Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion, Von

EDMUND LANDAU in Göttingen.

Einleitung.

Es bezeichne g (s) die Riemannsche Funktion. Riemann') hat bewiesen :

1. Es ist (s) — s 1

1 eine ganze Funktion.

2. Es hat (s) für s = — 2 m, wo m ganz und >..1 ist, eine Null-stelle erster Ordnung.

3. Alle anderem, etwaigen Nullstellen von g (s) sind nicht reell und gehören dem ,Streite 0 <91(s) = o <1 an.

4. Die ganze Funktion

s (s2 1) F( s ) n g (S')=F(s)

genügt der F?&nktioraalgleichUnag

(2) F (1—s) (s), z

so dass l+ (s) eine ganze Funktion von (,s -- 1 ) ist.

Die etwaigen Nullstellen von F(s) stimmen infolgedessen mit den im Streifen 0 < o <1 gelegenen Nullstellen von (s) überein.

Es werde stets s -- G -I-- t i gesetzt. Es bezeichne 2 (T) für T> 0 die Anzahl der Nullstellen von (s), d. h. F(s) im Rechteck 0 <a < 1, 0 C t < T, mehrfache selbstverständlich in ihrer Vielfachheit gezählt.

Es sei a irgend eine feste Zahl > 1, b irgend eine feste Zahl < 0. :Die Ordinate T sei von Nullstellen frei. Es bezeichne log (s) bozw. log F(s) zunächst den in der Halbebene o > 1 regulären Zweig, der für s > 1 reell ist, und weiterhin das, was bei Fortsetzung längs der Ordinate T entsteht; hierbei werde

(1)

1) 1 in der Nunterierung meines Handbuchs der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. (Leipzig und Berlin, 1949.)

126 Edmund Landau.

,3 log (s) = arc (s), ` log F (s) = arc F (s)

geschrieben. Schon bevor Stieltj es 1) seine (für den vorliegenden Zweck noch viel zu feinen) Untersuchungen über die Abschätzung von log r(s) für komplexe s angestellt hatte, war es ein Leichtes, aus den oben zusammengestellten Eigenschaften von g' (s) jede der sechs Relationen zu beweisen:

(3) N(T) _ 21n T log T— 1-I log (2 n) T I 0 (1) +M(T),

wo M(T) eine beliebige der sechs Bedeutungen hat:

^ + Ti 2

Ti

((sS)) ds , ^ sJ d s ; ^

arc (b -I- T i) ; n ar. c g ( --1- T i cc -{- Ti a + Tti

5+

r ^s^ Cls

(arc F (b -{- T i) — arc F (a -I- T i) ); a + Ti

1 +Ti

7-7 ;p ia F ((s) ds — - - (arc F (-1-i- T i ) — arc F (a -H T i) ). Ti,

Dabei zeigt sich natürlich eo ipso, dass je zwei dieser sechs Funk-tionen sich nur um 0 (1) unterscheiden.

Es ist nun Ilerrn von Mangoldt 2) zuerst gelungen, für eine

(d. h. jede) dieser sechs Funktionen

(4) M (T) = 0.(log 2 T)

zu beweisen. Dabei war eine wesentliche Grundlage seiner Schlüsse

1) Vergl. seine Arbeiten Recherches sw• quelques s ēries secni-convergente.s IAnuale scientifiques de l'Ecole Normale Superieure, Ser. III, Bd. III (1886), 5.2(11---258 ; a ucli als These erschienen] und Suv le dē veloppeinenl de log r (a) (Journal de Mat.h(uraliques pures et appliquöes, Ser. IV, Bd. V (1889), S. 425-444). Doch würden für meinen Zweck auch die älteren L ipschitzschen Resultate reichlich genügen: verg). seine Arbeit lieber die Darstellung gewisser Functionen durch die Eulersch.e 8umoncnf nrmrcl [Journal für die reine • und angewandte Mathematik, Bd. LVI (1859), S. i t --iwj. Wie gesagt, ist (3) u. a. eine leichte Folge aus den Stiel t,jesschen Sitzen über die Gammafunktion. Daher war es nicht wunderbar ; dass ein vor wenigen Jahren veröffentlichter Brief von Stieltjes an Herrn Mittag-Leffler vom 23. 2. 1887 (4, Bd. 2, S. 449-447 und 452-457) zeigte, dass St ieltj es im Besitz dar ltelar-tion (3) war. Übrigens war (3) vordem schon von Herrn Putz (2, S. 25•--2u) be-wiesen worden.

2) 2. Stiel tj es konnte weder (4) noch eine weniger gute brauchbare Formel über M(T) beweisen, sondern drückt sich in dem genannten Briefe sehr vorsichtig und korrekt so aus: „En adrnettant donc que l'on puisse n ē gliger var. arg.

Zur Theorie, der Riemannschen Zetafunktion. 127

die kurz vorher gemachte berühmte Hadamardsche1) Entdeckung::

F (s) hat unendlich viele Nullstellen, und (in heutiger Ausdrucks weise) F (s) hat als Funktion von (s — 1)

2 das Geschlecht 0. Anders.

formuliert: Es ist

(5) (s 1)g (s)= 2 evS

r (+l) 11 (1 — e l e°,

wo Q die Wurzeln im Streifen 0 <

ll

< 1 bei beliebiger Anordnung durch--lltuft; b ist eine Konstante.

Mit (4) hatte Herr von Mangoldt bewiesen:

1 (6) N (T) = 2 7, T log T + log

(^' '^) T +n (log T) ;

aus dem soeben Gesagten folgt (6) zwar zunächst nur für wurzelfrei

wachsendes T, damit aber eo ipso auch für stetig wachsendes T.. Später gelang es Herrn von Mangoldt) durch Hinzufügung

weiterer feiner Kunstgriffe, sogar

(7) 11(T) = 0 (log T)

zu beweisen und damit für stetig wachsendes T die Relation

(8) N (T) — ^ Tlog T 1 + 2 n (2 'f) TH- 0 (log T).

Noch später gelang es mir 3), diesen Beweis von (7) und (8) zu.

vereinfachen; den Hadamardschen Satz verwende ich jedoch auch

als Hauptstütze aller meiner Schlüsse, wie Herr von Mangoldt es tat.

Nun fiel zwischen beide von Mangoldtschen Abhandlungen das. Erscheinen einer Arbeit von Herrn Franell.) in dieser Vierteljahrs-schrift (1896). In Nr. II jener Arbeit will der Verfasser - in der -

[obiges F (s)] sur F. A' [F ist obiges a - I- T i für a = 2, A' ist obiges 2 -^- T

an a, ap,roximativement,

Quant ii. 1'approximation de cette expression, pour la juger, il faudrait avoir .

nun idee de la grancleur de

var: arg. r(s) sur F

Je crois . me rappeler que j'ai fait quelques efforts dans cette direction, qui n'on t pas etia tout iL fait steriles, mais je ne saurais prē ciser en ce moment saus. etudier d'abord les notes que j'ai prises sur ce sujet."

i) x ,

s) 7. s) 44.

4) 4.

s 2S Edmund Landau.

Absicht, einen Gedankengang, der Riemann vorgelegen habe, wieder-herzustellen gewissermassen den umgekehrten Weg gehen als

Herr von Mangoldt. Herr Franel will erst direkt N(T) abschätzen, ,ohne den Hadamardschen Satz zu benutzen; er verwendet dann

die Abschätzung von N(T) als wesentliche Stütze zur Herleitung des

Hadamardschen Satzes_ Hierzu beweist Herr Franel zunächst (3)

in einer der sechs gleichwertigen Gestalten, nämlich mit

M(T ) _ (arc F (71 -I-- T i) —. arc F (a -- T i)).

:Dann sagt er wörtliche): „On peut de'montrer que l'accroissement

ēprouv ē par l'argument de F (s) lorsqu'on ddcrit le segment rectiligne

B H reste, quelque soit h, infē rieur ä une grandeur fixe." h ist mein

T, B mein a -}- Ti, H mein -!- Ti. Herr Franel sagt also, man

könne ,(9) /1/(T)= 0 (1)

beweisen; er sagt dies ohne weitere Begründung und schliesst dann

.aus (3)

F(10) N(T) = z1^

T l og T — 1 + 2 n ( ^ '^ ) T -;- 0(1),

worauf er alles weitere basiert. Und in der Untersuchung des Ver-haltens von arc F (s) auf jener horizontalen Strecke, worüber Herr

;Franel mit den oben zitierten Worten hinweggleitet, liegt die ganze

:Schwierigkeit! Bis heute kenne ich auch für die durch Herrn von

Mangoldt sichergestellte Relation

M (T) = 0 (log T),

,ja sogar für seine ältere Relation (4) nur solche Beweisanordnungen,

welche sich wesentlich auf den Hadamardschen Satz stützen.

Ist nun Herrn Franels Relation (9) richtig oder falsch? Ich

=weiss es nicht. Wohl aber weiss ich auf Grund eines Satzes in einer

Arbeit') von Herrn Bohr und mir, dass (9), d. h. (10) in Wider-,spruch mit :der Riemannschen Vermutung

0 für r> ^-

,steht. Dies :auseinanderzusetzen ist der Hauptzweck der gegenwärtigen Abhandlung.

1) S. 11, Z. 5=3 V. U.

2) Über das Verhalten von ..(.$) sind ,(s) in der Hdhe der Geraden r (Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, maille-

.matisch-physiklische Klasse, Jahrgang 1910, S. 303-3301.

,(7)

,(11) (s)

Zur 'Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 19.9

Das Merkwürdige ist, dass Herr F ran el im weiteren Verlaufe seiner Abhandlung Schlüsse unter der Voraussetzung zieht, dass die Riemann-sche Vermutung richtig ist. Die Voraussetzungen, die er von S.12 seiner Abhandlung an zugrunde legt, nämlich 1. die Tatsache (10), die allerdings bei ihm keine Hypothese, sondern das Resultat einer dem Leser nicht mitgeteilten Beweisführung ist, 2. die Vermutung (11) — stehen also mit einander in Widerspruch. (10) oder (11) oder beides ist also falsch. Was davon falsch ist, weiss ich nicht.

Wenn also Herr Franel sich endlich nach 15 Jahren entschliesst, :seinen damaligen Beweis von (9), d. h. (10) bekannt zu geben, und wenn dieser Beweis richtig ist, so wird Herr Franel damit das grosse Verdienst erworben haben, das berühmte Riemannsche Problem ,(„Ist (11) richtig oder falsch?") gelöst zu haben, und zwar in nega-tivem Sinne.

Im § 1 des Folgenden beweise ich bekannte Hilfssätze über die Gammafunktion und im § 2 die bekannte Relation (3). Wenn ich mich .auch, wo irgend möglich, zur Vermeidung von Wiederholungen auf mein Handbuch beziehe, so habe ich doch in diesem Buch mit Ab-sicht jene Sätze über F(s) und die Relation (3) nicht entwickelt, sondern, da über 11/(T) doch nur (7) bekannt ist, an Stelle von (3) bloss

1\ (T) = Z'log T +1 °g(2 ") T+ O (log T)-i-11(T) n 2a

bewiesen. Daher die Notwendigkeit, hier mit jenen §§ 1-2 zu beginnen.

Im § 3 beweise ich, dass zwischen

(9) 1(T) = 0 (1)

einerseits, d. h. (10) einerseits und der Riemannschen Vermutung (11) andererseits ein Widerspruch besteht. Es ergibt sich nämlich aus (9) in Verbindung mit (11), dass bei festem ō > 0 die Funktion

()— 1 für o > + d beschränkt ist ; dies (dass nämlich aus (9) s 7 . 2

und (11) die Beschränktheit dieser FunktioFranels habe ich zuerst aus einem Briefe Herrn 1'ranels an Herrn von Koch vom 16. 2. 1901 gelernt, den beide Herren mir freundlichst im Oktober 1903 zur Ver-fügung gestellt hatten und den ich hier mit ihrer Zustimmung erwähne: Ich gebe im § 3 zunächst den Franelschen Beweis und dann im § 4 einen anderen, der mehr in meinen üblichen Ge-leisen verläuft. Also aus (9) und (11) folgt die Beschränktheit von

(s) s 1 ī für G > 2

+ B. Andererseits hat Herr Bohr') bewiesen,

1) Vergl. § 1 unserer oben erwähnten Abhandlung.

Vierteljahrsschrift d. vaturf. Ges. Zürich. Jabrg. 56. 1911. 9

130 Edmund Landau.

dass g (s) s sogar für (5> 1 nicht beschränkt ist. Daher besteht

zwischen (9) und (11) ein Widerspruch. Im § 4 beweise ich übrigens, dass aus der Richtigkeit von (11)

sogar folgt: M(T) hat seinen lim sup = o und seinen lim inf = — s. T

Im § 5 erinnere ich an einen Hilfssatz von Herrn Bohr und mir.

Im § 6 beweise ich, dass bereits

l^l (T) = o (log log T),

t ►

d. h.

N(T)-= 21n- T log T log, (;. ^} . ^^ .+.

n ; (1 ^ log T)

der Ui ein an n sehen Vermutung widerspricht.

Ich beweise dort ferner, dass sogar die Relation

1lf('l'1 lins sup < 1') 2'= lug; lug 1

der Uiemannsclien Vermutung widerspricht. Desgleichen die [Lelation

lim inf .21[(T) > t). hw ^ log log I' _. . _.

Wenn also die Hie ni au n sehe Vermutung richtig ist, so ist; der

Quotient T li,^ 1' — ._i. I la, (2 7r) 'I

loh lol l.'

hei jedem festen hinreichend kleinen positiven a immer wieder ein-mal > d und immer wieder einmal < — a.

§ 1. Hilfssatz 1 : l;y seien o„ ttrld (5, 7 ^ /r'st. »an re

yGcsicl+araü ss irl T" (8)

! . = log t ..f,

Beweis; Wegen I"(s -(-- 1 1 m : s “s),

r"' (s l) 1 1„ (s)

1'(5 ; j ) . ^

s hCs)

)(1).

braucht die Behauptung nur fürs Intervall 0 zs 1 beviesa 71 ZU

werden.

r'' (3) 1 (s)

^ 1 v n n= 1

1 s- ^-)n '

(12)

r' (s ) P'(ti) I < 1. + ( P(s) P(ti) — t •t

1 ` 0 (1). 2L• n

0 r =

Zur Theorie der Riemannsehen Zetafunktion. 131

Nun ist in der ganzen Ebene

also für 0<o<1,t>0

r' (s) P' (t i) 1 1 °' 1

P (s) P(ti) ti c-{-t i = 1k 12 { ti n f t i)

G

ti (c+ ti) 1 (n -}- ti) (n I G t i) '

Daher braucht die Behauptung nur für die eine Abszisse

bewiesen zu werden und lautet

(13) P (t t) — log 0 (1). P (t 'i) ' Nach (12) ist

( t 4 `° f 1 1 P(ti) — 0 (1) ^

_. ^ ( ^i n+ t i1 va =

(14)1 2z ^ t

.^ 0(1) +^ C n rt2 + t2 ) ^ n2

^t2'

Hierin ist für t > 0 die letzte Summe

5 t < (" trizt =

[arctg 2G ]^ _ =0(1). JJ r — n2 -1- t2 n2_^ t2 t (f 2 '

die erste Summe rechts in (14) ist, da die Funktion

1 _

26 1t2 { t 2 26 (262 -1- t2 )

mit wachsendem u > 0 abnimmt,

= 2a

a,t--^ 0 (1) ._ ( 2t

1 — 2t2 -"T' t2 ) d

_ [log u — 72-1 log te1 ± 0 (1) = log t -{-- 0 (1).

Aus (14) folgt daher (13) und somit der Hilfssatz 1.

111 777

, t ,,,

< arc tg 77 d ac, < .> arc tt; ,> _

,ui % ^ arc tg --- -- iaretg

„= 1 n

„r f ^

J arc tg

also

(19) (1

d tt.

,,,

n ti J

tg rt tl tt .

132 Edmund Landau.

Hilfssatz 2: Es bezeichne log I' (s.) den in der von 0 bis

(längs der reellen Achse) aufgeschnittenen Ebene eindeutigen Zweig/, der fier s > 0 reell ist; d. h. es sei

(15).

arc T (s) = 2 log T(s) � r— C s — log s -{- 7L ^^^ a

-log (1 t- 7z )/

wo die Logarithmen rechts ihren imaginären Teil zwischen — und 2r haben. I:s seien Ga und G l > Go fest. Dann ist fiti'r G, G 5: o t gleielimüssiq

(16) arc .I-' (s) = t log t — t --}- 0 (1).

Beweis: Nach Hilfssatz 1 (der übrigens hier nicht in vollem Umfang zur Anwendung kommt) ist es nur erforderlich,

(17) arcf (ti)=t log t 0(1)

zu beweisen ; denn aus Hilfssatz 1 folgt bei festen G,,, ū , > t 1`ü r Go < G < G1 gleichmässig

a •+ t i

arc F(e± t i) — arc (t i) = '` r (s)

t d. h. (16).

Nun ist nach (15) für 1> 0

r

s = ^a! ^ i (.y) — log t) cl ti ,..- r) 0, ^ i.

. arc ' ( t z) — — C t .__ - ^ . +. .",,. (-... ._ arc tg . _ ) ,Z =

n rz '

wo arc tg den Wert zwischen 0 und -; bezeichnet. Anders geschrieben

»,

arc I' (t i) =— t lim =, C4 u.=

— log m n

711 lr r ^. rra

111 7.4,;.^t rt

lirü t,r

'^

(18) — — -{- lrm (t log m —> arc tr , 9,L= rn at r

G' n

Da nun die Funktion nie tg .ii m i t wachsendem positiven u be-

ständig abnimmt, ist für ganze ni > 1

Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 133

Nun ist 9)L u=m f are tg d 2r = . u arc tg + log (t2 --F- z)^

u = o

=aiarctgm- 2 log (t2 +m2)-- t log t , 90

(20) lim (t log m — f arc tg d ai) = t log t — t.

Nach (18), (19) und (20) ist 9M

lim (t log m — >T arc tg īi ^ -- (t log t — t) l G vz =m 9d =1

9^a

lim (t log m— arctg 12 t log t — t -;-0(1), vz=a aa =1

arc F(ti)=f log t—t+0(1),

womit (17), d. h. der Hilfssatz 2 bewiesen ist. § 2.

Beweis von (3) : Es sei T > 0 und auf der Geraden t = T keine Nullstelle

(21)

Integrationswegen von (s) gelegen.

r i N 2nN(^) - ,s 1— a I

Es sei

ir' r(,) ds+^

ui-7a

a

a > 1. Dann ist bei geraden 'i 1—a +- T-i r 1' S F(S) C^ ) ds ds +,s 7+'(s)

1 —a

F(s) I'(s) a +Ti

d s ; S Zr F(s)

^ 1 — a+Ti

1,,, (1—s) — F'(s) . F (1 — s) — 11 (5) ,

wenn überdies berücksichtigt wird, dass F (s) für konjugiert komplexe s konjugierte Werte annimmt, erkennt man, dass

+ Ti Ti!j + 1—a—Ti 1—a+Ti

S F' (s) ds= r' (1—s)

dsVn .F'(s) ds— (' F'(s) d s

F (s) 'd ' J r (1— 3) S .1 i+ (s) — J r (s) a + Ti a+ T9 1 —Ti 1+ Ti und

s= a +Ti a+ Ti 1 —a 1—► a

r F' (s)

^ T' (1 — s) j

F^ (S) —

N

1( -er

(s) ^

(s) s) l;'(1— d `^ F(s) ds—,yJ I+'(s) ds

cG a

1 —a —Ti 1 — a +Ti

es wurde also über ein gewisses Rechteck in positivem Sinne integriert. Nach (2) ist

134 Edmund Landau.

ist ; ferner ist F (s) für reelle s reell und daher

a

ts^ d s = 0 . (

1—a

(21) transformiert sich also in

a + Ti + Ts:

2 n N(T) = 2 ,3 r.

^ , ((s)) d s-I- 2 ,zJ F (() d

s , a a +Ti

(22)

N (T) = arc F (a --;-- Ti) -i-- (arc F ( 4- T i ) — arc F (a - !- T i) ).

Nun ist nach (1) (23)

arc F(s) = arc s + arc (s — 1) arc I (^ ) —4- log 2r-I- arc g (8) ;

mit Rücksicht auf

Iarc (s)1=1,3 log g (s)1 1lagg(s)1

ist bei wachsendem T

arc (a-1- Ti) = 0(1);

in Verbindung mit dem Hilfssatz 2 (der hier nur für eine feste Ab-szisse zur Anwendung kommt) ist daher

arc F(a --{- T i) = 0 (1) ± 0 (1) -I- : log 2 — 2 — 2 log rc -I-• U (1)

(24) = -§- T log T 1 + log (2 ") T + 0 (1).

Aus (22) und (24) folgt

N(T) ,t T log T 1+12°g,c.7') T-f-O(1)-I - Ib!(T), wo

T

` ' ( .31(T) = n (arc F (7-2- +- T i) — arc F (a -}- T i)) = ^ F(

; a+T i

ist. Das ist eine der sechs Formen der Relation (3). Um zunächst

die andere Form mit F (s) zu entwickeln, sei a > 1 und b < 0 gegeben. Dann ist nach dem soeben Bewiesenen, wenn es sowohl auf a als auch

auf 1 — b an Stelle des obigen a angewendet wird,

Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 135

2+Ti

N(T)—(^^

Tlog T- f- 1 + 1^^ (2 ^ ) Z, ^ _ ^ , ('F'(s) ds-I-0(1) J F (s) 1 0

a+ Ti

;+Ti 2+Ti i+Ti 1 P+' (s) s d - ^- = 1 a (( Fs) ^ F( ' s)

7, `3 f A F(s) () 2" '`S 1^ F((s) cl S —I—^ F (s) 1—b+Ti n+Ti 1 -1)-r Ti

^ +' T Z b+Ti _ 1 (s) I+" (s) (s) f d ± - f F(d)

Ti

b+Ti ^^ n

= 1 s i'(s^ d s +0 (1) a +Ti

d s)-}- 0(1)

(arc F (b -i- T i) — arc F (a -F- T i)) 0 (1).

Um auch die vier Gestalten von (3) mit g (s) statt F (s) zu be-weisen, ist nur zu berücksichtigen, dass für festes 6, nebst festem

61 > 60 nach (23) und dem Hilfssatz 2

arc F(;+Ti)— arc F(c1 + Ti)=0(1)-1- arc (60 + Ti)— arc g(G,-1- Ti)

ist. Dies liefert unmittelbar

N (T) — ( T log r T - -I- 1--I- lo (2 ff) T)

L6>n 2^c + Ti

=-1-(arc ( -{- T i) — arc (a+ T i)) + 0 (1) _ s^ d s --^ 0 (1) a+ Ti

b+ Ti

= 1 (arc (b ± T i) — arc g (cc ^— .T i)) H— 0 (1) = 1 ,;

J (s) d s —I— 0 (1) ,

a+ Ti

und in den beiden Formeln mit arc (a T i) kann dies Glied noch gegen 0 (1) vernachlässigt werden.

Damit sind alle in der Einleitung angegebenen Gestalten von

(3) bewiesen.

§ 3. Satz: Wenn die ( nach Herrn Fran el aizgeblich, richtige) Relatio n

((10) N(T) = .'1 ' 2 c log T + log (2 sc) T--I- 0 (1)

gilt, so ist die Riemannsche Vermutung

(11) (s) = 0 für G > 2 falsch.

ds)-I-O (1 )

136 Edmund Landau.

Beweis: Es werde die Giltigkeit von (10) und (11) setzt. Daraus wird sich ein Widerspruch ergeben.

Nach (5) ist

(8) s —1 +

s (S) b 1 1

V O MUSge-

also ist nach Hilfssatz 1 bei festem 8 > 0 für -,17 + d < < 1 -I-- 6

( 8 1 9 + log t 0 (1) .

Die haben nach (11) die Gestalt -§- + a„ i, wo 0 < a, < < a„ < •

ist; daher ist

H , ; +1 , 1 a s — -1.--- — an 2: 5 — -2-- "1" frei 'e, — —i— n i (

1 1 1

2 2

1 -c=r 1

2 + 1 «72 2

(2 s — 1) V. =1 — + an2

wo

u (s— cen2

gesetzt ist. Für 6 < < 1 + 6 ist daher

(25) (,$)

Nun ist, wenn N(a 0 ) den Wert 0 bedeutet,

N(tn) - 1) (8) (

wie eine einfache (aber mit .Rücksicht auf den Fall mehrfacher ty nötige) Überlegung zeigt. Mit Rücksicht auf die (z. 13. nach (10) reichlich erfüllte) Relatvorausge

Ein (ir = 0

fl

1

«fl

ist

Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 13

(s) _ ^ 37 (an) ( 7t =1

1

1 \ 2

+ 2 / 1 2 g +IX7t (S- -Z) +.41

a as-{-1

^ N(an) ( 9

2 2 d 2G = ^

2 L^T^2G^2L 2d 2G

2z 1

aar

1(S — 2) 4— U2) 2a=a ae ^ (S— )2 + 212)

(' 2 37 (u)26 du —

I

2 N(2ti) 2G 2 du .

a, ((S— 2 )2 + 2L2) 0. ((S— 2) ^+^2)

Nach (10) folgt hieraus, immer 2 +c < 6 < 1 + ō und wachsendes.

t angenommen,

2 24 ( 2n ieg 2.n

2.2c ) d2c+0

0

Das Schlussglied in (26) ist 0 () wegen

^

(26) '4, (s)

(( 2) s— )221+aL

^

' 2zcd _

^ u

1 2 I (S - Z) -i- t62 1 2

=f

0

(s

m

J acl v _

/ d

0 G

2 +2 (G — 2 ) t L —t 2 +v 2 ^ ((G — 2)2 - 1 2 +v) - I- ' 4 ( G — 2)J tz ) I \

^ ^: f' d w dv J

<^ ((G— ^ )2— t 2 + v) 2+ 4 (

G — ^)2 t 2 —m 2U9+¢(G— 2)2ti

^ 1

1 r dZ ^ < 7G

= 2(G— 2)t _w Ī+2+ 1 — %(G— 2)t = 2 6 .

Das Hauptglied in (26) ist W 2G 2

((5

G 22G(2,c leg t 4

2oc 2ac) du

1 2 g 2 s — 2 ) + ZG )

l_

1

(s_ ^ )

0 ^ 1 26

Zn lo° a

2n)I ^^ 2

^ iOg 1,7c d zc

+ u2

(

^ b 2

^ ^ (s 2) +2L2

0

m 1 2a _ 2

rc log 2e d u. 1

(s— ä)2

+ 2 G2

1 21Jr 14; °. ((.9 1 1 + 9)5

d v + s—

co

log 11 2 31' d ?;

1 v2

138 Edmund Landau.

Es darf statt über die positive reelle Achse über den Strahl -u (s-) v (v 0) von v = 0 bis V = co integriert werden ; denn

mach einer vorläufigen Anwendung des Cauchyschen Satzes auf das 'Gebiet, welches aus jenem Winkelraum durch zwei Kreisbogen mit den Radien r und R> r ausgeschnitten wird, ersieht man, dass der Beitrag -des ersteren Kreisbogens für r = 0 den Limes 0 hat, der des zweiten für R co den Limes 0 hat))

Jenes Hauptglied ist also

(8-- ) 1 log — n 2 7r

— - 12-1 26 5

folglich, wenn durch die Substitution u v die Variable

.wieder reell gemacht wird,

d u

0

1 1 11y,, ((s \ 0 1 2it

v 1 1 0 = _1 1," ( 41 log t + Q (1)) 1 92 n ) 2

s— s— s 1 1

t + 0 (--t--) • 2 (2 8 — 1) t2

Daher kommt heraus:

(s) = 2 (2 31 _ 1) log +

also nach (25)

.(27) = log t + (1) — log t + 0 (1) = 0 (1),

für 71 + 6 < 1 + 6.

Andererseits ist für 6 > 1 ±6 bekanntermassen

(9) 0 (1) . (.9)

Also kommt für 0 > + ö

, (28) (8)

s)

0 (1) (

heraus.

1) In der Tat ist die Weglänge < - 2- r hem. -7 .R und der absolute Betrag c" tog R .des Integranden für r < -2- kleiner als c' log — bezw, für R > 2 kleiner als c' — • r .4' 2

Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 139

Den vorstehenden Beweis, dass (28) aus (10) und (11) folgt,

verdanke ich Herrn Franel; dies stand in dem Briefe, auf welchen

ich in der Einleitung angespielt habe.

Nun folgt bei festem S > 0 für ± d < G < 1-1- 8 aus (27)

log ; (s) i = log (1 -{- 6 ti) t ti) du 1+,5+ti

<log (1-1-(5)--I-O(1)= 0(1),

(S)J ^

B4R log 5 (s) < e I logSls)E = il 0 (1).

Also ist für 6 > 2 8

(29) (s) = 0 (1) .

Andererseits hat Herr Bohr') bewiesen, dass (s) für 6> 1 nicht 0 (1) ist. Man kommt also zu einem Widerspruch, und der am An-fang dieses Paragraphen ausgesprochene Satz ist bewiesen. Ohne das Zeichen 0 ausgedrückt : Nach (29) ist für 6 > 1, t > 1

(30) I (s) I < Iz,

wo K eine absolute Konstante ist, und Herr Bohr hatte genau das Gegenteil von (30) bewiesen.

Übrigens ist der obige Endübergang von (s) zu (s) für die t (s) Aufdeckung des Widerspruches nicht nötig, wenn an Stelle jenes Bohrsehen Satzes der ebenso bewiesene Satz VIII jener Arbeit be-nutzt wird, nach welchem eine Dirichletsche Reihe

CO 2 a

n.

?a=1 9.2.•

deren Koeffizienten > 0 sind, falls sie für s = divergiert und für s > 11 konvergiert, in der Viertelebene 6 > , t > 1 nicht beschränkt ist.

^ 4.

Für den in § 3 bewiesenen Satz will ich nun einen anderen

Beweis geben, gleichfalls dadurch, dass ich einen Widerspruch zwischen

(10), (11) und dem Satze von Herrn Bohr aufdecke. Diese andere

Beweismethode schliesst sich meinen üblichen Beweisanordnungen an

(sie benutzt neuere fundamentale Sätze der Funktionentheorie und ver-meidet dadurch fast alle Rechnungen) und soll auch in diesen Schluss-paragraphen allein verwendet werden.

1 ) Vergl. § 1 der erwähnten Abhandlung.

t —7-

140 Edmund Landau.

Um zugleich mit dem Satz des § 3 auch etwas Neues zu be-weisen, wende ich mich gleich zum allgemeineren

Satz: Es sei entweder der lim sup des Ausdrucks

T= co

(31) N(T) — ( 1^ T log T {

1 + log (2 T)

nicht -I- co oder der lim inf nicht — co . T=co

Vermutung (11) (s) 4 0 für a > 1)-

falsch. Vorbemerkung: Im § 3 war angenommen, dass beide Unbe-

stimmtheitsgrenzen endlich sind, d. h. dass zugleich der lim sup nicht

T=^ } co und der lim inf nicht — co ist. Der jetzige Satz besagt also

T c mehr.

Beweis: Nach (3) ist für wurzelfrei wachsendes T

) _ ( ^ 1 + log (2 n) T, 1 arc l I Ti) = Ū 1 N (T T log T-}- ,^ — ^ ^ ^ —F- ()_

Nach Voraussetzung hat (31) seinen lim sup < co bezw.l) seinen lim inf > — co ; daher hat für wurzelfrei wachsendes T die Funktion arc g (^ -{- Ti) ihren lim sup < co bezw. ihren lins inf >

Es gibt also ein positives b und ein positives A, derart, dass für wurzelfreies T > b

arc ^ ( -{- T i) < A l bezw. — arc ^ ( ^ + T i^ < A

ist. Für die wurzelfreien T der Strecke 0 < T < b ist sogar offenbar

arc (7 +

1) Um nicht zwei Beweise zu führen, behandle ich gleichzeitig heile l ^ülh_ Die Einfügung des Wortes „bezw." an allen in Betracht kommenden stellen vnr hindert ein Missverständnis.

2)In der Tat mögen dem Ordinatenintervall 0 <1._ b die Nullstellen p, , tj angehören; dann ist die Funktion

'(s) (s) s — s — ^ i

^ ...-

— N.

für 2 <6. < 2, 0 < t < b regulär, also beschränkt; für wurzelfreies T des Intervall 0< T_<.b ist daher

arc ^ f s) Ti)— ^ f —s? ds arc g (2-{-fei) a+

Tti

5(

beschränkt, da ja n fest ist.

Dann ist die Bim annscl ► n

Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 141

Für alle wurzelfreien T> 0 ist daher

(32) arc g (1,-+ T i ) < A bezw. — arc g (2 + Ti) < A3 .

Nun wird (11) angenommen; jede Wurzel mit positiver Ordinate

hat also die Gestalt + To i, und log (s) ist für G > - -, t > 0 regulär. Ich verstehe unter arc g (s) für 6 > 2 , t > 0 den imaginären Teil dieses Zweiges log (s) und') unter arc (2 + T i) den Limes von -

arc g (2 ± d -+- To i) bei zu 0 abnehmendem positiven d. Dann ist ersichtlich, dass (32) auch für die T = To gilt. Denn es ist ja, wenn ein T, mit der Vielfachheit v vorliegt, bei zu 0 abnehmendem positiven s

lind arcg (^ -J- (T,-I- E) i) = arc g —}—Te i,) ! v^ , s =0

limarcg (2 -{- (To —s)i ) = arc (1 -{- T„i) - 2

s= 0 also

(33) arc (-1 +

arc ^ lZ + (To I e)2) { arct+ (To — F)2^ ^ T ^ 2 lim o i) = 2 e

(32) gilt also für alle T > 0. Ich wähle q so, dass q > 0 ist, aber q unterhalb der Ordinate

der ersten Nullstelle liegt. Dann ist in der Viertelebene G>-2'

T > q die Funktion log g (s) regulär, arc (s) stetig; doch hat log (s) auf dem linken Rande dieser Viertelebene die Nullstellen von

(s) mit positiver Ordinate zu logarithmischen Singularitäten; arc g (s) hat sie also zu Unstetigkeitsstellen.

Es sei 8 > 0 gegeben. Dann schneide ich jede jener Singulari- täten (d. h. die Nullstellen so ± To i mit To > 0, mehrfache hier natürlich nur als ein geometrischer Punkt berücksichtigt) durch je einen Halbkreis nach rechts (der so zum Mittelpunkt hat) derart aus, dass erstens jeder Radius') r° < a—, ist, zweitens die Halbkreise sich nicht treffen, drittens der unterste nicht unter die Ordinate q hinunter-reicht und viertens auf jedem Halbkreis, wenn s' (= s„ — r i) der untere, s" (= so _i_ r i) der obere Endpunkt ist, (34) arc g (s) < arc g (s") 1 bezw. arc g (s) > arc g (s') — 1

1) Für wurzelfreies T> 0 und alle e war arc (s) schon in der Einleitung erklärt. 2) r hängt selbstverständlich von s„ ab.

143 Ed mund Landau .

ist. Das geht ; denn die drei ersten Bedingungen sind sicher erfüllt, wenn jeder Radius eine bestimmte von so abhängige Grusse nicht übersteigt, und die vierte Bedingung ist bei festem s„ (Nullstelle vter Ordnung) für alle hinreichend kleinen r erfüllt, wie man folgender-massen einsieht. Wenn

'(s) — P (s) S '_' ,o ^

gesetzt wird, ist arc (s) = am ?; (s) — v arc (s — so)

in einer gewissen Umgebung des Punktes s„ der Gestalt I s s „ soweit dabei G > ist, stetig, so dass nach dem Satz von der gleich-

mässigen Stetigkeit für alle hinreichend kleinen r auf dem Halbkreise

arc cp (s)< arc cp (s)-}- 1 und am (s)> arc(s --1

ist; hieraus ergibt sich mit Rücksicht auf

v arc (s-- so) C v arc (s''— so) und v am (s-- s o) > arc

die Richtigkeit von (34) für alle hinreichend kleinen r,

In dem Gebiet, welches aus der Viertelebene , t ` durch

Herausschneiden jener Halbkreise entsteht, inkl. Band, ist leg (s) regulär, und auf dem linken Rand, d. h. der Geraden cf . 1

mit den durch die Halbkreise ersetzten Strecken (s' bis 5") ist nach (32) und (34)

(35) 2 log g (s) < A„ -f-- 1 bezw. — log (s)

Nun trenne ich aus dieser Viertelebene den rechts vorn

gelegenen Teil ab ; diese Gerade trifft keinen der Halbkreise werter

der früheren Festsetzung r < (< , - ( '). Das so entstehende Gebiet.

welches also links durch die Gerade 0-- -: I (vor 1 . y anl mit Ein-

buchtungen, unten durch die Strecke 1 °- (1, ^, r ,

durch die Gerade e - 1. i- ä (von t-,---, begrenzt ist, , r1r7rn: ^

Dann ist (35) auf dem linken Rand giltig. Auf' denn rnrt.e u rrat ^ l rechten Rand ist offenbar

I,3` log C (,$) I<A , .

Auf dem ganzen Rand von ( ist daher

( 6) ,f log (s) < A, bezw. Z log (4) < A,.

roehts

Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. 14a ,

arc (s) = 2 log (s) _ (u) d 24 —f 31 log (1 ± ± t i) = 0 (logt).. 1 +4 -I- r a

Nun ist nach den gemachten Annahmen am (s) in G stetig, und die für wurzelfrei wachsendes t bekannte Relation (37) gilt daher

jetzt überhaupt, wenn s im Innern von G ins Unendliche wächst.. Auf dem Rande von G galt (36).

Jetzt setze ich

I (s) _ (^ (s)) = e —

a log ^ (s) bezw. g (s) (s))

e^ kg '7 (s)

Diese Funktion y (s) ist in G inkl. Rand regulär; auf dem Rand ist. wegen

(s)1= ü tog (s)

I g O1— e-3' log .g (s) bezw. ^ s e

nach (36) die Funktion g (s) beschränkt; im Innern ist nach (37)•

gleichmässig

y (s) = 0 (tA' ).

Nach einem Satze der Herren Phragme'n und Lindelöf 2) ist also im,

ganzen Gebiet g (s) beschränkt. Insbesondere für -i- < G < 1 + ō ,

t > q (was dein Gebiete angehört, weil alle Radien < waren) ist.

daher

^ J (s)I< 17,

2 log g (s) < log A7 = A s bezw. — log (s) < A.,.

Also ist für o ' . { , t >

log (s) < An bezw. log g (s) < Ae .

1) Vergl. S. 374 des Haudhuehes; die Riemannsehe Vermutuug (1n oder gar•

eine unbewiesene Annahme über N (T) wird dabei nicht benutzt. (37) ist also wahr und besagt, dass in (3)

M(.T)= 0 (log .7')

ist; dies war Herrn von Mangoldts Hauptresultat über 37(T). 2) Vergl. S. 84ü--850 des Handbuches; dass dort auch der linke Rand gerad-

linig ist, ist natürlich für deu Beweis gauz unwesentlich.

Andererseits ist bekanntlich) für -11 < 6 < 1 ± d, wenn t durch.

solche Werte wächst, denen keine Nullstelle mit der Ordinate t ent-spricht, gleichmässig

(37) 8

144 Edmuud Laudau.

Daraus folgt nach einem bekannten Satze von Herrn Carathéodory1)

für G > —j—> r5, t' log (`')IC Au»

(s)I= e^i log i. (Q) ,C p I logs` (W) 1

G PA,n

=All; . ^ 11 ^

also wäre speziell für G > 1, t > 1

(s)I< .1 1.^

während Herr Bohr das Gegenteil bewiesen hat.

Der zu Anfang dieses Paragraphen ausgesprochene Satz ist da-mit bewiesen.

Q 5 . Hilfssatz: Es ist rtirlat, wahr,, dass /'itr 6 1

(8) . = o (log log t) ^ 5 ist.

Mit anderen Worten : hs gibt eine positive •dass die Uogteiehung

Iiorrstrtlrtc? Ji (leimt

(5.1 > 1 log log t s (.$) 1t

bei jedem gegebenen v im Gebiet G > 1, t> r eine I östnar/ besitzt.

Be weis: Im § 9 der Arbeit von Herrn Bohr und mir ist,, wenn

es dort auch nur auf spezielle Funktionen jener Art angewandt wurde,

allgemein bewiesen: Bei jeder Dirichletschen Reihe

^r l7 u

u1 = 1 lt'

deren Koeffizienten an > 0 sind und bei passender Wahl zweier posi- tiven Konstanten a und (3 für alle ganzen ..: > 1 die Ungleichung n

cVcrgl.

,

-H- a r C jß

erfüllen, ist, wenn die Reihe bei festem r > 1 für 6 = 1, 1 beschränkt ist, in der Halbebene 6 > 1 nicht

"3"1-1"?'-- _ 444-44, 9-‚,9

c, (log log t) 7t=1 .

1) Vergl. S, E299--300 des T3arldl;ucltes. 1u ;jenrxn Wortlaut i s t nur zu :.»eizr=n 1 1 (S) = —.. 2 loi,r y (s) bezw. 2 log ^ (s), so = 1 -i- ^ ^-{- t t , r "— „ j - -:

5, u ,.^:= - , 1 1 ;11111 lu'ferr i

er die Beschränktheit, von j log (s) j fiir a ,^= 1 + a,1> 1

11 1:'rr ilzr

Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion. l45

Wird dies auf

— 1-H 's37'gz ti

angewendet, so erkennt man die Richtigkeit des obigen Hilfssatzes.

§ G.

Satz: Es habe der Ausdruck

N( 1') — (2n T i 1 log (L Jr)

J-)

log log log T

f ih- T — .0 den Limes 0 oder auch nur seinen Hm stip < 0 oder seia2en lim inf > 0. Dann ist die Riemannsche Vermutung

(11) g (s) o frrr 6 >

falsch. Beweis: Es sei

lila sup < O bezw. lim in£ > 0.

Dann ist für wurzelfrei wachsendes T nach (3)

arc g (z

+

(33) lim sup la* log 2' < 0 bezw . li.m inf — log 10 T > 0. =^ g T

Nun werde (11) als richtig vorausgesetzt und arc (s) im Gebiet

> t> 0 wie in § 4 definiert. Dann ist nach (33) die Relation

(38) sogar für stetig wachsendes T giltig. Es mögen ö und y zwei willkürlich gegebene positive Konstanten

bezeichnen. Nach (38) ist für alle hinreichend grossen T

arc g T i) < y log log Tbezw. — arc ( --^^ T i) <. y log log T,

d. h. für alle T> 0

arc g ( -{- Ti) < y log log (T-1- 2) - I - r; bezw.

- arc g (. _ I_. T i) < y log log (T -1-- 2) -i- c1,

wo c1 eine passend wahlbare Konstante ist. Ich wähle wie in § 4. Es war 8 > 0 schon vorhin gegeben.

Ich wähle die r = r (so) und konstruiere das Gebiet G wie in § 4.

Dann ist nach (34) auf dem linken Rand von G (wenn r <-2 berück-

sichtigt wird) Vierteijahrsschrlft a. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 50. 1511. 10

146 Edmund Landau.

am (s) < y log log ( t -E- 2 + ) --r-- c, 1 bezw.

— arc g (s) <7 log log (t -1- 2) -1- ei _,_. 1 ,

d. h.

S log i; (s) < y log log (t -H 2) bezw. — 3 log (s) < y log log (t -I- 2) 11 ' 2 ,

auf dem untern und rechten Rande

1,3 log. (s)I< c3.

Also ist auf dem ganzen Rande von G

s log ; (s) <y log log (t 4-2) + e4 bezw.. — 3 log (s) < y log log

Im Innern von 0 ist, wie in § 4 auseinandergesetzt,

3 lag ; (s)=0 (log t).

Ich setze auch hier

!1 (s) = (t (s))—t c_ rloa s (^) bezw. ,gq (s) (,(s))1-

; log (a)

Dann ist in 0 inkl. Rand g.(s) regunir. Auf dem Rand ist

g (s) < e y log log (t + 2) + c{

,

im Innern von 0 ist

y (s) 1 < e c ;, log (t -1- 2) .

Ich verstehe jetzt unter log log s den in der von 1 llis

(längs der reellen Achse) aufgeschnittenen Ebene regulären Zwei„ der für s > 1 reell ist, und setze

`r (s) 11 (s). - ltig ln s

e,

It (s) ist in G inkl. Rand regulär. Auf dem Rand und im Innern, so-weit dabei t> 1 ist , ist

9. log log s log 1 log s l > log (9 log s).- log log I s l ~> log log t.

Überall auf dein Rande und im Innern ist also

R. log log s> log log (t -1- 2) — eG .

Daher ist auf dem Rande von G

2) - I - ('4

I Il (s) (s) ''log li5g (t r.1—Y log log (t+2) -1 a; ey 92 log log :-:_ (l ),

Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion: 147

im Innern von G

log (t 2) --- Y log log (t +2)+yan — e0 (log d) e8

Nach dem Phragm ē n=.Lindelöfsclien Satz ist also im Innern

N

r/ (s) y itig log Ī

= h (s) == 0 (1),

19, (y)I — ey ütloglog s 0 (1)f

also wegen

9ilog log s = log !log s I =. log (log t +0 (1)) — log log t -I- 0 (1)

g (s) = 0 (ey log log t) ls

log g (s)1 <y log log t±O(1),

log (s) < y log log t + 0 -(1) bezw. log (s) < y log log t + 0 (1).

(39) gilt in G, also speziell im Streifen -}- < u < 1 + t, folglich

in der Halbebene a > 7 ±- s

• Für o. > - t> 3 ist daher

(40)2 log (s) < y log log t -{- c 0 bezw. — er log (s) < y log log t -3- c5 .

Nun wende ich den 0ar adle' odoryschen Satz auf die Funktion — i log (s) bezw. i log (s) und die beiden Kreise mit dem Mittelpunkt . 1 -- ^— S —{— t i , wo t ? —}— ist, und den beiden Radien r — 1 + und Q =

1 an . Dann ist nach (40) auf dem horizontalen linken en Kreises, d. h. auf der geraden Strecke von

c5 -H--ci±ti für t y,7 -{-

-{ S

äs) -1- log g(1—F-d) s 4

8)c^ ) ^ ss

^ < ^^(^ ^^) ✓ lo log t -^-c 5 g i a

Folglich ist in der Viertelebene G >7)1 —4— S, t > 3

(41) I log g (s) . (1 s) v log log 1 -I- e„.

(39) {

Radius des kleiner f._ _ - t--I— t i bis 1

I log g(s)I<log (1

{ 2(y log log (t - 4

14g Edmund Landalt.

Nach einer Cauchyschen Ungleichung ist folglich für > • -{

t > 3 +4— , da das Maximum von !log ^ (^) 1 auf dem Kreise um 8

nllt a.__ Radius ä nach (Á111. kleiner t.. '2 O _ 8') }' t,„ t,,. Ī a

ist,

I ) I a(`a + (5)Y lc^ g lo ^;(t -I' -F ei/

für G > c5 , .1 > 3 ist also

(s) ^ g( -'_ ^ .: ^ ) log .t ^ C ---- r.., _..__ _ _. (^s) J' b log i s

hierin waren y > 0 und d > 0 willkürlich gegeben und e tr, eine von y und d abhängige Konstante. Daher ist — weil ich eben zu einem festen ā > 0 jedes noch so kleine y > 0 nehmen kann -- bei festem

d > 0 für 6 >- -l- d gleichmüssig

(s)_, 0 (log log f). g (s)

Dies Ergebnis ist aber bereits für d -_, > auf Grund der, Ifill:hsatzes

aus § 5 falsch. Der zu Anfang dieses § G ausgesprochene Satz ist

damit bewiesen.

Güttingell, den 12. Juni 1911.

log 11