zeros das funções

Clculo Numrico

Unidade:

Zero de Funes Reais

Responsvel pelo Contedo:

Profa. Ms. Adriana D. Freitas

Reviso Tcnica:

Profa. Dr. Jaime Sandro da Veiga

Reviso Textual:

Profa. Ms. Alessandra Cavalcante

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Unidade: Zero de Funes Reais

INTRODUO ORIGEM DOS ERROS

A frase atribuda ao matemtico alemo David Hilbert (1862-

1943) Nenhum outro problema afetou to profundamente o

esprito do homem; nenhuma outra ideia to fertilmente

estimulou seu intelecto; nenhum outro conceito necessita de

maior esclarecimento do que o infinito ilustra bem o incio

desta unidade de estudo.

Ao efetuarmos operaes matemticas, mesmo que com nmeros naturais

ou inteiros, devemos considerar que nem sempre obtemos resultados exatos, assim

temos de interpretar nmeros que so finitos, mas que possuem representao

infinita. Por exemplo, a diviso de 1 por 3 (1/3) finita (est entre 0 e 1), todavia

possui representao no conjunto do nmeros reais com infinitas casas decimais

(0,3333...). Alm disso, lidamos tambm com nmeros que no podem ser

expressos como a diviso de dois nmeros inteiros, so os chamados nmeros

irracionais, o que acarreta em chegarmos a apenas uma representao aproximada

do nmero em questo.

Com a evoluo das tecnologias para fins computacionais, os clculos

complexos ficaram a cargo de mquinas que esto sendo sempre aperfeioadas a

fim de aumentar seus recursos. As mquinas operam diversos clculos, dos mais

simples aos mais complexos, porm por mais complexas que sejam, trabalham

com um nmero finito de recursos, o que no suficiente quando lidamos com

nmeros de infinitos dgitos.


2


Assim, qualquer clculo, seja realizado por mos humanas ou por

mquinas, que envolva nmeros que no possam ser expressos por um nmero

finito de dgitos, no fornecer como resultado um valor exato, mas sim um valor

aproximado; e, quanto maior o nmero de dgitos utilizados, maior ser a preciso

obtida.

por isso que precisamos aprender a lidar com os erros, ou melhor, com a

margem de erro.

Vejamos dois exemplos

Exemplo 1: A primeira grande crise matemtica de que se tem conhecimento foi

quando os pitagricos se depararam com o problema da diagonal de um

quadrado. Sabemos que a diagonal de um quadrado de lado L qualquer

calculada pela expresso L .

O nmero irracional um nmero que no pode ser representado, em

sua forma decimal, com um nmero finito de dgitos. Assim, qualquer operao

que o envolva estar sujeita a aproximaes para sua representao, como por

exemplo:

1,4142 ou 1,4142136 ou ainda 1,4142135623730950488016887242097 .

Por exemplo, na trigonometria, o arco de valor possui seno igual a

, o que nos permite infinitas representaes, remetendo-nos a resultados

prximos do exato, mas que no so verdadeiramente exatos:

0,7 ;

0,7071 ;

0,7071067811865 .


3


Exemplo 2: A rea A de uma circunferncia, de raio r, obtida atravs do clculo

da frmula . Neste caso, para uma circunferncia de raio igual a 10m

poderemos obter como rea:

A = 314m ;

A = 314,1592653m ;

A = 314,159265358979323846 m .

Como um nmero irracional no teremos um valor exato para o clculo

da rea, mas sim valores aproximados. No primeiro clculo utilizamos 3,14 (trs

algarismos significativos para ) e no segundo clculo, utilizamos 3,141592653

(dez algarismos significativos) e no terceiro 3,1415926535897932384 (vinte

algarismos significativos).

Nenhum dos resultados est incorreto, porm o terceiro est mais preciso

que o segundo, por sua vez est mais preciso que o primeiro, assim quanto maior o

nmero de dgitos utilizados nos clculos, maior a preciso do nmero, ou seja,

mais prximo estamos da representao real do nmero.

As diferenas entre resultados para uma mesma operao podem ser

consequncia da preciso dos dados de entrada da operao (como nos casos

ilustrados acima), ou ainda da forma como estes nmeros so representados nos

computadores ou calculadoras, pois devemos levar tambm em considerao que

estes trabalham com o sistema de representao binrio. Assim, ao inserirmos um

nmero no computador, normalmente o representamos na base decimal, este o

converte para binrio, realiza operaes matemticas nessa base e converte o

resultado novamente para a base decimal para que possamos observ-lo.

Por isso ao analisarmos um resultado, devemos levar em considerao que

este resultado limitado em funo dos nmeros de dgitos que a mquina dispe

para trabalhar e tambm na converso, pois podemos ter alguns desvios do

resultado real, j que um nmero possui uma representao finita decimal e pode

no ter representao finita no sistema binrio ou vice-versa. Nesse caso, a

mquina far aproximaes do nmero, o que implica avaliarmos a preciso do

resultado.


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ARITMTICA DE PONTO FLUTUANTE

Agora vamos entender como os nmeros so armazenados na memria do

computador. Se uma mquina trabalha com a base , os nmeros sero

representados sob o seguinte formato:

(0,d1d2d3... dt) x k

Em que t o nmero de dgitos do nmero (o qual chamamos de

mantissa), k um expoente contido em um intervalo com limite superior (M) e um

limite inferior (m). Se o expoente k, necessrio para representar um determinado

nmero, for maior que (M), temos overflow e, se for menor que (m), temos

underflow.

Considere, por exemplo, uma mquina que opera no sistema de base 10,

com 4 dgitos e o expoente de -5 a 5, ou seja:

= 10; t = 3; k [-5, 5] .

Os nmeros sero representados na seguinte forma:

0,d1d2d3 x 10e , 0 dj 9 , d1 0 , k [ -5, 5] .

O que acarreta limitao na forma como os nmeros sero representados,

tanto para o menor quanto para o maior nmero, em valor absoluto:

Menor nmero absoluto representado: m = 0,100 x 10-5 = 10-6

Maior nmero absoluto representado: M = 0,999 x 105 = 99900


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Devido a esta limitao de dgitos e expoentes (inferior e superior), a

mquina acusar a ocorrncia de um underflow caso seja preciso representar um

nmero cujo expoente seja menor do que -5 (limite inferior m), por exemplo, no

caso do nmero x = 0,243 x 10-8, de outra forma acusar a ocorrncia de

overflow quando precisar representar um nmero cujo expoente seja maior do

que 5.

Alm disso, se tivermos como resultado o nmero 127,84 = 0,12784 x 103,

(note que este nmero possui 5 dgitos na mantissa) a mquina ir armazen-lo,

mas como s dispe de trs dgitos, ter duas opes para represent-lo:

Arredondamento ou Truncamento.

i) Arredondar: significa determinar o dgito aps o ltimo algarismo

significativo do nmero, utilizando o seguinte critrio:

Menor que 5: desprezamos os demais dgitos aps o ltimo algarismo

significativo.

Maior que 5: somamos um ao ltimo algarismo significativo.

No arredondamento de 0,12784 x 10, vemos que o dgito aps o ltimo

algarismo significativo (que o terceiro, pois t =3) maior ou igual a 5. Ento,

somamos um ao ltimo algarismo significativo, e de 0,12784 x 10 arredondamos

para 0,128 x 10.

ii) Truncar: simplesmente, consideramos os dgitos contidos pelo nmero de

algarismos significativos e desprezamos os demais dgitos. Ao truncarmos o

nmero 0,12784 x 10 teremos 0,127 x 103

Poderemos utilizar ambas as representaes: 0,127 x 103 ou 0,128 x 10.

Optar por arredondar ou truncar uma opo quando realizamos uma operao e

estamos cientes da margem de erro.


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Chamamos de erro absoluto ao mdulo ou valor absoluto da diferena

entre o valor exato de um nmero x e o de seu valor aproximado .

Simbolicamente, seria escrito como |. Mas como em geral no

conhecemos o valor exato de x, obtemos o que chamamos de erro relativo

dividindo o erro absoluto pelo valor aproximado,

. Por exemplo,

sabemos que o valor de est entre 3,14 e 3,15, ou seja, , ento

qualquer valor assumido como neste intervalo ter um erro

. Mas, se refinarmos nossa preciso, por exemplo, sabendo

que obteremos um erro menor ainda, pois neste caso o erro

. Note que o erro relativo dado

em termos percentuais.

ZEROS DE FUNES REAIS

Um nmero chamado de zero da funo f(x) ou raiz da equao f(x) =

0 se f( ) = 0, ou seja, o valor que, quando assumido na funo, resulta na

imagem nula, ou o valor de x que torna verdadeira a sentena matemtica da

equao.

Graficamente, o zero da funo o ponto da abscissa no qual o grfico da

funo intercepta o eixo OX.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Na funo afim f(x) = x + 2, temos que o zero da funo o nmero

-2, uma vez que f(-2) = -2 + 2 = 0, ou seja, f(-2) = 0.

Para o clculo dessa raiz, basta resolver a equao:

x + 2 = 0

x = -2


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Graficamente, como observamos na Figura 1, comprovamos que a reta que

representa f(x) = x + 2 intercepta o eixo OX no ponto (-2, 0), ou seja, na abscissa

-2.

Figura 1 - Zero da funo f(x) = x + 2 Fonte: O Autor.

Exemplo 2: J no caso da funo quadrtica f(x) = x + 6x + 5, obtemos essas

razes ao resolvermos a equao x + 6x + 5 = 0, que pode ser pela frmula de

Bhaskara, ou ainda pelo mtodo da soma e produto das duas razes relacionadas

aos coeficientes a, b e c da equao, tambm conhecidas como frmulas de Vite.

Neste caso temos duas razes reais, que so = -5, pois f(-5) = 0 e = -1, pois

f(-1) = 0.

Podemos tambm confirmar no grfico da funo, conforme a Figura 2, os

pontos nos quais o grfico intercepta o eixo OX.


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Figura 2 - Zero da funo f(x) = x + 6x +5 Fonte: O Autor.

Exemplo 3 Neste outro exemplo, temos a funo f(x) = x + 1 e, ao

calcularmos as razes, temos que:

x + 1 = 0 x = -1 x = o que implica que a funo no

admite razes reais e sim, complexas. Graficamente, notamos que a parbola, ao

representar a funo f(x) = x +1, no intercepta o eixo das abscissas.


9


Figura 3 - Grfico da funo f(x) = x + 1 - Fonte: O Autor.

A anlise grfica da funo importante para reconhecermos os intervalos

nos quais podemos identificar as razes. Alm disso, podemos analisar o

comportamento da funo como crescimento, decrescimento e estudo do sinal.

Vejamos alguns exemplos.

O grfico da Figura 4 representa uma funo quadrtica e podemos notar

que essa funo possui duas razes reais. Uma delas est no intervalo [-1,0] e a

outra no intervalo [2,3].


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Figura 4 - Grfico zeros de uma funo quadrtica Fonte: O Autor.

Alm disso, podemos identificar que a imagem da funo negativa no

intervalo entre as duas razes, e positiva antes da primeira raiz e depois da segunda.

No grfico da Figura 5, temos uma funo cbica e verificamos as trs razes

reais, nos seguintes intervalos: [-2,-1] , [0,1] e [2,3], alm de identificar intervalos

nos quais as imagens so positivas f(x) > 0 e negativas f(x)


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Figura 5 Grfico com a representao dos zeros de uma funo cbica Fonte: O Autor.

Em relao aos clculos, sabemos que as razes das funes afins e

quadrticas so rapidamente calculadas analiticamente, porm para algumas

funes polinomiais de graus mais altos ou funes mais complexas no dispomos

de frmulas explcitas para o clculo das razes e recorremos a mtodos do Clculo

Numrico que nos fornecem recursos para determinao de zeros de uma forma

aproximada, porm de acordo com uma preciso pr-determinada.

Com o Clculo Numrico, temos mtodos distintos para o clculo

aproximado das razes de uma equao qualquer, mas a ideia central dos mtodos

partir de uma aproximao inicial para a raiz e, em seguida, refinar essa

aproximao por meio de uma sequncia de clculos que so repetidos a cada

passo e que chamamos de ITERAO.


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Assim, os mtodos numricos consistem de duas etapas:

Primeira etapa: localizao ou isolamento das razes consiste na

obteno de um intervalo fechado [a,b] que contenha uma nica raiz ( ) da

funo.

Segunda etapa: aproximao ou refinamento consiste na obteno de

aproximaes cada vez melhores para a raiz, at a preciso fixada ( ) ou,

em outras palavras, dentro do erro pr-estabelecido.

Em nossa disciplina, dentre os mtodos para o clculo das razes de funes

reais, estudaremos dois, so eles:

Mtodo da Bisseco

Mtodo de Newton-Raphson

Para cada um desses mtodos, realizamos as Etapas 1 e 2, e cada um tem

sua caracterstica, mas ambos convergem para a raiz dentro de um intervalo

estabelecido.

LOCALIZAO OU ISOLAMENTO DAS RAZES

Nessa etapa, vamos utilizar a construo de grficos para localizao e

isolamento das razes. A construo do grfico pode auxiliar com relao ao

domnio da funo, aos pontos de descontinuidade, aos intervalos de crescimento

e decrescimento, aos pontos de mximo e mnimo, concavidade, aos pontos de

inflexo e s assntotas da funo.

Exemplo 1: localizar as razes reais da funo f(x)=x3-4x2+2.


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1 passo: construir uma tabela, atribuindo valores para x e analisar o

comportamento do sinal de funo f(x).

Tabela 1 Valor e anlise do comportamento de sinal da funo f(x) = x -4x + 2 .

Ao analisarmos a tabela, verificamos que a funo alternou de sinal entre

x= -1 e x= 0, assim como em x= 0 e x =1 e, em x =3 e x = 4. Ento, existe pelo

menos uma raiz em cada intervalo. No entanto, por se tratar de um polinmio de

terceiro grau, sabemos que f(x) possui trs razes. Assim sendo, existe apenas uma

raiz em cada intervalo:

Intervalo I1 = [-1,0]; Intervalo I2 = [0,1]; Intervalo I3 = [3,4].

Utilizando os mesmos valores da tabela, podemos fazer a construo do

esboo de um grfico para visualizarmos os intervalos em que existem as razes.

Figura 6 - Grfico da funo f(x)=x3-4x2+2 com a localizao dos intervalos das razes Fonte: O Autor.


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Exemplo 2: localizar a raiz positiva da funo f(x)=4cosx - ex .

Estamos interessados em isolar a raiz positiva dessa funo. Se formos

utilizar a anlise grfica, no ser trivial a construo do grfico. Neste caso,

faremos a funo inicial f(x) = 0 e dessa forma poderemos desmembrar a funo

f(x) inicial em dois membros, separando f(x) em duas funes g(x) e h(x). Essa

etapa importante, pois a abscissa da interseco das funes g(x) e h(x) a

abscissa da raiz de f(x).

Por exemplo: f(x)=4cosx - ex

4cosx - ex =0 e, separando as funes, temos:

4cosx = ex .

Do lado esquerdo da equao, temos g(x) e do lado direito, h(x). Assim:

g(x) = 4cosx e h(x) = ex .

Depois, elaboramos uma tabela com pontos, partindo de x=0, j que

queremos a raiz positiva. No se esquea de trabalhar com a calculadora em

radianos, pois vamos trabalhar com uma funo trigonomtrica!

Tabela 2 - Valor e anlise do comportamento de sinal de g(x) e h(x).

Ao analisarmos a Tabela 2, podemos verificar que, no intervalo entre 0,5 e

1, a imagem de g(x) = 4cosx vai de 3,51 para 2,16, enquanto que h(x) = ex vai de

1,64 para 2,71. Dessa forma, podemos verificar que os valores convergem, e que

neste intervalo h um determinado ponto em que g(x) = h(x) e a abscissa desse

ponto o zero da funo f(x)=4cosx-ex.


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Podemos agora esboar o grfico de g(x) =4cosx e h(x) =ex, pois ao

obtermos a equao equivalente g(x) = h(x) e tabelarmos valores e esboarmos os

respectivos grficos, localizaremos o intervalo no qual g(x) = h(x), o que tambm

representa f(x) = 0. Analisaremos os respectivos grficos:

Figura 7 - Grficos das funes g(x)=4cosx e h(x)=ex, indicando a localizao da interseco A Fonte: O Autor.

Verificamos no grfico da Figura 7 que o ponto A, que o ponto de

interseco entre g(x) e h(x), est localizado no intervalo [0,5 ; 1].

J na Figura 8, vemos que a abscissa de A coincide com a abscissa da raiz

da funo no intervalo entre [0,5 ; 1]. Notamos tambm que h ainda outra raiz,

mas, neste exemplo, vamos nos ater somente raiz positiva.


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Figura 8 - Grfico da funo f(x) = 4cosx - ex - Fonte: O Autor.

Exemplo 3: Localizar a raiz positiva da funo f(x)=lnx + x .

1 passo: para separar as funes, primeiro vamos igualar f(x) a zero para

ento desmembramos lnx + x. Dessa forma, teremos que lnx + x = 0 e depois, lnx

= -x . Do lado esquerdo da equao temos g(x) e do lado direito, h(x). Assim:

g(x) = lnx e h(x) =-x .

2 passo: construir a tabela com valores para x, em g(x) e h(x).

Alm de o exemplo solicitar a raiz positiva, sabemos que o domnio da

funo lnx , portanto, para construirmos a tabela, usaremos nmeros positivos.


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Tabela 3 - Valor e anlise do comportamento de sinal das funes g(x) e h(x) - Fonte: O Autor.

X 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2

g(x) =lnx - -1,38 -0,69 -0,29 0 0,22 0,41 0,69

h(x) = -x 0 -0,25 -0,5 -0,75 -1 -1,25 -1,5 -2

3 passo: verificamos que h uma convergncia de valores entre 0,5 e 0,75,

porm para auxiliar a localizao da interseco, podemos construir o esboo dos

grficos de g(x) = lnx e de h(x) = -x

Figura 9 - Grfico das funes g(x) = lnx e h(x) = -x .


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Assim, verificamos a interseco entre g(x) e h(x), conforme a Figura 10:

Figura 10 - Grfico com detalhe da interseco entre g(x) e h(x) .

Note que a interseco entre g(x) e h(x) ocorre justamente no intervalo entre

0,5 e 0,75, e para confirmar essa informao, podemos verificar se na funo f(x)

= lnx + x existe a inverso de sinal entre o intervalo 0,5 e 0,75. Assim, sendo f(x)

= lnx + x, temos que:

f(0,5) = ln(0,5) + (0,5) = -0,69 e, portanto, f(x) < 0 ;

f(0,75) = ln(0,75) + (0,75) = 0,46 e, portanto, f(x) > 0 .

Como temos uma inverso de sinal de f(x) no intervalo ,

podemos concluir que h uma raiz real nesse intervalo.

Para treinar

Agora isole os zeros reais, definindo o intervalo das seguintes funes:

Raiz positiva em f(x) = 1 xlnx . Resposta: [1, 2]

Raiz positiva em f(x) = 3x - 5x 4 . Resposta: [2 , 3]

Raiz positiva em f(x) = 4senx ex . Resposta: [0, 1]


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Ao identificarmos o intervalo no qual temos uma raiz real, ns chegamos a

uma aproximao muito superficial do valor da raiz. No exemplo da funo f(x) =

4cosx ex, identificamos a existncia de uma raiz positiva no intervalo [0,5; 1], mas

podemos identificar melhor essa raiz por meio da segunda etapa do processo que

consiste no refinamento, ou seja, dado este intervalo, podemos identificar com

maior preciso qual o valor da raiz procurada.

REFINAMENTO

Na etapa anterior, aprendemos a isolar as razes de uma funo. Como

resultado, obtivemos um ou mais intervalos fechados [a,b], contendo uma nica

raiz em cada um deles. Nessa etapa, veremos os mtodos numricos para o clculo

de uma aproximao para a raiz, o mtodo da Bisseco e, a seguir, o mtodo

de Newton-Raphson. Comearemos pelo primeiro.

MTODO DA BISSECO

Se f(x) contnua em [a,b], com inverso de sinal entre f(a) e f(b), por

consequncia, f(a)*f(b)


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Seguiremos ento os seguintes passos:

Calculamos f(a), f(b) e f( .

1 condio: se f(a)0 e f( )>0, devemos fazer b= , pois devemos

lembrar que entre os extremos do intervalo, deveremos ter a inverso de sinal.

Ento, nesse caso, teremos como novo intervalo [a, ], j que f(x) 0 ;

f(b) = 4cos(1) - e1 = -0,5571, assim f(b) < 0 ;

f( = 4cos(0,75) - e0,75 = 0,8098, assim f( > 0 .


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Como sabemos, a condio para que o intervalo contenha a raiz a de que

o produto das imagens dos extremos tenha sinais inversos, ou seja, f(a)*f(b) < 0, o

novo intervalo ser [b, e dividiremos novamente esse intervalo ao meio,

fazendo a mdia entre b e , obtendo .

Podemos executar esse processo por meio de uma tabela, acompanhando

cada iterao:

Tabela 4 - Incio da iterao do mtodo da bisseco

I n a b f(a) f(b) f( ) Erro |

|

1 1 0,5 1,0 0,75 1,8616 -0,5571 0,8098 0,25

Fazendo agora a mdia entre 0,75 e 1,0 temos o novo xn, que chamaremos

= 0,8750 e analisaremos os sinais das respectivas imagens.

Tabela 5 - Anlise do sinal no mtodo da bisseco.


|

1 1 0,5 1,0 0,75 1,8616 -0,5571 0,8098 0,25

2 2 0,75 1,0 0,8750 0,8098 -0,5571 0,1651 0,1250

De acordo com os clculos acima, temos que o novo intervalo ser

composto por b e x1, ou seja [0,75; 0,8750] e repetimos o processo, agora para x3.

E assim sucessivamente. O critrio de parada ser de acordo com a margem de

erro pr-estabelecida. No caso de nosso exemplo queremos erro menor que 0,001,

portanto consideraremos o xn a raiz aproximada de acordo com a margem de erro.


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Tabela 6 Tabela mostrando todas as iteraes para se atingir a preciso desejada no mtodo da

bisseco para o exemplo em questo.


|

1 1 0,5 1,0 0,75 1,8616 -0,5571 0,8098 0,25

2 2 0,75 1,0 0,8750 0,8098 -0,5571 0,1651 0,1250

3 3 0,8750 1,0 0,9375 0,1651 -0,5571 -0,1864 0,0625

4 4 0,8750 0,9375 0,9063 0,1651 -0,1864 -0,0085 0,0313

5 5 0,8750 0,9063 0,8907 0,1651 -0,0085 0,0786 0,0157

6 6 0,8907 0,9063 0,8985 0,0786 -0,0085 0,0352 0,0078

7 7 0,8985 0,9063 0,9024 0,0352 -0,0085 0,0134 0,0039

8 8 0,9024 0,9063 0,9044 0,0134 -0,0085 0,0022 0,0020

9 9 0,9044 0,9063 0,9054 0,0022 -0,0085 -0,0034 0,0010

10 10 0,9044 0,9054 0,9049 0,0022 -0,0034 -0,0006 0,0005

Como 0,0005 < 0,001, podemos considerar x10 = 0,9049 como a raiz

procurada dentro do erro estabelecido.


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Pontos importantes:

Convergncia: estamos estudando mtodos iterativos em que

partimos de uma estimativa inicial e, por meio do mtodo

numrico utilizado, obtemos aproximaes sucessivas com erro

cada vez menor. Quando isso ocorre, dizemos que o mtodo

convergente. O mtodo da bisseco convergente, quando sabemos da

existncia de uma raiz em determinado intervalo.

Estimativa do nmero de iteraes: podemos saber quantas iteraes

so necessrias para atingirmos a preciso desejada, utilizando o mtodo da

bisseco. Basta utilizarmos a seguinte equao:

(

No exemplo que resolvemos, podemos verificar o nmero de iteraes.

Sendo =0, = 1 e , temos:

(

(

(

Com a preciso estabelecida, comprovamos que o resultado ser obtido

aps 10 iteraes, a partir de nosso exemplo.


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MTODO DE NEWTON-RAPHSON

O mtodo de refinamento de Newton-Raphson um mtodo iterativo no

qual converge para a raiz da funo ( por intermdio da seguinte funo:

( (

(

Ou seja, para o clculo da raiz, por esse mtodo, deveremos determinar a

primeira derivada da funo em questo para, a partir dela, gerar as possveis

razes , onde:

( ; ( ; ( .... at que o processo

seja interrompido de acordo com a margem de erro pr-estabelecida, ou seja,

( .

Exemplo: utilizando o mtodo de Newton-Raphson, obter a raiz da funo f(x) =

x +x -6 contida no intervalo I=[1,3], partindo de com uma preciso

menor ou igual a 0,001.

Primeiro passo: devemos obter a derivada ( da funo f(x):

Se f(x) = x +x -6, ento ( = 2x + 1 .

Segundo passo: substituir a funo f(x) e sua derivada ( na equao:

( (

(

(

e (

, logo (

.


25


Terceiro passo: a partir da, devemos fazer a substituio dos valores, e

utilizaremos uma tabela para organizar e facilitar os clculos:

Tabela 7 - Tabela de Iterao - Mtodo de Newton Raphson

n ( ) (

1

(

= (

(

(

( ( (

(

2

(

= (

(

(

( ( (

(

3

(

(

(

(

( ( (

(

Como o erro na iterao 3 menor que o erro estabelecido pelo enunciado

do problema (0


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Para treinar:

Seguindo o que aprendemos no final esta unidade, procure determinar as

razes com o mtodo de Newton-Raphson para as seguintes funes:

1) ( , contida no intervalo , com preciso igual a

0,0001 e partindo de . Resolva o problema considerando 6 casas

decimais.

A resposta esperada : 3 iteraes, sendo e

2) ( , contida no intervalo [0,5; 1,0], com preciso igual a

0,0001 e partindo de . Resolva o problema arredondando para 6

casas decimais.

Chegamos ao final de nossa unidade! Voc deve rever os exemplos, refazer

os exerccios, ouvir o material narrado, acessar o material complementar assim

como a bibliografia, pois eles iro enriquecer sua aprendizagem. Procure sempre

seu tutor para esclarecer pontos e aprofundar o sua aprendizagem.


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ANOTAES

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REFERNCIAS

FRANCO, N.M.B. - Clculo Numrico. So Paulo: Editora Pearson, 2006. HUMES, A.F.P.C., MELO, I.S.H., YOSHIDA, L.K., MARTINS, W.T. Noes de Clculo Numrico. So Paulo: Editora McGraw Hill, 1984. BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Anlise Numrica. So Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. RUGGIERO, M. A. G., LOPES, V.L.R. Clculo Numrico: Aspectos Tericos e Computacionais, 2 ed. So Paulo: Editora Makron Books, 1998. SPERANDIO, D., MENDES, J.T., SILVA, L.H.M. Clculo Numrico: Caractersticas Matemticas e Computacionais dos Mtodos Numricos. So Paulo: Editora Pearson, 2003.


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