AC II - 2. April 2008 – Übungen – Anke Zürn

Zusammenfassung & Wiederholung

Reguläre Polyeder

Freiwillige Übungsaufgaben zur Selbstkontrolle für den 2. April 2008 (wird nicht bewertet)

1) Nennen Sie die regulären Polyeder (Platonischen Körper) 1 – Tetraeder (Vierflächner aus 4 Dreiecken) 2 – Hexaeder (Würfel, Sechsflächner aus 6 Quadraten) 3 – Oktaeder (Achtflächner aus 8 Dreiecken) 4 – Dodekaeder (Zwölfflächner aus 12 regelmässigen Fünfecken) 5 – Ikosaeder (Zwanzigflächner aus 20 regelmässigen Dreiecken)

2) Skizzieren Sie die Platonischen Körper

Platonische Körper, Abbildungen im Web: http://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper

3) Worauf bezieht sich ihr Name? „ Auf die Anzahl der Flächen. ACHTUNG PRÜFUNG: Flüchtigkeitsfehler Wenn ein Oktaeder genannt ist, denken Sie bitte an 8 Flächen!!! (zeichnen Sie bitte keinen Würfel - der hat zwar acht Ecken aber nur 6 Flächen!)

4) Wodurch zeichnen sich die regulären Polyeder aus? Alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig/kongruent. Jede Ecke (Kante, Fläche) kann auf jede andere Ecke (Kante, Fläche) abgebildet werden.

5) Duale Körper

a) Nennen sie die jeweiligen dualen Körper zu den Platonischen Körpern. b) Wie konstruiert man den jeweils dualen Körper? Skizzieren Sie ein Beispiel. Tetraeder – Tetraeder (das Tetraeder ist zu sich selbst dual) Hexaeder – Oktaeder Ikosaeder – Dodekaeder Konstruktion: Die Mittelpunkte jeder Fläche des ursprünglichen Körpers bilden die Ecken des dualen Körpers. Am einfachsten ist dies mit einem Hexaeder zu zeigen. Zeichen sie einen Würfel in Parallelprojektion. Markieren Sie die Mittelpunkte aller 6 Flächen und verbinden Sie diese mit den 4 benachbarten Mittelpunkten. Es entsteht der Oktaeder im Würfel.

6) Nennen Sie eine Beziehungen zwischen Ecken, Kanten und Flächen für konvexe Polyeder Eulersche Polyedersatz für konvexe Polyeder: E – K + F = 2 (Anzahl der Ecken) – (Anzahl der Kanten) + (Anzahl der Flächen) = 2 Anmerkung: Allgemeiner formuliert wird es in der Euler-Schläfli-Gleichung. Für den dreidimensionalen Raum gilt: E – K + F – C = 0 E = Anzahl Ecken, K = Anzahl Kanten, F = Anzahl Polyederflächen, C = Anzahl der Zellen/Volumenelemente. Für sphärische Körper (Kugel, Platonische Körper, konvexe Polyeder allgemein) und Parkettierungen der unendliche Ebene gilt C = 2. Achtung – aufpassen – englischen Literatur – nicht verwechseln: edge (englisch) = Kante !!! vertex/vertices (englisch) = Eckpunkt/e face (englisch) = Fläche

Anhang: Koordinationspolyeder zur Darstellung von Kristallstrukturen

Oft werden zur Darstellung von Kristallstrukturen Polyeder verwendet. Sie sollten deshalb die wichtigsten Polyeder aus unterschiedlichen Richtungen erkennen und skizzieren können (Abbildung unten: Tetraeder (orange) und Oktaeder (blau).

Beispiel: In einer Verbindung AXn ist das Atom A immer oktaedrisch von sechs X-Atomen umgeben. Zur Darstellung der Kristallstruktur werden häufig nur die Koordinationspolyeder skizziert (Abb. unten c)

Modelle zum Basteln: