zeros das funções

Clculo Numrico

Unidade:

Zero de Funes Reais

Responsvel pelo Contedo:

Profa. Ms. Adriana D. Freitas

Reviso Tcnica:

Profa. Dr. Jaime Sandro da Veiga

Reviso Textual:

Profa. Ms. Alessandra Cavalcante

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INTRODUO ORIGEM DOS ERROS

A frase atribuda ao matemtico alemo David Hilbert (1862-

1943) Nenhum outro problema afetou to profundamente o

esprito do homem; nenhuma outra ideia to fertilmente

estimulou seu intelecto; nenhum outro conceito necessita de

maior esclarecimento do que o infinito ilustra bem o incio

desta unidade de estudo.

Ao efetuarmos operaes matemticas, mesmo que com nmeros naturais

ou inteiros, devemos considerar que nem sempre obtemos resultados exatos, assim

temos de interpretar nmeros que so finitos, mas que possuem representao

infinita. Por exemplo, a diviso de 1 por 3 (1/3) finita (est entre 0 e 1), todavia

possui representao no conjunto do nmeros reais com infinitas casas decimais

(0,3333...). Alm disso, lidamos tambm com nmeros que no podem ser

expressos como a diviso de dois nmeros inteiros, so os chamados nmeros

irracionais, o que acarreta em chegarmos a apenas uma representao aproximada

do nmero em questo.

Com a evoluo das tecnologias para fins computacionais, os clculos

complexos ficaram a cargo de mquinas que esto sendo sempre aperfeioadas a

fim de aumentar seus recursos. As mquinas operam diversos clculos, dos mais

simples aos mais complexos, porm por mais complexas que sejam, trabalham

com um nmero finito de recursos, o que no suficiente quando lidamos com

nmeros de infinitos dgitos.

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Assim, qualquer clculo, seja realizado por mos humanas ou por

mquinas, que envolva nmeros que no possam ser expressos por um nmero

finito de dgitos, no fornecer como resultado um valor exato, mas sim um valor

aproximado; e, quanto maior o nmero de dgitos utilizados, maior ser a preciso

obtida.

por isso que precisamos aprender a lidar com os erros, ou melhor, com a

margem de erro.

Vejamos dois exemplos

Exemplo 1: A primeira grande crise matemtica de que se tem conhecimento foi

quando os pitagricos se depararam com o problema da diagonal de um

quadrado. Sabemos que a diagonal de um quadrado de lado L qualquer

calculada pela expresso L .

O nmero irracional um nmero que no pode ser representado, em

sua forma decimal, com um nmero finito de dgitos. Assim, qualquer operao

que o envolva estar sujeita a aproximaes para sua representao, como por

exemplo:

1,4142 ou 1,4142136 ou ainda 1,4142135623730950488016887242097 .

Por exemplo, na trigonometria, o arco de valor possui seno igual a

, o que nos permite infinitas representaes, remetendo-nos a resultados

prximos do exato, mas que no so verdadeiramente exatos:

0,7 ;

0,7071 ;

0,7071067811865 .

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Exemplo 2: A rea A de uma circunferncia, de raio r, obtida atravs do clculo

da frmula . Neste caso, para uma circunferncia de raio igual a 10m

poderemos obter como rea:

A = 314m ;

A = 314,1592653m ;

A = 314,159265358979323846 m .

Como um nmero irracional no teremos um valor exato para o clculo

da rea, mas sim valores aproximados. No primeiro clculo utilizamos 3,14 (trs

algarismos significativos para ) e no segundo clculo, utilizamos 3,141592653

(dez algarismos significativos) e no terceiro 3,1415926535897932384 (vinte

algarismos significativos).

Nenhum dos resultados est incorreto, porm o terceiro est mais preciso

que o segundo, por sua vez est mais preciso que o primeiro, assim quanto maior o

nmero de dgitos utilizados nos clculos, maior a preciso do nmero, ou seja,

mais prximo estamos da representao real do nmero.

As diferenas entre resultados para uma mesma operao podem ser

consequncia da preciso dos dados de entrada da operao (como nos casos

ilustrados acima), ou ainda da forma como estes nmeros so representados nos

computadores ou calculadoras, pois devemos levar tambm em considerao que

estes trabalham com o sistema de representao binrio. Assim, ao inserirmos um

nmero no computador, normalmente o representamos na base decimal, este o

converte para binrio, realiza operaes matemticas nessa base e converte o

resultado novamente para a base decimal para que possamos observ-lo.

Por isso ao analisarmos um resultado, devemos levar em considerao que

este resultado limitado em funo dos nmeros de dgitos que a mquina dispe

para trabalhar e tambm na converso, pois podemos ter alguns desvios do

resultado real, j que um nmero possui uma representao finita decimal e pode

no ter representao finita no sistema binrio ou vice-versa. Nesse caso, a

mquina far aproximaes do nmero, o que implica avaliarmos a preciso do

resultado.

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ARITMTICA DE PONTO FLUTUANTE

Agora vamos entender como os nmeros so armazenados na memria do

computador. Se uma mquina trabalha com a base , os nmeros sero

representados sob o seguinte formato:

(0,d1d2d3... dt) x k

Em que t o nmero de dgitos do nmero (o qual chamamos de

mantissa), k um expoente contido em um intervalo com limite superior (M) e um

limite inferior (m). Se o expoente k, necessrio para representar um determinado

nmero, for maior que (M), temos overflow e, se for menor que (m), temos

underflow.

Considere, por exemplo, uma mquina que opera no sistema de base 10,

com 4 dgitos e o expoente de -5 a 5, ou seja:

= 10; t = 3; k [-5, 5] .

Os nmeros sero representados na seguinte forma:

0,d1d2d3 x 10e , 0 dj 9 , d1 0 , k [ -5, 5] .

O que acarreta limitao na forma como os nmeros sero representados,

tanto para o menor quanto para o maior nmero, em valor absoluto:

Menor nmero absoluto representado: m = 0,100 x 10-5 = 10-6

Maior nmero absoluto representado: M = 0,999 x 105 = 99900

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Devido a esta limitao de dgitos e expoentes (inferior e superior), a

mquina acusar a ocorrncia de um underflow caso seja preciso representar um

nmero cujo expoente seja menor do que -5 (limite inferior m), por exemplo, no

caso do nmero x = 0,243 x 10-8, de outra forma acusar a ocorrncia de

overflow quando precisar representar um nmero cujo expoente seja maior do

que 5.

Alm disso, se tivermos como resultado o nmero 127,84 = 0,12784 x 103,

(note que este nmero possui 5 dgitos na mantissa) a mquina ir armazen-lo,

mas como s dispe de trs dgitos, ter duas opes para represent-lo:

Arredondamento ou Truncamento.

i) Arredondar: significa determinar o dgito aps o ltimo algarismo

significativo do nmero, utilizando o seguinte critrio:

Menor que 5: desprezamos os demais dgitos aps o ltimo algarismo

significativo.

Maior que 5: somamos um ao ltimo algarismo significativo.

No arredondamento de 0,12784 x 10, vemos que o dgito aps o ltimo

algarismo significativo (que o terceiro, pois t =3) maior ou igual a 5. Ento,

somamos um ao ltimo algarismo significativo, e de 0,12784 x 10 arredondamos

para 0,128 x 10.

ii) Truncar: simplesmente, consideramos os dgitos contidos pelo nmero de

algarismos significativos e desprezamos os demais dgitos. Ao truncarmos o

nmero 0,12784 x 10 teremos 0,127 x 103

Poderemos utilizar ambas as representaes: 0,127 x 103 ou 0,128 x 10.

Optar por arredondar ou truncar uma opo quando realizamos uma operao e

estamos cientes da margem de erro.

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Chamamos de erro absoluto ao mdulo ou valor absoluto da diferena

entre o valor exato de um nmero x e o de seu valor aproximado .

Simbolicamente, seria escrito como |. Mas como em geral no

conhecemos o valor exato de x, obtemos o que chamamos de erro relativo

dividindo o erro absoluto pelo valor aproximado,

. Por exemplo,

sabemos que o valor de est entre 3,14 e 3,15, ou seja, , ento

qualquer valor assumido como neste intervalo ter um erro