7/23/2019 Zlatni Rez - esej

http://slidepdf.com/reader/full/zlatni-rez-esej 1/7

Sveučilište u Zagrebu

Fakultet organizacije i informatike

Esej br. 9: Zlatni rez

U Vara!inu" !atum #.$.%&'(. E!jut )atarina" gru*a +'%

7/23/2019 Zlatni Rez - esej

http://slidepdf.com/reader/full/zlatni-rez-esej 2/7

'. Uvo!

,oš o! stari- vremena lju!i su eljeli *ostii skla! i simetriju me/u različitim elementima

različiti- struktura. 0ako su ve umjetnici stare +rčke traili savršenstvo me/u brojevima.

1mjer zlatnog reza otkrio je 2ero!ot" a *ostao je *o*ularan za vrijeme renesansni- umjetnika

koji su smatrali !a je on ugo!an za oko. 3nogi matematički omjeri" uključujui i omjer

zlatnog reza" *ovezuju umjetnost i matematiku" i svoje mjesto *ronalaze u ar-itekturi" glazbi i

likovnim umjetnostima.

%. Zlatni rez

Zlatni rez je matematički *ojam koji se često koristio u umjetnosti i označava se malim

grčkim slovom fi 4*-i5" tj. simbolom 6. Fi *ovezujemo i sa Fibonaccijevim brojevima" a on u

tom smislu *re!stavlja omjer izme/u !va susje!na Fibonaccijeva broja" ka!a ti brojevi tee u

 beskonačnost. Fi se računa *o formuli1+√ 5

2   i iznosi *riblino '.7'8&##988(989... .

Vi!imo !a je fi konstanta" ali njegov značaj se ne nalazi u njegovoj aritmetičkoj vrije!nosti"ve u omjeru kojeg *re!stavlja. Zlatni rez moemo *re!očiti i *omou omjera !vaju omjera"

tako !a ako *o!jelimo !uinu na !va različita !jela" ko! koji- se manji !io *rema veem

!ijelu o!nosi kao vei !io *rema cijeloj !uljini" !obivamo kom*oziciju zlatnog reza.

Slika 1. Zlatni rez u odnosu na dužinu

0akvu kom*oziciju *rema !uljini moemo izračunati i uz *omo formule:

1

7/23/2019 Zlatni Rez - esej

http://slidepdf.com/reader/full/zlatni-rez-esej 3/7

| AB|:a=a:b

#. )onstrukcija zlatnog reza

Zlatni rez mogue je konstruirati na mnogo načina" ali zbog nji-ove kom*leksnosti" ja u u

svom eseju *rikazati samo *ostu*ak uz *omo *ravokutnog trokuta.

)onstruiranje zlatnog reza uz *omo ove te-nike o!vija se u tri koraka:

• !uinu ; !ijelimo na *ola i !uinu te *olovine *renosimo *o! *ravim kutem lijevo

ili !esno kako bi !obili točku <

•

konstruiramo krunicu sa sre!ištem u točki < i *olumjerom <; koja sječe stranicu <u točki =

• konstruiramo krunicu sa sre!ištem u točki i *olumjerom = koja !uinu ; !ijeli

u omjeru zlatnog reza u točki E

Slika 2. Konstrukcija zlatnog niza

2

7/23/2019 Zlatni Rez - esej

http://slidepdf.com/reader/full/zlatni-rez-esej 4/7

(. Formula zlatnog reza

>z slike %.'. vi!imo !a *rvo trebamo izračunati !uljinu stranice <" što moemo lako !obiti

ako *rimjenimo *itagorin *oučak:

¿BC ∨¿2

¿ AB∨¿2+¿

¿ AC ∨¿2=¿

¿

¿ AC ∨¿√a2+( a2 )

2

=a

2∗√ 5

)ako bismo izračunali zlatni omjer" *otrebno je !obiti formulu *o kojoj se izračunava !" a to

emo !obiti ako o! < stranice o!uzmemo ( a2 ) .

¿ AC ∨¿d+ a2

a

2∗√ 5=d+

a

2

d=a∗(√ 5−1 )

2

3

7/23/2019 Zlatni Rez - esej

http://slidepdf.com/reader/full/zlatni-rez-esej 5/7

d=a∗φ

Za!nja formula nam govori !a emo izračunavanjem vrije!nosti !uine ! uz *omo stranice a

4ako uzmemo neku *roizvoljnu veličinu5 i ako zatim *o!jelimo !uljinu !uine ! sa stranicom

a !obiti konstantu fi koja *re!stavlja zlatni rez.

$. )onstruiranje s*irale zlatnog niza

Slika 3. Spirala zlatnog niza

)a!a bi s*irala zlatnog reza bila konstruirana na! članovima Fibonaccijevog niza" *rva !va

kva!rata bi imala veličinu stranica '" trei kva!rat bi imao stranicu %" a ostali kva!rati bi isto

tako slije!ili Fibonaccijeve brojeve.

7. ?rimjena zlatnog reza

4

7/23/2019 Zlatni Rez - esej

http://slidepdf.com/reader/full/zlatni-rez-esej 6/7

Zlatni rez kao i Fibonaccijevi brojevi javljaju se na mnogo mjesta u *riro!i. 0ako se rast

 biljaka i ivotinja moe us*ore/ivati s njima" a savršeni *rimjer toga je kuica >n!ijske la/ice

iz ro!a morski- glavonoaca. 1mjer zlatnog reza tako/er *re*oznajemo ko! ras*ore!a

sjemenki cvijeta Suncokreta i latica ko! cvjetova koji i- imaju $. 3nogi su i u čovjeku vi!jeli

zlatni rez" ve ko! *oloaja fetusa u *osteljici" a i velik broj umjetnika je smatrao !a je tijelo

o!raslog čovjeka mogu *rikazati kao velik broj o!nosa koji *re!stavljaju zlatni rez. 1n je

tako/er *risutan u umjetnosti još o! !revni- civilizacija" a vi!ljiv je u !jelima @eonar!a !a

Vincija" Aaffaella Santia i brojni- !rugi-.

3oemo zaključiti !a se zlatni rez *ojavljuje u različitim *o!ručjima kao što su matematika"

umjetnost" moemo ga uočiti u o!nosima u *riro!i i u svemiru" a i ako *romotrimo nas same"

vi!imo !a smo gra/eni *o njegovim načelima.

Slika 4. Pantheon

Slika 5. Indijska laica !"autilus#

 

. @iteratura

• =evi!B V. " C3atematička čitankaC" Dkolska knjiga" Zagreb" '99'.• iki*e!ia 4Zlatni rez5" -tt*:-r.Giki*e!ia.orgGikiZlatniHrez" #.$.%&'(.• S margine ili zanemarena lije*a matematika"

-tt*:normala.-r*rezentacijemkabiczlatnirezZlatniAez.*!f " #.$.%&'(.

5

7/23/2019 Zlatni Rez - esej

http://slidepdf.com/reader/full/zlatni-rez-esej 7/7

• Zlatni rez: geometrija *riro!e ili *riro!na geometrija" -tt*:likovnaI

kultura.ufzg.unizg.-rmiro$.-tm" #.$.%&'(.

6