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Clculo Numrico
Unidade:
Zero de Funes Reais
Responsvel pelo Contedo:
Profa. Ms. Adriana D. Freitas
Reviso Tcnica:
Profa. Dr. Jaime Sandro da Veiga
Reviso Textual:
Profa. Ms. Alessandra Cavalcante
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Unidade: Zero de Funes Reais
INTRODUO ORIGEM DOS ERROS
A frase atribuda ao matemtico alemo David Hilbert (1862-
1943) Nenhum outro problema afetou to profundamente o
esprito do homem; nenhuma outra ideia to fertilmente
estimulou seu intelecto; nenhum outro conceito necessita de
maior esclarecimento do que o infinito ilustra bem o incio
desta unidade de estudo.
Ao efetuarmos operaes matemticas, mesmo que com nmeros naturais
ou inteiros, devemos considerar que nem sempre obtemos resultados exatos, assim
temos de interpretar nmeros que so finitos, mas que possuem representao
infinita. Por exemplo, a diviso de 1 por 3 (1/3) finita (est entre 0 e 1), todavia
possui representao no conjunto do nmeros reais com infinitas casas decimais
(0,3333...). Alm disso, lidamos tambm com nmeros que no podem ser
expressos como a diviso de dois nmeros inteiros, so os chamados nmeros
irracionais, o que acarreta em chegarmos a apenas uma representao aproximada
do nmero em questo.
Com a evoluo das tecnologias para fins computacionais, os clculos
complexos ficaram a cargo de mquinas que esto sendo sempre aperfeioadas a
fim de aumentar seus recursos. As mquinas operam diversos clculos, dos mais
simples aos mais complexos, porm por mais complexas que sejam, trabalham
com um nmero finito de recursos, o que no suficiente quando lidamos com
nmeros de infinitos dgitos.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Assim, qualquer clculo, seja realizado por mos humanas ou por
mquinas, que envolva nmeros que no possam ser expressos por um nmero
finito de dgitos, no fornecer como resultado um valor exato, mas sim um valor
aproximado; e, quanto maior o nmero de dgitos utilizados, maior ser a preciso
obtida.
por isso que precisamos aprender a lidar com os erros, ou melhor, com a
margem de erro.
Vejamos dois exemplos
Exemplo 1: A primeira grande crise matemtica de que se tem conhecimento foi
quando os pitagricos se depararam com o problema da diagonal de um
quadrado. Sabemos que a diagonal de um quadrado de lado L qualquer
calculada pela expresso L .
O nmero irracional um nmero que no pode ser representado, em
sua forma decimal, com um nmero finito de dgitos. Assim, qualquer operao
que o envolva estar sujeita a aproximaes para sua representao, como por
exemplo:
1,4142 ou 1,4142136 ou ainda 1,4142135623730950488016887242097 .
Por exemplo, na trigonometria, o arco de valor possui seno igual a
, o que nos permite infinitas representaes, remetendo-nos a resultados
prximos do exato, mas que no so verdadeiramente exatos:
0,7 ;
0,7071 ;
0,7071067811865 .
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Exemplo 2: A rea A de uma circunferncia, de raio r, obtida atravs do clculo
da frmula . Neste caso, para uma circunferncia de raio igual a 10m
poderemos obter como rea:
A = 314m ;
A = 314,1592653m ;
A = 314,159265358979323846 m .
Como um nmero irracional no teremos um valor exato para o clculo
da rea, mas sim valores aproximados. No primeiro clculo utilizamos 3,14 (trs
algarismos significativos para ) e no segundo clculo, utilizamos 3,141592653
(dez algarismos significativos) e no terceiro 3,1415926535897932384 (vinte
algarismos significativos).
Nenhum dos resultados est incorreto, porm o terceiro est mais preciso
que o segundo, por sua vez est mais preciso que o primeiro, assim quanto maior o
nmero de dgitos utilizados nos clculos, maior a preciso do nmero, ou seja,
mais prximo estamos da representao real do nmero.
As diferenas entre resultados para uma mesma operao podem ser
consequncia da preciso dos dados de entrada da operao (como nos casos
ilustrados acima), ou ainda da forma como estes nmeros so representados nos
computadores ou calculadoras, pois devemos levar tambm em considerao que
estes trabalham com o sistema de representao binrio. Assim, ao inserirmos um
nmero no computador, normalmente o representamos na base decimal, este o
converte para binrio, realiza operaes matemticas nessa base e converte o
resultado novamente para a base decimal para que possamos observ-lo.
Por isso ao analisarmos um resultado, devemos levar em considerao que
este resultado limitado em funo dos nmeros de dgitos que a mquina dispe
para trabalhar e tambm na converso, pois podemos ter alguns desvios do
resultado real, j que um nmero possui uma representao finita decimal e pode
no ter representao finita no sistema binrio ou vice-versa. Nesse caso, a
mquina far aproximaes do nmero, o que implica avaliarmos a preciso do
resultado.
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ARITMTICA DE PONTO FLUTUANTE
Agora vamos entender como os nmeros so armazenados na memria do
computador. Se uma mquina trabalha com a base , os nmeros sero
representados sob o seguinte formato:
(0,d1d2d3... dt) x k
Em que t o nmero de dgitos do nmero (o qual chamamos de
mantissa), k um expoente contido em um intervalo com limite superior (M) e um
limite inferior (m). Se o expoente k, necessrio para representar um determinado
nmero, for maior que (M), temos overflow e, se for menor que (m), temos
underflow.
Considere, por exemplo, uma mquina que opera no sistema de base 10,
com 4 dgitos e o expoente de -5 a 5, ou seja:
= 10; t = 3; k [-5, 5] .
Os nmeros sero representados na seguinte forma:
0,d1d2d3 x 10e , 0 dj 9 , d1 0 , k [ -5, 5] .
O que acarreta limitao na forma como os nmeros sero representados,
tanto para o menor quanto para o maior nmero, em valor absoluto:
Menor nmero absoluto representado: m = 0,100 x 10-5 = 10-6
Maior nmero absoluto representado: M = 0,999 x 105 = 99900
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Devido a esta limitao de dgitos e expoentes (inferior e superior), a
mquina acusar a ocorrncia de um underflow caso seja preciso representar um
nmero cujo expoente seja menor do que -5 (limite inferior m), por exemplo, no
caso do nmero x = 0,243 x 10-8, de outra forma acusar a ocorrncia de
overflow quando precisar representar um nmero cujo expoente seja maior do
que 5.
Alm disso, se tivermos como resultado o nmero 127,84 = 0,12784 x 103,
(note que este nmero possui 5 dgitos na mantissa) a mquina ir armazen-lo,
mas como s dispe de trs dgitos, ter duas opes para represent-lo:
Arredondamento ou Truncamento.
i) Arredondar: significa determinar o dgito aps o ltimo algarismo
significativo do nmero, utilizando o seguinte critrio:
Menor que 5: desprezamos os demais dgitos aps o ltimo algarismo
significativo.
Maior que 5: somamos um ao ltimo algarismo significativo.
No arredondamento de 0,12784 x 10, vemos que o dgito aps o ltimo
algarismo significativo (que o terceiro, pois t =3) maior ou igual a 5. Ento,
somamos um ao ltimo algarismo significativo, e de 0,12784 x 10 arredondamos
para 0,128 x 10.
ii) Truncar: simplesmente, consideramos os dgitos contidos pelo nmero de
algarismos significativos e desprezamos os demais dgitos. Ao truncarmos o
nmero 0,12784 x 10 teremos 0,127 x 103
Poderemos utilizar ambas as representaes: 0,127 x 103 ou 0,128 x 10.
Optar por arredondar ou truncar uma opo quando realizamos uma operao e
estamos cientes da margem de erro.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Chamamos de erro absoluto ao mdulo ou valor absoluto da diferena
entre o valor exato de um nmero x e o de seu valor aproximado .
Simbolicamente, seria escrito como |. Mas como em geral no
conhecemos o valor exato de x, obtemos o que chamamos de erro relativo
dividindo o erro absoluto pelo valor aproximado,
. Por exemplo,
sabemos que o valor de est entre 3,14 e 3,15, ou seja, , ento
qualquer valor assumido como neste intervalo ter um erro