Download pdf - Основы формальной и математической логи

Логика Формальная логика Силлогизм Операции в логике

Основы формальной и математической логик

31 января 2013 г.



Спасибо, КЭП



Логика

Логика — наука о законах и формах правильногорассуждения.Главная задача логики — прийти к выводу цепочкойпоследовательных рассуждений.Везде, в жизни, в образовании, в науке, в работе логикаявляется основным инструментом.



Логика в информатике

Составление алгоритмов и принципов работы устройств ипрограмм.Программирование.Современные базы данных (к примеру, банковскиеоперации).Вычисления и вычислительная математика.Искусственный интеллект и др.



Формальная логикаконструирование цепочек последовательныхистинных высказываний, следующих друг за

другом.



Неопределяемые понятия

Истина,ложь,высказывание (утверждение, суждение),равно (тождественно),и др.



Законы формальной логики



Закон тождестваВысказывание равно самому себе



Закон тождества

Закон утверждает, что высказывание должно быть ясным,точным, простым и определённым.Закон также требует определённости высказывания.Пример: Из-за рассеянности на турнирах шахматистнеоднократно терял очки.Гестаповцы ставили машину на попа. “Бедный пастор,” —подумал Штирлиц.Штирлиц бежал скачками. Скоро качки отстали.Штирлиц знал наверняка. Но Наверняк не знал Штирлица.



Закон противоречияВысказывание не может быть одновременно

истинным и ложным.



Закон противоречия

Закон противоречия запрещает одновременную истинностьсуждений, одно из которых что-то утверждает, а другое —утверждает обратное.Закон, однако, не запрещает одновременную ложностьобоих высказываний.Это не полезно, но и не вредно — оба утверждения (этополезно и это вредно) могут быть ложными одновременно.



Закон исключённого третьегоВысказывание либо истинно, либо ложно.



Закон исключённого третьего

Формальная логика этим законом требует, чтобывысказывание обязательно было либо истинным, либоложным.При этом следует различать противоречивые суждения ипротивоположные.Вася — дурак и Вася — умный — противоположныесуждения.Вася — дурак и Вася — не дурак — противоречивыесуждения.Среди двух противоречивых утверждений одно обязанобыть истинным, а одно — ложным.



Силлогизм



Принцип тождества



Силлогизм

Силлогизм — это традиционная логическая аргументация.1 Все бобры имеют хвост.2 Вася — бобёр.3 Следовательно, Вася имеет хвост.



Ошибки: нераспределённый средний термин

Все бобры имеют хвост.Все коты имеют хвост.Поэтому все коты — бобры.Неверно, так как существуют коты необязательно должныбыть бобрами, так как это нигде не утверждается.



Ошибки: аргумент из заблуждения

Все коты — животные.Вася — животное.Следовательно, Вася — кот.



Ошибки в причинно-следственной связи

1 Если маленькие дети спят с включенным светом, то у нихчасто потом развивается близорукость.

2 Следовательно, сон с включенным светом приводит кблизорукости.

Фактически, в первом утверждении не сказано ничего отом, именно включенный свет является причинойблизорукости. Поэтому силлогизм неверен.На самом деле, близорукость передаётся по наследству, ародители, страдающие близорукостью, чаще оставляютсвет включенным ночью.



Фальшивая дилемма

1 Ты за нас или за партию казнокрадов?

В данном случае не рассматривается вариант, когдачеловек может быть против обеих сторон.Аналогичный принцип: солгал в одном — солгал во всём.



Возможные причины

1 Если я очень стараюсь, то добиваюсь успеха.2 Сегодня я добился успеха.3 Следовательно, я очень старался.

В данном случае предполагается (и напрасно), что успех —результат старания. При этом не указано, что за успехчеловек получил сегодня (мог ведь, к примеру, выиграть влотерею).



Отрицание

1 Если я закончу университет, то я получувысокооплачиваемую работу.

2 Поэтому если я не закончу университет, то я не получувысокооплачиваемую работу.

Классическая ошибка в отрицании высказывания. Нигде несказано, что только университет является единственнойпричиной хорошей работы.



Операции в логике



Операции в логике

В логике существуют операции, позволяющие связыватьвысказывания.Аналогия: сложение, умножение, отрицание.Логическое сложение называется дизъюнкцией(логическое или), логическое умножение — конъюнкцией(логическое и) и отрицание (логическое не).Помимо этих операций есть и другие: импликация —“следовательно”, эквиваленция — “равенство” и другие.



Примеры

Конъюнкция (и): Вася — бобёр и Вася строит плотину.Дизъюнкция (или): Вася — бобёр или Вася — журавль.Импликация (следовательно): Вася — бобёр,следовательно, Вася имеет хвост.Эквиваленция (равносильно): Вася — бобёр равносильнотому, что Вася имеет хвост.



Опасное отрицаниеВсе бобры имеют хвост



ОтрицаниеНе все бобры имеют хвост



Итоговые высказывания

Как и в случае с математикой, операции соединяютнесколько высказываний в одно.В зависимости истинности составных частей иприменяемой операции результат может быть разным.Вася — мальчик или Вася — девочка — истинноевысказывание, ведь для или достаточно истинности однойиз частей.Вася — мальчик и Вася — девочка — ложноевысказывание, так как для и необходима истинность всехчастей.



Задание

Задание. Рассмотрите все возможные варианты из двухвысказывание (когда оба истинны, когда оба ложны и поодной истине/лжи) и их соединения с помощьюконъюнкции и дизъюнкции. Каков будет результат вкаждом из случаев? Приведите пример.



Парадокс брадобрея

В некотором городе все мужчины либо бреются сами, либобреются у единственного в городе брадобрея. В этом жегороде есть закон, согласно которому брадобрей брееттолько тех людей, кто не бреется сам. Вопрос: бреет либрадобрей сам себя?
