Γενικότητες H συµπεριφορά ενός ρευστού είτε αυτό βρίσκεται σε κατάστση ισορροπίας είτε σε κατάσταση κίνησης εξαρτάται από την µορφή των δυνάµεων που δέ χεται αλληλοεπιδρώντας µε το περιβάλλον του. Οι δυνάµεις αυτές ταξινο µούνται σε δύο κατηγορίες. i) σε καθολικές ή σωµατικές δυνάµεις και ii) σε επιφανειακές δυνάµεις. Οι καθολικές δυνάµεις προέρχονται από την αλληλεπίδραση του ρευστού µε ένα εξωτερικό πεδίο δυνάµεων, λογουχάρη βαρυτικό πεδίο, ηλεκτρικό πεδίο κ.λ,π ή είναι αδρανειακές δυνάµεις στην περίπτωση που το ρευστό εξετά ζεται από ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Χαρακτηριστικό των καθο λικών δυνάµεων είναι ότι αυτές δρουν πάνω σε όλα τα ρευστά σωµατίδια ενός δεδοµένου όγκου ρευστού. Έτσι αν θεωρήσουµε στην περιοχή ενός σηµείου του ρευστού µια στοιχειώδη µάζα dm που κατέχει όγκο dV και ονοµάσουµε

! f την ανα µόναδα µάζας καθολική δύναµη που αντιστοιχεί στο

σηµείο αυτό, τότε η καθολική δύναµη

d! F K που θα δέχεται η µάζα dm είναι:

d! F K = dm

! f = !dV

! f (1)

όπου ρ η πυκνότητα του ρευστού στο θεωρούµενο σηµείο. Η συνολική καθολική δύναµη

! F K επί του ρευστού όγκου V θα προκύψει µε ολοκλήρωση

της (1) σε όλη την έκταση του όγκου V, δηλαδή θα έχουµε:

! F K = d

! F K( )

(V)!!! = "

! f dV( )

(V)!!! (2)

Στην ειδική περίπτωση που το ρευστό δέχεται την επίδραση µόνο του βαρυ τικού πεδίου της Γης και εξετάζεται από σύστηµα αναφοράς που κινείται µεταφορικά µε επιτάχυνση

! a ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα (λογουχάρη

το σύστηµα αναφοράς του εδάφους) τότε το διάνυσµα

! f είναι η συνισταµένη

της έντασης

! g του πεδίου βαρύτητας και του διανύσµατος

-! a , οπότε η (2)

γράφεται:

! F K = !

! g -! a ( )

(V)""" dV (3)

Εξάλλου oι επιφανειακές δυνάµεις απορρέουν από την επαφή του ρευστού µε σώµατα που βρίσκονται εξωτερικά του όγκου V και διαβιβάζονται στο ρευστό µέσω της κλειστής επιφάνειας (S) που οριοθετεί τον όγκο. Στην

περίπτωση που το ρευστό ισορροπεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα, τότε οι επιφανειακές δυνάµεις είναι πιεστικές, δηλαδή κατευθύνονται προς το εσωτερικό της (S) και κάθετα σ’ αυτήν σε κάθε σηµείο της, που σηµαίνει ότι ελλείπουν διατµητικές δυνάµεις επί του ρευστού. Όταν το ρευστό κινείται ως στερεό σώµα (λογουχάρη βρίσκεται εντός δοχείου που κινείται και το ρευστό ηρεµεί σε σχέση µε το δοχείο) τότε πάλι οι επιφανειακές δυνάµεις που δέχεται το ρευστό είναι πιεστικές, ενώ οι διατµητικές δυνάµεις ελλεί πουν παντελώς ή υπάρχουν αλλα ισορροπούν αφ’ εαυτών. Στην περίπτωση αυτή το ρευστό ορισµένου όγκου µπορεί να θεωρηθεί σε κατάσταση ισορρο πίας υπό την επίδραση των δυνάµεων πιέσεως και των καθολικών δυνάµε ων, στις οποίες πρέπει να συνυπολογίζονται και οι δυνάµεις αδράνειας. Εξετάζοντας µια ποσότητα ρευστού που περιέχεται σε όγκο V ο οποίος οριο θετείται από την κλειστή επιφάνεια (S) µπορούµε να εκφράσουµε την συνο λική επιφανειακή δύναµη που δέχεται το ρευστό, µέσω της πιέσως P που επικρατεί στα σηµεία της επιφάνειας. Το ρευστό σε κάθε στοιχειώδες τµήµα dS της επιφάνειας (S) δέχεται από το εξωτερικό περιβάλλον µε το οποίο έχει επαφή στοιχειώδη πιεστική δύναµη

d! F S, για την οποία ισχύει:

d! F S = Pd

! S = -PdS

! n (4)

Σχήµα 1

όπου P η πίεση στο θεωρούµενο στοιχείο, dS το εµβαδόν υου στοιχείου και

! n το αντίστοιχο µοναδιαίο εµβαδικό διάνυσµα της (S), που συµβατικά δεχό µαστε ότι κατευθύνεται προς το εξωτερικό της µέρος, δηλαδή είναι αντίρ ροπο της πιεστικής δύναµης

d! F S (σχ. 1). Η συνολική πιεστική δύναµη

! F S

επί του όγκου V του ρευστού θα προκύψει αν ολοκληρώσουµε την (4) πάνω στην κλειστή επιφάνεια (S), οπότε θα έχουµε:

! F S = d

! F S( )

(S)!! = -

! n P

(S)!! dS (5)

Κατανοµή πιέσεων εντός υγρού, που ισορροπεί στο πεδίο βαρύτητας της Γης. Ας δεχθούµε ότι ένα υγρό ευρισκόµενο υπό την επίδραση του πεδίου βαρύ τητας της Γης ισορροπεί ως προς αδρανειακό συστηµα αναφοράς Οxyz. Απο

µονωνοντας ένα τµήµα του υγρού όγκου V µπορούµε να το θεωρήσουµε ως ελευθερο σώµα που ισορροπεί υπό την επίδραση των βαρυτικώς δυνάµεων που δέχονται τα στοιχειώδη ρευστά σωµατίδια στα οποία µπορεί να διαµερι στεί και των επιφανειακών δυνάµεων πιέσεως που δέχεται από την υπό λοιπη µάζα υγρού που περιβάλλει τον όγκο V. H συνισταµένη

! w των βαρυ

τικών δυνάµεων (βάρος του υγρού) είναι:

! w = !

! g dV

(V)""" (1)

όπου ρ η πυκνότητα του υγρού στην θέση του στοιχειώδους όγκου dV και

! g η ένταση του πεδίου βαρύτητας στην θέση αυτή. Εξάλλου η συνισταµένη

! F S των επιφανειακών δυνάµεων πιέσεως επί του υγρού είναι:

! F S = -

! n P

(S)!! dS (2)

όπου P η πίεση του υγρού στην θέση του στοιχείου dS της κλειστής επιφά νειας (S) που περικλείει τον όγκο V και

! n το αντίστοιχο µοναδιαίο εµβαδικό

διάνυσµα της (S) στην θέση αυτή. Λόγω της ισορροπίας του υγρού θα ισχύει:

! w +

! F S =

! 0

!(1),(2)

!! g dV -

! n P

(S)"" dS

(V)""" =

! 0 (3)

Όµως το θεώρηµα του Gauss επιτρέπει την σχέση:

! n P

(S)!! dS =

! " PdV

(V)!!!

όπου

! ! P η κλίση της βαθµωτής συνάρτησης P(x,y.z) που περιγράφει τοπικά

την πίεση P σε όλη την έκταση του όγκου V. Έτσι η (3) γράφεται:

!! g dV -

! " PdV

(V)###

(V)### =

! 0

!

!! g -! " P( )dV

(V)### =

! 0 (4)

H (4) ισχύει και όταν ο όγκος V τεινει στο µηδέν, δηλαδή όταν αναφερόµα στε σε σηµείο του υγρού, οπότε θα έχουµε:

!! g -! " P = 0

!

! ! P = "

! g (5)

στην οποία τα µεγέθη ρ, P,

! g είναι συναρτήσεις των συντεταγµέων των ση

µείων του εν ισορροπία υγρού. Η σχέση (5) αποτελεί την αναγκαία συνθήκη ισορροπίας υγρού, όταν πάνω σ’ αυτό επιδρά το βαρυτικό πεδίο της Γης. Παρατήρηση 1η: H σχέση (5) γράφεται:

!P!x! i +

!P!y! j +

!P!z! k = " gx

! i + gy

! j + gz

! k ( )

!

!P/!x = gx

!P/!y = gy

!P/!z = gz

"

# $

% $ (6)

όπου

! i ,

! j ,

! k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοίχως

του συστήµατος αναφοράς Οxyz και gx, gy, gz oι αντίστοιχες συνιστώσες (αλγεβρικές τιµές) του διανύσµατος

! g . Εξάλλου εάν dP είναι η µεταβολή

της πιέσως που αντιστοιχεί σε µια στοιχειώδη µετατόπιση εντός του υγρού προς την κατεύθυνση του στοιχειώδους διανύσµατος

d! s , θα έχουµε:

dP =!P!x

dx +!P!y

dy +!P!z

dz

!(6)

dP = ! gxdx + gydy + gzdz( )

!

dP = !! g " d! s ( ) (7)

από την οποία προκύπτει ότι, για υγρό που ηρεµεί εκτός πεδίου βαρύτητος

(! g =! 0 ) είναι dP=0, που σηµαίνει ότι η πίεση είναι ίδια σε όλη την έκταση του

υγρού. Παρατήρηση 2η: Εντός υγρού σε κατάσταση ισορροπίας η εξίσωση P(x,y,z)=C, όπου C σταθερή ποσότητα εκφράζει µια επιφάνεια, σε όλα τα σηµεία της οποίας η πίεση είναι ίδια. Μια τέτοια επιφάνεια ονοµάζεται ισοθλιπτική. Εάν dP είναι µια στοι χειώδης µεταβολή της πιέσεως που αντιστοιχεί σε µετατόπιση επί της ισοθλι πτικής επιφάνειας P(x,y,z)=C προς την κατεύθυνση του στοιχειώδους δια νύσµατος

d! s , θα ισχύει:

dP = 0

!(7)

!! g " d! s ( ) = 0

!

! g ! d! s ( ) = 0

δηλαδή το διάνυσµα

! g είναι κάθετο στο εφαπτόµενο επίπεδο της ισοθλιπτι

κής επιφάνειας στο οποιοδήποτε σηµείο της, που µε την σειρά του σηµαίνει ότι σε κάθε σηµείο µιας ισοθλιπτικής επιφάνειας του υγρού το διάνυσµα της ένασης

! g του πεδίου βαρύτητας είναι ορθογώνιο προς στην επιφάνεια.

Παρατήρηση 3η: Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (7) παίρνουµε:

dP =! ! P " d! s ( ) (8)

από την οποία προκύπτει ότι σε κάθε σηµείο µιας ισοθλιπτικής επιφάνειας του υγρού το διάνυσµα

! ! P είναι κάθετο στην επιφάνεια αυτή. Εάν συµβεί

µια µετακίνηση

d! s προς την κατεύθυνση του διανύσµατος

! ! P, τότε η

αντίστοιχη µεταβολή της πιέσεως θα είναι:

dP =! ! P "ds#$%0 =

! ! P "ds

δηλαδή το πηλίκο dP/ds παίρνει την µεγαλύτερη τιµή του ίση µε |

! ! P|.

Παρατήρηση 4η: Eπειδή το βαρυτικό πεδίο της Γης είναι συντηρητικό η έντασή του

! g απορ

ρέει από βαθµωτή συνάρτηση Φ(x,y,z) σύµφωνα µε την σχέση

! g =-! ! "(x,y,z)

η οποία συνάρτηση αποτελεί το λεγόµενο δυναµικό του πεδίου βαρύτητας. Έτσι στην κατάσταση ισορροπίας υγρού θα ισχύει:

! ! P = -"

! ! #

!

! ! P +"

! ! # =

! 0 (9)

H εξίσωση (9) εν γένει δεν λύεται όταν η πυκνότητα ρ του υγρού µεταβάλ λεται αυθαίρετα στον χώρο του υγρού, που σηµαίνει ότι δεν είναι δυνατόν το υγρό να ισορροπεί για οποιαδήποτε κατανοµή της πυκνότητάς του. Αν εποµένως για ορισµένη κατανοµή της πυκνότητας ικανοποιείται η (9) το υγρό θα ισορροπεί, αλλά αν λόγω εξωτερικού αιτίου (λόγουχάρη µε θέρµαν ση του υγρού) µεταβληθεί η πυκνότητά του τότε είναι πολύ πιθανό η (9) να µην ικανοποιείται µε αποτέλεσµα να καταστρέφεται η ισορροπία του και το υγρό να τίθεται σε κίνηση. Στην ειδική περίπτωση που το υγρό είναι οµογε νές, τότε η πυκνότητά του είναι σταθερή σε όλη την έκτασή του και η (9) παίρνει την µορφή:

! ! P +"#( ) =

! 0 (10)

η οποία δέχεται ως λύση την:

P +!" =σταθερό (11)

Σχήµα 2 Σχήµα 3 Στην περίπτωση αυτή επέρχεται ισορροπία του υγρού, όταν η πίεσή του κατανέµεται σύµφωνα µε την (11). Για συµπιεστό υγρό η πυκνότητά του µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε την πίεσή του, δηλαδή η πυκνότητά του σε κάθε σηµείο του είναι συνάρτηση

!(r) της θέσεως του σηµείου και για να είναι το υγρό σε ισορροπία πρέπει να ισχύει:

! ! P +"(r)

! ! # =

! 0

!

! r 0

dP

dr+!(r)! r 0

d"dr

=! 0

!

dP +!(r)d" = 0 (12)

όπου

! r 0 το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας

! r του θεωρούµενου

σηµείου του υγρού ως προς το κέντρο Ο της Γης (σχ. 2). Όµως το δυναµικό Φ του πεδίου βαρύτητας της Γης σε σηµείο που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της ικανοποιεί την σχέση

! = -GM/r, όπου G η σταθερά της βαρύτητας και Μ η µάζα της Γης, οπότε η (12) γράφεται:

dP-GM!(r)d 1/r( ) = 0

!

dP= - GM!(r)dr/r2

!

P= - GM !(r)dr/r2 + k" (13)

όπου k σταθερά ολοκληρώσεως. Η (13) καθορίζει την κατανοµή της πιέσως εντος συµπιεστού υγρού που ισορροπεί στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Όταν στην περιοχή που καταλαµβάνει το υγρό το βαρυτικό πεδίο µπορεί να θεωρη θεί οµογενές, τότε η έντασή του

! g είναι ίδια σε κάθε σηµείο του υγρού και

τότε µπορούµε να γράφουµε την σχέση:

! g = -

! ! " = -

d"dz! z 0

!

-g! z 0 = -

d!dz! z 0

!

d! = gdz

!

! = gz + k όπου z η απόσταση του σηµείου από κάποιο οριζόντιο επίπεδο αναφοράς (ε) και k σταθερά ολοκληρώσεως που µπορεί να θεωρηθεί µηδενική αν συµβατι κά θεωρηθεί µηδενικό το δυναµικό στα σηµεία του επιπέδου αναφοράς (σχ. 3). Τότε για υγρό σταθερής πυκνότητας η σχέση (9) παίρνει την µορφή:

! z 0

dP

dz+!! z 0

d"dz

=! 0

!

dP

dz+!g = 0

!

dP = -!gdz

!

P = P0 -!gz (14) όπου P0 η πίεση στα σηµεία του επιπέδου αναφοράς. Η παραπάνω σχέση (14) είναι γνωστή ως θεµελιώδης νόµος της υδροστατικής και καθορίζει την κατανοµή πιέσεως εντός υγρού σταθερής πυκνότητας, ευρισκόµενου εντός οµογενούς βαρυτικού πεδίου σε κατάσταση ισορροπίας. Παρατήρηση 5η: Σύµφωνα µε την 2η παρατήρηση σε υγρό που ισορροπεί εντός του βαρυτικού πεδίου της Γης είναι δυνατή η ύπαρξη επιφανειων σταθερής πιέσεως (ισοθλιπτικών επιφανειών) οι οποίες είναι ορθογώνιες προς την ένταση

! g του βαρυτικού πεδίου σε κάθε σηµείο τους. Επειδή και οι

επιφάνειες σταθερού δυναµικού του πεδίου (ισοδυναµικές επιφάνειες) είναι ορθογώνιες προς τη ένταση

! g οι ισοθλιπτικές επιφάνειες θα είναι και ισοδυ

ναµικές επιφάνειες. Όµως η ισορροπία του υγρού απαιτεί η κατανοµή πιέ σεως να είναι τέτοια, ώστε σε κάθε σηµείο του να ισχύει η σχέση (9), δηλα δή πρέπει:

! ! P +"

! ! # =

! 0

!

! ! P = -"

! ! #

Λαµβάνοντας τον στροβιλισµό των δύο µελών της πιο πάνω σχέσεως έχου µε:

! ! "

! ! P( ) = -

! ! " #

! ! $( )

!

! 0 = -!

! " #

! " $( ) -

! " $ #

! " !

!

! ! " #

! ! $ =

! 0 (15)

Η (15) εγγυάται ότι τα διανύσµατα

! ! " και

! ! " είναι συγγραµικά που σηµαί

νει ότι εντός του υγρού υπάρχουν επιφάνειες σταθερής πυκνότητας σε κάθε σηµείο των οπόιων η ένταση

! g είναι κάθετη προς αυτές. Άρα σε υγρό που

ισορροπεί εντός του βαρυτικού πεδίου της Γης οι ισοθλιπτικές του επιφά νειες είναι και ισοδυναµικές επιφάνειες και επιφάνειες σταθερής πυκνό τητας. Είναι προφανές ότι στην κατάσταση ισορροπίας τόσο η πίεση P όσο και η πυκνότητα είναι συναρτήσεις του δυναµικού Φ οι δε µεταβολες τους ικανοποιούν την σχέση:

-! "( ) d"dr! r 0 =

dP "( )dr

! r 0

!

dP !( )d!

= -" !( ) (16)

H (16) αποτελεί την γενικευµένη µορφή υδροστατικής ισορροπίας υγρού. Η απαίτηση οι ισοθλιπτικές επιφάνειες υγρού σε κατάσταση ισορροπίας να είναι και επιφάνειες σταθερής πυκνότητας περιορίζει συχνά την επίτευξη υδροστατικής ισορροπίας, διότι αν το υγρό θερµανθεί σε µια περιοχή του από εξωτερική αιτία θα µεταβληθεί η πυκνότητά του και είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα πάψει να ισχύει η (16) στην περιοχή αυτή µε αποτέλεσµα να καταστραφεί η ισορροπία του υγρού και αυτό να τεθεί σε κίνηση. Κατανοµή της πιέσεως εντός υγρού, που κινείται ως στερεό σωµα. Ένα υγρό κινείται ως στερεό σώµα όταν βρίσκεται εντός δοχείου που κινεί ται ως προς αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ενώ το υγρό είναι σε σχετική ηρεµία ως προς το δοχείο. Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να θεωρήσουµε το υγρό σε ισορροπία ως προς το µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς του δοχείου λαµβάνοντας υπ΄ όψη ότι επί των ρευστών σωµατιδίων του ασκούν ται εκτός των δυνάµεων πιέσως και των βαρυτικών δυνάµεων και οι δυνά µεις αδράνειας που επιβάλλει η κίνηση του δοχείου. Εάν σε πρώτο στάδιο θεωρήσουµε ότι το υγρό εκτελεί µεταφορική κίνηση µε επιτάχυνση

! a , τότε

η δύναµη αδράνειας επί ρευστού σωµατιδίου µάζας dm είναι

-dm! g .

Μπορούµε εποµένως να θεωρήσουµε το υγρό εν ηρεµία εντός δυναµικού πεδίου έντασης

! g -! a και τότε η κατανοµή πιέσεων εντός αυτού θα καθορίζε

ται από την σχέση:

! ! P = "

! g -! a ( ) (1)

όπου ρ η πυκνότητα του υγρού θεωρούµενη εν γένει συνάρτηση των χωρι κών συντεταγµένων του κάθε σηµείου του υγρού. Η σχέση (1) σε καρτεσι ανές συντεταγµένες γράφεται:

!P!x! i +

!P!y! j +

!P!z! k = " gx

! i + gy

! j + gz

! k ( ) - " ax

! i + ay

! j + az

! k ( )

!

!P/!x = " gx - ax( )!P/!y = " gy - ay( )!P/!z = " gz - az( )

#

$ %

& % (2)

όπου gx, gy, gz oι τρεις ορθογώνιες συνιστώσες (αλγεβρικές τιµές) της έντασης

! g και ax, ay, az οι αντίστοιχες συνιστώσες της επιτάχυνσης

! a . Ας

δεχθούµε ότι εντός του υγρού υπάρχουν επιφάνειες σταθερής πιέσως που εκφράζονται από την µονοπαραµετρική εξίσωση P(x, y, z)=C, όπου C παρά µετρος. Τότε η µεταβολή της πιέσως που αντιστοιχεί σε µετακίνηση επί µιας επιφάνειας σταθερής πιέσως, προς την κατεύθυνση ενός στοιχειώδους δια νύσµατος

d! s είναι µηδενική και µάλιστα ισχύει:

!P!x

dx+!P!y

dy +!P!z

dz = 0

!(2)

! gx - ax( ) dx+ gy - ay( ) dy + gz - az( ) dz = 0

!

!! g -! a ( ) " d! s [ ] = 0

!

! g -! a ( ) ! d! s [ ] = 0 (3)

από την οποία προκύπτει ότι τα διανύσµατα

d! s και

! g -! a είναι µεταξύ τους

κάθετα, δηλαδή οι επιφάνειες σταθερής πιέσως του υγρού είναι ορθογώνιες προς το διάνυσµα

! g -! a . Χάριν εφαρµογής των ανωτέρω θα εξετάσουµε την

περίπτωση που το υγρό είναι ασυµπίεστο, οπότε η πυκνότητά του θα είναι η ίδια σε όλη του την έκταση, το πεδίο βαρύτητας οµογενές και η επιτάχυνση

! a σταθερή µε κατευθυνση προς τον θετικό ηµιάξονα Οx. Tότε οι σχέσεις (2) γράφονται:

!P/!x = " 0 - a( )!P/!y = " 0 - 0( )!P/!z = " -g - 0( )

#

$ %

& %

!

!P/!x = -"a!P/!y = 0

!P/!z = -"g

#

$ %

& % (4)

Σχήµα 4

Άρα για την µεταβολή dP της πιέσως που αντιστοιχεί σε µια µετακίνηση εντός του υγρού κατα το διάνυσµα

d! s = dx

! i + dy

! j + dz

! k θα έχουµε:

dP = -!adx -!gdz

!

P = -!ax -!gz + " (5) όπου λ σταθερά ολοκληρώσεως, που η τιµή της µπορεί να υπολογιστεί αν επιλέξουµε ένα σηµείο Α0(x0, y0, z0) που η πίεσή του έχει µια τιµή αναφοράς P0. Τότε η (5) δίνει:

P0 = -!ax0 -!gz0 + "

!

! = P0 +"ax0 +"gz0 και η (5) παίρνει την µορφή:

P - P0 = !a x0 - x( ) +!g z0 - z( ) (6)

Aπό την (5) προκύπτει ότι οι ισοθλιπτικές επιφάνειες του υγρού είναι επί πεδα κάθετα στον ά;ξονα Οz, που οι τοµές τους µε το επίπεδο Οxz είναι ευθείες γραµµές. Θεωρώντας µια τέτοια επιφάνεια, λογουχάρη εκείνη που διέρχεται από το σηµείο Α0 θα έχουµε για τα σηµεία τοµής της µε το επίπεδο Οxz την σχέση:

dP = 0

!(6)

0 = -!adx -!gdz

!

dz /dx = -a /g δηλαδή κάθε τοµή ισοθλιπτικής επιφάνειας του υγρού µε το επίπεδο Οxz παρουσιάζει κλίση –a/g ως προς τον άξονα Οx. Eάν το υγρό παρουσιάζει ελευθερη επιφάνεια αυτή θα είναι ισοθλιπτική επιφάνεια πιέσως ίσης προς την ατµοσφαιρική πίεαση Pα, που σηµαίνει ότι η ελευθερη επιφάνεια του υγρού δεν είναι οριζόντιο επίπεδο, αλλά επίπεδο που παρουσιάζει κλίση –a/g ως προς το οριζόντιο επίπεδο (σχ. 4). Σε δεύτερο στάδιο θα θεωρήσουµε ότι το υγρό περιστρέφεται περί σταθερό κατακόρυφο άξονα Οz µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

! ! . Τότε η δύναµη

αδράνειας σε κάιθε ρευστό σωµατίδιο του υγρού µάζας dm είναι η λεγόµενη φυγόκεντρη δύναµη dmω2

! r , όπου

! r το διάνυσµα θέσεως του σωµατιδίου

ως προς το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει (σχ. 5). οπότε στο σύστηµα αυτό το υγρό ισορροπεί εντός δυναµικού πεδίου εντάσεως

! g +! 2! r

και εποµένως η κατανοµή πιέσεων εντός αυτού καθορίζεται από την σχέση:

! ! P = "

! g +# 2! r ( ) (7)

H (7) σε καρτεσιανές συντεταγµένες παίρνει την µορφή:

!P!x! i +

!P!y! j +

!P!z! k = " gx

! i + gy

! j + gz

! k ( ) +" # 2x

! i +# 2y

! j + 0

! k ( )

!

!P/!x = " gx +# 2x( )!P/!y = " gy +# 2y( )!P/!z ="gz

$

% &

' & (8)

Μπορούµε να δεχθούµε ότι στο σύστηµα αναφοράς του περιστρεφόµενου

υγρού η φυγόκεντρος δύναµη απορρέει από δυναµικό πεδίο εντάσεως

! 2! r , όπου ω2x, ω2y, 0 οι τρεις ορθογώνιες συνιστώσες (αλγεβρικές τιµές) του δια

Σχήµα 5

νύσµατος

! 2! r . Ας δεχθούµε ότι εντός του υγρού υπάρχουν επιφάνειες σταθερής πιέσεως (ισοθλιπτικές επιφάνειες) που εκφράζονται µέσω της µονο παραµετρικής εξίσωσης P(x, y, z)=C, όπου C παράµετρος. Η µεταβολή dP της πιέσεως που επιφέρεται, όταν συµβαίνει εντός του υγρού µετακίνηση επί µιας ισοθλιπτικής επιφάνειας κατά το στοιχειώδες διάνυσµα

d! s = dx

! i +

+ dy! j + dz

! k είναι µηδενική και ισχύει:

!P!x

dx+!P!y

dy +!P!z

dz = 0

!(8)

! gx +" 2x( ) dx+! gy +" 2y( ) dy +!gzdz = 0

!

!! g +" 2! r ( ) # d! s [ ] = 0

!

! g +! 2! r ( ) " d! s [ ] = 0 (9)

από την οποία προκύπτει ότι τα διανύσµατα

d! s και

! g +! 2! r είναι µεταξύ

τους κάθετα, δηλαδή οι επιφάνειες σταθερής πιέσεως του υγρού είναι ορθο γώνιες προς το διάνυσµα

! g +! 2! r σε κάθε σηµείο τους. Για να κατανοηθούν

τα παραπάνω ευκρινέστερα θα θεωρήσουµε το υγρό ασυµπίεστο εντός κυλιν δρικού δοχείου ακτίνας R, το οποίο στρέφεται περί τον γεωµετρικό του άξονα µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

! ! , το δε βαρυτικό πεδίο της Γης οµο

γενές. Τότε οι σχέσεις (8) γράφονται:

!P/!x = " 0 +# 2x( ) = "# 2x

!P/!y = " 0 +# 2y( ) = "# 2y

!P/!z =- "g

$

% &

' & (10)

H µεταβολή dP της πιέσεως εντός του υγρου που αντιστοιχεί σε µετακίνηση κατά ένα τυχαίο στοιχειώδες διάνυσµα

d! s είναι:

dP =!P!x

dx+!P!y

dy +!P!z

dz

!(10)

dP = !" 2xdx+!" 2ydy - !gdz η οποία µε ολοκλήρωση δίνει:

P = !" 2x2

2+!

" 2y2

2- !gz +#

!

P = !" 2r2

2- !gz +# (11)

όπου P η πίεση στο τυχαίο σηµείο του υγρού που απέχει από τον άξονα περιστροφής του απόσταση r και από το επίπεδο Οxy απόσταση z, ενώ το λ είναι µια σταθερά ολοκληρώσεως που η τιµή της καθορίζεται αν επιλέξουµε ένα σηµείο Α0 που η πίεσή του θα θεωρηθεί ως πίεση αναφοράς. Στην περί πτωση που το υγρό παρουσιάζει ελεύθερη επιφάνεια σε επαφή µε τον αέρα, ως τέτοιο σηµείο παίρνουµε το σηµείο τοµής του άξονα περιστροφής του υγρού µε την ελεύθερη επιφάνειά του, στο οποίο επικρατεί η ατµοσφαιρική πίεση Pα. Τότε από την (11) προκύπτει:

P! = "# 20

2- "gz0 +$

!

! = P" +#gz0

µε αποτέλεσµα αυτή να γράφεται:

P = P! +"# 2r2

2- "g z0 - z( ) (12)

Σχήµα 6 όπου z0 η z-συντεταγµένη του σηµείου Α0. Η σχέση (12) καθορίζει τον τρόπο κατανοµής της πιέσεως εντός του περιστρεφοµένου υγρού, Εξάλλου θέτον τας στην (11) όπου P=σταθερά παίρνουµε την εξίσωση των ισοθλιπτικών επιφανειών του υγρού, που είναι µια µονοπαραµετρική εξίσωση της µορφής:

z =! 2r2

2g+ C (13)

όπου C παράµετρος εξαρτώµενη από την εκάστοτε τιµή της πιέσως της ισοθ λιπτικής επιφάνειας. Η εξίσωση (13) αντιπροσωπεύει µια οικογένεια παρα βολοειδών εκ περιστροφής µε άξονα συµµετρίας τον άξονα περιστροφής του υγρού. Τα παραβολοειδή αυτά τέµνουν το επίπεδο Οxy κατά καµπύλες γραµ µές (παραβολές) που έχουν άξονα συµµετρίας τον Οz (σx. 6). Ειδικό ενδια φέρον παρουσιάζει το παραβολοειδές που αντιστοιχεί στην ελεύθερη επιφά νεια του υγρού, η οποία αποτελεί ισοθλιπτική επιφάνεια πιέσεως Pα. Για την επιφάνεια αυτή η (13) γράφεται:

z =! 2r2

2g+ C0 (14)

όπου η σταθερά C0 θα βρεθεί εκ του συλλογισµού ότι ο όγκος του υγρού δεν µεταβάλλεται κατά την περιστροφή του, αφού αυτό είναι ασυµπίεστο. Έτσι αν h0 είναι το ύψος του υγρού εντός του δοχείου, όταν αυτό δεν περιστρέ φεται και V(ω) ο όγκος του όταν περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα ω, θα έχουµε:

!R2h0 = V(")

!

!R2h0 = 2!rdr"z0

R

#

!(14)

R2h0 = 2rdr! " 2r2 /2g + C0( )0

R

#

!

R2h0 = 2 C0rdr0

R

! + " 2r3dr /g0

R

!

!

R2h0 = C0R2 +! 2R4/4g

!

C0 = h0 -! 2R2/4g οπότε η εξίσωση της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού έχει την µορφή:

z =! 2r2

2g+ h0 -

! 2R2

4g

!r= 0

z0 = h0 -! 2R2

4g

και το παραβολοειδές της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού αντιστοιχεί στην εξίσωση:

z =! 2r2

2g+ z0

P.M. fysikos