413 h a d 8. Heft 5 Oktober 1938 Kleine Mitteilungen

-- - - 1 ~ 1 2 / ~ / 4 1 5 / 1 ' 1

[Jw$dml 0 1 1,57 1 0 1 0,196 ~ 0 1 -0 ,268 1 0 ~ -0 ,0413 1 (27)

b T?) Auf Grund von (11) uDd (27) berechnen nir JJw =dm. Abgeiehen von der Be-

stimmung der Konstanten A,,,, erhslten wir mit Hilfe von (6) die gesuchten Apprgximations- polynome. Unsere Rechnungen haben wir fiir m = 2, 4, 6 und 8 dnrobgeiiihrt. Mit Hilfe der letzten in (13) angegebenen Nebenbedingung wurde A,,, bestimmt.

C

Die Werte von A,,, lauten:

. . (28).

- m l o l z l ~ 1 6 1 s

An 1 0,125 1 0,255 j 0,414 1 0,505 ' 0,532

Wir erhalten mithin:

. . (29).

wo a= 0,125 ~a = 0,25 + 0,620 Ka ~4 = 0,414 + 1,30 Ka + 0,872 K4

Ws =I 0,501 + 2,11 Ka + 2,28 K4 + 1,125 Ke ws = 0,522 + 2,470 Ks + 3,48 K4 + 2,546 Ks + 0,818 Ks

An der Berandung C nehmen Ka,, (wie aus den Tabellen zu entnehmen ist) und Wan (wie wir berechnet haben) die Werte, die in der Zahlentafel IV (S. 410j411) ver- zeichnet sind, an.

Die Werte der Approximstionspolynome an der Berandung C warde in den Abb. 4 a und 4 b aufgetragen. Die Basis der Abb. 4 a ist der Radius AB1, die Basis von 4 b ist die halbe Leitlinie B l c der MantelflElche des Zylinders (vergl. Abb. 2 nnd 3). 823

KLEINE MITTEILUNGEN Zur Ermlttlun& der theoretlachen Lebtun) weisen, daR die Ermittlung der theoretiwhen

von Turbomarchinen. Da in vielen FBllen Leistung nicht auf Giund der Fi, t t i n g e r scheii erhebliche Unterschiede zwischen der uach der Gleichung, sondern aus einer andern geschehen E u l e r schen Grundgleichung berechneten theo- muB. retischen Leistung und der tatsichlichen Lei- Aus dem Momentcnsatz, crgibt sich, wie be- stung sich ergeben, erschien es notwendig, in kannt, daB fiir eine ebene StrBmung in einem die Untersuchung der Bewegnngsvorghge in Zentrifugalpumpenrad (Abb. 1). den 'Kreiselrgdern tiefer einzudringen. In deli

ten, die diem Frage behandeln (8. B. den Untereuchungen von W. S p a n n h a k e l ) und von E. SijrensenP), erfolgt die Beetim- mung des wirklichen Wertes der theoretischen Leistung auf Grund der bekannten F 6 t t in:- gerechen Gleichung. Im Fol- genden gestatte ich mir nachzn-

'1 W. S p a n n h a k e , Anwendung der konformen Abbildung auf die

selrUdern. Hydraulische Probleme, 8. 180 bin 200 (1926).

') E. S l l r e n s e n , Potentialstrll- mungen durch rotlerende Kreisel- rider, dieee Zeitsohr. Bd. 7 :(l927), Eeft 2.

vercffentlichten h y d r o d y n a m i s c h e n Arb& L=kfm=' ( ~ ~ u ) S d q - ' ( U C u h d q , 8 $

(1) .

Bereohnung von StrOmungen in Krei- r

(r) n

Abb. 1,

Ztschr. f. angew. 414 Klelne lithilungen Math. und Mech. --___

wobei L - Leistung, M - Drehmoment, o) - Win- kelgeschwindigkeit, y - spezifisches Gewicht, g - Erdbeschleunigung, u - Umfangsgachwin- digkeit, c. - Umfangskomponente der absoluten Geschwindigkeit c, d q - Fliissigkeitsmenge, die durch den Umfangselement d I flieBt, bezeich- nen; die Indizes 1 wnd 2 entsprechen dem Ein- tritt- und Austrittumfang.

1st c. die Normalkomponente der Absolutge- schwindigkeit, so ergibt sich

nnd f 01 glich d q = c , d l

. . odcr

0 ' 0 .4us der Gleichung (1) oder (1 a) sieht man

also, da8 L vom Produkt (cucn), foglich VOU der gestrichenen Fllche der Abb. 1, abhingig ist.

Die GI. (1) kann in folgenden Formen darge- stellt werden:

. .

(w9sin2@)ldZ1 . . . . . , (id),

wobei a -den veranderlichen Winkel (c, u), w, und w. - die Normal- und Umfangskomponai- ten der Relativgeschwindigkeit w, j3 - den ver- inderlichen Winkel (w, u) bezeichnen.

Am der G1. (1) ergibt sich

= r q (tf9 i"S - 211 c.1, . . * . . . . . . . (2), - - , l ?

wobei cUlund c . s u n b e k a n n t e mittlerewerte von cUI und cul sind. Die G1. (2) ist s t r e n g korrekt. Fiihrt man die Annahme, da8 cu den

Wert u - L c t g p @'-Winkel, unter dem die

Schaufel den Umfang schneidet) hat, so erhal- ten wir den von E u l e r aefundenen Wert von

2 Z T

- L (La).

Da diese Annahme nicht immer der Wirk- lichkeit entspricht, so unterscheidet sich L von der nach E u l e r berechneten Leistung L,,

Aus der G1. (1) folgt auch, da8

-_ - ~ s ~ . r , - - Y ~ l ~ n l . r l . . . . . (3), 0 l?

wobei in, und ins - u n b e k a n n t e mittlere Werte von csl und cns, I', und r8 - die Zir- kulationen um die Umfinge 1 und 2 bezeichnen.

Die G1. (3) ist ebenfalls s t r e n g korrekt.

Fiihrt man die Annahme, da8 in der Gr6Be 2 2 n r

gleich sei, so ergibt sich die F b t t i n g e r s c h e Gleichung

(p1-r3) . . . . . (4)

LS= q -.y - z r. . . . . . . . ( 4 ~ 1 ,

wobei z - Schaufelzahl, r, - Zirkulation uni eine einzelne Schaufel.

Aber es gibt keinen Grund anzunehmen, dnO

in der GrB5e gleicli sei; im Allgenieinen ist

c,, verhderlich an den Umfiingen 1 und 2, und es gibt keinen Grund dafQr, daB die GroBen

J ! und __

L F Y 8 ' a n Y

oder

fl an

2 m r

Cn cu d 1 Jcndl

r 2 m r denselben Wert haben.

Demzufolge ist die F 6 t t i n g e r sche Glei- cliung wie die E u l e r s c h e nur eine a n g e - n l h e r t e , - um die E u l e r s c h e Gleichung zu bekommen wird ein h y p o t h e t i s c h e r Wert fiir i. eingefiihrt, uiid die F 6 t t i n g e r - sche Gleichung ergibt sich unter h y p o t h e t i - s c h e r Annahme fiir den Wert von c.

Danach mu8 man bei 11 y d r o d y n a ni i - s c h e n Untersuchungen die GI. (1) (oder eine von den Gleichungen l a , I b , I c , I d ) und nicht die GI. (4 a ) benutzen. I n den oben erwahnten wichtigen Untersuchungen von W. S p a n n - h a k e und voii E. S B r e n s e n sind aber die G1. (4) und (4a) verwendet fiir Berechnung der Leistung L ; demzufolge mii8te man in die Er- gebnisse dieser Arbeiten entsprechende Berichti- gungen einbringen.

Unsere Ableitungen gelten auch far die iibri- gen Arten der Turbomaschinen (axiale Pumpen, Turbinen, Turbokompressoren usw.).

Charkow. B. Me i se l . 897

Ueba dfe Approximation konvexer vcr- mlttelr llnearer Funktionen. Will man eine vorgegebene Funktion f [x) im Interval1 <a, 6) durch eine lineare Z(x) = p x f q er- setzen, so da8 der durchschnittliche Fehler

b

F ( p , 9) = J i f C . > - E ( 4 l d z J(0 a

mbglichst klein wird, so fuhrt die Differential- rechnung auch bei einfachen f ( x ) auf uniiber- sichtliche Bedingungen zur Bestimmung von