Hotelijersko-turistika kola, Zagreb

Zlatni rez u ZagrebuProjekt matematika+Nikolina Bartolec, Irena Koren, Mariana Pali, Jelena Smoli Novosel, Anamarija GomeriMentori: Josip Kliinovi, prof. matematike i informatike; Gabrijela Barbari, prof. povijesti umjetnosti

.

SadrajSaetak .................................................................................................................................................... 3 Uvod matematika pozadina s jednim dvojbenim istraivanjem i nekoliko umjetnikih crtica .......... 4 Opis istraivanja ...................................................................................................................................... 8 Istraivanje ............................................................................................................................................ 10 Umjetnika djela iz zbirke Muzeja suvremenih umjetnosti .............................................................. 10 Milivoj Bijeli: Zapeaeni ............................................................................................................. 10 Hiroshi Kawano: Djelo br. 7 (Artificial Mondrian) ......................................................................... 12 Janez Logar: Autoportret ............................................................................................................... 13 Edo Murti: Manhattan ................................................................................................................. 14 Sava umanovi: Veer.................................................................................................................. 15 Julije Knifer: Antikompozicija ........................................................................................................ 16 Ivan Koari: Mojih est jutara zemlje ........................................................................................... 18 Zlatni rez u arhitekturi Grada Zagreba .............................................................................................. 19 Vila Spitzer Novakova 15, Zagreb ............................................................................................... 19 Zakljuak ................................................................................................................................................ 26 Zahvale .................................................................................................................................................. 27 Literatura ............................................................................................................................................... 28

i

Slika 1: Definicija zlatnog reza ................................................................................................................. 4 Slika 2: Zlatni trokut i pentagram u pravilnom peterokutu ..................................................................... 4 Slika 3: Zlatni pravokutnik podijeljen na manje zlatne pravokutnike ..................................................... 5 Slika 4: Zlatna spirala ............................................................................................................................... 5 Slika 5: Partenon i zlatni rez .................................................................................................................... 6 Slika 6: Mona Lisa .................................................................................................................................... 6 Slika 7: Vitruvijski ovjek ......................................................................................................................... 7 Slika 8: GeoGebra sa alatima za istraivanje zlatnog reza....................................................................... 8 Slika 9: Milivoj Bijeli: Zapeaeni ......................................................................................................... 10 Slika 10: Obrada slike Zapeaeni (1) .................................................................................................... 10 Slika 11: Obrada slike Zapeaeni (2) .................................................................................................... 11 Slika 12: Obrada slike Zapeaeni (3) .................................................................................................... 11 Slika 13: Hiroshi Kawano: Djelo br. 7 (Artificial Mondrian) ................................................................... 12 Slika 14: Obrada slike Djelo br. 7 ........................................................................................................... 12 Slika 15: Janez Logar: Autoportret ........................................................................................................ 13 Slika 16: Obrada djela Autoportret ....................................................................................................... 13 Slika 17: Edo Murti: Manhattan........................................................................................................... 14 Slika 18: Obrada djela Manhattan ......................................................................................................... 14 Slika 19: Sava umanovi: Veer ........................................................................................................... 15 Slika 20: Obrada slike Veer .................................................................................................................. 15 Slika 21: Julije Knifer: Antikompozicija .................................................................................................. 16 Slika 22: Obrada djela Antikompozicija (1)............................................................................................ 16 Slika 23: Obrada djela Antikompozicija (2)............................................................................................ 17 Slika 24: Obrada djela Antikompozicija (3)............................................................................................ 17 Slika 25: Obrada djela Antikompozicija (4)............................................................................................ 17 Slika 26: Ivan Koari: Mojih est jutara zemlje .................................................................................... 18 Slika 27: Obrada djela Mojih est jutara zemlje .................................................................................... 18 Slika 28: Kauzlari i Gombo: Vila Spitzer, Novakova 15 ....................................................................... 19 Slika 29: Vila Spitzer, originalni prijedlog iz 1931. Godine .................................................................... 20 Slika 30: Obrada sjevernog proelja Vile Spitzer ................................................................................... 21 Slika 31: Obrada istonog proelja Vile Spitzer (1) ................................................................................ 21 Slika 32: Obrada istonog proelja Vile Spitzer (2) ................................................................................ 22 Slika 33: Obraza zapadnog proelja Vile Spitzer.................................................................................... 22 Slika 34: Obrada junog proelja Vile Spitzer ........................................................................................ 23 Slika 35: Obrada presjeka Vile Spitzer (1).............................................................................................. 23 Slika 36: Obrada presjeka Vile Spitzer (2).............................................................................................. 24 Slika 37: Obrada tlocrta Vile Spitzer (1)................................................................................................. 24 Slika 38: Obrada tlocrta Vile Spitzer (2)................................................................................................. 25

ii

SaetakZlatni rez vjekovima nadahnjuje umjetnike slikare, glazbenike, arhitekte. Takoer nadahnjuje i matematiare da trae, istrauju zakonitosti zlatnog reza. U ovom smo radu, potpomognuti naim mentorima nastavnikom matematike Josipom Kliinoviem i nastavnicom povijesti umjetnosti Gabrijelom Barbari, na jedan inovativan nain pokuali istraiti je li zlatni rez nadahnjivao umjetnike i u 20. stoljeu te moe li se Grad Zagreb podiiti umjetninama na kojima zlatni rez postoji u nekom svom obliku. Problemu smo pristupili kritiki te emo u ovom radu pokuati zadrati objektivnost potrebnu za jedno matematiko istraivanje sa dozom subjektivnosti potrebnom za jedno umjetniko istraivanje. Ili obrnuto kako vam drago. Rad zapoinje uvodnim napomenama matematikom pozadinom zlatnog reza, ali i zlatnom rezu u umjetnosti antike Grke i renesanse. Nastavlja se sa opisom, odnosno metodologijom istraivanja gdje se istie teza, odnosno cilj istraivanja. Potom slijede rezultati istraivanja i konano zakljuak u kojemu rezimiramo istraeno i donosimo sud o tezi.

iii

Uvod matematika pozadina s jednim dvojbenim istraivanjem i nekoliko umjetnikih crticaZa duinu duljine d kaemo da je podijeljena tokom C omjeru zlatnog reza ako se cijela duina spram veeg dijela odnosi kao vei dio spram manjeg dijela (slika 1).

Slika 1: Definicija zlatnog reza

Potujui navedenu definiciju moemo pisati te emo tu relaciju odmah transformirati : : 0 Konano uvrtavajui 1 dobijemo 1,

5 2

Kako je ipak rije o duljinama, negativno rjeenje odbacujemo te ostaje omjer zlatnog reza kojeg se obino oznaava sa (od starogrkog - rez) ili (poetno slovo grkog kipara Fidije): 1 5 2 1.618

Zlatni je rez fascinirao matematiare od antike Grke. Pogotovo su njime bili zadivljeni sljedbenici Pitagore pitagorejci da im je zatitini znak bio pentagram, lik kojeg stvaraju dijagonale pravilnog peterokuta. Naime, moe se pokazati da je omjer stranice i dijagonale pravilnog peterokuta upravo zlatni rez, odnosno . Time se dolo do zlatnog trokuta, odnosno jednakokranog trokuta kojemu je omjer osnovice i kraka (na slici 2 oznaeno utom bojom). Takoer se moe pokazati da jedna dijagonala pravilnog peterokuta sijee drugu na nain da ih to sijecite dijeli u omjeru (slika 2).

Slika 2: Zlatni trokut i pentagram u pravilnom peterokutu

4

Zlatnim pravokutnikom nazivamo pravokutnik ije su stranice u omjeru zlatnog reza. Zlatni pravokutnik moemo uzastopno dijeliti na manje zlatne pravokutnike, pa dobijemo lik kao na slici 3.

Slika 3: Zlatni pravokutnik podijeljen na manje zlatne pravokutnike

Zanimljiva je takoer i zlatna spirala koju moemo upisati u zlatni pravokutnik koji je podijeljen na manje zlatne pravokutnike, a to e nam svakako pripomoi u naem istraivanju (slika 4).

Slika 4: Zlatna spirala

Vrijedi ovdje spomenuti jedno zanimljivo istraivanje (dvojbeno istraivanje iz naslova) koje je 60-ih godina 19. stoljea proveo jedan od osnivaa moderne psihologije Gustav T. Fechner. On je subjektima pokazao 10 pravokutnika ije su stranice bile u razliitim omjerima (od 1 do 2.5). Prema Fechneru, subjekti su se dosta kolebali, ali su na kraju ipak u 76% sluajeva odabrali pravokutnik iji je omjer stranica bio 1.5, 1.62 i 1.75. Fechner je zakljuio da ljudi preferiraju zlatni rez. Meutim, omjeri 1.5 i 1.75 su dosta daleko od zlatnog reza, pa moemo pretpostaviti da je zapravo manje od pola ispitanika preferiralo zlatni pravokutnik. Ukratko, Fechner je rezultate tumaio na pristrani nain, to se pokazalo u kasnije naenim njegovim biljekama. Naime, Fechnerovo istraivanje vezano za preferiranje zlatne elipse (elipsa ije su osi u omjeru zlatnog reza) je doivjelo debakl, pa je Fechner rezultate tog istraivanja odluio sakriti.

5

U saetku ovoga rada naveli smo da je zlatni rez oduvijek nadahnjivao i umjetnike, a ne samo matematiare. Mnogo je primjera zlatnoga reza u arhitekturi antike Grke. Na primjer, Partenon se smatra jednim od dijela raenih u zlatnome rezu (slika 5).

Slika 5: Partenon i zlatni rez

U novijoj arhitekturi se esto spominje proelje zgrade Ujedinjenih naroda u New Yorku kao primjer zlatnog pravokutnika, meutim proelje je nagnuto pod odreenim kutom u odnosu na tlo, pa nije jasno na to se misli kad se kae proelje. Uz to, omjeri tih proelja su su u rasponu 1.76 do 1.96, to je daleko od zlatnog pravokutnika. Osim u arhitekturi, zlatni rez se esto spominje kao tajna mnogih slikarskih dijela, pogotovo u renesansi. Najee se spominje ime velikog umjetnika Leonarda da Vincija. Zapravo, mnogi smatraju da je tajna Mona Lisine ljepote upravo u paljivo odabranim proporcijama lica na nain da njeno lice obiluje zlatnim rezom, to je navodno ovjekovom oku jako ugodno.

Slika 6: Mona Lisa

6

Takoer moemo pogledati sliku Vitruvijski ovjek istog autora, na kojemu je zamjetno nekoliko zlatnih rezova, na primjer, stopala u glava ine zlatni trokut (na slici 7 uti trokut), a pupak dijeli duinu izmeu tjemena i stopala u zlatnom rezu (na slici 7 uta toka).

Slika 7: Vitruvijski ovjek

Luca Pacioli je u renesansi zapoeo koritenje zlatnog reza. Naime, on je zlatni rez prozvao boanski omjer te je poticao svoje suvremenike da ga to vie koriste. Leonardo da Vinci je bio Pacioliev suradnik i prijatelj, pa zapravo nije jasno da li je da Vinci bio pod utjecajem Paciolia ili je Pacioli bio pod utjecajem da Vincia.

7

Opis istraivanjaZa ovaj smo rad koristili program GeoGebru zajedno sa napravljenim alatima za istraivanje zlatnoga reza. Autor tih alata je ime ulji, nastavnik matematike iz Pazine kojemu ovom prilikom najljepe zahvaljujemo za materijal koji je kreirao. GeoGebra je program dinamike geometrije koji nam je posebno zgodan za provoenje istraivanja zbog svog modusa povlaenja. Odnosno, povlaei bilo koju od kreiranih toaka odnos meu njima se mijenja, a time i cijela konstrukcija. Prijanje slike prikazane u ovom Radu su raene upravo uz pomo alata profesora uljia te time prikazujemo nain na koji emo istraivati polagat emo razne likove zlatnog reza, promatrati i time dokazivati, odnosno opovrgavati postojanje omjera zlatnog reza na umjetninama. Na slici 8 je prikazan prozor GeoGebre s alatima koje je kreirao profesor ime ulji.

Slika 8: GeoGebra sa alatima za istraivanje zlatnog reza

Alat za istraivanje smo priskrbili te nam je jo ostalo nai djela koja emo istraivati, primjer iz arhitekture te neke primjere iz slikarstva. Jako nam je bitno bilo da se djela koja emo istraivati nalaze u trajnom vlasnitvu u Gradu Zagrebu jer u tom sluaju moemo govoriti primjerima zlatnog reza u Zagrebu premda autori moda nisu iz Zagreba niti iz Hrvatske. U kontaktu sa doc.dr.sc. Karin erman u Zagrebu saznali smo za postojanje Vile Spitzer arhitekata Kauzlaria i Gaboa (Novakova 15, Zagreb) koja je navodno planski raena u omjerima zlatnog reza. Uz pomo studenta arhitekture Denisa Rubinia doli smo do originalnih arhitektonskih podloga (1931. godina) iz Dravnog arhiva u Zagrebu.

8

to se tie umjetnikih djela, za suradnju smo se obratili Muzeju suvremene umjetnosti. Ravnateljica Muzeja, mr.sc.Snjeana Pintari, se obradovala suradnji na istraivakoj osnovi. Posjetili smo MSU kroz koji nas je provela via kustosica gospoa Nataa Ivanevi te nam svojim strunim vodstvom pomogla u potrazi za umjetnikim djelima iz zbirke Muzeja koje moda u sebi skrivaju omjer zlatnog reza. Vodili smo se idejom istraivanja Fuchnera te smo pokuali vizualno identificirati umjetnika djela koje bi bile pogodne za nae istraivanje, premda smo cijelo vrijeme imali na umu da su rezultati Fuchnerova istraivanja manjkavi i upitni. Gospoa Ivanevi nam je naknadno poslala fotografije umjetnikih djela iz zbirke Muzeja koje smo traili kako bismo istraili postoji li na njima zbilja skriven omjer zlatnog reza. U Muzeju smo se najvie koncentrirali na slike, kipove i reljefe, dok smo instalacije unaprijed odluili odbaciti. Naime, instalacije su esto pomine i time podlone manipulacijama. Prema istraivanju kipova i reljefa smo bili jako skeptini zbog problema perspektive.

9

IstraivanjeUmjetnika djela iz zbirke Muzeja suvremenih umjetnostiMilivoj Bijeli: Zapeaeni

Prva slika koju smo krenuli istraivati je Zapeaeni autora Milivoja Bijelia. Slika je nastala 1991. godine, a sastoji se od slike te popratne instalacije globusa i kofera. Kako smo prije odluili da instalacije ne istraujemo zbog svoje pominosti - globuse i kofere moemo pomicati te je time upitna stalnost instalacije, koncentrirali smo se na sliku.

Slika 9: Milivoj Bijeli: Zapeaeni

Samo platno je daleko od zlatnog pravokutnika, kao i lijevi dio slike za koji smo prvo pretpostavili da je takoer zlatni pravokutnik. ak ni podjele platna na oita dva dijeli (lijevi i desni) nije u omjeru zlatnog reza (slika 10).

Slika 10: Obrada slike Zapeaeni (1)

10

Meutim, istraivanjem dokazujemo da je desni dio slike zlatni pravokutnik. tovie, pokazujemo da zlatna spirala donekle prati konture desnog dijela. Zakljuujemo da postoji zlatni pravokutnik na samoj slici, a postojanje zlatne spirale uzimamo sa zadrkom (slike 11 i 12).

Slika 11: Obrada slike Zapeaeni (2)

Slika 12: Obrada slike Zapeaeni (3)

11

Hiroshi Kawano: Djelo br. 7 (Artificial Mondrian)

Umjetnik Kawano kreator je zanimljivog djela simbolikog naziva Artificial Mondrian (Umjetni Mondrian). Ovo djelo napravljeno je uz pomo raunala. Djelo je zanimljivo utoliko to prikazuje nekolicinu pravokutnika, pa nas je zanimalo da li je ijedan od tih pravokutnika zlatni.

Slika 13: Hiroshi Kawano: Djelo br. 7 (Artificial Mondrian)

Poznato je da je ovo djelo napravljeno pomou programskog jezika FORTRAN 4, ali nije jasno je li raunalo bilo programirano da crta pravokutnike proizvoljnih veliina ili unaprijed zadanih veliina. U svakom sluaju, u mnotvu pravokutnika identificirali smo ak sedam njih koji svojim proporcijama odgovaraju zlatnom pravokutniku (iscrtkani pravokutnici na slici 14). Je li rije o sretnoj sluajnosti ili o namjeri autora, ostaje umjetnikoj struci za ocijeniti.

Slika 14: Obrada slike Djelo br. 7

12

Janez Logar: Autoportret

Ovo smo djelo odabrali zbog simbolike matematike u njemu. Zanimljivo je bilo istraiti ima li tu elemenata zlatnog reza, odnosno ima li vie matematike na njemu negoli se to isprva ini.

Slika 15: Janez Logar: Autoportret

Ovo djelo je vrlo teko za istraivanje jer zapravo nisu jasno naznaene granice lica. Stoga zlatnu spiralu koju smo dobili metodom pokuaja i pogreaka uzimamo sa rezervom! O tome upozorava i profesor iki u [1] koji napominje da je najvei problem sa istraivanjem zlatnog reza na umjetnikim djeloma upravo proizvoljan poloaj pravokutnika kojeg istraiva postavlja te se iz toga moe izvesti krivi zakljuak.

Slika 16: Obrada djela Autoportret

13

Edo Murti: Manhattan

Djelo Ede Murtia je zanimljivo jer sadri mnogo pravokutnika. Prirodno nam se nametnulo pitanje je li ijedan od tih pravokutnika zlatan.

Slika 17: Edo Murti: Manhattan

Teko nam je bilo zamisliti da je Murti u ovome djelu koje djeluje zbrkano proraunato sakrio poneki element zlatnog reza. Nae istraivanje je pokazalo da smo u pravu. Nijedan alat za istraivanje nam nije pruio uvjerljivi dokaz o postojanju zlatnog reza na ovom umjetnikom djelu.

Slika 18: Obrada djela Manhattan

14

Sava umanovi: Veer

Djelo Save umanovia u Muzeju suvremene umjetnosti je postavljeno u sklopu instalacije Brace Dimitrijevia Triptychos Post Historicus.

Slika 19: Sava umanovi: Veer

O tom je umjetnikom djelu pisao Mladen Pejakovi u knjizi Zlatni rez ([2]). Svejedno smo odluili istraiti sliku bez obzira na rezultate profesora Pejakovia. Na slici smo zbilja nali neke elemente zlatnog reza. Zanimljivo je vidjeti kako linija zlatnu spiralu kako donekle slijedi konture manjeg stabla na sredini slike te kako okomica postavljenu duinom stabla koja prolazi kroz toku zlatnog reza savreno slijedi liniju krova kue. Zanimljivo je i kako je omjer od dna stabla do toke zlatnog reza i duljina od toke zlatnog reza na stablu do ruba kue ponovno zlatni rez, ali tu nema zlatnog pravokutnika. Zato je prozor kue zlatni pravokutnik. Oekivali smo da e oko stabla pri vrhu djela biti mogue opisati zlatni pravokutnik, ali je sa slike 20 vidljivo da to ipak nije tako.

Slika 20: Obrada slike Veer

15

Julije Knifer: Antikompozicija

Ovo je djelo zanimljivo zbog oitih pravokutnika te smo ga odluili istraiti.

Slika 21: Julije Knifer: Antikompozicija

Na djelu smo pronali mnotvo zlatnih pravokutnika. Toliko je zlatnih pravokutnika da se pitamo nije li umjetnik ovo djelo planski radio uz pomo zlatnog reza. Zanimljivo je umetnuti zlatnu spiralu i promotriti kako se i gornji zlatni pravokutnik podijeljen podijeljen u omjeru zlatnog reza pokazuje jo vie zlatnih rezova na slici.

Slika 22: Obrada djela Antikompozicija (1)

16

Slika 23: Obrada djela Antikompozicija (2)

Slika 24: Obrada djela Antikompozicija (3)

Slika 25: Obrada djela Antikompozicija (4)

17

Ivan Koari: Mojih est jutara zemlje

Odluili smo se prikazati i jedan reljef umjetnika Ivana Koaria, premda smo nekoliko djela istraivali. Na svim djelima smo odbacili postojanje zlatnog reza zbog problema do kojeg esto doe pri fotografiranju umjetnikih djela problem perspektive. Reljefi i kipovi su podloniji tom problemu od slikarskih djela. Djelo Mojih est jutara zemlje je jako zanimljivo djelo za koje smo pretpostavili da bi moglo imati elemente zlatnog reza. Meutim, istraivanjem se pokazalo da smo bili u krivu jer je oito da ne postoje elementi zlatnog reza (slika 27).

Slika 26: Ivan Koari: Mojih est jutara zemlje

Slika 27: Obrada djela Mojih est jutara zemlje

18

Zlatni rez u arhitekturi Grada ZagrebaVila Spitzer Novakova 15, Zagreb

Od doc.dr.sc. Karin erman sa Arhitektonskog fakulteta u Zagrebu saznali smo da je Vila Spitzer u Novakovoj ulici reprezentabilni primjer graevine planski graene u zlatnom rezu. Vilu su projektirali arhitekti Mladen Kauzlari i Stjepan Gombo 1931. godine, a angairali su ih vlasnici gospoa Serafina-Selima Spitzer i gospodin Vilim Spitzer. Vila se nalazi u Novakovoj ulici na broju 15. Kopije arhitektonskih podloga (nacrte) smo dobili iz Dravnog arhiva Grada Zagreba pri emu nam je pomogao student arhitekture Denis Rubini.

Slika 28: Kauzlari i Gombo: Vila Spitzer, Novakova 15

Zgrada na prvi pogled plijeni panju svojim dimenzijama. Ne veliinom, nego odnosom duljine i visine. Pretpostavili smo da se radi o zlatnom pravokutniku, to smo provjeravali uz pomo GeoGebre.

19

Slika 29: Vila Spitzer, originalni prijedlog iz 1931. Godine

20

U Dravnom arhivu smo pronali originalne arhitektonske podloge iz 1931. godine koji su nam jako zgodni za prouavanje zlatnog reza na graevini. Podloge smo skenirali, postavili u GeoGebru i na njima istraivali. Podloge koje su nam bile dostupne su nacrti sjevernog, junog, zapadnog i istonog proelja zgrade, presjek zgrade, tlocrt prizemlja, prvog kata i krova. S obzirom na starost podloga (80 godina) teko je oekivati visoku kvalitetu njihovih skeniranih kopija. Kako se moe vidjeti na sljedeim slikama, graevina zbilja sadri mnogo zlatnih pravokutnika, ali smo ipak oekivali da e toga biti puno vie.

Slika 30: Obrada sjevernog proelja Vile Spitzer

Slika 31: Obrada istonog proelja Vile Spitzer (1)

21

Slika 32: Obrada istonog proelja Vile Spitzer (2)

Slika 33: Obraza zapadnog proelja Vile Spitzer

22

Slika 34: Obrada junog proelja Vile Spitzer

Slika 35: Obrada presjeka Vile Spitzer (1)

23

Slika 36: Obrada presjeka Vile Spitzer (2)

Slika 37: Obrada tlocrta Vile Spitzer (1)

24

Slika 38: Obrada tlocrta Vile Spitzer (2)

25

ZakljuakProvedeno istraivanje je neiscrpan izvor za daljnja istraivanja na istu temu. Ovdje je prikazan samo najzanimljiviji dio svih umjetnikih djela koje smo istraivali, bez obzira na rezultat tog istraivanja. Premda profesor iki u [1] navodi: Naravno, bilo je umjetnika koji su svjesno koristili zlatni omjer u svome radu, ali nikada medu najveima. Ne elei govoriti o veliini umjetnika (kako god da se ona mjeri!) koje smo istraivali ipak emo zakljuiti da je evidentno da smo u nekim umjetnikim djelima koja smo istraili pronali mnoge elemente zlatnog reza. Istraivanjem smo pokazali je vrlo oito da su neki autori smiljeno koristili zlatni rez (npr. Kniferova Antikopozicija), dok na drugima postoje zlatni pravokutnici, zlatne spiraleali ne moemo sa sigurnou tvrditi da je to bila autorova namjera. Ljepota je ipak u oku promatraa te ne moemo rei da su umjetnika djela lijepa samo zbog zlatnog reza, ali moemo ustvrditi da su zbog toga zanimljiva za istraivanje.

26

ZahvaleNajljepe se zahvaljujemo u prvom redu naim mentorima koji su nas uputili u rad i dali nam svu moguu podrku te ravnateljici Hotelijersko-turistike kole mr.sc. Mariji Raan-Krianac koja nam je drage volje odobrila rad na ovom projektu. Zahvaljujemo se profesoru imi uljiu na odlinim alatima za istraivanje zlatnog reza. Zahvaljujemo se Muzeju suvremene umjetnosti, a posebno ravnateljici Muzeja mr.sc. Snjeani Pintari i vioj kustosici Natai Ivanevi na podrci, pomoi i suradnji. Nadamo se da ovo nee biti jedina suradnja koju su nae dvije ustanove ostvarile. Takoer se zahvaljujemo doc.dr.sc. Karin erman sa Arhitektonskog fakulteta na ukazanoj strunoj pomoi iz podruja arhitekture te studentu arhitekture Denisu Rubiniu na pomoi pri traenju arhitektonskih podloga Vile Spitzer.

27

Literatura[1] iki, Z. Istine i lai o zlatnom rezu // Pouak, 15, 2003. [2] Pejakovi, M. Zlatni rez. Zagreb: Art studio Azinovi, 2000. [3] http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

28