi7 B0 mi7 GÛ1 mi7 EÛ2 mi7 CÛÛ3 mi7 AÛÛ4

Ù-4 d7 AÙ-3 d7 F-2 d7 D-1 d7 B0 d7 GÛ1 d7 EÛ2 d7 CÛÛ3 d7

C-2 dim7 A -1 dim7 FÛ0 dim7 DÛ1 dim7 BÛ2 dim7 GÛÛ3 dim7 EÛÛ4 dim7 CÛÛÛ5

3 hd7 C-2 hd7 A -1 hd7 FÛ0 hd7 DÛ1 hd7 BÛ2 hd7 GÛÛ3 hd7 EÛÛ4 hd7

hd7 DÙhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7

FÙmi7 DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛ

ÙÙd7 FÙd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7

AÙdim7 Fdim7 Ddim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7

Ùhd7 AÙhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7

CÙmi7 AÙmi7 F mi7 Dmi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛ

ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7

EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7

Ùhd7 EÙhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7

GÙmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 GÛÛ

ÙÙd7 GÙd7 EÙd7 Cd7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7

BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7

Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7

DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ

Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7

F dim7 D dim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7

Ùhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7 AÛÛhd7

AÙmi7 Fmi7 D mi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛmi7 AÛÛ

Ùd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7 CÛÛd7

C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7 CÛÛÛ

Ùhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7 EÛÛhd7

Ùhd7

CÙmi7

AÙhd7

AÙmi7

F hd7

F mi7

D hd7

D mi7

B hd7

B mi7

G Ûhd7

G Ûmi7

EÛhd7

EÛmi7

CÛÛhd7

CÛÛ

ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 F d7 D d7 B d7 G Ûd7 EÛd7

EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 G ÛÛdim7 EÛÛdim7

Ùhd7 EÙhd7 C hd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 G ÛÛhd7

G Ùmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 G ÛÛ

ÙÙd7 G Ùd7 EÙd7 C d7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7

BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7

Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7

DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ

Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7

F dim7 D dim7 B dim7 G Ûdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7

Chopin: Mazurka no. 1

Page 73: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

3 hd7 DÙ-2 hd7 BÙ-1 hd7 G 0 hd7 E1 hd7 CÛ2 hd7 AÛ3 hd7 FÛÛ4 hd7

FÙ-3 mi7 DÙ-2 mi7 BÙ-1 mi7 G0 mi7 E1 mi7 CÛ2 mi7 AÛ3 mi7 FÛÛ4

ÙÙ4 d7 FÙ-3 d7 DÙ-2 d7 BÙ-1 d7 G 0 d7 E 1 d7 CÛ2 d7 AÛ3 d7

AÙ-2 dim7 F-1 dim7 D0 dim7 B1 dim7 GÛ2 dim7 EÛ3 dim7 CÛÛ4 dim7 AÛÛ5 dim7

3 hd7 AÙ-2 hd7 F-1 hd7 D0 hd7 B1 hd7 GÛ2 hd7 EÛ3 hd7 CÛÛ4 hd7

CÙ-3 mi7 AÙ-2 mi7 F-1 mi7 D0 mi7 B1 mi7 GÛ2 mi7 EÛ3 mi7 CÛÛ4

ÙÙ4 d7 CÙ-3 d7 AÙ-2 d7 F-1 d7 D0 d7 B 1 d7 GÛ2 d7 EÛ3 d7

EÙ-2 dim7 C-1 dim7 A0 dim7 FÛ1 dim7 DÛ2 dim7 BÛ3 dim7 GÛÛ4 dim7 EÛÛ5 dim7

3 hd7 EÙ-2 hd7 C-1 hd7 A 0 hd7 FÛ1 hd7 DÛ2 hd7 BÛ3 hd7 GÛÛ4 hd7

GÙ-3 mi7 EÙ-2 mi7 C-1 mi7 A0 mi7 FÛ1 mi7 DÛ2 mi7 BÛ3 mi7 GÛÛ4

ÙÙ4 d7 GÙ-3 d7 EÙ-2 d7 C-1 d7 A0 d7 FÛ1 d7 DÛ2 d7 BÛ3 d7

BÙ-2 dim7 G -1 dim7 E0 dim7 CÛ1 dim7 AÛ2 dim7 FÛÛ3 dim7 DÛÛ4 dim7 BÛÛ5 dim7

3 hd7 BÙ-2 hd7 G -1 hd7 E 0 hd7 CÛ1 hd7 AÛ2 hd7 FÛÛ3 hd7 DÛÛ4 hd7

DÙ-3 mi7 BÙ-2 mi7 G -1 mi7 E0 mi7 CÛ1 mi7 AÛ2 mi7 FÛÛ3 mi7 DÛÛ4

Ù4 d7 DÙ-3 d7 BÙ-2 d7 G -1 d7 E0 d7 CÛ1 d7 AÛ2 d7 FÛÛ3 d7

F-2 dim7 D-1 dim7 B0 dim7 GÛ1 dim7 EÛ2 dim7 CÛÛ3 dim7 AÛÛ4 dim7 FÛÛÛ5 dim7

3 hd7 F-2 hd7 D-1 hd7 B 0 hd7 GÛ1 hd7 EÛ2 hd7 CÛÛ3 hd7 AÛÛ4 hd7

AÙ-3 mi7 F-2 mi7 D-1 mi7 B0 mi7 GÛ1 mi7 EÛ2 mi7 CÛÛ3 mi7 AÛÛ4

Ù-4 d7 AÙ-3 d7 F-2 d7 D-1 d7 B0 d7 GÛ1 d7 EÛ2 d7 CÛÛ3 d7

C-2 dim7 A -1 dim7 FÛ0 dim7 DÛ1 dim7 BÛ2 dim7 GÛÛ3 dim7 EÛÛ4 dim7 CÛÛÛ5

3 hd7 C-2 hd7 A -1 hd7 FÛ0 hd7 DÛ1 hd7 BÛ2 hd7 GÛÛ3 hd7 EÛÛ4 hd7

hd7 DÙhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7

FÙmi7 DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛ

ÙÙd7 FÙd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7

AÙdim7 Fdim7 Ddim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7

Ùhd7 AÙhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7

CÙmi7 AÙmi7 F mi7 Dmi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛ

ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7

EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7

Ùhd7 EÙhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7

GÙmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 GÛÛ

ÙÙd7 GÙd7 EÙd7 Cd7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7

BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7

Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7

DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ

Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7

F dim7 D dim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7

Ùhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7 AÛÛhd7

AÙmi7 Fmi7 D mi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛmi7 AÛÛ

Ùd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7 CÛÛd7

C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7 CÛÛÛ

Ùhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7 EÛÛhd7

Ùhd7

CÙmi7

AÙhd7

AÙmi7

F hd7

F mi7

D hd7

D mi7

B hd7

B mi7

G Ûhd7

G Ûmi7

EÛhd7

EÛmi7

CÛÛhd7

CÛÛ

ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 F d7 D d7 B d7 G Ûd7 EÛd7

EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 G ÛÛdim7 EÛÛdim7

Ùhd7 EÙhd7 C hd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 G ÛÛhd7

G Ùmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 G ÛÛ

ÙÙd7 G Ùd7 EÙd7 C d7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7

BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7

Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7

DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ

Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7

F dim7 D dim7 B dim7 G Ûdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7

zekvivalentnenie

Page 74: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

3 hd7 DÙ-2 hd7 BÙ-1 hd7 G 0 hd7 E1 hd7 CÛ2 hd7 AÛ3 hd7 FÛÛ4 hd7

FÙ-3 mi7 DÙ-2 mi7 BÙ-1 mi7 G0 mi7 E1 mi7 CÛ2 mi7 AÛ3 mi7 FÛÛ4

ÙÙ4 d7 FÙ-3 d7 DÙ-2 d7 BÙ-1 d7 G 0 d7 E 1 d7 CÛ2 d7 AÛ3 d7

AÙ-2 dim7 F-1 dim7 D0 dim7 B1 dim7 GÛ2 dim7 EÛ3 dim7 CÛÛ4 dim7 AÛÛ5 dim7

3 hd7 AÙ-2 hd7 F-1 hd7 D0 hd7 B1 hd7 GÛ2 hd7 EÛ3 hd7 CÛÛ4 hd7

CÙ-3 mi7 AÙ-2 mi7 F-1 mi7 D0 mi7 B1 mi7 GÛ2 mi7 EÛ3 mi7 CÛÛ4

ÙÙ4 d7 CÙ-3 d7 AÙ-2 d7 F-1 d7 D0 d7 B 1 d7 GÛ2 d7 EÛ3 d7

EÙ-2 dim7 C-1 dim7 A0 dim7 FÛ1 dim7 DÛ2 dim7 BÛ3 dim7 GÛÛ4 dim7 EÛÛ5 dim7

3 hd7 EÙ-2 hd7 C-1 hd7 A 0 hd7 FÛ1 hd7 DÛ2 hd7 BÛ3 hd7 GÛÛ4 hd7

GÙ-3 mi7 EÙ-2 mi7 C-1 mi7 A0 mi7 FÛ1 mi7 DÛ2 mi7 BÛ3 mi7 GÛÛ4

ÙÙ4 d7 GÙ-3 d7 EÙ-2 d7 C-1 d7 A0 d7 FÛ1 d7 DÛ2 d7 BÛ3 d7

BÙ-2 dim7 G -1 dim7 E0 dim7 CÛ1 dim7 AÛ2 dim7 FÛÛ3 dim7 DÛÛ4 dim7 BÛÛ5 dim7

3 hd7 BÙ-2 hd7 G -1 hd7 E 0 hd7 CÛ1 hd7 AÛ2 hd7 FÛÛ3 hd7 DÛÛ4 hd7

DÙ-3 mi7 BÙ-2 mi7 G -1 mi7 E0 mi7 CÛ1 mi7 AÛ2 mi7 FÛÛ3 mi7 DÛÛ4

Ù4 d7 DÙ-3 d7 BÙ-2 d7 G -1 d7 E0 d7 CÛ1 d7 AÛ2 d7 FÛÛ3 d7

F-2 dim7 D-1 dim7 B0 dim7 GÛ1 dim7 EÛ2 dim7 CÛÛ3 dim7 AÛÛ4 dim7 FÛÛÛ5 dim7

3 hd7 F-2 hd7 D-1 hd7 B 0 hd7 GÛ1 hd7 EÛ2 hd7 CÛÛ3 hd7 AÛÛ4 hd7

AÙ-3 mi7 F-2 mi7 D-1 mi7 B0 mi7 GÛ1 mi7 EÛ2 mi7 CÛÛ3 mi7 AÛÛ4

Ù-4 d7 AÙ-3 d7 F-2 d7 D-1 d7 B0 d7 GÛ1 d7 EÛ2 d7 CÛÛ3 d7

C-2 dim7 A -1 dim7 FÛ0 dim7 DÛ1 dim7 BÛ2 dim7 GÛÛ3 dim7 EÛÛ4 dim7 CÛÛÛ5

3 hd7 C-2 hd7 A -1 hd7 FÛ0 hd7 DÛ1 hd7 BÛ2 hd7 GÛÛ3 hd7 EÛÛ4 hd7

hd7 DÙhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7

FÙmi7 DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛ

ÙÙd7 FÙd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7

AÙdim7 Fdim7 Ddim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7

Ùhd7 AÙhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7

CÙmi7 AÙmi7 F mi7 Dmi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛ

ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7

EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7

Ùhd7 EÙhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7

GÙmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 GÛÛ

ÙÙd7 GÙd7 EÙd7 Cd7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7

BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7

Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7

DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ

Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7

F dim7 D dim7 B dim7 GÛdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7

Ùhd7 Fhd7 Dhd7 B hd7 GÛhd7 EÛhd7 CÛÛhd7 AÛÛhd7

AÙmi7 Fmi7 D mi7 B mi7 GÛmi7 EÛmi7 CÛÛmi7 AÛÛ

Ùd7 AÙd7 Fd7 Dd7 B d7 GÛd7 EÛd7 CÛÛd7

C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 GÛÛdim7 EÛÛdim7 CÛÛÛ

Ùhd7 Chd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 GÛÛhd7 EÛÛhd7

Ùhd7

CÙmi7

AÙhd7

AÙmi7

F hd7

F mi7

D hd7

D mi7

B hd7

B mi7

G Ûhd7

G Ûmi7

EÛhd7

EÛmi7

CÛÛhd7

CÛÛ

ÙÙd7 CÙd7 AÙd7 F d7 D d7 B d7 G Ûd7 EÛd7

EÙdim7 C dim7 A dim7 FÛdim7 DÛdim7 BÛdim7 G ÛÛdim7 EÛÛdim7

Ùhd7 EÙhd7 C hd7 A hd7 FÛhd7 DÛhd7 BÛhd7 G ÛÛhd7

G Ùmi7 EÙmi7 C mi7 A mi7 FÛmi7 DÛmi7 BÛmi7 G ÛÛ

ÙÙd7 G Ùd7 EÙd7 C d7 A d7 FÛd7 DÛd7 BÛd7

BÙdim7 G dim7 E dim7 CÛdim7 AÛdim7 FÛÛdim7 DÛÛdim7 BÛÛdim7

Ùhd7 BÙhd7 G hd7 E hd7 CÛhd7 AÛhd7 FÛÛhd7 DÛÛhd7

DÙmi7 BÙmi7 G mi7 E mi7 CÛmi7 AÛmi7 FÛÛmi7 DÛÛ

Ùd7 DÙd7 BÙd7 G d7 E d7 CÛd7 AÛd7 FÛÛd7

F dim7 D dim7 B dim7 G Ûdim7 EÛdim7 CÛÛdim7 AÛÛdim7 FÛÛÛdim7

Alternatívne trasa štvrtého podmotívu

Page 75: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Modely pre 7-tónové „akordy“ (stupnice)

Page 76: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Debussy: La fille aux cheveux de lin

Page 77: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Debussy: La puerta del Vino

Fh-M

FM

CNp-M

Ch-mi C

h-M

GHn-M

CHn-M

BÙM

Gh-mi

DNp-mi

FNp-M

GNp-mi

CM

GNp-M

Gh-M

DHn-M

Dh-mi

ANp-mi

GM

DNp-MD

h-MA

Hn-MA

h-mi ENp-miD

M

ANp-M

Ah-M

EHn-M

Eh-mi

BNp-mi

AM

ENp-M

Eh-M

BHn-M

Bh-mi

FÛNp-mi

EM

BNp-M

Bh-M

FÛHn-M

FÛh-mi

CÛNp-mi

BM

FÛNp-M

FÛh-M

CÛHn-M

CÛh-mi

GÛNp-mi

FÛM

CÛNp-M

CÛh-M

GÛHn-M

GÛh-mi

DÛNp-mi

DÙM

AÙNp-M

AÙh-M

EÙHn-M

EÙh-mi

BÙNp-mi

AÙM

EÙNp-M

EÙh-M

BÙHn-M

BÙh-mi

FNp-mi

EÙM

BÙNp-M

BÙh-M

FHn-M

Fh-mi

CNp-mi

Page 78: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Mozart: Fantázia c mol (K475)

Fh-M

FM

CNp-M

Ch-mi C

h-M

GHn-M

CHn-M

BÙM

Gh-mi

DNp-mi

FNp-M

GNp-mi

CM

GNp-M

Gh-M

DHn-M

Dh-mi

ANp-mi

GM

DNp-MD

h-MA

Hn-MA

h-mi ENp-miD

M

ANp-M

Ah-M

EHn-M

Eh-mi

BNp-mi

AM

ENp-M

Eh-M

BHn-M

Bh-mi

FÛNp-mi

EM

BNp-M

Bh-M

FÛHn-M

FÛh-mi

CÛNp-mi

BM

FÛNp-M

FÛh-M

CÛHn-M

CÛh-mi

GÛNp-mi

FÛM

CÛNp-M

CÛh-M

GÛHn-M

GÛh-mi

DÛNp-mi

DÙM

AÙNp-M

AÙh-M

EÙHn-M

EÙh-mi

BÙNp-mi

AÙM

EÙNp-M

EÙh-M

BÙHn-M

BÙh-mi

FNp-mi

EÙM

BÙNp-M

BÙh-M

FHn-M

Fh-mi

CNp-mi

sequence

A♭ ac

sequence

3

5

6

7

8

9

10

12

13

14

15

16

17

18

21

21

22

1

Page 79: zabka@fphil.uniba - amesh.sk½abka-Geometrické_a_algebraické_metódy_v... · Schönberg, Arnold: Structural Functions of Harmony, Norton, New York, 1954 Systém harmóni

Ďakujem za Vašu pozornosť!