zeros das funções

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  • Clculo Numrico

  • Unidade:

    Zero de Funes Reais

    Responsvel pelo Contedo:

    Profa. Ms. Adriana D. Freitas

    Reviso Tcnica:

    Profa. Dr. Jaime Sandro da Veiga

    Reviso Textual:

    Profa. Ms. Alessandra Cavalcante

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    Unidade: Zero de Funes Reais

    INTRODUO ORIGEM DOS ERROS

    A frase atribuda ao matemtico alemo David Hilbert (1862-

    1943) Nenhum outro problema afetou to profundamente o

    esprito do homem; nenhuma outra ideia to fertilmente

    estimulou seu intelecto; nenhum outro conceito necessita de

    maior esclarecimento do que o infinito ilustra bem o incio

    desta unidade de estudo.

    Ao efetuarmos operaes matemticas, mesmo que com nmeros naturais

    ou inteiros, devemos considerar que nem sempre obtemos resultados exatos, assim

    temos de interpretar nmeros que so finitos, mas que possuem representao

    infinita. Por exemplo, a diviso de 1 por 3 (1/3) finita (est entre 0 e 1), todavia

    possui representao no conjunto do nmeros reais com infinitas casas decimais

    (0,3333...). Alm disso, lidamos tambm com nmeros que no podem ser

    expressos como a diviso de dois nmeros inteiros, so os chamados nmeros

    irracionais, o que acarreta em chegarmos a apenas uma representao aproximada

    do nmero em questo.

    Com a evoluo das tecnologias para fins computacionais, os clculos

    complexos ficaram a cargo de mquinas que esto sendo sempre aperfeioadas a

    fim de aumentar seus recursos. As mquinas operam diversos clculos, dos mais

    simples aos mais complexos, porm por mais complexas que sejam, trabalham

    com um nmero finito de recursos, o que no suficiente quando lidamos com

    nmeros de infinitos dgitos.

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    Unidade: Zero de Funes Reais

    Assim, qualquer clculo, seja realizado por mos humanas ou por

    mquinas, que envolva nmeros que no possam ser expressos por um nmero

    finito de dgitos, no fornecer como resultado um valor exato, mas sim um valor

    aproximado; e, quanto maior o nmero de dgitos utilizados, maior ser a preciso

    obtida.

    por isso que precisamos aprender a lidar com os erros, ou melhor, com a

    margem de erro.

    Vejamos dois exemplos

    Exemplo 1: A primeira grande crise matemtica de que se tem conhecimento foi

    quando os pitagricos se depararam com o problema da diagonal de um

    quadrado. Sabemos que a diagonal de um quadrado de lado L qualquer

    calculada pela expresso L .

    O nmero irracional um nmero que no pode ser representado, em

    sua forma decimal, com um nmero finito de dgitos. Assim, qualquer operao

    que o envolva estar sujeita a aproximaes para sua representao, como por

    exemplo:

    1,4142 ou 1,4142136 ou ainda 1,4142135623730950488016887242097 .

    Por exemplo, na trigonometria, o arco de valor possui seno igual a

    , o que nos permite infinitas representaes, remetendo-nos a resultados

    prximos do exato, mas que no so verdadeiramente exatos:

    0,7 ;

    0,7071 ;

    0,7071067811865 .

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    Exemplo 2: A rea A de uma circunferncia, de raio r, obtida atravs do clculo

    da frmula . Neste caso, para uma circunferncia de raio igual a 10m

    poderemos obter como rea:

    A = 314m ;

    A = 314,1592653m ;

    A = 314,159265358979323846 m .

    Como um nmero irracional no teremos um valor exato para o clculo

    da rea, mas sim valores aproximados. No primeiro clculo utilizamos 3,14 (trs

    algarismos significativos para ) e no segundo clculo, utilizamos 3,141592653

    (dez algarismos significativos) e no terceiro 3,1415926535897932384 (vinte

    algarismos significativos).

    Nenhum dos resultados est incorreto, porm o terceiro est mais preciso

    que o segundo, por sua vez est mais preciso que o primeiro, assim quanto maior o

    nmero de dgitos utilizados nos clculos, maior a preciso do nmero, ou seja,

    mais prximo estamos da representao real do nmero.

    As diferenas entre resultados para uma mesma operao podem ser

    consequncia da preciso dos dados de entrada da operao (como nos casos

    ilustrados acima), ou ainda da forma como estes nmeros so representados nos

    computadores ou calculadoras, pois devemos levar tambm em considerao que

    estes trabalham com o sistema de representao binrio. Assim, ao inserirmos um

    nmero no computador, normalmente o representamos na base decimal, este o

    converte para binrio, realiza operaes matemticas nessa base e converte o

    resultado novamente para a base decimal para que possamos observ-lo.

    Por isso ao analisarmos um resultado, devemos levar em considerao que

    este resultado limitado em funo dos nmeros de dgitos que a mquina dispe

    para trabalhar e tambm na converso, pois podemos ter alguns desvios do

    resultado real, j que um nmero possui uma representao finita decimal e pode

    no ter representao finita no sistema binrio ou vice-versa. Nesse caso, a

    mquina far aproximaes do nmero, o que implica avaliarmos a preciso do

    resultado.

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    Unidade: Zero de Funes Reais

    ARITMTICA DE PONTO FLUTUANTE

    Agora vamos entender como os nmeros so armazenados na memria do

    computador. Se uma mquina trabalha com a base , os nmeros sero

    representados sob o seguinte formato:

    (0,d1d2d3... dt) x k

    Em que t o nmero de dgitos do nmero (o qual chamamos de

    mantissa), k um expoente contido em um intervalo com limite superior (M) e um

    limite inferior (m). Se o expoente k, necessrio para representar um determinado

    nmero, for maior que (M), temos overflow e, se for menor que (m), temos

    underflow.

    Considere, por exemplo, uma mquina que opera no sistema de base 10,

    com 4 dgitos e o expoente de -5 a 5, ou seja:

    = 10; t = 3; k [-5, 5] .

    Os nmeros sero representados na seguinte forma:

    0,d1d2d3 x 10e , 0 dj 9 , d1 0 , k [ -5, 5] .

    O que acarreta limitao na forma como os nmeros sero representados,

    tanto para o menor quanto para o maior nmero, em valor absoluto:

    Menor nmero absoluto representado: m = 0,100 x 10-5 = 10-6

    Maior nmero absoluto representado: M = 0,999 x 105 = 99900

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    Devido a esta limitao de dgitos e expoentes (inferior e superior), a

    mquina acusar a ocorrncia de um underflow caso seja preciso representar um

    nmero cujo expoente seja menor do que -5 (limite inferior m), por exemplo, no

    caso do nmero x = 0,243 x 10-8, de outra forma acusar a ocorrncia de

    overflow quando precisar representar um nmero cujo expoente seja maior do

    que 5.

    Alm disso, se tivermos como resultado o nmero 127,84 = 0,12784 x 103,

    (note que este nmero possui 5 dgitos na mantissa) a mquina ir armazen-lo,

    mas como s dispe de trs dgitos, ter duas opes para represent-lo:

    Arredondamento ou Truncamento.

    i) Arredondar: significa determinar o dgito aps o ltimo algarismo

    significativo do nmero, utilizando o seguinte critrio:

    Menor que 5: desprezamos os demais dgitos aps o ltimo algarismo

    significativo.

    Maior que 5: somamos um ao ltimo algarismo significativo.

    No arredondamento de 0,12784 x 10, vemos que o dgito aps o ltimo

    algarismo significativo (que o terceiro, pois t =3) maior ou igual a 5. Ento,

    somamos um ao ltimo algarismo significativo, e de 0,12784 x 10 arredondamos

    para 0,128 x 10.

    ii) Truncar: simplesmente, consideramos os dgitos contidos pelo nmero de

    algarismos significativos e desprezamos os demais dgitos. Ao truncarmos o

    nmero 0,12784 x 10 teremos 0,127 x 103

    Poderemos utilizar ambas as representaes: 0,127 x 103 ou 0,128 x 10.

    Optar por arredondar ou truncar uma opo quando realizamos uma operao e

    estamos cientes da margem de erro.

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    Unidade: Zero de Funes Reais

    Chamamos de erro absoluto ao mdulo ou valor absoluto da diferena

    entre o valor exato de um nmero x e o de seu valor aproximado .

    Simbolicamente, seria escrito como |. Mas como em geral no

    conhecemos o valor exato de x, obtemos o que chamamos de erro relativo

    dividindo o erro absoluto pelo valor aproximado,

    . Por exemplo,

    sabemos que o valor de est entre 3,14 e 3,15, ou seja, , ento

    qualquer valor assumido como neste intervalo ter um erro