OBLIKOVANJE RADNOG PROSTORA :

Zlatni rez i Fibonaccijevi brojevi Od početka postojanja čovjeka na Zemlji, ljudi su se trudili definirati pojmove ljepote, sklada, i funkcionalnosti, u glazbi, likovnoj umjetnosti, arhitekturi, pa sve do oblikovanja relativno banalnih, praktičnih stvari, koje koristimo u svakodnvnom životu. Ljepotu ili sklad je same po sebi teško definirati, jer su oni prvenstveno subjektivni, te su se kroz povijest mjenjali u ovisnosti o uvijetima u kojima je čovjek živio u tom trenutku. Dok je definiranje nećeg prvenstveno subjektivnog samo po sebi kotradiktorno, ideal funkcionalnosti možda je nešto lakši za definiranje. Težilo se formuliranju zakona kojima bi se što jednostavnije definiralo savršeno funkcioniranje i oblikovanje čovjekove životne i radne okoline, uz stanovitu dozu ljepote i sklada.U pokušaju da se dostigne te ideale čovjek je po modelu, pokušao kopirati stvaralaštvo prirode, koja je oduvijek bila sinonim za savršeno funkcioniranje i organizaciju do najmanjeg detalja, uz neki sveprisutni sklad i ljepotu, koji bi podupirali takvu organizaciju i funkcioniranje. Od jednostanične amebe, pa sve do najvećih živućih organizama kao što su ulješture i kitovi, bez obzira na njihovu veličinu, svi su organizmi (uključujući i čovijeka) bili sposobni kretati se, hraniti, razvijati…jednom riječju živjeti, te je svaki od njih bio oblikovan po nekom načelu koje mu je bez obzira na uvjete i vrijeme u kojima je postojao, omogućavalo da živi. Baš zbog tih razloga, čovjek se trudio pronači nekakav zakon, ili matematičku formulaciju prirodnog sklada koji je omogućavao tako savršeno funkcioniranje. Stari Egipćani, poznati po graditeljstvu veličanstvenih građevina, koje čovjek do danas smatra jednim od najvećih svijetskih čuda, koristili su određene proporcije i zakonitosti pri gradnji, dobivenih promatranjem prirode. Grci, kao predstavnici kulturološkog razvoja svog vremena, također su bili svjesni postojanja određenih proporcija koje su određivale sklad i ljepotu, te su prema tim načelima gradili građevine, kipove i ostale umjetničke forme, koje su do danas ostali simboli ideala ljepote i sklada. Ako se malo odmaknemo i sagledamo malo širu sliku, pitamo se što je to zajedničko svim definicijama sklada i ljepote koji su se kroz godine mijenjali. Odgovor na to daje nam "zlatni rez" ili tzv. “božanska proporcija”, i Fibonaccijevi brojevi. Sigurno se pitate, kako je moguće da jedan omjer, ma kakav on bio, može biti zajedničkim svim navedenim idealima, i još bitnije od toga, kako se

taj omjer uklapa u funkcioniranje i stvaralaštvo prirode, a samim time i čovjekove radne i životne okoline?

Fibonaccijevi brojevi "Najveći matematičar srednjeg vijeka", Leonardo Pisano, poznat kao Fibonacci, Talijan rođen oko 1775. otkrio je neobično svojstvo matematičkog niza koji danas nosi njegovo ime, iako nije sigurno da li je bi svjestan povezanosti niza sa zlatnim rezom. Njegovim največim doprinosom matematici smatra se dijelo "Liber Abaci" ("Knjiga računanja"), koje je postalo vodeći uthecaj na korištenje arapskog (decimalnog) brojevnog sustava u Europi, te njegovom prevladavanju nad rimskim sustavom.

Fibonaccijevi brojevi ili Fibonaccijev niz čine sljedeći brojevi :0 1 1 2 3 5 8 13 21 .... Svaki sljedeći broj računa se kao zbroj prethodna dva broja u niz.prva dva broja su 0 i 10 + 1 = 11 + 1 = 21 + 2 = 32 + 3 = 53 + 5 = 8....Fibbonaci je do otkrića došao promatrajući razmnožavanje zečeva u prirodi, te pokušavajući predvidjeti koliko će parova dijece podignuti jedan par roditelja, u jednoj godini. 1. Na početku je bio jedan par zečeva - roditelji.2. Na kraju prvog mjeseca, zečevi su se parili, ali je ostao samo jedan par zečeva. 3. Na kraju drugog mjeseca, roditelju si imali 1 par djece, što znači da sad imamo 2 para zečeva. 4. Na kraju trećeg mjeseca, roditelji imaju novi par djece, sto nam daje ukupno 3 para zečeva.5. Na kraju četvrtog mjeseca, roditelji imaju novi par djece, ali i njihova prva djeca imaju jedan par djece, što je sveukupno 5 parova zečeva.Broj parova zečeva po mjesecima možemo vidjeti na sljedećem dijagramu :

Uzorak koji se ponavlja u Fibonaccijevom nizu kasnije je primjećen u još mnogim pojavama u prirodi: spiralni rast školjaka, uzorkom rata lišća na biljkama, omjerom djelova tijela životinja i čovjeka, ....Bitna osobina Fibonaccijevog niza, za koju nije sigurno da je je bio svjestan sam Fibonacci, je konvergencija djeljenja dva uzastopna člana niza teži u broj 1.61803398... što je ni manje ni više nego tzv. "Zlatni broj" ili Φ (Phi), koji je izravno povezan sa omjerom zlatnog reza i iznosi 1.6180339887...

Još jedan način prezantacije Fibbonacijevog niza je crtanjem kvadrata određene površine. Počninjemo sa dva kvadrata dužine stranice 1, koje nacrtamo jedn do drugog. Zatima iznad ta dva kvadrata nacrtamo kvadrat dužine stranice 2 (1+1=2). Zatim pored tako dobivenog pravokutnika, nacrtamo kvadrat dužine stranice 3 (1+2=3) . Nastavimo li dodavati nove kvadrate na sliku, takve da je stranica novog kvadrata jednaka zbroju duljina stranica prethodna dva, dobivamo kvadrate čije su duljine stranica jednake brojevima Fibonaccijevog niza.

Ako u tako dobivene kvadrate ucrtamo pravokutne kružne lukove dobivamo spiralu. Spirala nije prava matematička spirala, pošto je napravljena od kružnih isječaka, ali je vrlo dobra aproksimacija spirala koje se pojavljuju u prirodi kod puževa, školjaka, te u rasporedu sjemenki kod biljaka.

Ostala neobicna svojstva Fibonaccijevog niza : http://goldennumber.net/math.htm

Zlatni broj, omjer zlatnog reza

Zlatni broj

Zlatni broj, Phi (Φ) iznosi 1.6180339887....Phi možemo izračunati na više načina, od kojih je svaki relativno intuitivan, i pokazuje nam jedno od bitnih svojstava tog broja.Phi možemo dobiti rješavanjem sljedeće jednadžbe:n2 - n1 - n0 = 0što je jednakon2 - n  -  1  = 0što mežemo pisati kaon2 = n + 1   ili   1/n = n - 1Rješenje jednadžbe je:( 5½ + 1 ) / 2 = 1.6180339... = PhiTakvo riješenje nam pokazuje dva svojstva jedinstvena za Phi:1. Korijen iz Phi je jednak zbroju Phi i broja 1: Phi2 = Phi + 12. Rezultat djeljena jedan sa Phi jest Phi minus: 1/Phi = Phi - 1Decimalni dio broja Phi, također se označava kao phi i iznosi 0.618339887... 1/Phi = phi Broj Phi se može jednostavno konstruirati i geometrijski:

Povezanost omjera zlatnog reza i zlatnog broja

Omjer, ili proporcija, određena brojem Phi bila je poznata već Egipćanima i antičkim Grcima. Renesansnim umjetnicima taj je omjer poznat pod nazivom "Božanska proporcija", Zlatni rez, ili Zlatni omjer. Baš kao što je broj pi (П) omjer opsega i polumjera kruga, tako je i broj Phi omjer duljine segmenata linije podjeljene na sljedeći način:

A/B = B/CA = 1.6108... * B B = 1,6108... * CA dijeli B u omjeru jednakom u kojem B dijeli C, i taj omjer je zlatni rez.

Povezanost sa Fibonaccijevim nizom

Broj Phi je usko povezan s fibonaccijevim nizom.Koristeći Phi možemo vrlo jednostavno izračunati bilo koji broj Fibonaccijevog niza. n-ti (fn) broj računamo kao: fn = Phin / 5½

ilifn = [ Phi n - (-Phi)-n ] / (2Phi-1)Uz već prije spomenuto svojstvo da konvergencija djeljenja dva uzastopna člana niza teži u broj 1.61803398... što je ni manje ni više nego Φ (Phi).

Zašto su Phi i zlatni broj toliko posebni ?

Na prvi pogled Phi je broj, koji osim što ima neka zanimljiva svojstva, ne govori ništa posebno više osim toga. Ali broj Phi ili zlatni omjer koji on čini pojavljuje se svuda oko nas. U prirodi, kod biljaka pri rasporedu listova na stabiljci, i latica na cvijetovima, kod rasporeda sjemenki na biljkama poput suncokreta, na češerima crnogorice. Zatim kod životinja i čovjeka, kod omjera pojedinih djelova tijela (ruku, nogu, glave...), proporcija lica, ritma otkucaja srca, u strukturi DNA... Zatim u umjetnosti, slikarstvu, glazbi, arhitekturi, matematici, geometriji, kosmologiji, poslovanju dionicama, marketingu, i još mnogim područjima.

Oblikovanje čovjekove okoline Nakon što smo istražili koja to zakonitost povezuje ideal ljepote i funkcionalnosti, tijekom evolucije, zanimljivo bi bilo istražiti kolika je mogućnost primjene tih zakonitosti (u našem slučaju Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza) na oblikovanje čovjekove radne okoline.Kao što je već prije spomenuto, zlatni rez su u arhitekturi koristili Egipćani. Nakon njih primjenjivali su ga Grci u arhitekturi i umjetnosti: kiparstvu, slikarstvu. Tokom modernije povijesti zlatni rez primjenjuje se u arhitekturi, slikarstvu, glazbi, znanosti, i koristili su ga u svom stvaranju najveći ljudi svog vremena kao DaVinci, Leonardo, Beetoven, Debusy, Bach, i Dali. Čak su i danas neke od najvećih i najpoznatijih građevina na svijetu (zgrada Ujedinjenih naroda, CN toranj u Torontu, Norte Damme…) sagrađene prema tom omjeru.Takvi podaci nimalo ne čude, zbog već objašnjenih svojstava zlatnog reza i broja Phi. Nameće se pitanje kako je moguće što više u praksi upotrijebiti taj omjer. Iz navedenih primjera vidimo moguća područja primjene: slikarstvo, kiparstvo, arhitektura, glazba, matematika. Zlatni omjer moguće je koristiti pri likovnom oblikovanju bilo čega, od određivanja kompozicije, određivanja pravilnih proporcija predmeta ili osobe koju slikamo, praktičan je i dizajnerima, pri izradi npr. internt stranica, plakata, dizajnu interijera, fotografima, kreatorima odjeće. Zatim arhitektima, u dizajnu građevina, eksterijera kao i interijera, u modeliraju plošnih-dvodimenzionalnih i volumnih-trodimenzionalnih oblika. Mogu ga koristiti i glazbenici, koji će primjetiti da određene matemetičke (u ovom slučaju i prirodne) sekvence pretvorene u glazbu, vrlo ugodno stimuliraju ljudsko uho. Također obliovanje čovjekove radne okoline, raspored predmeta koji se koriste u radu, može se poboljšati koristeći zlatni omjer, jer kao što je prije navedeno zlatni broj se u prirodi koristi baš zbog tog svojstva da s pomoću njega može postići najpovoljniji raspored objekata. Praktički u svakoj situaciji u kojoj se možete naći, pri određivanju rasporeda objekata, bilo samo na papiru ili u stvarnosti, pritome želeći postići maksimalnu funkcionalnost, ali i ljepotu,omjer zlatnog reza bit će vrlo moćno oruđe. Iz navedenog, vidi se da su područja primjene neograničena, te da jedina stvar koja nas može ograniničiti smo mi sami. I zato pokušajte, sljedeći puta kad budete premještali namještaj u sobi, ili radili dizajn za novu internet stranicu, i vidjet ćete da će rezultati biti

zadivljujući. I ne samo da će raspored biti optimalan, već će iz nekog neobjašnjivog razloga biti lijep i elgantan!

Primjeri u prirodi Zlatni broj i omjer zlatnog reza s u prirodi pojavljuju toliko često iz tog razloga što razmještaj formiran korištenjem tih zakonitosti omogućava optimalan raspored. Razlog tome je to što se biljke razvijaju iz jedinstvenih grupa stanica koje se nalaze na krajevima ogranaka (listova, grana), nazvanih meristemi. Jednom oblikovani novi ogranici će rasti u veličini, ali oblik im se više neće mijenjati. Oblikovanje novi ogranaka događa se na specifičan način: nakon što se stvori nova stanica, meristem se zakreće za određeni kut, ptijenego što će razviti nou stanicu, nakon ćega će se ponovo zakrenuti i tako dalje. Fascinantna činjenica je da se zakretanjem za taj određeni kut pri oblikovanju novih grana, listova ili cvijetova, biljka, ma koliko god ona polej velika narasla, osigurava optimalan raspored grana, listocva i cvijetoca. Optimalan raspored u pogledu količine sunca koju će svaki od novih izdanaka primati, i pri tome zaklanjati suce što manje, onima koji se nalaze ispod njega. Optimalan i u pogledu izlaganja svoje površine kiši, koja će se kasnije slijevati niz stabijku biljke sve do korijenja. Već sigurno pogađate, koji je to kut za koji se zakreću meritemi pri rastu: to je Phi stanica po krugu, ili phi krugova po novoj stanici, ili phi* 360° = 222·492...° Ova zakonistost da zakretanje za fiksni kut prilikom oblikovanja svake nove stanice, uzrokuje optimalan raspored izdanaka pri rastu biljke, dokazana je matematički tek 1993. Dokaz su izvela dva francuska matematičara Douady i Couder.

Primjeri kod biljaka

U primjerima koristit ću niz linija čije su duljine u omjeru zlatnog reza, kao što je to prikazano na slici:

Svaka linija je 1.61803... puta duža on one prije nje. Biljke čiji plodovi rastu u spiralama npr. češeri, ananas, ili suncokret, koriste broj Fibonaccijev niz za postizanje optimalnog rasporeda sjemenki. Pri rastu sjemenke izgledaju kao da oblikuju spirale zbog toga jer raspored po Fibonaccijevom nizu ljudsko oko vidi kao spirale:

Također razvoj novih grana kod biljke, sljedi Fibonaccijev niz, koi je izravno opet vezan sa brojem Phi.Brokula, salata, karfiol npr. razvija svoje plodove sljedeći Fibonaccijev niz:

Ruže, kao i čitav niz cvijeća sljedi Fibonaccijev niz:

Primjeri kod životinja

Oči, peraje i rep oštro poštuju omjer zlatnog reza kod delfina:

Oznake koje podjsećaju na oči, kod leptira, raspoređene su po krilima poštujući omjer zlatnog reza:

Spiralni razvoj kod školjaka:

Proporcije zasnovane na zlatnom rezu, kod tigra:

...i mrava:

Primjeri kod čovjeka Zlatni rez i zlatni broj pojavljuju se ne samo kod životinja i biljaka, nego i kod čovjeka, vrlo ćesto. U ljudskoj anatomiji, omjerima dijelova tijela, rasporedu očiju, nosa i ušiju na licu, itd.

Primjeri

U primjerima koristit ću niz linija čije su duljine u omjeru zlatnog reza, kao što je to prikazano na slici:

Svaka linija je 1.61803... puta duža on one prije nje. Dužina članaka prstiju ljudske ruke odgovara omjeru zlatnog reza. Također i omjer dužine dlana i poddlakice, odgovara tom omjeru:

Ljusko lice jedan je od najboljih primjena kori[tenja omjera ylatno reya kod ljudi. Lice je oblikovano tako da zjenice i rubovi usta čine savršeni kvadrat (označen plavom bojom). Zlatnim rezom prema tom kvadratu definiran je nos. Plavim linijama označena je i uška , kao i udaljenost od vrha gornje uste do vrha brade, koje su iste duljine. Žutom linijom označen je zlatni rez prema plavoj liniji, i ta udaljenost odgovara međusobnoj udaljenosti očiju, udaljenosti ubrva, duljini nosa i duljini od razine zjenica do vrha nosa. Zelena boja određuju zlatni rez prema žutoj boji, i te duljine su širine očiju, udaljenost od trepavica do obrva i udaljenost između nosnica. Ljubičasta boja određuje omjer zlatnog reza prema zelenoj i prikazuje duljinu od vrha gornje usne do dna nosa i neke proporcije oka. Sve navedene omjere možemo vidjeti na slici:

Proporcije nosa i dijelova lica, također su u odnosu zlatnog reza prema cijeloj glavi:

Čak i dimenzije uške i zubiju određuje zlatni rez:

Ljudsko tijelo, tj dijelovi ljudskog tijela međusobno također tvore omjer zlatnog reza, kao što se vidi na sljedećoj slici:

Kod ritma otkucaja ljudskog srca, pretpostavlja se da zlatni omjer između T-točke i samog otkucaja srca, označava da je osoba u stanju zdravlja, mira i harmonije:

 Nevjerojatan je podataka da šisrina i dužina molekule DNA također čini omjer zlatnog reza. Također DNA koja čini dvostruku alfa helix uzvojnicu čini zlatni rez omjerom dužina većeg i manjeg zavoja:

Primjeri u arhitekturi Kao [to je već prije spomenuto, čovijek je već od patmivjeka koristio zlatni omjer i Fibonaccijeve brojeve u arhitekturi. Veličanstvene i do danas neponovljene piramide koje su gradili Egipćani građene su po omjeru zlatnog reza:

I ako je u to vrijeme bio poznat pod drugim imenom, zlatni omjer u arhitekturi koristili su i drevni Grci. Primjer je Partenon, kao i mnoga druga svetišta i građevine:

Zlatni omjer, te način na koji je on upotrebljen pri zgradnji Partenona možete vidjeti na skici.Renesansni umjetnici iz doba Leonarda DaVincija nazivali su taj omjer "Božanska proporcija" i također su ga koristili u arhitekturi. Jedno od najpoznatijih dijela je crkva Notre Damme u Parizu:

CN toranj u Torontu, najveća građevina na svjetu danas sadrži zlatni omjer u svom designu. Visina na kojoj se nalazi nivo za gledanje je 342 metra, što u odnosu na visinu cijelog tornja od 553.33 metra čini točno 1.61803 tj zlatni broj: